（基础数学专业论文）加强的反向等周不等式及其稳定性.pdf

摘要 在凸几何中，大多几何不等式都有这样一个性质：当取一些特殊的凸体时，比如球， 圆，椭球等，等号成立如果某个凸体使得它所满足的不等式与等号成立相差很小时， 这个凸体与使得等号成立的特殊的凸体有多大偏差? 这就是几何不等式的稳定性问 题，几何不等式的稳定性是凸几何，积分几何和凸分析中一个重要的研究课题，最初的 研究在m i n k o v s 虹和b o i l l l e s e n 的工作中已有涉及，但是直到上世纪8 0 年代才得到系统 的研究，其中h g r o e m e r vi d i s k a i l t ，b f u g l e d e 等人研究了很多几何不等式的稳定 性 本文主要研究了如下加强的反向等周不等式及其稳定性问题，即若y 是平面上严 格凸的闭曲线，p ( 力为其周长，口( 矽为y 所围区域的面积，则有 p ( y ) 2 4 7 m ( y ) + 2 丌陋( y ) i ， 其中a ( y ) 是7 的曲率中心轨迹所围区域的有向面积，且等号成立时当且仅当y 是一个 圆周最后利用类似的办法讨论了【1 8 】中提出的问题 关键词：反向等周不等式，支撑函数，几何不等式稳定性，f o l l r i e r 级数 a b s t r a c t m o s tg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sc o n c e m i n gc o n v e xb o d i e sh a v et l l ep r o p e 啊t l l a t 吐1 eo c c u r r e n c eo fm ee q u a l i t ys i g nc h a r a c t e r i z e sg e o m e t r i c a l l ys i g n i f i c 锄to b j e c t s ，l i k eb a l l s ，e l l i p s o i d s 1 1 l i sf a c ts u g g e s t st h ef 0 1 l o w i n gs t a b i l i 哆p r o b l e m ：f 0 rs o m ec o i e xb o d yt 1 1 e 酉v e n i n e q u a l i 哆i ss a t i s f i e ds 0t h a ti ti sn o tv c 巧d i 行e r e n tf r o ma l le q u a l i t ) rw h a tc 锄b es a i d 矗b o u t t l l ed e v i a 垃0 no ft t l eb o d y 饷mt h e s eo b j e c t s ? p r o b l e m so ft l l i sk i n da p p e a ra h a d yi nt l l e w o f ko fm i 咖s l 【i 柚db o 仰e s e n ，b u th a v e b e e ni n v e s t i g a t e dm o r es y s t e i n a t i c a l l ys i n c e 屺 1 9 8 0 s t i l i sn l e s i sd e a l sw i mas t r e n g t h e n e dr e v e r s ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t ya i l di t ss t a b i l i t ) r p r o p e r t i e s ，t h a ti s ，f b rc l o s e ds t r i c n yc o n v e xp l a n ec - 、，e7 w i t hl e n g lp ( 们a n da r e a 口( y ) ， p ( y ) 2 4 丌口+ 2 7 r 陋( 们i ， w h e f ea ( 7 ) d e n o t e s 吐l eo r i e n t e da r e ao ft l l ed o m a i ne n c l o s e db yt l l el o c u so fc u r v a m r ec e n t e r s o fy ，锄dm ee q u a l i t ) rh o l d si fa n do i l l yi fyi sac i r c l e f i n a l l y w ed i s c u s sm ep r o b l e mw h i c h i sp o i n t e do u ti na n i c l e 【l8 】u s i n gt i l em e t i l o da b o v em e n t i o n e d k e yw o r d s ：r e v e r s ei s o p e r i i i l e t r i ci n e q u a l i 吼s u p p o r tf u n c t i o n ，s t a b i l i 哆p r o p e r t i e so f g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s ，f b 嘶e rs e r i e s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：j 鸳乏粪叁卜日期：垫型星_ 厶盈二 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：益念董k 车导师签名：乏鱼鲨型 日期：避左：墨日期：五幽醯么：壁： 第一章引言 欧氏平面r 2 上经典的等周不等式是说对一条简单闭曲线y ，其周长为p o ) ，所围 区域的面积为a o ) ，则有 p ( y ) z 一4 7 r 口( 们o ， 等号成立当且仅当7 是一个圆周早在古希腊时期人们就知道此不等式，并且将其应 用于生产实践但它的数学证明直到1 9 世纪才由数学家s t e i n e r 【2 4 】给出此后陆续出 现它的多种不同的证明方法，以及它的加强形式，推广形式和在数学，物理中的应用( 例 如，参见【l 】，【4 】，【9 】，【1 5 】，【1 6 】，【2 5 】等) 在1 9 9 5 年，h o w 捌和t r e i b e 唱s 【1 4 】对平面曲线的曲率作出一定限制后，给出一 个反向等周不等式，潘生亮和张宏【1 8 】用非常直接的方法给出了一个关于平面上 严格凸闭曲线的反向等周不等式，即若7 是平面上严格凸的闭曲线，p ( 们为其周长， 口为y 所围区域的面积，则有 p ( y ) 2 4 丌( 口o ) + i z i ( y ) i ) ， ( 1 1 ) 其中a ( 们是y 的曲率中心轨迹所围区域的有向面积，且等号成立当且仅当y 是一个圆 周在本文中，我们先证明如下反向等周不等式： p ( 们2 4 7 r 口( y ) + 2 丌l a ( y ) i ， ( 1 2 ) 等号成立时当且仅当y 是一个圆周( 1 ，2 ) 是( 1 1 ) 的加强形式，它是命题2 4 和定 理3 1 的直接推论 命题2 4 设y 是平面上一条c 2 严格凸的闭曲线jp 是y 的曲率半径以( 们是曲 线y 所围的面积6 是丫的曲率中心轨迹磊是$ 所围的有向面积则有 p j p 2 d p = 2 ( 口( 们+ 1 2 i ( 们1 ) 加强的反向等周不等式及其稳定性华东师范大学 定理3 1 对严格凸的平面闭曲线y ， 厂h2 ，n 、，n 、p ( 们2 2 翮( 们 fp 2 ( d 硼型l 型， o 7 这里p 是丫的曲率半径等号成立当且仅当7 是一个圆周 欧氏空间础中一个有界凸子集称为n 维凸体是指它是一个有内点的闭子 集令汐是所有n 维凸体构成的集合当，l = 2 时，一个2 一维凸体通常称为欧氏平 面r 2 上的一个凸区域在凸几何和微分几何中有很多重要的不等式，例如等周不等式， b 1 1 l l l l l m i n k o w s 虹不等式，e k s a n d r 0 v - f e n c h e l 不等式等，参见文献【2 】，【6 】，【1 6 】，【2 2 】， 等在几何分析中，他们的稳定性是十分有趣的，参见【3 】，【5 】，【7 】，【8 】，【l o 】，【2 l 】等在凸 几何中，一个不等式可以表示为 西( 的o ，( 1 3 ) 其中o ：汐一r 是一个实值函数，且( 1 3 ) 假定对所有的k 汐成立记为所有 使得( 1 3 ) 式等号成立的k 足汐，即西( 的= o 对足叼恒成立例如，当以= 2 时， 令p ( 的记平面凸区域x 的周长，以( 幻为它的面积，西( 酌= p ( 幻2 4 翮( 砷，( 1 3 ) 式就 是r 2 中经典的等周不等式，这时，铭就是平面上所有的圆盘构成的集合 我们感兴趣的是( 1 3 ) 式的稳定性问题所谓不等式( 1 3 ) 的稳定性指的是 当( 的接近于零时，k 是否接近馏中的某个元素为了更精确地描述稳定性问题，引 入一个在某种意义下可以度量两个凸体之间的偏差函数g ：汐汐_ r 是非常必要 的g 应该满足以下条件： ( i ) g ( 匠d o 对任意墨l 汐成立； ( i i ) g ( 墨d = o 当且仅当k = l 若，叼，g 给定，则几何不等式( 1 3 ) 的稳定性问题可以描述如下： 寻找正常数c q 满足：对任意芝0 。若 ( 的s ，( 1 4 ) 则存在l 铭使得 g ( kd 扩 ( 1 5 ) 或等价地， 寻找正常数c ，口满足? 对任意k 汐，存在一个l 仁可能依赖于剧使得 m ( k ) 昭( k d 口( 1 6 ) 2 加强的反向等周不等式及其稳定性华东师范大学 在本文最后一章中，我们将讨论第三章得到的加强的反向等周不等式的稳定性问 题，我们将证明这个反向等周不等式在h a u s d o m 度量和如度量下都有稳定性结果利 用证明稳定性结果的方法可以将这个反向等周不等式加强为更强的不等式，从而在某 种程度上回答了【1 8 】中提出的问题 3 第二章预备知识 本章将给出一些本文要用到的基本事实 2 1m i n k o v s k i 支撑函数及其f o u r i e r 级数 设k 铲是一个平面凸区域，边界曲线为y ，且假定r 2 的原点d 落在k 或y 的 内部，令访是r 2 中一个单位向量，l ( 功是k 关于口的支撑直线( 与矗垂直且与k 的交 点在k 的边界上) 从d 到直线l ( 力的有向距离，记为日( 彩，称为翩或y 的 “，l 幻眦殷支 撑函数由于蟊通常可以由从工轴正半轴到露的有向角决定，记为玩即疗= ( c d s 以s 伽d ， 所以我们也可以用日( 国来代替日( 力容易看到，若边界曲线a k 足够光滑，日( 缈是一个 连续的以幼为周期的函数边界曲线y 可用支撑函数表示，即 认d = “l ( 田，讫( d ) = ( h ( 目) c o s p 一日7 ( os i n 良日( p ) s i n p + ( dc o s 印， ( 2 1 ) ( 参见【1 3 】) 设七( 为曲线的曲率，p ( d 为曲率半径，则有 = 塞= 丽晶而 o ， ( 2 2 ) 其中s 是曲线y 的弧长参数 p ( d = 笔= 日( d + 日”( 回 ( 2 3 ) 和前面一样，我们仍用p ( 的记k 的周长，也就是边界曲线7 的长度，口( 的为k 的面积， 也就是边界曲线y 所围区域的面积口( 们，则有( 详细推导过程请参见【1 】，【1 3 】) ， p p ( 幻= j日( p ) 瑚， ( 2 4 ) 4 加强的反向等周不等式及其稳定性华东师范大学 若k 的边界曲线y 足够光滑，那么有 口( 的= 三f 【铲( d 一2 ( 】加 ( 2 5 ) 为叙述方便，本文中不再区分p ( 回或p ( 7 ) ，口( 厨或口利用支撑函数可以定 义k 铲的跏加p r 团盘，即圆心在龇加p r 点，半径为学的圆盘，记为s ( k ) ， s t e i n e r 圆盘在本文中起着非常重要的作用其中舭历p 厂点，记为吱两，定义为 反目= 三广裥h ( d 掘 ( 2 6 ) 刀j 0 关于凸体的跏拥p ，点的更多性质请参考【1 2 】，【1 9 】， 2 0 】 因为一个给定的凸区域x 的支撑函数总是连续有界的，且以2 7 r 为周期，所 以叫d 可以展开成如下形式的f o u r i e r 级数： ? 1 日( d = 口o + ：( c o s 棚+ 巩s i n 棚i ) 篇 关于p 求导可得 ? _ 日7 ( 缈= ：刀( 一锄s i n 刀p + 坟c o s 咒既 ：= i 日7 ( d = 一甩2 ( c 。s ，z p + 玩s i n ，l d 由( 2 4 ) ，( 2 6 ) 及日( 目) 的f 0 嘶e r 级数可以得到 p ( 酌= 2 7 嘶， 双k ) = ( 口l 扫1 ) 利用p a r s e v a l 等式，我们有 r 铲c 伽川如喜暖协 卜2 c 惝= 丌和蠢椭， 上蚋踟善以z + 砖) ， 联合( 2 5 ) 可得 口( 目= 丌口3 一琴2 1 ) 暖+ 砖) 5 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 加强的反向等周不等式及其稳定性 华东师范大学 2 2 单位速率外法向流 y 是一条平面闭凸曲线，记畎d 圭帕( ，假定曲线上每一点都沿着该点处曲线的 外法向运动，则形成平面上一族简单闭曲线粥力，初始曲线为认只o ) ，即帕( 毋因此 曲线的发展问题可以如下表示： i 掣堋， 亿。 l7 o ) = 帕( 缈 利用单位速率外法向流的有关结论【1 7 】，通过计算可以得到以下结论： 引理2 1 设认p ，f ) 为f o 时刻的曲线，则有下列式子成立： p ( 日，d = p ( p ，0 ) + f ； ( 2 1 1 ) 地d = 嵩淼； ( 2 1 2 ) p ( f ) = p ( 0 ) + 勿盯；( 2 1 3 ) 口( f ) = 口( o ) + p ( o 弦+ ，( 2 1 4 ) 其中j d ( 日，f ) ，七( 9 ，f ) ，p ( f ) ，口( f ) 分别为f 时刻曲线y f ) 的曲率半径，廊率，周长及所围区域 的面积b 上面( 2 1 4 ) 式称为s 劬e r 多项- 式显然，等周差矿一4 万口为单位速率外法向流的 不变量 2 3 偏差度量 令置和l 是两个凸区域，他们的支撑函数分别是玩和眈人们常用h a u s d o f f r 距 离来度量l 和k 的偏差，h a u s d o r f r 距离的定义如下： ( e l ) = 呼l 巩( 功一版( 力i h a u s ( 1 0 r f r 距离在凸几何中占有非常重要的地位，例如在【l 】，【2 】都有详细介绍文献 2 3 】，【2 6 】中还提出了很多其他的关于凸体的偏差度量，在这些度量中，对我们的稳定性 问题尤其重要的是如度量它定义为 姒墨d = ( f 慨一仰1 2 叫v 2 6 加强的反向等周不等式及其稳定性 华东师范大学 显然，由支撑函数的连续性可知j l l ( k d = 0 ( 或| 1 2 ( 墨d = o ) 当且仅当k = 上“ 引理2 2 若k 铲是任意一个团盘则有 | 1 2 ( k 鄹2 = j 1 2 ( 五s ( 回) 2 + 1 2 ( s ( k ) ，的2 ， 其中s ( 酗是k 的s t e i n e r 圆盘特别地把姒k ，蜀看成是x 的函数，则当且仅 当x 是k 的s f e i n e r 团盘肘，j 1 2 ( k 的取得最小值 证明设墨五s ( k ) 的支撑函数分别是鲰，圾，凰( 的，他们的f o 嘶e r 级数分别 为 删) = 等+ 孔c o s 肌蜥删， 哦= 粤+ 口lc 刚怕s i n 以 z 7 r ( 柳= 訾+ 口l c o s p 岫枷 利用p a r s e v a l 等式，我们有 ( 丘x ) 2 = 去仞( k ) 一p a d ) 2 + 7 r ( ( n l 一口1 ) 2 + ( 6 l 一1 ) 2 ) + 7 r 三( 口：+ 砩) ， 吃( 墨s ( 目) 2 = 万_ ( + 砖) ， = 2 如( s ( 的，x ) 2 = 击p ( k ) 一以x ) ) 2 + 7 r ( ( 口l 一口1 ) 2 + ( 6 l 一声1 ) 2 ) ， 由上述三式引理可得证 2 4 曲率中心轨迹的一些性质 令声是平面上严格凸曲线y 的曲率中心轨迹，则卢( d = 够l ( ，屁( 缈) 可表示为 卢( 臼) = 认缈一p ( 缈改p ) = ( 一日7 ( 目) s i np 一日”( c o s 良日7 ( c o s 日一日( ds i n ， ( 2 1 5 ) 其中敢d = ( c o s p ，s i n d 是曲线y 的单位外法向量 命题2 3 由曲率中心轨迹8 所围的有向面积是非正的且若p 是简单的，则p 的定向是 和初始曲线7 的定向是柏反的，岱的全曲率为_ 2 7 c 7 加强的反向等周不等式及其稳定性 华东师范大学 证明利用格林公式我们可以计算出由卢所围成的区域的有向面积z i ( 7 ) ，由( 2 1 5 ) 可 得 卢l 码& 一仍妒l - h 知) ( 日( 缈+ f ( p ) ) 瑚， 因此 = 三p ，啦一屁鳓= 三f 肌d ( 川删，) 加= 三r ( 帕d 叫，2 ) 瑚 对以2 万为周期的c 2 实值函数，利用w 矾n g e r 不等式可得a o ，即p 和初始曲线7 的 定向相反，且卢的全盐率为一2 丌注意到p 未必是凸曲线 下面这个命题对我们证明加强的反向等周不等式至关重要，证明参见【1 8 】 命题2 4 。7 是平面上一条俨严格凸的闭曲线p 是7 的曲率半径舐n 是曲线7 所围 的面积酞n 是p 所围的有向面积，则我们有 f 矿硼= 2 ( 口( 力+ i 石( y ) i ) ( 2 1 6 ) 假定日( 国充分光滑，我们也可以利用日( d 的f 0 谢e r 系数把面表示出来，即 陬y ) i 三荟俄 1 ) ( + 砖) ( 2 1 7 ) 8 第三章加强的反向等周不等式 3 1 一个新的等周不等式 定理3 1 平面上一条俨严格凸的闭j 曲线7 ，p ( 谚和口( y ) 分别是y 的周长和它所围区 域的面积那么我们有 广p 2 ( d 加世幽， ( 3 1 )fp 2 ( d 加丛生二竺业，( 3 1 ) j 0 以 其中p 是7 的曲率半径更进一步有( 3 1 l 中等号成立当置仅当曲线丫是圆圈 证明当曲线y 是圆时，( 3 1 ) 中等号显然成立如果我们能够证明，当曲线y 不是圆时， 有户矿( 硼 改宅竽垃，那么定理得证这个结论是如下定理的直接结果 定 理3 2 如果曲线7 是平面i 严格凸的c 2 非圆闭曲线郡么我们有 广以d 相 牮 ( 3 2 ) j o a 为了证明这个定理，我们需要引入一些新的定义令 允是s t e i n e r 多项式口( 力的 两个根，其中， 口( 力= 口( o ) + p ( o ) f + 7 萨 令n 和匕分别是曲线y 的最大内切圆半径和最小外接圆半径( 分别被称为曲 线7 的内半径和外半径) 记七是曲线7 的曲率，p2 是曲率半径，设p 一和舳分别 是p 的最大值和最小值当曲线y 是圆时，这些量都是相等的，如果曲线y 是凸的非圆 曲线，那么有 叩懈 如 一心 一云 一n o ，便得 胪刍岫舻刍地 证明由定义3 1 ，我们知道j d l 见是自然满足的因此，只要能够证明，如果p 1 = 成， 则曲线7 是圆就可以了 假设 胪妻j ：从瑚= 化= 妻j ! ：p c 惝， 那么对任何jcs 1 ，只要满足上枷= 万，就有 三肛惝钠 因此，任一点a y ( d ，设以是点a 处单位外法向量威以) 与工轴正方向的夹角任 取g 0 。记 厶= ( 以一s ，以+ 功c ， 那么 一( d 硼= j ：厶舢肌上舢m ( 3 4 ) 1 0 加强的反向等周不等式及其稳定性华东师范大学 在区间j 厶上，类似地，可取另外一点曰y ( p ) 和相应的角如，并且 b = ( 如一8 ，如+ dcs 1 显然有c 瑚= = 搠= 拈，因此 j l j l a c d 硼= 上厶删枷+ 上删硼 由( 3 4 ) 和( 3 5 ) ，可以得到丘p ( 硼= 丘从劬拥利用中值定理，有 上户( 枷= 劲( 钔岛上p ( d 硼= 劲( 如k 其中口l 【以一b 以+ 胡，如【如一岛如+ 翻因此 p ( p 1 ) = p ( 晚) 令s o ，则吼_ 以，如_ 如，所以 p ( 以) = p ( 6 l b ) 由点a 和点曰的任意性，可知p ( 鳓= c 伽s f 也就是说，曲线7 是圆 ( 3 5 ) 口 命题3 3 若曲线7 是中心对称的严格凸的非圆闭曲线那么有队 一境 证明由于曲线是中心对称的，我们知道曲线在由反d 确定的方向上宽度满 足坛回= 2 日( d ，即是支撑函数日( 缈的2 倍因为曲线y 是凸的，所以宽度满 足2 n 坛毋2 ，因此对所有的p n 日( 此式与( 3 3 ) 式说明，一f l 日( d o 因此有 一1 ， 一如，等价于证明易 ， 在 上，p ( d c ，同时在如上，p ( c 然而p ( 三c 至多可能在其中一个区间 上恒成立，除非曲线y 是圆假设在，l 的某个小区间正1 上，有p ( 回 c ，因此，在区 间正d 上有， 一( 日( 一尝) p ( d c ) ，p ( 一c ) z 7 r 在区间，l 上对不等式两边积分可以得到 一妻上( 日( d 一刍) p ( d c ) 瑚 v p t d ( 3 6 ) 在区间如上，p ( d c 0 ，因此有 一( 日( d 一嘉) p ( d c ) 一，p ( 缈一d 在区间如上对不等式两边积分可以得到 一妻i ( h ( 缈一丢) p ( d c ) 瑚_ 嗽一c ) ( 3 7 ) 将( 3 6 ) 式和( 3 7 ) 式相加，得 一三f 。( 日( 一参) p ( 一c ) 枷 如t 一见) 不等式左边可化简为 壶p 2 一锄) = 2 伊， 右边是2 谚即原不等式为2 伊 碧+ 巫尝垫，从小番+ 煎等垫 因此， 烈加警+ 三 煎訾塑+ 煎尝垫】 而我们需要证明的不等式是 p 。咖丢+ 巫盥亳型 能够证明出如下不等式即可， 而我们有 原命题得证 ”q l + p 2 ) 2 4 7 r ( 口l + 口2 ) ”= 獗一4 翮l + 砺一锄2 =p l + p 2 ) 2 + l p 2 ) 2 4 丌( 口l + 口2 ) q l + m ) 2 4 丌( 口l + 口2 ) 1 3 口 加强的反向等周不等式及其稳定性 华东师范大学 下面两个引理的证明在参考文献【1 1 】中可以找到，本文将证明过程省略 引理3 5 如果，( 曲是定义在( o ，+ ) 的凸函魏那么 去f 。f 似劝枷三【f p - ) + ，娩) 】 引理3 6 如果f ( 曲是定义在( o ，+ o o ) 的严格凸函数，那么对任意的c ，存在s f o ， 满足 f ( c f ) + ，( c + f ) y o ，以及引理3 6 有 f ( p 1 ) + ，( 晚) ，( 一“) + ，( 一如) 令，= r ，应用引理3 5 司以得到 去f p 2 ( d 棚三瞄+ 虞) ( 3 9 ) 式则变为 彳+ 咖砰+ 磋= 乌竽 通过简单计算可以得到 fp 2 宰， 定理得证 3 2 反向等周不等式 现在，由定理3 1 和命题2 4 ，很容易得到如下结论： 1 4 ( 3 9 ) 加强的反向等周不等式及其稳定性华东师范大学 定理3 7 若y 是平面上严格凸的闭曲线其长度为p ( 力，所围区域的面积为口( ”， 令舐呐记y 的曲率中心轨迹所围区域的有向面积。则有 p ( ”2 4 7 m ( y ) + 2 丌i a ( 7 ) i ， ( 3 1 0 ) 且等号成立时当且仅当y 是一个凰 口 下面这个结论是经典等周不等式和我们的反向等周不等式( 3 1 0 ) 的直接推论 推论3 品令8 是平面上严格凸的闭曲线7 的曲率中心轨迹那么由p 所围区域的 有向面积a 为零当且仅当7 是一个圆周此时p 只能是7 的中心 口 1 5 第四章加强的反向等周不等式的稳定性及改进 4 1 反向等周不等式的稳定性 在本节我们给出在厶度量和h a u s d o m 距离下反向等周不等式的稳定性结果 定理4 1 令髟是c 2 的严格凸区域其面积为口( k ) ，周长是p ( k ) ，令a ( 的记边界曲 线8 k 的曲率中心轨迹所围的有向面积s ( 酗为k 的s t e i n e r 圆盘那么 打i a ( 的i - 似的2 4 丌口( 的) 6 砌2 ( 墨s ( k ) ) 2 ( 4 1 ) ( 4 1 ) 式中等号成立当且仅当k 的支撑函数具有如下形式的展开式 日( = 伽+ 口lc o sp + 口2c o s 2 p + 6 ls i np + 如s i n2 反 证明不妨假定政k ) = d ，由( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，h k 和风( 勋的f 0 砸e r 级数分别为 ( = 警+ 妻c 。删+ 玩s i i l 蛾 z 丌厶 = 訾 利用p a r s e v m 等式我们可以得到 ) 2 _ 上瞰缈幽的阳= 丌驴+ 砩) 由( 2 7 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 7 ) 可得 2 7 r 陋( 的l p ( 的2 4 7 m ( k ) ) = 7 r 2 研2 1 ) ( ，1 2 2 ) ( + 砩) 6 7 r 2 ( 以：+ 玩) n = 2 = 6 7 讯2 ( 墨s ( k ) ) 2 1 6 加强的反向等周不等式及其稳定性 华东师范大学 进一步，很容易看到等号成立当且仅当 j k ( 6 ) = 口o + 口lc o s p + 口2c o s2 9 + 易ls i n9 + 易2s i n2 口， 这里c 1 2 ，境相对于咖是很小的数在证明( 4 1 ) 过程中，我们发现了2 7 r l z i ( 聊i q ( k ) 2 4 丌口( 的) 的一个具体表示式( 利用f o 面e r 系数) ，即 2 丌i a ( 的i _ ( p ( 幻2 4 翮( 的) = 7 r 2 ( ，1 2 1 ) ( ，1 2 2 ) ( 口：+ 砖) ( 4 2 ) n = 2 因为c o s 加+ 玩s i n 咒纠5t 蕊，所以有 l 鲰( d 一凰( 勋( 回l = l 口o + ( c o s ，z p + 以s i i ln d 一( 口o + 口lc o sp + 6 ls i n 缈l 一= l l 口n c o s ，l p + 玩s i n ，l p i 口：+ 噬 n = z 开= z 利用h 6 l d e f 不等式有 | l ( ks ( 的) f ：+ 嵋 s ( 薹赢) 啦( 争叫舻暖驯胆 而 薹击= 三薹c 击一南，= 未 茎南= 丢茎c 圭一熹，= 淼， 且 薹南= 薹c 去一去， 弋1l弋1， l i 、 7 一= = ，i l 乏( ，1 2 一1 ) ( n 2 2 ) 丢、以2 2 疗2 1 ， = 薹去一三= 芝去+ 南 一刀- 一4 - 一玎- 一，r m =z 一= 6 艺南+ 南 ) ：+ _ _ h o 一4 n m 3 1 951 0 9 l = 一+ 一= 一 1 6 8 0 。6 4 45 5 2 0 l ；， 加强的反向等周不等式及其稳定性华东师范大学 结合( 4 2 ) 可得 ( 五s ( 的) 2 圣萨栖量( n 2 1 ) ( n 2 2 ) ( 口：+ 砖) n=z = z 1 ，其中，等号成立当且仅当k 是一个圆盘即只要c 是一个大于1 的实数， r 44 、由笠昙融古当日徊当r 县一个圃般 参考文献 【1 】w jb l a s c h k e ，k r e i su n dk u g e l ，2 n de d g m y t e r b e d i n ，l9 5 6 【2 】t b 0 n n e s e n ，w f e n c h e l ，t l l e 嘶ed e rc o n v e x e nk 6 驴r ，c h e l s e ap u b l i s h i n g ，n e wy o 如 1 9 4 8 【3 】k j b 6 成z b - s t a b i l i t yo fn l eb l a s c h k e - s a l l t a l 6 ，a n dt l l ea 伍n ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i 一 矗e s ，p i e p r i n t o c t 2 0 0 7 【4 】i c 1 1 a v e l ，i s o p c r i m e t r i ci n e q u a l i t i e s ，d i 仃e r e n t i a lg e o m e t r i ca i l da n a l 妒cp e r s p e c t i v e s ， c o m l m d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，2 0 0 1 【5 】b f u g l e d e ，s t a b i l i t yi nt h ei s o p e r i n 舱t r i cp r o b l e m ，b u u l 0 n d o nm a t t l s 0 c 18 ( 1 9 8 6 ) ， 5 9 9 - 6 0 5 【6 】r j g a r d n e r b m 皿一m i n k o w s l 【ii n e q u a l i 吼b u n m a t h s o c 3 9 ( 2 0 0 2 ) ，3 5 5 4 0 5 【7 】h g r o e m e r s t a b i l 时p r o p e f t i e s0 fg e o m e t r i ci n e q u 枷t i e s ，舢n e r m a t h m o n 吐1 1 y 9 7 ( 1 9 9 0 ) ，3 8 2 3 9 4 【8 】h g r o e m s t a b i l i t ) rp r o p e n i e s0 fg e 伽n e t r i ci n e q u a l i t i e s ，i n ：h 锄d b o o ko fc o n v e x g e o m e 咄p m g n 航r 孤dj m w i u s ( e d s ) n o n l lh o l l a n d ，1 2 5 1 5 0 ，1 9 9 3 【9 】h g r o e m e r g e o m e t r i ca p p l i c a t i o n so f f o u r i e rs 嘶e sa i l ds p h 矗c a lh 姗o n i c s ，c a m - 嘶d g eu i l i v e r s 时p r e s s ，1 9 9 6 【l0 】h ( 孙m e r r s c h n e i d e r s t a b i l i 哆e s t i m a t e sf b fs o m eg e o m e t r i ci n e q u h t i e s ，b u n l 0 n d o nm a m s o c 2 3 ( 1 9 9 1 ) ，6 7 7 4 【l l 】m g r e e n & s o s h e r s t e i n e rp o l y n o m i a l s ，w b l f ff l o w s ，锄ds o m en e wi s o p e r i m e t r i c i n e q u a h t i e sf o fc o n v e xp l a i i ec u n ，e s ，a s i aj m a t h 3 ( 19 9 9 ) ，6 5 9 柳6 加强的反向等周不等式及其稳定性华东师范大学 【l2 】b g m n b a u m ，c o n v e xp o l y t o p e s ，j o h i lw i l e y s o i l s ，l o n d o n n e wy o r k s y d n e y 1 9 6 7 【l3 】c c h s i u n g ，af i r s tc o u r s ei i ld i 舵r e 而a lg e o m e 略p i l r ea p p l i e dm a n l w i l e y n e w y 0 r k1 9 8 1 【l4 】r h 0 w 卸r d & a 1 r e i g e 略s ，ar e v e r s ci s o p e r i m e t r i ci n e q u a l 咄s t a b i l i 哆a n de x 骶m a l t h e 删f ；d rp l 柚ec u r v e sw i t l lb o u n d e dc u r v a t u r e ，r o c k ym o u n t a i nj m a t l l 2 5 ( 19 9 5 ) ， 6 3 5 6 8 4 【15 】a h m w i t z ，s l l rq u e l q u e sa p p l i c a t i o n sg e o m e t r i q u e sd e ss e r i e sd ef b u r i e r a n n e c o l e n o h n 1 9 ( 1 9 0 2 ) ，3 5 7 4 0 8 【l6 】r o s s 锄a l l ，1 1 他i s o p e r i r n e t r i ci n e q u a l i t i e s ，b u l l a m e r m a m s o c 8 4 ( 19 7 8 ) ，l l 8 2 一 1 2 3 8 【l7 】s l p a n ，an o t eo nt h eg e n e r a lp l a n ec u e v ea o w s ，j m a t h s t u d y3 3 ( 2 0 0 0 ) ，l 7 2 6 【18 】s l p a n h z l l a i l g ，ar e v c r ! 沧i s o p e r i m e t r i ci n e q u a l 毋f o fc o n v e xp l 锄ec u r v e s ， b e i 乜i i g ez u r g e b r a u n dg e o e m t r i e4 8 ( 2 0 0 7 ) ，3 0 3 - 3 0 8 【19 】r s c h i l e i d e r k r 讧砌f i l u n g s s c h w e 印u n k t ek o n v e x e rk 研p c ri ，a b h m a m s e m u n i v h 卸：l b i l r b3 7 ( 1 9 7 2 ) ，1 1 2 1 3 2 【2 0 】r s c l l i l e i d e r l 湖m 删l n g s s c h w e 删i l | 池k o n v e x e r - 姗，a b h m a t l l s e m u i l i v h a m b l i r b3 7 ( 19 7 2 ) ，2 0 4 - 217 【2l 】r s c l l i l e i d e r as t a b i n t ) ，e s t i m a t ef o rm ea 1 e k s a l l d r o v f e n c h e l i n e q u a l i 吼w i m 柚a p p l i c a t i o nt 0m e 强c u ；l n 玳，m a i l u s m a m 6 9 ( 19 9 0 ) ，2 9 1 3 0 0 【2 2 】r s c l l l l e i d e r c o n v e xb o d i e s ：t t l eb r i l n n m i n k o w s km o 吼c 锄晰d g eu n i v e r s 时 p r e s s ，c a m l 证d g e n e wy c r