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几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 摘要 本硕士论文由三章组成，主要讨论几类时滞微分方程解的周期性与稳 定性 第一章讨论了一类非线性中立型微分方程 陋( 亡) 一c z ( t r ) 】+ g ( z ( t 一下) ) = p ( t ) ， 周期解的存在性，利用对解的先验估计和m a w h i n s 重合度理论，得到了方 程存在周期解的若干充分条件，这些结果改进和推广了一些已知的结果 第二章讨论了一类具脉冲时滞r a y l e i g h 型微分方程 iz ( ) + f ( x 7 ( 亡) ) + g ( z ( t 一7 - ( t ) ) ) = p ( t ) ，t t i a x ( t i ) = 厶( z ( 蠡) ，z 他t ) ) ， ia x i ) = 五( z ( 屯) ，z 心i ) ) ， 周期解的存在性，利用重合度理论，建立了一系列周期解存在的充分条件 这些结果即使没有脉冲点也是新的 第三章讨论了一类脉冲时滞微分方程 iz 7 ( ) + h ( t ，z ( t ) ) = 厂( t ，z ( 亡一下) ) ，t t o ，t 亡七， l 。( t 者) 一z ( t k ) = 厶( z ( t 凫) ) ，k n ， 零解的3 2 稳定性，利用分析的方法得到了其零解一致稳定的充分条件， 这些结果推广了一些已知的结果 关键词：脉冲；泛函微分方程；周期解；稳定性；重合度理论 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 a bs t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d i e dt h e p e r i o d i c i t ya n ds t a b i l i t yo fs o l u t i o n sf o rs e v e r a lk i n d sd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e ro n e ，b ym e a n so ft h em a w h i n 8c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dp r i o r ie s t i m a t i o n ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o nf o ran o n l i n e a rn e u t r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n x ( t ) 一c z ( t r ) + 夕( z ( t 一下) ) = p ( t ) ， a n d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e d o u rm a i nr e s u l ti m p r o v e sa n dg e n e r a l i z e st h es o m ek n o w nr e s u l t s c h a p t e rt w om a i n l yc o n s i d e r st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o nf o rr a y l e i g h d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s ea n dd e l a y lz ( t ) + f ( x 7 ( t ) ) - i - g ( x ( t 一下( t ) ) ) = p ( ) ，t 亡i a x ( t 1 ) = 五( z ( 屯) ，z 印i ) ) ， 【z 心i ) = 五( z ( 屯) ，z 他i ) ) ， b yu s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e e et h e o r y ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb ee s t a b l i s h e d ， w h i c ha r en e we v e nf o rc a s ew i t h o u ti m p u l s i v ep o i n t s i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ea 2s t a b i l i t yo fan o n l i n e a ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n lz 7 ( 亡) + h ( t ，z ( 亡) ) = ，( t ，z ( 一7 _ ) ) ，t t o ，t t k ， ix ( t - z ) 一x ( t k ) = z k ( z ( t k ) ) ，尼n ， u s i n gt h et h e o r yo fa n a l y s i s ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o u rr e s u l te x t e n d s t h es o m ek n o wr e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s e ；f u n c t i n o a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；s t a - b i l i t y ；c o i n c i d ed e g r e et h e o r y i i 、 ， 几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 绪论 1 问题产生的历史背景 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域有着非常 广泛的应用它在几何学、力学、天文学、物理学及其他学科如核物理、 电子技术、空间技术、星际航行等许多尖端科技领域内，已成为强有力的 杠杆，推动这些学科的发展在现代的生物学、人工神经网络动力学和经 济学等领域，微分方程的理论和方法也是不可缺少的随着科学技术的飞 速发展，人们发现在动力学系统中时滞通常是不可避免的，如电路信号系 统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环 系统、商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调 度问题、工业生产管理、自动控制等领域中都普遍存在着时滞现象，且很 多的问题均可用时滞微分方程为数学模型来加以描述，这使得对时滞微分 方程的研究更具有实用价值由于时滞微分方程解的定性研究成果对预测 事物未来的发展具有重要意义，科学研究工作者特别重视其研究，并取得 了丰富的研究成果( 见文5 7 ，9 ，1 3 ，2 4 1 ) 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一简要概述 一二阶中立型微分方程的周期解 周期解和周期边值问题一直是微分方程理论的一个重要分支，是目前 比较活跃的研究领域，已吸引了众多的学者，并有丰富的结果出现( 见文 献 3 3 ，3 5 ) ，其中文 3 3 作者研究了一类时滞微分方程 z ( t ) + 9 ( x ( t 一7 _ ) ) = p ( 亡) ， 其中丁为常数，g 是连续函数，在文 3 3 中作者在假设 况下，利用重合度理论得到了下面的两个结果 定理a 假设存在常数m ，a 0 满足 ( i ) 9 ( x ) 一m ，当z 一a 时， ( i i ) z g ( z ) 0 ，当l x l a 时， 则方程( 1 1 ) 至少存在一个2 丌周期解 定理b 假设存在常数m ，a 0 满足 ( 1 1 ) 2 7 r o p ( t ) d t = o 的情 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 ( i ) g ( x ) m ，当z a 时， ( i i ) z g ( x ) 0 ，当i x l a 时， 则方程( 1 1 ) 至少存在一个2 r 周期解 问题1在方程( 1 1 ) 中，当9 ( z ) 不是单边有界时，方程( 1 1 ) 存在周期 解的条件是什么? 然而在现实生活中的一些数学模型往往以中立型微分方程为模型( 如 博弈论、细胞中酶反应动力学等) ，考虑方程 陋( t ) 一c x ( t r ) ”+ g ( x ( t 一丁) ) = p ( 亡) ，( 1 2 ) 其中r ，r 时常数 问题2 中立型方程( 1 2 ) 是否仍有周期解? 二具脉冲时滞的r a y l e i g h 型方程的周期解 对r a y l e i g h 型方程 z ( 亡) + f ( x 7 ( t ) ) + 9 ( x ( t 一7 i ( t ) ) ) = p ( t ) = p ( t + t ) ，( 2 1 ) 有好些文章进行了讨论，如 1 7 1 9 】许多模型可以看作( 2 1 ) 的特例，如下 面方程 z ( 功+ g ( x ( t 一7 - ( t ) ) ) = p ( t ) ， ( 2 , 2 ) 在文f 1 7 中，作者在假设厂p ( t ) = 0 的条件下，得到如下结果 定理c如果存在正常数k ，d 与m 使得 ( i ) i 厂( z ) isk ，当z r 时； ( i i ) x g ( x ) 0 且j 9 ( z ) j k ，当d 时； ( i i i ) 夕( z ) 一m ，当z 一d 时， 那么方程( 2 1 ) 至少存在一个t 周期解 在文 2 1 中，作者探讨了对( 2 2 ) 加以脉冲的方程 lz ( t ) + p ( 亡) 夕( z ( t 一下( t ) ) ) = p ( 亡) ，t 如 a x ( h ) = 厶( z ( 如) ，z 俅t ) ) ， ( 2 3 ) 【a x ( 岛) = 4 ( x ( t d ，x i ( 岛) ) ， 这就产生一个问题： 2 几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 问题3方程( 2 1 ) 在有脉冲扰动的情况下，应修正为 fz ( t ) + f ( x 7 ( t ) ) + 夕( z ( 亡一7 - ( 亡) ) ) = p ( t ) ，t 如 a x ( t i ) = 厶( 。( 岛) ，z 他t ) ) ， ( 2 4 ) ia x 心t ) = 以( z ( 屯) ，x i ( 如) ) ， 那么方程( 2 4 ) 存在周期解的条件是什么? 三脉冲时滞微分方程解的一致稳定性 对稳定性的研究既有理论意义又有实际意义，因为在人们生产实践中 的方方面面都要求所在的系统保持稳定，例如，车间里远转的机器如果不 稳定，就可能生产出次品；国家的金融系统如果不稳定就可能引起金融风 暴如今，稳定性理论不断发展，新的课题，新的研究方法不断出现( 见文 献 1 , 9 1 2 ，2 3 2 5 ) 在文 1 0 中，作者讨论了一阶时滞微分方程 z 7 ( 亡) + p ( t ) x ( t 一7 - ) = 0 ，v t t o ，( 3 1 ) 得到如下的结论 ( i ) 如果a ；，那么方程( 3 1 ) 的零解稳定 一 一0 0 多 ( i i ) 如果a i 3 且i p ( s ) d s = ，那么方程( 3 1 ) 的零解一致稳定且渐 进稳定 其中 a = s u p p ( s ) d s 在文 3 2 中，作者将上述方程推广到了脉冲方程 。) = f ( t , x ( t 一7 - ) ) ， 亡。七， ( 3 2 ) 【z ( t 吉) 一x ( t k ) = 厶( z ( t 南) ) ， 、7 得到零解的3 2 稳定性 若将方程( 3 2 ) 修该为 z 7 ( 亡? + h ( t , x ( 亡) ) = f ( t , x ( t 一7 - ) ) ， 亡亡忌， ( 3 。3 ) ， iz ( t 吉) 一x ( t k ) = 厶( z ( 亡凫) ) ， 、7 那么 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 问题4方程( 3 3 ) 的零解稳定性应怎样控制凡( 亡，z ) 才能保证，或者说 h ( t ，z ) 对( 3 2 ) 的稳定性是否有影响? 2本文的主要工作 本硕士论文基于上述思想，其主要目的是研究和回答上述这些问题 第一章讨论了一类非线性中立型时滞微分方程 x ( t ) 一c z ( t r ) + g ( x ( t 一7 - ) ) = p ( t ) ， 周期解的存在性，利用对解的先验估计和m a w h i n s 重合度理论，得到了方 程存在周期解的若干定理 第二章讨论了一类具脉冲时滞r a y l e i g h 型微分方程 iz ( t ) + ，( z 7 ( t ) ) + g ( z ( t 一丁( t ) ) ) = p ( 亡) ，t t i a z ( t i ) = 厶( z ( 岛) ，z 似i ) ) ， la x 他i ) = 以( 。( 岛) ，z 也t ) ) ， 周期解的存在性，利用重合度理论，建立了一系列周期解存在的充分条件 这些结果即使没有脉冲点也是新的 第三章讨论了一类脉冲时滞微分方程 iz 7 ( t ) + h ( t ，z ( t ) ) = 厂( 亡，z 一丁) ) ，t t o ，t t k ， 【z ( t 吉) 一z ( t k ) = 厶( z ( 如) ) ，k n ， 零解的3 2 稳定性，利用分析的方法得到了其零解一致稳定的充分条件， 得到的定理是文 3 2 】的推广 4 几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 第一章二阶中立型微分方程的周期解 本章，我们讨论了一类二阶中立型微分方程 陋( 亡) 一c z ( t r ) + 夕( z ( t 一7 - ) ) = p ( 亡) ，( 1 1 1 ) 其中 c f 1 ，r ，丁是常数，g 是连续函数，受追函数p ：r r 是t 周期连续 函数，并且在区间 0 ，t 上具有零平均值，即 厂丁p ( s ) d s ：0 0 本章利用m a w h i n s 重合度定理和对解的先验估计，得到了方程( 1 1 1 ) 存在周期解的充分条件，这些条件改进了以前的条件 为了完整性，我们首先引入重合度延拓定理【7 1 设x ，y 是b a n a c h 空间，三：d ( l ) cx y 为线性映射， ：x y 为连续映射如果d i m k e r l = c o d i m i m l + ，且i m l 为y 中闭子集，则 称映射l 为指标为零的f r e d h o l m 映射如果l 为指标为零的f r e d h o l m 映 射且存在连续映射p ：x _ x ，及q ：y y ，使得h ：np = k e rq = i m ( i q ) ， 则l i d n k e rp ：( ，一p ) x i ml 可逆设其逆映射为l ；1 ，设q 为x 中的 有界开集，如果q ( 晓) 有界，且l ；1 ( ，一q ) n ：q _ x 是紧的，则称在q 是l 一紧的由于i mq 与k e rl 同构，因而存在同构映射j ：i mq _ k e r l 引理1 1 1 【7 】设qcx 是有界开集，l 为指标为零的f r e d h o l m 映射， 在q 上是l 一紧的假设 ( 1 ) 对任意a ( 0 ，1 ) ，方程l x = a n x 的解满足z 垡a q ； ( 2 ) 对任意x k e rlf qo q ，q n z o ； ( 3 ) d e g j q n ，qn k e r l ，o ) 0 ， 则方程l x = z 在d ( l ) nq 至少存在一个解 为了利用引理1 1 1 ，本章设国= 倒z c ( r ，r ) ，z ( t + t ) 三z ( t ) ) 并具有 范数o = m a x 。阳】i 咖( t ) iv 移c t ，同时设四= _ z l z c 1 ( r ，冗) ，x ( t 十t ) = - - z ( t ) ) 具有范数i i 妒1j = m a x l 咖l o ，i 7 i o 很明显地，国与c ；b a n a c h 空间并 且定义算子a 如下： a ：c r _ c r ，( a z ) ( t ) = z ( t ) 一c x ( t r ) ( 1 1 2 ) 5 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 引理1 2 1 设 1 2一些引理 b ：国_ c t ，( s x ) ( t ) = c x ( t r ) ( 1 2 1 ) 如果l c i 1 ，那么b 满足下列条件： ( 1 ) i i 男l i i c | ，t一丁 ( 2 ) 以i s z ( t ) l d t l c ij o x ( t ) l d t ，比国 证明结论( 1 ) 是明显成立的结论( 2 ) 的证明如下 t tr tf t 一7 以i s z ( t ) l d t j oi c 懈一r ) 恤= i c i 上，) i d s = i cj i x ( s ) l d s 引理1 2 2如果i c i l ，那么a 具有逆算子a - 1 并具有如下性质( 这 里a 由( 1 1 2 ) 定义) ： ( 1 ) 惮。| | 诩1 ，t1 t t ( 2 ) 以i ( a 。f ) ( t ) l d t 南0 f ( t ) i d t ，v f c r 一t1 t t ( 3 ) o ( a - 1 州亡) 陋矿谛以i 弛) v ，国， ( 4 ) 对任意的z 四，( a m ) 他) = ( a x ，) ( t ) ；并且任意的z 僻：= z ：z 、c 2 ( 咒，r ) ，z ( t + t ) 三z ( 亡) ) ，( a x ) ( ) = ( a x ) ( ) 证明 ( 1 ) 由引理1 2 1 得到li b i i i c i 1 ，所以有a - 1 = ( 一b ) ，因此 i a _ 1 | j = ( ，一b ) 。忪南成立 ( 2 ) 明显地， 6 l ， 矽 出 0 御渺 陋 一，i 凇 一叮i， 出厂厶 v i驯i脚堋叫镶 一 渺 凇”触m 几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 因此，把上述不等式带入( 1 2 2 ) ，得到 ( a _ 1 ，) ( ) = 。z 五叁而e 。所以，利用p a r s e v a l s 不等式， 我们得到 ；z ti ( a 。，) ( s ) 1 2 d s = n e z 尚 r! 壶 一急( 1 一l c e 一脚7 i ) 2 2 正斋n e z 卅 = 南亍1z t i f ( s ) f 2 啦 这意味着 , t1r t 以怜1 以s ) 1 2 幽f 钸以i ( s ) 陋 很明显，结论( 4 ) 可由a 。的连续性立即得到 现在，定义如下的算子l l ：d ( l ) c _ 国，l x = ( a z ) ， 这里d ( l ) = 倒z c 2 ( r ，兄) ，z ( t + t ) 兰z ( t ) - 如果i c f 0 和q 【o ，1 ) 使得 z g ( z ) 0 ，v 2d ， g ( x ) # l x l ， v z d ， 8 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 或者 i z ( 亡) i i z ( 亡。) j + 芎i 匀t i z 7 ( s ) l d s 1 。d j - 亍 2 + 三z 2 i z 7 ( s ) i d s ( 1 3 5 ) 。+ t 旧以s 胪d s ) 1 2 ， 皑 u 一。 扣i 。叫2 小，( s 汗瓠 9 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 一z t 拿勺( t ) 2 出= 一z _ ( a z ) t ) ? d t t = 一a 以夕( z ( 亡- - t ) ) z ( 亡) 一c z ( t r ) 】d t + j o p ( t ) z ( t ) 一c z ( 艺一_ r ) 】d t ( 1 + i c l ) l x l o 正f g ( z ( t 一7 - ) ) l d t + ( 1 + l e l ) i x o 痧， 其中万= 居i p ( t ) i d t t ： 设a = d ，b = t ( o ，刁f z ( t ) 一d ，且c = 0 ，t l l x ( t ) l d ) 则利用( 1 3 4 ) ，得到 一厶夕( z ( s ) ) 如2 厶夕( z ( s ) ) d s + 幻( z ( s ) ) 0 l s s 厶即( s ) + 厶1 9 ( z ( s ) ) f d s 其中g o = m a n 。i dj g ( u ) 因此 z ti 夕( z ( s ) ) 旧s = 上i 夕( z ( s ) ) 旧s + 厶f 夕( z ( s ) ) l d s + 厶f 夕( z ( s ) ) f 幽 2 t p l z 孑+ 2 t g d 所以 ，t z ( a z ，) ( t ) 2 d t ( 1 + l c i ) l z | 0 ( 2 t i l l z 悟+ 2 t g d ) + ( 1 + i c l ) l z l 。痧 s2 t ( i + j c | ) 卢| z 皓+ + ( 1 + cj ) ( 痧+ 2 而d ) j z j o 应用引理1 2 2 的第三部分结论，得到 小 ( t ) 1 2 d t = f o tl ( a - ，a x ) ( t ) 2 d t o c 22 可前刈 利用我们的假设a 0 ，1 ) ，可以下结论：对某个j d d ， i x l o p ( 1 3 6 ) 事窭占，垦为钆 c + c 2 u q 对所有充分大的u 成立，集合i t o i u c 。+ c 2 u a ) 一定是有界的 为了证明z 7 也有界，首先注意到 z i x ( t ) l d t2j o i ( a a x ) ( t ) l d t s 南肌肛邢1 o t i ( a 矽f 班 s 南所g 。x 。t - - t 驯d t + 舢圳d t 南妒+ 剜：= m 因为z ( o ) = z ( 丁) ，所以存在叩 o ，t 使得z ，( 叩) ：0 ，因此 i z 7 1 0s l x i i ( t ) l d t m ( 1 3 7 ) j 0 、7 很显然，p 与m 不依赖于a 与z 假定 q = z ：z x ，j x l o p ，j x l o 0 ，v 蚓d ， ( 1 3 1 0 ) 夕( z ) p i z i ，比d ， 或者 g ( x ) 一p l z i ， v x - d ， ( 1 3 1 1 ) 那么方程( 1 1 1 ) 至少存在一个t 周期解 证明与定理1 3 1 的证明类似，可以得到 ，i 夕( z ( s ) ) l d s 2 t 9 1 2 1 0 + 2 t g d ， j u z ( a u ) 7 ( t ) 2 d t ( 1 + i c l ) l z l 。( 2 t 1 3 z j 。+ 2 t g d ) + ( 1 + i c l ) l z i 。矽 = 2 t ( 1 + i c l ) p l x l 3 + ( 1 + l c f ) + 2 功d ) l z i o 办脚z t i ( a 1 a u 删2 d t ， 知i 。叫2 小俐2 蜒 警铲k l ( a u ，) ( t ) 1 2 d t 蚓虢+ 2 t ( 1 一j e l ) 2 ；( 1 7 层一2 。l z i 。) 鬻i z i ：+ 垦! ! 二专挚l z l 。， 由上式得到 j z l ；一2 。l z j 。滞i z l ；+ 兰玉三_ = 与i ：掣铲 z l 。 1 2 几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 所以 ( 1 _ 祭等) h 吼+ 掣铲。 由条件( 0 ，2 ( 1 一2 t 2 ( 1 + ) ，有 i x l o - m ， 、 其中 砑= 2 d + 等铲) ( 1 一祭榉) 接下的证明与定理1 3 1 相似，所以定理1 3 2 得证 1 4例子 文 3 3 证明了：当c = 0 时，如果存在常数p ，d 0 使得当z 一d 时， 夕( z ) 一；当d 时，z g ( z ) 0 ，则方程( 1 1 1 ) 至少存在2 丌周期解本 文定理1 3 1 只假设g 是次线性的，因此是对其改进同时，我们把文 1 9 】 的结果推广到了中立型方程 例1 4 1 考虑下面方程 陋( t ) 一言z ( t 一7 r ) + z 1 + e - x ( 。一丌 = s i n t ( 1 4 1 ) 对照方程( 1 1 1 ) ，有t = 2 7 r ，c = ；，p ( t ) = s i n t ，夕( z ) = z i l ( 1 + e - 并且 x g ( x ) 0 ，夕( z ) = z 专( 1 + e z ) 7 r ， 因此定理1 3 1 的所有条件都满足，所以方程( 1 4 1 ) 有2 丌周期解 例1 4 2 考虑下面的方程 i x + 知刊 ，+ 赤刊= 一睾s i n t ( 1 - 4 2 ) 对照方程( 1 1 1 ) ，有t = 2 7 r ，c = 一互1 ，p = 丽1 ，p ( t ) = 一絮s i n 亡，并且 夕( z ) 。赤z 赤比d ， 其中d 0 是常数很容易验证定理1 3 2 的条件满足，所以方程( 1 4 2 ) 至 少存在一个2 丌周期解明显地，可以检验x ( t ) = s i n t 是其周期解同时， 这个结果并不能由文 3 9 的定理得到 13 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 第二章具脉冲时滞的r a y l e i g h 型方程的周期解 - 1 - 一 c j r a y l e i g h 型方程 z ) + f ( x 7 ( t ) ) + 夕( z ( 亡一丁( t ) ) ) = p ( t ) = p ( t + t ) 因具有广泛的应用背景，人们对其周期解的存在性问题一直怀着强烈的兴 趣，现已有大量的工作 2 0 , 2 2 1 ，但具有时滞的脉冲r a y l e i g h 型方程在这方面的 研究还很少见本文利用拓扑度理论证明了如下脉冲r a y l e i g h 型方程： iz ( t ) + f ( x 7 ( 亡) ) + 夕( z 一7 _ ) ) ) = p ( t ) ，亡屯， a z ( t i ) = 五( z ( 屯) ，z 即t ) ) ， ( 2 1 1 ) ia z ，( t i ) = 五( z ( t t ) ，z 他i ) ) ， 至少存在一个周期解，其中g ，p ，丁，厶，以均分别关于各自的变元在r ( 实数集) 上连续，且p ( t ) ，丁( 亡) 皆为丁周期的函数，并且f ( o ) = 0 和君p ( s ) d s = o ； z ( t i ) = z ( t ) 一z ( 百) ，z 陌) ，z ( 甘) 分别表示z ( 亡) 在t = t i 处的左右极限，且 z ( # ) = z ( 岛) ；a x 沁t ) = z 俅) 一z 俅f ) ，x t ( 玎) ，z 懈) 分别表示z ( t ) 在亡= 如处 的左右导数，且z 他f ) = z 心i ) ；幺 t 州，且l i r a i 士如= 土。o ，i z ( 整数集) ； 存在正整数q 使得岛+ 。= t ；+ t ，厶+ 。( z ，z 7 ) = 厶( z ，x t ) ，以+ 。( z ，z 7 ) = 以( z ，z ，) 设 0 t 1 t 2 颤 t 为了方便，以下记厶( z ( 如) ，z 他i ) ) 为五，以( z ( 赴) ，z 俅i ) ) 为五 设x = z ( 亡) p c 7 ( r ，r ) ，z ( 亡+ t ) = z ( 亡) ) ，y = 尸c ( r ，r ) r 。r 七，其中 p g ( r ，r ) = z ：r _ 冗在亡屯处连续，z ( 亡) ，z ( 百) 存在，且z ( 玎) = z ( 乩i z ) ，p c 7 ( r ，r ) = z p c ( r ，r ) 在t t t 处连续可微，z 心产) ，z f ) 存在， z 邯f ) = z 他i ) ，i z ) 对一切z x 定义其范数为恻i x = m a x l z l ，l x t l 。) ，其 中h 。= s u p 。【0 ，t 】i x ( t ) l ，例。= s u p 。咐】i z 心) | ，对一切u = ( y ，c ) y 定义其范 数l i y = m a x l y l 。，l c l ) 其中c = ( c 1 ，c 2 k ) ，l c l = m & x i 镩k 蚓) ，则x - ，y 在 所定义的范数下成为b a n a c h 空间 在下面的证明中，我们需要下面的m a w h i n 连续定理 训 引理2 1 1 设x ，y 是b a n a c h 空间，l ：d o m lcx y 是指标为0 的 p r e d h o l m 算子，q 是x 中的有界开集，且n ：孬 0 ，1 】_ x 在瓦上是三一 紧的如果下列条件成立， ( a ) l x a n i z ，a ) ，v z a qnd o t a l ，入( 0 ，1 ) ， ( b ) q n ( z ，0 ) 0 ，比a qnk e r l ，且d e g j q n ( x ，o ) ，qnk e r l ，o 0 ， 其中q ：y _ y 是一投影算子，且i m lik e r q ，：i m q _ k e r l 是同构 映射，那么方程l z = ( z ，1 ) 在q 中至少有一个解 1 4 几类时滞微分方程解的周期性与稳定性 本文即使对非脉冲r a y l e i g h 型方程也是 8 的推广和改进 2 2一些引理 定义算子 l ：d o m lcx _ y z _ ( z ，。( 亡1 ) ，z ( t 南) ，a z ( t 1 ) ，a x 7 ( t 七) ) ， ：x 0 ，1 _ rz _ ( 一，( z ，( 亡) ) 一9 ( z ( 亡一7 - ( t ) ) ) + 卸( t ) ， ，厶，以，以) 这样方程( 2 1 1 ) 有周期解等价于方程 l x = n ( x ，1 ) ，x d o m l 有解 引理2 2 1l 是零指标的f r e d h o l m 算子，且 k e r l = z x ，z = c ，c r ) ， ( 2 2 1 ) 以及 i m l = ( ，a l ，a k ，6 ”b k ) ：x = y ，a z ( h ) = a l ，a x 心t ) = b i ，i = l ，尼) = 。1 ) ) 0 七，6 ”b k ) ：上( 丁一s ) 可( s ) d s + b i ( t t i ) + a i + z 7 ( o ) t = o - i = 1i = 1 ( 2 2 2 ) 证明首先( 2 2 1 ) 式显然成立，其次证明( 2 2 2 ) 式成立为此考虑方 程 fz = y ( t ) ，t t i ， a x ( t i ) = a i ， ( 2 2 3 ) 【a x 他i ) = b i 不失一般性，取初始时刻t o = 0 ，因此方程( 2 2 3 ) 满足z ( o ) = z ( 丁) ，由( 2 2 3 ) 式得 z 俅) = z ，( 0 ) + + ，o y ( s ) d s b i ”。 o t i 0 z ( 亡) = z ( o ) + j ，0z ，( s ) 如+ 呈，。i 2 z(o)+z，(0)蚪心一s)y(s)如ot j 0 t + 轨( t t i ) + a i ， 1 5 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 由x ( o ) = x ( t ) 得 ( t s ) y ( s ) d s + 玩( t t i ) + a i + z 7 ( o ) t = 0 0 i = 1i = 1 另一方面，令 z ( t ) = c + ( 一s ) y ( s ) d s + b i ( t t i ) + a i + x t ( o ) 亡， j 0 0ti0 k ，vi xj d ， ( h 3 )9 ( x ) - m ，v zs d ， ( h 4 ) z 7 五0 ，z 五s0 ，比，z 7 r ， ( h 5 )i 厶ism 1 ，i 以f 尬，v z ，z 7 r 那么方程( 2 1 t ) 至少存在一个t 一周期解 证明考虑算子方程l x = a ( z ，入) ，a ( 0 ，1 ) ，即 fz ( t ) + a f ( x 7 ( t ) ) + a 夕( z ( 亡一7 _ ( 亡) ) ) = a 2 p ( 亡) ，t t i ， a z ( t i ) = 入厶， ( 2 3 1 ) 、 【a x ( t i ) ：a 以， 设z ( t ) 是( 2 3 1 ) 的任意一个卫周期解，可以证明存在岛 0 ，t 】使得 l z f f o 一7 _ ( 矗) ) l d ，从0 到r 积分 ( 2 3 1 ) 式得 ，( z 7 ( t ) ) + g ( x ( t 一7 ( t ) ) ) 】d t = 五， ( 2 3 3 ) 1 7 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 若x ( t 一丁( t ) ) d ，由( h 1 ) ，( h 2 ) 知 j 【，( z 也) ) + 9 ( z ( 亡一丁( 亡) ) ) 】出 o ，o 【，( z 也) ) + 9 ( z ( 亡一丁( 亡) ) ) 】出 o ， 这与( 2 3 3 ) 式矛盾 若z ( t r ( 亡) ) 一d ，同样由( h ) ，( h 2 ) 知 ，t ，( z 心) ) + g ( x ( t 一下( t ) ) ) 皿 0 ， 0 这也盏莲i32式