（基础数学专业论文）几类泛函微分方程振动性的研究.pdf

摘要 本文由四章组成，讨论了兰类微分方程的振动性 第一章讲述本文的研究背景，发展趋势，并介绍本文要用到的基 本概念 第二章讨论了一类高阶非线性微分方程 x o ( t ) + p p ) ，o ，工( f ) ，石o 母p ) ) x 伽川e ) 一譬p ) i o ) | 。s g n x ( t ) - r e ( t ) 的强迫振动性，建立了该方程的几个振动性定理，并用相同的方法讨 论了高阶中立型时滞微分方程 x ( o + c x ( t f ) 】协) + 4 0 ) 笫( f ) + 6 g 弦( f f ) 一脚e ) + g i 石( f ) 1 4s g n x ( o + a # ) 1 1 坪一力1 4s g a x ( t - 力 解的振动性 第三章讨论了一类具有正负系数的中立型时滞微分方程 b ( t ) - r ( t ) x ( t 一，) 】+ p ( f 弦o 一力- q ( t ) x ( t f ) - 0 的振动性，获得了该方程所有解振动的新的充分条件 第四章讨论了一类二阶非线性中立型时滞微分方程 讧( f ) + p o ) x ( t - 切5 + 留p ) ，缸g 。( f ) 】，z 【g ：( f ) 】，a ，x 【g 。o ) 】) 一。 的振动性，给出了方程所有解振动的新的充分条件 关键词：泛函微分方程；非线性微分方程；中立型微分方程；振动性 t h i sp a p e rs t u d i e st h eo s c i l l a t i o no ft h r e ec l a s s e so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e ro n e w ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n t o ft h es u b j e c ta n ds o m en e c e s s a r yp r e l i m i n a r yk n o w l e d g eo ft h i s p a p e r - i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h en o n l i n e a rh i g h e ro r d e r f u n c t i o n a le q u a t i o n s z o ( f ) + ，o ) ，i ，x 似，b 。1 e 如“1 e ) 一日o b g rs 驴面) m e ) s o m en e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i o n so ft h ee q u a t i o na r ee s t a b l i s h e d u s i n gt h es a m et e c h n i q u e ，w ee s t a b l i s ho s c i l l a t i o nc r i t e r i o n f o rac e r t a i nf c r c e dn o n l i n e a rn e u t r a le q u a ti o n h ( f ) + c x ( f f ) 】o + a q ) x ( t ) + b q ) x ( t - 0 一r e ( o + q ( t ) t x ( t ) rs g n x ( t ) + 口( f ) i x o d rs 窖a x ( t - o i nc h a p t e rt h r e e ，t h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i o nf o rt h e s o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hp o s i t i v e a n d n e g a t i v e c q e f f i c i e t s a r e i n v e s ti g a t e d ： 忙o ) - r ( t ) z q 一，) 】+ 尹( f 冷( f 一- q ( t ) x ( t f ) - 0 s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra l l 。s o l u t i o n so ft h e e q u a t i o n st ob eo s c i1l a t o r ya r eo b t a i n e d i nc h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e rc e r t a i ns e c o n do r d e rn o n li n e a r n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n b o ) + p o ) 聋o f ) 】+ 口p ) ，m g ，( o f ，x 【g ：p ) 】，a ，研g 。g ) 】j 一0 s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra l ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s t ob eo s c i l l a t o r ya r eo b t a i n e d k e yw o r d s ： f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q f f a t i o n ；n o n li n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ； n e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ； o s c i l l a t i o n 湖南师范大学学位论文原创- 眭声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： ；1 蜘 汩b 年 月冲日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 作者签名： 导师签名： 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“、”) 多1 钽易 阁柑场 日期：加6 年p 月坤日 日期：础侈月邯日 4 1 几类泛函微分方程振动性的研究 第一章绪论 1 1 研究背景 众所周知，泛函微分方程的定性理论在物理学、现代生物学、经 济数学、自动控制、通信理论、神经网络动力学等技术领域中有着广 泛的应用，泛函微分方程比常微分方程更精确地描述了客观世界，因 而受到国内外学者的高度重视 泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程的定性理论的一部 分，7 在最近三十多年中得到了迅速的发展国际文献中这一领域的 研究成果相当丰富广泛的应用背景是促使这一理论迅速发展的基 础大家知道，在生物模型中出现了许多由时滞微分方程所描述的 具体的数学模型，如h u t c h i n s o n 于1 9 4 8 年所建立的描述单个种群 增长的时滞l o g i s t i c 方程 ，e ) 。a n q x l 一生竺；玛 ( 1 1 ) 其中，时滞f 包含着对种群增长的各种影响，生态学家根据生物意义 预期：方程具有小的正初值的解，并且当0 c 4 ，c t l 时，方程的解将 稳定地接近 r ( t ) - - k ；对较大的f ，解可能超出k 并围绕k 振动这 一振动现象已在实验室中观察到、在方程( 1 ：1 ) 中引入变量变换 高师硕士论文 z ( f ) 。p f 肛一1 ，则方程( 1 1 ) 变成 工o ) + a r ( 1 + 雄) ) 霄o - 1 ) - 0( 1 2 ) 文 1 证明了方程( 1 2 每个解振动的充要条件是4 f ，一。这给生态 学家提供了引起振动现象的时滞f 的界限在经济学中价值法则的 作用，也是由于生产与消费之间的时滞形成的，如果时滞过长，经济 也会出现震荡现象在工业方面，电磁开关触头的振动可归结为研 究二阶时滞微分方程 工谁) + 甜( f ) + 断( f ) + “一d - 0( 1 3 ) 的解的振动性，见文 2 3 本文对几类泛函微分方程的振动性进行了探讨，获得了一系列 的结果，它们推广或改进了现有文献中的结果 下面仅就与本文直接相关的几个方面的研究现状作一简要概 述 一、一类高阶非线性微分方程的强迫振动性 k a r t s a t o s 在文献 6 ，4 9 中研究了方程 x o ) p ) 一口o ) i x ( t ) 1 1s g n x ( t ) 。，埠p )( 1 4 ) 的解的振动性，获得了方程( 1 4 ) 所有解振动的若干充分条件，但对 函数r e ( t ) 的要求很高，历( f ) 必须是某个振动函数的甩阶导数本文讨 论了更为广泛的高阶非线性微分方程 x o ) + p g ) ，e ，x q ) ，x o 1 ( f ) ) x o l o ( f ) 一g o ) x e ) rs g n 工( f ) 、一，恕( f )( 1 5 ) 的解的振动性，在对函数肼o ) 没有上述限制的条件下，建立了方程 几类泛函微分方程振动性的研究 ( 1 5 ) 的几个振动性定理，当p ( f ) - 0 时，这些定理对方程( 1 4 ) 也是 有效的且是新的此外，本文用相同的方法还讨论了高阶中立型时 滞微分方程 阢( f ) + c r ( f 一瑚加+ 4 0 ) 雄) + 6 ( f ) 工( f f ) - ，砸) + q ( o l 石 rs g n x ( o + 口p ) 。 工p f ) rs g n x ( t 一订 解的振动性 二、一类具有正负系数的中立型时滞微分方程的振动性 自1 9 8 0 年保加利亚数学家b a i n o v 第一次发表中立型时滞微分 方程的振动性论文t 5 0 】以来，这个课题得到了迅速的发展，国际文献 中这一领域的研究成果十分丰富1 9 9 0 年，王志成和庾建设教授在文 5 1 1 q b 研究了如下中立型时滞微分方程 扛( f ) 一r o 弦o r ) 】+ p ( f o - a ) 一0( 1 6 ) 的解的振动性，获得了如下结果： 如果 ( 1 ) o s r o ) 式1 ，p ( f ) ，0 ，且h ? 唼j ：二尸o ) 出，0 ； ( 2 ) 存在正的连续函数h q ) ，使得 1 1 蝉j ：一。日。冲，o ； ( 3 ) 存在r ，f o + m a x v ，口 ，使得 ，蛾【器铲唧( 诬，日。一+ p ( t ) e x p v ( a f 。h ( $ 灿) 1 高师硕士论文 则万程( 1 6 ) 振动 如果 ( 1 ) r ( f ) 1 , r ，仉p ( f ) ，0 j ： o ) 幽_ * ， l i m i n f ，4 一堕) - 西 0 ； r 一- j ， r o + y - 0 ) ( 2 ) 存在正的连续函数h ( 0 ，使得 哗厂日。炒。，哗l 面器而】，。； ( 3 ) 存在t 毒气+ r ，使 蕊l 焉啪叫+ 菥c x 矿4 酬儿 则方程( 1 6 ) 振动 对于具有正负系数的非中立型时滞微分方程 石( f ) + p ( f ) 砸一盯) 一q ( t ) x ( t - 0 - 0( 1 7 ) 的振动性i 很多学者都作了研究q i a n 和l a d a s 8 获得了如下结果： 如果 l 畔l 【p o ) 一q ( s j - f 一盯，；1 ， 其中，p - m a x 盯，f ) ，则方程( 1 7 ) 振动 ，题m e ! 幽a s y ，a s h e g a z i 和s h s a k e r 在文 1 0 中获得 了如下的结果： 如果 几类泛函微分方程振动性的研究 【1 ) 尸，q c ( t t o ，。) ，r + ) ，f 【o ，。) 芦墨a ； ( 2 ) p p ) q ( f + f 一) ，f 2 f o + 一f ； ( 3 ) j ：! ：q o ) 凼9 1 ，f t o + 口； ( 4 ) ，”工。冲，o , t 。，o , t 苫u ( 5 ) 昏( f ) l n 町”l ( 。) d s d t 叱 其中，工o ) - p ( o q ( t + r 一盯) ，那么方程( 1 7 ) 振动 本文利用文 5 1 的技巧，研究了具有正负系数的中立型时滞微 分方程 陋( f ) 一r ( f ) x 一r ) 】+ v ( o x ( t 一口) 一q ( t ) x ( t f ) 一0 ( 1 8 ) 的解的振动性，获得了方程( 1 8 ) 所有解振动的新的充分条件，它们 推广了文 8 ，1 0 ，5 1 中相应的结果此外，本文还将所得结果推广到 了如下非线性中立型时滞微分方程 i x ( t ) 一r ( f 弦( f 一，) 】7 + p ( t ) f x ( t c r ) 卜q ( t ) f x ( t f ) 】- 0( 1 9 ) 三、二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性 1 9 8 5 年，g r a m m a r i k o p o u l o s 和l a d a s 在文 3 中研究了二阶中 立型时滞微分方程 i x ( t ) + p ( t ) x q 一，) 】+ q ( t ) x ( t 一盯) - 0( 1 1 0 解的振动性，获得了如下结果： 如果 高师硕士论文 f , q o ) ( 1 一p o 一盯) 泌_ 。， 则方程( 1 1 0 ) 的每个解振动 此后，一些学者对方程( 1 1 0 ) 及非线性二阶中立型时滞微分方 程 【】砸) + p ( t ) x ( t r ) 】+ g o ) ， x q 一( ，) 】一0( 1 1 1 ) 的解的振动性进行了研究，相关结果可参见专著 2 0 ，2 1 本文讨 论了更为广泛的二阶非线性中立型时滞微分方程 i x ( 0 + p ( t ) x ( t 一】。+ q o ) ，g 【g 。o ) 】：x 【g ：o ) 】，a ，x g 。( f ) 】) 一0( 1 ，1 2 ) 的解的振动性，给出了方程( 1 1 2 ) 所有解振动的新的充分条件所获 得的结果对方程( 1 1 0 ) 及( 1 1 1 ) 也是有效的 1 2 基本概念 称一个函数y ( f ) 为微分方程的一个解，是指) ，( f ) 满足该方程我、 们假定讨论的解y o ) 在半轴晖，* ) 上存在且对每个r 乏0 ，有 s u p y ( t ) 4 ：t 丁 o ，即为非平凡解 称微分方程的解是振动的，是指它在t 苫f 。上有定义且零点集为无 界集，否则称它是非振动的；称一个方程是振动的，如果它的每一个 几类泛函微分方程振动性的研究 解都是振动的；称一个方程是非振动的，如果它存在一个非振动解一 个非振动解或者最终为正或者最终为负从这个定义中看到，解的振 动性和非振动性质是解在无穷远点邻域中的性质 高师硕士论文 第二章一类高阶非线性微分方程的强迫振动性 2 1引言 考虑高阶非线性微分方程 z 埘( o + p ( o f ( t ，x ( o , x o 由p ) 弦“哪e ) 一g o ) k ( s x 3 s g n x ( t ) - r e ( t ) ， ( 2 1 ) 其中p c 4 2 眠，m ) 【q m ) lc 缸。，m ) ，只x，c ”2 缸。，* ) x 只2 ，【0 ，o o ) l - e c ( t 。，m ) ，【o ，* ) ) 当m o ) 0 时方程( 2 1 ) 的振动性曾被许多人研究过，并得出了很 好的结果【4 ，6 ，4 9 】；当9 0 ) t q z b ，l 为偶数，为振动函数q e ) 的n 阶可 微函数时，采用k a r t s a t o s 6 所介绍的方法，我们很容易得出方程( 2 1 ) 振动的条件在这里我们对方程不作这些限制而给出一些新的振动条 件同时讨论了非线性强迫中立型方程 b 0 ) + c x ( f f 跌+ 口d b ( f ，+ 扫( f h o f ) - 所0 ) + g o b o j l s 印工( f ) + g ( f b ( f f 1 4s 驴x ( f f ) ( 2 2 ) 其中，露：1 ，a ，1 ，_ r ，c 为非负常数，a , b ，m ，q ，口：，m ) 一r 连续，口( f ) ， 6 0 ) 非负，8 0 ) ，d t ) o ，t 壬气我们得出了该方程的一些有趣的振动 条件 几类泛函微分方程振动性的研究 2 2 主要结果 先给出一个引理： 引理2 1 若a 和b 非负，则 a 1 一枷1 4 + o 一1 1 o ，a ，1 ， 其中等号当且仅当a b 时成立。 证明：令厂( a ) - 工。一枷。4 + 似一1 ) b 1 ，( a 1 ，x a 0 ) ， 则 ，o f ) 一a ( x 4 - l 一口1 - 1 ) 由，汹a o 得 x 1 b 因为当善，口时，协) o ；当o s 善t b 时，t o 所以对任意的 工0 ，有，o o ，p ) ；0 。 所以对任意的非负数a ，b ，有 a 4 一a a b - 1 + 以一1 加工乏o i 1 ， 其中等号当且仅当a b 时成立 定理2 1 设存在一个g 一1 ) 阶可微函数h ：d 。缸，习：t t ，z r 。 一只使得 村o ，t ) - 0 , t 之f 。，日o ，j ) ，o o ，s ) d ， ( 2 3 ) 高师硕士论文 枇) 掣，啊吣m ”- 1 ， h n 。0 ，) 为d 上的非负连续函数，且 。幽血，业止鲤妥坐：业+ 。， ”。h ( t ，t oj 其中，g 0 ，s ) p g ) 厂g ，x g i 工一一g ) k e ，s x ( 一1 p 。2 q ( f ，s ) 在d 上非负连 续若 姆唧i 南f 龇s 肌) 一q t ，s 肛， 磐甜万丢“陋e ，s ) ，l b ) 一q ( f ，s 酗鸭 鼽q b m 一炒( 唑屿产p 蛾 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 则方程( 2 1 ) 振动 证明采用反证法假设工o ) 是方程( 2 1 ) 的一个非振动解， 不妨设工e ) o ，ft o ，则在方程( 2 。1 ) 两边同乘日e ，s ) ，然后从f 。到t 积 分，有 日犯s b 6 拯一e 日t o r “g 皿+ g o ，s b 抽。g 一f 口g 归( f ，s k l g 陋， 因为 几类泛函微分方程振动性的研究 1 日( f ，s g 拯 - - 日i ，f o b o 。) + 啊o ，s k o 协7 一一日圳k ) 一t 荟t - 2 砒t 。b ( f o ) + 丘丸一蚺g 培， f g ( f ，。b 6 如 - 击t ，b b “4 轧) 一f g j ( f ，s h o 皿 一n 荟- 2 ( 一妒g 怔4 ) ( f ，b h “4 1 ( t 0 ) + ( _ l y 一2 g l b 删o ，s k g 远， 所以 日e ，s k g 拯 - ( f ，f o k “- l ( f o ) 一n z - 2 如( f ，f o ) 一( 一1 y g 。4 ) ( f ，“蜘协4 1 沁。) + f k 。矗，s ) + ( 一l r g 咛坠s 癌g 墙z 日o ，s k 6 b 。g k 根据条件 。墨l i i n 斌也e 姓掣掣。+ 。 p 。 p ，t o ) 知，存在常数c ，使得对于t 苫“，有 一日( f ，r 。h “4 ( f 。) 一n - 2 k o ，r 。) 一( - l y o , 洲( f ，f o 批“。1 ( f 。) s c 日( f f o ) ， 于是有 f ( f ，s ) ，l g ks c 日o ，f o ) + k 。( f ，s ) + ( 一1 ) i - 2 gi - 2 i e ，瘩g 垮 高师硕士论文 令 则 一日o ，s k o 4 o ) 西 ( 2 7 ) 彳一【日o ，s k g ) p x g ) ， 口一( 挑帅时2 o ，s 枷胪) 石， 南f 龇s ，l g ) 一枷a - a + a a d s 妃 由弓l 理2 1 知，a 1 一j a b 。1 + ( a 1 ) 8 。o ，即 a 1 2 a b l 4 一( a 1 ) 8 1 ， 于是有 赢“妣) ，l g ) 一。一- ) 8 1 k s 却挑s ) ，l m l 一z , 4 8 3 4 k 以 考虑到o 一1 归4 一q ( f ，s ) ，有 高f 龇s 懈) 一q o ，s 脑妃 烛s u p 百云雨阻o ，s h g ) 一q o ，s ) k j c 这与( 2 5 ) 式矛盾薪以方程( 2 1 ) 振动 几类泛函微分方程振动性的研究 推论2 1 设函数日如定理2 1 中所定义且满足( 2 3 ) _ ；g i ( 2 4 ) 若 磐唧蠢棋眺s k g 妞， 舰砒赢f 置e ，s 如g 协一一* ， 恕村【唑篙簪堂p 胁* ， 则方程( 2 1 ) 振动 注2 , 1 当2 - 1 时，定理2 1 中的( 2 7 ) 式变为 f 日o ，s h 6 硌c 阿( f ，r 。) 一k t ，s k g ) 一 。e ，s ) 一( 1 ) i l 。2 g ，( f ，s 瘩g 拯， 于是有下面的结论： 定理2 2 设函数h 如定理2 1 中所定义且满星q 3 ) 和( 2 4 ) ，且 膏扛，s ) 一日e ，s k 0 ) 一( f ，s ) 一( - 1 p 4 e ( ”2 ( f ，s ) o ，f st o ， 若 脚s 叩南f h ( f ，s h g 协- 伸， 磐磷赢丘胃e ，s k o 硒- ：m ， 则当 i 时方程( 2 1 ) 振动。 例如： 高师硕士论文 例1 考虑方程 工”e ) + 工缸) 一z e ) - 影c o s t ( 2 8 ) 构造h o ，) - e 一，r ，易知它满足定理2 2 的所有条件，故方程振动 事实上，方程( 2 8 ) 的通解为 4 s - 3 们+ ， 工o ) 一e t ( c j e2 + c 2 e2 + s i n t ) ， 当t 充分大时，通解振动 定理2 3 设函数h 如定理2 1 中所定义且满足( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，若 磐s u p 百南f 阻扛，s h 6 ) - c l q o ，s ) - c , v ( f ，s 酗- 鸭 姆砒粕t 【h o ，咖o ) 一c ，q ( f ，s ) - c ：p ( f ，s 眦。呜 其中， c ；一n 一，弘1 ，o 射，q t ，s ) t 【丛! ! ! ! 垒! 主 i ；：! 垦业】泓。1 瑶“i ，b ) ， 印州，p ( f 叫删铲r 牡他 则方程( 2 2 ) 振动 证明采用反证法 若面) 是方程( 2 2 ) 的非振动解，不妨设x o 卜0 石( f f b o , t 瓮t 。， 方程( 2 2 ) 的两边同乘( f ，s ) ，然后从t 。到t 积分，得 1 4 几类泛函微分方程振动性的研究 剧p ，s ) ，6 墙c h ( f ，i 。) + k g 归e ，s ) + k 。( f ，s 琅g 协t q g 归o ，s b l 6 + 丘坼净，s + 如一t ( f ，s ) l 如吖培一y ；o a g 归( f ，s k 4 g f 拯 利用引理即可推出矛盾 。 推论2 , 2 设函数野如定理2 1 中所定义且满足( 2 3 ) t 阿1 ( 2 4 ) ，若 姆s u p 南f 盹s 培。峨 姆斌高日缸，咖。扭- 一， 姆赢利【c ，q 峨p o ，s 凇坞 其中c 1 ，c ：和函数p ，q 如定理2 3 中所定义 刚方稗( 2 2 ) 振动 高师硕士论文 第三章一类具有正负系数的中立型泛函微分方程的振动性 3 1 引言 考虑具有正负系数的一阶时滞中立型泛函微分方程 i x ( t ) 一r ( o x ( t - v ) l + p o ) x e 一口) 一q o ) x g f ) 一o ， ( 3 1 ) 其中，r ( o ，p o ) ，q ( o ，0 均为连续函数， y ，口，f ，o , a - r 关于一阶时滞中立型微分方程的振动性，有很多文献对其进行 了研究，取得了十分丰富的结果晦“。, 1 1 , 1 5 , 3 2 , 3 3 , 3 6 1 9 9 0 年，王志成和庾 建设教授在文【5 1 】中研究了如下中章型时滞微分方程 防( ) 一r ( o x ( t r ) 1 7 + v q ) x ( t - a ) 一00 2 ) 的解的振动性，获得了如下结果： 如果 ( 1 ) o g r ( f ) s 1 ，p o ) ，0 ，且l 罂誓j ：。p o ) 西，o x ( 2 ) 存在正的连续函数h ( f ) ，使得 1 1 唑止j ：。n ( s ) a s ) o ； ( 3 ) 存在t ，f 。+ m a x r ，升，使得 ，热【等喾器铲叫埴，日) + 。器唧( 镌耶) 卜 则方程( 3 2 ) 振动 几类泛函微分方程振动性的研究 如果 ( 1 ) r ( f ) 乏1 , r 吼p o 卜o 砷泌一* ， 。 哟r j r 意4 - 如。； f t i fv r r l ( 2 ) 存在正的连续函数h o ) ，使得 哗厂月。炒。，唧f 面器丽卜。； ( 3 ) 存在r 气+ r ，使 施i 嚣q ( 矿叫+ 硒篝c x 矿酬儿 则方程( 3 2 ) 振动 对于具有正负系数的非中立型时滞微分方程 x ( o + e ( o x ( t - - 0 ) - - q 枣) x ( ，一f ) t0 工3 3 ) 的振动性，很多学者都作了研究q i a n 和l a d a s 在文 8 中获得了如下 结果： 如果 粤吩f j ：，【p p ) 一q ( s + i - - 1 7 协，三， 其中，p - m a x o ，f ) ，则方程( 3 3 ) 振动 e im e l a b b a s y ，a s h e g a z i 和s h s a k e r 在文 1 中对( 3 3 ) 的振动性作了研究，获得了如下的结果： 如果 高师硕士论文 ( 1 ) p , q e c ( t o ，) ，r + ) t 仃，f 【o ，o o ) ，f 墨盯； ( 2 ) e ( o q p + f 一仃) ，tt o + 仃一f ； ( 3 ) j ：q o ) 出1 f + 仃； ( 4 ) 广工。泌 o , t 。 o , t 乏b ； ( 5 ) 序p ) l n ”胄p 冲协* 其中，二( f ) 一p o ) 一q ( f + - r 一力，那么方程( 3 3 ) 振动 本章研究了具有正负系数的中立型时滞微分方程( 3 1 ) ，获得 了方程( 3 1 ) 的所有鳃振动的新的充分条件 3 2 主要结果 本章假定： ( a t ) f 口，p ( t ) - q ( t + t - - 盯) ，l 芑f 。+ 盯一f ，嫩i l l f f 二【p o ) 一q ( s + g - - 口) 扭，0 ( a 2 ) r ( f ) + j q o + f ) a s 1 , t 之t o + 仃 为了讨论方程( 3 1 ) 的振动性，我们需要以下引理 弓i 理3 1 设f ，g ，p ： t o ，) 一只，c e r ，使 f ( f ) 。g ( f ) + 户( f ) g ( f c ) ，tt o + m a x o , c 假设存在实数z ，最，b ，只e r ，使得p o ) 属于下列范围之一： ( 1 ) 置p ( f ) s 0 ， 几类泛函微分方程振动性的研究 ( 2 ) o s p o ) s 最t 1 ， ( 3 ) 1 气+ d ，使 z o ) 0 x ( t f ) 0 ，x ( t 一仃) 0 ，t 之t 1 由( a 。) ，( 3 1 ) 和( 3 4 ) 得 ) ，p ) g o ) 一r q ) x ( t y ) ) ，一q ( t ) x ( t 一力十q o + f 一盯) x o 一口) - 一( p o ) 一q ( t + f 一口) k o 一) o , t t x 假设) ，g ) 不是方程的最终正解，则必存在t ：，f l ，使得 y 扛：) - 芦o 根据( 3 4 ) 和) ，有 x 缸) 声+ r o 一r ) + 仁+ f 扭 声+ ( r ( f ) + 仁q g + f 拯户( f ) 墨芦+ 4 p ) ，t t 2 几类泛函微分方程振动性的研究 其中；删_ m a x ( t m 黜) 由引理3 1 得，z 缸) 最终非正，矛盾 故y e ) 是方程的最终正解 从而引理3 2 得证 定理3 1 假定： ( 凡) ：如果存在一个连续函数日( f ) 0和t f 。，使得 磐雠l 日g 协，0 ，且 ，热监销型持e x p 【砬日6 协】 ，f 脚 日( f jl a1 【j ，一。7j + - r 虹) - o 堡( , 鹭岛叫硬，日b j p 匀 p ( f+ _ r r 一盯) ”p 【7 v ，- ，“p ”j ( 3 5 ) 如果( a 。) ，( a 2 ) ，( a 。) 饿立，则方程( 3 1 ) 的所有解振动 证明假设x ( f ) 是方程( 3 1 ) 的一个非振动解，不失一般性，不妨设 如) 方程( 3 1 、) 的是一个最终正解如果工e ) 方程( 3 1 ) 的是一个最终负 解，证明类似由引理3 2 知，存在一个 m a x 量。+ 叮) ，使得当t t t ， 有y ( f 卜o , y o ) s o ，且z ( f bo ，工( f 一仃) 0 ，其中y 章) 如( 3 4 ) 式所定 义由( 3 1 ) 和( 3 4 ) i 得 高师硕士论文 令 ) ，厶) 一4 p ( f ) 一q ( t + y 一口m o 一) - 撕) 一q ( f 盯驴一口) + r t 一) x ( t - 1 - 0 ) + + f 】 -一【p(f)一qf+f一口)】【y(f一盯)一ro一盯)j；ii二了j!犏(36) 一e 晰f ) 希端南出卜 a ( f 一错加 ， 则a o ) 0 且( 3 6 ) 式变成 a o 归o ) 一 p ( f ) 一q ( r + f d ) 覃e x 吒a g 归。拯 枷叫衣聚赫e 吐，a g 坶。拯 ( 3 7 ) + e 西：赋渊e 吒a 。阿。舢卜， 应用文献 1 5 中引理2 1 ，得 1 i r a i n f fa b 归0 协c * ， l _ j f q 嬲i n f a ( f ) 一九( o ，* ) ， 由( 3 5 ) 式，存在一个d ( 砸) ，使得 6 。蛾垃裔h 型扣阻j 日g 硒】 玎4 “ “ 旯 【 一a 、 i + 乏警鹅唧k 日g k+ 可i 压丽i f 习懿p h ，一，矗忙膨 + 后等末端唧阻日。m h 圮 ( 3 8 ) 几类泛函微分方程振动性的研究 于是 令 则 因为存在屯使得a o ) 2 砜， ( 3 7 ) 式表明 a ( f 妇e ) 嘶) 一嘶+ t - - o ) 吒九田6 培 + 采氅鹣吒伽g 协+ 两习面万翮懿| p j 坤月妒芦 一e 絮删吨。氓日o m p ： 一j i 。可再万迈瓦万“q “p 尸心j 一引2 a g ) 芑篮南【p e ) 一嘶+ f 一盯) 】【e x 咀。九解g 培 + 采黪鹅吨，砜日。拯 一掣渊吨。叫缸胁】雕。 - 哦， 6 氍南嘶攀畦吼垆m + 右籍黔南吨枞这】 一 一e 是嬲吨y 。舢小鸸 ( 3 1 1 ) 与( 3 8 ) 矛盾定理得证 如果方程( 3 1 ) 中嘶) 一o , a f ，我们有下面的推论： 高师硕士论文 推论3 1 如果存在t 。使得尸缸+ 七盯) 5 1 ( 七0 ，1 2 a ) 和) 成立， 若 ，器端h 抗日g 拯卜等善弩宁叫记日6 炳肛 则方程( 3 。1 ) 的所有解振动 我们可以把定理3 i 推广到方程 i x ( t ) - r t b ( f y ) i + p ( f ) ，g e 一盯) ) 一q ( f ) ，e f ) ) 。0 ， ( 3 1 3 ) 定理3 2 假定 一 ( 凡) 存在正数m ，使得n x 2 墨可g ) s 胁2 ： ( a s ) 存在连续函数片e b o 和z ，气，使得l i m i n f f = h 6 如，0 ，且 f 一j l - 0 ，热趔铲任唧阻日( f 如】 f 订脚 日i f li a ijr 一”i + 丽m 券赫：布嗄，b 炳】 十，1 7 霄c x d - - 1i j 【sf ( p ( f 一) ，j 一卿+ f 吖一) ) 。【。j - ，一j + e 鬈紫鹅e 印m , 1 一- 1 ( u 协p + j 一丽五万硐唧i 勺删j 舯l 如果( a 。) ，( a ：) ；爿) ，( 五) 成立，则方程( 3 1 3 ) 的所有解振动 几类泛函微分方程振动性的研究 第四章二阶非线性中立型微分方程的振动性 4 1 引言 二阶非线性微分方程的振动性已有许多研究成果“ “4 2 m 3 ，对于 二阶中立型微分方程 i x ( t ) + p q ) x ( t r ) f + q ( o f x ( t 一盯) 】- 0 的振动性和渐近性，文献 2 0 ，2 2 给出了很好的总结本文考虑非线 性中立型微分方程 k p ) + e ( t ) x ( t d 7 ，+ g ，( 珥g 。e ) 】，, 4 9 ：( f ) 】，a ，如。g ) 】) 。0 ，f 苫t o 0 ( 4 1 ) 的振动性，获缛了该方程振动的充分条件： 在本文的讨论中，始终假设以下条件成立： ( h 1 ) p ( f ) 川( f ) c ( ，* ) ，r + ) ，且鼋( f ) 在任一区间p ，。) 上不恒为零； t l f o 这里r + 一【o ，) ； ( h d ，瓴，名：，a ，靠) c 僻8 ，r ) ，且当毛，而，a ，具有相同的符号时， ，g 。，x ：，a ，) 与魏，善：，a ，同号； ( 也) & ( r ) s # ，且姆g t o ) 一+ m ，f - 1 ，2 ，a ，胁 高师硕士论文 4 2 引理 本文中，用到了以下的引理： 引理4 1 设 y o ) 一工( f ) + p ( f 弦( f f ) ， ( 4 2 ) 如果x ( o 是方程( 4 1 ) 的最终正解，那么当t 充分大时有 y ( f ) o ，y ( f ) o , y 。( 力o ( 4 3 ) 证明因为x ( o 是方程( 4 1 ) 的最终正解，由条件( 磁) 可知，存 在t ，气，使得 x ( f ) 0 ，x ( t f ) 0 ，缸g i ( f ) 】 0 a 一1 , 2 , a ，州) ，t t i 由( 1 1 2 ) 知 i ( x g 。( f ) 】，x 9 2 0 ) 】，a ，工【g 。( f ) 】) 0 ，t 之t t 再曲( 4 2 ) 和( 4 1 ) 知， y o ) o , y 4 ( f ) 0 ，t 乏t t 下面证明) ，( f ) 0 ，t 用反证法若存在t ：t t ，使得_ ) ，( f 2 ) 0 ，则当t 暑f ：时， 一7 7 ( f 卜7 日s 0 又因为口( f ) 不恒为零，于是存在f 3 之f ：，使得 几类泛函微分方程振动性的研究 y ( f ，) 0 ，y o ) y 缸3 ) ，t 屯 取定t 芑b ，并对上式由r 到t 积分( f ，t ) ，得 ) ，o ) 墨) ，仃) + f ) ，缸，) 西。y 口) + y q ，一r ) ， 因为y 饥) 。o ，对上式取极限有 嫩y ( o 一* ， 这与y ( o o 矛盾 4 3 主要结果 定理4 1 假设条件( h ，) ，( h 2 ) ，( h 。) 成立，并且 上且一j 一一兰o q ，1 2 a ，埘) 一一目存在常数c 0 。，使得 m f 妞磷丛竺型暑f ； 竹一一 工 ( 冯) 存在函数日o ，s ) c 1 ( d ，r ) 及 ( f ，s ) c ( d ，矗) ，其中， d t 缸，啡2 s 壬岛 满足 ( i ) 何o ，0 - o tt o ；h ( t ，j ) o f 善毒气； ( i i ) 日，o ，s ) s 0 ，o ，s ) d 且 一掣川，s 沂丽饨s ) e d ； ( h 6 ) 对任意的常数c ，0 ，有 高师硕士论文 姆s 叩杀商 c - 眺蝴) 一j 1 卿力卜* ( 4 4 ) 则方程( 4 1 ) 振动 证明用反证法设x ( f ) 是方程( 4 1 ) 的最终正解则由引理4 。l 可知，存在t 。f o ，使当f 七气时， x e ) ，o ，工( f 一订 0 ，出。( f ) 】0 ( f - 1 ，2 a ，呻； y ( f ) o ，y 6 ，o ，) ，o ) ，o ，y 砸) 墨o 令 z o ) 掣， ( 钻) y 9 z 铆。掣一掣 y 白2 y 2 白 叫 幽学 等( 4 6 ) ) ，l ) ，【刁 设舰) ，( f ) 一三，由y 7 0 ) o 可知工为有限正数或无穷大 几类泛函微分方程振动性的研究 l i m i n f 垒堑! 壁塑：坐! 丛垒：型壁也 ”。 y 白 兰l i n l i n f 壁鱼蜘：地2 蚴! 垒：地! 翊2 ，一 y ( f ) l i m i n f q 生2 1 z 壁蔓垒! 羔堑塑 = 堡! 墨：垒! 型，0 ( b ) 若l 。* ，则 硒i n f 鲤墨! 塑：坐2 堕垒：兰照垒坐 ”。 y ( 刍 l i m 甜兰垒壁2 ：羔垒蔓垒：艺g 塑乏c ，o ： ，。 y 【f ) 令c li 曲 学，习，则对于充分大眠叫，有 丝丝堂照罂丝亟绁m o ，川：， ) ，( 量) 由y m 墨o ( f 苫f ：) ，z q ) ，o 及( 4 5 ) ，有 扣等毒 嚣专确白 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 高师硕士论文 z 缸) 咱g o ) 一言z 2 p ) ，t t 2 , 于是对于任意的ft 2 ，有 c t q ( s ) h ( t ，s ；t 日e ，咖7 0 胁一瓢日弦2 0 冲 一h ( t , t 2 ) 砸：) + 以( f ，s ) ：o 胁一丢f , - i ( t ，) z 2 0 - 矾咖一讹s ) 河西。冲一扛龇矿。冲 螂洲一“阿h 圳( t , s ) 2 d s + 1 2 扎r t 卿，油 h ( t , t 2 ) + 扛卿，s 冲 因为j ：矗2 p ，s 之0 ，所以 j ：卜口。坶p 力一j 1 i i l 2 ( ，力】出：弦( f 2 ) 因放皿( f ，s ) 墨o ，所以日p ，t 2 ) s h o ，t o ) ，( f ：t o ) ，所以有 时饵。珥) 一i 1 吼力卜日( f ，t o ) z ( t ：) ， 蠢私陋。坶蚋一j 1 耶力】出跏：) 于是 万南j ： c t 口醅龇沪j 1 脚力卜 。积