（基础数学专业论文）关于二阶脉冲积分型微分方程反周期边界值问题.pdf

a n t i - p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h e s e c o n d o r d e ri m p u l s i v e 11 - i n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b y h a n x i a n g l i n g b e ( s o u t h w e s tu n i v e r s i t yy uc a ic o l l e g e ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n b a c k g r o u n dm a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl i uz h e n h a i m a r c h ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所盛交的论文是本人在导师的指导卜独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识剑 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：韩唐聆 e j 期：2 口1 1 年多月z 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密晒。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：尊分店诠 日期：2 0 1 1 年参月二占日 导师签名：萤j 寸在滔 日期：2 ，f 年5 月占日 摘要 本文我们讨论了一类二阶含有脉冲及反周期边界值条件的积分型微分方程 i - x ( t ) = i ( t ，z ( ) ，( 死) ( t ) ，( s z ) ( 观j 一 酬= 氏( 酬) ，( 1 ) ia x 他七) = 露( z ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，p lz ( o ) = 一z ( t ) ，z ( o ) = - - x ( t ) 我们应用b a n a c h 不动点理论及反周期边界值问题的上下解n o ，岛联合单调迭代 法来证明此方程临界解的存在性 本文我们将首先建立关于二阶脉冲积分型微分方程反周期边界值问题的新的 比较原则z ( ) 0 ，并用反证法来证明此原则 其次，由于在一阶反周期边界值脉冲积分型微分方程及二阶周期和非线性边界 值脉冲积分型微分方程中关于山下解的定义已经不适用于本文，所以我们给出了本 文的一个重要定义，即反周期边界值问题的上下解的概念 再次，我们给出这类反周期边界值条件的二阶脉冲积分型微分方程的线性等价 表达，并讨论其解的存在且唯一性，以及其解的存在且唯一所需要的条件( a 1 ) 一( a 3 ) 最后，我们得到了本文的一个重要定理，即一定条件下问题( 1 ) 的临界解在上解 与下解之间，并用比较原则、单调迭代法及上下解来证明结论 关键词：脉冲积分型微分方程；反周期边界值；单调迭代理论；上下解；临界解 i a bs t r a c t t h i sp a p e rh a v ed i s c u s s e dt h es e c o n d - o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i m p u l s e sa n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s l - z ( t ) = ，( ，z ( 亡) ，( t z ) ( o ，( s z ) ( 亡) ) ，t j l z ( t k ) = 厶( z ( 如) ) ， l ( t k ) = x z ( z ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ，p iz ( o ) = - x ( t ) ，z 7 ( o ) = 一z ( 丁) ( 1 ) i tu s em o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e sa n db a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h el o w e r a n ds u p p e rs o l u t i o n sc t o ，风o fa n t i - p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n st op r o v et h ee x i s - t e n c eo fe x t r e m es o l u t i o n so ft h i se q u a t i o n s f i r s t l y , i te s t a b l i s han e wc o m p a r i s o np r i n c i p l ea b o u ts e c o n d - o r d e ri m p u l s i v e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n sz ( t ) 0 ， w h i c hi sp r o v e db yt h em e t h o do fc o n t r a r y s e c o n d l y , t h ed e f i n i t i o no fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n st ot h ef i r s t o r d e ra n d a n t i p e r i o d i ci m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h es e c o n d - o r d e ri m p u l s i v e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp e r i o d i ca n dn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n sh a v e b e e nn o ta p p l i e dt os o l v ep r o b l e m ( 1 ) ，s oa ni m p o r t a n td e f i n i t i o no fu p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n sf o ra n t i p e r i o d i cb o u n d a r yp r o b l e mi nt h i sp a p e ra r eg i v e n t h i r d l y , t h el i n e a re q u a le q u a t i o no ft h i sc l a s so fa n t i - p e r i o d i cb o u n d a r yc o n - d i t i o n ss e c o n d - o r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb r i e f l yi n t r o d u c e da n d t h ee x i s ta n du n i q u eo fs o l u t i o no fi tw o r k e do u t ，a n dt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n s ( a 1 ) 一( a 3 ) a r eg i v e n l a s t l y , a ni m p o r t a n tt h e o r e mi nt h i ss e c t i o ni so b t a i n e d ，w h i c hu n d e rs o m e c o n d i t i o n s ，t h ee x t r e m es o l u t i o no fp r o b l e m ( 1 ) i sb e t w e e nu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n s ， i nt h ep r o c e s so ft h ep r o o fc o m p a r i s o np r i n c i p l e ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e sa n d l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sa r ep r o v e dt op r o v et h ec o n c l u s i o n k e yw o r d s ：s e c o n d o r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， u p p e r l o w e rs o l u t i o n ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e s ，a n t i - p e r i o d i c b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，e x t r e m es o l u t i o n i i 目录 ： 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论 1 1 研究背景1 1 2 本文选题依据及研究内容3 第二章脉冲积分型微分方程的相关理论 2 1 引言6 2 2 基本概念7 2 3 引理及推论9 第三章二阶脉冲积分型微分方程反周期边界值问题解的存在性 3 1 存在性条件及假设2 0 3 2 主要定理及证明2 0 结论2 6 参考文献2 8 致谢3 2 附录( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 3 3 1 1研究背景： 第一章绪论帚一早三百t 匕 自从二十世纪九十年代对微分方程及工程进行了深入的研究反周期问题在自 动化控制中有重要的应用自然，反周期解也就在各种物理程序的数学化模型中提 出来 早在1 9 8 9 年，a h a r a u x 在文【1 】中讨论了关于一些非线性方程反周期解的问题 1 9 9 0 年，o k o c h i h 在文 2 】中讨论了非线性抛物型方程反周期解的存在性问题非线 性发展方程，半线性发展方程，一定条件的非线性发展方程，一阶脉冲积分型发展方 程等的反周期边界值问题分别在文献 3 1 3 1 中进行了深入的探讨 早在1 9 8 8 年，o k o c h i h 在文 1 5 】中就解决了关于一类方程的周期解的存在性问 题接着，关于一阶和二阶脉冲积分型及椭圆抛物型微分方程的周期边界值问题作 者分别在文献f 1 6 2 3 】中进行了研究 近些年来，有许多国内外学者研究了边界值条件的微分方程解的存在性与唯一 性的问题特别是脉冲微分方程特别受到学者们的关注，因为脉冲微分方程是研究 关于生物，工程技术和物理学等方面的实际应用问题的重要工具脉冲积分型微分 方程也已经被广泛研究当讨论带有初值或边界值条件的微分方程和积分型微分方 程解的存在性时，我们经常用单调迭代法 一阶和二阶脉冲积分型微分方程的周期边界值问题已经被广泛研究，一阶积分 型微分方程的周期边界值问题的研究见 1 7 ，1 9 】而且，文 2 0 e 0 w e id i n g 讨论t - - 阶脉冲积分型微分方程的周期边界值问题 i 一旷( t ) = f ( t ，y ( ) ，( 口( 锨t j 一 y ( t k ) = i 七( y c t k ) ) ，( a ) l 掣讹南) = 露( y ( “) ) ，七= 1 ，2 ，p ly ( o ) = y ( t ) ，y l ( o ) = 矿( t ) 其中，c ( ，r 2 ，r ) ，05o ( t ) t 在文 2 4 中m e i p i n gy a o 还研究7 - - 阶脉冲微 分方程反周期边界值问题 非线性边界值问题是微分方程中的一个重要的而且很让人感兴趣的领域，特别 是带有脉冲因素的此种问题能映射到许多现实问题中并且这种现象的数学模型能 1 够利用脉冲理论来刻画 早在1 9 9 5 年，薛星美在文献 2 5 】中，讨论了二阶非线性发展方程1 9 9 7 年刘振海 教授在文献【2 6 】中讨论了非线性发展变分不等式问题接下来关于方程的非线性边 界值问题分别在文献 2 7 3 0 】中作了详细的介绍文献 3 1 ，3 2 】中也讨论了积分型微分 方程 如文 3 0 中w e id i n g 对以下二阶非线性边界值条件的脉冲积分型微分方程进行 了研究 i 一矿( 亡) = ，( t 秒( t ) ，( t y ) ( t ) ，( 勖) ( 观t j i a y ( t k ) = i k ( y ( t k ) ) ， a y 7 ( t k ) = 髭( 可( 詹) ) ，k = 1 ，2 ，p ( b ) l 9 1 ( 可( o ) ，y ( 1 ) ) = 0 ， i - 9 2 ( y ，( 0 ) ，( 1 ) ) = 0 文 2 9 1 中l i j i n gc h e n 讨论了一阶脉冲积分型微分方程非线性边界值问题 ， ly l ( ) = f ( t ，y ( ) ，( 丁可) ( t ) ，( 勖) ( 吼t j 一 矽( = 厶( y ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，p l 夕( z ( o ) ，z ( 2 7 r ) ) = 0 文中首先建立了比较原则：其次讨论线性边界值问题解的存在性和唯一性：再次 用上下解q ( t ) ，z ( t ) 及单调迭代技巧得到单调序列收敛到方程的极大和极小解，其 中q ( ) z ( t ) 或者q ( ) z ( t ) ；最后给出了利用文中结论的例子 文f 1 3 1 中，x i a o h u a nw a n g 给出了以下形式方程的反周期边界值问题 l 可心) = f ( t ，可( t ) ，( 珊) ( ) ，( 勖) ( 吡t j 一 a y ( t k ) = r k ( y ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ，p ( c ) 1 秒( o ) = - y ( t ) 文中均引入了新的适合其文中问题的上下解的概念，并且建立新的比较原则，然后 用上下解联合单调迭代方法及b a n a c h 不动点理论证明了方程临界解的存在性 2 1 2 本文选题依据及研究内容 在文章 2 0 中w e id i n g 给出了二阶脉冲积分型微分方程周期边界值问题的解的 存在性定理如下 基本定理1 2 1 1 2 0 如果有一定条件成立，则存在单调序列_ q n ( ) ) ， 风( ) 】c p c ( ，) n c 2 ( j 一，r ) 在p c 7 ( j ) 内收敛到以下问题 i 一矿( t ) = f ( t ，( t ) ，v c o ( t ) ) ，t j ia u ( t k ) = 厶( 可( k ) ) ， l 可7 ( t k ) = 露( 可( 氏) ) ，k = 1 ，2 ，p 【y ( o ) = y ( 丁) ，y 7 ( o ) = 耖7 ( t ) 的临界解q o ( t ) x ( t ) s 阮( ) 其中q o ( o ) ，z o ( t ) 是本问题的下上解 在文章 3 0 q b w e id i n g 又给出了二阶非线性边界值的脉冲积分型微分方程的解 的存在性定理 基本定理1 2 2 3 0 l 一定条件成立的情况下，存在单调序列_ q n ( t ) ) ， 风( 亡) ) c p c ( j ) nc 2 ( ，一，r ) 在p c ( j ) 内收敛到问题 i - y ( ) = f ( t ，y ( ) ，( 丁可) ( ) ，( 勋) ( ) ) t j ii v ( t k ) = z k ( v ( t k ) ) ， a y 他七) = 髭( y ( ) ) ，k = 1 ，2 ，p i 夕l ( 可( o ) ，可( 1 ) ) = 0 ， 【9 2 ( y ，( 0 ) ，矿( 1 ) ) = 0 的临界解z ( ) ，且q o ( ) x ( t ) sz o ( t ) 其中q o ( ) ，z o ( t ) 是本问题的下上解 在文章 1 3 q a w e id i n g y , 给出了一阶脉冲积分型微分方程反周期边界值问题( c ) 的 解的存在性定理 基本定理1 2 3 1 3 】如果一些条件成立，那么存在单调序列 q n ( ) ) ， 尻( 亡) ) c p c ( ，) n c 2 ( j 一，r ) 在p c 7 ( ，) 内收敛到问题 ， i 矿( t ) = f ( t ，y ( ) ，( 功) ( t ) ，( 勖) ( 砒t j 一 ；a y ( t k ) = 反( y ( 七) ) ，k = 1 ，2 ，p ly ( o ) = - y ( t ) 的临界解七( ) ，且q o ( ) z ( t ) 风( ) 其中o o ( ) ，岛( ) 是本问题的下上解 3 本文主要研究了二阶脉冲积分型微分方程临界解的存在性且临界解在其上下 解之间文章共用三章来得出结论：第一章，介绍了本文所在领域的研究背景和本文 的选题依据及主要内容的介绍；第二章，在已有上下解定义的基础上，给出本文需 要的新的上下解的概念，并且根据引理得出本文重要的推论：第三章，研究了二阶脉 冲积分型微分方程解的存在性和唯一性条件及临界解的存在性结论 本文的主要结果为： 本文我们研究的是以下脉冲积分型微分方程 ， i 一( t ) = ，( ，z ( 亡) ，( n ) ( ) ，( ) ( 砒t j ja z ( t k ) = 厶( z ( ) ) ， l z 7 ( t k ) = 圪( z ( 缸) ) ，k = 1 ，2 ，p 【z ( o ) = 一。( t ) ，z 7 ( o ) = - - x 7 ( t ) 根据已有上下解的定义给出适合本问题的下上解q o ，岛的定义，然后建立本文的比 较原理如果假设z p c ( ，) 满足下面不等式 + 0 ，n ，1 0 ，l k 0 ，l ：o k = 1 ，2 ，p 及 pp ( l * k + o o + 1 ) ( m + n k o + l 凰) ) ( l 詹+ n ( p + 1 ) ) 1 k = lk = l 则对于一切t j ，有z ( 亡) o 成立 并且根据其对应的线性等价方程得出解的存在性和唯一性 如果有以下条件成立 a 函数厂c ( j r 3 ，尺) ，满足 g ( t ，x l ，y l ，z 1 ) 一f ( t ，x 2 ，y 2 ，z 2 ) 一m ( z l x 2 ) 一n ( y l y 2 ) 一l ( 乱一勿) ， 伽x 2 墨x ls 风，t a osy 2 y l t z o ，s a o z 2 2 ；1 冬s 阮，t z 其m 0 ，n ，l 之0 ，且满足条件 p p ( ：+ 。( p + 1 ) ( m + n g o + l 风) ) ( l k + 口( p + 1 ) ) 1 七= l k = l 4 娜黜仆 枷 一八i 叼 矿埘i| 卅衅酬州 蒜c + m 凰+ p p + 丢挚d 丢+m凰+驴p(nko+ 鬻氖k - - - - 1 q 丢+ l 凰+ 皖) + 鼍熹饥 l ； 。 知= 1 。、。， b 函数厶，髭满足 _ l r k ( z ( t k ) ) 一厶( 秒( 如) ) = l k ( x 七) 一y l ( 知) ) ， 髭( z ( 如) ) 一露( y ( “) ) l * k ( x ( t k ) 一可( “) ) ， 其中o o ( t k ) y ( t k ) sz ( “) 冬z o ( t k ) ，七= 1 ，2 ，p 则存在单调序列【q n ( ) ， 阮( ) cp c ( 了) n c 2 ( ，一，r ) 毛e p c ( j ) 内收敛到本问题 的临界解z ( t ) ，且a o ( t ) x ( t ) 风( ) 5 第二章脉冲积分型微分方程的相关理论 2 1引言 本文我们研究以下带有反周期边界值的二阶脉冲积分型微分方程 i 一( t ) = f ( t ，z ( t ) ，( 死) ( t ) ，( s z ) ( 观t j 一 缸( t k ) _ 以“唑 ( 1 ) i ( 如) = 圪( z ( “) ) ，k = 1 ，2 ，p iz ( o ) = - x ( t ) ，z 7 ( o ) = 一z 7 ( t ) 其中j = 【o ，卅，j 一= j t l ，t 2 ，p ) ，0 t l t 2 0 ，总可以找到6 ( 三) 0 满 足 i 妒( z 1 ) 一妒( z 2 ) l s ，( v x l ，x 2 ，p ( x l ，x 2 ) 0 ，n 0 ，仇0 ，优0 ，忌= 1 ，2 ，p 为常数且仃( t ) p c ( j ) 引理2 3 4 【2 0 1 z p c 7 ( j ) n c 2 ( j 一，冗) 是线性方程( a 7 ) 的解当且仅当z p c ( j ) 是以下脉冲积分方程的解 其中 z ( ) = a l ( t ，s ) 【矿( s ) 一( p ( s ) ) 】幽 ，0 p + 乏二 一g 1 ( t ，如) 【l ：z ( t 七) + 瑶( 叩( 缸) ) 一l ；7 7 ( 如) 】 k = 1 + g 2 ( t ，t k ) ( l k x 7 ( “) + 氏( 7 7 ( k ) ) 一l k 7 7 7 ( 坟) 】， 1 0 = d 0 吵 一非一一 + = = 叫 矿砖峭=埘如= 一叫酣州 r r 一 一 一 0 ，n 0 ，知0 ，l 7 , o k = 1 ，2 ，p 如果满足 虿褊c t + 砉：，+ 去喜l 七 0 ，n ，1 0 ，l 七0 ，e 0 ，忍= l ，2 ，p ，0 0 ，n ，n 1 0 ，l k 0 ，n ，1 0 ，l k 1 ，且盯( 亡) p c ( j ) 引理2 3 1 0 【1 3 1 z p c ( ，) 是线性方程( c 7 ) 的解当且仅当z p c ( j ) 是以下 脉冲积分方程的解 r t z ( ) = c ( t ，s ) 【仃( s ) 一( 丁0 ) ( s ) 一n l ( s x ) ( s ) d s j 0 + c ( t ，t k ) - - l k x ( t k ) + 厶( 弘( 氏) ) + 己七珏( ) 】， 1 3 p 胤端篇 q 一 0 & 泓 m 卜乞 幻1 ， =x = 七 l 如 + 肛 ” 文 一 m一仉 + 0 一 + 0 ， l 0 ，l 七 0 成立那么 我们只需要考虑以下两种情况进行讨论 ( i ) 存在一个手j ，满足z ( 习 0 及x ( t ) 0 其中- ，； ( i i ) 存在r ，t 。j ，满足x ( t ) 0 ，x ( t 。) 0 ，则有a z ( t k ) l k x ( t k ) 0 ，k = 1 ，2 ，p 因此在j 内，z ( t ) 是严格递增的，这和o = x ( o ) = 一z ( t ) 产生矛盾因此 存在f j ，满足z 7 ( 习0 令云以，l o ，p ，由中值定理可以得到 z ( t 7 ) 一6 l ；一z 7 ( d z 7 ( 产) 一z 7 ( 刁 z 7 ( 二1 ) 一b l 7 一l x t ( f ) 一( s 1 ) ( f t 产) a b ( m + n i ( o + 1 凰) ，s i ( t l ，t - ) z ( t 2 - _ 。) 一z 他z ) = 一z ( s t 1 ) ( 如一t 二1 ) a b ( m + n k o + n 1 h o ) ， s l 一1 ( t t - 1 ，t t ) z 7 ( t f ) 一b l ；一x ( t 2 ) z 7 ( t ：) 一z 7 ( 2 ) - - t , ( s 1 ) ( 亡2 一：- ) a b ( m + n + n 1 凰) ，8 1 ( t t ，t 2 ) z 7 ( o ) 一7 ( 1 ) = 一茁( s o ) h a b ( m + n k o + n 1 h o ) ，8 0 ( 0 ，t 1 ) 把以上各不等式相加得 相似的，我们可以得到 ：+ n ( p + 1 ) ( a ，+ n k o + n i h o ) ) l ：+ a ( p + 1 ) ( m + g g o + n i h o ) ) l ：+ 口( p + 1 ) ( i ，+ n + l h o ) ) s z ，( 0 ) + 6 ( l ：+ n 0 + 1 ) ( m + n k o + n i h o ) ) 七= 1 p 6 ( l ：+ o o + 1 ) ( m + 十l 风) ) 1 5 p 随 ，l t d + a ：、 ，i ， z 一 、l ， 0 ，、 ， z p 腻 “ 一 p 胤 酞 + 、l ， 丁 吖 z 一 幻吖l z 令t 无，其中i 1 2 ，p ) 假设。 t 。的情况，我们可以得到相同的结论因此推论得到证明 本文考虑以下形式的等价线性方程 ( t ) 一n ( t x ) ( t ) 一l ( & ) ( t ) ，t j 一 九( 7 7 ( ) ) 一l k r 印七) ， 髭( 7 7 ( 知) ) 一l ：7 7 也七) ，k = 1 ，2 ，p ， = - - x 口) 1 6 删娜琳卿 枷 一 = 峭 小砖瞄i|陬i | 酬耐州 其中i ， 0 ，、r ，l 0 ，l k 0 ，l ；0 为常数及仃( ) p c ( j ) 推论2 3 2z p c ( 了) nc 2 ( ，一，r ) 是( 4 ) 的解当且仅当z p c ( j ) 是以下脉 冲积分方程的解 其中 ，t z ( ) = g l ( t ，s ) p ( s ) 一n ( t z ) ( s ) 一l ( s z ) ( s ) 】d s j o p + 【_ g l ( ，七) l ：z ( 七) + ( 7 7 ( ) ) 一l ：r l ( t k ) k - - l + g 2 ( 亡，t k ) ( l k x ( t k ) + 厶( 7 7 ( “) ) 一l k f f 7 ( 如) 】 g c t ，s ，= 【2 x 而( e v m t - - 1 ) - 1 ：焉三二：二：z ：兰蓁；三：至； 似铀h 2 c 一驯一1 焉鬻鬻篝葛 对任意z p c 7 ( ，) ，我们定义一个算子f 具有以下形式 f t ( f z ) ( t ) 2 上g 1 ( ，s ) p ( s ) 一( 乳) ( s ) 一1 ( s z ) ( s ) 】d 5 p + - c l ( 亡，如) l ：z ( t 七) + 髭( 7 7 ( 氏) ) 一；7 7 ( 如) 】 k = l + c 2 ( t ，t k ) ( l k x 俅惫) + 死( 7 7 ( “) ) 一l k r f ( 如) 】 其中g 1 ，g 2 在推论2 3 2 中有定义 如果我们可以证明算子f 满足b a n a c h 不动点理论的条件，则由b a n a c h 不动点 理论，算子f 有唯一稳定点z + p c ( j ) 由推论2 3 2 知道z 也是方程( 4 ) 的惟一解 现在我们参考引理2 2f 2 0 】的方法来证明算子f 满足b a n a c h 不动点理论的条件： 由f 定义可以知道f z p c 7 ( j ) ，并且 ，t ( f x ) 7 ( t ) = 一g 2 ( ，s ) 【盯( s ) 一n ( t x ) ( s ) 一1 ( s z ) ( s ) 】d s 1 7 p + g 2 ( t ，如) ；z ( 靠) + 露( 7 7 ( 七) ) 一l i r l ( t k ) k = l - a i g i ( t ，t k ) ( l k x 似七) - t - 厶( 7 7 ( “) ) 一l k r 钳南) 】 互接计算得 m 班a x 褂呲s ) ) = 蹁 ，m & x g 2 ( ，s ) 】= ； ( t s ) e j 2 。“2 对于任意的z ，y p c ( j ) ，我们有 i i ( f x ) ( t ) 一( f y ) ( t ) h p c = i g t ( t ，s ) p ( s ) 一n ( t x ) ( s ) 一g l ( s z ) ( s ) 】幽 + - c 1 ( 古，玩) 【l ：z ( 如) + 露( 叼( 九) ) 一：叩( 如) 】 + c 2 ( t ，t k ) ( l k x 7 ( t k ) 4 - 厶( 卵( 勉) ) 一玩7 7 缸七) 】 一g 1 ( ，s ) 【盯( s ) 一( 勖) ( s ) 一1 ( s y ) ( s ) 】如 一 - g l ( t ，如) 【l ：y ( 氏) + 足( 7 7 ( “) ) 一l ：7 7 ( “) 】 + g 2 ( t ，t k ) ( l k y 7 ( t k ) 4 - 厶( ? 7 ( 扎) ) 一l k r 他七) 】l = i g l ( ，s ) 【( 乳) ( s ) 4 - h ( s z ) ( s ) 一n ( t y ) ( s ) 一n l ( s y ) ( s ) d s + 【g l ( ，如) 【l ：( 一z ( 如) + ( 如) ) + g 2 ( ，t k ) l k ( x 7 ( 如) 一可i 、t 凫) ) 】i 赢罴 p l k i i 耐三壹厶i i z y i i ( n k o + n 。h o + i ) l l z - y i ii i z - y i i 船 赢赫 吾l阳+ 壹荟厶 船 ( 磊嘉 壹硼+吾壹七)11(nko+n。ho+ ) 1 1 i i 蹦 引赢茜哂 若玩) + 壹吾k 一 我t f l - 司样可以得到： 一 。 l i ( f 叠) 也j 一( f y ) 7 ( t ) l l p c 一 。 = i 一g 2 ( t ，s ) p ( s ) 一n ( t x ) ( s ) 一1 ( s z ) ( s ) 】如 + g 2 ( ，t 南) 【：z ( 奴) + 髭( 叩( t 南) ) 一：7 7 ( 南) 】 1 8 一, ；f i 9 1 ( ，t k ) ( l k x 7 ( t k ) + 气( 7 7 ( 詹) ) 一l 七叼7 ( “) 】 + g 2 ( t ，s ) p ( s ) 一( 勖) ( s ) 一n 1 ( s y ) ( s ) l d s 一【g 2 ( t ，t k ) l * k y ( t k ) + 瑶( 7 7 ( 如) ) 一l ：叼( “) 】 一v a - g 1 ( ，t k ) ( l 七y 7 ( t 七) + 氏( 7 7 ( 如) ) 一l 七7 7 ( 如) 】i = i 一g 2 ( 亡，s ) 【( 丁y ) ( s ) + 1 ( s ) ( s ) 一n ( t x ) ( s ) 一n l ( s x ) ( s ) l d s + 【g 2 ( ，氏) l ：( 一z ( 扎) - ky ( t k ) ) 一 丽g 1 ( ，t k ) l k ( z 7 ( ) 一可7 ( 七) ) 】i 冬( 三+ 三1 凰+ 丢喜l ：川z y l l p c + ! 鬻善p l 七l i