（基础数学专业论文）第一betti数b12的紧致流形的对称度.pdf

摘要 在本论文中，我们利用a l b a n e s e 映射和主丛的知识，证明了连通紧致流形在第一b e t t i 数b 1 = 2 和对称度达得最大值时，流形只有两种情况t 2 铲一2 和t 2xr p 肛2 ，n 4 。 关键词：主丛，a l b a n e s e 映射，p 一等变纤维化，对称度 ab s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b yt h ea l b a n e s em a pa n dt h et h e o r yo fp r i n c i p a lb u n d l e ，w ep r o v et h a tt h e c o m p a c ts m o o t hm a n i f o l d sm n ( t , 4 ) w i t ht h ef i r s tb e t t in u m b e rb l = 2a n dl a r g e s ts y m m e t r y m u s tb ed i f f e o m o r p h i ct oe i t h e rt 2 s n 一2o rt 2 r p n 一2 k e yw o r d s ：p r i n c i p a lb u n d l e ，a l b a n e s em a p ，p - e q u i v a r i a n tf i b r a t i o n ，t h ed e g r e eo ft h e s y m m e t r y u l 中国科学技术大学学位论文原创。性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：兰垒墨噻 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 留公开口保密( 年) 作者签名：丝墨瞳 签字日期：q j l 一 致谢 借此论文完成之际，我要衷心感谢导师许斌副教授的悉心指 导。自从2 0 0 6 年开始微分几何的学习，许老师在学习和生活上均 给予我极大的关怀和帮助。在这三年的学习中，许老师渊博的知识， 谦逊的为人，敏锐的洞察力和严谨的治学态度，都给我留下了非常 深刻的印象，并将会始终激励着我。谨向他致以崇高的敬意和衷心 的感谢! 在此，还要感谢陈卿老师，沈维孝老师，胡森老师，麻希南老 师，任广斌老师，陈智老师，李思敏老师几年来传授了我系统的专 业知识，使我受益匪浅；感谓 所有数学系的老师特别是张韵华老师、 黄稚新老师、张伟老师以及张斯伟老师自从我到科大以来的教导和 帮助；感谢多年来一直陪伴我的同学，特别是0 6 级毕业班的同学， 他们在我沮丧时鼓励我，也一起分享彼此的快乐。 最后，我要深深感谢我的家人，感谢他们多年来对我细致入微 的关怀和教育。他们为我的成长付出了极大的心血，没有他们无私 的爱与默默的支持，我是不能顺利完成学业的。 2 0 0 9 年5 月 己l 言 丁i 目 在本论文中，用9 ( m ) 表示黎曼流形m 上的等距群：用g o ( l f ) 表示9 ( m ) 中的含 单位元的分支。用n ( m ) 表示流形m 的对称度。对称度的概念是2 0 世纪6 0 年代，由 项武义和项武忠兄弟在研究变换群理论时提出的。它是指赋予流形m 上不同黎曼度量 时，9 ( m ) 的最大维数。事实上我们计算对称度时，只需要考虑其上的实解析的黎曼度量 就足够了，而不需要考虑所有的黎曼度量。后来人们发现，对称度和流形的拓扑有着非常 密切的关系。 最早f r o b e n i u sb i r b h o f f 给出了对称度的上界，并证明了取得上界时，流形的拓扑结构也 被决定了。 定理1 对于扎维紧致流形m ，那么 ( m ) 坐掣 当等号成立时，m 微分同胚于标准球s n 或实射影空间r p 后来h t k u ，l n n a n n ，j l s i c k s 和j c s u 给出了相似的结论。 定理2 对于乘积流形 ，n = 岬1 1 9 2 m 1 9 ) ， j r l ， 如分别是n 1 ，n 2 的连通紧致光滑 流形，那么有 ( m ) 掣+ t n 2 ( n 2 + 1 ) 当等号成立时，m 微分同胚于两个球的乘积，两个实射影空间的乘积，或球和实射影空 间的乘积 在证明这个定理时，他们用到了下面的引理。 引理如果m n 是n m l g ) 维的连通紧致光滑流形， p 不微分同胚于复射影空间 c p 竹l m = 2 m ) ，那么 n ( m 佻掣+ 生掣 其中对于每个的k n ，m n 的第k 个b e t t i 数k 非零。 由这个引理可以得出，对于m n 是n ( n 1 9 ) 维的连通紧致光滑流形，b l 0 ，那么有 ( m ) 坐岩+ 1 定理3 对于n 4 维光滑流形m ，如果9 ( m ) 包含一个连通闭子群n ，且d i r e r = 掣+ 1 ，那么流形m 只能是以下情况： 1 2 中国科学技术大学硕士学位论文 j m = 酞y iv 是完备、常曲率的单连通空间，n = r g o ( y ) ； 2 m = s 1xy iv 是完备、常曲率的单连通空间，r = s 1 g o ( y ) ； ，m = r r p n 一1 ；r = r q p ( r p n 一1 ) 彳m = s 1xr p n - l ；r = s 1 o ( r p n - 1 ) ； 5 m 是单连通的齐性黎曼流形k 蹰，m 有蹰不变的单位向量场x 和常负曲率的乳不 变的黎曼度量； 6 如n = 8 ，那么m 可以是r 8 ，k = r 8 s p n ( 7 ) r 半直积，r s 为r 8 上的变换群，印i n 俐 是s o ( 8 ) 旋转子群。 前面的定理都说明了上界是最优的，并证明了取得上界时，流形的拓扑结构都被确 定了。而且这些流形的拓扑结构都非常的平凡。在证明定理3 时，曾经有这样的一个结 论：存在r k ，那么 1 ( n - k + 2 1 ) ( n - k ) 礼k + 3 ( m ) 2 ”二 卜 肛2 上面这个定理实际上对于b 1 = 0 也是成立的。定理1 和定理3 实际上就是b 1 = 0 和 b l = l ，对称度取最大值时的情况。自然地，我们会问，对于b 1 = 2 时，对称度达到上界 第一b e t t i 数b l = 2 的紧致流形的对称度 3 时，流形的拓扑结构又会是怎么样的情况呢? 本文就是说明此时的拓扑结构也是被决定 的。 定理5 设m 是死4 维连通紧致光滑流形，b 1 = 2 ，n ( m ) = 坦掣+ 2 ，那么m 微 分同胚于t 2 伊一2 或t 2 r p n 一2 注：由定理3 可得，b 1 = 1 ，n ( m ) = 业产+ l ，则当礼5 时，m 是微分同胚于s l 铲一1 或t 1 酞尸t i 实际上这个结论对于扎3 都是成立的。 本论文的结构是这样安排的：首先我们在第一章和第二章中回顾了论文中用到的丛 理论与调和映射中的一些基础知识。并且证明了其中的经典的结论；这些结论将在以后 的证明中被用到。在接下来的一章中我们着手研究p 一等变化纤维化的性质。在这一章 中，我们得到了本文的一些结果：引理3 1 1 ，引理3 1 2 。最后一章，是本文的核心，我们 证明定理5 其中第三，四章的结论都是在许斌老师的指导下，和他合作完成的。 第一章纤维丛和主丛 在这一章，我们主要介绍一下纤维丛和主丛的中的一些基本概念，并证明纤维丛和 主丛中，几个经典的结论。这些结论在后面将被用到。 1 1 纤维丛 定义1 1 1 设m 是礼维的光滑流形，g 是7 维李群。若有光滑映射f ：g m _ m ，记 f c g ，o ) = g z ，( 夕，z ) g m ， 满足下列条件： ( 1 ) 设e 是g 的单位元素，则对于任意的z m 有 e z = z ： ( 2 ) 若g l ，9 2 g ，则对于任意的z m 有 夕1 ( 9 2 z ) = ( g l 9 2 ) z ， 则称g 是( 左) 作用在m 上的李氏变换群。 如果对于g 中的任意一个非零单位元素g ，必有m 的一个点z ，使得9 z z ，则称 g 在m 上的作用是有效的。 如果对任意的g e ，及任意的z m 都有夕z z ，则称g 在m 上的作用是无不 动点，或称g 在m 上的作用是自由的。 如果对于任意的p ，q m ，都存在一个f 9 ( m ) 满足f ( p ) = q ，则称9 ( m ) 是可迂 作用在m 。 定义1 1 2 纤维丛( e m ，7 r ，g ) 是指具有标准纤维f ，结构群g 和底空间肘的一个开 覆盖( 玩l 口- ，( ，为指标集合) ) 的三元组( e ， ，7 r ) 如果满足条件： ( 1 ) 丛是局部平凡的。即, r - i ( ) 对于所有q j ，与拓扑积f 在同胚映射九下 同胚，九= ( 丌，) = ( 7 r ，以。一) 将p = ( z ，) 7 r 一1 ( ) ce 映射到( z ，妒：( 岛) ) ，即 丸) = ( 丌) ，以o7 1 t 加) ) = ( z ，以慨) ) 这里z ，已b ，丌( z ，岛) = 毛，以是b 到f 上的同胚，= 芘。丌7 。而且，对于同胚映射九，我们有交换图 4 第一b e t t i 数b l = 2 的紧致流形的对称度 5 u o f 钆a 丌 r u ： 7 r = ao 九 ( 2 ) g 是f 自同胚的拓扑群，称为该纤维丛的结构群。同时，对于任意ze n ，同 胚怯。妒分1 是g 的一个群元，它连续地依赖于z 。即 以。妒争1 ( ，) = 鼬卢( z ) ( n 鼬( z ) eg 对于纤维丛，m ，丌，g ) 通常将 f 称为底空间或底流形，将e 称为丛空间或全空 间，映射鼬口：n 一g 称为e 的转移函数。 例子1 1 1 矢量丛。 设m 和e 分别是亿和礼+ m 维流形，妒为m 维的矢量空间，并存在e 到m 上 的投影 7 r ：e m 则可构造纤维丛( e ，m ，g l ( m ，r ) ) ，称为矢量丛。显然，丛投影丌的逆像丌一1 ( z ) 是过点z 的m 维矢量空间r ? 。它是点z 的纤维，标准纤维是r m ，丛投影丌使得 e m ，( z ，圪) h z 与上例类似地，可知矢量丛上的一点p = ( z ，k ) e7 r 一1 ( ) 的纤维坐标为 ( z p ，7 ) ，p = 1 ，n ；7 = l ，仇 这里 l r 口i ( ，讥) ) 是 f 的一个坐标卡) 为m 的一个开覆盖，因此，以。右1ec l ( m ，r ) 。 显然，切丛是m = n 时的矢量丛。 定义1 1 3 纤维丛e 的一个局部截面是微分映射盯：u _ e w 是底空间m 上的一个 开集) ，使得 丌o 仃( z ) = z v zeu 6 中国科学技术大学硕士学位论文 若u ：m ，则o r ：m _ e 是一个整体截面。 例子1 1 2 对于笛卡尔积丛e = xxy ，x 和y 都是微分流形，令覆盖x 的开集为 u = x ，则映射x y 构成该丛的整体截面，此截面是以x 为定义域的单值函数。 例子1 1 3 如对于切丛丁( m ) ，在底空间m 的一个开集u 上定义一矢量场y ，则对于任 意z uc ，映射y ：zh 圪将给出切矢量k 瓦( ) 。所以矢量场y 便是切丛t ( m ) 的局部截面。如存在u = m ，y 则是t ( m ) 的整体截面。 由纤维丛的局部平凡化可知，纤维丛e o r ：e - m ) 都存在局部截面，即对于任意的 点p m 存在点p 的邻域u ，使得纤维丛e 在u 上有截面。但一般情况下，纤维丛e 的定义在整个底流形m 上的截面却不一定存在。这一点和矢量丛是不一样的。但实际上 如纤维丛e 的底空间是有限复形k ，那么在一定条件下，我们可以把局部截面扩展到整 体，使流形整体上都有截面。 定义1 1 4 一个q 维包腔是指它同胚于q 维笛卡尔空间的子集坠1z ；l ，一般我们 用盯q 表示q 维包腔。包腔的边界印是指同胚于口一1 维的球q i ：lz = 1 的那部分。包 腔的内点是指边界的补集6 r q 一护，其同胚于 z = ( x l ，) ；注q1 2 l ， 定义1 1 5 一个佗维有限复形k ( 简称为：n 复形) 是指拓扑空间k 和闭集族 口i ) ( i = 1 ，a 口；q = 1 ，n ) 满足： ( 1 ) 每个西都是q 维包腔； ( 2 ) 令l k p l 是闭集族 叫q 】( i = 1 ，c t q ；口= 1 ，亿) 中所有维数为l ( 1 p ) 的包腔组成 的集族，那么l k i = i k n i ； ( 3 ) 田ni k 口一1 l 是田的边界卵：并且o r ；f 3i k g - 1 i 恰好是一些包腔的并集。我们称这些包 腔是卵的面； ( 4 ) 如果i 歹，那么仃 和盯；无公共内点。 由定义不难得到：l 胛i 和集族 卵，( q p ) ) 组成了一个复形，记为k p 。我们称此复 形为k 的p 维骨架。 k 的子复形工是由满足复形条件的k 的子空间川和耳的包腔的子集族组成。如 果k 的包腔的集族包含了集族中每个包腔的面，那么这个集族确定了一个复形。 定理1 1 1 如果，：l 叶e 是k 上的局部截面，l 是k 的一个子复形，那么f 可以把 上的截面扩展到uk o ，使得在luk o 上也有截面。如果y 是g 一连通的，那么，可 以扩展至0l u k q + 1 第一b e t t i 数b 1 = 2 的紧致流形的对称度 7 我们说空间y 是q 一连通( q 0 ) 指的是：空间y 是道路连通的，并且死( y ) = 0 ，l = 1 ，q 下面我们来证明这个定理。 证明：如果k 中所有的k o 都在l 中，命题显然成立；如果存在k o 中的点不属于l ，那 么通过定义 ，( z ) ： ，( z ) z l 【k ， 联k o _ l 从而把截面从l 扩展到了uk o ，于是命题成立。 当y 是q 一连通时，用归纳法证明。 设，是工uk o 上的截面首先我们把，的扩展归结到一个包腔上的扩展。 如果，可以从uk o 扩展到l uk 1 ，那么对于每个1 维包腔盯k ，a e l 截面f t o ( 方表 示仃的边界) 自然扩展到o r 上。反之，如，l a 能扩展到任意的1 维包腔盯上，那么由复形 的定义可知，每个1 维包腔都不可能包含其他包腔的内点，故，能够扩展到uk 1 所 以下面，我们只需考虑，在，i 方能否扩展到o r 上。 设c r e l 是1 维包腔，b 是丛e 中限制在底空间的开集盯上的部分。由于o r 是可缩的， 故由【8 1 中1 1 6 可以知，昂是一个平凡丛。从而可以得到一个丛映射： 如：矿y 一炻 和映射 p a ：e 旷_ y 使得： 如( p ( 6 ) ，加( 6 ) ) = bb 易 由此我们可以得到一个复合映射厶= p ao ，l 寺：方_ y 如，可以扩展到仃上，那么 p 口o f l 矿也能通过厶在盯上的扩展得到定义。反之，如由厶可以扩展得到方，那么通过 定义，( z ) = 如( z ，厶( z ) ) ! z 口就把，扩展到了仃上。所以，把，扩展到o r 和，i 方扩展到 盯时等价的。 下面我们证明厶总是可以扩展到叮上的。 由于厶：方_ y ，从而厶是否可以扩展到叮上，就变成了厶把方映到y 上的象是否有 道路连通的。而y 是道路连通的，那么厶可以扩展到仃，从而lu 舻上的，可以扩展 至0luk 1 8中国科学技术大学硕士学位论文 对于由uk q 扩展到uk q + 1 ，我们类似g = 1 时的证明。只是这里我们需要对于 原先的道路连通，变成了要求对于任意点y o 处的同伦群丌q ( y o ) = 0 。带 这个定理还可以写成： 三u g 上的截面，可以扩展到三uk q + 1 ，当且仅当对于任意的( q + 1 ) 维的包腔都有 c ( ，盯) = 0 成立。其中c ( ，仃) = 0 表示厶( 方) 在基本群丌口( y ) 中的元。 1 2 主丛 u 一一 如果纤维丛的标准纤维f 与其结构群g 恒同，并且g 以左平移的方式作用在f 上， 则该纤维丛称为主纤维丛，简称为主丛。 定义1 2 1 设m 为一个微分流形，g 为一个李群。m 上具有群g 的主纤维丛，由满足 下列条件的流形p 和g 在p 上的作用构成： ( 1 ) g 自由地右作用于p ；即 0 ，9 ) p ghp g = 局p p q ，9 = p = 夕= e ) ； ( 2 ) m 是p 关于g 诱导的等价关系的商空间，可写成m = p a ，且自然投射7 r ：p m 是可微分的： ( 3 ) p 在m 上是g 一等变的局部平凡化。即对于任意z m ，存在一个领域u 和微分同 胚 ：7 r - 1 ( u ) _ u g ，ph ) = ( 7 r ) ，妒p ) ) ， 使得任意p 7 f - 1 ( e 厂) 和9 g ，有妒( p 夕) = v ( p ) g 主纤维丛可记为p ( m ，g 7 r ) ，p ( m ，g ) 或简记为p ，p 称为，丛空间或全空间，m 称 为底空间或轨道空间，g 称为丛投影。对于任意z m ，7 f - 1 ( z ) 叫做z 点的纤维，同时 丌一l ( x ) = po 夕1 9 g ，7 r 0 ) = z 】，从而7 r 一1 ( z ) 称为过点p 7 r - 1 ( 矿) 的纤维。任一纤维都与 g 微分同胚。 定义1 2 2 设( e ，m ，f ，7 r ，g ) 和( 豆m ，乒，亓，g ) 是光滑流形m 上的两个以g 为结构群的 纤维丛，如果它们有相同的转移函数族g a 口：n 一g ，则称e 和豆是相配的纤维 丛。 定义1 2 3 设p ( m ：g ，7 r ) ，是光滑流形m 上的g 一主丛，kcg 是结构群g 的一个 李子群，如果在i j 上存在k 一主丛p ( m ，k ，并) 以及丛同态圣：声一p ：使得诱导映射 第一b e t t i 数b 1 = 2 的紧致流形的对称度 9 西，：m m 是底流形m 上的恒同映射，则称p 的结构群g 可以约化为它的李子群k 。 此时，主丛牙：卢_ f 称为主丛7 r ：p m 的约化丛 定理1 2 1 g 是一个李群，日是g 的一个闭子群，则7 r ：g c h 是一个日一主丛。 证明：根据李群的理论，在李群的闭子群上存在唯一的光滑结构使得它称为一个李群。因 此，日是李群，也是g 的李子群。于是，在商空间g h 上存在唯一的光滑流形结构，使 得自然投射丌：g g h 是光滑的，并且g h 在g 中有局部的光滑截面，即对于单位 元素e g ，存在【e 】= 7 r ( e ) 在g h 中的开领域和光滑映射s ：w _ g 使得 丌0s = i d ：一 由此可以定义g 在上的局部平凡化妒：w h 一7 r - i ( ) ，使得 砂( p ，h ) = 5 0 ) h ，v 0 ，h ) 6w h 可以得到妒是光滑同胚的。 设p = 7 ( 夕) 6g h ，令形= g w ，并且定义映射万：谚h 一7 r 一1 ( 形) 如下： 识q h ) = 9 s ( 9 1 q ) h = g 母( 9 1 g ，h ) ，v ( 口，九) 谚h 则并也是光滑同胚。由此可见，7 r ：g _ g h 在每一点p g h 处都是局部平凡化。 日是g 的李子群，因此它也可以看作右作用在g 上的李氏变换群。因此，从局部平凡化 的定义得知，对于任意的h 16h 有 妒p ，h ) h l = 妒0 h 1 ) ，妒( q ，h ) i l l = 矽( 口，h h i ) 即局部平凡化砂和痧是日一等变的，所以c ( g h ，h ，丌) 是一个日一主丛。带 例子1 2 1 s 3 可以看成铲上的u ( 1 ) 主丛 设 4 s 3 = ，z 2 ，z 3 ，一) 6r 4 ；( ) 2 = 1 ) i = l = ( z 1 ，z 2 ) c 2 ；i z l l 2 + 旧2 = 1 ) ， 其中z 1 = x 1 + v ：7 2 2 ，z 2 = z 3 + 、= k 4 。 定义映射 7 r ：s 3 _ c p * 1 0中国科学技术大学硕士学位论文 使 其中 7 1 - - i ( 【( z 1 ，z 2 ) 】) = a ( z 1 ，z 2 ) ；a c ，l a i = 1 ) 复射影空间c p l 和二维球面铲司以等i 司起来，理由如f ： 取定c 尸1 的一个复坐标覆盖 ( 仉：1 ) ，( 观，) ，其中 仉= ( 【( z 1 ，z 2 ) l c p ；z 1 o ) ，= ( z iz 2 ) 】c p ；z 2 o 并且 洲( z 1 ，z 2 ) 】) ：z 2 ，巳( 【( z l , z 2 ) 】) ：z 1 于是，在仉n 巩上的复坐标变换是f 1 = 者，因而c p l 是一维复流形。 另一方面，二维单位球面 s 2 = ( z 1 ，铲，z 3 ) r 3 ；( z 1 ) 2 + ( 铲) 2 + ( 护) 2 = 1 ) 有复坐标覆盖 【( 玩，磊) ，( 玩，丕) ) ，其中 玩= s 2 _ 【o ，0 ，一1 ) ，玩= s 2 1 ，0 ，o ) 并且 五( z l ，字，尹) = 等，己( z l ，铲，护) = 等 相应地，在玩n 玩上有复坐标变换石= 石1 。于是，妒和c p l 一样也是一维复流形。 现在，可以把c p 和铲等同起来，使得五= 1 ，磊= 事实上，如果令 则有 5 ( z 1 ，字，护) = f 1 ( 桫，z 2 ) 】) 扎砰嚣麓籍研 铲= 再等麓辫研 一( z 1 ) 2 + ( z 2 ) 2 一( z 3 ) 2 二! z 竺 工一耳f 玎再耳可矿而乎 第一b e t t i 数6 1 = 2 的紧致流形的对称度 与此同时，对于 五( z 1 ，_ 2 ，护) = 荨l ( ( z 1 ，z 2 ) 】) 扎砰等精端研 2 r x 2 2 3 一z l z 4 、 酽2 矿厅毫甲可两桁 护= 簿溜粥 于是，通过映射爵1 。1 和爵1o 已，可以把巩和玩，以及观和况分别等同起来，不难看出， 这种等同在阢n 上是一致的，因此，映射旨1 。专l 和言1o 已合起来便给出从c p l 到铲上 的等同映射。 下面我们说明7 r ：s 3 _ c p l = 妒孝2 上的u ( 1 ) - 主丛。为此，定义它的局部平凡化结 构如下：对于任意的( 【1 ，t ，j ，e 厂a ) u 1 8 1 令 鲫础函，= 等等印3 ； 同样地，对于任意的( p ，1 】，e 仃卢) xs 1 令 蚍 1 】，e 伸) = 涮s 3 ； 当| ( 1 ，t ) 1 = f ( ：，1 ) 1 仉n 巩时，等式 成立的充要条件是： 妒l ( 【1 ，叫】，e ，习口) = p 2 ( 【z ，l 】，e 习) 由此得到相应的转移函数是 z ：三e 厂_ 口：1 w _ _ 1 e 仃p t 1 7t 上 似【1 ，t 7 】) = 1 w _ _ t l ，l ，卯l = ( 州一1 如果用球面铲上的坐标( z 1 铲，铲) 表示，则有 蚰p 剐) = 篇， 1 2 中国科学技术大学硕士学位论文 定理1 2 2 主丛7 r ：b _ m 的结构群g 可以约化为它的李子群k ，当且仅当b 有一个局部 平凡化的结构( ，札；口n 使得相应的转移函数纰卢只在k 中取值。 证明：假设主丛丌：b _ m 的结构群g 可以约化为它的李子群k ，则有k 主丛亓：百一m 以及丛同态圣：百_ b ，使得诱导映射圣7 = i d ：m m 。设k 主丛亓：百_ m 的局部平凡 化结构是( ，死；o c ，) ，则相应的转移函数族是g a b ：n _ k 。 设e 是李群kcg 的单位元素。对于任意固定的q ，定义映射s 口：_ b ，使得对 于任意的p ，有如) = 皿( 瓦( ae ) ) ，则有 7 ros a ( p ) = 7 ro 西( 妒d p ，e ) ) = 西7 ( 亓( 妒口( p ，e ) ) ) = 妒q ( p ，e ) ) = pv p 所以，：玩_ b 是b 在上的一个局部截面。利用s 口可以定义映射妒口：xg 一 7 r - 1 ( ) 如下： 札( p ，g ) = 圣( 札( p ，e ) ) g = s a 0 ) gv ( p ，g ) xg 于是，( ，札) 是g 主丛7 r ：b m 的局部平凡化。当p n ，g ，耐，等式 妒口0 ，9 ) = 咖( p ，劲 成立的充要条件是s 口( p ) g = s a ( p ) 歹， 即 圣( 饥( p ，e ) ) - g = 圣( 妒口，e ) ) 虿 根据局部平凡化与转移函数之间的关系，又有 砂q 0 ，e ) ) 9 口卢0 ) = 咖0 ，e ) 所以，由丛同态的定义得知 圣( 咖p e ) ) = 圣( 饥( p ，e ) 夕q 卢0 ) ) = 圣( 妒口( p ，e ) ) 鼬卢( p ) 从而得到 圣( 砂o ( p ，e ) ) 9 = 西( 比( p ，e ) ) 夕q 口) 歹 由于g 在b 上的右作用是自由的，故有 g = g q 口( p ) 歹 第一b e t t l 数b l = 2 的紧致流形的对称度 1 3 这就意味着，主丛7 r ：b _ f 关于平凡化的结构( ，妣) ；a f 的转移函数是 妒品。咖，p = 鼬口p ) k ，p n 反过来，假定g - 主丛7 r ：b _ m 有一个局部平凡化的结构( ( ，儿) ；口，) ，使得相应的转 移函数站口只在李子群k 中取值。那么必有k 主丛亓：百_ m n a g 卵：n 一k ) 为其 转移函数，这里 - b = ( u ( 口) k ) “ a e l 其中等价关系一定义是：对于任意的 ( p ，p ，h i ) ，( ，y ，q ，h 2 ) u q ) k o e l ( ，p ，h 1 ) 。( 7 ，q ，h 2 ) 当且仅当p = q n ，h i = 鼽勉。用【( q ，p ， ) 1 表示点( 口，p ，危) 的一等 价类，则有亓( 【( q ，p ，九) 】) = p 。1 7 7 1 1 i t ，主丛并：百一m 的局部平凡化为五：k _ 亓一1 ( ) ， 其定义是 莎：0 ，1 ) = 【( q ，p ， ) 】， v 0 ， ) u 0 k 于是，与否的局部平凡化结构【( ，饥) ；q ，) 相对应的转移函数是 磷。羁，p = 嘶( p ) k 定义映射西：蜃一b ，使得对于任意的( p ，j f l ) k 有圣( 瓦( p ， ) ) = 如( 弘，1 ) 。此式与a 的 取法无关。事实上，如果存在，使得p 玩n ，并且有h i ，h 2 k 满足 五( p ，h 1 ) = 磊( p ，危2 ) 贝, l j h l = 鼬p ( p ) 2 。因此有 妒q ( p ，7 1 1 ) = 妒q 0 ，g , - , n ( p ) 九2 ) = 妒a 护( 夕q 口) k ) = 咖，p ( h 2 ) = 咖p ，垃) 即圣( 尻p ，h i ) ) = 垂( 而( p ，1 2 ) ) 。此外，对于任意的 k ，我们有 虫( 瓦( p ，h i ) ) = 圣( 万a ( p ，h i 危) ) = 矽n ( p ，h 1 ) ；讥( p ，h 1 ) h ：圣( 元( 阢h 1 ) ) h 1 4 中国科学技术大学硕士学位论文 并且 丌。圣( 西：( p ， ) ) = 丌。砂口0 ，h 1 ) = p = 亓( 毒0 ( p ， ) ) 所以，k 主丛亓：百叶m 是主丛丌：b m 的约化丛，因而g 可以约化为它的李子群k 存 推论1 2 1 设( b ，m ，f i7 r ，g ) 是光滑流形m 上的微分纤维丛，则j e i 是平凡丛mxf 的充要条件是它的相配主丛( 豆， t 亓，g ) 可以约化为 e 卜主丛，或等价地说，g 一主丛 ( 百，m ，亓，g ) 在底流形m 上整体截面。 证明：如果纤维丛( b ，m ，f 7 r ，g ) 是平凡丛，即b = m f 取m 的开覆盖 m ，并且令 妒= i s e ，则 妒 是b 的一个平凡化结构，相应的转移函数族是( 9 兰i d f = e ) ，这里e 表 示结构群g 的单位元素。由于b 的相配主丛豆和b 具有相同的转移函数，百具有转移 函数 夕) 因此，百可以约化为 e ) 一主丛。反过来，如果百可以约化为 e ) 一主丛，则存 在 ，的一个开覆盖 i q ，) 和百的平凡化结构 五：g 一亓一1 ( ) ，地， 使得相应的转移函数 夕口口) 在f e 中取值，即对于任意的口，如果p 玩n ，则 9 0 口= e 于是，对于任意的p m ，如果p 玩，o t j ? 则五( p ，e ) 与q 的取法无关。因 此，豆有整体定义的截面8 ，使得对于任意的口i ， s l y ( p ) = 如，e ) ，v p 于是可以定义豆的平凡化 万：m g 一亓一1 ( m ) = 豆 使得弛，夕) = 5 毋坳m ，9 g 显然，对应于平凡化结构 研的转移函数族是 夕三e ) 由相配丛的定义， 鼬口) 也是微分向量丛b 的转移函数族。于是，纤维丛b 具有整体的 平凡化妒：mxf b 此外，由上面的证明不难得出：主丛百可以约化为f e ) 一主丛当且仅当否有整体定 义的底流形m 上的截面。带 第二章调和映射和a l b a n e s e 映射 2 1 调和映射 在我们定义调和映射和a l b a n e s e 映射之前，我们先做一些预备工作。对于从紧致定向 的i , 维黎曼流形m 到另一个黎曼流形的光滑映射，和。 分别表示，的微分和，的微分 的转置，m 上的二阶张量场c 是由上的度量诱导出来的。 即 = 2 f + ( 如知) ， 其中d s 南为流形 r 上的度量，+ 是拉回映射 ，的能量密度e ( ) 表示为： e ( ，) = 去n2 ， 其中n 表示矩阵的迹。从而得到，的能量为： ， e ( ) = e ( f ) d v ， - ， 其中咖表示m 上的单位黎曼体积。 分别记m ，上的黎曼联络为v 和d 。设丌是从m 7 的切丛r ( m 7 ) n m 7 的自然投影。如果 光滑映射掣：m t ( m 7 ) 满足丌o = ，那么我们称向量场u 是迎，的。给定m 上的向量 场x ，那么d x u 显然是迎着，的向量场。 设e 是通过，从t ( m 7 ) 诱导的m 上的向量丛。那么e 是一个黎曼向量丛。 即对于m 上的任意向量场x 和任意迎着，的向量场u 和w 都有 x = + 下面我们定义流形m 上的一个对称张量场： q ( ，) ( x ，y ) = v s x ( l r ) 一l ( v x y ) q ( ，) 便是我们常说的，的第二基本形式。由，的定义，我们再定义一个的张量场丁( ，) = t r 口( ，) 。显然丁( ，) 是一个迎，的向量场。 设 ，一e t ，是满足y o = ，的一个光滑变分，则变分向量场移= # t d t l t = 0 是一个 迎，的向量场。 1 5 1 6 中国科学技术大学硕士学位论文 引理2 1 1 ( d d t ) ( e ( f t ) ) l t ：0 = 一凡 d v 。其中7 ( ，) 是，上的张量场，u 是 的变 分向量场，咖是m 的体积元。 证明：( d d t ) ( e ( f t ) ) = 一凡( d d t ) ( e ( f t ) ) d v 。 取m 上的一点p ，设 e 1 ，e n 是定义在p 的某个邻域上的局部正交标架场，那么 丢( e ( ，c ) ) ( p m ：。= 互l 蕊d n 川i t = 。 = = = e i 一 = e i 一 一 i = 1 i = 1 = 6 w - 其中w 是m 上的l 形式，满足 w ( x ) = 6 是散度。由g r e e n 定理，引理得证。 定义2 1 1 设m 是可定向的紧致光滑黎曼流形，是黎曼流形，光滑映射，：m 叶 是调和的：是指，的能量是临界的。也就是如，是调和，那么流形m 上的张量场1 _ ( ，) = 0 定理2 1 1 光滑映射，：m 一是调和的，那么，把上的平行j 形式拉回为m 上 的调和j 形式。 本定理的证明实际上用到了一个大家熟知的等价关系：，是调和的，那么等价于 越= 0 黾1 = 0 证明：设u 流形n 上的一个平行1 形式。令p = 广u 由于u 是平行的，故阢= 0 ，所 以v p = 0 ，弘是闭的。下面我们计算p 在p 且，处的散度取p 点在 ，上的邻域的一 第一b e t t i 数b 1 = 2 的紧致流形的对称度 1 7 个局部标架场 e l ，e n ) 那么 舡= ( v 岛p ) e t i = l n = e i ( e i ) ) 一肛( v e e t ) i = 1 n = e i ( w ( f , e i ) ) 一u ( ( v 岛e f ) ) i = l nl l = ( d ，。u ) ( ，e i ) + u ( 巩；，色一 ( v 。i 色) ) i = 1 i = 1 = u ( 7 一( ，) ) 由于u 是平行的，因此当，是调和时，舡= 0 ，p 也是调和的移 推论2 1 1 设m 是可定向的紧致光滑黎曼流形，r 是一个平坦环，光滑映射f ：m _ r 是调和的当且仅当f 把调和j 形式拉回为调和f 形式。 证明：有b o c h n e r 定理【7 】知道平坦环上的调和l 形式都是平行的，所以有定理3 1 1 得， 如果，是调和的，那么，把t 上的调和1 形式拉回为m 上的调和1 形式。反之，由定 理3 1 1 的证明过程可以知道：对于任意的调和1 形式u t ，都有u ( r ( 川) = 0 ，从而得 到丁( ，) = 0 即，是调和的。社 推论2 1 2 如 ，2 ：x _ t 上的调和映射，那么 + ，2 和q 都是调和映射。其中 a ：t t 是同态映射。 2 2a l b a n e s e 映射 对于一般的紧致流形m ，如果m 的第一b e t t i 数6 l 0 那么在m 上存在一个标 准的调和映射把m 映到一个平坦的环r 上。这个映射就是a l b a n e s e 映射，环t 称为 a l b a n e s e 环。下面具体的构造出a l b a n e s e 映射。设m 是可定向连通紧致流形，咒是m 上所有调和1 形式组成的向量空间，7 r 是 ，的万有覆盖空间面到 ，的自然投射。对于 点z o 面，丌( 印) = p o 我们定义一个光滑映射 ， ， 石：m _ 饨 石( z ) ( u ) = z ：万+ u 1 8中国科学技术大学硕士学位论文 其中咒+ 是咒的对偶空间。对于口7 1 1 ( m ) i 们c 石( 叮z ) ( u ) = 丌。u z 0 = j c t 2 一u + l ：l o 氟u = z ：丌+ u + z ：孙丌u 从而得到：石( 盯z ) = 石( z ) + 妒( 盯) 其中记妒( 盯) ) = 等。丌u 由此可以得到妒是7 1 1 ( m ) 到加法群何的同态。实际上，= 妒( 丌1 ( m ) ) 是向量空间 咒的格点。冗上有欧氏度量。通过商度量，称a ( m ) = 7 - 1 + a 是黎曼流形m 的a l b a n e s e 环。从而由石和砂的关系，我们得到一个映射口：m a ( m ) 满足石( z ) no 丌( z ) ，。面 这个映射口即称为a l b a n e s e 映射。由构造过程诱导出m 和a ( m ) 的基本群之间： a 。：r z ( m ) - 呻7 r 1 ( a ( m ) ) 是满射。a 把a ( m ) 上的调和1 形式同构映射到7 l f 上。由此得到，a l b a n e s e 映射是调和 的。 下面我们证明定义合理的。 1 u = u 证明：作为五弛i d m f ，基本群：= 9 1 1 ( m ) 上的每个元素盯都是同构作用在j 耻的。 对于m 上的调和1 形式u ，丌u 是i i 不变的。也就是指：对于任意的盯l i ，盯丌u = 7 r 。u 。那 么对于m 上任意的调和l 形式u 和o r n 有 u = u 从而： 石( 彻) p ) l 以。 ， 7 ru j x o ( 厂口+ 厂竹。) 丌u ，口z oj z o = 石( z ) ( u ) + 妒( 盯) ( u )轷 2 妒是从基本群丌l ( m ) 到加法群何+ 的同态映射。 设盯，o 是丌m 上的两个元，u 是m 上的调和1 形式。取定砑上的一点z o 。首先我们证明 啪, ! o x o7 1 * 0 3 ：瞄一u 第一b e t t i 数b l = 2 的紧致流形的对称度1 9 由1 得到对：于任惫的口7 r l ( m ) ，矿7 r + u = 丌u 都有 r 九= f 。九 设c 是砑上包含点z o ，o x o ，盯，仃z o 和一z o 的闭曲线。因为砑是单连通的，丌u 是闭1 形式，故 由s t o k e s 公式得到： u ；。 即： t j ：o + j ：o + l t i ：o + j ：t 2 7 靠u = q 从而： 。e + 髓o 即： j r x o 一= 露x o 札 ，叮 妒( 盯叮) ( u ) = = = = r 。 ，f z 。o l z o， 口口，王0 。t 。丌u j 厂x o 仃。z 。，r u + x o 盯王。，r u ， 所以妒是从基本群丌1 ( m ) 到加法群h 的同态映射。社 3 x = 妒( 7 r ( 1 m ) ) 是向量空间爿+ 的格。 在2 中我们已经证明了矽：7 r l ( m ) 一咒是群同态。设 青l ( m ) = h l ( m ) t o r s i a n 是m 上诱导的第一同调群，它是阶数为6 l ( m ) 的自由阿贝尔群。令p 是从n 到凰( m ) 的自然 映射。因为何是一个阿贝尔群且是无挠的，那么存在一个同态映射皿：赢( m ) _ 何满 足妒= 皿op 令 矿l ，a b 。) 是玩的一组基，那么 扫h o d g e 定理得，存在u 1 ，7 - 使得 ， | k = 6 k 2 0 中国科学技术大学硕士学位论文 设7 ：z 黾m _ l 起点和终点都是丌( z o ) 的闭曲线，彳是7 的覆盖。那么由丌l ( m ) 的单调表示可知，彳的 终点是z o 。因为自然投射丌是局部微分同胚，故有 皿( 乃) ( u 七) = = = j ( _ 加丌u 七= j 后丌+ 魄z 0一y f u ) k = 卜 易七 故 i i ( 0 i ) ，皿( a r 6 ，) ) 组成了“+ 的格点。 定理2 2 1 设m 是可定向紧致黎曼流形，a ：m _ a ( m ) 的a l b a n e s e 映射，如t 是一个 平坦环，f ：m 一丁也是调和的，那么存在唯一的仿射映射g ：a ( m ) _ t 使得f = g oa 证明： 由a l b a n e s e 映射的构造过程可知道，可以找到一点p o ，使得口) = 1 a ( m ) 由t 上的平移变换，不妨设f ( p o ) = 1 t 因为口是同构映射，从而 ( 口) 一1of ：h 1 ( t ，r ) 一日1 ( a ，r ) 是同态映射。我们构造一个同态映射： g ：a t 使得 g = ( a + ) 一1o ， 因此得到：f + = a + og 于是有f go 口是一个常数又因为f ( p o ) = gon ( 娜) = 1 t ，所以 有f = g o 口。 唯一性显然。桦 定理2 2 2 如果调和映射 ，尼：m t 是同伦，那么 龙相差一个平移变换。 证明：通过平移作用，不妨设对于m 上的一点p o 有 ( p o