（基础数学专业论文）双线性化sawadakotera方程研究.pdf

扬州大学硕士学位论文 摘要 本文研究双线性化s a w a d a k o t e r a 方程双线性变换方法是由日本数学家a h i r o t a 引入的一种求解非线性偏微分方程的直接方法，其基本思想是通过变换将一个 非线性偏微分方程改写成双线性导数方程，并由双线性导数方程的解得到原方程的解 反过来，从一个非线性偏微分方程的解能否得到其相应的双线性化方程的解? 本文以 s a w a d a k o t e r a 方程为例，说明从该方程的任意一个解，可以得到相应的双线性化 s a w a d a - k o t e r a 方程的解，并由此证明s a w a d a - k o t e r a 方程与双线性化s a w a d a - k o t e r a 方 程之间局部等价，同时我们给出两个例子，说明如何由s a w a d a k o t e r a 方程的平凡解而 得到双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程的( 非平凡) 解从s a w a d a k o t e r a 方程到双线性化 s a w a d a k o t e r a 方程解之间的变换是由一个二阶常微分方程( 关于其中一个自变量，而 把另外一个自变量看成是参数) 来定义的变换，其初始条件满足某种限制条件 本文的主要内容如下： 在引言中主要介绍了孤子理论发展历史，研究现状，主要研究方法和取得的成果， 以及本文所要研究的内容和拟解决的问题 第1 章介绍h i r o t a 双线性导数的定义与一些重要性质 第2 章通过引入有理变换，得到s a w a d a - k o t e r a 方程的双线性化形式，并由此给出 该方程的孤子解 第3 章证明从s a w a d a k o t e r a 方程的解可以生成双线性化s a w a d a k o t e r a 方程的解， 从而证明这两个方程之间局部等价：同时给出两个例子，说明如何从s a w a d a k o t e r a 方 程的平凡解去生成双线性化s a w a d a k o t e r a 方程的非平凡解 第4 章从另外一个角度去理解s a w a d a k o t e r a 方程到双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程 的变换，该变换由一个二阶常微分方程来定义，其初始条件满足适当的限制条件这一 变换不同于经典的由两个相容的一阶常微分方程定义的b i i c k l u n d 变换，但仍然是把非 线性偏微分方程的求解转化为常微分方程的求解，因此可理解为是一种新的b a c k l u n d 变换 关键词：s a w a d a k o t e r a 方程；双线性变换；b i c k l u n d 变换 蒋盈峰双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程研究 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yb i l i n e a r i z e ds a w a d a - k o t e r ae q u a t i o n b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ，a n i n g e n i o u sm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w a sf i r s td e v e l o p e db y j a p a n e s em a t h e m a t i c i a nr h i r o t a t h i sm e t h o dc o n s i s t so ft r a n s f o r m i n gan o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t oab i l i n e a re q u a t i o nt h r o u g had e p e n d e n tv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n t h eb i l i n e a re q u a t i o nt h u so b t a i n e dc a nb es o l v e db ye m p l o y i n gap e r t u r b a t i o nm e t h o d b u t o nt h ec o n t r a r y , f r o mag i v e ns o l u t i o no ff ln o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c a no n e g e n e r a t es o l u t i o n so ft h eb i l i n e a r i z e de q u a t i o n ? w et a k es a w a d a k o t e r ae q u a t i o na sa n e x a m p l et oi l l u s t r a t et h a tt h i sc a nb ea c h i e v e d w eg e ta ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rs o l u t i o n so f t h eb i l i n e a r i z e ds a w a d a - k o t e r ae q u a t i o ng e n e r a t e df r o mag i v e ns o l u t i o no fs a w a d a - k o t e r a e q u a t i o n ，a n dt h u sp r o v et h a tt h e s et w oe q u a t i o n sa r el o c a l l ye q u i v a l e n t w eg i v et w o e x a m p l e st od e m o n s t r a t et h a tf r o mat r i v i a ls o l u t i o no fs a w a d a k o t e r ae q u a t i o n , o n ec a n g e tn o n t r i v i a ls o l u t i o n so ft h ei t sb i l i n e a r i z e de q u a t i o n t h ea b o v et r a n s f o r m a t i o n ( f r o m s o l u t i o n so fs a w a d a k o t e r ae q u a t i o nt ot h a to fb i l i n e a d z e ds a w a d a - k o t e r ae q u a t i o n ) i s d e f i n e dv i aas e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( w i t hr e s p e c tt oo n ei n d e p e n d e n t v a r i a b l ea n dt a k i n gt h eo t h e ri n d e p e n d e n tv a r i a b l ea sap a r a m e t e r ) 、析t hi t si n i t i a lv a l u e s s a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n s t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nt h ei n t r o d u c t i o n ，w eo u t l i n et h eh i s t o r yo ft h ed e v e l o p m e n to fs o l i t o nt h e o r y w ea l s o i n t r o d u c et h ep r o b l e ms t u d i e di nt h i st h e s i s i nc h a p t e r1 ，w er e v i e wt h ed e f i n i t i o na n ds o m ep r o p e r t i e so ft h eb i l i n e a ro p e r a t o r s i n c h a p t e r2 ，w e f i r s ti n t r o d u c ear a t i o n a lt r a n s f o r m a t i o nt ob i l i n e a r i z et h e s a w a d a k o t e r ae q u a t i o n t h e nf r o ms o l u t i o n so ft h eb i l i n e a r i z e de q u a t i o n ，w eg e t m u l t i p l e s o l i t o ns o l u t i o n so f t h es a w a d a - k o t e r a e q u a t i o n c h a p t e r3d i s c u s s e st h el o c a l l ye q u i v a l e n c eb e t w e e ns a w a d a - k o t e r ae q u a t i o na n di t s b i l i n e a r i z e de q u a t i o n t h i si sa c h i e v e db yd e r i v i n ga ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rs o l u t i o n so f t h eb i l i n e a r i z e ds a w a d a - k o t e r ae q u a t i o nw h i c ha r eg e n e r a t e df r o mak n o w ns o l u t i o no f s a w a d a - k o t e r ae q u a t i o n w eg i v et w oe x a m p l e st oi l l u s t r a t eo u tm e t h o d i nc h a p t e r4 ，f r o mad i f f e r e n t p o i n to fv i e w , w ee x p l a i nt h et r a n s f o r m a t i o nf r o ms o l u t i o n s o fs a w a d a - k o t e r ae q u a t i o nt ot h a to fi t sb i l i n e a r i z e de q u a t i o n t h et r a n s f o r m a t i o ni s d e f i n e dv i aas e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs o m ek i n do fi n i t i a lv a l u e s i t i sd i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c a lb g c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，w h i c hi sd e f i n e dv i at w o c o m p a t i b l ef i r s t o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b u ts t i l lt r a n s f o r m st h ep r o b l e mo f s o l v i n gan o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt ot h a to fs o l v i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a l 3 一 扬州大学硕j j 学位论文 e q u a t i o n s t h e r e f o r ei ti san e wt y p eo fb l i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n k e y w o r d s ：s a w a d a - k o t e me q u a t i o n ；s o l i t o ns o l u t i o n ；b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ；b i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n 4 一 蒋盈峰双线性化s a w a d a k o t e r a 方程研究 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：旃鳓 签字日期： 舢7 年p 月歹日 导师签名： 。霉戮 签字日期：朋7 年月厂日 蒋盈峰双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程研究 o 引言 孤立波最早是由英国科学家r u s s e l 于1 8 3 4 年发现并提出的，它是水波运动中一 种非常奇特的自然现象作为一名造船工程师r u s s e l 进行了大量的实验，对孤立波有 了深刻的理解，但限于当时的数学理论和科学水平，还是没有能够从理论上圆满解释 这一发现直到1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究水波运动时， 在长波近似及小振幅的假设下，建立了一个1 + 1 维数学模型，即著名的k d v 方程，并 给出了孤立波解，这才成功解释了孤立波现象k d v 方程无论是在数学上还是在实际 中，都是一个非常重要的方程，它可以描述小振幅的浅水波，冷等离子体中的磁流体 波，离子声子波，以及生物和物理系统中的波动过程到了1 9 6 4 年，美国科学家 k r u s k a l 和z a b u s k y 利用计算机通过数值模拟详细研究了这类孤立波碰撞的非线性相 互作用过程，发现孤立波的形状和速度在碰撞后保持不变，具有类似于粒子碰撞后不 变的性质，因此他们把这种孤立波称为孤立子，并由此开创了一个崭新的研究领域 非线性科学中的许多问题都可归结为非线性发展方程寻找这些方程的精确解， 在孤子理论中占有非常重要的地位孤子解，作为一种特殊的精确解，长期以来一直 受到数学家和物理学家的关注，在流体力学、凝聚态物理学、非线性光学、等离子体 物理学等很多领域均有广泛的应用人们已经发展了很多有效的方法来求解非线性发 展方程，如反散射方法、d a r b o u x 变换方法、双线性导数方法、代数几何方法、b 菹c k l u n d 变换等，其中双线性导数方法是由日本数学家a h i r o t a 提出一种求解非线性发 展方程直接方法此方法的基本思想是：对给定的非线性发展方程，首先通过引入位 势的适当变换，将孤子方程化为双线性导数方程，然后将扰动展开式代入到双线性导 数方程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限项从而可得到原非线性发展方程 的单孤子解，双孤子解以及多孤子解双线性变换方法的优点是并不需要所研究的非 线性偏微分方程具有l a x 对，即可用于许多不可积方程的研究但是，究竟什么样的非 线性偏微分方程可以写成双线性导数方程? 一个非线性偏微分方程与相应的双线性导 数方程之间是否( 局部) 等价? 这些问题长期以来并没有得到解决 本文以s a w a d a - k o t e r a 方程为例，说明从该方程的任意一个解，可以得到相应的双 线性化s a w a d a k o t e r a 方程的解，并由此证明s a w a d a k o t e r a 方程与双线性化s a w a d a k o t e r a 方程之间局部等价从s a w a d a k o t e r a 方程的解到双线性化s a w a d a k o t e r a 方程 的解之间的变换由一个二阶常微分方程来定义，其初始条件满足适当的限制条件这 5 一 扬州人学硕卜学位论文 一变换不同于经典的由两个相容的一阶常微分方程定义的b ；i c k l u n d 变换，但仍然把非 线性偏微分方程的求解转化为常微分方程的求解，因此可理解为是一种新的b i c k l u n d 变换 6 一 蒋盈峰双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程研究 1 双线性导数的定义与性质 定义1 设f ，g 是变量t ，x 的可微函数，m ，n 是非负整数，定义双线性导数 d ，”q ”( 厂g ) = ( 或一a f ，) ”0 x - - a r 尸 厂( x ，t ) g ( t 7 ，一) f f ，啪， 由定义可得到双线性导数的简单性质： 性质1 皿”( 厂1 ) = o m f a c 小， 彤( 厂g ) = ( 一1 ) ”霹( f g ) ， 见2 “1 ( 厂) = 0 ， 皿口( 厂1 ) = 口q ( 1 f ) = a 2 s 叙a t ， 皿2 肿1 ( z g ) = 或2 肼1d f ( 厂g ) 性质2 e x p ( e d ，) f ( x ) g ( x ) 】= f ( x + e ) g ( x - s ) 证： e x p ( e d 。) 厂( x ) g ( x ) 】 2 套丢( 去一爿m 心k 。z 2 薹丢扣广5 。e 瓦o s f 挈 一( 一1 ) ”。s ”a 厂o - s g 各厶一s = oj1 0 一s ) 18 x 5 缸”3 ：竺型鱼堂堂 智s ! 叙5 鲁玎! 氟” = f ( x + e ) g ( x - e ) 注1 ： ( 1 ) 若( z ) = e x p ( p 。x ) ，g ( x ) = e x p ( p 2 x ) ，则在上述公式中比较s 所的系数得 d ， e x p ( p l x ) e x p ( p 2 x ) 】= ( p l 一仍) ”e x p ( p l + 仍) x 7 i ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 扬州大学硕上学位论文 8 ( 2 ) 设f ( q ，d f ) 是见和d f 的多项式函数，则 f ( 皿，口) e x p ( f 2 i f + p l x ) e x p ( f 2 2 ，+ p 2 x ) ：丛l 旦止型f ( 口，d 。) f ( q l + q 2 ，p l + p 2 ) 、”“ 2 e x p ( f 2 l + q 2 v + ( p l + p 2 ) x ) 】( 1 9 ) 性质3 e x p ( 占职+ 万口) ( 厂g ) = e x p s i n h ( a 3 & + 6 0 o t ) i n ( f g ) + c o s h ( t x 3 o x + 6 0 o t ) l n ( f g ) ( 1 1 0 ) 证明：设f = f ( x ，f ) ，g = g ( x ，f ) 由性质2 知 e x p ( e d ，+ 万d f ) ( 厂g ) = 厂( z + 占，t + 8 ) g ( x s ，f 一6 ) ( 1 1 1 ) 式( 1 11 ) 的右边可进一步化简为 e x p 圭1 n f ( x + 6 ，f + 万) g ( x + 占，+ 6 ) 】- 吉1 n f ( x - r ，t - 8 ) g ( x - 8 ，t - 8 ) 】 + 圭1 1 1 厂( x + s ，t + 6 ) g ( x + s ，+ 艿) + 号1 n 【厂( x s ，t - 6 ) g ( x 一占，t - 8 ) 1 ) = e x p l n f ( x + 占，+ 万) g ( x + s ，f + 艿) = f ( x + s ，f + 8 ) g ( x 一占，t - 8 ) ( 1 1 2 ) 由( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) r i 得( 1 1 0 ) 注2 ： ( 1 ) 令矽= i n ( f g ) ，p = i n ( f g ) 在式( 1 1 0 ) 中，令8 = 0 ，两边展成s 的级数并比较1 5 各次幂 的系数得 皿( 厂g ) l 店= 败，( 1 1 3 ) 【皿2 ( 厂g ) l 唐= 氏+ ( 织) 2 ， ( 1 1 4 ) 【p ，3 ( 厂g ) 】詹= 织。+ 3 纯p 0 + ( 织) 3 ， ( 1 1 5 ) 【乜d r ( 厂g ) 】詹= 几+ 丸 ( 1 1 6 ) ( 2 ) 在公式( 1 1 0 ) 中令8 = 0 得到 e x p ( s 皿) ( 厂g ) = e x p 2 c o s h ( 国& ) i n g ) e x p ( 蜀o 苏) ( 厂g ) 】， e x p e x p ( e 0 & ) l n ( f g ) = e x p l n f ( x + 6 ) g ( x + 占) 】) = f ( x + e ) g ( x + 占) = e x p ( e v 3 o x ) ( f g )( 1 1 7 ) 性质4 设f = g ，则 蒋盈峰双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程研究 c o s h ( 占皿) ( 厂f ) = e x p 2c o s h ( 反3 0 x ) i nf 】 注3 ：令u = 2 ( 1 n f ) 取，= o u o x ”= 0 , 1 ，2 ，) ，在( 1 1 8 ) 中比较s 各次幂的系数得 【皿2 ( 厂f ) f 2 = u ， q 4 ( 厂f ) l f 2 = u 2 ，+ 3 u 2 ， 【硝( 厂f ) l f 2 = u 4 ，+ 1 5 u u 2 ，+ 1 5 u 3 性质5 e x p ( d 1 ) e x p ( d 2 ) ( 厂g ) 】 e x p ( d 3 ) ( 办，) 】 = e x p 专( d 2 一b ) e x p 【上( d 2 + d 3 ) + d l 】( 厂，) ) e x p ( d 2 + d 3 ) 一d l 】( g 办) ， 其中q = 巳q + 8 j d t ( j = 1 ，2 ，3 ) ，而，t 为任意常数 证： e x p ( d 1 ) 厂o + 岛，t + 8 2 ) g ( x 一岛，f 一疋) h ( x + s 3 ，t + 8 3 ) r ( x 一毛，t - 4 ) 】 ：f ( x + o p l + 岛，f + 4 + 8 2 ) g ( x + c l 一岛，t + 6 一岛) x h ( x 一毛+ 岛，f 一磊+ 疋) ， 一e l 一岛，f 一4 一嗔) 而 e x p 圭( d 2 3 3 ) 【厂( x + q + ( 乞+ s 3 ) 2 ，t + 4 + ( 疋+ 4 ) 2 ) x r ( x q 一( 乞+ 岛) 2 ，f 一点一( 疋+ 6 3 ) 2 ) 】 【厅( x e l + ( 乞+ 6 3 ) 2 ，t 一点+ ( 乏+ 6 3 ) 2 ) x g ( x + q 一( 岛+ 岛) 2 ，f + 4 一( 岛+ 磊) 2 ) 】 = 厂( x + 毛+ 6 2 ，r + 磊+ 4 ) r ( x 一蜀一e 3 ，f 一点一岛) x h ( x 一毛+ s 3 ，f 一点+ 岛) g ( x + q c 2t + 6 一乏) 注：适当选择0 ，乞可得到下列公式： 见( 厂g ) h r 一店 或( j l z ，) = 皿( 厂h ) g r 一乃 见( g ，) 】= 皿( 夕劝) ， q 【q ( g ) h r + 店 d f ( h ，) = ( d f q ( 厂，) 曲一夕 口皿( g 办) 】+ 【皿( 厂，) 【口( g 办) _ 口( ，) 【q ( g 厅) ， 见2 ( 厂g ) h r 一唐 皿2 ( 办，) = d x q ( 厂r ) h g + m d ，( 乃g ) 】， b 3 ( 厂g ) h r f g 皿3 ( 办，) 】 9 一 ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 扬州大学硕j ：学位论文 = q 3 户h g + k q q 2 ( 厂，) 蛔】+ 2 【破( 厂，) q ( 矗g ) + f r q 2 ( j 1 2 g ) 】， ( 1 2 6 ) 皿4 ( 厂f ) h h f f 【见4 ( 向j i z ) 】 = 2 皿【皿3 ( 厂h ) h f + 6 d ， q 2 ( 厂办) 【q ( 乃厂) 】 - 2 d , 3 【皿( 厂办) 矽】( 1 2 7 ) 蒋盈峰双线性化s a w a d a k o t e r a 方程研究 2 双线性化s a w a d a - k o t e ra 方程 本节考虑如下s a w a d a k o t e r a 方程 u t + 4 5 u2 , j + 1 5 u j u h + 1 5 甜“m + “= 0 ， ( 2 1 ) 通过有理变换找到将方程( 2 1 ) 转化为其双线性形式所施行的变换，进而导出该方程的双线 性形式，并由此得到该方程的单孤子解与双孤子解 令u = e ，则方程( 2 1 ) 成为 圪- i - 4 5 p x 2 匕+ 1 5 匕匕+ 1 5 p x + 匕一= 0 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 式对x 积分一次，并取积分常数为0 ，得到 + 1 5 覃+ 1 5 p x p = + 巴。= 0 ( 2 3 ) 令p = 罴测有 = ( 舟 = ( 黔 ，2 比= ( 导) 掰= f 2 口( g 尸) f 2 q ( g f ) f 2 p ；( g f ) 一3 里刍等旦见( g f ) f 2 p：f ，里：! ：e ! 堡! g ：1 2 垡! 竺：! ! ：! q 垡! 堡：生2 垡! ! ：! 塑 一if 九 f 6 t ) 。麟 1 将( 2 4 ) - ( 2 7 ) 代入( 2 3 ) 得 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) + 型4 翌5 笪塑雩譬型趔， ( 2 7 ) b - o 、7 专 口( g + q ( g + 专 1 5 q ( g - f ) d 2 ( g f ) 一5 b a g f ) 联( f ，) 一1 0 d 3 ( g f ) 谚( f f ) ) + f 1 1 5 皿( g f ) 】3 4 5 皿( g ，) 】2 谚( f f ) + 3 0 d x ( g f ) 【谚( f f ) 2 ) = o ， ( 2 8 ) 经过整理可得 扬州大学硕十学位论文 1 2 嘉 口( g f ) + 露( g f ) ) + 专 5 皿( g f ) 【e ( g f ) 一磁( g ，) 】 一5 p 。( g f ) 硝( f f ) + 1 0 d 2 ( g f ) d x ( g f ) 研( f f ) ) + i 1 5 。d ，( g f ) 【皿( g f ) 一谚( f f ) 皿( g f ) 一2 d ；( f f ) 】) = 0 ， ( 2 9 ) 要使( 2 9 ) 成立则必有 口( g f ) + p 。5 ( g f ) = 0 ， ( 2 1 0 a ) 见3 ( g f ) 一q 4 ( f f ) = 0 ， ( 2 1 0 b ) p 。( g f ) 一破2 ( f f ) = 0 ， ( 2 1 0 c ) 由( 2 1 0 c ) 9 n q ( g f ) = 皿2 ( f f ) = 2 f 2 ( 1 n f ) 搿，( 2 1 1 ) 此即 半= ( 黔2 c m 仇， 仁 由此解得g = 2 c ，( 2 1 3 ) 此即为将s a w a d a - k o t e r a 方程转化其双线性形式所要施行的变换将( 2 1 3 ) 代入( 2 1 0 b ) 有 谚( g f ) = q 2 ( 2 c f ) = 2 或( c f ) = 硝( f f ) ， ( 2 1 4 ) 故( 2 10 b ) 恒成立，将( 2 13 ) 代入( 2 10 c ) 有 d ，( g f ) = d f ( 2 e f ) = 2d r ( e f ) = d f b ( f f ) ， ( 2 1 5 ) 成( g f ) = 腰( 2 e f ) = 2 硝( c f ) = 磁( f f ) ，( 2 1 6 ) 因此有，d f ( g f ) + 或( g f ) = ( d ，q + 硝) ( f f ) = 0 ， ( 2 1 7 ) ( 2 1 7 ) 又可以写成 q ( 口+ 或) ( f f ) = 0 ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 8 ) i i l 为所求s a w a d a k o t e r a 方程( 2 1 ) 的双线性形式 综合上述分析我们可得下面的结论： 定理1 若f ( x ，f ) 是双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程( 2 18 ) 的解，则u ( x ，f ) = 2 ( 1 nf ) 。必为 s a w a d a - k o t e r a 方程( 2 1 ) 的解 下面利用( 2 18 ) 求解s a w a d a - k o t e r a 方程的孤子解 蒋盈峰双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程研究 设f ( x ，t ) 可按参数g 展开成级数 1 3 f = l + e f + s 2 六+ s 3 石+ + 占7 乃+ ， ( 2 1 9 ) 将此展开式代入( 2 1 8 ) ，并比较g 的同次幂有 9 1 ：( 口q + q 6 ) ( 彳1 + 1 彳) = 0 ， ( 2 2 0 a ) 占2 ：( 口乜+ 域6 ) ( 五1 + 1 石) = 一( d f q + 皿6 ) ( z 彳) ， ( 2 2 0 b ) s 3 ：( 口b + q 6 ) ( 石1 + 1 六) = 一( 口q + q 6 ) ( 2 彳- 五) ， ( 2 2 0 c ) 由( 2 2 0 a ) 知石有如下线性指数函数形式的解 石= e x p ( b x i ) ，磊= k l x + w , t ，w l = - k ? ， ( 2 2 1 ) 将石代入( 2 2 0 b ) ， ( 口皿+ 磷) ( 石1 ) = 0 ， ( 2 2 2 ) 若取石= 0 ，根据( 2 2 0 c ) 可得六= 0 继续这样的推理可知石= 以= = 0 ，故级数( 2 1 9 ) 被 截断成有限形式当s = 1 时有 f = l + e x p ( k l x - l q s t ) ， ( 2 2 3 ) 从而得到s a w a d a - k o t e r a 方程的单孤子解 脚( 1 n f 驴等s e c h 2 丢( 铲聊( 2 2 4 ) 由于( 2 2 0 a ) 是线性微分方程，因此它也应有迭加形式的解 彳= e x p ( ( 1 ) + e x p ( g ) ，白= 勺x + 心，一= 一劈( 歹= l ，2 ) ， 代入( 2 2 0 b ) 可得 ( d ，p ，+ p ? ) ( 五1 ) = 一 ( 毛一也) ( 川一w 2 ) + ( q 一心) 6 e x p ( 善l + 岛) ， 石= 4 2 e x p ( g ：1 + 彘) ， 其中4 z = 而( k 1 _ 砑k 2 ) ( 雨w l _ 可w 2 ) + 丽( k 1 _ k 2 ) 5 这样得到 f = 1 + e x p ( 孝1 ) + e x p ( 善2 ) + a 1 2e x p ( 善l + 岛) ， 从而得到2 孤子解为 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 扬州人学硕l 学位论文 1 4 u = 2 ( 1 nf ) 。= 2 1 n ( 1 + e x p ( 点) + e x p ( 磊) + 4 2e x p ( 石+ 受) ) 。( 2 2 9 ) 重复上述过程可以得到一孤子解，这里就不再推导 蒋盈峰 双线性化s a w a d a k o t e r a 方程研究 3 s a w a d a k o t e r a 方程和双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程 之间的局部等价性 双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程但18 ) 可以写成如下形式 ，e e c + ，+ 1 5 l j 二- 1 0 f 。2 6 c ，二。= 0 ( 3 1 ) 根据上一节的讨论我们知道，对于双线性化s a w a d a k o t e r a 方程( 3 1 ) 的任意一个解 f ( x ，) ，由u ( x ，f ) = 2 ( 1 n f ) 。可以得到s a w a d a - k o t e r a 方程( 2 1 ) 的解本节讨论反过来的问题， 即给定s a w a d a - k o t e r a 方程( 2 1 ) 的解u ( x ，) ，如何确定双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程( 3 1 ) 的 解f ( x ，f ) ? 并由此讨论s a w a d a - k o t e r a 方程( 2 1 ) 和双线性化s a w a d a k o t e r a 方程( 3 1 ) 之间的 局部等价性 设u ( x ，) 是s a w a d a k o t e r a 方程( 2 1 ) 的解由u = 只得到 p ( x ，f ) = l “( x ，t ) d x + c ( t )( 3 2 ) 一定是( 2 3 ) 的解，其中c ( f ) 为“积分常数”由于 e = ”，足= 略，如= ，= ，= “一，= p ，出+ c t ( f ) ， ( 3 3 ) 将( 3 3 ) 代入( 2 3 ) 得到函数c ( f ) 必须满足下面的条件： c 7 0 ) = 一1 5 u 3 1 5 u u 。一u x r a x l ，d x ( 3 4 ) 同时，若p ( x ，f ) 是( 2 3 ) 的解，则 f ( x ，f ) ：，( 胁。出( 3 5 ) 一定是双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程( 3 1 ) 的解，其中，( ，) 是任意的光滑函数 由此我们得到下面的结论 定理2 若u ( x ，f ) 是s a w a d a k o t e r a 方程( 2 1 ) 的解，则 f ( x ，f ) ：，( ，) p 堋枷) “( f ) 净( 3 6 ) 一定是双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程( 3 1 ) 的解，其中r ( t ) 是任意的光滑函数，而函数c ( f ) 满 足( 3 4 ) 扬州人学硕上学位论文 下面我们给出几个例子 例1 对于s a w a d a - k o t e r a 方程( 2 1 ) 的零解u ( x ，t ) 暑0 ，由( 3 4 ) 得到 c o ) 兰2 a ， 其中口是任意常数由( 3 6 ) ，对于任意的光滑函数，( f ) ， f ( x ，t ) = r ( t ) e “ 是双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程( 3 1 ) 的解 例2 对于s a w a d a k o t e r a 方程( 2 1 ) 的平凡解u ( x ，f ) 三1 ，由( 3 4 ) 得到 c o ) = 一1 5 t 由( 3 6 ) ，对于任意的光滑函数，( f ) ， f ( x ，f ) ：，( f ) p 季一毕 是双线性化s a w a d a k o t e r a 方程( 3 1 ) 的解 由定理1 和定理2 立即得到下面的结论 定理3 s a w a d a - k o t e r a 方程( 2 1 ) 和双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程( 3 1 ) 之间局部等价 1 6 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 蒋盈峰双线性化s a w a d a - k o t e r a 方程研究 4 一种新的b i c klu n d 变换 1 7 b i c k l u n d 变换是用瑞典几何学家a l b e r tv i c t o rb i i c k l u n d 的名字命名的，他在研究负常 高斯曲率曲面时发现s i n e g o r d o n 方程 u 埘= s i n u ( 4 1 ) 具有如下性质：若u 是( 4 1 ) 的一个解，则下列关于v 的系统 卜心n 半2 ， 【v u t + 万8 1 n 丁 可积( 其中九是任意的非零常数) ，即= 屹，并且v 也满足( 4 1 ) 这样，可积系统( 4 2 ) 给出了s i n e g o r d o n 方程解之间的一个变换uhy ，该变换称为b i c k l u n d 变换利用这一 变换，从s i n e g o r d o n 方程的一个解u ，通过求解可积系统( 4 2 ) ，就可以得到该方程的另 一解1 ，例如，利用s i n e - g o r d o n 方程的平凡解u ( x ，n 亳0 就可以得到该方程的单孤子解 1 ，( x ，) ：4 a r c t a n e x p ( a 一2 x - _ t ) ， ( 4 3 ) 其中口是常数重复上述步骤就可以得到s i n e g o r d o n 方程的多孤子解 许多非线性偏微分方程，例如k d v 方程 u f = 6 u u ，+ 甜脚 ( 4 4 ) 和m k d v 方程 u f = 3 u 2 + ( 4 5 ) 都具有b a c k l u n d 变换现在b f i c k l u n d 变换已经成为求解非线性偏微分方程的一种有力工 具 某些不同的偏微分方程之间也存在b ；i c k l u n d 变换例如，若u 是m k d v 方程( 4 5 ) 的 一个解，则下列关于1 ，的系统 驴锄1 ”扰23 ( 4 6 ) 【一= s i nv + u + 号u 2s i n v + 吉u 3 4 - uj c o s v + u “ 一7 可积，并且v 满足 h = 吾心s i n v + 吉v x 3 + 匕。 ( 4 7 ) 这样，可积系统( 4 6 ) 给出了m k d v 方程( 4 5 ) 和方程( 4 7 ) 的解之间的一个变换uh ， 扬州人学硕上学位论文 1 8 本节用另外一种观