（基础数学专业论文）偏序半环的偏序扩张.pdf

摘要 偏序代数理论，是重要的代数学分支，许多专家学者对其进行了深入细致的 研究本文主要研究了偏序半环的偏序扩张和有限全序扩张，并得到了一些新的 结果 本文的主要内容分为三章第一章介绍了本文的选题背景及课题意义，介 绍了偏序半环、拟序、拟链、半格与格及其同态与序同态等概念与有关基础知 识第二章以偏序半环的偏序扩张y gr t l 心，引入了偏序半环的半拟序与半拟链的 概念并得到了它们的一些基本性质，给出了偏序半环的偏序扩张的构造方法，得 到了偏序半环能够偏序扩张的充分条件第三章以偏序半环的有限全序扩张为中 心给出了偏序半环的有限全序扩张的概念和偏序半环能进行有限全序扩张的充 分必要条件 关键词：偏序半环；半拟序；半拟链；偏序扩张；有限全序扩张 a b s t r a c t ( 英文摘要) o r d e r e da l g e b r i ct h e o r yi sav e r yi m p o r t a n tb r a n c ho fa l g e b r a m a n ye x p e r t s a n ds c h o l a r sh a v ei n v e s t i g a t e di tt h o r o u g h l ya n dp a i n s t a k i n g l y i nt h i sp a p e r ，w e m a i n l ys t u d ye x t e n s i o n so fp a r t i a lo r d e ra n df i n i t e l yt o t a l l yo r d e rf o rp a r t i a l l y o r d e r e ds e m i r i n g s ，a n do b t a i ns o m en e wr e s u l t s t h i sd i s s e r t a t i o nc a nb ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o - d u e et h eh i s t o r yo fs e m i g r o u p s ，s e m i r i n g s ，p a r t i a n yo r d e r e ds e m i g r o u p s ，p a r t i a l l y o r d e r e ds e m i r i n g s w ee m p h a s i z et h a tt h et h e s i si sm a i n l yc o n e e m e dw i t hs e v - e r a li m p o r t a n tp a p e r sa r i s 吨i ne x t e n s i o n so fp a r t i a lo r d e rf o ro r d e r e da l g e b r a i c t h e o r y a l s o ，w ei n t r o d u c et h eb a s i cn o t i o n sa n dr e s u l t so fp a n i a l l yo r d e r e ds e m i r - i n g s ，p s e u d o o r d e r ，p s e u d o c h a i n ，s e m i - l a t t i c e s ，l a t t i c e s ，i s o t o n i ch o m o m o r p h i s m a n dh o m o m o r p h i s mo ft h e m t h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h en o t i o n so f s e m i - p s e u d o o r d e r 矿a n ds e m i - p s e u d o c h a i nm o d 盯o nt h ep a r t i a l l yo r d e r e ds e m i r - i n g sa n dg i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e m w ea l s og i v eac o n s t r u c t i v em e t h o do f e x t e n s i o n so fp a r t i a lo r d e rf o rp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i r i n g s b e s i d e s ，w eg e ts u f f i c i e n t c o n d i t i o no fe x t e n s i o n so fp a r t i a lo r d e rf o rp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i r i n g sb ys e m i - p s e u d o c h a i nm o d 口，a n do b t a i ns o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h e n o t i o no fe x t e n s i o n so ff i n i t e l yt o t a l l yo r d e rf o rp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i r i n g s ，b e - s i d e s ，w ed i s c u s ss u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ne x t e n s i o n so ff i n i t e l yt o t a l l y o r d e rf o rp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i r i n g s k e y w o r d s ：p a r t i a l l yo r d e r e ds e m i r i n g s ；s e m i - p s e u d o o r d e r ；s e m i p s e u d o c h a i n ；f i x - t e n s i o n so fp a r t i a lo r d e r ；e x t e n s i o n so ff i n i t e l yt o t a l l yo r d e r 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期问论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 。矽 指导教师签名：塑塾亟 杖c r 川日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特另t l d h 以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：钟彳匆謦 刃 年莎! 月力| 。1 璐 1 1 引言 第一章绪论 半群代数理论是上世纪5 0 年代到6 0 年代发展起来的一个崭新的代数学分 支，由于在自动机理论，计算科学、组合数学、代数表示论、算子代数和概率论 等方面的广泛应用1 ，推动了它的快速发展，使它已成为基础代数学的个重要 分支学科 半环概念最早是由德国数学家r i c h a r dd e d e l d n d 2 j 于1 8 9 4 年在代数数论 的原著中提出1 9 6 0 年以后，人们陆续发现了半环在形式语言与自动机理论【3 j 、 程序分析与算法设计【4 】f 5 l 、优化与控制理论f 6 l 哪、图论 s l ，广义f u z z y 计算1 9 1 、 离散事件动态系统1 1o 】以及量子计算1 1 1 1 1 1 2 1 等诸多领域的重要应用在这些实际 应用的有效推动下，半环理论在近几十年问取得了长足的发展，1 9 9 1 年，以色列 数学家j s g o l a n 在其著作( t h et h e o r yo fs e m i r i n g sw i t ha p p l i c a t i o n sa n d t h e o r e t i c a lc o m p u t e rs c i e n c e p 3 1 中系统地阐述了半环的理论2 0 0 0 年前后，他 又在其专著【1 4 1 【1 5 1 【1 6 i 中全面阐述了半环的代数理论及其在相关学科巾的应用 随着半群、半环理论的发展，其序结构理论也得到了较快发展2 0 世 纪4 0 年代，美国著名数学家g b i r k h o f f 在：他的名著 格论一书中，就讨论 了格序半群之后，有序代数理论得到了很大的发展，特别是有序群( 格序 群) 理论由于有很强的群论理论基础作依托，从6 0 年代开始一枝独秀，很快 从代数理论中分离出来，在l f u c h s ，pc o n r a d 及w h o l l a n d 等著名数学 家的推动下发展成一个完整的研究体系在近3 0 多年中，序半群理论取得了 很大的进展六七十年代，t s a l t 6 和m s a t a y a n a r a y a n a 在全序半群的分解及 扩张研究中作了大量的工作1 9 7 9 年，m s a t a y a n a r a y a n a 还撰有专著正序 半群( p o s i t i v e l yo r d e r e ds e m i g r o u p s ) ，收集t 7 0 年代之前全序半群的研究 成果7 0 年代初，b l y t h 和j a n o w i t z 合著了一本专著剩余理论( r e s i d u a t e d t h e o r y ) 之后，t ，s b l y t h 和他的学生们对可剩余的序半群( 包括自然序半 群) 【1 1 作了人量研究偏序半群的结构理论是现今最活跃的研究方向之一，8 0 年 代后期，n k e h a y a p u l u 和她的学生t i n g e l i s 1 8 - 删以及谢祥云【卅等学者推动了 该领域的发展在半环理论的发展的基础上，偏序半环理论的研究也取得了 很大的进展k a r n e r 2 8 1 给出了半环是差分序的充分必要条件g o l d s t e r n 1 证 明了正偏序半环也是差分序的k e a r n e s 3 0 对可换单半环的序理想进行了研 究j s g o l a n 在著作( s e m i r i n g sa n da l m n ee q u a t i o n so v e rt h e m ：t h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ) 1 1 6 】中系统地阐述了偏序半环的理论 偏序代数系统的偏序扩张一直是人们关注的问题【3 l j 3 1 由于半群未必适合消 去律等，一般偏序半群的偏序扩张问题的研究难度较大，而偏序半环的结构比较 复杂，其偏序扩张的难度就更大n a k a d a 3 2 3 3 1 讨论过可消偏序半群的全序扩张 问题d u b r e i l j a c o t i n a a 给出了一个含幺幂等元半群可全序化的充要条件设半 群( 只，) 是半群( k ，) 关于半群( j ，) 的扩张，且和j 分别是偏序 半群，其偏序分别为l ，2 ，a j h u l i n l 【嬲1 给出了扩张为s 上的偏序的充要 条件谢祥云【3 q 讨论了可换偏序半群的偏序扩张问题 本文从半拟序与半拟链出发，主要研究了一般情况下偏序半环的偏序扩张与 有限全序扩张问题，并得到了若干有趣的结果 1 2 预备知识 在本节中，我们将介绍半环、偏序半环、偏序扩张、拟序、拟链、格、半格 及其同态与序同态等概念与相关基本结果 定义1 1 ：【1 5 l 设r 是非空集合，若在兄上定义了两个二元运算。+ ”( 通常称 为加法) 和。”( 通常称为乘法) 以及两个零元运算0 ( 零元素) 和1 ( 幺元 素或恒等元) ，使得 门，( 冗，+ ，0 ) 是舍幺交换半群i r 纠( r ，1 ) 是舍幺半群j 俐( va ，6 ，c r ) ，( a + b ) c = + 6 c ，c ( a + b ) = c a + c b ； 2 “j ( va r ) a 0 = 0 a = 0 ， 则称( r ，+ ，0 ，1 ) 是半环 定义1 2 ：【1 q 设r 是半环，若在见l 定义一个偏序关系“”，使得r 上的加法 和乘法运算均是单调的，即 ( v 口，b ，c ，d r ) a b ，c d 考a + c b + d ，a c sb d ， 则称( r ，+ ，t ，) 是偏序半环， 定义1 3 ：m 设( s ，) 是偏序半群，+ 为( s ，s ) 上的另一个偏序关系，若 则称+ 为s 的扩张 ( va ，b s ) 8 b 号a + b 定义1 4 ：吲设( 只，) 是偏序半群，s 上的一个二元关系矿称为拟序( p s e , , - d o o r d e r ) ，是指j 1 ) 曼口； f 剀若( 8 ，6 ) o 7 ( 以c ) 口，则( 8 ，c ) “ p ，若vc s ( a ，b ) 盯，则( a c ，h c ) 盯；( c a ，c b ) o r 显然，s 的拟序是s 上包含，且是传递、相容的二元关系 定义1 5 ：吲设( s ，) 是偏序半群，盯为s 上的同余关系，s 中的元素列 称为模盯的拟链如果 0 ，a l ，b l ，o 。，口) z a l a b l 口， 其中佗称为该拟链的长度iz ，”分别称为该拟链的首项与尾项一个模口的 拟链称为闭的，如果它的首项与尾项相同 这里，用盯g v 表示s 的所有以z 为首项，y 为尾项的模盯的拟链集 3 命题1 1 ：l z r l 设( s ，) 是偏序半群，盯为s 上的同余，则 以，盯c h 包含长度为n 的拟链当且仅当( z ，) ( so 口) ”； r 缈若( z ，口l ，b l ，a n ，y ) o - c z ，则对任意的c s 有 ( ，c a l ，c b l ，c a n ，c f ) 盯q 一q ) ， ( x c ，o , 1 c ，b l c ，n n c ，y c ) 盯q z 。( 班； f 列假设霉y 包含在某个模盯的闭链中，那么存在m 使得 ( z ，y ) ( o a ) ” 由定义1 4 和1 5 直接可得 定义1 6 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，兄上的一个二元关系口称为拟序( p s e “- d o o r d e r ) 如果满足： i ) 曼仃； 俾，若( a ，b ) 盯，( b ，c ) 盯，则( n ，c ) 盯； r 鲫若( 口，b ) 盯，则对任意的c r 有 ( a + c ，b + c ) 以( c + a ，c + b ) 叽( a c ，m 盯，( c a ，c b ) 仉 定义1 7 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，盯为r 的同余，r 中的元素列 ( z ，a l ，b l ，a n ，y ) 称为模口的拟链。如果 z sa l a b l a n c r y 其中n 称为该拟链的长度jz ，y 分别称为该拟链的首项与尾项一个模盯的拟链 称为闭的如果它的首项与尾项相同 这里，用口巴，表示翮 勺所有以z 为首项，为尾项的模盯的拟链集 由命题1 1 直接可得 4 命题1 2 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，仃为兄上的同余关系，则 “，盯g ，包舍长度为n 的拟链当且仅当( z ，g ) ( o 口) n ； 俐若( z ，口“b 1 ，a n ，) 盯g ，则对任意的c 贿 ( 凹，c a l ，c b l ，c n n ，c 暑，) 盯c ( 犯j c 计 ( j ，n 1c ，b x e ，a n c ，可c ) 盯q z 。( ，c ， ( c + z ，c + 口l ，c + 6 1 ，c + a n ，c + ) 盯c ( c + 。) ( c + y ) p + c 0 , 1 + c ，b l + c ，o n + c ，暑，+ c ) f r o ( 蚪c ) ，+ c ， r 剀假设而包含在某个模口的闭链中，那么存在m n 使得 ( z ，剪) 侄0 0 9 ” 定义1 8 ： 3 s l 一个偏序集l 叫做格，是指任何o ，b 厶存在口，6 的最小上界及 最大下界，分别以a v6 及a a 撕己之 定理1 1 ：设l 是格，则二元合成a ，v 具有下述性质：对任意的a ，b ，c l 有 l 1 ：交换律 a ab = b a a ，a v b ；b v 口 l 2 ：结合律( a ab ) a c = a a ( b ac ) ， ( a vb ) v c = a v ( b vc ) l 3 ：幂等性 o a a = 口，a v o = l 4 ：吸收律( a ab ) v n = 口，( a vb ) a 口= a 而且 口b 骨口ab = 口，口b 甘a vb = b 定义1 9 ：【鹞| 设( s ，) 是代数结构，若二元运算”满足交换律，结合律及幂等 性，即每一元都是幂等元，则称s 为半格 定理1 ，1 表明，若l 是格，则( l ， ) ，( lv ) 都是半格，而且a ，v 之间有吸收 律 5 定义1 1 0 ：一个格是具有两个二元合成a ，v 的代数结构( 厶a ，v ) ，它满足 定理1 1 中所述的条件l 1 一厶 定义1 1 1 ：设工，l 是两个格，映射p ：l l 叫做保序的，是指对任意 的o ，6 l 有 n b 弓甜加 定义1 1 2 ：【勰j 格三到格l 的映射p 叫做格的同态或简称同态，是指对任意 的z ，9 l 有 ( z a f ) p = p a 伊，( 1 ) 扛v f ) 口= 甜v 妒( 2 ) 如果同态口还是双射，则称口为同构当存在同构e ：l f 时，称格同 构于格l 7 。记作l 垒f 如果半格到半格工7 的映射口满足( 1 ) 式或满足( 2 ) 式，则称口为半格同态 6 第二章偏序半环的偏序扩张 2 1偏序半环的半拟序与半拟链 本节由偏序半环冗上的半拟序口及模口的半拟链的概念出发，得到了一些有 意义的结果 定义2 1 ：设( 冗，+ ，) 是偏序半环，r 上的一个二元关系口称为半拟序，如 果满足： f 1 ) 曼o ； 俐若( a ，b ) 以( b ，a ) o ，则a = 6 ； 俐若( 0 ，b ) 盯，则( vc r ) ( a + c ，b + c ) 仉( n c ，b c ) 以( c a ，西) 盯 例1 ：设r = 口，b ，c ，d ，e 是偏序半环，其运算、序关系的定义如下： +nbcd 口nbcc bbbc c cc c c c d cccd nbcd ab bc c bbb c c c c c c c dcccc ：= ( n ，口) ，( b ，( c ，c ) ，( c ，6 ) ) 令盈上的二元关系4 l 如下? o 1 ：= ( o ，o ) ，( b ，6 ) ，( c ，c ) ，( d ，d ) ，( c 6 ) ，( d ，c ) 可以验证，。l 是半环r 上的半拟序 定义2 2 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，口为r 上的半拟序，r 中的元素列 、，驴 n n 7 1 6 l nz ，l 称为模口的半拟链如果 z a l a b ls a n a y 其中n 称为该半拟链的长度iz ，! ，分别称为该半拟链的首项与尾项一个 模盯的半拟链称为闭的，如果它的首项与尾项相同对模盯的闭半拟链 ( z ，a l ，6 l ，d n ，z ) 若 z = 啾= 幻( i = 1 ，2 ，l ；j = 1 ，2 ，n 1 ) ， 则称此闭半拟链的长度为零 这里，用口以，表示r 的所有以z 为首项，y 为尾项的模盯的半拟链集 d l 命题1 2 可得 引理2 1 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，口为见上的半拟序，则 口，盯包含长度为n 的半拟链当且仅当( z ，y ) ( o 力”j r 剀若( z ，a l ，b l ，y ) 口，则对任意c 兄有 ( ，l ，西1 ，n ，印) 1 一，( ， ( z c ，a l c 76 1 c ，a n c ，y c ) 盯q 一) ( ，c ) ， ( 扛+ c ) ，( ( 2 1 + c ) ，( b l + c ) ，( a n + c ) ，( y + c ) ) o - c ( 蚪砷( ，+ 引， ( ( c + z ) ，( c + a 1 ) ，( c + 5 1 ) ，( c + n 。) ，( c + 可) ) e r e ( c + 州c + ，； f 功假设而包含在纂个模口的闭半拟链中，那么存在m 使得 ( z ，y ) ( o o ) ” 定理2 1 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，o i ( i ，) 为r 上的半拟序，s p o ( r ) 是 r 3 = 所有的半拟序构成酌集合，更 j 下列命题成立： p ，若令口= 以= n 以，则盯也是r 2 - o 半拟序，且( s p o ( r ) ， ) 构成一 i ，l ， 半格： 8 俐若令盯= v 以为见上包含所有以的最小半拟序，则( s p o ( r ) ，v ) 构成一 i e l 半格： r 剀( s p o ( r ) ，h ，v ) 是格 证明：( 1 ) ，( 2 ) 是显然成立的我们只证明( 3 ) 设以，观，田s p o ( s ) ( i ) ( s p o ( r ) ，a ，v ) 满足交换律 盯l a 0 2 = 0 2 a0 1 ，o 1v 0 2 20 2 v a l ( i i ) ( s p o ( r ) ，人，v ) 满足结合律 ( 盯l a 0 2 ) a0 r 3 = t 1 a ( i f 2 a ) ，( o - 1 v 眈) v 如= ( 7 1 v ( 眈v i f 3 ) ( i i i ) ( s p o ( r ) ，a ，v ) 满足幂等性 口l o * 12o 1 ，o 1 v o * 1 。a l ( i v ) ( s p o ( r ) ， ，v ) 满足吸收律 由a 的定义知o 1 a o 2 a x ( a 2 ) ，若a l a a 2 o * 1 ，则由幂等性知( a l a a 2 ) v a l = a l ；若口lai f 2 t 2 ，则眈f f l ，从而，( t t la0 2 ) v 盯l = 盯1 由以 f f lv i f 2 得( f f lv i f 2 ) a6 r 1 = 9 1 又由a 与v 的定义易得 叽仃2 甘o 1a 观= 盯l ， t 1 0 2 甘o 1v 0 2 = o 2 综上所证，( s p o ( r ) ，a ，v ) 是格 2 2偏序半环的偏序扩张 本节中，我们主要给出了将偏序半环r 的偏序扩张为r 的另一偏序+ 的 方法，进一步，讨论了+ 与r 的运算的相容性，给出了( 兄，+ ，s + ) 成为偏序 半环的允分条件，获得了若干理想的结果特别地，得到了保序的半格、格同态定 理及半格同态的等价刻划 设( 冗，+ ，s ) 是偏序半环，口为r 上的半拟序，如果r 中任意模口的闭半 拟链的长度均为零，那么可将扩张为+ ，使得( r + ，) 是偏序半环 9 证明：定义r 上的二二元关系+ 如下 ( v z ，暑，r ) z + y = 争口q o 很显然，s + 是的扩张下证( r ，+ ，) 是偏序半环 ( 1 ) 显然+ 是自反的 ( 2 ) + 是传递的 任意的z ，y ，。见设 iy ，y 9z 由+ 的定义得e t c , ，o ，o c , z o ，即存在 ( z ，a l ，b l ，n n ，y ) 盯c 匆， ( 玑c 1 ，d x ，c m ，z ) 盯g ； 于是有 ( z ，a l ，b l ，n n ，1 1 ，c 1 ，d l ，c m ，z ) 盯岛z ， 即口g 。o 由+ 的定义得z 夕。 ( 3 ) + 是反对称的 任意的z ，y r ，设z y ：s + z 由s 的定义得o - c = ，o ， t o y = o ，即 存在 ( z ，( l 1 ，b l ，一，a t ，y ) 口g ， ( i ，c 1 ，d l ，c s ，。) 口q z 于是有 ( z ，g 1 ，6 l ，a t ，y ，c 1 ，d l ，c s ，z ) a c , z ， 即盯g ，口由假设得 z = y = 啦= 岛= c u = 如 0 = 1 ，2 ，一，南j = 1 ，2 ，一，t - l ；牡= 1 ，2 ，一，s ；口= 1 ，2 ，一，s 一1 ) 1 0 ( 4 ) + 关于周杓运算是相容的 任意的z ，y r ，设zs y ，由的定义得盯g ，o ，即存在 ( z ，口l ，b 1 ，n s ，矿) 盯c 矗 对任意的z 冗，由引理2 1 ( 2 ) 得 ( z x ，z a l ，。6 l ，z 吼，z y ) 盯q z z ) ( r 计 ( z 名，a l z ，b l z ，a s z ，y z ) 盯q z = ) ( v 引， ( 。+ z ，z 4 - a l ，z + 5 1 ，二+ o ，。4 - y ) 盯q = + f ( 蚪 ， 忙+ z ，1 4 - 。，b 1 4 - z ，a s + z ，y 4 - z ) 盯q 舛z ) 什引 由9 的定义得骝z y ，z 。s y z ，z 4 - g2 4 - 玑z 4 - z + y 4 - 2 综上所证，( 冗，4 - ，+ ) 是偏序半环 注释2 1 ：在上述扩张意义下，容易证明： 一，若口= ，则+ = i f 砂+ 是s 关于r 上的半拟序口的最小扩张，这里简称s 为关于口的扩张 例2 ：在上述例子1 中，s 关于口l 的扩张：如下： ：= ( 口 口) ，( b ，6 ) ，( c ，c ) ，( d ，d ) ，( c ，6 ) ，( d ，c ) ，( d ，6 ) ) 由定理2 2 直接可得下面推论2 1 推论2 1 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，口为r 上的半拟序对任意的z ，y 兄，若盯o ，且冗中任意模口的闭半拟连的长度均为零，则可将扩张 为，使得( r ，4 - ，+ ) 是全序半环， 例3 ：在上述例子2 中，若再取见上包含盯l 的半拟序观如下? 口2 ：= ( 叱口) ，( b ，( c ，c ) ，( d d ) ，( c ，6 ) ，( d ，c ) ，( b ，n ) ) ， 1 1 则关于观的扩张鸟如下： ；：= ( o ，( b ，6 ) ，( c ，c ) ，( d ，d ) ，( c ，6 ) ，( d ，c ) ，( d ，6 ) ，( b ，o ) ，( d ，n ) ，( c ，o ) ) 很显然，s j ；， 由上述例子3 ，我们可得下述引理，下文中，z + 表示正整数集，i = 1 ，2 ，i ，i z + 引理2 2 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，以a i ) 为r 上的半拟序，g 是关 于以的扩张，那么下面命题成立： 以，令盯= t i = n 以，则盯也是r 上的半拟序； i e ii e l 俐若( t i o ( i ，j ，且 j ) ，则：；i f 缈g = 写( i ，j ，且i j ) 的充分豳要条件是 ( v 毛y 冗) 乎，o 甘妒o 证明 ( 1 ) 显然成立 ( 2 ) 对任意的z ，y r ，设z ；y ，山；的定义得妒，o 由假设o - i 乃得弓b o 由写的定义得z 写y ，即譬写 ( 3 ) 必要性， 对任意的z ，j ，r ，设聋谚则由g 的定义得z 譬y ，由假设譬= 写 得z - - j ! y 于是有垆o ，即沪o 号妒9 o 类似可证妒o 兮护，o 充分性 对任意的z ，y r ，设zsy ，则中，o 由假设中，臼咎矛。口 得孝”o 从而有zgy ，即g 写类似可证写g 1 2 引理2 3 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，o i ( i ) 为见上的半拟序，譬分别 为关于盯= a 以与吼的扩张，那么下面命题成立： i e i 以，譬( i ，) 特s , j ，若存在i ，使得以= s ，则k i f 缈kng = a 譬充要条件是 i e l i e l ( vz ，y r ) ( v i ，) 巧p ，o 铮盯c ”o 证明 ( 1 ) 由盯以及+ ，g 的定义直接可得 ( 2 ) 必要性 对任意的z ，y r ，设口既则z g 从而有z ( a 譬) ! ，由假设+ = ng = ag 得z + 于是有盯口，即p 毋号口o 类似 可证仃0 = 兮中o 充分性 由口= a 以= ；以及引理2 2 ( 2 ) 得+ ；，从而有+ n ； ， ， i 6 1 下证反包含关系也成立 对任意的z ，y 1 1 ，设x ( n 譬) ，则z 鸟y ，于是有沪o 由假 i 6 1 设妒，o 借口o 得盯g ，o 从而有z y ，即n 譬 ， 引理2 4 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，吼( i ，) 为r 上的半拟序，令仃= v 以为兄上包含所有o 的最小的半拟序，s + ，；分别为s 关于口与, r i 的4 f - 诓， 张，那么下面命题成立? 以，+ 是关于兄上包含所有吼的半拟序的扩张中最小的扩张 例设i v 。，g 为r 上包含所有s ；的最小的偏序关系，则+ = ，￥s ；的充要条件 是 ( vz ，y 冗) 盯g ，o 铮( | i ，) 口p 。o 1 3 证明 或者 ( j 。r ，i ，j ，i j ) i f - 2 o ，妒o ( 1 ) 由口及+ 的定义直接可得 ( 2 ) 必要性 ( i ) 对任意的z ，f r ，设口6 匆o ，则有z + 由假设名 vg 得z ( vg ) y 若存在i i 使得z ；，则有口o ；若存 在z r ， ，j io j ) 使得zg 毛z 写，则有i f - 。晚妒。o ( i i ) 对任意的z ，y r ，若存在i i 使得砖”o ，则zg 于是 有z ( v 譬) 由假设s l - v ；得z + f 从而有盯岛，o ；若存 在z r ，i ，j i o j ) 使得卡2 织妒毋，则有z ；z ，z s 玑从而有z ( v 鬟) 。，z ( vg ) 弘即z ( vg ) 由假设得z p 于是 有盯g ，o 危分性 由o i 盯及引理2 2 ( 2 ) 得g ，于是有v ： i e l 下证反包含关系也成立 对任意的z ，! ，r ，设z + f ，则有口g ，口下面分两种情况讨论 ( i ) 若存在t i 使得砖”矾则。s ；y 于是有z ( v ：) ； i e i ( i i ) 若存在。冗，l ，j ，a j ) 使得i f - ；o ，a ，o ，则有z 譬 z ，2 - - 3 1 ，从而有z ( v ；) z ，z ( v ；) ，即z ( v ：) f 1 jl ，i j 综合( i ) ，( i i ) 得+ v 譬 i e l 设尼黾偏序半环，令p 0 ( r ) 是r 上的所有偏序构成的集合由定 理2 1 知e o ( s ) 与s p o ( s ) 对上述引理2 3 和2 4 中的a 与v 均构成半格由 此。我们可得到下述定理 1 4 定理2 2 ：设( 冗，+ ，) 是偏序半环，对任意的o i s p o c r ) ( i ，) ，令盯= 吼= na i ，是s 关于盯的扩张若令 i e li e l 西1 ：( s p o ( r ) ，a ) 一( p o ( r ) ， ) ，m l ( a i ) = ：( o i s p o ( r ) ，i ，) 其中譬是关于以的扩张，则垂l 是半格同态且保序 证明：对任意的t 1 ，c r 2 s p o ( r ) ，设盯= 盯1at y 2 ，1 ( a ) = ，圣l ( f f l ) = ：， 圣l ( 眈) = 鸟，由引理2 3 ( 2 ) 知+ = s ：a 曼，即c i l i ( 0 1 t r 2 ) = 垂1 ( f f l ) a 垂1 ( 眈) ， 又由引理2 2 ( 2 ) 知半格同态圣1 保序 定理2 3 ：设( 冗，+ ，s ) 是偏序半环，对任意的以s p o ( r ) ，g p o ( r ) ( i n 令v 以( v - t ) 为见e 包含所有以( 譬) 的最小半拟序( 最小偏 i e li j 序) ，且是s 关于盯的扩张若令 西2 ：( s p o ( r ) ，v ) + ( p 0 ( 月) ，v ) ，圣2 ( 口1 ) = ；( o i s p o ( r ) ，i ，) 其中；是吼的扩张，则垂2 是半格同态且保序 证明：对任意的o r l ，砚s p o ( r ) ，设口= 口1 v 观，c a ( a ) = + ，圣1 ( 口1 ) = ：， 西l ( 口1 ) = ；f f f 弓| 】至2 4 ( 2 ) 知s = s ：v ；，即西l ( 盯lv 盯2 ) = 垂1 ( 矿1 ) v 西l ( 口2 ) 又山引理2 3 ( z ) 知半格同态西1 保序 定理2 4 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，对任意的仃s p o ( r ) ，令+ 是s 关 于口的扩张若令 垂：( s p o ( r ) ，a ，v ) 一( p 0 ( r ) ，a ，v ) ，圣( j ) = s + p s p o ( r ) ) 则圣是格同态且保序 证明：由定理2 3 和2 4 直接可得 定理2 5 ：设( r ，+ 1 ，) 是偏序半环，对任意的吼s p o ( r ) 0 j ) ，令仃= 吼= n 以，+ 是关于口的扩张若令 讵， t ， 垂1 ：( s p o ( r ) ，a ) + ( p o ( r ) ， ) ，垂a ( a i ) = ：( 吼s p o ( r ) ，i ，) ， 1 5 其中髫是关于吼的扩张，则下列命题等价 一，垂l 是半格同态i 俐s + = ns ；= 人：； 诧，i e i 砂( vf f i s p o ( r ) ，i ，) ( vz ，y 冗) 仃，o 错盯( 名v o 证明：由引理2 3 知( 2 ) = = ( 3 ) 因此，只需证( 1 ) = 寺( 2 ) 即可 一方面，对任意的巩s p o ( r ) ( i j r ) ，由题设得 垂l ( a i ) = ：，垂1 ( 八以) = 4 h ( a ) = i e l 又由西1 是半格同态得 垂1 ( ao i ) = a ( 垂l ( m ) ) i e li e l 于是有 母1 ( 一= 圣l ( o i ) = 圣l ( a i ) = 譬 i e li e l i e i 即+ = a ： i e i 另一方面，对任意的a i s p o ( r ) ( i ，) ，由题设得 圣1 ( 吼) = ：，垂1 ( 八以) = 圣l ( 盯) = i e l 由假设 s + = f l ：= a ； i e ii e i 得 圣l ( a 以) = 垂1 ( 口) = s = ：= a ( c a ( a ) i e i迮jl ， 即 圣1 ( t i ) = a ( 垂l ( 以) 1 jt ， 综上可知，( 1 ) = = ( 2 ) 定理2 6 ：设( 冗，+ ，) 是偏序半环，对任意的 t i s p o ( r ) ，譬p o ( r ) ( i ，) ，令v 吼( v 譬) 为兄上包含所有以( g ) 的最小半拟序( 偏序关 t ，l ， 系) ，且s 是关于口的扩张，若令 垂2 ：( s p o ( r ) ，v ) ( p o ( r ) ，v ) ，垂2 ( 以) = ；( d l s p o ( r ) ，i ) 其中g 是关于以的扩张，则下列命题等价 ( 1 ) 圣2 是半格r 惫： 1 6 f 砂kvg i i e i 俐( v 曩y r ) 盯g ，o 甘( jie ，) 盯，o 或者 ( | z r ，i ，j j ，i j ) 矛。o ，妒o 证明：由引理2 4 知( 2 ) = 净( 3 ) 因此，只需证( 1 ) = 争( 2 ) b p - 一方面，对任意的巩s p o ( r ) ( i j ) ，由题设得 垂2 ( 以) = ：，西2 ( vo i ) = 垂2 ( 口) = i e l 又由圣2 是半格同态得 垂2 ( v 以) = v ( 垂2 眩) ) i e ll ， 于是有 = 垂2 ( 盯) = 圣2 ( v 以) = v 垂2 ( 吼) = v ： i e ii e l i e i 即 = v 譬 i e i 另一方面，对任意的吼es p o ( r ) ( i ，) ，由题设得 圣2 ( 吼) = ；，垂2 ( v 以) ；4 b 2 ( a ) = i e l 由假设kvg 得 i e l 圣2 ( vf f i ) = 垂2 ( = + = v ：= v ( 垂2 ( d i ) i e l i e li e l 即 垂2 ( v 仉) = v ( 垂2 慨) i e l 坨， 综上可知，( 1 ) = = ( 2 ) 1 7 第三章偏序半环的有限全序扩张 本章主要给出了偏序半环的有限全序扩张概念及有限全序扩张的等价刻划 定义3 1 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环， n 。) 翟1 是冗的有限列若s 为的扩 张，且a l9 口2 ，a 。，则称夕为s 的有限全序扩张 定理3 1 ：设( r ，+ ，) 是偏序半环，口为见上的半拟序， o i ) 銎1 是r 的有限 列，且对任意的m ，a j 啦) 警1 “j ) ，矿矗0 ，那么下列命题等价j p ，可将s 扩张为+ ，使得( 圮+ ，s ) 是偏序半环且a l 口29 + a r t j r 纠对任意的有限列 就) 罂l r 1 ，如果存在a ，p m a p ( m ，) ，使得o ( f ) 烈0 ，且 x o x l a a ( d ，x l a 口o ) sx 2 a a ( 2 ) ，x m a a ( m ls x o ， 则z o = x i a n ( i ) = x i a 口( i ) ( i ，) 其中，r 1 = r u 1 ，z + 表示正 整数集， j = 1 ，2 ，i ) ，i z + ，m = 1 ，2 ，m ，n = l ，2 ，n