（基础数学专业论文）有限群的结构与它的子群的性质.pdf

致谢 本文是在合作导师李方教授、我国群论界前辈李慧陵教授及我的博士生导师王燕 鸣教授的悉心指导和热情鼓励下完成的在此我首先向他们表示衷一b 的感谢! 两年 来，他们的关心，帮助和鼓励使我在代数的学习上不断取得进步并克服了生活中的 困难他们治学严谨，学识渊博，待人宽厚，具有令人敬佩的品格，是我为人、为 师的榜样 感谢苏卅i 大学的黎先华教授，他的无私的帮助和慷慨的指导使我受益非浅，工作 前进极大 感谢我的老同学北京航空航天大学的袁运能教授，他一如既往地为我从北京复印 了大量急需的文献 感谢美国c o l b yc o l l e g e 的t r b e r g e r 教授、德国u n i v e r s i t yo fk i e l 的b s t e l l r e a c h e r 教授、埃及c a i r ou n i v e r s i t y 的a a h e l i e l 博士、西班牙u n i v e r s i d a dp z l b l i c a d en a v a r r a 的l m e z q u e r r o 教授、匈牙利u n i v e r s i t yo fl o r a n de s t v s s 的p c s s r 9 5 教授和相关杂志众多有名的编委和匿名的审稿人，我的工作离不开他们的帮助 感谢我的中山大学的师弟，师妹们：韦华全、刘晓蕾、王丽芳与张霞等，他们在 讨论班上的精彩报告给了我不少灵感 感谢浙江大学数学系资料室的各位老师，她们不厌其烦地帮助我查印资料；感谢 数学系办公室的董胜鹤老师、韩冬老师，两年来他们一直关心和帮助着我同时还 要感谢浙江大学数学系为我提供了非常好的学习与研究环境，数学系浓厚的学术氛 围和严谨的学风，给我留下了美好的印象 当然要感谢广东教育学院刘劲予院长，李龙图副院长等院领导们和数学系领导、 同事们这些年来对我的关心、鼓励与帮助 最后，季晕特别感谢我的妻子艾颖、女儿李蔼瑜感谢她们这些年来对我始终如 一的理解与支持， 谨以此文献给所有关心、支持和帮助过我的朋友们 李样明 2 0 0 5 年5 月于浙江大学玉泉校区 道 中文摘要 本文中所有的群均指有限群，g 总是代表一个有限群，由g a l o i s 理论，我们知 定理1 0 1设为一个域，为k 上次数为n 的一个多项式，且c h a r k 不 整除n ! ，则方程f ( x ) = 0 根式可解当且仅当，的g a l o i s 群为一个可解群 故在有限群理论中，判断一个群是否为可解群总是一个有趣的问题给出可解群 ( 超可解、幂零群、p 幂零群， ) 的特征一直是一个活跃的课题 通过给定g 的子群一些条件来刻化群g 的结构是一个有趣的方法。请看下列著 名的定理； 定理1 0 2 ( t h o m p s o n 定理， 3 1 ) 若有限群g 有一个奇阶的幂零的极大子群 则g 是可解的 定理1 0 3 ( h u p p e r t 定理，【1 ) 假设g 的每个极大子群在g 中的指数都是素数， 则g 是超可解 定理1 0 4 ( h a l l 定理， 4 ) 群g 的每个子群可补当且仅当g 是一个g - + s y l o w 予 群均为初等交换的超可解群 顺此方向做工作，自然就有两个问题 1 考虑g 的怎样的子群? 2 加什么条件? 对第一个问题，通常人们考虑极大子群、极小子群( 即素数阶子群) 、4 阶循环 子群( 对偶阶群而言) 、s y l o w - 子群、f i t t i n g 子群、可解子群，。；对第二个问 题，开始时人们假设子群在g 的中心内或为g 的正规子群下列是一些有趣的经 典结果 定理1 0 5 ( i t 6 定理， 1 ) 设g 为奇阶群，若g 的每个极小子群在z ( g ) 中 则g 为幂零的 定理1 0 6 ( b u c k l e y 定理，【5 1 )设g 为奇阶群，若g 的每个极小子群在g 中正 规，则g 为超可解的 定理1 0 7 ( s r i n i v a s a n 定理， 6 】) 若g 的s y l o w 一子群的每个极大子群在g 中正规 ( 拟正规) ，则g 为超可解的 许多作者开始这方面的工作，将上述结果大大推广了，给出了许多p _ 幂零群、 幂零群、超可解群的特征本文继续这方面的工作，事实上，我们的结果更宽泛， 可用f o r m a t i o n 的理论来叙述 第l 章我们介绍了问题的背景，基本概念，总结了本文的结果 第2 章称2 为g 的s y l o w 一子群的完全集，如果对v p ”( g ) ，z 含有且仅含有 g 的一个s y l o w p - 子群，记为g p 称g 的子群日为g 的2 一可置换子群，若日与 z 中每个元可置换z 一可置换子群是”拟正规子群的推广在本章中我们获得下 列结果： 定理2 2 1 设z 为g 的一个s y l o w - 子群的完全集，p = m i n 7 r ( c ) 若g 。z 的每个极大子群都是g 的z 一置换子群，则g 为p 幂零的 定理2 2 3 设z 为g 的一个s y l o w - 子群的完全集，p 无关，岛z 的每个2 次极大子群都是g 的z 一置换子群 m i n = ( g ) 若g 与a 4 则g 为p 幂零的 定理2 3 1 3设，为包含的饱和区，其中为幂零群类，z 为g 的一个 s y l o w - 子群完全集设f + ( g y ) ng 2 的每个4 阶循环子群均为z 一置换子群，则 g 厂可当且仅当f + ( g 伊) ng p 中每个素数阶子群在z ，( g ) 中，其中f 4 ( g ，) 为g ， 的广义f i t t i n g - 子群 定理2 ，4 4 设芦为包含超可解群系的饱和区，z 为g 的一个s y l o w - 子群完全 集，则下列等阶： ( i ) g ，； ( i i ) 存在g 的正规子群日使得c h ，q n f + ( 日) 的每个素数阶或4 阶循环 子群均为g 的二置换子群，v p 7 r ( g ) 定矍2 4 ：9 设，为包含超可解群系的饱和区，z 为g 的一个s y l o w - 子群完全 集，则下列等阶： ( i ) g ，； ( i i ) 存在g 的正规子群日使得g h ，g p n f + ( 日) 的每个极大子群均为g 的 2 一置换子群，坳 r ( g ) 第3 章称子群日为g 的c _ 可补子群，若存在子群，使得g = h k 且h n k h a ，其中h c 为日在g 中的核在本章中，我们证明了： 定理3 2 ，4设g 群，素数p 满足( 1 a l ，p 一1 ) = 1 ，g 与a 4 无关若存在正规子 群使得g n 为p 幂零的，且的s y l o w p - 子群的每一个p 2 阶子群在g 中均为 c _ 可补的，则g 为p 幂零的 第4 章，称子群为g 的n 拟正规可嵌入子群若日的s y l o w 子群均为g 的某 个”一拟正规子群的s y l o w 子群。在本章中我们利用此概念获得： 定理4 2 2 设p 7 r ( g ) ，p 为g 的一个s y l o wp 子群如若n g ( p ) 是p 幂零的 而且p 的每个极大子群均为g 的”一拟正规可嵌入子群，则g 为p _ 幂零的 定理4 2 3设p = m i n t r ( c ) ，p 为g 的一个s y l o w p 子群p 的每个2 次极大 子群均为g 的丌一拟正规可嵌入子群，则g 为p - 幂零的 定理4 3 1 设g 群，素数p 满足( i v l ，p 一1 ) = 1 若存在正规子群使得g n 垄p - 幂零的，且n 的每一个素数阶子群及4 阶均为g 的丌一拟正规可嵌入子群， 则g 为p 幂零的 定理3 2 ，4 设g 群，素数p 满足( i c l ，p 一1 ) = 1 ，g 与a 4 无关若存在正规子 群使得g n 为p - 幂零的，且的s y l o wp - 子群的每一个p 2 阶子群均为g 的 ”- 拟正规可嵌入子群，则g 为p 幂零的 第5 章称h 为g 的i 子群如果g 的每个次正规子群均为正规的称日为g 的n e - 子群如果n g ( h ) n h g = h ，其中h g 表示h 在g 中的正规闭包本章有三 个目的，第一，给出可解丁_ 群的两个新特征： 定理5 2 1下列等价： ( 1 ) g 为可解丁- 群； ( 2 ) g 的每个子群均为b 子群； ( 3 ) g 的每个p 子群为e 子群，切7 r ( g ) 第二是假设g 的部分子群为丁一子群来刻化超可解群、幂零性群；第三是给出 所有2 次极大子群均为p b 群的单群的分类( 每个极小子群为n e - 子群的群称为 ， 2 a b s t r a c t a l lg r o u p sc o n s i d e r e di nt h i sr e p o r ta r ef i n i t e t h r o u g h o u tt h i sr e p o r t g s t a n d sf o raf i n i t eg r o u p i nt h i sr e p o r tw ec o n s i d e rt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u pgi n f l u e n c e db yt h e p r o p e r t i e so fs o m eo fi t ss u b g r o u p s w eg e tm a n ys u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e p - n i l p o t e n tg r o u p s ，n i l p o t e n tg r o u p sa n ds u p e r s o l v a b l eg r o u p ，e t c i n d e e df o ra b o a r d e rb a c k g r o u n d ，w es t a t eo u rr e s u l t si nt h el a n g u a g eo ff o r m a t i o nt h e o r ya l l o ft h er e s u l t sa r et h eg e n e r a l i z a t i o n so fs o m er e c e n tt h e o r e m s t h ew h o l er e p o r t ，d i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s ，c o n s i s t so ff o u rp a r t s ，w es t a t ei t i nd e t a j l c h a p t e r1 t h eb a c k g r o u n d so fp r o b l e m sa n db a s i cc o n c e p t sa r ei n t r o d u c e d i nt h i sc h a p t e rf u r t h e r m o r ew es u m m a r i z et h em a i nt h e o r e m so ft h i sr e p o r t c h a p t e r23i sc a l l e dac o m p l e t es e to fs y l o ws u b g r o u p so fgi ff o re a c h p r i m ep 7 r ( g ) ( t h es e to fd i s t i n c tp r i m e sd i v i d i n gf g f ) ，3c o n t a i n se x a c t l yo n e s y l o wp - s u b g r o u po fg ，s a y ，g p as u b g r o u po fgi ss a i dt ob e3 - p e r m u t a b l ei ng i f i tp e r m u t e sw i t he v e r ym e m b e ro f3 i nt h i sc h a p t e rw eg e t t h e o r e m2 2 1 l e t3b eac o m p l e t es e to f s y l o ws u b g r o u p so fag r o u pg a n dpt h es m a l l e s tp r i m ed i v i d i n gi a l ft h em a x i m a ls u b g r o u p so fg 口3a r e 3 - p e r m u t a b l es u b g r o u p so fg ，t h e ngi sp - n i j p o t e n t t h e o r e m2 2 3 l e t3b eac o m p l e t es e to f s y l o ws u b g r o u p so fag r o u pg a n dpt h es m a l l e s tp r i m ed i v i d i n gi a l i f gj sa 4 - f r e ea n dt h e2 - m a x i m a ls u b g r o u p s o f g pa r e3 - p e r m u t a b l es u b g r o u p so f g t h e ngi s p _ n i l p o t e n t 3 t h e o r e m2 3 1 3 l e t ，b eas a t u r a t e df o r m a t i o ns u c ht h a t ，w h e r e a 厂j s 拙ec j 掷so fa j jn i l p o t e n tg r o u p s l e tgb eag r o u pa n dz ac o m p l e t es e to f z y l 。ws u b g r o u p s o f g s u p p o s ev e r ye l e m e n to f p a ( f + ( g ，) r i g 2 ) i s z p e r m u t a b j e i ng w h e r eg 2 z t h e ngb e l o n g st o ，i f a n do n l yi f l l e si n t h e ，+ h y p e r c e n t e r 勿( g ) o f g f o re v e r ye l e m e n t z p ( f + ( g ，) n a p ) ，f o re v e r y g p z t h e o r e m2 4 4l e t 孑b eas a t u r a t e df o r m a t i o nc o n t a i n i n gt h ec l a s so fs u p e r s d f 口。b l eg r o u p s 酣a n d3 。c o m p l e t es e to fs y l o ws u b g r o u p so fag r o u pg e q u i v a l e n t a r e ? ( i ) g 吾 ( i i ) t h e r ei sa ? 1 _ o r m a ls u b g r o u p 日 g r o u p s o f gs u c ht h a tg h sa n dt h ec y c l i cs u b g 。nf + ( 日) o fp r i m eo r d e ro r o r d e r4 阿p = 2 ja r e3 - p e r m u t a b l e ，o ra l lg 。3 ，t g h e r ef + ( 日) i s 砘eg e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u po fh o | 伽g t h e o r e m2 4 9l e t ，b eas a t u r a t e d ，d r m a t i o nc o n t a i n i n gt h e c l a s sb io f s u p e r s o l v a b l eg r o u p sa n dl e t3 b eoc o m p l e t es e fo fs y l o ws u b g r o u p so f 。g r o u pg t h e nt h e | o l l o w i n gt w os t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) g ，； ( i i lt h e r ei son o r m a ls b g r o u p 甘i ngs u c ht h a tg h ，a n dt h em a x i m a l s u b g r o u p so lg pnf + ( 日) a r e3 - p e r m u t a b l es u b g r o u p so fg ， o ra l lg v 3 jw h e r e f ( 日) i st h eg e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r a u p 吖h c h a p t e r3 a s u b g r o u ph o fgi sc a l l e dc - s u p p l e m e n t e di ngi ft h e r ee x i s t s as u b g r o u p ko f gs u c h t h a t h k = ga n d h n k h a ，w h e r e h a i s t h ec o r eo f hi ng i nt h i sc h a p t e rw ep r o v e t h e o r e m3 2 4 l e tgb eag r o u pa n dpap r i m ed i v i d i n gt h eo r d e ro fg s u p p o s et h a t ( 1 a l ，p 一1 ) = 1a n dg i sa 4 一f r e e f f t h e r ee x i s t san o r m a ls u b g r o u pn 4 o fgs n c bt h a tm l j vi sp n i l p o t e n ta n de v e r ys u b g r o u po fo r d e rp 2o fe v e r ys y l o w p - s u b g r o u po fn i sc s u p p l e m e n t e di ng ，t h e ngi sp - n i l p o t e n t c h a p t e r4 as u b g r o u ph o fag r o u pg i ss a i dt ob e7 r q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e di ngi ff o re a c hp r i m epd i v i d i n gt h eo r d e ro fh ，as y l o wp - s u b g r o u po fh i s a l s oas y l o wp - s u b g r o u po fs o m e7 r - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p so fg i nt h i sc h a p t e r ， w e h a v e t h e o r e m4 2 2 l e tpb ea np r i m ed i v i d i n gl ；h eo r d e ro fag r o u pga n dp as y l o w ps u b g r o u po fgi fn g ( p ) i sp n i l p o t e n ta n de v e r ym a x i m a ls u b g r o u po f pi s7 r q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e di ng ，t h e ngi sp n i l p o t e n t t h e o r e m4 2 3l e tpb et h es m a l l e s tp r i m en u m b e rd i v i d i n gt h eo r d e ro f ag r o u pga n dpas y l o wp s u b g r o u po fg 玎e v e r y2 - m a x i m a ls u b g r o u po fpi s ”q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e di nga n dg i sa 4 一f r e e ，t h e ngi sp n i j p o t e n t t h e o r e m4 3 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p pap r i m en u m b e rd i v i d i n gt h e o r d e ro f gs u c ht h a t ( 1 g l ，p 1 ) = 1 f t h e r ee x i s t san o r m a ls u b g r o u pno f g s u c ht h a tg n 曲p - n i l ) o t e n ta n de v e r ys u b g r o u po fp r i m ea n do r d e r4rw h e n p = 2 ) o fg i s7 r q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e di ng ，t h e ngi sp - n l i p o t e n t t h e o r e m4 3 4 l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，pap r i m en u m b e rd i v i d i n gt h e o r d e ro fg ，s u p p o s e ( i c l ，p 一1 ) = 1a n dgi sa 4 一f r e e i ft h e r ee x i s t san o r m a l s u b g r o u pn o fgs u c ht h a tg ni sp - n i l p o t e n ta n de v e r ys u b g r o u po f o r d e rp 2 o fe v e r ys y l o wp s u b g r o u po fni s - q u a s i n o r m m l ye m b e d d e di ng t h e ngi s p - n i j d o t e n t c h a p t e r5 ag r o u pgi sc a l l e dat - g r o u pi fe v e r ys u b n o r m a ls u b g r o u po fg i s n o r m a l i n g t m s g 7 - i fa n do n l y i f h 璺k 鐾ga l w a y s i m p l i e s t h a t h 璺g as u b g r o u pho fgi sc a l l e da an e - s u b g r o u po fgi fn g ( h 1nh g = h ，w h e r e h gd e n o t e st h en o r m a lc l o s l l r eo fhi ng t h ea i mo ft h i sc h a p t e ri st h r e e f o l d 。 f i r s t lw eg i v et w on e wc h a r a c t e r i z a t i o n so ff i n i t es o l v a b l et - g r o u p s ： t h e o r e m5 2 it h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa t ee q u i v a l e n t ： 口jg i sas o l v a b l et - g r o u p ； ( 2 ) e v e r ys u b g r o u po fg i sa nn e - s u b g r o u po fg ； f 3 ) f o ra j lp r i m e sp 7 r ( g ) ，e v e r yp - s u b g r o u po f gi sa nn e 。s u b g r o u po f g 5 t h es e c o n da i mi st op r e s e n ts o i n ef l e wc o n d i t i o n sf o rs u p e r s o l v a b h t ya n d a i l p o t e n c y , w h i c hi n v o l v et h er e q u i r e m e n tt h a tc e r t a i ns u b g r o u p so fgp o s s e s st h e n e - p r o p e r t y o u rf i n a la i mi st oi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fg w i t ht h ep r o p e r t y 血砒棚t h ec y c l i cs u b g r o u p so fp r i m eo r d e ro ro r d e r4o fi t ss e c o n dm a x i m a l m b g r o u p ss a t i s f yt h en e - p r o p e r t y c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a l lg r o u p sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e ra l - ef i n i t e w eu s ec o n v e n t i o n a ln o t i o n sa n d n o t a t i o n ，a si nh u p p e r t 【1 t h r o u g h o u tt h i sr e p o r t ，gs t a n d sf o raf i n i t eg r o u p 1 0 b a c k g r o u n d s b yg a l o i st h e o r y , w ek n o w ： t h e o r e m1 0 1 f f 2 ，v jc o r9 7 j ) l e tkb eof i e l da n d ，g z 口p o l y n o m i a lo d e g r e en 0 ，w h e r ec h a r kd o e sn o td i v i d e 诎t h e nt h ee q u a t i o ni ( z ) = 0i s s o l v a b l eb yr a d i c a l s 毽a n do n l y 毽t h eg a l o i sg r o u p0 ! i sas o l v a b l eg r o u p s oi nt h ef i n i t eg r o u pt h e o r y , i ti sa l w a y st h em a i ns t r e a mt od e t e r m i n ew h e t h e r ag r o u pi ss o l v a b l eo rn o t g i v i n gt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fs o l v a b l eg r o u p ( s u p e r s o l v a b l eg r o u p ，n i l p o t e n tg r o u p ，p - n i l p o t e n t ，) i sa na c t i v et o p i cf o re v e r , i ti sav e r yu s e f u lm e t h o dt od e t e r m i n et h es t r u c t u r eo fg b yg i v i n gc o n d i t i o n s o i ls o m es u b g r o u p so fg t h ef o l l o w i n ga x es o m ew e l l k n o w nt h e o r e m s ， t h e o r e m1 0 2 f t h o m p s o nt h e o r e m ，f 3 j ) 7 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 巧af i n i t eg r o u pgh a s8n i l p o t e n tm a x h n a ls u b g r o u po o d do r d e r i t h e ngi s 8 0 l v a b l e t h e o r e m1 0 3 ( h u p p e r tt h e o r e m ，e 1 1 ) s u p p o s egi saf i n i t eg r o u p i fe v e r ym a x i m a ls u b g r o u po jgh a sp r i m ei n d e x 饥g t h e ngi 8s u p e r s o l v a b l e t h e o r e m1 0 4 ( h a l lt h e o r e m ，【4 1 ) e v e r ys u b g r o u po af i n i t eg r o u pgi sc o m p l e m e n t e di ng 寸a n do n l yt gi sa s u p e r s o l v a b l eg r o u pw i t he l e m e n t a r ya b e l i a ns y l o ws b g r o u p i f w ec o n s i d e rt h es t r u c t u r eo f gi nt h i sl i n e ，t h e nt w op r o b l e m sa r i s e ：1 w h i c h k i n do fs u b g r o u p so fg ? 2 ，w h i c hk i n do fc o n d i t i o n s ? f o rt h ef i r s t u s u a l l yw e c o n s i d e rm a x i m a ls u b g r o u p ，m i n i m a ls u b g r o u p ( i e ，t h ec y c l i cs u b g r o u po fp r i m e o r d e r ) ，c y c l i cs u b g r o u po fo r d e r4 ( f o rg r o u p so fe v e no r d e r ) ，s y l o ws u b g r o u p ， f i t t i n gs u b g r o u pf ( g ) ，s o l v a b l es u b g r o u p ，f o rt h es e c o n dp r o b l e m ，i nt h e b e g i n n i n g ，p e o p l ea _ s s u m et h a te i t h e rs o m es u b g r o u p so fgp o s s e s sn o r m a l i t yo r ei nt h ee e n t e ro fg t h e r ea x es o m ec l a s s i cr e s u l t s t h e o r e m1 0 5 ( i t 5t h e o r e m t 1 1 ) s u p p o s egi sag r o u po o d do r d e r ，i je v e r y m i n i m a l3 b g r o u po gi si nz ( g ) t h e ngi sn i l p o t e n t t h e o r e m1 0 6 1b u c k l e yt h e o r e m l1 5 j ) 玎e v e r ym i n i m a ls u b g r o u po go fo d d o r d e ri sn o r m a li ng t h e ngi ss u p e r s o l v a b l e t h e o r e m1 0 7 is r i n i v a s a nt h e o r e m 嘲) i ie v e r ym a x i m a ls u b g r o u po | 嘲 s y l o ws u b g r o u po | gi sn o r m a l ( q u a s i n o r m a l ) i ng t h e ngi ss u p e r s o l v a b l e m a n ya u t h o r sh a v ec o n t r i b u t e dal o to fg e n e r a l i z a t i o n sa b o u tt h er e s u l t sa b o v e w ec o n t i n u e ，i nt h er e p o r t ，t h e s ew o r k st og e ts o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fp - n i l p o t e n tg r o u p ，n i l p o t e n tg r o u pa n ds u p e r s o l v a b l eg r o u pu n d e rt h ea s s u m p t i o no f s o m es u b g r o u p so fgw e l l - s i t u a t e d i n d e e df o rab o a r d e rb a c k g r o u n d ，w es t a t eo t l r r e s u l t si nt h el a n g u a g eo ff o r m a t i o nt h e o r y 1 1n o t i o n sa n dn o t a t i o n s 9 b vm gw em e a nt h a tm i sa m a x i m a ls u b g r o u po fag r o u pgl e tm b e am a x i m a ls u b g r o u po fag r o u pg i fm 1i sam a x i m a ls u b g r o u po fm ，t h e nw e c a l lm 1a2 - m a x i m a ls u b g r o u po fg r e c a l lt h a tam i n i m a ls u b g r o u po faf i n i t e g r o u pi sas u b g r o u po fp r i m eo r d e r f o rt h eg r o u po fe v e no r d e r ，i ti sh e l p f u lt o a l s oc o n s i d e rt h ec y c l i cs u b g r o u po fo r d e r4 w ec a l las u b g r o u p 2t h e2 - m i n i m a l s u b g r o u po fg ，i f t h e r ei sam i n i m a ls u b g r o u pn 1 ，i e ，t h es u b g r o u po fp r i m eo r d e r ， i st h em a x i m a ls u b g r o u po fn 2 o b v i o u s l yt h es u b g r o u p so fp r i m es q u a r eo r d e r a r e2 - m i n i m a ls u b g r o u p s f o rt w os u b g r o u p sha n dko f g w es a yhp e r m u t e sw i t hki fh k = k h as u b g r o u po fgi sc a l l e dq u a s i n o r m a li ngi fi tp e r m u t e sw i t he v e r ys h b g r o u p g w es a y ，f o l l o w i n gk e g e l 1 8 ，t h a tas u b g r o u po fgi s 丌_ q u a s i n o r m a ji ng i f i tp e r m u t e sw i t he v e r ys y l o ws u b g r o u po fg r e c e n t l y ，a s a a da n dh e l i e l 9 i n t r o d u c e dan e we m b e d d i n gp r o p e r t y , n a m e l y , t h e3 一p e r m u t a b i l i t yo fs u b g r o u p s o fag r o u p ，3i sc a l l e dac o m p l e t es e to fs y l o ws u b g r o u p so fgi ff o re a c hp r i m e p 7 r ( g ) ( t h es e to fd i s t i n c tp r i m e sd i v i d i n gi a l ) ，3c o n t a i n se x a c t l yo n es y l o w p - s u b g r o u po fg ，s a y , g p as u b g r o u po fgi ss a i dt ob e3 - p e r m u t a b l ei n gi f i tp e r m u t e sw i t he v e r ym e m b e ro f3 o b v i o u s l y ，e v e r y 丌- q u a s i n o r m a ls u b g r o u p i s3 一p e r m u t a b l e i nc o n t r a s tt ot h ef a c tt h a te v e r y 一q u a s i n o r m a ls u b g r o u pi s s u b n o r m a l ( s e e 【1 8 1 ) ，i td o e sn o th o l di ng e n e r a lt h a te v e r y3 - p e r m u t a b l es u b g r o u p o fgi ss u b n o r m a li ng i ts u f f i c e st oc o n s i d e rt h ea l t e r n a t i n gg r o u po fd e g r e e4 l e t3b eac o m p l e t es e to fs y l o ws u b g r o u p so fag r o u pg i fnqg ，w ed e n o t e 3 n = g p n ：g p 3 ) 3 n n = q 伊：g p 3 ) 3 n n = a pc i n ：g p 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n d e f i n i t i o n l e tpb eap r i m ea n dgb eag r o u pw ed e f i n e p ；( g ) = z 1z g ，1 2 1 = p ) ， p 4 ( a ) = z lz g ，1 2 1 =