（基础数学专业论文）关于矩阵khatrirao积的若干不等式.pdf

摘要 矩阵不等式作为一个广阔的数学领域，从某种意义i ：说不等式比等式有更大 的用处。本文研究了种矩孵块k r o n e c k e r 积一k h a t r i r a o 积，建立了若干关于 遮耱矩阵乘禚的矩簿不等式、特征蘧不麓式潋及迹不等式。 本文的主娶内容分为三个部分。 第一部分，首先给出了蹰个矩阵的k h a t r i r a o 积与k r o n e c k e r 积之闽的关系 表达式：a 园b = 詹，to o 嚣) 心。，其中r p ，j 为部分置换矩阵，并得弱关予 部分置换矩眸r 。的几个性质；然后利用这关系得到一些关于两个矩阵的 y d a a t r i - r a o 较豹矩阵不等式。豢嚣推广劐多令楚薄k h a t r i r a o 积熬戆澎，其部分 鼢换矩阵利用递推公式表达出来。 作为矩阵的乘积，普通獭积最常见。在矩阵h a d a m a r d 积与普通桊积的特征 鼗之闽已建立了许多著名熬不等式。由予疑簿k h a t f i 。r a o 积乘积螽羧数交大，藏 攒似的情况一般不成立。本文利用子矩阵与原矩阵特，征值的交错定理、s c h u r 定 联的k h a t r i r a o 积的推广形戏以及矩阵k r o n e c k e r 积的特征值的性质等建立了矩 簿k h a t r i r a o 获与营逶乘秘特薤篷靛不等式。这蓬本文豹第二部分。 矩阵迹的不等式在矩阵理论和数值计算中有着十分燕要的作用。在1 9 7 6 年 l i e b 等人建立了半正定矩陈豹普通乘积的迹不等式：f ，1 0 哇嚣) 8 0 ) 则称a 为半正定( 或匿定) h e r m i t i a n 矩阵。分块对角矩阵a d i a g 叫l 一，a ，) ，记卅= a ，国0 4 。 矩阵a 为n 阶h e r m i t i a n 矩阵( 因而特征值为实数) ，用 棚) ，a 。即) ) 表 示a 的全体特征饭z ( a ) ，并按递降排列 ( 一) 芑气) 。 定义2 1 设一= 0 d ) c “”，b 一略) 嵌c 9 ”，定义一与口的k r o n e c k e r 积 为名嚣= 国。嚣) 曩c ”；定义“与嚣的h a d a m a r d 织为蠢。b 一( a , p o ) e c 。 定义2 2 设摊，m ，p ，q ，r i ，, r j ，觳，譬，( i ；l ，j l s ) 妈为歪整数， 盈满避磊氇。“著掰，。撕磊a 2 p 薹鼋，。窜，对分簸矩阵一8 晦) c 一 b - 喊) c c “，其中焉c ，既c “。定义矩阵的鼢8 f r f n a o f 瞬： a n b ( 凡。岛) c ”，其中“2 善m n v2 善卅j 口j 。 显然，若rt s t l 时，则a 凶b 为a 口；若n - p ，m q ， n i + 九，一m l 一m ，一1 ，则4 囟嚣就是一与b 黻j h a d a m a r d 积。 定义2 3 若对于分块矩阵口一( 巩) e c ”，熊中岛仨c 一，p 。，p ，为正 整数，_ l ，r ，满足善n p ，剡称矩阵8 的分块为对称分块口 洼：在本文中，凡涉及到嫩阵分块都是分为多个子块，每子块的阶数是用鞭 6 矩阵的行阶和列阶所对应字母的分爨来淡示。例如，定义2 2 中的t i m 阶矩阵 a * ( 呜) ，i - 1 - - r ，j 一1 s ，袭示该矩阵行划为，块、列划为5 块，共有r s 个 子块，子块岛靛瓣数为毪辫je 茭了叙述方镬，本文统一指按定义2 2 分块， 躐誊按说分较。对于定义2 3 静清形，可戳畿接说对称分涣。 定义2 4 浚z 一( 群口) e 。， 定义向量比叫崔0 m 磨砒，掰1 2 ，口弃2 ，肆抽，口蝴) 。 定义2 。5 设n 陵霹霹角豫短阵a 豹谱分勰蕊a u d u + ，焚巾u 斑嚣矩终， d d i a g a t 似) ，屯) ) 。定义一。m u d “u + 一u d i a g ：魄叫) ) 6 ，x a a ) ) 4 。 设茗一皈，x 。) 霄“袭示嶷数域上维葶亍囱爨，重毅羲 列x 的每分量露，记 工l 一奴”， ) ，x t m 瓴i ) ，x 扣) ) t 其中鼍1 j 惫嗥j ，确，g ) 。 定义2 ，6 设x 一 t ，_ ) 矗“，y 一( y 1 ) 一，y 。r ， ( i ) 若蔷唧ls 菩y t q , k = 誓，埠显著啊”蔷y 哪，粪| j 称等被y 撩稍，谗海茗y 。 润蕊墨y 哭满怒荟并嘲善淼l ，惫_ 1 ，摇鲻称x 皱y 下弱控镧，记鸯 戈 。y 。 赶玲糟善x ( ) 惫善，露_ t ，n ，鲰4 穆戈被y 上弱控毒，记为嚣”岁e 疆然，算y 博x 坩y 苴x ”y 。 我们先爵本文将弓l 用的定璞及矩阵k r o n e c k o r 积的些佼质。 薯i j 黧2 。1c 2 5 1 设a c 4 ”，丑c 埘，c c 吐，d 联c 9 x r ，受0 秘嚣c 固p ) - a c o b d 。 引璎2 2 泌i 设a c “，b c ”g ，并c ”，c c w ，贝q 御燃- c c 8 7 固a ) v e x - v e c c ， v e c ( a x b ) 一p 7 a ) v e c x 。 ? 引理2 3 t 圳设a e c ，b e c ，c c c ”“，且爿0 ，c 为h e r m i t i a n 矩 刚o ( ；爷“儿 s l 理2 4 设a e c ，b c p ”，若a 豹特征傻集合 a ) = 协似) ，九( 脚 ：b 的特征值集合z ( b ) 。执) ，九妒) ) ， 则矩阵a o 嚣的特征值集合a 似 功一饥“) ；x i 一1 ，l ；j = 1 ，p ) 。 关于矩阵k r o n e c k e r 积，文 2 5 中还有许多性质，本文将用到的还有： 研。嚣r ；a 7 嚣7 ；叫动+ - a 嚣；研曰) 一_ - 1 b ；若a 苫o ，b 0 ， 薤l 蠢。嚣0 。这黧性爱蓉在文牵豹谖臻孛雩| 羯羁将举霉注强。 g l 理2 。5 x y ( o rx ，y ) 国瓴) ，g ( 屯) ) 7 。( g 执) ，g ( y 。) ) ( 对任意的凸函数曲； ( i i ) x 叫y ( o rx 稚因国+ 。 推论3 4 在定理3 + 2 中，若a g c ，b e c p p 均为对称分块的h e r m i t i a n 矩 黪，鄹 ( i ) a 2 因b 2 邕似囟b ) 2 。( 见( 3 3 ) !三 ( i i ) 若a 0 ，b 0 ，则4 囟b 叫2 因曰2 ) 2 。( 见 3 3 ) 谨职：( i ) 出定理3 。2 及雄论3 ，3 知结论成立。 !三 ( i i ) 由于a 兰0 ，b 0 ，所以a 。进0 ，b 2 0 ，| 妇( j ) 知( i i ) 成立。口 攫论3 。5 袋绛翔定理3 + 2 襞述，弱f 罗l 等俊 扣) 4 a + 圆b b 一一因嚣) 叫因曰) ； p ) o 嚣) - 0 ： ( c ) 对一切x e c ”，y e c ”，都有a x 因b y 一以魈参x 园y ) ，其中盖， y 分别与a + ，b 分块一致。 辽臻：丞) 一p ) 。由定理3 2 翔。 p ) 一由q 嚣) 一。知t ”删。j v 。一v 。t - o 。 囱推论3 2 ( i i i ) 知邶峨一，一砭 褥( 3 5 ) 式我入( 3 。4 ) 式缮翻固固一翟园嚣) ；嘱 1 7 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 上式两边同右獭以( x o 】，) 有碡i a x 固露y ) 一碡 曰) 砭 o y ) 所戳a x 因b ym o 因日) ( x 闲y ) ： 0 ) 一和) ，令a = x ，b = y ，捌 删因b b 一似囟口) ( 爿圆g + ) 一卅园曰) o 因且) 。 口 定理3 + 3 设_ 一娼) i 州e c ”8 ，b * c ) i 坤e c “均对称分块，虽蠢，o ， 曰0 ，则a 囡b 4 + 彳- 1 因b 麓2 1 ， 特别地a 溺a + a 。西a 芑2 1 ，a 函a + 彳。函a 。麓2 1 。 证弱：对 鼍意正定矩阵膨，有掰+ m “之2 1 ，令a 圆宴一m ，剡 ( 固b _ 1 ) + ( a 曰_ ) = 爿。嚣_ + 一_ 1 曰谶2 1 ， 觚蕊，。啄o 嚣。+ _ - 1 嚣一笤k = a n b 。蔗。溺b - 2 i o ， 鄹a 因b - 1 十a _ 1 幽b2 2 i 。分别令b = a ，b a ，有 a 因a 一1 十a 1 阏a 芑2 i ，“融a + “一1 函a 1 苫2 1 。 融 定理3 。毒 设爿一南) i 弦c ，b 一岛) ：弹e c ”9 ，c 一q ) i 埘e c 一， d e ( d 0 ) 0 。e c ”均对称分块， 鞠蒯。激d d + + c c 麓b b + a c 。秘d b + + c a 嚣b d + 特别地， 叫因d + c 因b ) ( a 因d 十c 圜嚣) + 。 1 8 ( i ) 若4 、b 半正定，则爿2 n i ，+ l 因b 2 + 2 囟曰) 研贼，+ 厶n b ) 2 ( i i ) 若a o ，b o ，则4 2 嚣b - 2 a 。因b 2 + 2 1 麓诞园b 1 + a 一1 n b ) 22 4 1 。 谜蹋：令k a o d + c q 嚣，裂 k k m a a o d d + c c 。b b + + a c o d b + c a b d + 。 r 口t 脒+ 一a a n d d + c c 囟b b + + a c 囟棚+ c a n b d + ， r ￥t m n ，t k r 口一似n i d + c n b ) ( a n d + c n b ) ， 凄壤论3 。2 ( v i ) 蠲证a a 强d d + c c 。嚣b b + a c 因d b 。+ d 强b d + 0 n i d + c 嚣嚣) o 闲d + c 因国+ 。 特别地，令c t ，d - ，。，即证( i ) ： 令c a ，d - b 一，n a 2 因b 4 + 爿- 2 圜b 2 + 2 1 “圆b 一1 + 爿一1 锻曾) 2 鑫是理3 3 ，翔g 越b 。+ a 1 n b ) 2 4 1 ，从蠢动戏立。口 定理3 ，5 设蠢一魄) i 伸e c 一，b t ( 岛) i g c ”筠正定显对称努块 则a 。因b - 1 以因口) 。 溉蚓觐。翔( 。南卜剜 。圆占) 。r ，【r 二0 嚣) r ，】。r ，t ( 3 6 ) 由摧论3 2 ( i i ) ，一j 一在( 3 6 ) 式灏边同时左黎右浆r ，有 1 9 毋) 。r , ”e r ，i 0 0 嚣坶，】_ 1 t r p 郎彳圆b “芑一因嚣) 一。 口 洼：擦论3 4 ，定淫3 。5 体为经典鞠瘫阵t l a d a * t a r d 积不等式 a 2 。b 2 乏印。脚2 ，a o b 乏0 。嚣；) 2 ，a - lo b 1 苫。嚣r ( 觅 i 7 】，【3 5 ) 的擒广； 文 3 a 曾对矩阵a 、b 是四分块的情形得到过同样的推广式。 定理3 6 设_ * ( a ，。埘e ，b 一( 舀) i “g e ”，c m ( 岛) i ，。e c ”， d t ( ) i ，“e c 均对称分块， 则 a a n d d + c c + n b b 吾秘 n d + c n b ) 嬲n i d + c n b ) 。 证鞠：索弓| 繇2 3 熊， 一a l l ；! ) t ( 等训等+ 引警产穗 辩由弓 瑾1 ( i ) 弼， 瞄a a 捌警+ 州署州等铲 又蠹萼l 理2 。3 ，寄 4 = i 2 纯因，)l o ( 3 7 ) a a + n i d d + c c 飘瓣。主吾口黩o c 嚣露) 搿i n d + c n b ) 。口 注一躺的证帆矩阵降训b b b 。1 i i c + 乏)l 一j 7 ? 。j 艿 拨圆 ，鳓 - + c d + n d 囟 爵 硝 弘 ，。l 即 z 】均是各x z r 块，i = 1 , - - - , k , 嚣不楚四块e 按矩瘁k h a t r i - r a 。积熬蹴 义，分溷块瓣( 3 + 7 ) 式不等号左端豹乘拣褥号巍是。嚣甭是翘) 。这是剩搦s c h u r 补证明多分块矩阵k h a t r i r a o 积习i 等式的1 种方法。 我们在翁殛定理的证明中用到了斌+ z ( t n “。，v t 剥) + ，通过对 k 取不同形式的矩阵可以建立一些不嘲的关于矩阵k h a t r i r a o 积的不簿式。现 在，我们探讨一下矩阵尺；艇r ，一职二衄，) ( t 猷。) 为奇异的充要条件。 定理3 。7 设k c ”，则t 麟+ 一( r ，t。，、，t 托r 埘。) 。奇异一存在 个非。的块对角阵d ，使得二k v e c d ；0 证明：由推论3 2 ( i i i ) 碥k k r ，一( 碥吸) ( ) 。删。孟符霞，鸯彝一k 奇 异存在喾零凑量茹c ”+ + “，t 爱x * 0 出攘论3 。2 ( v j i ) 躲 n 二菇+ p k d ，l 一0 n口 撼沦3 ，8 设矗= 镰) ，f 一( 舀) e c 一；露t 峨x g 弼# ) e c 9 ”i t ，； j t ，5 。令h 一删+ 黻b b + 艘。魍g g + 胛。圆b g + f a 融g b 一( a 因 b + f 囟g ) ( 因b + f 魍g ) + 。 那么h 奇异静存在一个非零的块对角阵d ，使得a 7 d b + f 7 d g 是块对角阵。 证明：在定理3 7 中，令ka a o 露+ f 固g 知麒是奇异的* 存在j # 零向麓 x ，二翻o 嚣+ + f + o g ) v e c d ，= 0 i n r v e c ( b + 吼，五+ g + & 。f ) 一o ， 由推论3 2 ( v i i ) 知b + ，。a + g d 。f 为块对角阵，熊共轭转置也为块对角 阵即一7 碱。b + f d ；。g 为块对角阵。 臼 注：对k 赋予不同的矩阵，就可得到不同的矩阵h 为奇异的充要条件。 我们可以j c 手前猫两个矩阵k h a t r i - r a o 拣的一蹙定理、推论推广蜀多个楚阵 ，l 的k h a t r i r a o 秘上去。 设筵簿爿一，磊努爨为n x 辫( 1 ) - - n 社h i 渤除筑簿显都按定义2 2 分为 ，s 块。首先，我们给出骚用到的符号表示。用r r k ，表示矩阵n a 。因 4 。；) - - 撇a ，的k h a t r i r a o 积与k r o n e c k e r 积之间的关系矩簿，即轵l n a ：因 4 。) n 4 - - 彤t 。一，【即。i d a 。因4 一，) 0 4 t r m 押，t 一3 ，蠡。 下面的定理3 8 推广了定理3 1 ，并键到矩阵a 1 ，4 豹k h a t r i r a o 积与 k r o n e c k e r 积之潮的关系矩酶的递推公式。 定理3 8 设矩阵4 ，a 分别为h 1 晰”，z 耻m 阶矩阵且都按定义 2 2 分为r x s 块，刘a l 嚣a 2 因a 女= r r , ，g l 碡rm ，荬中 ，磊“”一“”m一满足递推公式rrrr g c ，；。一。( r 二。，) ， 小， 自 满足递推公式 ，= r ：”“，( r 二o ，一，) ， r 。r 。：1 - r 。r 。，k ( ，f = 3 , - - - , k e 证明：用数学归纳法证明。 当 一3 露，a l n a 2 ：，v ：；翟i o 么2 ) r 。萨， 有0 。函爿2 ) 固心弋- - n 。t 。一：，。”) ， “2 固4 ，) ( k t l ) m mo ，。m ) ，从葡4 。n a z 黻焉= 【，v ：w ，( r t 铲， z 妒，) 】轵， 爿：0 4 ) ( t 。k t ” ，拶) r 埘t ，w t o o ) 】 = ，0 ，固彳：o 坞) r 。m ； 设女一1 时成立，即4 n a ：因4 一l = 蝶。( 4 0 4 。) r m 。”；用f ，3 时 的方法可证对k 个矩阵氇成交。 墨 数学归纳法在推广多个矩阵的k h a t r i r a o 积不等式中有着重鼹的作用。 由于矩黪囊，碡的k h a t r i r a o 积与k r o n e c k e r 积的关系矩黪霄： 是依据 前面的尺二递推而来，因而我们不难证明的许多性质对r r 。也成立。如， 露：t ，r 2 ，；存在矩阵，e 。1 ”帆，其中三_ 撑m 拜一薹撵f 扎叫p ， 使得【r 。nm 是1 ，l ) 阶谶换矩阵，且r ：”nm 一0 ， n # o 鼻涤，= t 一气l 。 ； 瓣任意楚阵k c “”批妒菇”， 寄 r r ，k k 。r ，惫( 砟) k r ，) ( 群t ，艘，) o 等。 姥终，袭稍还胃虢瘸藜甏接导亵矩簿鹣类辍方法班获数学妇续滚褥劐多令短 眸k h a t r i r a o 积类似于前面的些结论。 推论3 7 ( 1 ) 设矩阵4 ，a 女分别为n 1 x m “，抖x m 阶矩阵且都按定 义2 2 分力，s 块，h e r m i t i a n 矩阵4 蠢：e c 9 薅称分块，i = 毛，k 则一。a ：因a ：a ：因4 a ：2 ，因爿：因a 女) 0 ，因a ：因爿。) + 霞：。留lo 巷) n 拶n r 即lo 磊) r ， 从丽a 1 a ? 因一2 以囟a a ：研1 圆a 2 因a ) ( 爿i 园爿2 i e l a 。) ； 2 ) 若( 1 ) 中磊先黠棚方龄h e r m i t i a n 斑簿虽对嚣分软，it l ，k ， 则爿? 因4 ；阏4 ；z o ，因4 ：因4 ) 2 ； ( 3 ) 若( 1 ) 中矗为n 卿方除半正定矩黪且对称分块， 则“。因_ ：圆4 = 口产因“乒因一于) 2 ； 且( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 中等号成立一 ( i ) ”搿l 圆) 舒”鞠 ( i i ) 对一切并，c ”“”。，iw 1 ，七，都有4 x 1 因4 2 x 2 因4 x 女= 口1 因彳2 焱囊) 翟，嚣爰。强x ；) ，焚中x i 与长豹分缓方式皴。 证明：类似定理3 2 ，摊娩3 4 ，推论3 5 的证明。 口 推论3 8 设矩阵4 ，4 分别为 m ，越方阶难定矩阵且对称分块， 则一i 1 囟一；嚣1 翟1 戳以因4 ) e 证明：类似定理3 5 的证明。口 难论3 。器设踅蓐e c k ”，x e “”毽对称分浃( r x r 块 ，a ；，0 ， f l ，k n ( x ；a x ；) 因( 盖；建x ：) 函盖：么x 。) ( x i 冈x ；囟盖：) 即l 因爿：酗以) 。( x ，因x 2 因x 。) 。 特裂逮， 僻一。，) 凶( 盖x ：) 苫( x ：因置：) 口，n a ：) 。皑，函x ：) 。( 见 3 4 ) 证明：由弓l 理2 。3 知 置? 玺，x 。j z 。，t * 毛，露。 则厂a 1 n a 2 囟a x i 冈x 2 翟x 妞，函x 2 n x 。) + 瞄；彳x ，) 因僻； x 。) 2 ( 曼菇麓) 因噫翻x 赫2 阍( 乏善：鍪墨) - 由引理4 1 ( i ) 知，上式左边邕0 ，再由引理2 3 知结论成立。 口 、；，缪， x矗 ，i y ，l 谜 第四节矩降k h a t ri - r a o 积的特征值不等式 在这一节，我们利用予矩阵与原矩阵特征值的燹错定理、s c h u r 定理的k h a t r i r a o 积的推广形式以及矩阵k r o n e c k e r 袄的特征馕的幢矮等定理建立了矩薛k h a t r i r a o 积与蘧通乘积特挺值的不等式。 g l 理4 1 ”。设爿一叫目) i 川悠c ”“，b = 眠) ；h e c 均半正定且对称分块，则 ( i ) a 凶b 半正定； ( i i ) r a i nk o 。) k 式因嚣) = k ( 嚣强固 t sk g n b ) = k x p m a ) 瓣k 隅) a 一鳓 g l 理4 2 设蠢；翟# ) i j 。e 一，b 。( 嘞x 坤g c ”均半歪党虽怼爨分块t t 0 , 1 1 ，赠g 因嚣y a 。翟b 。 谨鞠；l ；l ；l 推论3 。l ，) 7 翟昼) ) 2 ( ；) ，其中c ：一嚣 b ，x 一露：印固嚣) ，y 一二0 艿) k ； 对v s ，。，总能找到足够大的蕊数亢，使褥( 暑：) 芑( ；享) ，因藏 ( c 荆；喜) 。c r ”) r ，c r ”) ， 根据f 2 g 进0 j f g 基0 ，t e o , 1 】，( 见 2 3 ，p 1 3 b ，p ) 则 ( 苫d 品) 急 ) r 轵。嚣投醒 2 罗诞嚣) f 略) = n ，) 7 o 拶) ) 辑边静、最分别繁以( ，。+ + 。，印，纯m “，o ) 7 有轵议8 + ，y 圆b 则轵鳗8 y 爿圆b 娃一o ) 。 口 引理4 - 3 设爿一叫口) i 川e c ，c - ( q ) i 川c 均正定鼠对称分块， 则一因4 一k 翻一，芑( 爿，n a k ) ( ，圆c t ) - ( 4 e 圆一一z ) 。 i 。且( 纛4 一髦一) 。蚓舭，有 厂l 姆c 一14 h 因a - f , l 舶爿鞠爿断川o 由引理2 3 知，结论成立。口 引理4 4 设a e c ”半正定，暑c ”“， 则善 u 囝彳) 2 州( 研) + + 气似) ) + 啦一婵s ) 气+ 似) ，其中s 一阪l 七一- ，卅n 。 证明：由引理2 4 ，对i 一的特征值由大n 4 , 排列为 & o ) 一，叠翟) ，气叠) ，气g ) ， 麸嚣 踅豫f o 彳翡蘸囊个特 燕值和为矧隔钟) + 十暖) ) + 转一m s ) x l ，。强 萼l 臻4 ；5 测设a 势薛陵h e r m i t i a n 方薅，a 表示a 豹k 狳主予黪， 1 是群一1 ，瑙& 翟) 惫五0 冬) 走。“轵) ，i = l ，是。 弓l 理4 。6 1 9 1 设4 c ，b g c 4 ”均半正定，槐为任意正熬数， 到善 翟印s 善华9 8 鸯4 ) 善叁擘) 五嚣) ，耄- l ，攫- 弓l 理4 7 1 q 设a e ，b g c 鸳拳芷定， 痢善五一) 丸一p ) 善五) s 善五翟撬滞) ，盂毛，靠。 下面的定理4 1 建立了两个矩阵的k h a t r i r a o 积与普通乘积的控制不等式。 蠹予涉及捌普遴乘积，羧嚣缀蓐郝竣为嗣盼方终。 定理4 1 设爿一0 ) i m c “，b 一( 岛五川e c 均正定且对称分块，则 对任意正照数，有捍【t 形( 氲目) + 十t 芝，o 侣) 】+ 一船) 磁( a 日) z 糍一t 护搿，辩触剐， 涯弱：令e 。= 蠢缒b y - 蠢， 刘 翟n b ) 卫蠢笠因b k = a y - 因，哇一聂* c 。一) ( a 避a 一) ( ，靼c ? ) 一1 ( a y , - 函一一坛) 即有矩阵 b ：爿一韪爿三三三二 。 p 酗兹似鳓) 鬈j 夕u 从而，因g ( 彳勉融a 一蔓一) 困挪一篇( 一是m 麓a 一 ( 4 1 ) 故荔丑( 7 因c ：) a i ( a 咒。函爿一) 即函曰) k ( 爿比囟，唾喵。) 】 = 芝 【( 爿因爿一) 2 0 因曰) 一丘】 ( 4 2 ) 善 ( 圆c ：1 ) 8 善 u 固c 二1 ) 墨砖踏a 。b 。) + + 移卅。b 。) ) + 毡一船) 必；o 。b “) = 再( 以功+ + 屯苎。) ) + 一瑚) 兰0 撒) 善秘爿麓鼻一如) 2 翟逸鑫) 一兑】善冬【g 因霆) 域】气稍( 崖虹溜a - y t ) 2 1 = k 象- 叫西b ) 。+ 。( “嫩n a 一) 芑黼弘。n b 。n - 4 + l ， 篝。繇) 岳 7 = 糍黔翟强国弘似) 衙“州 ( 第个巧i 等式燕裰据弓| 遴4 7 ；第二个不等式是裰据弓 瀵4 5 ；对怒阵徐方 粕湘瓢簿黼爷_ 1 ) 2 鬻。) 离理，式( 4 2 ) 右端落碍为 善磊【( 强蠢一) 2 翟强国一嚣】2 篆蠢一，f 津因印曦】冬( 一勉强蠢一) 2 t z 怨扩似口 ：掣妻铲似因曰) 口 鬈”搿 推论4 1 设一一魄) i 川c “，b = ( n 。t ，c “”均难定且对称分块，f 0 则糕峨( a b ) + 一嘎“) m 删磕 m a x 善帮稚函嚣) - 善_ 搿强嚣) t 其中s e 瓯】，毒i 毛，p ；p 兔蹩箨 a 嚣b 的阶数。 涯臻：令t ，咒，刘燃f ，1 ，聂g 积) 一j “是凸滋数，港弓l 璎2 5 i ) 投定理 4 1 即证。 口 推论4 2 设“- ( 4 ) e c ，b 一( 岛) e c “”均j e 定且对称分块，c 一爿矗删x 则( i ) “园b 之a 土( ，n c 1 ) 叫k n a 一托) 2 m ( c ) 研片融一一k ) 2 ( i i ) l n c 。苫磕。西挪o x n a 一鹾) 2 【学孟。他) k 例1 即苴n a 一拜) 2 证明：出( 4 1 ) 当州- l 对，a 西嚣= ( “菇西彳幔) ( ，酱c 一) 一1 ( 彳嚣西省嘎) 及j 因c 一1 ( _ l ；函a - k ) ( a 因b ) 一1 ( 一k 因a 一_ ) ；) ( 4 _ 3 ) 耄弓l 理4 1 及f 懿装餐蕊鸳凳1 ，有 ，娜c 一sa 吣( ，因c 一1 ) ，sm 1 妇a x ) m a x ( ) a ( c 。) j = a 渊( c 。) 即p 因c 一1 ) 一1 磕p 因c 。) ，兰五：( c 。) ，= 孟( c ) j ( 4 4 ) a 麓劈s a 一一囟聊j m a 。x ，k ) k ( 聊j 即印m b ) 一1 ；磕即函功，* 【m a xk 魄) k 妒) r f ( 4 + 5 ) 将( 4 4 ) 、( 4 5 ) 健入( 4 3 ) 中静两个不等式褥( i ) 、( i i ) 。 日 ；t 理一e 【2 设块矩蹲一2 ( 耋丢) 羔。，其中五c “，m c 一 x c ，刚帮m 是半正定且若m s n ，存在酉矩阵u c ，使褥 x xs m k u l u m k 定理4 2 设一一隅) i 州仨c 一，b 一( 岛蔓纠c 穆正定显对称分块， c 。a m b a 7 ：，则存在酉矩阵u ，使得( j 园c 一1 ) “u 融曰) uu 园c “1 ) “2 即咒 酣弩t 觚两骥k 五p 弧_ z 愈零翟蔓酣其中b h p ； p 为矩阵a 囡b 的阶数。 证晴：由战( 4 1 j 知匡：d m “ 又由雩l 毽4 , 8 ，存在蚕麓薄耵，毒 u 闼c 一1 ) ku “函b ) uu 戳c 1 ) 巧苫似片因a k ) 2 ， 义耄子密锈驻秘墨愈绥蹬溉爷渺# + ，雄( 霓蹲p x 辩 斑碍咒囟4 叫) s 立 园) u 叫圜占妒】s 愈 ( ，囟) 即囟曰) 口 o 一 魂l _ a c 酱 因 蔑 ， 第五节矩阵k h a t r ；- r a o 积的迹不等式 在这一苓，我识蓄走建立了拳歪定艇黪鹃k h a t r i - r a o 积熬迹不等式；然压建 立了h e r m i t i a n 矩阵的k h a t r i r a o 积的迹不等式；最后我们给出了矩阵 k h a t r i r a o 积的迹、对角元以及对角块嬷的不等式。谯本节中，矩阵的幂如定义 2 5 所述；需瑟浚翳的是对予、嚣8 ，警掰先受对，瓣箨a 、b 都表示正定矩阵。 引理51 例 设爿c “”，az0 ，则弘【( 爿“) 。】蓐【0 4 ) 。】，掰sp ，筇一0 等鼍成立一g 一芦，o taz 刑。国蠢妒7 ，hz o ，p 为鬟挨矩蓐。 根据引理5 1 我们很容翁得到引理5 2 引理5 2 设a c ，b c p ，均半正定且对称分块， 要盖蔓氍。嚣露8 ) 石器留器麓1 3 p ) ，8 s 芦，毯黟乒0 ： 等号成立一。一芦，o ra 曰一研因曰) 国h i f 7 ，h 0 ，p 为置换矩阵。 涯羹妻：凌予a ，b 对穆分块，翔a 强嚣舞a 嚣懿主子薄， 由引理5 1 知成立。口 引理5 s 鹕1 设z 。( 乏2 ) 为再雅黔半正定矩簿，4 “2 ( 兰塞) ，其中 科为实数且a 删0 、1 ，a 。、塌分别是a 、a “的七x k 阶主子阵：则 缸4 7 一n 氓# a 2 一b 2 0 定理5 1设一c ，嚣c ，。，两举芷定且对称分块，则 ( 1 ) f ，研心口) 。s t r 即“鞠b 。) ， 蓑群9 0 0 ra 1 ； ( 2 ) 州0 秘曾) 8 护研8 嚣雷“) ，若0 歧s l ； 凰( 1 ) 、( 2 ) 等号成立一下列条件之一成敷： ( i ) a 0o r l 存在一个鬟按短阵p ，镬褥a b “磋翻因鳓彩拦矿，h 0 ； ( i i i ) r ：似圆b ) ，- 0 ： o r ) 霹一诱善c ，y c ”，帮骞a x 因b y 一秘魏固强皴玲，其孛 并，1 ，分别岛a ，b 分块一致。 证明：( 1 ) 由弓l 理5 2 知，装g 1 ，则a q 函印s 彤嬲。n b 。) ， 即( a 因b ) s z ( a “因b “) ，从i i i t r ( 4 因曰) 。s t r ( a “n b “) 糟as0 ，则弘口。翮嚣8 ) a ( 4 n b ) ，即r u 阏功s q “园曰。) 从而，f r 溜曰) “姑t r ( a “豳b 4 ) 。 ( 2 ) 类似( 1 ) 的证明。 一f 嚣诿麓等号残立麴充要条 孛。 驻然，当口；0o r1 时，等号成立。需要证明当a 0o f1 时，娃1 引理5 2 知， 等号成立一( i i ) ，现证明等号成立一( i i i )( i v ) 。 腊号成批她。 聊c r ，= 隘妻) ， 由推论3 2 ( i i i ) ，恹，n 。j 是个置换阵。 由( 爱) 口 印) = ( 麓嚣三麓芝嚣三裟) ， q l 。r r e ( a o b ) r , , p = 4 圜b ， 瓤q 8 ；( 爱) 轵。 嚣“，拯。j = ( 麓嚣暑；是g t - a 。三嚣a 。激) 国“) l 一氍“o 嚣。玛= 蠢。嚣嚣“， r t r ( a 翟嚣) 。= t r ( a “因b “) ，帮护照) “i t r ( q 8 ) ；，纛弓l 理5 3 郄疆。 i 正( i i i ) ( i v ) 由推论3 5 的证明即证。 翻 注：定疆5 。l 推广了文e 8 3 中 f a d a m a r d 稷的逡不等式，等价条释中增葫了 霆，t 诞 嚣) 一0 e 狻们对定理5 1 推广剿多个矩阵的k h a t f i r a o 积的情形。 定理5 2 设矩阵a 1 , - - , 以分别为，l “，l 阶半正定方阵且均对称分块， 贝u ( 1 ) t r ( a 1n a 2 - 函爿i os t r ( a ? m a ；因4 ；) 若as 0o ra2 1 ； ( 2 ) 打“园a 2 霹a i ) 8 敏t r ( , v 园彳；园鬈) 若0 口1 ： 显( 1 ) 、2 ) 等号成立静下秀条锌之一艘立： ( i ) at 0o r1 ： ( i i ) 存在个置换矩阵p ，使得a ， 4 = 蠼o ，圆a ：园 旗) o ) h p 7 ，h 急0 ： ( i i i ) r 。r i 固 4 ) j r 。；0 ； ( i v ) 对一秘x 。e “。”8 ，都有4 蔗l 溜a z x 2 戮a k x t = 诞i 戮a 2 因 a ) 僻，囟x 。圆x + ) ，其中x 。分别与4 分块一致，i 。t ，女。 谨臻：( 1 ) 瘫定瑾3 8 翔，a ，n a 。n a 是矩簿； a k ) 瓣主子阵， 蒋搿s0o r 口麓1 ，再由引理5 1 知， 纠1 蝴a 2 n a ) “s 因爿；囟钟) 鄹有挣强强a 2 强a 1 ) 8s t r ( a ? 强蠢；戮露) ； ( 2 ) 类似( 1 ) 的证明。 对于等号成立的充要条件类似于定理5 , 1 中豹证明。 口 下覆对矩簿a 、b 懿条佟半歪定改为h e r m i t i a n 筑阵势将8 隰翻为正偶数， 可以得到关于h e r m i t i a n 矩降的迹不等式。 定理5 。3 设a c ，b e c p 。9 为h e r m i t i a n 矩薄恳对称分块，m 为正偶数， 强l j t r ( 彳因丑) “st r ( a ”园b “) 。 证明：由推论3 3 ，a 翻b 为h e r m i t i a n 矩阵，从骶，a 2 、b 2 、卅因嚣) 2 都 憩举正定矩海。 由推论3 4 ( i ) 知。函占) 2 蒜a 2 囟b 2 ， 剿冬【。强国2 】墨五搿2 因) ，2 1 1 ，善尹j ； 令肌- 2 , 1 ，卿l t r ( a 园曰) “2 t r t ( a 圆曰) 2 】9 。硝叫因口) 2 s 芝霹9 2 n b 2 净护_ 2 n b 2 ) 9 ， 由定理5 1 知，肛口2 园b 2 ) 9 蜮f r 口幻斟b 柚) = t r ( a “嗣b ”) 。 围 注：羞嬲必惫数t 续谂觳不成立妇，覆_ 。( ：二嚣。g ，筠按 元索分为2 x 2 块：由于f r ( 4 因曰) 3 一1 0 ，t r ( a 3 园b 3 ) i 一1 6 假，押即园 艿r 帮馨3 强b 3 ) 。 引理5 4 设矩阵爿l ，4 分别为n ”，捍。翰f h e r m i t i a n 方阵娃均对称分 块，为自然数，刘磊搿。因蠢。函4 ) 7s 五印；因4 ；麓蠢；) 。对所蠢鼹特征值 证明：由定理3 。8 知4 戮呜强4 怒矩薄翟， 圆嗄) 的主予薄，再由引 定理5 4 设矩阵4 ，4 分别为n ”，封耻l t e r m i t i a n 方阵腿均对称分 块，掰为琵霞数，羹t j t r 强魏a 2 颡墨) ”s t r 掣- 强鼻强a 7 ) 。 证明：由推论3 7 ( 2 ) 知， ，因 因a ；) 25 囟a ；因群) 令攒一2 q ，翔是以a 2 - - - 嚣破) “= 霹【戮心因么) 2 】 s 碍( 暂融4 ；囟a ；) 一 ( 鬈因“；因4 ：) 9 s 丑o ，灏_ ? 因掣) ( 由引理5 。4 ) t r ( t t i 园一