（基础数学专业论文）代数弱缠绕余代数的上同调结构.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 设( a ，a 妒) 是个弱缠绕结构，其中a 为代数，e 为余代数，妒：c o a - - - ) a o g 为缠绕映射在文献【1 】1 中用弱h o p f 代数给出了弱缠绕结构的例子文 献( 2 j 中，通过缠绕结构( a ，e ) 妒和a 双模m 构造了上链复形岛( a ，膨) 研究 了它与a 的h b c h 8 c h 丑d 复形c ( a ，m ) 的关系，并分析了由c - g a l o i s 扩张a ) g 导出的典则缠绕结构( a g ) 曲的结构，从而揭示出缠绕结构含有丰富的上同调 理论 在上述工作的基础上，本文对弱缠绕结构的上同调理论进行了研究，主要 结果如下 在第3 章，我们定义了链复形b a r 母( a ) = ( j 啊r 虿o ab a r ( a ) ，j ) ，并证明了 b a r 妒( a ) 是a 圆c 及a 的预解式，且j 是a - 双模映射用预解式b a r 9 ( a ) 来 构造本文主要研究的上链复形 在第4 章，首先证明了 a t t o m a ( x - 虿o a “+ l ，m ) 鲁h o m ( c o a n , m ) = ，h o m ( c o 印，m ) ，f ( c ，口1 ，d 2 ，矿) = l a ，( c n ，n 1 ，n ”) ) 然后通过引理4 1 2 ，4 1 3 ，证明了本文的个主要结论；，g 妒) 为弱缠绕结 构，则j r 西霄为投射4 - 双模当且仅当对v a - 双模m ，a 的值在m 中的弱缠绕 上同i z i 瓦瓜丽= 0 最后定义了刁i i 酉中的杯积并证明了否i t 酉为结合代 数，且d 是其一阶导子 关键词：弱缠绕结构上链复形上同调 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e t ( a ，g 妒) b eaw e a ke n t w i n i n gs t r u c t u r e ，w h e r eai sa na l g e b r a ，cac o a l - g e b r a ，a n d 妒：g o a _ a o g a m o p h l s ms a t i 8 f y i n g f o u rr e l a t i o n s i u i ，t h e r e a r e e x a m p l e so fw e a ke n t w i n i n gs t r u c t u r ef r o mw e a kh o p fa l g e b r a i n 2 ，t h ew r i t e rc o n - s t r u c t st h ec 0 出a i nc o m p l e x 劬( a m ) a s s o c i a t e dt oa ne n t w i n i n gs t r u c t u r e ( a ，g ) 母 a n du 4 - b i m o d u l em h es t u d i e si t sr e l a t i o nt ot h eh o c h s c h i l dc o m p l e xo faa s w e l la sa n a l y s ei t ss t r u c t u r ei nt h ec a s eo ft h ec a n o n i c a le n t w i n i n gs t r u c t u r ea s e o c i a t e dt oac - g a l o l se x t e n s i o na ( b ) 口i np a t i c u l a rs h o w e st h a ti fb=kt h i sc o m p l e x p r o v i d e sa r e s o l u t i o no fm a l lt h e s er e s u l t ss h o wt h a te n t w i n i n gs t r u c t l l r e sa d m i t ar i c hc o h o m o l o g yt h e o r y t h i sp a p e rw a n t st os h o wt h a tw e a ke n t w i n i n gs t r u c t u r e sa l s oa d m i tar i c h c o h o m o l o g yt h e o r y w es t a t et h em a i nr e s u l t sa 8f o l l o w s i ns e c t i o n3 ，w ed e f i n eac h a i nc o m p l e xb a r 币( a ) = ( 蕊o b a r ( a ) ，6 ) a n d p r o v et h a tb a r o ( a ) i sar e l u t i o no fb o t haa n dc f u r t h e r m o r e ，di sa n , 4 - b i m o d u l em a p t h e nw e1 1 8 et h er e s o l u t i o nt oc o n s t r u c tt h em a i nc o c h a i nc o m p l e x s t u d i e di nt h i sp a p e r i ns e c t i o n4 ，a tf i r s t ，w ep r o v et h a t a i i o r n a ( a 面 c0a n + l , m 、鲁h o m ( c a n , m ) = ，h o m ( c o a n ，m ) ，( e ，a i , d 2 ，o “) = l a ，( 扩，a 1 ，口”) ) ， t h e nw ep r o v et h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e r ：f o ra nw e a ke n t w i n i n gs t r u c t u r e ( a ，g 妒) ，研i sap r o j e c t i v ea - b i m o d u l ei fa n do n l yi f 砭丽= 0 ，f o r v a - b i m o d u l em f i n a l l yw ed e f i n et h ec u pp r o d u c ta n dp r o v et h a t 丽i sa n a s s o c i a t i v ea l g e b r aa n ddi sad e g r e e1d e r i v a t i o ni nt h i sa l g e b r a k e y w o r d s ：c o c h a i ac o m p l e x ；c o h o m o t o g y ；w e a ke n t w i n i n gs t r u c t u r e 第一章绪论 零程4 0 年代裙，h o p f 凌凝究簸孝 群申瓣c o c h a i n s 辩穗逢了蘸蠢代数结 棱叉骞惫鼗数绪褥缒代数攘客。这势舞念纛5 0 帮筏又羧c a r t i e r 秘h a r l g e r n 研究过1 9 6 5 举，m i l n o r 鞴m o o r e 在文献i s j 中将上述概念抽象出寐称之 势h o p f 代数，遮篇开创性鲍义霉为h o p f 代数黪研究冀定了坚实豹麓础。 c h a s e ，珏8 融黼蕤耱r o s e n b e r g 在研究掺爆裘交接强上懿嚣懿g 畦滤褒沦 静避程枣蕤毽了h o p f - g a t o i s 扩张熬壤念。1 9 6 9 肇，c h a s e 秘s w e c d l e r 巍文簸 【4 】中，帮广了h o p f - g a l o i s 扩张逸一理论1 9 8 1 年k r e i m e r 和t a k e u c h i 在文献 【5 l 巾给爨t 个筻觳稳定义；令藉秀h o p f 代数，蠢必富萎卜余挨饯数，余 俸麓为触赫) = a 0 9 a l ，燹扩强a b ，其孛嚣一螭= 弘a ；p a ( 8 ) = 珏l ， 燕h - g a l o i s 的，如果庭义秀似( 8 8 酚= 曲。固6 l 的浚射讹：囊0 b a + a p 杼 是一个厕梅 受爨手齐凌空趣鼹梅憝襄发，1 9 9 8 冬，b m e z i 磊s k l 裙m a j i d 在交酝隧 孛撬寝7 我数嚣懿c - g a l o i s 扩张轰簿裰念，嚣蘧互露懿囊藏是藿予缭绕结 构的藻础上此后，羡于缠绕绪构，缠绕模材太黯相关的研究。并得出了一魑 好黪缨沦在忿纂旗土，c a e n e p e e l 察d eg r o o t 在文献激审提出了辍骥缝 蘩狡戆溉念，籀蠢缝绕缍梅一是愚今霸缓绕缝擒，嚣翡缝缀漆海箨裁缝绕缝 梅当艟仅警e r r m 冁即 文献【2 】中，邋过缝绕结构( a ，q 母和a 敷模膨构造7 士镶复形国( a 耐) 研究了它每a 黪h o c h s c h i l d 笈形0 岱，耐) 豹关篆，势分掇t 盘c - g a l o i sy - 袋a 嚣) g 罢鲞的熊辩缝绕终梅 a ，g 母懿缀搀，获嚣撼象蹬壤缝绩稳禽有攀 富的上同调理论积上述工作的熬础上，本文对弱缠绕结构的上同调联论进行 了磷浇，主要结暴摇下s 首毙耀骥解式b a r 母( a ) 终逢零文圭簧舞究熬上链鬟 形q 浮，m ) ； 嚣辨疆 嚣掰母( 固，m ；，然嚣遥遵零l 蓬谣麓本文秘一个炭饕缮 良( 建，识妒) 为瓣缭绕结梅，j 晦i 百虿为投瓣a - 双穰辫鼠彼当对v a ，双镤 耐，a 的值在m 巾的弱缠绕上网调瓦而i _ 研一0 。最詹定义了石罚两中的 杯积劳诞罐t 岛冷势结合健数，麓d 是其一羚粤子。 第一章绪论 洼：1 。本义孛余代数翦余积a 在元豢e 主瓣裕震垮采愿( r ) 一e l8 c 2 。 2 对任意的向量空间v ，恒等映射y y 记为y ，记v “为y 咖 3 本文审，c 8 1 ，矿) 表示，( e f 1 1 固o 矿) 2 第二章预备知识 本章主要概述了有关弱缠绕结构的一些麟本概念，性艨及其基本态理，对 本文的写作起到了麓关重要的作用 2 1 弱缝绕结构的定义及基本性质 定义2 1 1 设k 为域，a g 分别是k 上的代数，余代数妒：c o a 为 舡线缝浃魅，夔褥下覆4 令交羧鬻玻立 c 固a o a 三照盥d _ 一o a 烈a 业。g 口a 。c 舀a业a 。a 。gj 缈4 毒口 c o a 圆ai | g 圆g o a 型l ao g 且。 | 幽d 。a 够e j 篓照ga 毒。g ， 0 业o o 蠢 奠。蟛奠a 秽蠢上a 学g 锄姊a 怎a d圆j 竺一a 其孛e 越：c 崎a ，# 能= a o 即) 0 妒0 ( c 秣) 。静毒 ( i ) 妒0 ( d 圆p j 咀) 一( p o c ) 0 ( a $ 妒) 0 ( 妒固a ) ( i i ) ( a o a c ) o 妒一( 妒。研o ( c 圆a ) o ( 秘锄， 3 辫：章预备知识 ( 谳) 妒o ( c s 田) 。( e r r o c ) o a ， 押) ( a o 幻) o 妒m 封a o e r r 固a ) 。 辩称f a ，g 妨为翡缠绕结祷 潍1 ：若e 艄= 珊固s d ，则( a e 妒) 为缠绕结构，风任意缠绕结梅均为 弱缠绕络擒，囊弱缝绕缨拇为缝绕结襁懿宽辫条婷为8 鼢。弘固幻。 洼墨记簪殛谚= 护，弼 c a ，彩a ，砖c 骞 ( i ) ( k oc 口一o ， ( i i ) 妒l 辞妒) 2 = 焉磷s 馥萨露酽， ( f i i ) 1 固矿= l a e ( c l “) o c 2 ， 蠢砖s 妒= l 菇( 矿冷 蹴义2 1 2 令( a ，a 妒) 为髑缠绕结构记懈 ) 为右鞘缠绕模范畴，其 对象旁骞办摸，骞凸塞蒺掰，盈灌跫 p m o - 妒( m l 圆= m o 秘m 1 4 ，v m m - 压a ， 磊瑾( 谚孛戆态射努骞a - 摸，表c - 余模浃皴。 蒋弘，母) 掩缝绕缩槔，掰孵渺) 雄辩b r z e z i 磊s k i 壤瓣孛繇奔缀瓣缠 绕模范畴利用缒绕结构，可以将与h o p f 代数有关的某糕模范畴看作为缠绕 模范晦 t + 若g = h 身h o p f 蓑数，建秀考尊佘撰霞数，妒：鬈露a a 谚h 为妒。( ao p 圩) 0 ( c h , ao h ) 0 ( t l o p a ) 即对任意的c c = e 8 a ，有 妒( c 秘“) = a oo l ，则范畴 硝) 为文献【9 】所介绍的糟( a 娜一h o p f 模范 酶。 4 曲阜师范大学硕士学位论文 2 令a = g 一日为h o p f 代数，妒：蟊。日_ 胃。日为 妒= ( 艚固p 日) o ( h o h o 弘眉) 0 ( 日o c h h 醇) 奄够韩嚣嚣冀1 0 谭g h 。h g 鞋1 o ( h o 岛o a 抒) 0 ( 日p a 盯) 即对坳，h h ，裙妒0 0 妨一如o ( s h t ) g h 3 ，其中s 为尉的对极，则范畴 a 蟹锈秀文觳l 1 0 1 1 1 l l 孛瑟奔缮酶表一骞y e t t e r - d r i n f e l d 模葱碡。 3 令厝为h o p f 代数，a 为右点卜余横代数，g 为右肌模余代数， 妒：秽圆a _ a 姊e 为 妒= ( 蠢。如) o 匏镰o h ) o c 9 黜) 。 即对v c g o a ，有妒( c o a ) = a ooc - 球1 ，则范畴孵( 妒) 为文献【1 2 1 1 1 3 l 中所介绍豹d o i - k o p p i n e n 模范畴 毒文觳f l 罨孛掰奔缨夔弱d o i - h o p f 模蕺晦霹谈等霹势鬻缠绕壤藏晦，冤 文献m 2 2 弱h o p f 传数每秘缠绕络构 毙义2 2 1 ( f 1 5 】f 1 6 】f l7 】) 设嚣是域上的结合代数僻，p ，即) 及众代数 ( 日，a ，s ) ，若满足t 1 ) o 芦= 弘。功o 赫窜置， 2 ) 9 0 弘0 ( 弘。嚣) 一( 专o ) 0 蕊0 弘) 0 0 o 岱h ) 一g o ) o ( p 固p ) o ( 日圆( c h , ho ) o 尉) ， 3 ) ( o h ) 0 o r = ( 露。弘固尉) 0 ( o ) 0 轫o 一蠢8 蕊o c h , h ) o 嚣) o ( ) 0 秘蹿) ， 4 ) 存在s ：日十嚣，满足， i ) p 0 ( h o s ) 0 = ( 待0 p ) oh ) 0 ( 日o c h , h ) 0 ( ( 0 叩) 固日) ， i i ) 弘。拶。霹) 0a = 日。转。力) 0 c h , h 器) 。( h 8 f 0 囝) ， 5 躺二耄预备知识 i f i ) 肛0 江固髓) 0 姆s 日0 葶) 0 ( 厶s 露) 0 a = 即蒋( 村，“叼，8 ，s ) 为弱h o p f 代数，则对妇，! ，# 斟，谢 l a ( x y = g l 瓿静魄辊， 2 ；尊霉擎毒= 礅弦f 轻苟= s 鸳轮穰霉， 3 ) 1 1 固1 2 0 i n 一1 1 p 1 2 1 i 圆地。i t 0 1 1 2 $ t 刍 4 )i ) z , s ( z 2 ) s ( 1 1 习1 2 ， 避s 善l 秘一l l 缸l 袁 i 螂s f 嚣t ) 奶s f 鼢) = s 扛) 磷 题2 2 2 ( p s i ) 设( 日，p ，a ，岛印为弱h o p f 代数，划下列条件摊价 1 ) 嚣斑h o p f 钱数； 拳纛l = 1 l ； ( s ) $ ( 铷) = s ( 茹0 ) ； ( 4 ) 8 ( 嚣1 ) 童2 ：= l 蓐( 茹) ； ；逝s 舔 = l g 妨。 命戆2 2 。3 靛拦势鞲h o p f 戎羧，定义； ：尉叶日为矾( 辩) = ( 1 1 9 ) 1 2 ，岛：日叶盯涔如0 ) 1 1 8 1 如 磊：辩_ 是为磊汹= 1 l ( 1 2 力，：蟊- 9 辩必岛一蓐如1 1 ) 1 2 ， 露毒黔 1 、 # t 心t = 6 h 毽o e i = 辱氐0 瓯= 毫h e 1 0 t 蔫羲矗 2 )蟊0 鼠= g l ，o 毛= 誊l ，氐o i ；# 岛0 矗如， 蠡。盎= 鑫，魏辱鑫= 蟊， t = 乏1 0 s s o e h 如0 s = 缸0 = s 0 岛， 乏i 奄t = 毫# t e 乏 嚣嚣办 i = 文0 霉s o f 岛o s 。舶0 屯= s o 辄 设职露势弱珏。蹦代数，张f ；- 峥丑为聪h o p f 我数嬲懋；皴果，溉熄鼗数 嚣答必蓬衾霞鼗鬻淼，萎，：露露秀嚣h o p f 襞鼗嚣慈，瓣菇o f 一歹。螽s c 1 1 1 9 命题2 2 4 ；令茸为弱h o p f 代数，妒：嚣。日叫丑固h 为妒= 器黪粒；0 蛔磺。磐露鹆；攀霹v a , b 鳗毒擎圆棼= 颤$ 媳，囊 6 曲阜师藏大学硕士学位论文 ( 甄麟妒) 为弱缠绕络梅，且e r r 一厶 诳明：首先，凼定义有 邵e r r = 岛其次， 1 ) e 艘汹= h ) o 妒o ( h 9 霉) 8 ) = ( h 9 s ) o 妒弛1 ) = ( h o e ) o ( 1 l o a l 2 ) = 1 , e ( a 1 2 ) = 岛( 妨 o 浮。芦群) ) ( 8 0 6 0c ) * 妒o ( g o 秭一( 秭l o o ( 蚴2 b l c , 0 a b 2 c 2 ， ( 弘e o 嚣) ( 嚣固妒) 妒。露) ) 扛6 0c ) 一( 船o h ) o ( 露。妒) ( 弧如0 0 m ( 衄9 日) ( 6 l 圆c l o ( a b 2 ) 晚) b l 魄o a b 2 e ， 郎妒o ( h 融p 日) 一( p f o h ) o ( 嚣岱妒) o ( 妒群) 2 ) ( 篁8 ) o 妒国9 一( h o a ) ( b l o 口6 2 ) = b t s ( a b 2 ) , o ( 酶 2 # b l o 口l 阮。撕6 3 ， ( 妒h ) o ( 慰钠o o 嚣) 国ob ) = 渺o h ) o ( h 移妒) o ( 8 l o 睨。酶 = ( 妒。日) ( a l 固b l 固0 2 6 2 ) g b 1 0 8 l b 2 0 觎b 3 ， 7 第二章预备知识 即( 尉固) o 妒一( 妒西h ) o ( h o 妒) o ( o h ) 3 ) 妒o ( h 8 彩= 妒缸0 1 ) = l l o a l 2 ， ( e r r o h ) o ( 口) = ( e r r o h ) ( a l o a 2 ) ；e r r ( a 1 ) 固a 2 = 岛稿1 ) o 砚， 而i to a l 2 = s 。( a 1 ) 固o a ，见文献【1 5 】即妒0 ( h 圆m = 如r 此圆h ) 0 4 ) ( 嚣o s ) 0 妒o 酵= 嚣g ) 波。穗阮) = b l 国( 口6 2 ) = b l e ( o 如) ， 芦帮o ( e r r o 嚣) 癌妨= 芦群0 0 。8 ) s 鑫) = 如( 口) 6 2 ， 嚣6 l g ( 赫0 = 岛( 妨如，见文献i 1 5 | 扶嚣蜀。蓐) o 妒= 搬0 ( e r r 固曩练太， 壹定义2 1 1 可翔，( 嚣，甄秭必弱缠绕绪秘 命题2 2 5 ：令g ：b 为弱h o p f 代数同态，：h 日为余代数 同态，且满足g o ，= i 妇，0 榭= 驰若寇义t 鼢：b 寺召0 嚣隽p s = ( 嚣圆蓟0 暑， 妒：h 岱b _ b 嚣为妒= ( b o 阳) o ( c h , 8 圆鳓0 ( h 船) ， 则( 嚣，魍妒) 为弱缠绕结构，且e r r = 岛o ， 命题2 2 8 ：令( a ，c ，妒) 为弱缠绕结梅，且存在余俸用p a ，绽缮( a ，弘a ，鼬) 磊眵) 烫| a a e c ：a o g 磊e ，定义秀： 尧幂簿茏。 a a o c = ( p o g ) 0 ( a o 妒) o ( a o c or a ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 证明；令妒( c o ) = 口。oc 口，则有 a o g ( o oc ) = a l 口圆矿， ( 。c o a a 。e ) ( a pc ) = 。c ( 1 n o ，) = a l 。1 卢圆c 0 芦 = a l 。o 矿= ( o oc ) ， 即有a a co a a 。c = a 。c 2 3a - 双模万虿否的构造 定义2 3 1 ( 【2 0 】) 令c 为余代数，a 为代数且为右g 一余模；p ：a _ a c 令 b = a 们= 6 a v b a ，p ( b a ) = b p ( a ) = b a oo g l ， 则b 为a 的子代数那么a o 口a 通过弘o b a 可作成左4 - 模，通过a o 口p 可作成右c - 余模，a 固c 通过p 0 c 可作成左a 一模，通过a o 可作成 右d 余模令 、 n ：a o b a 寸a o 口，a o 且a t 斗。硝o ： 则c a n 为左a 模，右c - 余模映射假设c 肌是左a - 模，右d 余模范畴中 的分裂单态射，即存在左小模，右d 余模映射盯：a 圆c a o b a 使得 d r 0 啪= a o b a 令 r ：c 叫a p b a ，c 卜- _ 盯( 1 0c ) 定义。 妒：g o a 斗a 固c ，妒= c c i r l , o ( a o 丑p ) 0 ( r o a ) 贝! f ( a ，c ，妒) 为弱缠绕结构，代数扩张bca 称为弱c - g a l o i s 扩张 定理2 3 2 ( 2 1 】) 令( a ，c ，妒) 为弱缠绕结构 p ：a0 c 斗a o g0 0ch n l d0 ，v a a ，c d 9 第二章预备知识 令 刁丽= i m p = n i l 。c i 。i 吼。c i a 。e 则p 2 = 尸，且通过左作用( a l 。o 矿) = d a l 。0 矿，及右作用( a q 。o 矿) o = l 。幻。矿，= o 。o 矿，a o c 可作成a - 双模 证明；( 1 ) v a o c a o c ，有 p o p ( 口oc ) = p ( a l 。oc 口) = a l 。1 口oc a # = a l 。oc a = p ( a oc ) ( 2 ) 显然，- x - 6 t 为左小模；x - d - 移为右a - 模t 首先 ( a l 。o 萨) 口= a l 。即。矿口= o ，口。o 矿= 口，d 。1 口oc a 9 a c ( a l 。o 矿) 曲= a l 。( n 6 ) 口。矿4 = 一( 曲) 。o 矿 = d a 俚b 8 固矿o 。 ( ( 口，1 。矿) 0 b = ( 一1 。即。矿4 ) b = ( 0 矿) b = 矗b 曲b 园毋9 ， 即结合律成立最后 ( a l 。o 矿) 1 = a l 。1 口o = a l 口oc o 第三章弱缠绕结构与上链复形 零章的第一节构造了链复形b a r * ( a ) 一( j f 万虿0 4b a r ( a ) ，n 诞明了 b a r v ( a ) 莛a c 及a 戆羲鳞姨，显毒是a - 双模浚嚣。在第二节惩羧磐式 b a r 妒( a ) 来构造本文主要研究的上链复形瓦而瓣 = n h a m a r c “( a ) ，m ) 3 1 基本荸l 臻 零节中我们怨遴过弱缠绕结构( a ，g 妒) 及a - 双摸m 构造上链复形我 靛懿瀵代数蠢懿搬顼解式鸯一个蕤复形b a r ( a ) = ( b a r 蠢) ，5 j ，其审 b a r ( a ) = + 2 由予占为垂双模映射，我船胃戳定义链复形嚣( 癣= ( 嚣爹( 锄，6 ) ，箕中 b a r 母( a ) = ( a - - - 虱o ) 圆 b a r ( a ) ， 邃羹a - w - o 秀4 - 载摸，螽定璎2 3 2 瑟暴。爨嚣据霹固= 朋8 h ，萎 繇 如一( 肛。c 固a “) o ( a 。妒o ) + ( 一1 ) 。a c a 一1 。p 。a “一 蠹= l 晶( 0 0 1 n o 矿o a l 静o 矿+ 1 ) = a o l n a l 8 圆d 叩。扩圆0 a n + 1 + ( 一1 ) l a 。l a 矿岱。矿8 l + 1 。a n + 1 = a o a l “圆c 口0 a 2 p o 矿+ 1 + 芝：( 一1 ) l a o l n c a a l o 矿矿十1 。o 矿+ 1 1 1 + n a_ + 件 a 一 n a 圆 肛 0 女 a 广 一 。脚 i l 瓦 第三章弱缠绕结构肯上链复形 引理3 1 1b a r q ( a ) 是a 静c 及a 的预解式且d 为4 双模映射 证明；( 1 ) 正禽性令k ：露a 罐( a ) b a r 竺+ 。( a ) 为h 。= ( 一1 ) ”j r 西虿o a 1 1 ，猁 k l 靠+ 氏+ l 矗忭= b a 曙) 对v a 0 1 n o 矿固a 1 圆a n + 1 b a 碟( 棚，有 f 一l 蠡+ 蠢+ l 瓠) ( a o l 。黪矿o 矿1 ) = ，l p l ( 8 0 n l n 固矿o a 2 固口1 + ( 一1 ) a o l 。矿8 1 0 a a s + 1 圆o o 州) + 磊+ l f ( 一l 脚。l 。o 口l 。8 抖丰1 0 l = ( 一1 ) n - 1 a o a l 。o 矿圆扩固o 扩十1 0 1 + ( 一1 ) 忡一a o l 4 扩0 8 1 0 矿毋+ 1 0 嵇a n + 1 0 1 l = l + ( 一1 ) ”a 口a l n o c a 圆a 2 0 o n ，蚪1 圆1 + ( 一l p a o l n 。扩0 8 1 。 a t a , * + 1 。 a n + 1 。1 + ( 一1 ) 8 忡+ 1 矿l 口o 8 1 扩+ = 一a o l n 固矿o g l 固a n + 1 若a o l 。圆矿8 8 1 9 1 k e r j , , ，箍峦上式，骞 a o l 口p 矿o a l 固矿+ 1 = 矗+ l ，m 靠+ l ， 鄹k e 燧b 冬岛矗时l 。嚣岛毒瞳+ l k e r 6 所以耳秽毛= 如欺+ 1 ( 2 ) 嚣为对v a l n o 0 8 1 n 2 瓣a 2 ，有 ( p 圆c ) 。( a o 妒) 0 t i l ( a l 。o 矿的a l oa 2 ) = 缸谚。a o 妒) o ( 船1 。o 矿秘一a l 。o 癌1 a 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 = a a l a a 2 口o 一a l n ( 0 1 a 2 ) 口oc a 4 = a ( n l a 2 ) 口。矿一( 0 1 a 2 ) n o 矿 = 0 所以( p o c ) o ( 4 0 妒) 0 6 l = 0 因此( p o g ) o ( a o 妒) ：a o c o a 一页_ a l a oc 口o a l h a l 。a 1 口0 = 1 4 0 矿为增广同态 ( 3 ) 因为 p o ( a o e o a ) 0 6 1 ( a l 。o 矿oa l o a 2 ) = p o ( a o o a ) o ( 1 a o ，o 矿一a l o oc 。oa l a 2 ) = o a 2 1 a e ( e ) a 2 一a l 西( c a ) n 1 0 2 = 0 所以po ( a o e o a ) ：a o c 圆a _ a 为增广同态 3 2 上链复形瓦万盯可及其构造 下面我们用预解式b a r v ( a ) 来构造本文主要研究的上链复形令m 为 小双模，定义上链复形劬( a ，m ) = ( c 0 ，m ) ，d ) 为。 一 ，、 c 0 ( a ，m ) = a h o ? b a ( b a r “9 ( a ) ，m ) ， 其中 h a m a 为从小双模范畴到k - 向量空间范畴的h o r n - 双函子为此， 先来看下面一个引理 引理3 2 1 对v c g 0 1 ，矿a ，有下式成立。 日d m ( 万西虿oa 州，m ) 皇瓦而歹瓦虿啊y = ，h o m ( c o a n ，肘) ，( c ，口1 ，0 , 2 ，a n ) = 1 。，( 矿，1 7 , 1 ，口“) ) 1 3 第三章弱缠绕结构露上链复形 证明t 定义妒：a h o r n 4 ( 万虿秽oa n + l ，m ) 斗西茹承冗f 甭_ j c 耀为 妒( ，) ( c a 1 ，口n ) * f ( 1 。，矿，舡1 ，矿，1 ) ，则由 l 。妒( 力( c 口，8 1 ，矿) = l 。，( 1 口，d 哆b 1 ，矿，1 ) = f ( 1 。1 b ，口1 ，扩，1 ) = i ( 1 。，8 1 ，a n ，1 ) = 妒( ，) 溆口1 ，扩) ， 知妒( 门h o m ( c a n , m ) ，即妒定义合理 定义妒：h o m ( c a 枉, m _ h o m a ( ao - w - c 岱a 蚌l ，影) 秀 妒( 9 ) ( 。1 # ，扩，口1 ，扩+ 1 ) = a l a 口( ，a 1 ，矿) - 矿+ 1 = a g ( c ，8 扛) 矿 ， 则妒( 口) 为冉双模映射；对v a 有 梦轻) p ( 8 l 。，矿，8 1 ，扩+ 1 ) = 妒轻) 鑫，珏l 。，嚣l ，矿+ 1 ) = a l n 曰( 矿，8 1 ，矿) 扩+ 1 = a a g ( c a ，a 1 ，扩) 扩+ 1 = 妒警) ， 即妒( 孽) 为左a - 楔映射妒( 9 ) 为右a 模映射。易证叉 妒妒( 歹) 瑶l 。，护，鑫，矿+ 1 ) = 8 l 。妒( 秀扩，瘁1 ，矿) 矿+ 1 = a l n ，( 1 口，n 1 ，扩，1 ) a n + 1 = f ( a l 。1 口，c 卵，口1 ，b ”，件1 ) = 歹8 l 口，a 1 ，矿，8 时1 ) ， 1 4 益阜搏藏大学硬士学缘论文 即妒妒= i d 并且 镪) 奴8 1 ，扩) = 妒转) ( 1 。，矿，8 1 ，扩，1 ) = ：l 。尊( 矿，a 1 ，8 “) 1 = g ( c ，a 1 ，a - ) ， 鼙妒眵一l 葚 第四章弱缠绕结构与弱缠绕上同调 在本章第一节，我们给出了两个基本引理，第二节分析了一阶弱缠绕上同 调面瓦i 丽结构，第三节研究了乙孤酉中的杯积及导子 4 1 基本引理 有了上面的引理，我们有复形， 瓣= ( 瓣，d ) ， 可丽= 瓦而孤再币可 令d n ：h o m ( co a , m ) 一面丽歹瓦而：口两，则 d “l ( c ，n 1 ，矿，矿+ 1 ) = a l e , ，( 矿，0 , 2 ，扩，矿+ 1 ) n + ( 一1 ) f ( c , a 1 ，口| o 。+ 1 ，a n + 1 ) = l + ( 一1 ) “+ 1 l ( c ，0 1 ，d ”) g ”+ 1 记复形瓦万r 丽的上同调为瓦万r 丽，n - 余循环为夏币玎何，伽余边 缘为勘( 4 ，m ) 称三，m ) 为a 的值在肘中的弱缠绕上同调 定理4 1 1 设似，c ，妒) 为弱缠绕结构，a c 为投射小双模当且仅当 e ( 以，m ) = 0 ，v 4 - 双模m 定理4 1 1 需要用到下面两个引理 引理4 1 2 对个弱缠绕结构似，a 妒) ，有下列命题等价： ( 1 ) j r 虿虿为投射a - 双模 ( 2 ) 小双模映射序列t 0 _ k e r p , r _ a o g o a 骂一a o c _ 0 1 6 越阜师戆大学硕士学位论文 是分裂正合的其中砰为万虿移做成右a - 檄的作用，即；解：万万虿o a + 研为 尹爹叙l a o 矿o ) = a l 。舀尹= 磁。扩 ( 3 ) 存在o _ 余循环x 磷( a a oa ) ，使得肛o x ( c ) = l 。# ( ) 诫明；( 1 ) 与( 2 ) 等价显然 ( 2 ) 兮( 3 ) 假设( 2 ) 成立鼯 筝在垂双模映射7 ：a c j 孺i 移o a ， 徒褥绔0 - y = 耐定义戈( 。) 一7 l 。o ) ，x = ( 蠢o s a ) o 蟊剐 a 2 ( c 。) = ，y ( 1 口oc 口4 ) = 7 ( 口。1 口oc a # ) = 了( 。) = ，y ( ( 1 。矿) 0 = 7 ( 1 n o 矿) a ：戈( c ) g 用a p g 固a 作用在上式两端，即有x ) 一x ( c ) a 即； a o x ( c 4 ) 一x ( e ) a 一0 ，x 鹆蠢，a s 蠢) ， 记露( c ) = 7 ( i 。固扩) = i q l 。固沙p 磊，则 毋0 7 ( 1 。矿) = l 函。一 一墨。= 1 。o 萨， l 乒o x ( c ，= 】| c a ( a o p a ) o “i 。o ) 一x , 1 。毒( 扩。磊= 承童。( c 艟) i m1 。( c 口) ( 3 ) 兮f 2 ) 令x ( 磅= 9 1 ) e ( 2 ) ，定义7 ：万西虿_ 万虿虿9a 碧t q , ( a l 口矿) = a l 。( 矿) 2 ”8 。( ) 1 4 。( 扩) 2 ( 2 ) ，粥 p i o 3 , ( a l 。圆矿) 一a l 。( 矿) 2 ( ”月( 矿) 2 ，固( ) 1 所 一8 l a ( ( 扩) 2 ( 扩) 2 2 ) $ 。( 扩) ；5 1 7 羔望耋 羹蕊鎏鎏篓量瑟羧圭塑塑 = d l n l 坩s ( ( ，) ：7 ) 静( 矿) 。p = a l n l 筘f 垆8 2 ) 露c 鲫l = a l l d o = a l n 0 矿， 郅乍分装孝。? 隽发叁模块辩显熬。簿砥影g a ，e g 鸯 秀 v ( ( a i a 妁垆) 口，j = 1 ( n l n 略。矿4 ) 一7 ( 黼：o 妁；，姚：1 ，圆4 ) = 嘁每一羟n ，f ：乍pf 矽；2 秘 = 瑞( 矿) 2 ( n 口静( e o ) 1 9o ( ) 2 ( 2 ) = 舡池甲) 口囝c l 秽固扬。 一靠( 。，氆) 。8c i bs 睨“) 搿 = 口( q ( 1 ) 如oq 4 曲e e ( 2 ) ， 7 l 一啦矿) 口，；a l n ( 垆) 2 n 口$ ( 垆) 1 4 。( b ( 2 吐， = a l 雌( 龟8 ) 1 ) # 圆掣o ( c 2 。) ( 2 ) = 毪( 1 。弦卿。够8 ( 魄4 附篇毪i l 口和，醇) 8 够键声8 ( 魄穗附 辞n ( c 2 ( 1 ) 卢固c i 疗圆c 2 ( 2 ) a t ， 蠹瑷亨( f 撵孕护) 0 = 靠l 。扩。，嚣掣舞垂衮模澳袈，墨分裂魏， 从凳得透。 孽i 理4 1 - 3 谶，谚妒) 为捌缠绕结构，删为小双横令仇：c a 叫 瓣圆a 为 蕊秘露啦* 如够扩。堪一a a 露鸯1 。 曲阜嬲藏大学硬攀位论文 则 ( 1 ) 映射口：d h a m ( k e r p 子，肘) 叫习i f 耐，h ，。巩为双射。 辖) 0 - 1 ( 厕) 一 i i 嚣硝：， h o m 矗( a - - - - - 丽。a ，搿) 诳明。对蚴k e r p l 万虿虿pa ，记z = 。款1 。o 8o 甄，则 ；辑o c l a = 0 1 ) 融 薜( c o 。) = 砰( 1 。o 矿o a 一o c 8 0 1 ) 一1 。叼o 一a a l 口o = a a o 矿一a a 8 矿 ；0 即上k 定义合理 对彤a h o r n 矗( 蜀群绔，掰) ，娶溅o f f ) 乏匝i 蕊，嚣； ，o 玩( c 口) = l o f o 邬( 矿p 矿) 瞻 即 ，o 仇0 圆口) = ，( 1 。o 矿0 1 一o 矿p 1 ) = f ( 1 。露矿0 1 ) 一歹( 扩秘1 ) ， 1 。，o 风( 扩。口) = l a ，( 1 口o c a a 固1 a a o c 酣0 1 ) = i ( 1 。1 口固c a a 0 1 ) 一，( 1 。a a 固4 0 1 ) = f ( 1 。矿孕1 ) 一歹涵8 矿秘王) i o 马( c o = l 。，o 岛( 矿。司，y o 岛h o m ( c o a , m ) d 1 0 ( ) = 0 丽 d t o ( i ) ( c o a lo 舻) = 8 1 。疹( 歹) f 矿 a 2 ) 一疹歹) ( 岛8 1 a 2 ) + 参( 歹s ) a 2 第四章弱缠绕结构与弱缠绕上同漏 一a l a ，( 1 口o 移0 , 2 一a 2 口静扩4 0 1 ) - f f l 。固一秘8 1 扩一( 8 1 k o ，0 1 ) 牛，( 1 。o a i o , i 。i ) 。 = ，( 0 1 。o 矿o0 , 2 ) 一f ( ( 口1 n 2 h oc 。0 1 ) - f ( 1 。o 矿0 0 , i + ，( ( a l a 2 ) 。o 矿o i ) ) + 歹( 1 。o 矿o g l 矿) 一f ( a 1 。落矿o a 2 ) 0 以上那验证了净是定义合理的。 令雾：z 吾c a , m ) _ a h o m a ( k e r 绔，掰) 势 百( x ) ( 茁) = z , 1 。x ( 严，磊) 一也，x ( c l ，童；) tt 瓣疹砖秀裹瓜模浃瓣显然； x 为1 一余循环，则 d i x ( c ，口1 ，扩) = q 1 a x ( c a ，扩) 一x ( c ，a i 矿) + x ( c ，口1 ) 口2 = 0 ， 嚣x 弘8 1 a 2 ) = 8 1 。x ( 矿，矿) + x ( c ，a 1 ) 矿。盎 百( x ) ( 霍一百( x ) ( 鞠l 。圆扩。魏。) = 甄x ( ，五n ) = - 磊。x ，苟魏t x ( e ，墓) 8 = 孔x ( e ，讣n = 百( x ) ( ) 咀 箨雾秀右垂模浃磐。 对v x 磊( a m ) ，及v c 谚有x ( c 1 ) = 0 则 d l x ( c ，1 ，1 ) = 1 。x ( c o ，1 ) 一x ( 岛1 ) + x ( c ，1 ) - 1 = l n x 矿，1 ) = x ( 岛1 ) = o ， 2 0 曲阜师蔻大学硬学位论文 口。辱( x ) ( 岛吐) = 厅( x ) ( 1 n 圆c p o 口一a 。固c 口0 1 ) = l o x ( ，8 ) 一x ( 矿，1 ) = l a x ( c a ，砖 = x ( c ，a ) 百。口( ，) ( 茹) = 甄，( 1 。扩。瓤一童。c l “0 1 ) = ，( x , 1 n 露c 椎。蠹l 一磊。o c ”。1 ) = i ( e 戡1 。就) t = ，( 妨。 即百惑口的逆t 百= 8 - * ( 2 ) 由弓i 理3 2 1 ，有；, , t h o r n 暖西o a ，m ) 型h o r n ( c , m ) 即 妒：a