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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 广义o r l i c z 空间的若干性质 摘要 根据各种不同理论和应用的需要，o r l i e z 空间有各种不同形式的推广，赋 p - a m e m i y a 范数的o r l i c z 空间是o r t i c z 空间的推广。端点、强端点及非方性是o r l i c z 空间中的重要的几何概念，它与凸性、平坦性和自反性有着紧密的联系。 本文主要研究o i l i c z 空间的对偶空间的一些基本性质以及赋p - a m e m i y a 范数 的o r l i c z 空间单位球面上的强端点及其非方性。全文分为以下几部分。 首先，o r l i c z 空间的对偶空间的一些基本性质。o r l i c z 空间作为一类具体的 b a n a d l 空间，它几乎涵盖了所有的经典的b a n a c h 空间类，其对偶空问也是一类重 要的b a n a c h 空间。研究其对偶空间，可以使我们对原空间有更好的了解，并且我 们得到了在原空间成立的许多性质，可以推广到其对偶空间中去。 其次，赋p - a m e m i y a 范数的o r l i 诧空间强端点的刻画问题。众所周知，赋 l u x e m b u r g 范数和o d i c z 范数的o r l i c z 空间的强端点是一类重要的点态性质。 p - a m e m i y a 范数是l t m a r n b u r g 范数和o r l i c z 范数的推广，本节中我们给出了赋 p - a m m a i y a 范数的o r l i c z 空间的强端点的充要判据。 最后，赋p - a m e m i y a 范数的o r l i e z 空间的非方、一致非方和局部一致非方性。 赋l u x e m b u r g 范数和o r l i c z 范数的o r l i 铭空间的非方性质，许多学者做了深入的 研究，并得到了很多好的结果，在本文中，我们得出赋p - a m e m i y a 范数的o r l i 铭 空间是非方和局部一致非方的，并且给出了其为一致非方的充分条件。 关键词端点；强端点；非方；一致非方；局部一致非方 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 s o m e p r o p e r t i e s o fg e n e r a l i z e do r l i c zs p a c e s a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h er e q u i r e m e n to fv a r i o u st h e o r i e sa n da p p l i c a t i o n , t h e r e 卸陀m a n y g e n e r a l i z a t i o n so f o d i c zs p a c e s t h es p a c e se q u i p p e dw i t ht h ep - a m e m i y an o r i na r et h e g e n e r a t i o n o ft h eo d i c zs p a c e s , e x t r e m ep o i n t s , m o n g l ye x t r e m ep o i n t sa n d n o n s q u a r e n e s sa r ei n 坤翻切l 缱g e o m e t r i cp r o p e r t i e si no r l i f f zs p a c e s , a n dt h e yh a v ec l o s e c o n n e c t i o n sw i t hc o n v e x i t y , f l a t n e s sa n dr e f l e x i t y i nt h i st h e s i s , s o m e p f o l f t i e sa b o u tt h ed u a ls p a c e so ft h eo d i c zs p a c e sa n dt h e s 嘶g i ye x t r e m ep o i n t si nt h eu n i ts p h c r vm a d 缳舶s q 【l l 冒曩蛇s s u n i f o r m l y m s q 凹舯膦 a n dl o c a l l yu n i f o r mn o n s q 删o f o r l i c z s p a c e se q u i p p e dw i t ht h ep - a m 鲥y am m n s 翻嚣文l l 凼e d c o n t e n t so f t h i st l ：眺a r ed i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gp a r t & f i r s to f a l l ，s o m ep r o p e r t i e sa b o u tt h ed u a ls p a c e so f t h eo r l i g 2s p a c e s 羽= ed i s c u s s e d a sac l a s so fc o n 6 t e t eb a n a c hs p a c e s o r l i c zs p a c e sa l m o s tc o v e ra l lc l a s s i a lb a n a 曲 印峨a n dt h e i rd u a ls p a c e s 锄a l s oac l a s so fi m p o r t a n tb a n a c hs p a o e s t os t u d yt h e 弘删鹤o f d u a ls p a c e so f o r l i c zs p a c e s , w ea m m a 瓯a n dt h eo d i c zs p a c e sb 枫a n d 骶醇鲫m 胛i p e l 舾w h i c h 鼬h o l di nt h eo r l i 铭s p a c e sc a nb ee x t e n d e dt oi t sd u a l 印日c e s s e c o n d , t h ec r i t e r i af o rs t r o n g l ye x t r e m ep o i n t si no r l i 忽s p a c e se q u i p p e dw i t ht h e p - a m e m i y a n o i e f l ti ss t u d i e d a sw e l lk n o w n , t h es t r o n g l y i r e m e p o i n t si no r l i c zs p a c e s e q u i p p e d 丽mt h el u x e m b u r gn o r ma n do r l i c zn o r ma r cv e r yi m p o r t a n tp o i n t w i s e p r o p e r t i e s p - a m e m i y an o r mi st h eg e n e r a t i o no fl u x e m b u r gl l o l ma n do r l i c zn o r mi n o r l i c zs p l a c 锚，a n di nt h i ss ( 笼t i o nw og i v et h ec r i t e r i af o ro r l i c zs p a c e se q u i p p e dw i t ht h e p - a m e m i y an o r m i nt h e e n d , n o n s q u a f e n e s s , u n i f o r m l yn o n s q u a r e n e s sa n dl o c a l l y u n i f o r m n o n s q u a r e n e s so fo r l i c zs p a c e se q u i p p e dw i t ht h ep - a m e m i y an o r ma r cs t u d i e d a b o u t t h en o n s q 蝴e s so fo r l i c zs p a c e se q u i p p e dw i t ht h el u x e m b u r gn o r ma n do r l i c z n o r m , m a n ys c h o l a r ss t u d i e da l o ta b o u tt h e ma n dg o tal o to f 鲥r e s u l t s i nt h i s s e c t i o n , w eo b t a i nt h a tt h eo r l i c zs p a c e s 曩l u i p p e 通w i t ht h ep - a m c m i y an o r m 淝 n o n s q 蝴e s sa n dl o c a l l yu n i f o r mn o n s q u a r c n c s sa n dg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r = i i - 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 = 詈重置暑皇置詈鼍詈昔置暑量皇置昌暑詈皇鲁昌皇，置詈暑詈詈詈昌暑詈= 詈暑昌| 詈鲁喜暑詈詈詈霉詈暑鼍墨量e 詈皇墨詈量量詈篁詈詈暑詈i i i i l k e y w o r d sa 【l n 黜p o i n t s , s 缸| o n g j ye x t r e m ep o i n t 禺n o n s q u m e n e s s , l o c a l l yu n i f o r m n o n s q u a r e s s , u n i f o r mn o n s q u a r e n e s s - l i 卜 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文 广义o l r l i c z 空间的若干性质，是 本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得 的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成 果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明 的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：毒儡酌瞬日期：矽吁年产月驴日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 ：广义o r l i c z 空间的若干性质系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在 导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论 文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、 使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文 被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名： 删 日期：研年铲月锣日 导师签名： ：如7 年牟月万日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第l 章绪论 1 1o r l i c z 空间理论的发展概况 波兰数学家w o r l i c z 在1 9 3 1 年为了解决三角级数中有关问题的需要，首先 引进了以他的名字命名的o r l i c z 空间，o r l i c z 空间是l ， o ：毛( 妄) l 或者等价的o r l i e z 范数( 简记为。范数) i l x l 巴= s u p l i x ( t ) y ( t ) i d l z ：y z 甲，( y ) 1 ) 易知，赋l u x e m b u r g 范数和o r l i e z 范数的o r l i e z 函数空间均是b a n a e h 空间， 分别记为k 和岛。赋l u x e m b u r g 范数和o r l i e z 范数的o r l i e z 函数空间的子空 间仍是b a n a c h 空间，分别记为瓦和瑶。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 吴从圻，赵善中等给出了与o r l i c - z 范数等价的a m e m i y a 范数 s o l 肛i 。n w f 丘- - - 0 + i d c k x ) ) 定义2 4 称函数西满足：一条件( a ：) 是指若存在正数k 和 0 使得 m ( 2 “) 置 ) ，i “i u o 。 定义2 5 称函数西满足v 2 - 条件( 仨v 2 ) 是指它的余函数甲满足：- 条 件。 定义2 6 称区间【a ，b 】是的仿射区间是指 巾( 半= 三( ) 州6 ) ) 州气马 是的仿射区间 的全体，记 = r 【u ；( 口i 岛) 】 表示西的严格凸点的全体。若u , v e r ，口( o 1 ) ，r a u + ( 1 - a ) l ，则 似口甜+ o - a ) v ) 0 ：( ，2 ) + 名- 1l i l | 0 ，我们有l i 口伊i l = 0 ，( 叫= 0 。故我们有伊= 0 ， 甲( 删( 功= 0 ，i l l - - a e ，t g ，也就是啦) = 0 ，z - a 卫，t g ，即v - - - 0 ，因此有 f = v + t p = o 。 现在，我们证明( 饿) ，假设石= m + 仍，五= 吃+ 仍( m ，v 2 ，仍，仍d ， 那么对于任意的a ，b 0 ，a + b = l ，我们有 颤+ 鞔= 4 “+ 馈) + 6 ( v 2 + 仍) = ( q + 毗) + ( 口纺+ 觇) 并且叫+ 6 屹厶l ，口鲲+ 6 仍f ，故 ( 研+ 鞔) = c a r , + 咄) + 口仍+ 娩i 匿 峨( v 1 ) + ( v d + a i l 讫i l + b l l 仍l 口( ( h 卜仍1 1 ) + 6 ( ( 屹卜仍1 1 ) = a p ( 石) + 6 ，( 厶) 因此，是一个凸模。 定理2 2 设厂五且有( 2 - 1 ) 的分解形式，那么以下式子成立 ( 1 ) h 厂i i o 1 厶( g ( 呦s l ( 2 ) ”f i l 口s l j ，( j r ) 马l f i r 证明对于任意的n n ，我们定义 g ( 刀) = f g ：i 材( f ) 阵刀 ，( d = 吠f ) 名g ( 疗) ( 力 那么1 ( f ) f t l y o ) i 蕴含着l r l l l v l r 。如果( 1 ) 不成立，那么对于所有足够大的 万，有 l l ( g ( i i ” 0 ，f ，, u f 0 。在，中选择一列不相 交的子集 疋 使得 甲( ) 疋= 2 叶g ( 后) 定义 2 已 ( f ) = 艺甲( 址疋= 2 - ”f l ，取n o ，且满黾l l + l n o 。那么当n n o 时 知( k ) w ( 0 + i k ) a d , f t 2 y ( 略搬= 譬= 因此，如果l 壬，仨a ：，那么存在屹岛使得 ( k ) - - 9 o ，( 2 屹) 哼0 0 取纯= o ，那么纯f 。让z = 吃+ 纯，那么，2 五丘且有 p ( 五) = ( ) + l l 纯l 卜0 矿( 2 z ) = k ( 2 屹) + l l 织i b 0 0 由定理2 2 ，我们得到02 正酽 1 。 充分性。取五，p 瓴) 一o ，这里的正= + 霰仉岛，纯d 。因为 ，眠) = 心) + l | 纯l l 寸o ，由此推得( ) 一0 和l l 纯l 卜0 由于甲e a ：，故 h i i o 专0 ，因此j izl 厂爿j 吃j l o + | l 纯i 广专0 。 定理2 4 设名且有( 2 - 1 ) 的分解形式，如果存在七 0 使得 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 l ( g ( 七l v ( t ) i ) ) 出= l 那么。厂l l o = 【l y ( 力i g i v ( t ) i ) d t + i l 缈i r = ( 1 + ，( 们) 。 o 詹 证明由条件知 0 v i i 。- l ：l y ( f ) i g ( 七i ，( f ) 1 ) a t = ( 1 + ( 删 。 膏 从而 0 厂| f d = 爿1 1 ，。+ 0 伊i i o = l l “f ) i g ( 引嵋) 1 ) 出+ f i 伊旷= 亡( 1 + ( m0 却l l o ) = ( 1 + ，( 绷 注记如果y 风并且垡是连续的，那么定理2 4 中的k 总是存在的。事实 上，我们有如下定理。 定理2 5 设f 且有( 2 1 ) 的分解形式，那么 l lf 1 1 4 = i 。n 加f 七0 4 - ，( 们) ut 证明因为 i 。n 加f l 七( 1 + ，( 栅= k 。n 加f 三七0 4 - ( l l 刎) = i n f k o 玄( 1 + ( 如卅 量 。 1 ，i p + i i 伊i r 爿i f i i o 故等式成立。 一个重要的问题就是定理2 6 中的下确界是否可达，答案是可能的。为了说 明这个问题，我们首先引入一些记号。 k = 七( d = i n f k 0 ：k ( p ( 后i v l ) ) 1 ) k 。= 七”( 1 ，) = s u p k 0 ：厶( p ( 七i v l ) ) l 显然，对于任意的 ，岛， ，0 ，我们有k sk 。，因此 足( 力= 凰( v ) = 【矿，矿】刀 故厂的下确界的可达依赖于v 的下确界的可达，吴从忻等已经证明了k ek 当 且仅当y 是可达的【蚓。 从以上的讨论中，我们可以得到 l l f i n f k o ：，( ，k ) l = s u p 厂( ) ：l l “旷= 1 ) i l f l l 4 = i 。n 如f k 以( 1 + ，( 棚= s u p f ( u ) ：l l u i 1 这两个形式分别相似于定义在k 上的l u x e m b u r g 范数和o r l i c z 范数的形式，故 而许多结论可以平行的从原空间推广到其对偶空间 定理2 6 设厂，那么以下成立 ( 1 ) l l 州l 毒( 力酬f l l ( 2 ) i l 州 1 jp ( d ) 1 i f0 ( 3 ) 厂悯i 厂l | o 马1 2 厂u 证明( 1 ) 对于任意的厂仨瓦。我们可以假设，o ，由范数定义，存在 丸山l 厂l l 使得p ( 厂，) 1 ，且l e v y s 定理确保了p ( f l lf 1 1 ) 哿 故( 1 ) 成立。 ( 2 ) 如果i i 厂i p l ，那么对于充分小的g o ，我们有 t 0 使得 i i f g ( 力万 ( 4 ) 对于任意的占( 0 ，1 ) ，存在艿( 0 ，1 ) 使得 ，( 力l g j o f l i ：- - 1 一艿 ( 5 ) 对于任意的g ( o 1 ) ，存在万 o 使得 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 p l + 占刮i f l 巨1 + 8 证明0 ) 假设甲2 ，l 0 。选择 0 ，k l 使得 v ( l v ) k v ( v ) ( ，v o ) 那么l l f i 峰三意味着，u 三) 1 ，也就是说 ( ，三) + i l 缈三i l a l 故 ( 1 ，l ) 1 ，i l 缈三l 阵l 因此 p = ( 叻+ i i 缈l ( ，舶) + ( v z o ，j j r ) + l i 缈l 肾 甲( ) g + 触0 ( r 1 胍，日) + 缈s 甲( ) g + 足+ 三 这里的日= p g ：iv ( t ) i ) 。 ( 2 ) 因为，岛= 风，故( v k ) 是定义在( 0 呦上的关于七的连续函数。所 以，u k ) = ( v k ) + i l 伊”也是关于七的连续函数，故( 2 ) 成立。 ( 3 ) 由定理2 3 和定理2 7 中的( 3 ) ，很容易得出( 3 ) 成立。 ( 4 ) 如果( 4 ) 不成立，那么存在g 0 和乓使得，( ) - l l lf 1 i - i 童上0 和由( 1 ) 得l = s u p 。 p ( 2 五) 0 ，占 0 ，存在万 0 使得 p + ( 门l ，( g ) s 艿刮，( 厂+ g ) 一，u ) l o 且充分小使得譬、i ，( 2 m ( f ) ) 出 o 和 o 使得 甲唔v ) k 甲( y ) ( v v o ) 因此 譬甲c 吾喇舻譬l 甲唔啪”破+ 譬l 甲唔咄肌 z 2 ) g + - - 。- i l kl w ( ( f 肭 这里的甄= g ：1 v 2 ( t ) i 0 且充分小，使得 譬甲唔咖g o ，使得 曼墨磊 三 取万= m i n 4 ，争，那么有 ip ( f + g ) - p ( f ) ld “+ v d + l l 识+ 仍l l “卜仍l l 阵 l “+ 屹) 一( m ) l + l | | 纯+ 仍l | - 0 仍i i i 1 - 6 。定义层= f g ：缸f ) j ，o ) 0 多，由题意，我们 可以假设缈k f = 0 ，并且推出z k = 0 ，i = l ，2 - 因为石( 功s l ，z + 五= 2 9 ， 我们可以得到石( 功 1 - 2 s ，f = l ，2 。因此 z o ) = f , t y i e q l 石1 ( 力 = 0 ，故m o ) = 吃( f ) = 砸) ，也就是说h = 吃- v 。又因为 ( 彳) = 0 ( m ) + i i 仍i l - 0 ( ，) + 0 缈 ( 正) = ( 屹卜仍i l = ( ，) + 0 缈h 因此我们可以得到8 纯l i 爿i 伤悄i 缈| | 由2 伊= 绕+ 仍，我们有2 i 南2 j i l 缈l i i + 赢， 又因8 赢l 降l e s ( ，) 和赢是曰( ) 的端点，我们得到赢2 赢，也就是 仍= 仍，因此石= 正= 。 必要性。取f - - v + 伊且为曰( 丘) 的端点。如果f = 1 - ，0 3 0 ，那么我们可 以找到e 使得 o 沙( 2 v ( f ) ) 出g 定义 舭 - 嬲髫忸 那么m 吃，m + y 2 = 2 v ，我们取彳= m + 缈，石= 吃+ 伊，那么有 ，“) = ( h 卜0 缈i i o ( g 0 ) 又因为y 在区间【口，6 】上是仿射的，即“) = 砌+ 对于任意的“【口，b 】，把区 间p g ： ，( f ) ( 口- i - e ，6 + 占) 分成两个集合a 和b 使得z a = l z b ，并且定义 i ( m ) ，川) ) ，t g ( a u b ) ( m ( 力，v 2 0 ) ) = ( m ) 一占，“f ) + 占) ，t a 【i v i t i + 6 1 y ( f ) 一s ) ，f b 那么m 屹，m + v z = 2 v 。取石= m + 矿，五= 屹+ 矿，通过简单的计算我们可以 得到p ) = ，( 五) = 户= l ，这也与厂为曰( 瓦) 的端点矛盾。 如果条件( 3 ) 不成立，那么存在仍，仍s ( 见识仍，使得2 赢篁仍+ 仍 取磊爿l 缈0 仍，霞号l q , i l 鲠，那么i i 磊i t - 4 t 仍恻i 矽l i 。定义彳= y + 识，正- - - - v + 霞，那 么，u ) = ( 1 ，卜n 磊l 卜卜i i 缈i ，u ) = l ，类似的我们可以证明，( 正) = l ， 这也与，为口( 乓) 的端点矛盾。 2 3 本章小结 在对o r l i c z 空间的对偶空间的研究过程中，我们定义了其上的凸模，并把 它的范数重新加以整理，这样赋予其对偶空间的两种范数就分别类似于原空间 的l u x e m b u r g 范数和o r l i a z 范数，故而可以把原空间成立的许多性质，比如范 数收敛于零与模收敛于零的等价性等平行推广到它的对偶空间中去，并得到了 赋类似于l u x e m b u r g 范数的对偶空间端点的充要判据。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章赋p 范数的o r i ic z 空间的强端点 3 1 引言 在任意的由凸模生成的模空间中，我们引入一族新的范数( 称它为 p - a m e m i y a 范数) ，它是等价于o r l i c z 范数和l u x e m b u r g 范数的。在本部分中， 我们将给出赋p - a m e m i y a 范数的o r l i c z 空间强端点的判据。我们用曰( x ) 和 s ) 分别表示空间b a n a c h 空间x 中的单位球和单位球面。下面我们给出一些 基本概念： 定义3 1 点j s ( x ) 称为曰( 柳的强端点，如果对x 中的任意序列饥 ， z 。) ，i f 以i 卜l ，l l 乙i 卜l ，并且对于任意的开，只+ 乙= 2 x ，我们有 l l y 一工i i - - * 0 。 对于l s p o k - 1 ( 1 + 瑶( 蚴p ，如果l p 0f 1m a x 0 ，厶 ，如果p = o o 这是一中范围更广的范数，事实上h x l l 。爿i x l ，i i 石| k - 。爿l x i l ，并且可以证明 对于任意的l p o o ，泛函i l x i k p 为k 上的范数，且所有的范数是互相等价的， 我们称泛函i i x i i o , 为k 上的p - a m e m i y a 范数，由此范数生成的空间我们记为 k p ，并可以证明由此范数生成的空间为b a n a c h 空间。关于赋l u x e 爱n b u r g 范数 的o r l i c z 空间的强端点，我们可以参看考文献f 3 l - 3 3 1 ，故在下面的讨论中我们只考 虑l p ，= s u p 缸0 ：似) o o ，因为是凸的并且 o ( o ) = 0 ，故我们有 o 竺盟皇盟对于任意的o “， “y 我们定义函数s p ：【0 ，o o ) 专【l ，o o ) 为 f 三 s p ( ”) = ( 1 + “p ) p ，当l p o o 【m a x 1 ，“) ，勤= 显然墨是凸的和非减的。定义 - m a x 4 o ：邑( ”) = 1 ，那么当lsp 0 ：厶辑川力 0 ：t i p ( k x ) 0 ( i n f o = o o ) 砖：k ，专( o ，叫，= g u p 七 o ：s o 4 ：k ，p ( o ，嘲_ ( o , o o ，4 “七) = 七q & ( ( 删 事实上，对于任意的l s p s 和x k ，我们有( 曲s 蓐( 功。记巧( x ) 为 所有的在k ( 功和( 功之间的元素构成的集合，也就是说 巧( 曲= o j ：( 功七s 巧( 曲 ，( 曲= o 当且仅当七二= ( x ) - - 0 0 引理3 1 嗍对于l p ，s ( i 磊厂) ，+ ( l 巩f ，) ， 如果我们取磊= “，编= ，磊= l ，= 0 ，那么有 三三 ( 1 + ( 甜+ d ，) ，( 1 + ”，) p + ，( ”， ，0 引理3 3 p 习函数l l 工l k p 为k ，上的范数，并且等价于l u x e m b u r g 范数 三 0 石o 笃l x i i 包p s 2 pl l x l k 3 2 赋p - a m e m i y a 范数的o r l i c z 空间的强端点 引理3 3k ，有f a t o u 性质，也就是说如果o 个茗，并且毛k ( ) ， x f 姐) 和s u p 。毛l k 。p o ，使l ix ， 口+ 万， 1上 故对某些k o ，我们有( 1 + 瑶( 缸) ) 尹口+ 艿。由积分的f a t o u 引理，可以得到 l 陋) 蜘l ( 乜) ，故 1 三 l ! 砉【l + 瑶( ) 】p 妻【1 + 瑶( 瑚p 口+ 艿 对于k ) 某些子序列 ) 成立。故对于所有的自然数坍，有，口+ 艿 口， 这与口- - - s u p a 马i p 矛盾 定理3 5 假设为o r l i e z 函数r x e s ( k p ) ，那么x 为口( k ，) 的强端点当 且仅当以下条件成立： ( 口) 集合群是单值的，即( 工) = 七，且七 0 ( 6 ) 坂f ) ( ) 一口幺，f t ( c ) 或者西( 6 ( 嘞) 2 ”o ( ) 。取数 a 0 并使得集合r o = p r ：l 耶) 阵口) 具有正测度。如果需要的话，我们可以取 序列饥) 的子序列并且假设对于任意的nen ，存在，cc 磊使得 ( ) ( ) = 1 2 4 。定义 矗( f ) = x ( t ) z r a r ( f ) + ( 雄) + 争s i g n x ( t ) ) z r ( t ) 只( f ) = 坤) 铱瓦o ) + ( x o ) 一二 s i g n x ( t ) ) z r ( t ) 乙( f ) = m ) z 她( f ) + 詈s i g n x ( t ) z r ( t ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 恶0 毛一乙i i 也p u r 。n i n fi iy 1 医h 罂要fi l 瓦”暑= l( 3 - 2 ) j r - 瑚 一 由不等式( 3 一1 ) 和不等式( 3 - 2 ) 得 熙慨2 舰慨l o , p - 1 = i l x i i , 然而，对于任意的n ， ( 2 七( 一对) = ( 2 ) ( 乏) 才( ) ( ) = l 故0 毛- x 1 1 ，p 习l - x l l o 1 2 k ，但这与工为强端点矛盾。 现在，我们将证明如果( d = 0 0 ，口( 叫= 0 ，b ( o ) - 0 0 和m a 2 ( ) ，那么 当x 为召( k ，p ) 的强端点时：( o ) 。首先，我们证明存在集合a 使得 l ( 2 x z ) 为一正数序列并使得( 2 ) 1 2 肘1 并定义 【r - 唧 鬻 那么对于所有的 ，刀，有( 2 “) ( ) 。由假设我们知道是无原 子的并且( - - 0 0 ，那么可以找到中的一个序列 4 ) 使得对于任意的刀n 有 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 4 ) = 1 ，对于任意的朋，n e ，m 力有声( 4 n 4 ) = o 。因为l ( 柳 0 0 ，故 当拜专时，得到( b “) 0 ，因此存在自然数的子序列使得对所有的j n ， 有厶( 触，) u j ，= 砖，彳= 雌。 那么 l ( 2 慨) = l ( 2 吆) = 善厶( 2 吆) + 荟们) s 善髟厶( 红) + 荟( 2 加( 鹭) 2 4 ( ) 。对于厅e ，选择乙c 色，互使得“) 佤) = 2 - 露，并且 我们定义 毛甜+ 嚣钝占泓 y - x - 去施s i g n x 那么对于任意的 ，有毛+ 只= 2 x ，另外对于任意的以有i 工闰 ，因 此。l i mi i x , 1 1 0 p 习1 x 1 1 0 ，p = l 另一方面，对于每一个刀有， 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 工0 0 ，尹( 1 + 瑶( 魄) ) ，= 如( m 学缸”p r 扣瑶( 咖i 七厶( 半缸) s l 弓舭k x x r ) + o ( u d n ( t d 一i ( 刀_ 叫 因此l i r a s u p i i x i i ，i ，故l l l k ，= l 。因为对所有的n e n 有i 以圈戈i ，故 鼍? l l y 1 1 , , q ix l k , 2 l ，为了证明舰。只p = i ，我们现在只需证明 t i m i n f l l y i i m ，l ，如果假设哩蜜f i l 咒i i o 。， l ，那么有 2 刮h l k ，= 触慨+ l k = l i m 。i 。n f i i 毛+ 咒i k 。p l i m 。一i l a f ( 1 吃l k ，+ 0 只i k 。尹) 一 l + ，t i m i n f l l y , ， 2 一似咖( z ) = l 因此，由l u x e m b u r g 范数的定义有 忱一x 习i 毛一工岭玄 这与石为强端点矛盾。 现在，我们考虑6 ( ) 这种情况。假设峨嘶一似) = ，由l o o ， 我们得到k l x ( t ) l 6 ( 嘞l a - a 七，t e t ，因此定义 4 = f