（基础数学专业论文）一类4×4退化上三角量子色yangbaxter矩阵方程的通解（Ⅰ）.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文求出了一类4 4 退化上三角量子色y a a g - b a x t e r 矩阵方程的通解全文 共分为三章在第一章中，介绍了量子色y a n g - b a x t e r 函数方程组的定义并且给出 了本文的主要结果第二章详细给出了求解所用到的引理及证明第三章求出了一 批4 4 退化上三角量子色y a n g b a x t e r 矩阵方程的通解 关键词：y a n g b a x t e r 方程；亚纯函数；通解 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w eg e tt h eg e n e r a ls o l u t i o n so f4 4s i n g u l a ru p p e rt r i a n g l eq u a n t u m c o l o u r e dy a n g - b a x t e rm a t r i xe q u a t i o n t h i sp a p e rh a st h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fq u a n t u mc o l o u r e dy a n g b a x t e rf u n c t i o ne q u a t i o ns y s t e m a n dg i v et h ea u t h o r sp r i n c i p a lr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r lw eg i v et h el e m m a sa n dt h e p r o o fu s e di nt h i sp a p e ri nd e t a i l i nt h et h i r dc h a p e r ，w e 百v et h eg e n e r a ls o l u t i o n so f4 4 s i n g u l a ru p p e rt r i a n g l eq u a n t u mc o l o u r e dy a n g - b a x t e rm a t r i xe q u a t i o ni nh a l fo fa l l c a s e s k e yw o r d s ：y a n g b a x t e re q u a t i o n ；m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；g e n e r ms o l u t i o n s i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南走学捉出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学拉论文是 本人在导师酌指导下独立克成的，对所研究的课题有精的见解。据我所知，除 史中特别加以说明、标注乖致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构酌学位或证书而 使用i 主酌材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确酌说明井表示了谢意。 学位中请人( 学位论立作者) 蓥名至塑 2 00 7 年f 月8 日 关于拳位论文著作权使用授权书 本人经河南太学审核批准授予硕士擘住。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论夏酌要求，即河南大学有权向圉束 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和丰校图书馆等提供学位论文( 氟质文 本和电子文本) 皑供公焱检索、查阑。本人授识河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进矸学术变流等目的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 豌保存、汇编学位论盘( 羝质丈本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容酌擘位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 荽名 至堑 20 0 7 年占月p 日 学伫论文指导教师签名 j 讪华j # 上灶 河南大学硕士学位论文 引言 她础，= 眨_ = ) c o ， n 。z l ( u ，2 ，) ，即舻( ，g ，) 在此衷心感谢我的导师许以超教授和王天泽教授的悉心指导 河南大学硕士学位论文 第一章准备知识及主要结果 fr 1 1 ( t 口) r l n ( 舭，) 。 壳( 郴，) = l ： ； l = 固勘。忍) ， r l ( ，砌) ( 叩，) 幻d 一刚) 噶( 邺，口) 。 ( 郴，) = i ； j l = 前( 郴，) 砀， 馈) 像v ) t k l 其中嗡沁忍们是亚纯函数霉缸是ng r ：方g - ，它定义为 ；( 三三二：三二) = 印，t ，n ， 矗；嘞如 杰( u ，口) = 呓2 0 ，g ) 奶。j 现 噶( 邺，) 啭阻+ 郴，z ) r 孟( 哪，z ) “q , r 一1( 1 1 ) n 、 = r 器，致口) 嗡 + w ，z ，z ) 嘴0 ，仉z ) ， 其中i , j ，o ，b ，c ；1 ，n ，( 1 1 ) 称为量子色y 8 n g b 蚍e r 函数方程组 2 河南大学硕士学位论文 以下我们考虑当n = 2 时的情形这时量子色y a n g - b a x t e r 矩阵为 它可改写为 壳( ，。，y ) = 袁( t ，z ，y ) = ( 1 2 ) ( 1 3 ) 假设袁，。，y ) 是上三角矩阵，即 叼( u ，z ，y ) = 0 ，1 曼j ， 其中g ，( z ) ，f ( 。) ，f ，( z ) ，a 2 2 0 为任意亚纯函数，且g ，( 0 ) = 1 ，c ，口是任意非零复常 数； ( v ) a l l = 0 3 a = d “= 0 2 a = o 甜= d 1 3 = 0 9 2 2 0 ，们2 ，a 2 4 ，们4 为任意亚纯函数 定理3 3 假设0 1 l 口2 2 0 ，。3 3 = a 4 4 = 0 ，则方程组( b ) 的通解为； ( i ) = a 4 4 = 0 , 2 3 = 口3 4 = 0 ， 0 , 1 1 ，。，y ) = a l l ，) ， 毗( 郴锄忡厕【e x 出。u ) 】器， 0 1 2 ( 钍，z ，y ) = a l l ( u ，z ，可) 【l 2 ( z ) 一如( 可) d 2 2 ( “，$ ，分) 】， a 1 3 ( ，。，y ) = l 2 ( 掣) 。王l ( ，z ，) ， 口2 4 ( u ，。，可) = 0 1 1 0 ，z ，) 二3 0 ) + l 2 0 ) 凸2 2 ，。，可) 1 ， 0 1 4 ( ，。，y ) ；0 1 1 缸，茹，分) 【l 2 ( $ ) 二2 ( 可) 一l 2 ( ) 工哼( 霉) 一l ；( ) c 2 2 ( “，z ，可) 】， 其中拟2 ( 。) ，满足尬( o ) = 1 ，二2 ( 。) ，如( 。) ，。1 1 0 为任意亚纯函数，a 2 是任意复常 1 0 河南大学硬士学位论文 数； ( i i ) 咖= a 4 4 = d 3 4 = 口1 3 = 0 口1 l ( t ，2 ，v ) = a l l ，$ ，) ， 锄，嘞，) e x p ( a ：硼器， 0 1 2 ( t ，。，y ) = i l a n ( u ，。，) 【l ( 善) 一工4 ( ) d ( t ，$ ，f ) 】， a 2 s ( u ，z ，y ) = 。i i ( u ，。，口) ， c 2 4 ( “，。，掣) = ；o i l ( ，。，) 【工4 ( m ) + 工4 扫) 0 2 2 ( t ，茹，v ) 1 心啪) = a n ( u 焉蜘蟛。) 一鼋器， 其中( 。) ，满足 幻( o ) = 1 ，以0 ) ，口n 0 为任意亚纯函数，眈，c l 是任意复常数； ( i i i ) 幻3 = 0 4 4 = 幻4 = 0 ， n 1 1 ( u ，。，y ) = 8 1 1 ( ，$ ，) ，、，| 。、r ，、1 肘j ( z ) a 2 2 ，。，v ) 2m - o ，。) 【e x p ( 眈】；i 蓑荔， 0 1 2 ( u ，$ ，y ) = 0 1 1 ( u ，。，y ) l e ( x ) 一l 6 扫) 眈2 ( 让，$ ，可) 】， a 2 3 ( u ，z ，y ) = 一0 4 1 ，$ ，) ， a 1 3 ( u ，。，y ) = 2 l s ( y ) a l l ，z ，v ) ， a 2 4 ( u ，。，) = d l l ( r ，。，) 【l 6 0 ) 幻2 ( u ，z ，y ) 一k 扛) 】， a 1 4 ( 口，# ，) = a l l 如$ ，们 b 磺一瑶白) j 勉2 托，z ，) + 2 岛( $ ) 己6 ) ， 其中( z ) ，满足m z ( o ) = 1 ，l 6 ( 。) ，n n 0 为任意亚纯函数，o c 2 ，c 2 是任意复常数； ( i v ) a 3 3 o - 4 4a 3 40 ， 0 1 1 ( u ，z ，掣) = 口1 1 ( “，$ ，掣) ， 吻劫钢加【唧( 删器， a 1 2 m ，z ，y ) = a l l ( 钍，茹，可) 【己6 ( 茹) 一l 6 白) 2 2 ( t ，$ ，可) 】， a 2 3 ( u ，z ，y ) = l i ( x ) a n ( u ，# ，) ， 0 , 1 3 0 ，。，) = l s ( y ) a n ( u ，$ ，y ) i l l 1 0 ) 】， 。2 4 ( u ，$ ，y ) = a l l ( u ，z ，y ) l i ( x ) l 6 ( x ) + z m 0 ) 眈2 0 ，z ，) 】， a 1 4 ( u ，p ) = a l l ( u ，z ，们i k ) 岛( 们一瑶( ) 0 2 2 ( ，。，卵一三l 和) 功扛) “( 】， 1 】 河南大学硕士学位论文 其中m 2c z ) ，满足( o ) = 1 ，l 6 ( z ) ，西( $ ) 0 ，1 ，一1 ，o l l 0 是任意亚纯函数，a 2 是 任意复常数 定理3 4 假设o , l 1 0 3 3 0 ，口2 2 = 口4 4 = 0 ，则方程组( b ) 的通解为：0 2 2 = a 4 4 = 0 ， a l l ( u ，z ，) = o l l ，) ， a 3 3 ( 郴劫讪，) e x p ( a s 训器， a 1 2 ( “，孔) = 二1 0 ) 。1 1 ，。，) ， o s ( u ，以) = l z ( z ) a l l ，z ，y ) 。 c 1 3 4 ( 钍，z ，掣) = l l ( x ) a l l ( u ，z ，) n 3 3 ( “，髫，掣) ， 口1 3 ( u ，z ，掣) = o u ，毛暂) 陋l ) 一l l ) 工2 0 ) ) 一岛) 奶3 ，弘) 1 ， a 2 4 ( u ，z ，y ) = 二l ( z ) 三2 ( 茹) 0 1 1 ( ，$ ，掣) ， 。1 4 ( z ，y ) = 0 , 1 1 0 ，$ ，y ) l i ( z ) l i ( y ) 一l i 0 ) 0 3 3 扣，。，) 一工l ( z ) 五1 ( ) 如 ) 】， 其中l 1 ( ，如( 。) ，m 3 ( z ) ，满足i 3 ( o ) = 1 ，叽0 为任意亚纯函数，( 2 3 是任意复常 数 定理3 5 假设a l l d “0 ，0 2 2 = 如3 = 0 ，则方程组( b ) 的通解为： ( i ) a 2 2 = 0 , 3 3 = 0 ， a l l ( ，$ ，y ) = a l l ( “，毛) ， n 4 4 ( ，z ，y ) = 0 , 1 1 0 ，z ，y ) ， a 1 2 ( u ，。，y ) = l i i z ) a l l ( u ，z ，) 。 a u ( u ，甄y ) = l 2 ( y ) a l l ( u ，z ，) ， 口1 3 缸，。，筝) = ：工l 如d 8 n ( t “嚣，【1 一a z 3 ( u ，。，分n ， a 2 4 ( ，。，y ) = l ：c z ) a l x ( u ，z ，”) 【1 一n 2 3 ( ，z ，) 】， b 1 4 ( u ，。，口) = a l t ( u ，z ，y ) - l l ( z ) l 2 ( y ) 一l t c y ) l ：( x ) + l l ( y ) l 2 ( x ) a 2 a ( u ，。，口) 其中l l ( z ) ，l 2 ( 。) ，a l l 0 ，a 2 3 为任意亚纯函数； ( i i ) o 2 2 = 0 , 3 3 = 0 ， a l l 如，y ) = a l l 0 ，) ， 。1 2 ( u ，z ，y ) = l l ( x ) a n ，z ，口) ， 河南大学硕士学位论文 口倒( ，霉，计= 一l l 白) o 】1 ( t ，奶们凸“如，毛) ， 0 1 3 ( ，。，) = 工1 ( 掣) 口l l ( u ，。，弘) 【1 一a z 3 ( u ，z ，可) 】， c 2 4 ( “，$ ，y ) = l l ( z ) 0 1 l ( u ，。，可) 【口2 3 ( t ，z ，y ) 一a u ( u ，z ，可) 】， 口1 4 ( u ，$ ，y ) = l 】( z ) 工1 ( 可) 口l l ( ，$ ，可) 【l + a 4 4 ( “，$ ，y ) 一锄( u ，可) 其中工l ( $ ) ，。1 l ，a “，蚴为任意亚纯函数，且d 1 1 盔“0 ，n “1 定理3 6 假设口1 1 0 2 2 a 0 1 0 ，。一0 ，则方程组( b ) 的通解为： ( i ) 。3 3 = 0 2 3 = 0 ， 。1 1 ，甄) = a 4 4 心，z ，) ， 0 2 2 ( 螂劫= 蛳( 叩蛔( 酬器， o “，$ ，) = a 4 4 ( u ，# ，) ， a 1 2 ( ，$ ，y ) = 口“( $ ，u ) l s ( x ) 一工3 0 ) o 托，$ ，) 】， a a 4 ( u ，。，) = i 口国) 0 4 4 ( “，。，) ， 0 1 3 ，。，y ) = 如( ) d “0 ，g ，) ， 吆( ，v ) = 口4 4 ( u ，) f 玩( z ) 一r 2 ( u ) a 龆，z ，口) 】， o “( u ，$ ，) = o “( ，$ ，) f i a ( x ) l a ( y ) 一l ：( y ) l 3 ( x ) + 二2 白) l 3 ( ) 0 2 2 ( ，z ，v ) 】， 其中z a ( z ) ，玩( z ) ， 龟( z ) ，满足尬( 0 ) = 1 ，口“0 是任意亚纯函数，却是任意复常 数； ( i i ) a 3 3 = a z a = 0 ， o n ( ) = 毗刎) 瑞， 口2 2 ( 郇，= 嘶删蚓酬瑞， n “( t 正，霉，”) = 6 4 4 缸，毛”) ， 0 1 2 0 ，茹，可) = 口4 4 0 ，霉，可) p 幺( 2 ，) 0 2 2 ( “，z ，y ) 一工2 ( z ) 口1 1 ( u ，$ ，掣) 】， a s 4 ( u ，$ ，y ) = 岛( 耖) n “( 让，茹，掣) ， g i $ 0 ，z ，计= 一切国) 。1 1 0 ，z ，计盘“扣，z ，可) ， a u ( u ，戤) = 口“0 ，f ) 【如0 ) 一l 2 臼) 眈2 ，甄口) 】， 口1 4 ( u ，z ，y ) = 口0 ) ( 1 4 4 ( “，z ，) 【l 2 0 ) + l 2 ( z ) a u ( u ，z ，y ) 一l 2 ( y ) a ( u ，z ，) 】， 1 3 河南大学礤士学位论文 其中岛( $ ) ， 以( ) ，尬( 。) ，满足 以( o ) = 岛( o ) = 1 ，0 4 4 0 是任意亚纯函数，勉是任 意复常数； ( i i i ) d 3 3 = a 1 3 = 0 ， g l l ( “，$ ，y ) = a 4 4 ( u ，o ，) ， 8 2 2 ( 。，f ) = 口4 4 ，。，口) 【e x p 扭2 u ) i m ：2 2 ( l z ) ， a , 4 ( u ，z ，) = a 4 4 ( u ，o ，们， 0 1 2 ( 。，计= a 4 4 ( u ，z ，) 陋如) 一工0 ) 0 2 2 ，z ，口) 一a ：a m 2 ( x ) + a u 如， 如( ) j ， 口2 3 ( 缸，z ，g ) = 她4 缸，z ，分) ， 幻4 ，而) = 五2 ( ) o “，z ，) ， 0 2 4 ，2 ，”) = 一岛国) 口2 2 0 ，。，) o “m ，$ ，口) ， 。“0 ，z ，f ) = 一二2 白) o “，) 陋( 。) 一l ( y ) a 2 2 ( u ，。，口) 一口2 a 奶0 ) + a “南m 如0 ) 】， 其中l 0 ) ，l 2 ( z ) ， 幻( z ) ，满足鸠( o ) 一l ，0 4 4 0 是任意亚纯函数，口2 ， 是任意复常 数； ( i v ) 0 , 3 3 = 0 ， 嘶，s 脚= 嘶南。) 瑞， 酬叩剐铀舡删【e x p ( 眈删锱， 口“，丑) = a , a ( u ，o ，g ) ， g 1 2 ( “，岳，可) = a 4 4 ( u ，善，掣) 【l 2 ( 掣) 口2 2 ( 让，茹，f ) 一工2 ( 。) 盘1 1 ( 珏，。，) 】， 幻3 ( 矗g ) 5 口“( 地乱g 五栖， 口3 4 缸，互，暂) = l 2 0 ) a 驰0 ，嚣，智) ， 口1 3 沁，霸口) = 0 , 4 4 缸，z ，) 【c l 2 妇) m i 0 ) 一l 2 4 n ，z ，口) 】， 。2 4 ，王，计= 托，幺v ) i l 2 ) 一动( $ ) 南一l 2 ( 管) 眈2 t 。，可) j ， n “，茹，分) = l 2 ( 箩) 嘶( ，$ ，可) 【如0 ) + 幻( 霉) n l l ，。，们 一三2 ( 。) 葫而一珈) 口2 。，砒 其中玩，蛆( $ ) ， 龟( z ) ，满足帆( o ) = 虹( o ) = 1 ，0 , 4 4 0 是任意亚纯函数， 0 ， 睨是任意复常数 1 4 河南大学硕士学位论文 定理3 7 假设o , 1 1 0 , n 3 3 0 ，a 4 4 = 0 ，则方程组( b ) 的通解为：0 , 4 4 = 蚴= 0 ， o l l ( u ，z ，v ) = o l l ( ，z ，f ) ， 嘶删锄( 郴吲a 。叫篙器， 咄( 邺，加嘶圳吲删篙躲， a 1 2 ( u ，z ，可) = 。1 1 ( u ，甄掣) 陋l ( 正) 一工l 白) 0 2 2 ，z ，掣) 】 口“( u ，z ，y ) = l l ( $ ) a 1 1 0 , ，z ，掣) 4 3 3 ( t ，z ，轳) ， d 1 3 ( u ，z ，v ) ；：口1 1 ( u ，霉，掣) 【l l ( | d 一工1 ( z ) 口3 3 ( “，z ，翟) j ， a u ( u ，卫，”) = l 1 ( 掣) 0 1 l ，霉，) 0 2 2 ( u ，。，掣) ， 口1 4 ，羁v ) = a l l ( u ，甄可) i l l 扛) l l 臼) 一二 ( ) 口2 2 ( u ，甄一l ( 。) 0 3 3 ( u ，2 ，可) 】， 其中l l ( z ) ， 如( 功，舰0 ) ，满足( 0 ) = 地( 0 ) = 1 ，口l l 0 是任意亚纯函数，劬，哪 是任意复常数 注意在本文中，我和王欣除了下面一个极特殊的情形外，其他所有情形都得 到通解即在情形o n = 幻2 = 锄3 = = 0 且0 1 2 a 1 3 0 , 3 4 o 时，( b ) 只剩下一个方 程，即 n 2 4 ( $ ，可) d 1 2 0 ，玑z ) n 1 3 + u ，z ，名) + 0 3 4 0 ，z ，可) 0 1 3 扣，y ，名) 0 2 4 恤+ 却，茹，z ) = 乱3 ，茹，) 8 3 0 ，掣，力0 1 2 + ”，。，z ) + 0 - 1 2 扛，。，各) d 仪0 ，弘z ) 0 3 4 0 + 口，z ，力， 它的通解现在尚未解决 1 5 河南大学硕士学位论文 第二章引理及证明 引理2 1c 见【1 1 ) 设函数，$ ，o ) 适合方程 ，( u + q ，2 ) = ，( u ，z ，) ，扣，y ，力， 其中q z ，y 是三个独立复变量，则 伽而洲e x p ( 删锱， 其中肘( z ) 是满足m ( 0 ) = 1 的任意亚纯函数，a 是任一复常数 引理2 2 设函数，( 饥z ，) ，9 ，z ，) ，h ( ，羁y ) 满足下列函数方程 ，( u + 口，$ ，z ) = 9 0 ，y ，z ) f ( u ，。，y ) + 0 ，y ，2 )( 2 1 ) 则有 ( i ) 若，0 ，叠) ；( o ，。，y ) f ( o ，o ，) ，贝4 ，( ，。，y ) = ，( 们+ ( 分) 【f ( z ) f ( o ) 】， 咖，训) = 粼， 地刎) 卅沪荆韶， 其中g ，( 。) 0 ，f 7 ( 。) ，f ( z ) f ( 0 ) 是任意亚纯函数 ( i i ) 若，( 。，y ) = ，( o ，$ ，y ) = 1 ( o ，0 ，) ，i ( o ，。，0 ) = ，( o ，0 ，o ) ，则 ，( “，。，y ) = 一( ) ， h ( “，z ，y ) = 白) 一g ( u ，$ ，) 一( 。) ， 其中一( z ) ，g ( q y ) 是任意亚纯函数 ( i i i ) 若，0 ，z ，们，( o ，z ，g ) ，g ( “，0 ，0 ) = 1 ，则 ，。，y ) = f 7 ( ) + a u a 7 ( y ) + g ，0 ) 【f 0 ) 一f ( 0 ) 咖 沪器， m 焉沪砌m 锱佃嘞 1 6 塑塑查堂塑主兰垡堡塞 其中g ，0 ) ，( $ ) ，f ( x ) 是任意亚纯函数，且g ，( o ) = 1 ，口0 是任一复常数 ( i v ) 若，缸，瓢彩，( o ，# ，g ( u , o ，0 ) 1 ，则 ( u ，z ，们= f 7 ( f ) + 。g 7 ( ) f 呻( e u ) 一1 】+ g ( y ) e x p ( 口u ) 】f f ( $ ) 一f ( o ) 】， 蛳沪【e x p m ”锱， z ，) = 一( v ) 一( 训“p ( 钆) 】吕黔+ 。g ，。) 【e x p ( 钆) 1 】， 其中g ，( 功，f 协) ，f ( z ) 是任意亚纯函数，且g ，( o ) = 1 c ，0 是任意非零复常数 证明记 f 0 ) = ( o ，。，o ) ，白) = ，( o ，0 ，) ，f ”( u ) = ，0 ，o ) ，f ( 0 ) = r ( o ) = f ”( o ) ； g 0 ) = g ( o ，毛o ) ，g 7 ( ) = g ( o ，0 ，口) ，( y ( ；g ，0 ，o ) ，c ( o ) = ( 0 ) = ( y ( o ) ； 日0 ) = h ( o ，g ，o ) ，点“白) = h ( o ，o ，) ，日“( 田= 0 ，0 ，o ) ，日( 0 ) = 日7 ( o ) = h ( 0 ) 下面分情况讨论t ( i ) 设，( t ，z ，) = ，( o ，$ ，) ，则由( 2 1 ) 可得 ( o ，z ，z ) = g ，弘z ) ( o ，乱# ) + b 0 ，弘力。 在( 2 2 ) 中分别令 = 0 ，y ；0 ，z = 0 ，z = 0 ，得 ( o ，。，z ) = g ( o ，玑z ) ，( o ，毛口) + h ( o ，玑z ) ， ( o ，毛z ) = g ( v ，0 ，力f ( 动+ h ( 。，0 ，g ) ， f ，( ；) = 9 0 ，玑z ) ( ) + ( ，弘z ) ， f 0 ) = 9 0 ，玑o ) ，( 0 ，z ，y ) + h ( v ，y ，o ) 则由( 2 5 ) 知 h 0 ，。) = ，( z ) 一口( ，y ，z ) f ，0 ) 将( 2 7 ) 分别代入( 2 2 ) 和( 2 3 ) 得 ，( o ，z ) = g 扣，玑z ) 【，( o ，$ ，) 一f 7 ( 们】+ f 7 ( 2 ) ， ( o ，z ，z ) = g ( o ，v ，z ) 矿( 0 ，z ，) 一f 0 ) j + ，( 2 ) ， 则由( 2 , 8 ) 和( 2 9 ) 可得【9 ( 口，玑力一9 ( o ，玑z ) l ( o ，。，口) 一f ，( ) 】= 0 则 1 7 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 河南大学硕士学位论文 ( i ) 假定，( o ，y ) f ，( g ) ，则有g ( 矶y ，z ) = g ( o ，口，z ) 由( 2 ，4 ) 和( 2 7 ) 可得 ( o ，。，) ；g 扣，0 ，f ) f ( 。) f ( o ) 】+ f 7 留) 令口= 0 ，得 ，( 0 ，善，鲫= g ( 扪忙。( z ) 一直( o jj + j ”悖) 于是，由( o ，) f 协) 知 白) i f ( 七) 一f ( o ) j 0 又将( 2 i o ) 代入( 2 8 ) 知( z ) p p ) 一f ( o ) i = g ( o ，弘z 矽0 ) f ( 。) 一p ( o ) i 们m 力= 器 由( 2 7 ) 和( 2 1 2 ) ，有 “弘z ) = f ( z ) 一( ) 孑播，则 ，茹，y ) = ，( o ，$ ，剪) = f 7 ( ) + g ，( 们i f ( z ) 一f ( o ) ) ， 舭沪g ( o 焉们= 器， m 忍加砌叫锱， 其中g ，( 。) 0 ，f ，( z ) ，f ( z ) f ( o ) 是任意亚纯函数 ( i i ) 假定，( o ，z ，y ) = f 7 ( g ) ，则由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 知f ( 功= f 7 ( o ) 则 ，扣，z ，口) = l ( o ，z ，”) = f ( ) ，h ，z ，) = 一妇) 一g ，z ，) f ，( ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 由( 2 1 1 ) 知 ( 2 1 2 ) 其中g 托而) ，f 7 是任意亚纯函数 ( i i ) 设，口) ( o ，。，口) ，则在( 2 1 ) 中分别令= 0 ，u = 0 ，得，( u ，。，z ) = g ( 玑z ) f ( o ，毛g ) + 0 ，口，z ) ，z ，z ) = g ( o ，v ，z ) ， ，z ，9 ) + h ( 0 ，y ，z ) 上面两式中分 别再令y ；0 ，可得，( “，。，z ) = 9 “，0 ，z ) f ( 。) + h ( “，0 ，z ) = g ，( z ) ，( “，q 0 ) + ( z ) ，即 ，缸，$ ，z ) = 譬( 世，0 ，2 ) f ( $ ) + a ( ，0 ，名) = g ，( z ) ，0 ，。，0 ) + h 7 ( z ) ( e 1 ) = g ( o ，讥，$ ，y ) + h ( o ，口，功 = = g ( “，y ，z ) f ( o ，z ，们+ 札，口，z ) ， 由( e 1 ) ，令z = y 得【1 一g ( o ，玑) 】，( ，q y ) = ( 0 ，y ，) 由假设，( ，y ) ，( o ，$ ，y ) 易知 z ( o ，y ) = 1 ，h ( 0 ，y ，g ) = 0 于是a ( o ) = g 7 ( o ) = g ”( o ) = 1 ，h ( 0 ) = h ( 0 ) = ( 0 ) = 0 1 8 河南大学硕士学位论文 在( e 1 ) 中分别令$ = 0 和z = 0 ，我们有 ，( u ，0 ，z ) = g ，( z ) 矿+ ( z ) 29 叭。) f ( o ) + 螂，。) ( 砚) = g ( o ，口，2 ) ，( ，0 ，) + h ( o ，玑z ) = 9 ( u ，z ) f ，白) + ( u ，z ) ， ，“，z ，0 ) = g ”( u ) f 0 ) + = g ( 口) ，( “，z ，口) + 日0 ) ( e 3 ) = 口( u ，y ，o ) f ( o ，z ，口) + h o , ，y ，o ) ， 由( e z ) 和( e 3 ) ，我们得 ，( u ，甄可) = g ( u ) g ，0 ) f 0 ) + 7 ( “) g ，( 可) + 日7 0 ) ( 2 1 3 ) 再由( e 2 ) 和( e 2 ) ，得 h 0 , ，$ ，”) = j “( “) g ，白) + 日7 0 ) 一9 ，。，y ) f 7 0 ) ， ( 2 1 4 ) 则( e 1 ) 变成 g “( u ) g ，( z ) f ( z ) + r ，( u ) g ，( z ) = 札o ，z ) 【f 0 ) - f ( 0 ) 】+ = g ( o ，y ，z ) 【g ，( u ) g ，( ) f ( z ) + 点r ，( g ，( y ) + ( v ) 一( ) + g ，( z ) f ( o ) = g 缸，玑2 ) 【g 7 ( g ) f ( 茹) + 丑( f ) 一f 7 白) + f ”( ) g 7 ( z ) ， 由( e a ) 知 h ”( u ) g 7 0 ) = 雪，0 ，v ) 【f ) 一f ( o ) 】+ f ”( 缸) g 白) 一( y ( ) g ，0 ) f 扛) ( 2 1 5 ) 又由( e 4 ) 和( e 4 ) 两边相等得 9 ( ，可，z ) i 丑7 0 ) 一f 7 ( 可) 】= g m ，0 ，z ) i f ( z ) 一f ( o ) j g ( u ，名) g 7 扫) f ( z ) ， ( 2 1 6 ) 将( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 分别代入( b 4 ) 可得 g ( o ，玑z ) 9 0 ，0 ，口) 【f ( z ) 一f ( o ) 】一g o ，0 ，z ) 【f 0 ) 一f ( o ) 】+ g 7 ( z ) f 0 ) + g ( o ，玑z ) g ，( ) ，“( ) 一( z ) j “( ) 一g ( o ，玑z ) g ，( v ) f 0 ) = 0 ， 河南大学硕士学位论文 即 扭( o ，z ) 9 ( “，o ，g ) 一口( “，o ，。) - g ( o , y , z ) g ”0 ) + g 0 ) 1 【f ( 。) 一f ( o ) 】 ( 2 1 7 ) = 【g ，( z ) 一g ( o ，y ，z ) g ，0 ) 】i f ”( 叻一f ( 0 ) 】 在( 2 1 t ) 中分别令y = 0 ，。= 0 ，得 b ( u ，0 ，) 一7 ( “) g 7 ( ) 】 f ( z ) 一f ( o ) 】= 0 ，( 2 1 8 ) 【g 7 ( z ) 一g ( o ，y ，z ) g ，白) 】 f ”( u ) 一f ( o ) 】= 0 ( 2 , 1 9 ) 在( 2 1 7 ) 中令z = 0 ，得【g ( 口) 9 ，0 ，y ) 一g “( 一g 0 ) g ，0 ) + l l f ( 2 ：) 一f ( o ) 1 = ( 1 一 g ( 口) g ，( ) 】【j “( u ) 一f ( o ) 即 1 1 - c ( y ) 白) 】i f ”( u ) 一f ( o ) 1 = g 白( 豇，o ，) 一g 如) g ，0 ) 】+ g ( g 白) g ，( f 2 ，2 0 1 一7 ( ) + 1 一g ( 耖) g 7 妇) ) 【f ( z ) 一f ( o ) 】 由( 2 1 8 ) 和( 2 2 0 ) 得 【1 一g ( ) g ，0 ) 】( g ，【f ( 甸一f ( 0 ) 】+ f ”( 一f ( ) ) = 0 。( 2 2 1 ) 另一方面，由( 2 1 4 ) 和( e 1 ) 得 ( u ) = 晰) 一g ，( ) 聃日= f ( o ) 一g ( $ ) 蹦， ( e 5 ) ( ) = ( g ) 一g ，0 ) f ( o ) 则( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 分别化为 ，缸，茹，们= g ”0 0g ，白) i f 扛) 一f ( o ) 】4 - g 7 ( 暂) i f 0 ) 一f ( o ) 3 + f 悖) ， h ( u ，z ，y ) = g 7 ( ) 【f 7 7 ) 一f ( o ) + f ，( ”) 一g ( u ，z ，) ( z ) ， 由( e 5 ) ，则( 2 1 6 ) 可化为 b ( 0 ，z ) 一g ( 地y ，：) g ，( f ) 】i f 如) 一f ( 0 ) 1 = 0 ( 2 2 2 ) 由( 2 1 9 ) ，则( 2 1 7 ) 变成 b ( o ，y ，z ) g ( ，0 ，y ) 一9 ，0 ，z ) 一g ( o ，y ，# ) g ，白) + g ，( 力】【f 缸) 一f ( o ) 】= 0 下面我们分两种情形讨论： ( i ) 若f ( z ) = f ( o ) ，则有 ，托，们= 白) f f ”托) 一f ( o ) 】十f 渤) ， ( 2 2 3 ) 2 0 河南大学硬士学位论文 ( “，g ，) = g 0 ) 【( ) 一f ( o ) 】+ ，( ) 一口，。，y ) f 7 ( g ) ( 2 2 4 ) 考虑假设，托，z ，) ( o ，口) ，y ( o ，f ) = f 7 0 ) 和g ，0 ) 0 由( 2 2 3 ) 知7 ( ) f ( o ) ， 且由( 2 1 9 ) 和( 2 2 1 ) 分别得 鲫， ) = 器，) 吼) _ 1 ( 2 2 5 ) 将( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 代入( 2 1 ) ，利用( 2 2 5 ) 可得 g ( o ，玑z ) 【f ”0 + 口) 一f ”扣) 】= g 扣，饥z ) 【7 ( “) 一f ( o ) 】( 2 2 6 ) 在( 2 1 ) 中令。= v = z = 0 ，再利用( e 5 ) 得 f ”0 + 口) = g ”0 ) 【f ”( t 0 一f ( 0 ) 】+ f ”0 ) ( 2 2 7 ) 将( 2 2 7 ) 代入( 2 2 6 ) ，得g “甄) = 吕器，则 ，( ，茹，掣) = g 7 白) 【j ( ) 一f ( 0 ) j + 一( y ) ， 咖驯划器， h ( 叩，) = g ，( ) 矿( “) 一f ( o ) 】+ ，( ) 一f 7 0 ) g ，( “) 吕摆 将上述结果代回( 2 1 ) 得( 2 2 7 ) ，即i f ” + 一f ( 0 ) 】= ( 口) i f ( “) 一f ( 0 ) 】4 - l ( ) 一 f ( o ) 】令r ( u ) = f ”( “) 一f ( o ) 0 ，贝旷有r + ) = a ( v k m ) + r 0 ) = g “( u ) r ( ) + r ( u ) 于是得【g ”( u ) 一1 】r ( u ) = g ，m ) 一l 】r ( ”) 当g ，( u ) = 1 时，有r ( u + v ) = r + r 扣) ，它的 解为r ( “) = “1 v a l c ，a l 0 ，即f ”( u ) = a l u + f ( o ) ，其中a l 0 是任一复常数 当g “( u ) 1 时，有秒高与；歹嵩与，则存在c l c ，使得r “) = c l 【g ，( 一l 】， 即一协) = c 1 【g ，( u ) 一1 】+ f ( o ) ，c 1 0 ，代回( 2 2 7 ) 得g ，( t + ) = g ，( ) g ，( 口) ，它的解 为1 3 ”( u ) = e x p ( 0 1 u ) ，v o i c ，0 1 0 ，即f ”( = c 1 e x p ( 0 1 u ) 一1 】+ f ( o ) ，其中c l 0 ， 口l 0 是任意复常数综上，我们有：当g ，( “) = 1 时， ，( “，$ ，y ) = a l u g ( y ) + 一0 ) ， 咖 加器， 吣南沪刚印m _ 蹦器， 其中g ，0 ) ，一是任意亚纯函数，且g ，( o ) = 1 ，o l 0 是任意复常数当g a ( u ) 1 河南大学硕士学位论文 时， ，( ，y ) = 。l e x p ( 0 1 u ) 一1 】g ，( g ) + f ，( g ) ， 加朋= 蚓 器， ( 为) = c l 【e x p ( 日1 u ) 一1 】( g ) + 一( ) 一c e x p ( 口1 “) 】f 7 ( 。) 吕器， 其中g ，0 ) ，f ，( 。) 是任意亚纯函数，且g ，( o ) = 1 ，c l ，口l 是任意非零复常数 ( i i ) 着p ( z ) f ( 0 ) ，则由( 2 1 8 ) 和( 2 2 2 ) 分别得g ( u ，o ，口) = g ，( u ) g 协) ，g ( u ，。，) = 帮肌( 郴= g ，锱由( 2 m ) ，若g 。) ) l ，则掣一 f ( o ) 】+ j “( = f ( z ) ，于是有，( u ，z ，y ) = g ，0 ) f ( z ) 一f ( o ) + ( p ) = f r o ，z ，) ，即回到 情形( i ) 则我们只考虑g ( 们( ) = 1 ，则有 ，扣，霉，y ) = g ( ( 们i f 0 ) 一f ( o ) 】+ ( 掣) 【f ”( 一f ( o ) 】+ f ( ) g 劫= g ，。) 锱，) 。) _ 1 m ，z ，口) = 。) 【一一f ( 0 ) 1 + 一 ) 一。) g “( 妨吕器。 将上面结果代回( 2 1 ) ，利用( 。) 0 ，可得 g “( u + 口) 【f ( z ) 一f ( o ) 1 + 一7 0 + 剞) ( 2 2 8 ) = g ，( u ) g ，( 。) 【f ( 。) 一f ( o ) 】+ g ，扣) p ) 一f ( o ) 】+ f ”( ”) 令g ) = f ( x ) 一f ( o ) ，p ( ) = v ( u ) 一f ( o ) ，8 ( = l 掣( t 0 1 # 中q ( z ) 0 ，p ( ) 0 则( 2 2 8 ) 变成【s ( u + v ) + l l q ( z ) + p ( + ) = i s ( u ) + l 】p ( ) + l l q ( z ) + p ( 口) + l l v ( ) + p 扣) ， 即陋0 + 口) 一s ( u ) s 扣) 一s 0 ) 一8 0 ) 】g ( $ ) = - p ( u 十u ) + 扣( u ) + l i p 0 ) + p 扣) 由q ( z ) 0 知s ( + ) = s 0 ) s 扣) + 8 ( “) + s ( ”) ，p ( u + v ) = 【s 0 ) + l 】p ( “) + p 0 ) 整理得s ( u + v ) + 1 = 和+ l + 1 1 ，p 缸+ 口) = s 扣) + 1 】p + p 扣) 则有缸+ =