（基础数学专业论文）关于形如akalpα的整数研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导帅指导卜- 进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实 的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名： 日 期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位 论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 中文摘要 在本论文中，基于p e r d 6 s 问题和陈永高教授的研究工作。我们证明了对 于任意个正奇数a ，a 2 口一1 ，存在无穷多个正奇数m ，满足m 与a 互素 且m 一2 与n 一1 互素，并且所有的这些m 都不能表示为形式n + n l + 矿，其 中k ，z ，o 是非负整数，p 是一个奇素数。 我们用两种不同的方法证明了我们的结果，但最基本的方法都是运用同余 覆盖系和中国剩余定理。在研究中我们新构造了一个模互不相同且模中没有2 的幂次的同余覆盖系，我仃j 还发现了一个引理，这个引理不但使我们能够成功 地把结果从一个固定的例如5 ，9 ，1 1 的奇数a 推广到几乎所有的正奇数n ，而且 还大大简化了证明。 我们还证明了我们的结果对于一些偶数也是正确的，例如6 ，1 0 ，1 2 。对于更 多的偶数我们的结果足不是成立，还有待进一步研究发现。 关键词：e r d 6 s f n ；z s 遮m o n d y 定理；同余覆盖系。 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r b a s e do np i e r d 6 s p r o b l e ma n do nt h ew o r ko fy o n g - g a oc h e n ， w eh a v ep r o v e dt h a tf o ra n yo d di n t e g e r 口w h i c hi sn o tap o w e ro f2m i n u sl ，t h e r e a r ei n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v eo d di n t e g e r sm ，( m ，o ) = la n d ( m 一2 ，a 一1 ) = 1 ， w h i c hc a n n o tb ew r i t t e ni nt h ef o r ma “+ a o4 - 矿，w h e r e ，2 ，血a r en o n n e g a t i v e i n t e g e r sa n dpi sap r i m ei n t e g e r w eh a v eu s e dt w od i f f e r e n tm e t h o d st op r o v eo u rm a i nr e s u l t t h ep r i n c i p a l w a yi sb o t hc o v e r i n gs y s t e mw h i c hi sd e f i n e db yp e r d b sa n dt h ec h i n e s e r e m a i n d e rt h e o r e m w eh a v ec o n s t r u c t e dac o v e r i n gs y s t e mw i t hd i s t i n c tm o d u l u sa n d w i t h o u tp o w e r so f2a 8m o d u l u s a n dw ea l s of o u n dal e m m aw h i c he n a b l eu s n o to n l yt os u c c e e dt oa l m o s ta l lt h eo d di n t e g e raf r o maf i x e do d di n t e g e raa s w e l la so = 5 ，9 ，1 1 ；b u ta l s ot os i m p l i f ym u c ht h ep r o o f w eh a v ea l s op r o v e dt h a tt h et h e o r e mi sc o r r e s p o n d i n g l yt r u ew h e nai ss o m e e v e nn u m b e r s ，f o re x a m p l e ，o = 6 ，1 0 ，1 2 f o rt h eo t h e re v e nn u m b e r sd ，w e c a nt r e a tt h e mw i t ht h es a m em e t h o d w h i c hn e e d sm u c hc o m p l i c a t e dc a l c u l a - t i o n s o ，t h ew o r kc o n t i n u e s k e yw o r d s ：e r d 6 sp r o b l e m s ，z s i g m o n d y st h e o r e m ，c o v e r i n gs y s t e m 关于形如。庀+ a 1 + 矿的整数研究 ( 详细中文摘要) 本论文由四部分组成，第一章给出本文所需要的一些概念和记号并简述所研 究的问题的背景知识及它们的进展主要成果分成三部分，各部分分别介绍了我 们得到的结果及其证明具体地说，第二章我们证明了对于奇数5 ，存在无穷多 个正奇数不能表示为形式5 + 5 t4 - p 。，奄， ，8 是正整数，p 是奇素数相应的 结论对于9 和1 1 也是正确的，我们简短地给出了证明第三章是我们的主要结 论：对于任何一个不能表示为形式2 日一l 的奇数a ，存在无穷多个正奇数m ， 满足m 与a 互素且m 一2 与a 一1 互素，并且所有的这些m 都不能表示为形 式扩+ a + p “，其中k ，f ，“是非负整数，p 是一个奇素数我们用两种不同的方 法证明了越个结论第四章我们把这个结论推广到偶数，分别证明了相应的结 论对于a = 6 ，o = 1 0 ，a = 1 2 都是正确的 0 1 背景知识和相关结论 首先我们介绍一下本论文中用到的定义和记号 定义对子一个正整数娩密任意一个正整数& ，i g a ( r o o dm ) = 8 + m k ：k z ，如果对任意一个整鼢1 ，都至少存在一叩吨 l ，2 ，七 满足几三0 4 ( m o dm d ，则 皿( m o d 砚) ) 叁l 称为一个同余覆盖系 定义荔，b ，m ，n n 如果对所有的非负整数m 且仇 竹，正整数d 满 足d ia “一b n f ：7 d 肛“一6 仇，贝犯被称做阶为n 的( n ，6 ) 一本原素因子 定义设a ，n n ，p 是铲一l 的一个素因子，如果对于所有的正整载， n ， 均有p 柑一1 则称素数p 是a “一1 的本原素因子 i 1 9 3 4 年，n p r o m a n o f f i 正明了能表示为形式2 + p 的正整数集在所有的正奇 数集中有正的下渐近密度 1 9 5 0 年，p e r d s s 第一次用同余覆盖系证明了存在一个每一项都不能表示为 形式2 + p 的无穷项正奇数算术数列 定理口e r d s s 、存在一个无穷项正奇数算术数列数到中的每一项都不能表 示戏哆+ p 其中k 是非负整数p 是奇素数 证明中他使用了同余覆盖系 l0 ( m o d2 ) 10 ( m o d3 ) 11 ( m o d4 ) i ， 3 ( m o d8 ) l7 ( m o d1 2 ) l2 3 ( m o d2 4 ) l 这也是“同余覆盖系”的概念第一次被定义 1 9 7 5 年，c o h e n 和s e l f r i d g e 证明了存在无穷多个奇数不能表示为形式土2 士 矿，1 9 9 9 年，陈永高证明了不能表示为形式2 0 士p a q 4 ( k ，n ，卢是非负整数，p ，q 是不同的奇素数) 的正奇数集在所有的正奇数集中有正的下渐近密度 2 0 0 1 年，陈永高证明了：对于所有的正整数n ，整数k 一2 n 至少有三个不同 的素因子的正奇数七的集合包含一个无穷项算术数列2 0 0 1 年，陈永高还证明 了：对于所有的正整数n ，整数后2 ”+ 1 至少有三个不同的素因子的正奇数k 的 集合包含一个无穷项算术数列 经常被用到z s i g h l o n d y 定理对我们的证明也很重要： 定理( z s i g m o n d y 、对任意大于1 的整数。和n 整数矿一1 都存在一个本原 素因子，但是除去下面两种情况： 俐n = 2 ，a = 2 口一1 ，其中p 2 ； 俐扎= 6 ，n = 2 以上的研究都是关于不能被表示为形式2 + 西1 霹r ( ：口1 ，o ，是非 负整数，p 1 ，p r 是奇素数) 的数集的无穷性很自然下面的问题就呈现出 来：是否存在无穷多个正奇数不能表示为形式2 4 - 2 f + 矿，其中，l ，理n ，p 是一个奇素数? 1 9 7 1 年r c r o c k e r 回答了相关的问题： i i 定理( r c r o c k e r ) 存在无穷多个不同的正奇数不麓表示为形j c 2 + 2 。+ p ， 其孛k ，z n ，p 是一个奇素数? 之后孙智伟和乐茂华肯定地回答了关于2 + 2 。+ p 。的问题的一部分 定理( 孙，乐) 对任意个费马数c ，都存在无穷多个正奇数不能表示为形 式c ( 2 + 2 ) + p - ，其中七， ，q n ，p 是一个奇素数 2 0 0 4 ，陈永高( 未发表) 和袁平之独立地彻底地解决了这个问题 定理( 袁平之) 对任意一个给定的正整数c ，部存在无穷多个正奇数不能表示 为形式c ( 2 + 2 。) + 矿，其中自，q n ，p 是一个奇素数 0 2 关于a = 5 ，9 ，1 1 的结论 基于以上所介绍的研究结果，我们开始研究下面的问题：对于一个任意给定 的奇数a ，是否存在无穷多个正奇数不能表示为形式扩十+ 矿，其中，l ，o t 是非负整数，p 是一个奇素数? 当o = 5 ，9 ，1 1 时，我们首先给出了肯定的回答 定理l 存在无穷多个与5 互素的正奇数不麓表示为形式驴+ 5 + p 。，其 中惫，d 是正整数，p 是一个奇素数 在证明中我们用到了下面的表格： a t ( m o d m )a 0 ( m o d3 ) 3 1 1 ( m o d5 ) 1 1 2 ( m o d5 ) 7 1 2 ( r o o d6 ) 7 2 ( m o d9 ) 1 9 8 ( m o d9 ) 8 2 9 4 ( m o d1 0 ) 5 2 1 1 0 ( m o d1 5 ) 1 8 1 1 3 ( m o d1 5 ) 1 7 4 1 5 ( m o d1 8 ) 5 1 6 7 1 9 ( m o d3 0 ) 7 6 2 1 其中左边第一列 。 ( m o dm ) 坚，是一个同余覆盖系，注意到虽然我们用到 了相同的模，但是对每个i ，我们都找到了5 m 一1 的相应本原索因子矾 i i l 每个n ，设吼是p 一1 的本原素因子上面的z 8 i g m o n d y 定理保证了q 的存在 性 对每个非负整数七，设讯为满足饥i5 2 + 1 的最小的奇素数 下面的同余方程对证明也是至关重要的： 由中国剩余定理可知，存在 靠满足下列条件： 0 螈 5 铲一1 ， 坛。三1 ( r o o d5 ) ， 螈兰5 ( m o d8 ) ， m n 兰0 ( r o o d ) ，j = 0 ，1 ，2 ，n 一1 定理2 存在无穷多个与3 互素的正奇数不能表示为形式驴+ 9 f + 矿，其 中，f ，d 是正整数，p 是一个寿素数 证明中我们用到了如下表格： a 。( r o o dm ：) p l 0 ( r o o d3 ) 7 2 ( m o d3 ) 1 3 0 ( r o o d5 ) 1 1 1 ( r o o d5 ) 6 1 4 ( r o o d1 5 ) 3 1 7 ( m o d1 5 ) 2 7 1 1 3 ( r o o d1 5 ) 4 5 6 1 其中左边第一列 啦( m o dm 。) ：l 是一个同余覆盖系，中间列鼽是9 n 一1 的 本原素因子 中国剩余定理的应用类似a = 5 定理3 存在无穷多个与l l 互素且满足( m 一2 ，5 ) = 1 的正奇数m 不能表示 为形式1 1 + 1 1 + 矿，其中，f ，n 是正整数，p 是一个奇素数证明中我们用 到了如下表格： a t ( r o o dm 1 )n 0 ( r o o d3 ) 7 2 ( r o o d3 ) 1 9 4 ( r o o d6 ) 3 7 1 ( r o o d1 2 ) 1 3 7 ( r o o d1 2 ) 1 1 1 7 i v 其中左边第一列 8 。( r o o dm 。) ) 坠。是一个同余覆盖系，中问一列n 是相应 的1 1 n l 豹本原素因子 其余部分证明类似o = 5 0 3 主要结论 对于n = 5 ，9 ，1 1 得出了肯定的结论之后，我们考虑所有的奇数n ，并得出了 更广泛的结论： 定理对任意一个不能表示r 2 的幂次减1 的奇数b 都存在无穷多个满 足0 m 1 曲= 1 与0 m 一2 。n 一1 、= 1 的正奇数m ，并且m 不能被表示为形 式毋+ 叠+ 矿其中k n 是非负整数，p 是一个奇素数 引理1 0 ( r o o d3 )l ( m o d2 3 )4 ( r o o d2 3 ) 1 7 ( r o o d2 3 3 )1 0 ( m o d2 43 )9 4 ( r o o d2 5 - 3 ) 2 ( r o o d3 2 )5 ( r o o d2 3 2 )8 ( r o o d2 2 3 2 ) 1 4 ( r o o d2 3 3 2 )2 6 ( m o d3 3 )1 1 ( m o d3 5 ) 2 ( m o d2 3 5 )1 4 ( r o o d2 2 35 )1 0 7 ( m o d2 3 35 ) 4 4 ( r o o d3 2 5 ) 5 3 ( r o o d23 钆5 )1 7 ( m o d2 23 。5 ) 2 8 4 ( r o o d2 3 5 ) 6 2 f m o d 5 ) 2 8 7 ( r o o d2 3 3 3 5 ) 1 ( i n o d7 )0 ( m o d2 7 )2 ( r o o d2 27 ) 2 6 ( m o d2 - 7 )5 4 ( m o d2 4 ，7 ) 0 ( r o o d5 ) 8 ( r o o d2 5 ) 2 ( r o o d2 2 5 )2 4 ( r o o d2 5 ) 1 3 ( r o o d3 7 )1 0 ( m o d2 23 7 ) 4 6 ( r o o d2 3 3 7 ) 1 3 0 ( m o d2 4 3 7 )3 3 4 ( r o o d2 5 3 7 ) 是一个同余覆盖系记为 啦( r o o df l q , ；3 5 1 这是一个模互不相同且无2 的幂次的同余覆盖系 由z s i g m o n d y 定理，取鼽为n ”t 一1 的本原素因子，再取q l 为a p , 一1 的本原素因 子对每个非负整数后，取2 。+ 1 的一个奇素因子饥设正整数m 足够大又由 中国剩余定理我们有下面的命题： 命题设吼，m t 讯仇tq i 如上所取，则当n g 够大时，都存正整数m 。满 足； v ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) a “兰0 ( m o d 饥) ， f o r0 k 札一l a 如三2 t t a ( r o o dp u ：z + l q ：) ， f o el is 3 5 ； 厶11 ( m o d4 ) ； 螈兰l + 3o ”( m o da r a + 1 ) ； ( 慨一2 ，a 一1 ) = l ； a ”一1 ( t ) ( 2 ) ，( 甜包含7 m n 不能表示为形式2 玉+ 矿，其中t q 是菲负整数，p 是一个素数， ( i o ( i ) ，( 3 ，( 6 ) 包含了m n 不能表示为形式毋+ a i + p c , 。其中k ，t ，o t 是非负整 数，p 是一个素数而且k 、t 不同，p 7 0 j ( i i i ) 整数m n 形成一个长度至少为写的算术数列其中c 是一个常数j 惭) 埘足够大的正整数n ，在满足( i 6 ) 的正整数中至少存在一个不能表示为形 式毋+ 玉+ 嚆，其中k ，1 ，q 是菲负整数? 引理2 没m 是一个正整数对任意m 个整数口，她，a 。22 ，存在一个 常数l 满足：任意个长度为l 的算术数列都至少包含一个整数不能被表示为 形j ? + o 尹+ + n 静，其中0 1 ，a 2 ，a 。为非负整数 第二种方法没有使用上述引理2 ，而是根摒a + l 的结构进行分类，然后使用 中国剩余定理，从而证明了定理证明中我们用到了另外一个引理： 引理3 假没奇数。不是一个素数的偶次方幂，奇素：飙满足7 0 a 十1 且7 0 三1 ( r o o d4 ) ，贝不是群( z a z ) “的生成元 0 4 进一步的结论 在第三章中我们研究并得出了对几乎所有的奇数a 都成立的结论接着我 们研究了n 是偶数的情况：当n 为偶数时，以上的两种方法都不适用，因为 很难控制常数c 所以处理。为偶数情况的关键在于是否存在一个能表示为形 式a 2 “+ l 的大合数 对于8 = 6 ，1 0 ，1 2 ，我们查找到了这个大合数f l7 】，并得出了肯定的结论： v i 定理1 存在无穷多个满足( m ，3 ) = 1 与( m 一2 5 ) = 1 正奇数吖。且l ，不能 表示为形式舻+ 磴+ 矿，其中k 。t 是菲负整数，p 是一个舒素数 证明中我们用到如下表格： n ；( m o d m ；)a吼 0 ( m o d3 ) 4 31 7 3 1 ( r o o d6 ) 3 15 3 3 3 2 ( m o d9 ) 1 9 1 9 1 5 ( m o d9 ) 2 4 6 7 6 2 4 6 7 4 ( m o d1 2 ) 1 33 4 3 3 3 1 0 ( r o o d1 2 ) 9 73 8 9 8 ( m o d1 8 ) 4 6 4 4 1 6 4 6 “1 1 7 ( no d3 6 ) 7 34 4 7 6 4 5 4 9 8 7 7 3 5 ( m o d3 6 ) 5 4 1 6 3 4 1 其中左边第- - 歹i j a , ( m o dm 1 ) 整l 是个同余覆盖系，中间到a 是6 m 一1 的 本原素因子，中间列q 。是6 p , 一1 的本原素因子 定理2 存在无穷多个满足0 m ，5 1 = 1 与( m 一2 ，3 、= 1 正奇数m t 且m 不能 表示为形式1 0 “+ 1 0 。+ 矿，其中七，z ，o 是非负整数，p 是一个奇素数 证明中用到如下表格： a 。( m o dm ，)n吼 0 ( r o o d3 ) 3 72 0 2 8 1 1 9 1 ( m o d6 ) 72 3 9 4 ( m o d6 ) 1 35 3 2 ( m o d9 ) 3 3 3 6 6 7 1 0 ：3 3 6 6 7 5 ( m o d1 8 ) 1 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 9 _ 1 4 ( m o d1 8 ) 5 2 5 7 9 l 驴2 5 ” 8 ( r o o d2 7 ) 7 5 7 1 0 7 5 7 1 7 ( m o d2 7 ) 4 4 0 3 3 1 0 4 4 1 3 3 2 6 ( r o o d2 7 ) 4 6 5 4 7 7 7 6 3 l 娶1 是一个同余覆盖系，中问列觑是l o m t 一1 的本原素因子，e e l s 3 列g 是1 一1 的本原素因子 定理3 存在无穷多伞满足( m ，3 ) = l 与( m 一2 ，1 1 ) = 1 正奇j 萄 m ，且m 不 能表示为形式1 2 。+ 1 2 + 矿，其中k ，z ，o c 是非负整数，p 是一个奇素数 i 证明中用到如下表格： a ：( m o d m ；)仇吼 0 ( r o o d3 ) 1 5 73 7 6 9 1 ( r o o d6 ) 76 5 9 4 ( m o d6 ) 1 9 1 2 1 9 2 ( m o d9 ) 3 73 9 3 3 8 4 1 5 ( r o o d9 ) 8 0 7 4 9 1 2 “j 7 4 9 8 ( m o d1 8 ) 1 6 5 7 c zy o ra l ls u f f i c i e n t l yl a r g ez c h o o s i n ga = 2 i nr o m a n o f f st h e o r e m w es e et h a tap o s i t i v ep r o p o r t i o no f t h en a t u r a ln u m b e r sc a l lb ew r i t t e ni nt h ef o r m2 + p t h eo n l ye v e nn u m b e r so f t h i sf o r ma r e2 + 2 a n dt h e yc o n s t i t u t eav e r ys p a r s es u b s e to ft h e e v e ni n t e g e r s ， as u b s e to fd e n s i t yz e r o s oa l m o s ta l lo ft h ei n t e g e r so ft h ef o r mp + 2 a r eo d d u s i n gac o v e r i n gs y s t e m ，pe r d s sp r o v e dt h a tt h e r ei sa ni n f i n i t ea r i t h m e t i c p r o g r e s s i o no fp o s i t i v eo d di n t e g e r s ，n o n eo fw h i c hh a st h er e p r e s e n t a t i o no ft h e f o r m2 + p d e f i n i t i o n f o rap o s i t i v ei n t e g e rma n da ni n t e g e ra ，l e to ( m o dm ) = o + m k ：z ( m o dm ) 譬1i sc a l l e dac o v e r i n gs y s t e mi fe v e r yi n t e g e rn s a t i s f i e sn 三0 4 ( r o o dm i ) f o ra tl e a s to n ev a l u eo fi f o re x a m p l e ，0 ( r o o d2 ) ，0 ( m o d3 ) ，l ( m o d4 ) ，3 ( m o d8 ) ，7 ( r o o d1 2 ) ，2 3 ( r o o d2 4 ) f o r mas e to fc o v e r i n gc o n g r u e n c e s i ti sp e r d 6 sw h od e f i n e dt h en o t i o no f 卅 1 1 1p e r d 6 sp r o b l e m2 e r i n gs y s t e m f o rt h ef i r s tt i m e t h e o r e m ( p ，e r d 6 s ) t h e r ee x z s t sn nm f i m t ea m t h m e t t cp r o g r e s s z o no fo d dp o s z t i r ei n t e g e r s n o l 2 eo fw h i c hi so ft h e o ，m2 0 + p p r o o f w es h a l lu s et h ec o v e r i n gs y s t e ma l ( r o o dm ) a b o v e f o re a c ho ft h e s i xm o d u l im li nt h i ss y s t e m ，w ec h o o s ed i s t i n c tp r i m e sns u c ht h a t2 “三1 ( r o o dn ) ，a sf o l l o w s ： 2 2 三1 ( r o o d3 ) 2 3 兰1 ( r o o d7 ) 2 4i1 ( m o d5 ) 2 8 兰1r m o d1 7 ) 2 1 2 兰1 ( r o o d1 3 ) 2 “三1f r o o d2 4 1 ) l e tl = m a x n ) = 2 4 1a n dm = 2 r3 7 - 5 1 7 1 3 2 4 1 b yt h ec h i n e s e r e m a i n d e rt h e o r e m ，t h e r ee x i s t sau n i q u ec o n g r u e n c ec l a s sr ( m o dm ) s u c ht h a t r 三1 ( m o d2 。) a n dr 三2 “( m o d 鼽) f o ri = 1 ，6 e v e r yi n t e g e ri nt h e c o n g r u e n c ec l a s sr ( m o dm ) i so d d l e tnb ea ni n t e g e ri nt h ec o n g r u e n c ec l a s sr ( r o o dm ) s u c ht h a tn 2 2 + f l e t b eap o s i t i v ei n t e g e rs u c ht h a t2 l = m a x p , ) 2n f o r i = 1 6a n ds o 口 1 i fk f ，t h e nn 一2 n 三1 ( r o o d2 ) a n ds o p i 口= n 一2 = 1 + 2 t w 2 a a n du 1 i nb o t he a s e s n 一2 2i sc o m p o s i t e t h ei n f i n i t ea r i t h m e t i cp r o g r e s s i o no fo d dp o s i t i v ei n t e g e r s r + n m ，n = 1 ，2 ，3 ，一 i sa sr e q u i r e d t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f i ts h o u l db er e m a r k e dt h a t c h o o s ed i s t i n c tp r i m e s 融s u c ht h a t2 ”三1 ( r o o dp 1 ) i sv e r yi m p o r t a n tf o rt h ep r o o f a n dt h i si sa l s ot h eb i g g e s td i f f i c u l t y t or e s o l v ef o rt h eo t h e ra r t i c l e so nt h i ss u b j e c t i nt h ep r o o f p e r d s sh a su s e dt h ec o v e r i n gs y s t e m 孤dt h ec h i n e s er e m a i n d e r t h e o r e ma st h ep r i n c i p l em e t h o d ，w h i c hi st h ei n s p i r a t i o no fa l lt h ef o l l o w i n g a r t i c l e s 1 2 z s i g m o n d y st h e o r e m a n dm i s c e l l a n e o u sr e - s u i t s a f t e rr e a d i n gt h ep e r d 6 s b e a u t i f u lp r o o fw i t ht h ec o v e r i n gs y s t e m ，ia n i n t e r - e s t e di nt h i ss u b j e c ta n dir e a d8 0 m eo t h e ra r t i c l e sa b o u tt h i st h e m e i n1 9 7 5 ，c o h e na n ds e l f n d g e 【7 】p r o v e dt h a tt h e r ee x i s ti n f i n i t e l ym a n yo d d n u m b e r sw h i c ha r en e i t h e rt h es u mn o rt h ed i f f e r e n c eo fap o w e ro ft w oa n da p r i m ep o w e rf 士2 ：lp - ) 1 2z s i g m o n d y st h e o r e ma n dm i s c e l l a n e o u sr e s u l t s4 i n1 9 9 9 ，y o n g - g a oc h e n 【2 】p r o v e dt h a tt h es e to fp o s i t i v eo d di n t e g e r sw h i c h h a v en or e p r e s e n t a t i o no ft h ef o r m2 2 士矿矿，w h e r ep ，qa r ed i s t i n c to d dp r i m e s a n dk ，口，pa r en o n n e g a t i v ei n t e g e r s ，h a sp o s i t i v el o w e ra s y m p t o t i cd e n s i t yi n t h es e to fa l lp o s i t i v eo d di n t e g e r s d e f i n i t i o n ap o s i t i v ei n t e g e rdi sc a l l e da ，一p r i m i t i v ed i v i s o ro fo r d e rni f dl 矿一b na n dd 舻一b ”f o ra l l1 m n t h e o r e m ( y o n g - g a oc h e n ) s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t sa ( 2 ，1 ) 一p r i m i t i v er c o v e r i n g s y s t e m t h e nt h es e to lo d dp o s i t i v ei n t e g e r sw h i c hh a v en e i t h e rt h e o r t n2 “+ g f l 妒n o r t h e o n 2 - 卵1 簖7 ，w h e r eq 1 啦，a r e d i s t i n c t p o s i t i v eo d d p r i m e sa n dn ，o t i ，一，o t ra r en o n n e g a t i v ei n t e g e r s ，h a sp o s i t i v el o w e ra s y m p t o t i c d e n s i t y ar c o v e r i n gs y s t e me o v e r st h ei n t e g e r srt i m e s i nt h ep r o o f ，y o n g - g a oc h e nh a su s e dt h ef o l l o w i n g2 - c o v e r i n gs y s t e ml a b e l l e d b y 口t ( m o dm ，3 81 i ti sc u to nt w oc o v e r i n gs y s t e m ，f o rp r o v i n gt h a ti tc o v e r s t h ei n t e g e r s2t i m e s 0 ( r o o d2 ) ， 3 ( r o o d4 ) ，5 ( r o o d8 ) ，9 ( r o o d1 6 ) ， 1 7 ( r o o d3 2 ) ，3 3 ( r o o d6 4 ) ，1 ( r o o d6 4 ) i t i sl a b e l l e db y ( 吼( r o o dm 。) 量1 0 ( m o d3 ) ， 1 0 ( r o o di s ) ， 3 4 ( m o d3 6 ) ， 1 ( r o o d5 ) ， 7 ( r o o d2 0 ) ， 1 3 ( m o d3 0 ) ， 1 9 ( r o o d5 0 ) ， 3 7 ( r o o ds o ) ， 9 9 ( m o d1 5 0 ) ， 1 9 9 ( m o d3 0 0 ) 2 9 9 ( r o o d6 0 0 ) 4 ( m o d9 ) ， 8 ( r o o d2 4 ) ， 2 0 ( r o o d4 8 ) ， 5 ( r o o d1 0 ) ， 4 ( m o d2 5 ) ， 1 7 ( r o o d4 0 ) ， 2 3 ( m o d6 0 ) ， 4 9 ( m o d1 0 0 ) ， 1 5 7 ( m o d1 6 0 ) 2 3 7 ( r o o d4 8 0 ) 2 ( r o o d1 2 ) ， 1 6 ( r o o d3 6 ) ， 4 4 ( r o o d4 8 ) ， 3 ( m o d1 5 ) ， 1 4 ( m o d2 5 ) ， 9 ( r o o d5 0 ) ， 5 3 ( m o d6 0 ) ， 7 7 ( m o d1 2 0 ) ， 1 9 9 ( r o o d2 0 0 ) 1 5 7 ( r o o d2 4 0 ) i ti sl a b e l l e db y 口i ( r o o dm ) 1 3 = 8 8 i ti sp o s s i b l et oc h o o s et h e ( 2 ，1 ) 一p r i m i t i v ep r i m ed i v i s o r so fo r d e rm i b yt h e f o l l o w i n gz s i g m o n d yt h e o r e m b u tt h e r ea r es o m e8 a m em o d u l u si nt h i sc o y - e r i n gs y s t e m ，w h i c ha r ed i f f i c u l tt oc h o o s ed i s t i n c tp r i m e sp is u c ht h a t2 “兰1 1 2z s i g m o n d y st h e o r e ma n dm i s c e l l a n e o u sr e s u l t s5 ( r o o dp f ) w h e ni t i sp o s s i b l e ，t h i si sw h a tw ec a l l e da ( 2 ，1 ) 一p r i m i t i v ec o v e r i n g s y s t e m y o n g g a oc h e nf o u n dt h ep r i m e s6 4 1 ，6 7 0 0 4 1 7a r e ( 2 ，1 ) 一p r i m i t i v ep r i m ed i v i s o r so fo r d e r6 4 ；w r i t et h i sa s “6 4h 6 4 1 ，6 7 0 0 4 1 t s i m i l a r l y ，“3 6h 3 7 ，1 0 9 ”； 4 8h 9 7 ，6 7 3 ”， 2 5h 6 0 1 ，1 8 0 1 ”，“5 0h2 5 1 ，4 0 5 1 ”，“6 0h6 1 ，1 3 2 1 ”t h u s t h ec o v e r i n gs y s t e ma b o v ei s ( 2 ，1 ) 一p r i m i t i v e i n2 0 0 0 ，y o n g - g a oc h e n 3 1c o n t i n u e dp r o v i n gt h a tt h es e to fp o s i t i v eo d d i n t e g e r sks u c h 幽a k 一2 4h a sa tl e a s tt h r e ed i s t i n c tp r i m ef a c t o r sf o ra l lp o s i t i v e i n t e g e r sn h a sp o s i t i v el o w e ra s y m p t o t i cd e u s i t y f u r t h e r m o r e ，h ep r o v e dt h a tt h e s e to fp o s i t i v eo d di n t e g e r sks u c ht h a tk 2 “+ 1h a sa tl e a s tt h r e ed i s t i n c tp r i m e f a c t o r sf o ra l lp o s i t i v ei n t e g e r snh a sa l s op o s i t i v el o w e ra s y m p t o t i cd e n s i t y i n t h i sp r o o f , t h es a m ec o v e r i n gs y s t e ma sa b o v ei su s e d i n2 0 0 1 ，y o n g - g a oc h e n1 4 】4 p r o v e dt h a tt h es e to fp o s i t i v eo d di n t e g e r sk s u c ht h a tk 一2 “h a sa tl e a s tt h r e ed i s t i n c tp r i m ef a c t o r sf o ra l lp o s i t i v ei n t e g e r s nc o n t a i n sa ni n f i n i t ea r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n t h es a n l er e s u l tc o r r e s p o n d i n gt o 七2 ”+ 1i sa l s o t r u e i n2 0 0 3 ，y o n g - g a oc h e n 【5