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可压缩e u l e r 方程组经典解的破裂 摘要 非线性波动方程小初值经典解的生命跨度的研究是偏微分方程研究的一个重要课 题，特别是对e u l e r 方程组的研究。本文对等熵可压缩e u l e r 方程组给出了其柯西问题 当初值作振幅很小的扰动并且具有球对称性质时经典解生命跨度的上界估计。 以下是本文的安排： 第一章，绪论。在这一章中，简单介绍了e u l e r 方程组的物理模型以及目前一些相 关的研究结果。本文的主要结果及证明的大体步骤和方法 第二章研究了一维可压缩e u l e r 方程组经典解的破裂。采用引入黎曼不变量的方法 将方程化为对角型一阶拟线性双曲组，从而得到了生命跨度的估计。 第三章研究三维可压缩e u l e r 方程组球对称解的破裂。在本章中利用波的分解公式 得到了解生命跨度的估计。 关键词：多方气体，可压缩e u l e r 方程组，生命跨度，径向解。 b l o w u po f c l a s s i c a ls o l u t i o n so fc o m p r e s s i b l ee u l e re q u a t i o n s a b s t r a c t i ti ss t u d i e dt h a tb l o w u po fc l a s s i c a ls o l u t i o n so fc o m p r e s s i b l ee u l e re q u a t i o n si n t h r e es p a c ed i m e n s i o n sw i t hs p h e r i c a l l ys y m m e t r i ci n i t i a ld a t aw h i c hi sas m a l lp e r t u r b a t i o no fa m p l i t u d egf r o mac o n s t a n ts t a t e i ti sp r o v e dt h a tt h ec l a s s i c a ls o l u t i o n sh a v e t ob l o w - u pi nf i n i t et i m ei ns p i t eo fa n ys m a l l a n da nu p p e rb o u n df o rt h el i f e s p a ni s o b t a i n e d t h ew h o l ec o n t e n t sa r eo r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e ri ，p r e f a c e t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt od e s c r i b i n go ft h ep h y s i c a lm o d e la n d t h er e s u l t so b t a i n e d t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r eb r i e f l yi n t r o d u c e di nt h el a s t s e c t i o no ft h i sc h a p t e r c h a p t e ri id e a l sw i t ht h el i f e s p a no fc l a s s i c a ls o l u t i o n so f1 - d i m e n s i o n a lc o m p r e s s i b l e e u l e re q u a t i o n s t h em e t h o dw ea d o p t e dh e r ei si n t r o d u c i n gr i e m a n n i n v a r i a n t s t h e n t h es y s t e mc a nb er e d u c e dt oad i a g o n a lf o r ms y s t e m c h a p t e r i i id e a l sw i t ht h el i f e s p a no fc l a s s i c a lr a d i a ls o l u t i o n so f3 - d i m e n s i o n a lc o m - p r e s s i b l ee u l e re q u a t i o n s t i o n s k e y w o r d s ：p o l y t r o p i cg a s ，c o m p r e s s i b l ee u l e re q u a t i o n s ，l i f e s p a n ，r a d i a ls o l u l l 第一章绪论 对于很多流体的研究都可以近似看成是理想流体的研究。所谓理想流体，是指忽略 粘性和热传导的流体。理想流体在很多情况下，是一个合理的近似。例如，当研究飞行 器周围的流场分布时，除飞行器附近一薄层中通常必须考虑粘性及热传导外，在流场的 其余部分，均可假设未为理想流体来进行研究。从而，在着眼于整体流体的性质时，即 使对整个流场中的流体均假设为理想流体，也可以得到相当合理的结果。因此，对理想 流体的讨论，不仅具有理论上的重要意义，而且具有实际上的重大价值。 理想流体的数学模型是下面的e u l e r 方程组 3 p + ( 伽 ) 。，= 0 ， ( 质量守。l a )( 1 1 1 ) 3 ( 刖) t + ( 胁呦) q + m 。= o ，i = 1 ，2 ，3 ， ( 动量守恒)( 1 12 ) l = l ( 时j p u ；) 。+ 陋+ 确m ) 吐= 0 ，。点 p = f ( p ，s ) ( 能量守恒) ( 状态方程) ( 11 3 ) ( 1 14 ) 其中u = ( u l ，u 2 ，u 3 ) 分别表示气体在x l ，x 2 ，x 3 方向上的速度，p 表示流体的密度，p 表 示流体的压强，e 表示流体的内能，s 表示流体的熵。这个模型的详细推导及其一些基 本性质，可参见 1 0 】。 在连续可微的流场中能量守恒方程( 1 1 3 ) 可以改写为以下简单形式： 雨o s + u g r a d s ：o ， ( 1 15 ) 瓦 d 62 o ， 【l l5 ) 其中s 是单位质量流体的熵，由 d s = 击( d e + 硼( 扮 ( 1 16 ) 1 在本文中研究等熵多方理想气体，即整个流场中熵恒为常数的特殊情况，等熵多方 理想气体是由下面的e u l e r 方程组来描述： o t p + d i v ( u ) = 0 ，( 1 1 7 ) o t u + ( u v ) 乱：一_ _ v p ( p ) ，( 1 18 ) p = a p l ，( 1 1 9 1 其中u ，p ，p 的意义同上，1 为绝热指数，a 为正常数。 上述方程组是一个拟线性对称双曲型方程组。对这一类方程而言，一方面有经典解 的局部存在性，另一方面即使给定一个充分光滑的c a u c h y 初值，它的解也很可能破裂。 对此问题经典解生命跨度的研究，根据维数的不同和初值的不同性质采用的方法也有所 变化。 对等熵可压缩e u l e r 方程的柯西问题解生命跨度的研究，较早的是t c s i d e r i s ， 他对三维的情况用泛函的方法证明了初值有紧支集时其解将在有限时间内破裂( 见 1 1 ) ； 之后s a l i n h a c 对二维的情况通过误差估计及近似解的刻画给出了具有球对称性质的小 初值柯西问题解的生命跨度是- 2 阶( 见 2 ) 本文主要对三维的情况用波的分解公式， 对具有球对称性质的小初值柯西问题找到了解的生命跨度的上界估计；在文章中对一维 的情况用引入黎曼不变量方法也简单说明了解在初值满足一定条件时会在有限时间内破 裂 第二章考虑了空间维数为1 时如下柯西问题： a p + 晚( 删) = 0 ， 0 t u + u 晚“+ ! p 良p = 。，( 1 1 1 0 ) p i ：0 = p o ( z ) ，乱i ：0 = 札o ( z ) ， 其中p o ( z ) 芦 0 ，芦为常数，u o ( x ) c 1 ( r ) ，p o ( x ) c 1 ( r ) ，p = a p ，( 常数 a 叭 1 ) ，记c 2 = 塞 引入黎曼不变量r ，s 作为新的位置函数，柯西问题( 1 1 1 0 ) 化为对角型一阶拟线性 严格双曲组，得到如下结果 2 定理2 1 设丁是柯西问题( 11 1 0 ) 解的生命跨度，若r ，s 的初值凰，岛至少有一个不 是单调增函数，则t 0 ，而( z ) c 1 ( r ) ，面( z ) c 1 ( r ) s u p p 而( 。) ，s u p p 0 ( z ) c x l l x l m ) ，且 葡( z ) 与谝( z ) 不同为零。e 0 充分小，记c 2 = 丁u p ，i = c ( 万) 。 引入新黎曼不变量r ，s 作为新的位置函数，将柯西问题( 1 1 1 1 ) 化为对角型一阶拟 线性严格双曲组，得到如下结果 定理2 2 设t ( e ) 是柯西问题问题( 2 1 8 ) 经典解的生命跨度，那么有 一4一d l i r a e t ( e ) = r a i n ( 二_ 一：= _ 一，_ ：) e 。o + 7 ( ，y + 1 ) r a i n m o ( z ) 。( 7 + 1 ) r a i n 晶( 茁) 。 第三章研究如下三维柯西问题： o t p 十d i v ( p u ) = 0 ， a ”( u v ) u = - v p 口( p ) p | ：0 = 芦+ 舶( z ) ，札f b 0 = e u o ( x ) ( 1 1 1 2 ) 其中芦 0 为常数，p = a 矿( 常数a 0 ，y 1 ) ， 0 充分小，札= ( u 1 ，u 2 ，u 3 ) ， z = ( 茁1 ，x 2 ，x 3 ) ，p o ( x ) 、u o ( x ) c 。( r 3 ) 且支集均在球b ( o ，i o ) 内。 本章关心的是球对称解，假设r o t u = 0 成立时，研究柯西问题( 1 1 1 1 ) 的生命跨度 就等价的转化为研究如下的柯西问题 f。 lb 日十辞( 辞妒) + ；缉h = 0 ， ( 11 1 3 ) i 妒( o ，r ) = e f ( r ) ，恍( o ，r ) = e g ( r ) ， 3 其中，( r ) 和9 ( r ) 是支集在b ( o ，m o ) 内的光滑函数 日= h ( 0 t 妒+ ；i v m i = ( 一等( 岛妒+ ；i v m i ) 击 ( 1 1 1 4 ) 利用波的分解公式得到本章的主要定理 定理3 1 t ( ) 为方程( 31 6 ) 的解妒的生命跨度，那么有 其中 。峨幽丁( 拈( 一半晌p ( 。1 即1 一吲洲 4 第二章一维可压缩e u l e r 方程组经典解的破裂 本章将一维等熵可压缩e u l e r 方程组的柯西问题通过引入黎曼不变量将其化为对角 型一阶拟线性双曲组，以此为基础研究解的生命跨度。主要结果见5 2 1 ，在5 2 2 中给出 了结果的证明 对于如下柯西问题 2 1 主要结果 a p + 晓( 肿) = 0 ， a + “晓u + 兰也p = 0 ， ( 2 11 ) p p l * o = p o ( z ) ，uj b 0 = 乱o ) ， 其中p o ( x ) 芦 0 ，芦为常数，p o ( x ) c 1 ( 月) ，札o ( z ) c 1 ( 尺) ，p = a 矿( 常数 a 帅 玑令c 2 = 窆 记 a = 则( 2 1 1 ) 的前两个方程就可以写为 a u + a 如( u ) = 0 a 的特征值为 a l = u c ，a 2 = “+ c ， 5 u p ) ( 2 1 2 ) 对应的左特征向量 对应的右特征向量 l = ( c p ) ，2 = ( c 卢) ( 1 = ( p c ) 丁q = ( pc ) 7 兄= “一p d p = u 一鲁 s = u + ；如= 札+ 鲁 恍= 萎 a 1 ( r ，s ) = 札一c a 2 ( r ，s ) = 札+ c 孚r + 字s 字r + 孚s ( 2 13 ) ( 2 14 ) ( 2 1 5 ) f 2 1 6 1 ( 2 1 7 ) 定理2 1 设丁是柯西问题( 2 1 1 ) 解的生命跨度，若r ，s 的初值岛，岛至少有一个不 是单调增函数，则t 0 ，面( z ) c 1 ( r ) ，谝x ) ec 1 ( r ) 。s 札印蔬( 茁) ，s 城o ( x ) c z 忪| m ) ，且函( z ) 与讯( z ) 不同为零e o 充分小，记c 2 = 磊d p ，i = c ( 万) 。 引入黎曼不变量 。 五：。一型三二学，百：u + 兰生二孕 一y l1 一l 兰茎二二：主未三；二i a 1 ( r ，s ) a 2 ( r ，s ) 定理2 2 设亍( e ) 是柯西问题问题( 2 1 8 ) 经典解的生命跨度，那么有 。味s t ( s ) = r a i n ( 再而- 丽4 ，而面- 蕊4 晒) 盼2 定理的证明 f 2 19 1 ( 2 ，1 1 0 ) f 2 11 1 1 ( 2 1 1 2 ) 先来考察柯西问题( 2 1 1 ) 。 根据方程( 2 15 ) 知沿第一特征：t d x ：a 1 ( r ，s ) ，r 为常数；沿第二特征：。d x ： c l t d t 如( r ，s ) ，s 为常数。从而得出先验估计 其中g 为常数。 令 r ，s i c o c 训：。邶罔竺 o x ( 2 2 1 ) 一 十 s s 字孚 + + r r 孚挈 | | | | 一 + = | l 其中h ( r ，s ) 满足如下l a x 变换 o h ( r ，s ) a s 1 o a l ( r ，s ) a 1 ( r ，s ) 一x 2 ( r ，s ) o s 则 豢= e 邶芦) i 丽0 2 r + 丽o h 面o r 瓦o r + 丽o h a 饥s o a r z 筹= r s ) 【面0 2 r + 丽o h 丽o r 瓦o r + 丽o h 瓦o s 面o r j 将方程组( 2 1 5 ) 的第一个方程对z 求导得 塑+ 、塑+ 一o r f 盟塑+ 坠塑1 - o o z o t 十“1 否歹十百i 【否万否i1 否可瓦j 一” ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 25 ) 利用方程( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 有 掣+ a 。瓦o w ：e 郴捌【丽0 2 r + a 。窘 h - e h ( r s ) 丽o h 面o r 【酉o r + a 篙】 + e ( r ，s ) 一o h o r 【一o s o so xo t + a 1 箜o x 1 。 l 1 j ：一e h ( r ，s 瓦o r 【一o a , 一o r + 一o a i o s j + e h ( r 、s ) 一o h o 刊ra 1 一a 2 ) 一i ) s o ro xo sc o xo so xo z 一 。 a z 【 1 。1 。7 一e ( 邸) 垫o rf 塑o x 1 2 一! 生e - h ( 邸) 训2 ， 4 4 根据山的定义可以知道其初值为 分得 则有 t = 0 ：伽= e h ( 岛( 。) ，岛( 圳蜀( z ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 设z = x l ( t ，p ) 是从任意点( 0 ，卢) 出发的第一特征线，沿此特征线对方程( 2 2 6 ) 积 l j j 不：一! 芸f t e - h ( 附加胤跏m ( 例打 ( 2 2 8 ) w ( o f 1 ) 一而厕一丁。、。“”1 7 6 j w ( o ，卢) z 。e h c r c t 】t “l 口” s c l z “t 口) ) d 7 8 ( 2 2 9 ) 若凰( 茁) 不是单调增函数，从( 2 29 ) 知柯西问题( 2 1 1 ) 的解在有限的时间内破裂。 对于柯西问题( 21 8 ) 。 根据方程( 21 1 0 ) 知沿第一特征： 象= a ，( 豆雪) ， 五为常数；沿第二特征： 筹= a 2 ( r ，季) ，百为常数。从而得出先验估计 r ，s l c d c 其中c 为常数。 引入 面“渖两筹， ( 2 2 1 0 ) 其中h ( r ，雪) 满足如下l a x 变换： 百o h ( r , s ) = 丽r 靠掣o s ， ( 2 2 1 1 )。!-，一 ，j ，ll 、 a s a 1 ( ，s ) 一a 2 ( r ，s ) ”。 可取 h ( r ，两= 晶l n ( j 一两+ 旦7 - 1 ( z 2 1 2 ) 类似式子( 2 2 3 ) 一( 2 2 6 ) 计算有 筹“( 五，两丝o x = 一孚e - i ( 耶懈 ( 2 2 1 3 ) 根据r ，s 的定义知 五( o ，。) = ( z ) 一；而( 圳+ 。( e 2 ) 垒e r o ( z ) + o ( e 2 ) ， ( 2 2 1 4 ) 季( o ，z ) = e 讯( 。) 十；葡( z ) 】+ 。( 2 ) 垒吾j ( z ) + 。( s 2 ) ( 2 21 5 ) 由z o x ) 和面( 茁) 不同时恒为零，得到氨( z ) 和磊( z ) 也不同时恒为零，从而不妨设 届( z ) 不恒为零。由于凰( z ) 有紧支集，必存在一点使扁( a ) ：m i 。扁( 。) 。 过点( 0 ，。) 作第一特征。= 茁，( t ，q ) 使 芸：一型e 痂船) 舻，m16)d 41 t 。 w 6 l ” 积分得 则有 11 丽一可啊而 面( t ，茁1 ( t ，a ) ) = 孚0 。e 痂肌1 o ”】如丑h 机 ( 2 。1 7 ) 面( o ，o ) + ! ! ! ：! ：- - ! ；! ! ! 旦二竺立z e i c 壳c t l i lc r 】。，x t f i i lc t ，。，d r ( 22 1 8 ) 讨论柯西问题( 2 1 8 ) 的经典解是否在有限时间内破裂，只需看( 2 ，2 1 8 ) 的分母是否 在有限时间内为零。然而 1 + ! ! - ：! ：- ! ! ! ! ! 旦二! 兰2 o 2 e i t 丘c r ，i i c r n ，l jc r ，i lc r ，。，d r = 1 + t 7 + 1 s 弱( 。) z e 咖i 毗即川汕( 矗( 晴巾惦( t 训( 2 2 1 9 ) 由于五和雪的岛模有界，且其初值有紧支集，故存在t o 0 ，该值依赖于m 当t t o 时，雪( f ，叠l ( t ，乜) ) 兰0 。而 从而 螽( t ，z 1 ( t ，o ) ) = 五( o ，z 。( o ，n ) ) = 五( o ，n ) 元( 壳( r ，i 1 ( r ，n 】) 季( r ，i 1 ( r ，n ) ) d 7 - 五( 蛊【r - i l ( r a ) ) ，( r i 1 ( t ，。) ) d 丁 + f 毋即川崩呐胪砸_ l c ”执如函h 酬打 ： e c i e + o ( e 2 + ( t t o ) e c 2 e r ( o ，。) 扁( 。) + o ( 2 ( 2 2 2 0 ) 其中q ，q 为常数。 将( 2 2 2 0 ) 式代入( 2 , 2 1 9 ) 式令其为零，则有 l i me t ( e 1 0 为常数，p = a p l ( 常数a 07 1 ) ， o 充分小，u = ( “1 ，u 2 ，u 3 ) 丁， x = ( x l ，x 2 ，x 3 ) 。加( z ) ，u o ( x ) c 0 。( r 3 ) 且支集均在球b ( o ，m o ) 内。 设r o t u = 0 ，则有函数妒( z ，t ) g ? ，使得u ( x ，t ) = v 。妒( z ，t ) ，将其代入问题 ( 3 1 1 ) 的第二个方程得 a v p - - fv ( i v 妒1 2 ) + v p ( p ) = 0 ， ( 3 1 2 ) p 由于妒关于x 有紧支集，则有 从而 魂妒+ ；l v 咿| 2 + 鲁一1 = 鲁矿， ( 3 1 3 ) p = ( 矿一1 一朵( a 妒+ l v 妒1 2 ) ) 吉 ( 3 14 ) 记h ( a 妒+ i v 妒1 2 ) = p ，将( 3 1 4 ) 式代入问题( 3 1 1 ) 的第一个方程得 3 晚日+ 以。( 良。妒h ) = 0 ( 3 1 5 ) o妒t。h。，+，0：,纛：三篡震二l， c 。，e ， ；味咖t s ( 一半胁( 一， 即1 一吲岫) f 其中 3 2 几个引理的证明 令u 。= a ( r 妒) ，v 2 = 珥( r 妒) ，则( 3 1 6 ) 的第一个方程与下面方程等价 a= a u + a 辟口+ o = 0 ( 2 4 ) 2 一a ，y 2 日1 1 1 2 ( 3 27 ) 掣一 ，j-ii_l、 o= 计算a 的特征值为 一学】，” 7 3，y 2 l， oj 1 忱 a 1 = 罕+ ( a 7 ) h 孚，a 2 = _ v 2 - - _ 一( 却) 何孚 对应的左特征向量 ( 1 v 2 7 - - 一一( a 7 ) 孚) ，巳= ( 1 丝享卫+ ( a 7 ) h 孚) 对应的右特征向量 ( 1 = ( ；+ 赫日字 ( 2 = ( j 1 一瓦v 2 - - 丽日孚 令c 0 1 = 1 缉u ，0 3 2 = ( 2 0 , v 则 2 辞u = u l ( - + u 2 ( 2 = 岫( 0 = 1 ( 3 2 8 ) 引理3 1 ( 波的分解公式) 令l 1 = 魂十) 、l 辞，l 2 = a + a 2 缉则w j ( j = 1 ，2 ) ，妒。，协 满足下面关系式： 舢，2 崭h 钆 - - 0 3 1 0 3 2 ) 十等( 埘。一半一竿 + 黼一+ 帮啪( c d 2 - - c d l ) ， 伽。蒜日字 d l ( m 2 - - o j 孙等( 卅。一半 + 端4 r ( a y 一+ 咝2 r ( a 等7 h 鼽一， 。 ) i1 “ 却。：一等( 一+ 莩 rr 三2 妒，：坐一丝一塑， ( 3 2 9 ) f 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) ( 321 2 ) m ，( d r - a i d t ) ) = ( 案+ 警筹 + c 紫4 r ( a 1 + 等+ 喾2 t ( a 7 ，峨 。 ) r ) 。 + 坠业拳。一坠 2 r ( a 7 、 。 ” d t d r ，( 3 2 1 3 ) 酬d r - a 2 d t ”： c 絮十等+ 喾 证明： 一 u 1 l 已u l = 妒= 一 小筹+ ( 1 1 ) 日孚 十j i i 矿“1 u 2 2 r ( a ，y ) 2 ：妒，：堕! r 2 妒，妒，2 ( ，y + 1 ) h 字、 了一瓦丽厂j “1 华一挈m ( 3 z 1 4 ) 下面分别计算出a 1a 2d ( 1 ( 2 关于 l 玩的导数。 彗；上；日与1 蕊 2 ( 却) r 娑：土 h 孚 一 z 撕1 2 ( a 7 1 a ( 1 a 砚 a ( 1 弼 = ( 0 舰a _ l 叫+ 搿日孚 娑：1 一掣日字 龇2 2 ( a ，y ) 鬻一1 _ 秽刊婚刊 一蒜h 掣) j 堡+ 堑掣学 2 ( 却) 。4 ( 却) i 掣日掣 4 ( a ，y ) ； = 嘉( 6 倒+ 耕”k 。刊 a ( 2 瓶 a ( 2 隔 a o 蕊 掣h 掣 4 ( a 7 1 里日! 掣 4 ( 舯) r = 杀俨刊一( 2 ) 兰三一型h 挚 2 ( a 7 ) i4 ( a ，y ) ； 掣h 掣 4 ( a 7 1 i 0 2 2 从上边的结果知道 d n 虢 一篇2 ( a 1 ) 一6 ( 谠) 2 2 l 0 篝= 壹k = 1 矗，c l i j = - i , j = 1 , 2 由u l ，v 2 ， 1 ，玩的定义知 1o v l r 出 堕：三塑一堕 o rr 西7 将方程( 3 2 7 ) 两边关于r 求导得 舰 lo v 2 1 一_ 疣r 砒r 堕一1 0 v 2 一堕 a rra rr a 坼+ o r ( a 4 ) + 露a = 0 4 a 7 ( 3 2 1 5 ) 其中 馥= a ( 屿白) = 妻i 1 圭 ，= 1 j 女f i 辞( a b ”) = b ( o 屿) j = i 片| 矗乘以方程( 3 2 1 5 ) ，并且将上边三个式子的内容代入得： o 2 池岛? t ) + 4 a ) “刘 卜，乏1 - ) + 蓦酬乩。j kt = u 啦 !。 ? 一；驴鹏1 + 确m 慨俩碱。壹釉 山一c 手筹+ 孕筹池一事鬻一等等，1 = 1 d i t = u “+ a 4 w f r 1 ，乏阶e 叫一硪o a j l 酬屿峨 jk 2l ， ” + ；宝+ 玩+ 玩 j = 1 分别取i = l ，2 并且将各项内容代入得 + 2 玩慨t 一善鬻钥叻 。2 码如1 ra 祝 c “， d l t 2 “i t + a 1 u 1 ， 屿 熟晚 。闰 仉r 一 吣 。 丝嘶 。m l r 一 畸醴 k 坠呖 屿 记白如 。衄 堕， 、)t 队 丝溉瓢麓 鎏荔了 一 y 一1 里甄 溉 r 劬 如 d h 一面 秦嚣 _ 一r “ 甄一争 瞒丽 ， k = 0 机 丝两 。州。嘲 堕溉 饥r +b 丛虢 堕， + 坠呖 饥一r + ；素，( a 1 - a z ) ( ( i + 醴) 一鬻( ； 】叫。一；( 筹甜+ 面c o a l u ； + ；- ( a 1 + 吼) + ( 两+ z 吼) 一鬻甜一篆n 罐+ 2 2 象 + ； g - - 。，+ 1 g 。+ 玩a 。岛，- + 2 2 a 。国。一筹矗一豢器 u 。 卜u 1 面( 9 0 l 1 r + 。孚篆 d 们r0 哪o l 字( 。；一。) + 4 r ( a 7 ) t 、11 瑞4r2一+ 锵2 r 3 ( a ；嘲( 一。f a l ) 1 一“1 7 + 兰堕车 j 堕( u 。+ 2 u 。) 一旦生等： 盟( ”。+ 掣) 等= 崛“岈 = ；1 i 善z 慨z ( a t 一( + 卜面o a 2 胪t u 。一；( 警醴+ 瓮露) u ； l = 1 1 。2 + 扣z ( a i h - 吼) + c 1 2 2 ( l + 2 矾) 一鬻a i 1 r + ：【u 2 1 2 祝a 1 1 。r 两 1 + 1 甜( a 7 ) + ( 0 1 + l a 2 ) + c 2 2 2 ( 玩+ 2 琵a 2 ) 一 + 2 丝芸 r 2 面c 9 0 e 1 。2 j u 。 筹爵+ 1 筹+ z 2 面o a 2 k h 孚( u t u 。一固+ 【象苫暴日孚+ 垫搿日字 2 ( 忱一妒) ( u - + 2 u 。) 一里竺i 盟( ”。+ 掣 下面来推导( 3 2 1 1 ) 式和( 3 21 2 ) 式。 2 妒t= 侥( 妒t ) + a 2 辞( 妒t ) ：掣+ ( v 2 ，- 叫一日孚) ( 掣一)r r 7 rr z 2 妒，妒t a l l u l 2 了十了一_ = 一等( 一+ 孕 l 2 妒，= o t ( o ，) + a 2 b ( 妒，) = 肆( 等) + ( 丝手里一( a ) h 孚) 屏( 丝吾! ) 一 矗 鲨嘶 = 挚一k r 2 ( v 2 ，- o 一( h 孚) ( 警一 ：丝一丝一塑 rrr 2 ( v 2 一妒) 、 r 利用( 3 2 9 ) 式和( 3 2 1 0 ) 式来推导( 3 2 1 3 ) 式和( 3 2 1 4 ) 式。 d ( w l ( d r 一瑚) ) = ( 等+ a 1 警+ u 1 等) d t 咖 = = ( l l w l + w 1 ) d t d r = l l w l + w l ( 盟0 石1 堕o r + 赢o a l 百0 面2 ) 出办 = 簪+ c 帮+ 等+ 筹 + ( 螋4 r ( a t ) + 等+ 盟2 r 型( a t ) 生 一华一竿皿妣 、 r 一。 rr j 。 d ( w 2 ( 咖“) = ( l 2 w 2 + 岫警) 抛 = l 2 w 。+ w 2 ( o a 20 万玩+ 筹釉捌r = 景簪州。+ c 筹+ 等十筹 小紫4 r ( a 7 + 等一筹2 r ( a一竿一竿脚 ) ” 1 1 1 7 -r 综合以上结果完成了引理3 1 的证明。 定义r 是由r ，f im 。及 t = 0 ) 围成的区域，其中工1 k 。表示过点( 矗，o ) 的第一 类特征线， r ! m ，表示过点( 一尬，o ) 的第一类特征线，这里j l 矗 ，卜m j ， 而 是 妒的初值的支集。记e = ( a t 乃- v 一1 ) ，= 2 蝎a ，引入下面几个量： ，( t ) = s ( t ) = u ( t ) v ( t ) 艘氅 i u ，( r ，s ) | d r 0 1 8 1 2 h ) 胄。”7 “ i l l a , xs 2 m 缈( | u 2 ( r s ) i m 2 s s s t ( n 二r 一。 m a xsi l l a x m r g s g t h j r l l l t 狱sm a x m 2 0 是给定的常数，妒为方程( 3 16 ) 在0st 丁( e ) 上的光滑解 e l n t ( e ) 茎c o ，则存在正常数如，岛，e 1 使得对0 t 丁( 5 ) ，0 m 2 结论成立 对t t 7 ，由解的局部存在性定理得： i 霞。妒l 旺， 由式( 32 1 0 ) 知 叻( r ，t ) = 0 ( 8 2 ) ，( n t ) r ， 从而对充分小的e 及适当的矗，s o ，结论成立。选取厶使得 ，( ) 矿o b 设s t 时结论成立来证明s t 1 时成立。为此，只要证明当8 t 时成立 m ) 等，) 字删丁2 e g 川s 学， 则由连续性知当8 一t l 时引理3 2 成立 先来说明两个事实： ( 1 ) ( r f t ) r l 有l r 一甜一a | c ( 2 ) f f ，) r ：n 只，( r 7 ，t 7 ) r ：n r 有l r + 魂一p sc ，i t t 7 l c 其中r l 表示过点 ( ，o ) 的第一类特征线，吃表示过点( p ，o ) 的第二类特征线。 事实上 h 叫吡州a 伊却_ 1 ) ( 时却卢( 咿_ 1 ) 牝掣， f r 一甜一a i = , o 。( a ，一a ) d s - a c e + c ( + v o ) e i n t + i a i c + c ( 砜+ y o ) c 0 ， 同理可证i r + 甜一肛i c ，并且利用上边结果有 2 1 e ( t t 引sl ( r + o t p ) 一( r 7 + 魂一肛) i + i 魂一r l + i 甜一r 7 l c 要估计z ( t ) ，将( 3 2 1 3 ) 式在r 上介于8 = 尬和s = t 之间的区域上积分得到： 瓜。驯蚂警+ c 筹+ 等+ 霄m + ki 簪一半一竽 + c 筹+ 等+ 筹协郴。 利用前面说明的两个事实，( 3 2 1 6 ) 式可以由( 3 2 1 7 ) 式来控制 如 2 e 晶 2 + c z ( t ) s ( t ) + u ( t ) + y ( t ) + c v 2 0 ) ，( t ) + s ( t ) + 1 + c u 0 ) s ) + v ( t ) + 2 ( 巩厶+ 如+ ) + 0 ( 3 ) 只要取的充分小就得到，( t ) 学。 对( 3 2 1 3 ) 在r 中f ：的一段弧上积分得到 ( 3 2 1 7 ) l ( a l a 2 ) w 1 i d t 茎_ e l - o + c ，( t ) 陋( t ) + u ( t ) + y ( ) + c v 2 ( f ) ( ) + s ( t ) + l 】 j 雌n r + c u 0 ) 阻( t ) + v ( t ) 利用( 3 2 1 1 ) 式来估计g ( t ) ，令 则( 3 2 1 1 ) 式变为 可以证明有 z 1 ：慨e ，2 争d s l 2 历：( 一生。+ 望) e r 争如 rr 2 等 k ，则 z 丁啾岫 m o 时 从而有 r = = 三 ( 7 。一耐) ，( r 一甜) + 三 ( r 一- 亡) ，( r 一现) 一 e f ( r 一税1 ；e 吲州。 ；f 一- i t a g ( 州。 即1 一；吲州。) u 1 ( r ，a 如) = ( r 妒) ，。+ 妒，一( j 4 1 ) 日孚 ( r 妒) ， = - 2 i e f ”( r 一税) + o ( e 2 ) 取b 使得它与 t = 捣 相交于点( r o ， 如) ，并且f ”( 伯一i a 如) = m i n f 7 即) 。这 样由引理3 3 得到： 。甄咖t ( 鲣( 一半晌p ( 纠 综合以上结果，定理3 1 得证 2 4 致谢 作者感谢她的导师周忆教授。感谢他在作者学习上特别是论文写作过程 中给予的悉心指导。感谢他的谆谆教诲和一直以来的鼓励。在今后的求知道 路上，作者定当勤奋、严谨、以不负师恩。 感谢李大潜教授和秦铁虎教授，他们都在学习上给作者以莫大的帮助。感 谢于立新、雷震、徐伟、吴佩霞、陈云雷等，他们均在学习上和生活上给作者 以关心和支持。感谢所有参加偏微分方程讨论班的同学，他们的精心准备使 作者收获了不少珍贵的专业知识。 最后作者特别感谢她的家人给予的支持。 2 5 参考文献 i a l i n h a c sf o r m a t i o no f s i n g u l a r i t i e s i nt h r e e d i m e n s i o n a l c o m p r e s s i b l e f l u i d sc o m m u nm a t hp h y s 1 9 8 5 1 0 1 ：4 7 5 4 8 5 2 j a l i n h a cs t e m p sd ev i ed e ss o l u t i o n sr e g n l i e r e sd ee q u a t i o n sd e u l e rc o m p r e s s i b l e sa x i s y m e t r i q u e se nd i m e n d i o nd e u x i n v e n tm a t h ，1 9 9 3 1 11 ( 3 ) 6 2 7 6 6 7 3 a l i n h a c s b l o w u pf o rn o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ，b o s t o n ：b i r k h a u s e r1 9 9 5 ，p r o g r e s s i nn o n l i n e a rp d ea n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，1 7 4 】a l i n h a csb l o w u po fs m a l ld a t as o l u t i o n sf o raq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n si nt w os p a c e d i m e n s i o