（基础数学专业论文）某些半群的结构.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 砍爱手 导师签字 学位论文版权使用授权书 妒芳 本学位沧文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 盈可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者虢始平 签字同期：2 0 0 多年年月愕同 导师酶孑铷芳 签字日期：2 0 0 r 年唯月妒 些查盟堇盔堂亟堂焦堡塞 ! 某些半群的结构 张爱平 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本论文主要研究某些半群的结构，其主要思想是利用次直积和织积来刻画某 些特殊的完全正则半群的结构，利用广义格林关系和根据广义正则半群的幂等元的 集合的某个子集的结构来研究广义正则半群的结构 正则半群特别是完全正则半群是一种极其重要的半群，本文将研究某些纯整的 完全正则半群的结构，并将其推广到相应的广义正则半群上全文共分两章 第章，主要对l r 一拟正规半群及l r 一拟正规一e | u e s l l l a n n 半群的结构进行 了描述介绍了l r 一拟正规半群的概念，即幂等元的集合为l r 一拟正规带的完 全正则半群，得到了一些这种半群的结构定理，推广了m ks e n ，s h a m i kg h o s h 和 s t l l n a l l ap a l 关于l r c 半群的结果然后又介绍了l r 一拟正规一e h r e s m a n n 半群 的慨念，它是l r 一拟正规半群在“一丰富半群范围内的推广 第二章，主要刻画了l r 一半正规一e i n ( s l l a r l r l 半群及l r 一半正规半群的结 构首先给出了l r 一半正规一e h r e s n l a m i 半群的定义，即投射集u ( u e ( s ) ) 为 i 艮一半正规带的纯整“一丰富半群，描述了这种半群的半织积结构和一积结构 然后定义了l r 半正规半群，即幂等元的集合为l r 一半正规带的完全正则半群， 得到相应的结构定理其中l r 一半正规一e h r e s m a n n 半群可被看作为l r 一半正规 半群在“一丰富半群范围内的推广 关键词：l r 一拟正规半群，l r 一半正规半群，l r 一拟正规一e h r e s l l l & l l l l 半 群，l l 半正规一e h r e s m a n n 半群， c e h r e s l n a n n 半群，“一丰富半群，半 织积，积 分类号：0 1 5 27 些查垣堇盔兰亟堂焦迨窒 2 s t r u c t u r e so fs o m es e m i g r o u p s z h a n ga i p i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 14 ，p rc h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h es t r u c t u r e so fs o m e s e m i g r o u p s t h er n a i l li d e ai st o d e s c t i b et h es f u c t l u e so f s o n l es p e c i a lc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sb ys u b d i r e c tp t r o d u e t a n ds p i n e dp r o d u c t ，t od e s c r i b e t h es t r u c t u r e so fg e n m i a l i z e d r e g u l a rs e m i g t o u p sb y g e n e li a l i z e dg i e e l r e l a t i o n sa n di nt e r m so ft h es t r u c t u r e so ft h es e to fs o m ei d e m p o t m i i s i ng e n e r i a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s r e g u l a rs e m i g r o u l s ，p a r t i c u l a r l yc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sa r eac l a s so fv e l - y i n l p o r t a n ts e l n i g r o u p s i nt h i sp a p e r ，t h es t r u c t u r e so ts o n i co r t h o d o xc o m t l e t e l yr e g u l a r s c m i g lo l l p sw i l ll i ed e s c r i h e da n dt h e nw i l lb eg e n e r i a l i z e dt os o n i cg e n e r i a l i z e dr e g u l a r s e n f i g r o u p sa c c o r d i n g l yt h e r ea r et w oc h a p t e r s i nt h ef i ts t , c h a p t e r w ed e a lw i t hl r q u a s i n o r i n a ls e l n i g lo u p sa n dl r q n a s i n o r u l a l e h r e s m a l l l ls e m i g t o u p s w ei n t r o d u c et i l ec o n c e p to f l r q u a s l n o r n l a ls e r n i g r o u p s i e t h e ( o m p l e t e l yl e g u l a is e m i g r o u p sw i t ht h es e t 昔fi d e m p o t e n t sb e i l l gl r - - q u a s i n o l _ n l a l b a n ( i s ，o b t a i n i n gs o t l l es 1 r u e t t l r et h e o r e m so fs u c hs e m l g t o u p sr e l a t ，e dr e s u l t so h t a i n e d i 】ymk s e ns h a n l i kg h o s ha n ds n m a n ap a lo nl r cs e m i g r o u p sa r eg e n e r i a l i z e d t h e nw ei n t r d u c et l l ec o n c e p to fl r q u a s i n o r m a l e h r e s m a n ns e m i g r o u p s w t l i c hc a l l b ev i e w e da st h eg e n e r i a l i z a t i o no f l r q u a s i n o r m a ls e n l i g r o u p si l lt h er a n g eo f l i b e r a l s e m i g r o u p s i nt h es e c o n dc h a p t e r w ed i s c u s st h es t r u c t u r e so fl r s m n i n o r m a l e l u e s n l a n n s e m i g r o u p sa n dl r s e n i i l l o r l l l 3 is e m i g r o u p s f i r s t l y w eg i v et i l ed e f i n i t i o no fl r s e l l l i u o r n l a l e h l e s i h a u l ls e n f i g r o u p s ) i l et h eo r t h o d o x - , - l i b e r a ls e n f i g r o u p sw i t ht h es e t , o ff _ ) f o j e c t i o n sb e i n gl r s e l n i n o r n l a lb a n d s ，o b t a i n i n gt h es e m i s p i n e dp r o d u c ts t r u c t u r e s a n dt h ea p r o d u c ts t r u c t u r e so fs u c hs e m i g r o u p ss e c o n d l y ，w ed e f i n el r s e m i n o r n l a l s e m i g r o u p s ，i e ，t i l ec o m p l e t e l yr e g u l ms e m i g r o u p sw i t ht h es e to fi d e m p o t e n t sb e i n g l r s e l n i l l o ir e a lb a n d s o b t a i n i n gs o m es t r u c t u r et h e o r e m s v i r t u a l l yl r s e l n i n o r l n a l 一 7 2 0 1 1 r e s l l l a n ns e m i g r o u p sc a l lb ev i e w e da st h eg e n e “a l i z a “o no fl r s e n l i n o lm a s e m i 一 坐查堕垂查望亟堂鱼堡塞3 g r o u p si nt h er a n g eo f 甜一l i b e r a ls e m i g r o u p s k e y w o r d s ：l r q u a s i n o r m a 1s e m i g r o u p s l r s e m i n o r m a ls e m i g r o u p s l r q u a s i n o r l u a l e l ue g m a u ns e m i g r o u p s ，l r s e m i n o r m a l e h r e s m a n ns e m i g r o u p s c e h r e s m a n n s e m i g r o u p s ，4 一l i b e r a ls e m i g r o u p s ，s e m i s p i n e dp r o d u c t ，a p r o d u c t c l a s s i 最c a t i o n ：01 5 27 一一 些丕盟整盔堂亟主坐鱼堡塞 4 第一章l r 一拟正规半群7 受l r 一 p ：, - v 规一e h r e s m a n n 半群 1 1引言与预备知识 mk s e n ，s t m m i kg h o s h 和s u m a n ap a l 曾定义并刻画了作为左c l i f f o r d 半群和 右c l i f f o r d 半群推广的l r c 半群及其性质结构本章第一部分将讨论比l r c 半 群条件更弱的l r 一拟正规半群的性质及结构 设s 为半群，记s 中全体幂等元的集合为e ( s ) ，若e ( s ) 关于s 中的乘法也 作成半群，则称e ( s ) 为带 定义1 1 1 1 如果一个正则半群s 的幂等元的带满足等式x y z x = x y x z x 即 e ( s ) 为正则带，则称s 为拟逆半群 引理1 1 1 【1 1 设s 是一个拟逆半群，则s 是一个纯正半群，s 上的最小逆半 群同余o - 为 一b 当且仅当v ( a ) = v ( b ) ，其中y ( z ) 是z 的逆的集合 定义s 上的关系 w l b 当且仅当 ( 1 ) a = 5 ( f 表示含。的口一类，x s ) ( 2 ) 存在a + v ( n ) ，b + v ( b ) 使a e a + b e b = b e b + 且b e b + a e a + = o e o + ，对任意的 p e ( s ) 由”t n 足s 上的同余且s r l l 是一个左逆半群 对偶地，定义s 上的关系 2 为 at t 2 b 当且仅当 ( 1 ) a = 5 ( 2 ) 存在n + v ( “) ：b + v ( b ) 使。4 e a b + e b = o + e a 且b + e b a + e a = 扩e 6 ，对任意的 e f f s l 由 1 7 1 2 是s 上的同余且s 7 1 2 是一个右逆半群 引理1 1 2 【t j 一个正则半群是拟逆半群当且仅当它同构于一个左逆半群l 和 一个右逆半群r 的次直积 l r 一拟正规半群s 为拟逆半群，故s 同构于一个左逆半群l 和右逆半群月：的 次直积， 一一一 坐查塑薹盔堂堡主堂焦鲨塞 5 引理1 1 3 1 2 j 一个拟逆半群s 同构于一个左逆半群s q l 和右逆半群s q 2 关 于一个逆半群s a 的织积，此逆半群是s 的最大逆半群同态象， 那么l r 一拟正规半群的结构能否推广到吖一丰富半群上? 本章第二部分将作 这方面的努力 我们知道，半群上的格林关系在正则半群的研究中起着重要作用利用各种广 义的格林关系可以定义和研究一些广义的正则半群在讨论正则和广义正则半群 时我们通常考虑它们的全体幂等元的集合最近，一些作者发现，一个半群的某些 幂等元的集合对描述整个半群的结构非常重要，甚至比全体幂等元的集合更具决定 性，我们将采用l a w s o n 3 介绍的方法考虑半群的某些幂等元的集合 设s 是一个半群，s 的子集合a 中的所有幂等元的集合记为e ( a ) s 中所 有正则元素的集合记为r e g ( s ) s 上的所有二元关系构成的格，所有等价关系构成 的格，所有左同余构成的格，所有右同余构成的格和所有同余构成的格分别记为 b ( s ) e ( s ) ，c ( s ) ，7 z c ( s ) 和c ( 3 ) 设s 为半群，u e ( s ) ，对任意的a s ，令 以= 扣u l u a = 。) ，= t t u l a u = o ) 砜= 叱n 昵 l ；t w s o n 3 1 定义s 上的关系： 7 = ( “6 ) s s f w = 叼) ，宠7 = “n ，6 ) s s f 础= l 2 ) ，霄= e n 宠r h e y o n g 4 定义s 上的关系： 龟“= ( o ，6 ) s s l u , , = 巩) 显然这些关系是s 上的等价关系含有o ( s ) 的龟”，p ，宠“和霄“一类分别记为 龟7 碟，宠￥和裔0l a w s o n 3 】通过一个反例说明伊不一定是一个右同余，而宠“不 一定是一个左同余称s 满足“一右( 左) 同余条件，如果冗c ( s ) ( 宠“c c ( s ) ) ， 称s 满足“一同余条件如果s 既满足“一右同余条件又满足“一左同余条件 定义1 1 2 【4 】一个半群s 称为以e ( s ) 的某个子集u 为投射集的“一丰富半 群，如果它的每个龟”一类包含u 中的一个元素，记s 为s ( u ) 百￥n u 中的唯一 元素记为。易由m 称s 为“一半超富足半群，如果对任意的n s ，西fnu o l z t w s o n 3 称s 是一个“一半富足半群，如果对任意的o s ，￥n u o 、f i ： n u d 定义1 1 3 【5 】一个“一丰富半群s ( u ) 称为一个纯整“一丰富半群，如果【，是 s 的一个子半群，且对任意的n ，b s ，( 0 6 ) 备口( u ) o 加矗，其中口= cv 佗为通常的 格林，d 一关系 些堑堕垂盔堂亟主堂鱼迨塞 定义1 1 4 【6 】一个“一半富足半群s ( v ) 称为一个e h r e s n 】a n n 半群，如果s 满足“一同余条件且u 是s 的一个子半格特别地，投射集包含在s 的中心的 e h i - e s m a n n 半群称为c e h r e s m a n n 半群 定义1 1 5 7 】一个“一丰富半群s ( u ) 称为一个左c e h r e s m a n n 半群，如果u 是 s 的一个子半群，对任意的n ，b s ，有( n 6 ) o u u ，“u ou o u ，且对任意的“uu s s u 定义1 1 6 5 】一个纯整“一丰富半群s ( u ) 称为拟c e h r e s m a n n 半群，如果 投射集u ( u e ( s ) ) 是一个正则带 引理1 1 4 设s 是一个半群，则存在u e ( s ) 使得s ( u ) 是一个拟c e h r e s l n a n n 半群当且仅当s 是有公共c e h r e s m a n n 半群分量t = y ；咒 的一个左c e h r e s m a n n 半群s 1 = y ；厶咒 和一个右c e h r e s m a n n 半群岛= y ；咒a 。】关于半群同态 咖( 2j ) r - z ，( i ，z ) s 1 和啪( z ， ) 卜z ，( 。，a ) 函下的一个织积s 1x t 口，vs 2 引理1 1 5 吲没t = y ；r 是一个c e h r e s m a n n 半群，：f y ；k 1 是一个左 正则带，a = ： y ；a 。 是一个右正则带，设丁f ( j ) 是j 上的左变换半群，丁，( a ) 是a 上的右变换半群，如果下列映射； 满足f 列条件： ( 上1 ) 若( i ，z ) 厶且j ，口，贝0 ( i ，。) 萍j l 日 ( 月1 ) 若( ) 7 0 a 。且“a b ，贝4f ( z ，a ) a 。日 ( l 2 ) 在( l 1 ) 的条件中，若0 1 茎卢，“，_ 臼y ，则( i 劫# j = i ( 儿2 ) 在( r 1 ) 的条件中，若q 卢，o ，卢y ，则“( z ， ) + = a ( l 3 ) 若( t 、。) 厶正。，( ，y ) 如码，贝0 ( i ，z ) 榉( j ，9 ) # = ( ( z ，z ) 带j ，z ) # ( r 3 ) 若( r ，a ) 了0 a 。，( y ，p ) 7 0 a 口，贝4 ( z ， ) + ( g ，p ) 4 = ( x y ， ( v ，p ) 4 ) + 则s ( u ) = u ( l 死k ) 关于二元运算 n r ( i ，z ，a ) ( j ，y ，p ) = ( ( i ，。) 带j ，x y ， ( g ，p ) + ) 构成一个拟c e h r e s m a n n 半群，其中u = u ( 厶 1 ) a 。) n y 反之，每个拟c e h r e s m a n n 半群都能如此构造 引理1 1 6 【5 】设t = 甲； 是一个c e h r e s m a n n 半群，对任意的n rl 和a 。为两个非空集合，且ln 如= a 。n “= o ( n 卢) 作直积r = l 矗和 n ” n l o 1 l j 了 咒 拦抟 些丕堕垂盔芏堡主兰焦堡塞 ! q n 。二咒k ( o y ) - 记s = u ( l 咒a p ) 且u = u ( 1 r ) a 。) x 十i t o 1 n 1 意的n ，7 v7 n ，设映射： 妒。，1 ：p q _ + 丁f ( 0 ) ，( i z ) 一v - - 。( i ，, ，x ) 和 咖。，1 ：q 。 7 - ( a ，) ，( z ，a ) r 斗爱矿 满足下列条件： ( l 1 ) 若( i 。) _ f ：，j l ，贝4 妒2 盖= i ( r 1 ) 若( z ，a ) ( ? 。，肛a 。，贝0 一咖蟹0 = a ( l t ) 若( i ，。) r ，( j ，) 昂，则币! 盘妒譬嚣是厶口上的常值映射，其值记为 ( 心) 若( za ) q 。，( ，) q 口，则曲黝咖爱翻是a 。p 上的常值映射，其值记为 ( l j ) 在( k ) 的条件中，若dsn 卢，n ，卢，6 y ，则妒如? = 妒瓣妒，其中 = 【目3 ) 在( r z ) 的条件中，若ds “卢，d ，卢，d y ，则燃，= 苎咖挈j “其中 一 则s ( u ) = u ( 。rxa 。) 关于二元运算 o 、 ( zz ) ( j ，y ) = ( ，z ， ) 构成一个拟g e h r e s m a n n 半群，其中u = u ( i a ( 1 n a 。) 反之，每个拟c e h r e s n l a n n 半群都能如此构造 定义1 1 7 设b 是一个带，则 ( 1 ) 仃是一个左拟正规带当且仅当对任意的e ，f ，9 b ，e f g = e f e g ( 2 ) b 是一个右拟正规带当且仅当对任意的e ，f ，g b g f e = g e f e ( a ) b 是个左半正规带当且仅当对任意的e ，f ，g b ，e ，9 = c f g c g ( 4 ) b 是一个右半正规带当且仅当对任意的e ，f ，9 b ，g f e = g e g f e 称左零带和幺半群的直积为左幺半群，右零带和幺半群的直积为右幺半群，矩 形带和幺半群的直积为矩形幺半群 若妒是集合x 上的一个变换，i x ，则 表示妒是x 上的一个常值映 射，且其值为 ，而 表示x 上的值为i 的常值映射 坐蔓堕焦杰鲎亟主堂焦坦塞8 1 2l r 一拟正规半群 定义1 2 1 设e 为带，如果e 满足等式( 对任意的e e ) 【对任意的，g e ，e ，9 = e f e g 或对任意的，9 e ，f g e = ，e g e ，则称e 为l r 一拟正规带 易见，每个左拟正规带和每个右拟正规带都是l r 一拟正规带 设s 为半群，e ( s ) 为s 的幂等元集，令 e f ( s ) = e e ( s ) i 对任意的，gee ( s ) ，e ，9 = e f e g ， 日( s ) = e e ( s ) i 对任意的，9ee ( s ) ，9 e = f e g e 引理1 2 2 上述定义的e i ( s ) 为左拟正规带，目( s ) 为右拟正规带 证明对任意的e l ，e 2 e d s ) ，任意的f ，gee ( s ) ，则有e 2 ，= e 2 f f = e 2 f e 2 f = ( d 2 ，) 2 f ( s ) 类似地，e 2 9 ，e l e 2 e ( s ) 因此( e l e 2 ) f g = e l ( e 2 f 9 ) = e l ( e 2 f e 2 9 ) = ( 叩，2 ) 。( 一le 2 h 即p l 印e t ( s ) 故岛( s ) 是一个半群 另一方面，对任意的c 1 ，e 2 、e 3 局( s ) ：易见e l e 2 e 3 = e l e 2 e 1 。3 从而局( s ) 是一 个左拟正规带 对偶地，可以证明日( s ) 是一个右拟正规带 口 定义1 2 3 设s 为完全正则半群，如果s 的幂等元集合e ( s ) 是l r 一拟正规 带，则称s 为i r 一拟正规半群， 显然，对l r 一拟正规半群而言，e ( s ) = e l ( s ) ue ，( s ) 引理1 2 4l r 一拟正规带为正则带 证明 设e 是一个l r 一拟正规带对任意的e ，9 e ，若e f 9 = e f e g ，则 e j 9 ( ：= e f e g e 若f g c = f e g e ，则e f g e = e f e g e 故e 为正则带 口 推论1 2 5 一个l r 一拟正规半群s 是拟逆半群， 证明由引理12 4 即得 口 定理1 2 6 设s 为l r 一拟正规半群，若s 同构于一个左逆半群l 和右逆半 群r 的次直积，则此l 和r 都是完全正则的，即工为左c l i f f o r d 半群，r 为右 c l i f f o r d 半群且对任意的e i e ( l ) ，存在8 2 e ( n ) 使( 8 l ，e 2 ) e ( s ) ，对偶跑，对 任意的c 2 e ( 兄) ，存在e 1 e ( l ) 使( e l ，e 2 ) e ( s ) 用a 。表示t l 的群逆 证明因为s 同构于一个左逆半群l 和右逆半群r 的次直积，故对任意的 n l l ，存在0 2 r 使( a 1 ，0 2 ) s 由s 完全正则，故存在( n i ，。：) s 使 一 些查堕薹杰堂堡主堂丝堡塞鱼 ( a l ，g 2 ) ( a i ，a 2 ) ( a l ，a 2 ) = ( a l ，a 2 ) ( a l a t l o , 1 ，a 2 a a 2 ) = ( n hn 2 ) a l a l l a l 。a l ( a l ，a 2 ) ( a j ，o ! ) = ( o i ，n ：) ( 。1 ，“2 ) ( o , l o , j ，a 2 a 2 ) = ( n ：0 1 ，o 。2 ) ， a l a j = ( a l ， 即叭是完全正则的，从而l 是完全正则的，l 为左c l i f f o r d 半群同理可证r 为 右c l i f f o r d 半群 对任意的e l e ( l ) ，存在a 2 r 使( 8 l ，a 2 ) s 由s 完全正则，故存在 ( e j ，n ：) y ( ( e 1 ，8 2 ) ) 使 有 知 ( e l ，2 ) ( e j ，n ；) ( e 1 ，a 2 ) = ( e l ，a 2 ) ，( e i ，n ：) ( e l ，。2 ) ( e i ，o ；) = ( e i ，o ：) ( e l ，0 2 ) ( e ：，n ：) = ( e j ，a 2 ) ( e l ，n 2 ) ， e l e i e l = e l ，el e j e j e l e j e l e i = e j ， n 2 a 2 0 , 2 = a 2 ( 1 2 a 1 2 = n ：0 2 ，( 1 ；a 2 a ：= ： a o + 。! ) e ( s ) ，a 2 e ( r ) 同理可证，列任意的c 2 e ( r ) ，存在e l e ( l ) 使( e 1 ，e 2 ) e ( s ) 口 定理1 2 7 一个半群s 是l r 一拟正规半群当且仅当s 是左逆半群l 和右逆 半群r 的完全正则的次直积，满足e ( s ) ( e ，( l ) e ( r ) ) u ( e ( l ) e l ( r ) ) 证明必要性设s 是l r 一拟正规半群，则s 是完全正则的且s 是一个左 逆半群l 和一个右逆半群r 的次直积设c = ( e ，e 2 ) e ( s ) ，则对任意的f 9 e ( s ) e f g = e f e g 或对任意的s ，gee ( s ) ，f g e = f e g e 设对任意的，9 e ( s ) ，有e f g = e f e g 下证e 2 e l ( r ) 对任意的，2 蚰 e ( r ) ，由定理12 6 ，存在a 0 ，b oee ( l ) 使( n o ，2 ) ，( 6 0 ，9 2 ) e ( s ) 故有 ( e l ，e 2 ) ( “o ，2 ) ( 6 0 ，9 2 ) = ( e l ，e 2 ) ( 护，厶) ( e l ，e 2 ) ( 6 0 ，9 2 ) ， ( e l a o b o ，e 2 ，2 9 2 ) = ( c l a o e l b o ，e 2 ，2 e 2 9 2 ) ， e 2 尼9 2 = e 2 如e 2 9 2 ， 畦 2 _ ： n e ，= 忙 _。 = e) i i 一： ， e 0 ， 一l e e = 迎 p 幽壅疸墓盔兰堡堂垡鲨塞 ! q 即e 2 目( r ) 设对任意的，g f ( s ) 有，g e = f e g e ，下证el e ( l ) 对任意的，1 ，9 l e ( l 由定理1 2 6 ，存在c o ，d o e ( r ) 使( f l ，c o ) ，( 9 i ，d 0 ) e ( s ) ，从而由f g e = f e g e 得 ( ，1 ，c o ) ( 9 l ，d 0 ) ( e l ，e 2 ) = ( ，l ，c o ) ( e l ，e 2 ) ( 9 1 ，护) ( e l ，e 2 ) ( ，1 9 l e l ，c o d o e 2 ) = ( ，1 e 1 9 l e l ，c o e 2 d o e 2 ) ， f l g l e l = ，l e l g l 。1 ， 即e 1 日( 三) 故e ( s ) ( f 0 ( 上) e ( r ) ) u ( e ( l ) 岛( r ) ) 充分性设s 是一个满足定理所述条件的半群，下证s 是一个l r 拟正规半 群设e = ( e 1 ，e 2 ) e ( s ) ，考虑下列情况： ( i ) e = ( e 】，e 2 ) e ，( l ) e ( r ) 对任意的，= ( f 1 1 2 ) g = ( g h 9 2 ) f ( s ) ，有 ( ，【、如) ( 9 t ，驰) ( e i ，c 2 ) = ( f l g l e l 如9 2 e 2 ) 由c l e ，( l ) 有 g l el = ，1 e 1 9 1 e l ，由r 右逆知9 2 e 2 = e 2 9 2 e 2 ，故f 2 9 2 e 2 = ，2 e 2 9 2 e 2 从而 ，9 e = ( f l ，2 ) ( 9 1 ，9 2 ) ( e 1 e 2 ) = ( ，1 9 1 8 l ，2 9 2 e 2 ) = ( ，i e i g 。i ， e 2 9 2 e 2 ) = ( ，i ，2 ) ( e l ，8 2 ) ( 9 i ，驰) ( e l ，e 2 ) = e g e ( i i ) e = ( e 1 ，e 2 ) e ( l ) 目( r ) 对任意的f = ( f 1 ，2 ) ，9 = ( 9 1 ，9 2 ) e ( s ) ，有 ( e l ，e 2 ) ( ，1 。f 2 ) ( p 1 ，9 2 ) = ( e 】，1 9 1 ，e 2 f - z q 2 ) ， 由e 2 西( r ) 有e 2 ，2 肌= 8 2 ，2 2 啦，由l 左逆知e l 1 = e l f l e l ，故e l ，1 9 1 = e l ，1 e 】9 1 从而 e ，9 = ( 。l ，。2 ) ( ，1 ，止) ( g l ，驰) = ( 。l ，1 9 l ，e 2 ，2 9 2 ) = ( q ，i e i g i ，e 2 ，2 e 2 9 2 ) = ( e l ，e 2 ) ( ，l ，2 ) ( e 1 ，e 2 ) ( g l ，9 2 ) = e e g 出丕竖蓖丕堂塑圭芏焦迨塞 ! ! 由条件s 是左逆半群l 和右逆半群r 的完全正则的次直积及引理11 2 知，s 是 拟逆半群，e ( s ) 为带，从而e ( s ) 为l r 一拟正规带，又s 完全正则，故s 为l r 一 拟正规半群 “ 定理1 2 8 半群s 为拟逆半群，表示为一个左逆半群上和一个右逆半群r 的 次直积，则s 是l r 一拟正规半群当且仅当s 是完全正则的，且s ( e ，。( l ) r ) u ( l e l 。( r ) ) 其中研。( l ) = n l ：a a 一1 日( 工) ) ，e i 。( r ) = a r ：口。一1 局( r ) ) 证明必要性。设s 是l r 一拟正规半群，表示为一个左逆半群和一个右逆 半群r 的次直积，则s 是完全正则的设( z ，) s ，由s 的完全正则性及定理1 2 6 知，( z ，g ) - 1 = ( z ，y 一1 ) s ，故( z 。一，y y 。) e ( s ) ，由定理1 2 7 ，有。z _ 1 e r ( l ) 或y y 一1 e l ( r ) 因此。e r 。( 工) 或y e l 。( j r ) 充分性设s 是完全正则的的拟逆半群，表示为一个左逆半群l 和一个右逆 半群，i _ 的次直积，满足s ( e ，。( l ) r ) u ( l 旦。( 固) 设e = ( e le 2 ) e ( s ) ，则 e ，。( l ) 或e 2 而，( r ) 目pe l b ( l ) 或e 2 e f ( r ) 设e 1 e ，( l ) 对任意的 = ( ，i ，2 ) ，g = ( 9 1 ，9 2 ) e ( s ) ，由e 1 e r ( l ) 有，l 9 l e l = f l e l g l e l ，由r 的右逆性 有9 2 e 2 = e 2 9 2 e 2 ，故，2 9 2 e 2 = f 2 e e 9 2 e 2 从而 f 9 e = ( ，l ，几) ( g l ，9 2 ) ( 8 l ，e 2 ) = ，l g l l ，2 9 2 8 2 ) = ( f l e i g l e l 、f 2 e 2 9 2 e 2 ) = ( ，l ，2 ) ( e l ，8 2 ) 0 1 ，9 2 ) ( e l ，e 2 ) = e g e 类似地，若啦e z ( r ) ，则可证e 9 = e f e g 因此e ( s ) 是一个l r 一拟正规带又s 是完全正则的 群 定理1 2 9 设l ，r 和g 分别为左c l i f f o r d 半群 群设0l 叶c 和妒：r _ c 是满同态使得 故s 是l r 一拟正规半 口 右c l i f f o r d 半群和c l i f f o r d 半 ( a ) 对任意的e e ( g ) ，e o 一1 e ，( l ) 或e 曲。目( r ) 则织积s = “o ，b ) l r t a o = b 妨是l r 一拟正规半群 反之，每个l r 一拟正规半群均能被如此地构造， 证明设l ，r 和c 是满足条件( a ) 的左c l i f f o r d 半群，右c l i f f o r d 半群和 c l i f f o 。d 半群对任意的。，6 s ，有a o = 呻因为l 是完全正则半群，故存在n 的 些丕堕蕉丕堂堡主堂焦鲨塞1 2 唯一的逆a 一使a a 。= a - l a 有 a - i 0 = ( a - 1 目) ( n 目) ( o 一1 0 ) = ( n 一1 9 ) ( 6 ) ( n1 9 ) ， b e = a o = ( 胡) ( n 一1 0 ) ( a o ) = ( b 曲) ( 口一1 8 ) ( 蜘) ， 从而a - 1 0 y ( b 咖) 又由a a “= a - t a 知( a o ) ( a 1 0 ) = ( a - 1 日) ( o p ) 从而( 6 ) ( n 1 目) = ( n - 1 目) ( 6 西) 设b 一1 是与b 可交换的唯一的逆，则b 。咖是与砸可交换的唯一的 逆从而a - i 0 = b - t 曲，( a ，b _ 1 ) s 由( a ，b _ 1 ) v ( ( n ，b ) ) 且( a ，b ) ( o ，6 。) = ( n b - 1 ) ( n ，b ) 知，s 是完全正则的， 设e = ( 钆e 2 ) e ( s ) ，则e l o = e 2 咖= h ，对任意的f = ( f l ，止) ，9 = ( g l ，9 2 ) e ( s ) ，若h o 一1 e ，( l ) ，贝0e l b ( l ) ，( ，1 ，a ) ( g l ，9 2 ) ( e 1 ，e 2 ) = ( f t g t e l ，1 2 9 2 e 2 ) ，由 e l e ，( l ) 知，1 9 l e l = ，l e l 9 1 钆又由r 为右c l i f f o r d 半群知9 2 e 2 = e 2 9 2 e 2 f 2 9 2 e 2 = f 2 c 2 9 2 e 2 ，故 f g e = ( f l ，2 ) ( 9 l ，9 2 ) ( c 1 ，c 2 ) = ( f l m e l ，2 9 2 e 2 ) = ( l e l g t e t ，f 2 e 2 9 2 e 2 ) = ( ，l ，2 ) ( e l ，e 2 ) ( g l ，9 2 ) ( e 1 ，e 2 ) = f e g e 类似地，若，。咖“毋( r ) ，则我们可证e ，9 = e f e g s 为l 和r 的织积，则e ( s ) 为带由上述证明知e ( s ) 为l r 一拟正规带，又 因为s 是完全正则的，所以s 为l r 一拟正规半群 反之，设s 为l r 一拟正规半群，则由引理l1 2 ，s 是左c l i f f o r d 半群s v 1 和右c l i f f o ld 半群s q 2 关于c l i f f o r d 半群s o 的织积设e 口e ( s o ) 则存在 q 儿ce 【s 7 n ) e 2 q 2 e ( s q 2 ) 使得( 8 l 町1 ，8 2 叼2 ) s 且( e l | m ) 0 = ( e 2 * 2 ) = e 盯由定 理126 ，有e 【t l lee ，( 剐q 1 ) 或e 2 q 2 e t ( s n 2 ) ，设e l q l 耳( s q 1 ) ， q l ( e a ) 0 ， 贝0e 1 口，1 ，因此，1 1 1 v ( e l q t ) 又s n l 为左c l i f f o r d 半群，因此 e l q l = ( e t 7 1 1 ) ( ，l q l ) ( 8 川1 ) = ( e i n t ) ( f l n l ) ， ，i q i = ( q 1 ) ( e i 口i ) ( ，l 目i ) = ( 五啦) ( e l m ) e ( s 口1 ) 一 些丕竖蕉盔兰堕主堂焦造塞 1 3 对任意的9 1 l ，h t 1 e ( s v , ) 由e l t l e r ( 酬q 1 ) ，有 ( g u l l ) ( h l t h ) ( e l q l ) = ( 9 l q l ) ( e l q l ) ( h l q l ) ( e l q l ) = ( 9 l ”1 ) ( e 17 7 1 ) ( h lt h ) ( 9 l q l ) ( h 1 q 1 ) ( ，l q l ) = ( 9 1 q 1 ) ( 1 q 1 ) ( f u l l ) ( 8 1 q 1 ) = ( 9 1 q 1 ) ( c 17 7 1 ) ( h i g h ) 【f l q l ) ( e 17 7 1 ) = ( g l q l ) ( e l ”1 ) ( f 1