（基础数学专业论文）无扭仿射kacmoody代数g对应的量子群的弱化推广.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 假设夕是无扭仿射k a c m o o d y 代数，其量子群为f 多) ，它由一组生成元毋，只， 群1 和d “满足一定关系生成的本文通过引进p r o j e c t o rl ，将也可逆条件弱化为 正则条件即引进k 和藏，满足甄或= 尬k i = 驴，l ”= l ，定义了一类与g 有 关的双代数础( 9 ) 它含有一个子代数m ：( g ) ，是一个弱h o p f f 弋数该弱h o p 玳数同 构于杨士林在文中定义的弱h 0 p 玳数对n = 3 时，上述双代数冽( g ) 也构成弱h o p f 代数由于m ：( g ) ( 1 一l 一1 ) = ( 9 ) ，所以利用澎) 上的v e r m a - t y p e 模m ；( a ) 可 以定义m ：( 9 ) 上的v e r m a - t y p e 模”m ；( a ) 并将v r m a - 帅e 模m ；( a ) 的a 形式推广到 v e r m a - t y p e 模”m ；( ) 的弱a 形式，并且给出了”m ；( a ) 的一些性质 关键词： 日h o p 玳数，仿射代数，弱对极，v e r m a - t y p e 模，以形式 第2 页 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t s u p p o s e9i sa nu n t w i s t e da f i u ck a c m o o d ya l g e b z “，t h eq u a z l t m ng r o u p o f g i st h ea s s o c i a t i v ea l g e b r a ( 9 ) w i t hg e n e r a t o r s 毋，只，群1a n dd “s u b j e c tt o s o m er e l a t i o n s ，i nt h i sp a p e r ，i no r d e rt ow e a k e nt h ei n v e r t i b i l i t yt or e g l f l a x i t y ，i n w h i c hi n s t e a dt k t ，k i i ，d ，d - 1 、o ft k l ，k t ，d ，d 、，w ea l s oi n t r o d u c ep r o j e c t o r l ，s u c ht h a tk r ，= 扁尬= l 一1 ，p = l w ed e f i n et h eb i a l g e b r a 剧( g ) ，w h i c h c o n t a i n sas u b a l g e b r am ：( 9 ) ，i saw e a kh o p fa l g e b r a t h i sw e a kh o p fa l g e b r a m ：( g ) i s o m o r p h i ct ot h ew e a kh o p fa l g e b r ad e f i n e db ys h i l i n y m a g b i a l g e b r a 磁( g ) i sa w e a kh o p f a l g e b r a w h e nn = 3 s i n c em d 口( 毋) ( 1 一l “一1 ) 竺( 9 ) ，w eu s e v e r m a - t y p em o d u l e s 碍( a ) o v e r ( g ) t od e f i n ev e r m a - t y p em o d u l e s ” 彤( a ) o v e rm ：( g ) m o r e o v e r ，w eg e n e r a l i z et h ea f o r mo f 四( a ) t ot h ew e a ka f o r m o f ”鹏( a ) ，w ea l s om v es o m ep r o p e r t i e so f ”m ；( a ) k e y w o r d s ： w e a k h o p fa l g e b r a ，a f f i n ea l g e b r a s ，v e r m a - t y p e m o d u l e s ，w e a ka n t i p o d e ， a f o r m 第3 页 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 在量子群理论和数学物理方面，h 0 p f f 弋数起着重要作用，随着研究的不断加 深，很多数学家对h o p f 代数的推广菲常感兴趣，并且在数学和物理方面有很多应 用对h o p f 代数的推广有很多方法，一个重要的例子就是g i h o p f f 弋数的引入，弱h o p f 代数的定义主要有两种其中之一就是引入弱余乘法，使得f 1 1 1 1 ，这样 的弱h o p t 数的定义是b o h m ，n i l la n ds z l a c h a n y i 给出的( 见参考文献| b n s i ) ，另 一种弱h 0 p 玳数的定义是由李方给出的假设在数域k 上的双代数，记为口= f h ， 肛，q ，a ) 以及其上的恒等映射记为i ，如果存在t h o r n k ( 日，日) ，使得丁 t = t $ n i * t * = ，这里的+ 是卷积，t 称为弱对极，则称h 是弱h o p 玳数具体的可以看 参考文献| l i l 本文所涉及到的弱h o p f ( q 数的定义是指上述意义下的弱h o p f 代数 本章我们主要介绍关于无扭仿射k a c - m o o d y 4 弋数的一些基本知识以及本文 的主要工作 1 1本文的主要工作 在参考文献 y 】中，杨士林把有限维半单李代数毋对应的量子群( g ) 的定义 推广到弱h o p f f 弋数，用 五，或 代替 尬，k 一1 ) ，并且引入了j ，满足j = 甄膨= 膨尬j 2 = j ，得到一类弱h o p f 1 q 数本文在卜一文的基础上，一方面将半单李 代数推广到无扭仿射k a c - m o o d y 代数多，另一方面我们将户= j 推广为户= j ，其 中礼22 为了不引起记号上的冲突，我们用l 代替f y 】中的j ，类似于半单李代数的情 形，用f 尬，五，d ，dfi = l 2 ，) 代替 皿，巧1 ，d ，d _ 1i = 1 ，2 ，) ，l 除 了满足l n = l 外，还要满足p 一= 段噩= 豆1 5 = d d = d o ，上n = l ，再通 过将f e ，只li = l ，2 ， 用类型加以区分，分成两个类型，对不同的类型给出 不同的余乘法，通过这种方式，我们获得了一类双代数剧( 蛋) ，并且定义了础( 9 ) 上 的反自同态t 当礼= 2 时，t 是弱对极，如果9 为半单时，则b ：( g ) 就是y 1 中定义的 弱h o p f f 弋数；当凡= 3 时，? 是剧( g ) 上的弱对极，从而剧( 9 ) 为弱h o p 玳数；当扎 4 时，r 不是剧( 9 ) 上的弱对极，所以彰( 多) 仅仅是双代数，该双代数包含了一个子代 数m j ( 9 ) ，关于我们定义的反自同态t 构成了一个弱u o p f 4 弋数，我们还讨论了这个 子代数m ! ( 夕) 的结构性质 我们说最是1 型的，如果蜀满足 k 1 e 1 一威1 je t k3 ，e t r3 = 或1 3r3 e t 第彳页 兰! 兰垄兰堡主兰竺垄墨 ： d e i = q o 札。0 肠d ，e d = q o 札。d 如w ( 2 1 ) 我们说e 是2 型的，如果毋满足 k 3 e t r3 = e i ，d e d = 露e 。v j 我们说只是2 型的，如果只满足 k i f l = r k3 ，f l 戎3 = 。r3 r 、d r q i h j 5 f t d 、f t 0 = q 0 1 “西f i 、 我们说只是2 型的，如果只满足 k | r 灭l q - “i r d f d = q i 。r 、j ， 我们引入符号d = ( ，h i 矗，商) ，当蜀是l 型时，k ，= 1 ，当最是2 型时，k i = 0 ：当只是1 型时，磊= l ，当只是2 型时，k i = 0 定义2 1 1 代数硎( g ) 由局，r ，k ，膨，d ，d 和三( i = 1 ，2 ，) 生成，并且 满足如下的关系： 心或= 或尬= 上”一1 = d d = b d ，l ”= 三 k t 衣j = r j k t 。k t k j k i k i 、r t r i r3 霞“ d = k i d ， d k t = k t d 。d r3 = r3 d 、r3 d 。= d k j 尬p1 = l n k i = 垃，l “一1 藏= 霞。上”1 = 丘 l n 一1 d ：d l n 一1 ：d d l 一1 = 工n 一1 d = d 最，只是d 型的 e t f i f j e 产6 ”、 抖妒卜卜- a i jk e j 黜一 高弋叫。p 卜1 - a 2k q 。k o ， 代数霹( 9 ) 称为无扭仿射k a c m o o d y 代数g 的d 型代数 进一步地，我们定义运算如下： ：剧( 9 ) + b i ( 毋) 圆目( g ) ：b ：( 9 ) + k ( k i ) = k i 尬 ( 霞。) = 霞。 膨 a ( l 1 = l8 l f 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第5 页 浙江大学硕士学位论文 啦，一忪甚麓k i 聩, e 删i 是2 型， 妪，= 聃f i 1 + l - 1 硒+ k r i 。0 篁 e ( 蜀) = e ( 只) = 0 ，e ( k i ) = e ( k i ) = l ，( l ) = 1 在上述定义下，叮以证明剧( 9 ) 是双代数，称为无扭仿射k a c m o o d y 代数毋的d 型 双代数 命题2 1 4 剧旧) 是双代数 定理2 2 3”瑶( 9 ) 是非交换，非余交换的弱h o p f f 弋数，但不是h o p f 弋数，其 中，是余乘法，e 是余单位t 是弱对极并且我们称m ：( 9 ) 是无扭仿射k a c - m o o d y 代 数毋的d 型弱量子化代数 命题2 2 4m ：( 9 ) = u 。o 喝，这里岫= m ；( 9 ) 驴，喝 且作为h 0 p f 弋数，岫2 ( 9 ) 本文最后，通过u 。2 够) ，给出了m ：( g ) 的类表示，称之为v e r m a _ t y p e 表 示，并给出了它的一些性质 定理3 1 3 作为c ( q ) 卜的向量空间，。蟛( a ) 同构与由有序单项式e 一口。6 最d + k 5 正1 - 。一。6 e 一舶玩一埘张成的线性空间，其中o + n 。， 卢 ：+ n 罗，n 0 ，七 0 定理3 2 6 设s 是无扭仿射k a c m o o d y 弋娄j ( ，a pj , , 贝l j v e r m a - t y p e 模胁( ) 是m ：( 岔) 上的v e r m a t y p e 模”嘲( ) 在保持权空间分解下的形变，并且 d i m ”m ，( a ) 。o 当且仅当a p s j ，特别地，d i m ” 碍( a ) = l ，并且 0 d i m ”m ；( a ) 。 o o 当且仅当a 一肛q ； 1 2 预备知识 1 2 1 设n 是f 整数，固定集合，= 1 ，2 ， ，= o ，l ， 令毋是有限 维的单的复李代数，它的c a f t a n 矩阵是a 一( a i j ) 1 o ) ，所以夕的全体正根a 十= ? u p 同 理，对9 的负根我们有a 一= ! u i m ，其中! = 厶一u + r 。j i q 厶，n 0 定义砖= l 一1k = 0 【砰一k 0 第2 2 页 浙江大学顾士学位论文 3 2m ：( 蛋) 上的v b r m a - t y p e 模的弱a 形式 前面部分已经定义了m ：( g ) 上的v e r m a _ t y i ，e 模”m j ( a ) ，在这部分将【v a d 中a 形 式的定义推广我们定义 降 艰，警 琅。簪 f 31 ) ( 3 2 ) 令a = c q ，q ，砥1 ，i ，礼 o _ 我们定义m ：( g ) 的弱a 形式m 够) 为由最，只，k 或，。，。，护， 麓8 ， ：8 ，i r 生成的m ：c g ，的子代数令m - c 9 ，表 示由匠，或，d ，d ，l 一1 ，i 生成的m 够) 的子代数 命题3 2 1 在m 够) 中，有下列交换关系成立v i ，j i ，s z ，n z 0 ， 厩憎= 卜 最 卜只严 一吒。 日 蜀f = 曰最+ 曰。删n - 1 心f 2 7 证明：利用归纳法以及m ：( 9 ) 的定义和等式( 3 ，1 ) ，( 3 2 ) 类似与第二章，) 5 j - ? - f a ( g ) 也有如下的分解，证明略去 命题3 2 2m a ( g ) = m 1 + m 2 ，其中m 1 = m a ( g ) l “，7 t i , 2 l , 1 - 1 ) ，并且作为代数m 11u a m a ( g ) ( 1 令a p jc ，。 砧( a ) 是m ：( 9 ) 上的j 一最高权v e r m a - t y p e 模，j 一最高权 是a ，对应的最高权向量是叭令“ 留( a ) = t 1 , a ( g ) u ，则。m ，( a ) 叫做“m ，( a ) 的 弱a 形式 第兽3 页 一如 一 一 他 ，一p 峭 r 一卜啦i 。驴一既 浙江大学硕士学位论文 定理3 2 3 作为a j ：的向量空间，“m f ( a ) 同构与由有序单项式e f 一。6 e 一口+ k 5 e 一。6 e 一蜘0 一枷张成的线性空间，其中d a + n a 7 ， 卢 + n 罗，礼芝0 、k 0 命题3 2 4 “m 夕( a ) 是权模，并且有“a u ( a i = 0 。产“ 口( a ) 。 证明：证明类似于f b k m e ，p r o p o s i t i o n 3 2 3 1 命题3 2 5 v p p 。a 纾( a ) 。是自由a 模并且 r a n k a “ 搿( a ) “= d i m c ( 口】。蟛( a ) 。 定理3 2 6 设g 是无扭仿射k a c - m o o d y 代数，a 只j j ，贝1 v e r m a - t y p e 模 m j ( a ) 是m 瓤9 ) 上的v e r m 孙咖e 模” 甥( a ) 在保持权空间分解下的d e f o r m a t i o n ，并 且_ d i m ”m ，( 入) 。o 当且仅当a p 凸，特别地，d i m ”a g ( a ) = 1 ，并且0 d i m ”m ；( a ) 0 0 当且仅当a p q 王 第剁页 堑兰查兰堡主兰堡笙查 ：墨耋壅整 参考文献 n p j na i z a w aa n dp s i s a a c ，w e a kh o p fa l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt o 【s z 】，j m a t h p h y s 4 4 ( 2 0 0 3 ) ，5 2 5 0 - 5 2 6 7 c 0 1 1c o x ，b ：v e r m am o d u l e s i n d u c e df r o mn o n s t a n d a r d b o r e l s u b a l g e b r a s ，p a c i f i c j m a t h 1 6 5 ( 1 9 9 4 ) 2 6 9 2 9 4 c 0 2 1c o x ，b ：s t r u c t u r eo fn o n s t a n d a r dc a t e g o r yo fh i g h e s tw e i g h tm o d u l e s ，i n ：v f u t o r n ya n d d p o l l a c k ( e d s ) ，m o d e r nt r e n d si nl i ea l g e b r ar e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , 1 9 9 4 ，3 5 4 7 m m e l v i l l e ，d j ：a n a f o r m t e c h n i q u e o f q u a n t u md e f o r m a t i o n s ，r e c e n t d e v e l o p - m e n t si n q u a n t u m a f f i n e m g e b r a s a n dr e l a t e d t o p c i s ，i n ：c o n t e m p m t h2 4 8 ， a m e r m a t h s o c p r o v i d e n c e 1 9 9 9 ，3 5 9 3 7 5 【s w 】m e s w e e d l e r ，h o p fa l g e b r a s ，b e n j a m i n ，e l m s f o r d ，n e wy o r k ，1 9 8 0 【l e l e m i r e ，f w ：n o t e o i lw e i g h ts p a c e so fi r r e d u c i b l el i n e a rr e p r e s e n t a t i o n s ，c a n a d m a t h b u l l 1 1 ( 1 9 9 3 ) ，4 4 5 4 5 2 v n d 】v y a c h e s l a v m f u t o r n y , a l e x a n d e r ng r i s h k o va n dd u n c a n jm e l v i l l e ：v e r m a + t y p em o d u l e s f o rq u a n t u md , 肺l el i ea l g e b r a s ，a l g e b r a sa n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y8 ( 2 0 0 5 ) ，9 9 - 12 5 g a 】g a v a r i n i ，f ： ap b wb a s i sf o r l u s z t i 9 1 s f o r mo nu n t w i s t e da f f l n eq u a n t u m g r o u p s ，p r e p r i n t ，1 9 9 7 l u 】l u s z t i g ，g ：q u a n t u m d e f o r m a t i o n so fc e r t a i n s i m p l e m o d u l e so v e r e n v e l o p i n g a l g e b r a s ，a d vm a t h7 0 ( 1 9 8 8 ) ，2 3 7 2 4 9 b n s 】b o h m ，g ，n i l l ，f a n ds z l a c h a n y i ，k ：w e a kh o p fa l g e b r a sii n t e g r a lt h e o r ya n dc 。 s t u c t u r e ，ja l g e b r a2 2 1 ，3 8 5 4 3 8 ( 1 9 9 9 ) b e l 】b e c k ，j ：b r a i dg r o u pa c t i o na n dq u a n t u ma f f i n ea l g e b r a s ，c o m mm a t hp h y s 1 6 5 ( 1 9 4 ) ，5 5 5 - 5 6 8 【b e 2 b e c k ，j ：c o n v e x b e s e so fp b wt y p ef o rq u a n t u ma 伍n ea l g e b r a s ，c o m mm a t h - p h y s 1 6 5 ( 1 9 4 ) ，1 9 3 - 1 9 9 b k 】b e c k ，ja n dk a c ，vg ：f i n i t ed i m e n s i o i l mr e p r e s e n t a t i o n so fq u a n t u ma l * a l ea l g e b r a s a t r o o t so fu n i t y ，j a m e r m a t h s o c 9 ( 1 9 9 6 ) ，3 9 1 4 2 3 k 1k a c ，v g ：i u 丘n i t e - d i l e s i o n a l l i e a l g e b r a s ，3 r de d n ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 0 k a s 】c k a s s e l ，q u a n t u mg r o u p s ，s p r i n g e rv e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 5 第2 5 页 浙江大学硕士学位论文参考文献 【l 】f l i ，w e a kh o p fa l g e b r a sa n ds o m en e ws o l u t i o n so fq u a n t u my a n g b a x t e re q u a t i o n ，j a l g e b r a2 0 8 ：7 2 1 0 0 ( 1 9 9 8 ) f ka k a n g ，sj ：q u a n t u md e f o r m a t i o n so fg e n e r a l i z e dk a c m o o d ya l g e b r a sa n dt h e i rm o d u l e s 。i a l g e b r a s1 7 5 ( 1 9 9 5 ) ，1 0 4 l - 1 0 6 6 h u jh u n g e r f o r d ，t ：a l g e b r a ，5 t he d n ，s p r i n g e r ，n e wy o r k ，1 9 8 9 c p 】c h a r i v a n d p r e s s l e y ，a ：a g u i d et o q u a n t u mg r o u p s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 4 f u l 】f u t o r n y , v m ：r o o ts y s t e m s ，r e p r e s e n t a t i o n s a n d g e o m e t r i e s ，a c a d s c i u k r a l n m a t h 8 ( 1 9 9 0 ) ，3 0 3 9 f n l2 】f u t o r n y ，v m ：t h ep a r a b o l i cs u b s e t so fr o o ts y