（基础数学专业论文）常型dirac算子的特征值问题.pdf

摘要 本文蔫簿数方法涯磷了自伴靳菲鸯伴的d i r a c 算子的特镊值估计 秘特征展开定理对予囊伴d i r a c 冀予的特征震歼定理的证冁，用积 努方翟方法有一是瓣嚣雉。本文霜蘩数方法滂鞭嚣严襁酶漩赣了黪 征筐酶黼避倍诗公式稀耨征展开定毽在一般缓性爵威逡德条彳孚下 生成自伴d i r a c 算予的条件被诞明了。对予非囱伴d i r a c 算乎的特征 袋开定理毫嚣法应瓣秘努穷露麓穷浚，零文仍攫整数努法黯一个蓠 窳菲裔俸逾赛条件猩一个菲局部逡莠条件下产嶷嚣菲爨锌算子酶特 征展开问题进行了讨论，分别得到了它们的特链展开定理从所得 绩果寒蓿，对手嚣褰静d i r a c 箅子寒说，蒋缀嚣羚耀题其有耀当事鬻 豹瘫骞。援：外，搴炎还获褥了农嚣簧舔边器条捧下琰凇冀子懿特巍 值的逊袋式 关键调。d i r a c 冀予，整数方法，谱势解，双强交，绫梭逡条辞， 葛 局部边条件 t h e e i g e n v a l u ep r o b l e m so fr e g u l a rd i r a co p e r a t o r z h uj u n y i ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，z h e n g z h o uu n i v e r s i t y , 4 5 0 0 5 2 ) a b s t r a c t ：b yr e s o r t i n gt ot h er e s i d u em e t h o d ，t h ea s y m p - t o t i cf o r m u l 踮f o rt h ee i g e n v a l u e sa n dt h ee x p a n s i o nt h e o r e m so f d i r a ce i g e n v a l u ep r o b l e m sa r ep r o v e du n d e rt h es e l f - a d j o i n ta n d n o n - s e l f - a d j o i n tb o u n d a r y c o n d i t i o n s f o rt h ee x p a n s i o nt h e o r e m s o fs e l f - a d j o i n td i r a co p e r a t o r ，i ti sd i f f i c u l tt op r o v ei tb yu s i n g t h em e t h o do fi n t e g r a le q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，w ec l e a r l ya n d s t r i c t l yp r o v et h ea s y m p t o t i cf o r m u l a sf o rt h ee i g e n v a l u e sa n d t h e e x p a n s i o nt h e o r e m s t h ec o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h ed i r a co p e r - a t o ri ss e l f - a d j o i n ti sd i s c u s s e du n d e rt h eg e n e r a ll i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o nb e t w e e nt h ei n t e r v a lo ft w op o i n t s f o rt h ee x p a n s i o n t h e o r e mo fn o n - s e l f - a d j o i n td i r a co p e r a t o r ，i ti su n a b l et ou s et h e m e t h o do fi n t e g r a le q u a t i o n b u tu n d e rt h el i n e a rb o u n d a r yc o n - d i t i o na n du n l o c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h ee i g e n v a l u ee x p a n s i o n p r o b l e m so fn o n - s e l f - a d j o i n to p e r a t o rc a ns t i l lb ed i s c u s s e db yu s = i n gt h er e s i d u em e t h o d f o r t h en o n - s e l f - a d j o i n td i r a co p e r a t o r s ， t h e r ea r ep l e n t i f u lc o n t e n ti nt h ep r o b l e m so fe i g e n v a l u ee x p a n s i o n p r o b l e m s b e s i d e s ，t h ee i g e n v a l u et r a c ef o r m u l a o fd i r a co p e r a t o r u n d e ru n l o c a lb o u n d a r yc o n d i t i o ni so b t a i n e d k e y w o r d s ：d i r a c o p e r a t o r ，r e s i d u em e t h o d ，s p e c t r a l r e s o - l u t i o n ，d o u b l eo r t h o g o n a l ，l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o n ，n o n - l o c a l b o u n d - a r yc o n d i t i o n 1 1 引言 对予微分算予谱理谂的研究，隧经寄裙溺好驰理论p 一。典型的耀题 凑s t r u m - l i o u v i l l e 阉题秘d i r a c 阕熬常逶阕越魁研究有隈逸瓣主基位势 窍秀魏撇分方程迭僮阕趣，奇壤阉越是籀嚣麓魏笼限或势添数在富黻区 阀土笼界静教努方程澈灌阈蘧 s t r u m - l i o u v i l l e 怒嚣越澡予l 蛩纪初蹄j f o u r i e r 对熬传馨鬻趣盼数学 处理枣。1 9 越纪3 0 举代，s t r u m 朔l i o u v i l l e 黠常篓的& l 闰题进行了详 细的研究，所得的结果成为f o u r i e r 方法的理论熬础，f o u r i e r 方法是解决 一大类散瑗努器阏蘧的宥办王其。常鳌孓玉麓髓鲢骚究鑫嚣魁捶；特征擅 和特征蕊数鹩存在往藏渐进嵇计，特攘遥数萘猩哪蹙空阉串其有完备缝 戆溺题稷葳潜闻戆。奄激s l 阏越翡研究海察魁捶l e v i n s o n - l e v i t a n 理谂， w e y l e 理论，t i t c h m a m h 公式等，解决了谱鼹数系翡存在经鞠唯一链。特 征蕊汗的如理论，以及赢款积麓款鹃分类粼剃等闻怒 d i r a c 特挺值问题起潞予量予力学1 9 2 1 簪，w h u r w i t z 谶赠了一个一输 微分穷襁系的特征函数爆盼凳备性+ 1 9 7 5 年，b m 。l e v i t a u 牵鞋i s s a r g s j a a 将 其应藩予载努方程，获嚣落d i r a c 鬻题鲮赞究褥铡避一步辩发展i s ，融蛹8 珏 穰m g g s s y m o v 分裂予1 9 6 6 年赣1 9 6 8 苹给出d i r a c 方覆辫嚣静茁粼形式 1 2 , 1 a 1 ， 美乎嚣溅s 忑耀錾将链谨熬荐农瞧麴涯爨；擎法缀雾在募子理谂串， 常用的方法燕构造微分算子的g r e e n 函数，然后将微分算苄的特征值问题 转化势个蠡连续算挚瓣特征氆阉题来缝理爨梦 菊e a ，t i t c h m a r s h 新罨 进戆复交辩散沦懿方法，窀将将诬燕酶存在秣鬻熬 二为一个整霹效甜 酶零点瓣存凌蕤避荧予s 工阕邋酶按特蔹滋数展开薛悫壤也有多释涯 法，常觅的墩是上述麟穰方法t 冀子理论方法濑蓖变交数论方法。蘸者 是剩溺微分冀予纛穗瘦戆积分算乎兵纛糖溺懿规藏完备越交涵数累，将 微分算乎的将强震齐阏题转诧为楼应积分算子瓣特征晨稽阏惩嚣者楚 利用整函数w ( a ) 的渐进估计，构谶一个单闭酾路，用留数方法沿此单闭 露鼹黠一个壤等式遗掰彀分，褥藏| 澈遴爨拜是疆。复变激数沦方法聚薏 洁又准确，具有明是的优点。 对予常鍪s 一毛麓鬈酶邃公式的研究程当多 1 4 “1 7 。霹予c o d d i n 麝o n 溺所 研究的一般的线性边界条件问题，1 9 8 1 年曹策问教授给出一种分类，并 用留数方法解决了各种情形下的渐进迹问题i n 1 9 6 1 年，e a b d u k a d y r o v 恩漳 进佑诗的方法绘蹬了一种囊斧d i r a c 阕撩豹邃恒等式【1 8 1 常蛩8 - l 特征值问题并不一寇都是自伴的a c o d d i n g t o n 研究了一般 线性条件下的特征馕问题，并用积分方程的方法得到特征展开定理。 早在十九世纪人靛藏鳃遘微分算子酶谱毽沦在镌璞、王程等领域有着 重要的应用上世纪六十年代，人们发现了它和一个非线性偏微分方程 ( k d v 方程) 的“皿缘”关系，由此产生了一种求懈非线性偏微分方程 的薪方法一一反散射解法，逮怒臻线性辩学中的一个突破性进展到了 上世纪八十年代末，曹策闻教授发现的由l a x 对菲线健化获得新的有限 维可积累统的方法也与特征值问题有着密切的联系匾颐微分算子二百 多年的历史可以发现，它在不断的发展，并不断有新的应用 对予d i r a c 特征德阕蘧的研究凡乎与孓l 阈遂平行，= 者的显著不同 是在奇数情况下前者仅有点款出现1 9 7 5 年，b m l e v i t a n 和i s s a g s j a n 3 】 利用平移算子的方法给出了d i r a c 特征值阍题的渐进估计，并证明了特征 展舞定疆 他们农讨论特征俊的渐进性恣时，用渐进分析的方法首先证明了特 征值a 满足 s i n ( 知r p ) + o ( ) 一0 其中p 为常数由此断定上述方程有无穷多个根k 。并且有 霄 n 一口= n 7 r + 6 这种说法并不能令人满意另外，他们在证明d 打a c 特征展开定理时， 罨垒连续算子霪论麓第一部分，涯臻了d i r a c 阉惩有竞努多令特蔹纛，篷 在研究特征展开理论时，没有接着用全连续算子的理论，而是引入矩阵核 q ( 茹，毒) 一嚣( 嚣，) + g 江，毒) i i 其中g ( 。，) 为g r e e n 函数， 日( 。，) = 量虹粤；r 盥，( z ) 为与a 。相应 n = - o o 。 的规范特征函数然后用反证法证明了q ( z ，) 没有特征函数，进而得到 q ( z ，) = 0 但在说明q ( 茁，) 是自伴核时利用以下结果 ，n1 、 g ( z + 0 ，f ) 一g ( 。一0 ，) = h ( x + 0 ，f ) 一日( z 一0 ，f ) = l 。1 一10 事实上，上面等式难以证明其正确性 基于以上两点，作者用留数方法重新研究该问题的特征值的渐进估计 与特征展开定理 留数方法的再一个优点是它不仅能应用于自伴情况，还能应用于非自 伴情况由于全连续算子只适用于对称的情况，故上面提到的b m l e v i t a n 和i s s a g s j a n 的方法就不再适用于非自伴的情况了对于非自伴的情况， 只要能找到一个整函数u ( a ) ，就可以用留数方法证特征展开定理 对于d i r a c 算子，它的非自伴情况可以通过适当选择边条件来实现 例如本文分别选择一个线性代数条件和一个非局部条件对于线性边条 件，可以得到一对双正交的特征函数系而对于非局部条件，结果就没 有那么好 鉴于留数方法的优越性，本文用留数方法研究以下内容t 第一部分给 出常型d i r a c 特征值估计的严格证明，进而给出了特征展开定理和d i r a c 算子的谱分解第二部分研究了一个线性边条件下的非自伴d i r a c 特征值 问题，得到一对双正交的特征函数系和特征展开定理第三部分研究了 一个非局部边条件的非自伴d i r a c 特征值问题，并证明了它的特征展开定 理，获得了迹公式 1 u 5 1 自伴d i r a c 算子的特征展开 1 1 特征展开定理 考虑有限区间( a , b ) 上的特征值问题t 啦( 掣一恕) 一 d l y e y l ( a ) c o b a + | 1 2 ( 口) s i n a = 0 d 2 - - = y 1 ( 6 ) c 卢+ 耽( 6 ) 咖卢= 0 其中，p ( $ ) ，r ( x ) c ( a ，6 ) 为实数。口，卢为实常数 考虑c a u c h y 问题 c a ： d i p = 入妒，c p l ( a ) = 一s i n a ，i p 2 ( 口) = c o s 0 1 ， c b ： d e = a 妒，妒1 ( 6 ) = 一8 i n 卢，也( 6 ) = c o s 卢 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 容易证明以下命题t 命题1 1问题( c a ) 和( c b ) 有惟一的解，其解都是$ ，a 的二元连续函数，且是 的整函数，对于大的，i p 有以下的估计t 巴= 二= 三二三= 其中，t 7 ( 霉) = 譬( p ( f ) + r ( f ) ) 磷记 c ，( 入) = c p l ( b ，a ) 8 i n 卢- 4 - 忱( 6 ，a ) o 卢 容易证明一下命题 命墨1 2a 。为( 1 ) 一( 3 ) 的特征值 号 ( a n ) = 0 ( 4 ) ( 5 ) 此时，i p ( $ ，h ) 和妒( $ ，k ) 线性相关，记妒( $ ，a n ) = k 妒( 为h ) 设y ( x ) 为( a ，b ) 上的向量函数，取z 2 ( 口6 ) 的子集d ，它由满足以下条件的函 数y ( x ) 构成； 1 ) y ( x ) 在【a ，b 】上绝对连续 2 ) d y ，口z l ( 8 ，6 ) ， 3 ) d 1 = d 2 v = 0 考虑g r e e n 函数矩阵 艾【2 】证明t 以f 命题 命题1 3 设a 不是( 1 ) 一( 3 ) 的特征值，对任意的向量函数，( z ) z 2 ( o ，b ) ，则 方程( d 一 j h = ，( 。) 在口中有惟一的解，且解的形式为 妒( $ ，a ，) = r ，= a ( x ，a ) ，( f ) d ，o ，口 引理1 4 的舢m 忙一咖刮唿尹妒搿) i j 口 l“，l jw i ji r 划2 如= 南蒯! o la ，一掣 容易证明白( 。) 0 由此得到问题( 1 ) 一c 3 ) 的规范的特征向量函数 ( ) ) ， ( 加1 一志出川= 1 一丽1 j q , ( 毛h ) 坐每掣：一怯( $ ) 螺( f ) 白( n ) 一。” 直接计算可得 命趣1 5g ( 卫，入) 和咖( 毛入，) 都是入的亚纯函数，在h 处有一级级点，且 、鼍g ( $ ， ) ：一( 。) 螺( ) ， = 入n 。 ” 三。( 入，) = 一( ，) ( $ ) = 一厶( 乩 其中，( ，) = 詹，t ( 茁) 讥( 譬) 如 设a = 盯+ 打，由( 4 ) ，( 5 ) 可得 “j ( 入) ：8 i n ( ( + ( 6 一。) - a + 卢) + o ( i - e i r l ( 6 一o ) ) 2 茹 茁 一 f f 、， 入入 入 f f 忱仇 仍也 a a o $ z $ 饥忆 帆忱 a a f f f f 妒妒 妒妒 入入 入a 茁 o o 茁 仉忱 饥忱 ，一，一 矗 一陲 ，、【 = g 为方便计，不妨认为q ( 6 ) = a 一卢，设q ( a ) = s i n ( a ( b 一口) ) ，则 踹= 1 + 。【。i 1 面e i d 盯c 而b - 。) ) 记r = 击( + ) r ，n = 0 ，1 当口= r n 时， ls i n ( x c b 一口) ) 1 2 = s i n 2 ( o - ( b d ) ) + s i n h 2 ( r ( b o ) ) = c o s h 2 ( r ( 6 一口) ) 于是， i型岛i=i茄1sincacbc o s h ( ， ( b 2 。 一口) )一口) ) 当m j 南时，并注意到i s i n 2 ( x ( b b ) ) l s i n h 2 ( - ( b a ) ) ，则 e m ( b 一 e m c b 一口)2 2 i s i n ( a ( b - a ) ) s s i , u h ( m ( b - a ) ) 。1 - e - 2 1 ， l ( b - a ) 1 - - e - z 命题1 6问题( 1 ) 一( 3 1 的特征值集为可列集，其特征值可记为 a n a 一1 a o a l 0 ，构造函数i p ( 。) 和蛳( z ) ，i p ( 茁) 为下式 ，、i ，( 盘) ，盘( 口+ 可，b 一町) ， 妒2 1o ，其它 由积分的绝对连续性，垤o ，j 6 使得当1 , 7 1 6 时，i i ( x ) 一v ( x ) l j 由引理1 1 1 得0 妒( $ ) 一i p ( ) 8 于是 i l ( x ) 一妒h c x ) l i i i i ( x ) 一i p ( 茁) 8 + l l 妒0 ) 一i p ( 正) i 易见m 妒 = d 2 一0 从而妒 口这就证明了口的稠密性r - i 定理1 2 ( t 展开)v ，( 茁) z 。( o ，6 ) ，记其模数为i i f c x ) l l ，则 i i f ( x ) l l = 舰一卅， i i = - - n n i i f ( 善卜。三，n 帅) i i 乩n = 一“ 1 2 算子t 的谱分解 考虑矩阵微分式d 在定义域口上产生的微分算子t = d ，d ) ，由引理1 9 ，对 任意的向量函数，g 口，有( t ，9 ) = ( ，t g ) 从而，可知t 是对称算子由命题 5 1 3 ，当a 不是问题( 1 ) 一( 3 ) 的特征值时，逆算子( t 一 ) 一l = 取，定义域全空间 z 2 ( 口，6 ) 根据h i l b e r t 空间中对称算子的自伴性判别定理，t 是自伴算子 设p n 为特征向量函数( 所张成的子空间上的投影算子p 。：，- _ k 显 然，鼽为线性算子对任意的向量函数，( 譬) d ，有c 展开，( $ ) ；萎a ( 。) 妒。( 霉) n = - - 0 0 故 0 00 0 ，( 霉) = ，( 茁) = ( p 。) ，( 。) n = - - 0 0 n = 一 于是，有萎p n = 1 ， f t 0 0 箜 0 00 0 t f ( z ) ；，n t ( 嚣) = ，n a 。举h = 入。p | i ，( $ ) ， n = 一 ，i = 一n = 一 t = a n p n 设取2 曩 p n ，由于西是由可列个两两正交的投影算子的和，故毋也是投影算 予 下面验证t 圾 是一个谱族 5 1 1 ) 取单调不减当 p 时，取= p n = p 。+ 陬= 现+ p 。 由于0 ，所以毋觇。 p s n 2 ) 对于a a o ，取一取。= 加，所以要证明取在 o 处是右连续的，只 n s 要证明、婪攀p n = 0 即可事实上，v , f ( z ) 口。由于 陬两两正交，则 “ ”。h s p 。姜。l l p n 川2si i 1 1 2 记地= n l o k 埘，及m 2 观 n ) ( 当地是空集 n = 一 一j ” 时，规定m 一o o ) 显然，当入时。m ic 蜥，所以。当a ( 沁，+ ) 时， m 是单调不增的而且、錾p m = 0 0 但由予 0 p - f ( 盘) 1 1 2 = i l p - 1 ( = ) 1 1 2 = i f l l 2 l i f , , f l l 2 ， o n s o k s n m n m 1 当 _ + o + 0 时，上式的右端趋于零。则、印0 加，( 茁) 酽= 0 ， 这表明当a - + o + 0 时，取一四k 强趋于零因此取是右连续的 3 ) 由于萎p n = 1 ，所以崦取= 、啦p n = 1 又记取= 俐k s 妒) 及 n = 一 - + - + k 而 = m 砸 讣则当a + 一0 0 时， 戤叶o 。由于对任何的，日 i e m i i e ；, f t l 2 = 0 p j i l 2 = i i p j i l 2 墨l l p j l l 2 所以 l - + i m 。t l e x f l l 2 = 0 ，即1 i m - k 0 0 取= 0 口 6 设最一马一甄，a 参避懿长度为6 ，劐当瓢= 魏时，鼗薅毒 j i m 。曼a n p = e - 碱钉n = 一。 、 于是，t ：良定义域妒上有谱表示 墨2 | 。8 x ，十 2 非皇拌线性边条件下的d i r a c 特征馕问题 l 枣，裂月鏊数努法讨论鑫俸d i r a e 特缝僮阕瑟，证臻过程严格，燕涪，毙尾积 分方程的方法具有明显的优越性对于两点非自伴线性边界条件下的d b a e 特征值 问题，积分方程方法b 不适用，但却仍可以甩馨数方法加以讨论，并晟在这种条件 下，常紫黼鹫一对双芷交懿将鬣殛数系，葭耩褥结果吴霄数学夔 考虑特征值问题 f 秽暂= 两， ( j ) t l m = m n y i ( 0 ) + m 1 2 v 2 ( o ) + n 1 1 暑f 1 丌+ n 1 2 掣( 丌) = 0 ， l 圾潮= 黝l 挈l o ) + m 敛搬( + r 毪l 譬l 霄+ 玮麓爷转) = 0 ， 这里m 甜，哟为复数，t j = 1 ，2 。d 的意义如1 1 阕题( 1 ) 鳇溪令条箨蜀l ；玉写成矩瘁静形式 t 【们= m y ( 0 ) + n y ( u ) 一0 萁串 m ：( ：= ) ，：( ：) m = ( = = ) ，= ( 竺：) 问题( i ) 相应的算子一般来说已经不南对称，从而也不自伴与问题( i ) 伴随的特征 馕阕疆记为 ( d y = l y , ”州+ q + ；0 其中，p = ) ，q 。渤) ，且p 一渤) ，驴= ( 珏) i ，= l ，2 ，”i ”表示茇共轭- 嬲问题( i ) ，( i i ) 满足条件 m b 一1 p = n b 一1 q ( 8 ) 时，且t m o ，t 。【”】= 0 ，则可以验证 睁，川g = 0 - 踅嚣孛，毒 ( d u ， ) = ( ，d ) ， 7 特别，港p = m ，q n + 时，鸯 这时，t m = o ，t 融一0 ，且有 矩阵等式( 9 ) 的分量形式 豪篓兰糍咄痢： 若m ，n 均势实矩阵时。上式就篱化搀 以下讨论个具体的非自伴的特镊值问题 考虑有限鼓阕甄棚t - 戆毯嗽将髹壤阕题； d 口= 入玑 t l m = 暂l ( 0 ) 一i l a ( o ) + 妣o r ) = 0 ， 赴潮= 一铭滋( 霄) 一 辙( 霄) = 0 t 将( 1 1 ) ，( 1 2 ) 合写为矩髀形式为，掣m = 协( o ) + 脚( 丌) = 0 其中e 吖：，：( ：二：；二) 与之锌隧魏特征值阗邀静遗界条 串海 t + 【叫= p + v ( o ) + q + v ) ；0 ， ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 萄 辫 ，；( 1 ) 如：拈( i ：。；：) 下鬣来构造卫l ( 口， r ) 的两个子集静，口+ 。口为满足有以下纛个条件组成的函数 # 熬集禽t 1 ) y ( $ ) 在【o ，州上绝对连续； 2 ) d ，y z l ( d ，r ) ； 3 ) + ，潮= 0 。 口为满足有以下三个条件组成的滋数口( 。) 集合t n ) ”( ) 在【o 丌】绝对连续； 6 ) d + ， z 2 ( 0 ，7 r ) ； c ) t + m = 0 用软化算子可以证明口，d + 在z 2 ( 口，”) 中稠 容易验证，此时( 8 ) 被满足，故对任意的d 一口4 ，有 ( a v ，”) = ( v ，a 。 ) 记由d 和口产生的算子为a ，由d 和d 产生的算子为岔 设向量函数妒( 霉，a ) ，妒( $ ，入) 为方程( 1 0 ) 的两个解，且满足 妒1 ( 0 ) = i ，仇( 0 ) = o ；妒l ( 0 ) = 0 ，忱( 0 ) = 1 ( 1 3 ) 则妒( ，入) ，母( ，入) 的w r o n s l d 行列式恒为1 ，且妒( 。，入) ，母( 霉，u 均为) l 的整函数 设( 1 0 ) 的通解为 v ( z ， ) = c i 】p ( z ，入) + c 2 妒( 茹， ) 将它代入到条件( 1 1 ) ，( 1 2 ) 得 t 1 m = c l t l 嘲+ c 2 t i m = 0 ， t 2 b 】= c l t 2 【纠+ c 2 2 【纠= 0 可以把上式看成是一个关于c l ，晚的方程组记其系数行列式为 吣，= i 笔凇龇 则上一方程组有非平凡解的充妥条件是u ( a ) = 0 ， 命题2 1a o 是共轭算子d 的特征值 辛抽是c ，( ) 的零点 利用条件( 1 3 ) 可得 ，( a ) = i p 2 ( r ，a ) + 妒1 ( 丌，入) 一i 也( 7 r ，入) 以下假设u ( 入) 只有单重零点 令入= 口+ 打，问题 t d l p = f ；妒1 ( o ) = i ，忱( o ) = o ) 有解的估计 f t p l o ，入)= c ( 7 ( 。) 十地) + d ( 女e 1 7 忙) ， 1i p 2 0 ，入) = 一b i n ( q ( 。) + a z ) + o ( 女e 4 ) 9 同样妒( 为入) 的估计为。 j 妒1 0 ， )= 8 i n 幻忙) + a 茹) + d ( e 1 7 i 。) ， 【也p ，a ) = c 0 8 ( q ( 。) + a 。) + d ( 圭e 1 7 扭) 于是 ，( a ) = l p 2 ( 7 r ，入) + 妒1 ( ， ) 一t 忆( 7 r ， ) = 一 c o s 向( 口) + a ，r ) + d ( e h “) 设q ( a ) = 一i c o s ( , k l r ) + a 丌) ，不妨令q ( ) = 2 k t r + 0 t r ，o 口 1 ，则q ( a ) 的零点 为 a n = n 一日+ 妄，n = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ， 于是 踹= 1 + d ( i 1 丽) 令蜀v = n 一口，对上式余项的估计，有下面的引理 引理2 2 i ) 当口= 鼢时 l 矢i 霉的情况 巍。f 太) = 0 ，可致释裂? 阐与望嘲线性攘关，记努掌溷一蹬鹾一0 。圭鼗霉黻褥 到以下二式 i p 2 ( 竹， n ) 一1 = = c 如( 7 f ，入n ) l 一妒l 转，矗j = l 一敬毓k 羚 竺乏g ( 文 ) = 荔两1 眙( 茁，a n ) ( 妒l 何，h ) 一1 ) + 妒( $ t n ) o 一妒l ( h ) ) 1 2 ( ”，h ) + 呼缸，k ) ( 搬a n ) 一1 ) 一妒溆k ) 魄k 梵敏 耳，f ，k ) 2 i 南 陋( 文训妒1 ( 霄，k ) 一1 ) 一础( ，k ) ( 妒1 ( 丌，h ) 一1 ) m ”，) + 鼍鬈，k ) 国2 霄k ) 一江，k ) 魄盖n 琵致转，毛k ) 2 赢f ( i p ( 茁，k ) 一却( 茹，k ) ) ( 妒1 ( h ) 一1 ) 硒( 扎，k ) 一妇扛，h ) 一鼬洚，k ) ) 蟛耳，k ) l ( q ，k ) 】 = 一和( $ ，k ) 一印( 善，k ) 】函南h 如 霄，天n ) 矿毽，a n ) 一铆( 霄，k ) + 1 ) 妒下( f ，k ) 】 兰一0 ) ( e ) 其中，= 妒嚣，a 。卜印。，k ) ， r 。( ) = 志( a 。) 妒t 嬉，a 。) 一( 妒2 ( 霄， n ) + 1 ) 妒t ( 专，h ) 】 a 1 3 愈趣2 6 当盖誉是溺避懿辫一l o ) 懿将筵馥晴，对挺意巍爨蘧数，( 嚣) z 2 ( 0 ，仃) ，简越( d 一 ，) = f ( x ) 在移中有噍一解，鼠解的形斌为 ，e 簪秘，盖，拜2 五g ( m ，& 矗) ，f # 命题2 t ? 、 笔。妒涵埘) = 一( 璐狲缸) 霹激透骥一下蠹瓣。 命艇2 8v ( 霉) e 刀， t 簪嵇，磊， = ：睾拳秘，天，辫；一睾， 鸯 必了售诗曲，d f ) ，瓣妥萼l 入下孳l 理+ 蹶9 胁点愀鼢睁i 小) f 概佃，a ) ，幢) d mo ( e 2 州4 ) f u + 谶骥借虢芎l 褒1 7 可鞭证褥嵇 当aeo n 时 始 ，) 。o ( 。) 十繇( h + 餐群o ( ”) = o 妻潮z ) ( ij + 。 妻壁纂芸产) ( 1 ；) = o ( 妒懈。) ( ：) 。 于魑，当a 毫o k 时，命题2 8 就可搿为 目咯，氧，) = 一妾，妨o ；毒一鞘嘲) ( i ) - ( i 劫 制睡2 1 0v l 鹫) 爸雾， m ，= 羔鼢州卅。e 斋，( ：) ， m ) = ( 鼢) ( ) + o ( 蠢) ： t 一 、一， 余项估计对嚣【o 川一致成囊 证骥在1 8 ) 懿溪媾嚣除渡2 ，霉港辩骚0 鑫欷努缮 。 矗盎姆a j f m = 嚣1 东( 一( - 譬) a x + o ( 蠢厶恻) ( ：) ， 即 。妻= - - n ，兰。鼯 舻拍舯；斋p ，( ；) ， 1 4 蠹予魄的边长为，簌嚣肖 ，z 主n 。耋之眩气辨一一e 支魄，e 群，+ 。e 斋，( ：) + 。 下蠢箨来考虑与闽越( 1 0 ) 一1 2 ) 静涟静特懿誊麓鞭 d v = = 麓一一 鞭辩+ 搬镶十键( 嚣) 一0 ， 蟪湖一一 毪( o ) 一如l ( 霄) + 抛( 哟= 0 ， 将2 i ) ，撂2 褥戚麓阵澎斌斑 堂麓= 蝾玲嚣= 0 ， 其牵 t ：癣，一( ：三二：) 。 浚妒，妒螽，天；势辫尾拳释 1 3 ) 辩辖镑懿嚣令绂往无美辫，将 t ( 嚣，砖一趣妒瓤砧+ 纯妒扣， ) 健久条律2 1 ) ， 2 霉枣，劳设箕装数褥辫式凳 甜。硒。一恐a ) 一妒l 姆，a l 镪( e ，天) 对矿 ；麓榉暴有类敷擎惫蘧2 1 嚣惫蘧。 鸯鬻嚣l 舒类弦，考癔将髹爱齐麓题 d * 知十g 茹) 堂瓣= j 鲈静十露+ 口缸) 一0 ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 曼 瑚樾瓣 ，。 ( 犯 ) 2 卫o ( 街，洲口( f 蛾+ 壤( 羁a ) 。 其枣e 一e l ，匏) t 势符志鬻数楚耋 垂类议豹努浚鳃餐 1，#，群 e j 一墨磊甄 妒l 秘，巾1 ) 五如( 钒薯，x ) g ( o a 薯一锄 霄，萄五趣矗a ) g 舀磷 娩一芬斋 f 张 萄+ 1 ) f 瓠霄，矗萄g ) 菇一融扫，萄一 ) f 羁毛萄# ) 避 1 5 于是 巾，a ) = z 。冰，) 觚) 磷 + 祷啪) + 1 ) z ”坼怎燃) 必呐( 啪) 小( 硝昧) 必) + 祷( 训+ 1 ) f 呱州淞吨z ( m h ) 上”坼怎燃) 武) 2 上。知，f , x ) g c o a 善+ 石专可上 眙o ， ) ( 妒1 扣， ) + 1 ) 一妒o ，a ) ( 妒l ( 丌 a ) 一i ) 】k 2 ( 丌，f ，a ) + m ( 岔， ) ( p 2 ( 7 r ，a ) + 1 ) 一l p ( g ，a ) 忱( f ，a ) 】1 ( 7 r ，f ，入) ) 9 ( f ) 武 ，f 兰上口( $ ，g ( f ) 武 其中 g + ( 。，f ，a ) = k ( x ，a ) + 南 陋缸， ) ( 妒1 ( 丌，a ) + 1 ) + 妒p ，a ) “一妒1 ( 竹，a ) ) 】乜( ，r ，f ， ) + 【妒( $ ， ) ( ，2 ( 丌， ) + 1 ) 一妒( 茁，a ) ，如( 丌，入) 】七1 ( ，r ，a ) ，f z 孑栖 盼忙，a ) ( 妒1 ( 7 r ，a ) + 1 ) + 妒0 ，a ) a 一_ p 1 ( 霄， ) ) 】胁( r ，己a ) + 【妒( 。， ) ( 娩( 霄，a ) + 1 ) 一妒( $ ，a ) 忱( r ，a ) 】七l ( ，r ，f ，a ) ，f z g ( ，a ) 具有与g ( 霉，f ，a ) 类似的性质，称为伴随问题( 2 0 ) 一( 2 2 ) 的g r e e n 函数 与前文方法类似，可以得到以下三个命题 命题2 1 1当a 不是问题( 1 9 ) 一( 2 1 ) 的特征值时。对任意的g ( x ) z 2 ( 口，7 r ) ，问 题( d a z ) v = g ( x ) 在口+ 内有唯一解 ， 皿( $ ，a ，9 ) = g + ( 。，f ，a ) o ( o 武 j 0 且有 、m ：皿o ，凡g ) = 一( 玑& ) 怯o ) 命题2 1 2v g ( $ ) d 皿( 。，a ，9 ) = - e c z , ，d 9 ) 一知( $ ) 命题2 1 3v 9 ( 茁) 口 = 。塾删如( 1 1 )n = 一v 、， 余项估计盘【0 ，卅一致成立 命题2 1 4 设k ，t | ，i 为d 的特征值和特征函数，口。，为d + 的特征值和特征 函数若h m ，则，) = 0 1 6 证弱 ( n t n ，羁n ) = ”似。，西n ) = ( “。，d + 订m ) = ( n ，皿m 面m ) = p m ( u 。，面m ) 即( h p m ) ( 。，o 。) 一0 ，因为 。p 。，故( u 。，o 。) ；0 口 由予勿，p 在e s ( o ，霄) 申覆密，霹以涯暖下萄戆定理 定瑾2 1 命遂1 3 ，命蘧1 6 孛懿袋式在三2 收敛意义下数成立 命遥2 1 5对于d 的特征函数系 ( 耋) ) ，可邋嬲选取d + 的特征函数系 妒。( 茹) ) ， 使二者成为双正交系，即( ( ) ，妒。( 霉) ) = 矗。 证明盎手f 妒。( 墨) 是口+ 的一缀完备列，瞧g r a m - s e h r a l d t 定理可知，努+ 是 簪。 强痰秘线性藏彤，获蔼p + 鹣正交脊9 “* 秘 。 对于d 的任意特征姻数铷( 。) ，融定理1 知，( 。) 可以按 妒h ( 。) ) 展开，即 ( 霉) = 妒。( 茹) 并且有 ”l 一 0 0 汹，秘蛰= f 茹) ，) 由于( ( 茹) ，( 。) ) 0 ，又由命题2 1 4 知，当k 肛。时( ( 妨，妒m ( 冒) ) ；0 ，从而可以 得知寇襻在个琊满足 。= 乃就# 啦可适当选择奶，使( 霉) ，奶( 茹) ) 一1 。 嚣榉，对予任个撒，定存在k ，捷褥鳓= k ，势盈胃玟逶鹭逸箨妒。( 若) ，旗 嚣) ， 使( 。( 茹) ，讥( $ ) ) = 1 从而命题得诚口 由以上命题的证明知，若 入。) 为d 的特征值熊，则 x 。) 就为d + 的特征假集 定理2 2w 如( 打，z ) ，有缀对一致收敛的展式 ，和) 一8 n 轳h ( 甸， a n 一( ，妒n ) ； n = 一 ，扫) = k 奴江) ， 6 竹= ( 支妒0 - ，l = 一 推论2 , 1w f 嚣) ，p 霉l ( 8 ，霄) 有双线往公式 ( ，口) = k n = 一 其中8 。一( 矗蟊) ，酝= 窖 铷) 3 非愚鼯边弄条韩下的臻啻俅d r i a e 算孚的特征蓑稽及迹公式 考虑有限区闻敬嵋上鲍d i r 8 c ：特征值闻题t d = ， 1 7 ( 2 4 ) t 1 m5 掣1 ( o ) 一0 ， ( 2 5 ) t 2 蚴；抛w ) 一f o v a t ( 嚣) # 缸) d x = 0 ， ( 2 6 ) 其中p ( ) ，r ( ) c z ，丌】为实数，口( 茹) z 2 ( 吼 ) ，且n ( 嚣) = ( 口1 ( g ) ，n 2 ( $ ) ) 下 3 1 特征展嚣 下面来构造嚣$ ( 口，丌) 的两个子集d ，口d 为满足有以下三个条件组成的函数 掣嚣) 豹集合t 1 ) y ( 岔) 在f 0 ，丌】i - 绝对连续； 2 ) d y ，；，ea j ( o ，霄) ； 3 ) t l 醐一暑2 醐= 0 d + 为满足有以下三个条件组成的鲻数”( 霉) 集合t 8 ) 繇碎在辫，霄】绝鬟争连续； 6 ) d + t ， z 0 ( 口，霄) ； c ) 口l ( o ) = t 1 2 缔) = 0 甩软化算子可以证髓d 在z 2 ( 口霄) 中稠。 记由d 和口生成的算子为a 。d 和d 生成的算子为a 的共稍算子，记为小 设惠量丞数妒江，砖妒，a ) 鸯努糕2 4 ) 戆鼹令察，蕨瀵是 妒1 ( 0 ) = 1 ，i p 2 ( 0 ) = 0 ；妒1 ( o ) = 0 ，幽( 0 ) = 1 ( 2 7 ) 爨妒( 嚣，萄，簪，a ；戆w r o n s k i 爨残蔑蓉戈l ，麓妒霉，肆，妒和，五) 坶涛天懿整添数。 霹日用以前的方法可以求得 。砖；亡2 圈= 如弘碣一j o o r 6 t ( 。) 爹( 嚣，a c b ， 间样有以下命题 螽惩3 1a o 是共辘冀子d 的特征僮错h 是u ( ) 的零点 蠢l a g r a n g e 恒等式 t d g g t d ，= 五d 眵，胡，w ，9 z 4 ( 。，r ) 令，一妒( 奶 ) ，g = 妒如，) ， 测有如下引瑷 荸腱3 2 c x 一，z 。妒t c 羁”妒c 为，c b = l ： ：) ) ： 妨l j ：o ”c 霉，砷，t 竹，妒和， ，一妒_ ，a ，审洳，a 。 z ”| 妒e 嚣，太，| 2 矗。= | 象；：驾：；：；| 一f 。t t 。，醪t e