（基础数学专业论文）双积hopf代数上的余拟三角结构.pdf

摘要 本文分三章 在第一章中，我们介绍了h o p f 代数的背景知识，研究情况及与之相关的一些基本知 识，并阐述了提出问题的思路 在第二章中，首先介绍预备知识，接着通过引入特殊元素r ，。l 、0 2 、o 3 ，定义了 与之相关的相容对斜相容对和弱余拟三角对，进而得到了双积h o p f 代数成为余拟三角 的充分必要条件，并给出了双积h o p f 代数的余拟三角结构形式 在第三章中，我们给出一个具体的例子 关键词：h o p f 代数，余拟三角h o p f 代数，双积 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w er e c a l lt h eb a c k g r o u n do fh o p fa l g e b r a sa n dp r e s e n ts o m eb a s i c p r o p e r t i e sa 8w e l la sf a c t sa b o u th o p fa l g e b r a sw h i c ha r er e l a t e dt ot h ef o l l o w i n gc o n t e n t s d o s e l y i na d d i t i o n ，w ei n t r o d u c eh o wt h eq u e s t i o ni n v e s t i g a t e di nt h i sd i s s e r t a t i o ni s p r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，f i r s t l y ，t h r o u g ht h eu s eo fs p e c i a le l e m e n t sr 、 盯l 、啦如， w ed e f i n es o l n ec o n c e p t i o n su s e di nt h i sd i s s e r t a t i o ns u c ha sc o m p a t i b l ep a i ra s s o c i a t e d t o ( 7 - ，口1 ) ，s k e wc o m p a t i b l ep a i ra s s o c i a t e dt o ( r ，c r 2 ) ，w e a kc o q u a s i t r i a n g u l a rp a i ra 8 8 0 - c i a t e dt o ( r ，o 1 ，啦) s e c o n d l y ，w eg i v et h ee o q u a s i t r i a n g u l a rs t r u c t u r e so v e rb i p r o d u c t f i n a l l y w eo b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs u c ht h a tb i p r o d u c tb e c o m e s ac o q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a i nc h a p t e rt h r e e ，w eg i v eac o n c r e t ee x a m p l e k e yw o r d s ：h o p fa l g e b r a ，c o q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a ，b i p r o d u c t 1 1 独创性声明 本人郑重声萌：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名 星丢盘嗍幽 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：进导师签名：耋量垒立二一一日期：) ! 浏 第一章引言 在本章中，我们首先对h o p f 代数及其相关作用，余拟三角结构的背景知识、发展过 程加以简单地介绍其次，阐述本文中主要问题的提出过程最后，介绍本文即将用到的 一些重要的定理和定义 1 1h o p f 代数的背景知识 h o p f 代数【1 1 1 2 1 1 3 】的首次提出是在四十年代初，h h o p f 在研究上同调时构造了既 有代数结构又有余代数结构的概念这一概念同期也出现于g i k a e 及其同事所作的群 对偶的文章中直到1 9 6 5 年，j w m i l n o r 与j c m o o r e 在【4 】中将上述概念正式称为 h o p f 代数，他们的这篇开拓性的文章给h o p f 代数的研究奠定了基础自此，h o p f 代数 引起了数学家们的广泛重视，并且取得了丰硕成果特别是近二十年来，主要是量子群的 兴起，i k a p l a n s k y 某些猜想 5 】的成功解决，以及h o p f 代数作用理论的发展使之成为 一门新的科学体系h o p f 代数广泛应用于各个领域，如被作为工具用来研究域上的 l i e 代数因为一些代数几何工作者需要利用在空间上作用的环或者代数来定义几何空间 ( 有时在通常的意义上并非是空闻) ，所以它也广泛应用于代数几何中八十年代，前苏 联物理学家d r i n f e l d 深刻地揭示了量子群，n o p f 代数及量子y a n g b a x t e r 方程的关系 自此量子群( 即1 1 0 p f 代数) 成为数学家和物理学家十分感兴趣的研究领域 h o p f 代数日在代数a 上的作用的研究很早就已经出现了h o p f 代数与一般群不 同，它作用在张量积上，并弱于一般的群，其变换不完全可逆在群论中，有限群的作用 占有很重要的地位而在h o p f 代数理论中，作用与余作用即模与余模占有重要地位有 关h o p f 代数及其作用与余作用的详细内容见【6 】 2 】【3 】 量子y a n g - b a x t e r 方程是由c n y a n g 和r j b a x t e r 在上个世纪六七十年代首次提 出的【7 8 9 ，它在物理学的量子反射法中起重要作用，是物理学中一个十分重要的方程 因此，对它的解的研究逐渐成为数学界和物理学界中的热题之一许多数学家都致力于系 统地构造量子y a n g - b a x t e r 方程的解【1 0 1 1 】 1 2 1 3 近来，代数学家发现由一个余拟三 角【1 4 】( 或拟三角 1 5 】) 结构可以构造一个量子y a n g - b a x t e r 方程的解所以，如何构造 第一章引言 一个h o p f 代数( 或双代数) 上的余拟三角( 或拟三角) 结构就成为h o p f 代数研究的一个 热点在近些年的研究成果中，已有很多种构造余拟三角( 或拟三角) 结构的方法，如： f r t 构造 1 6 】：d r i n f e l d 偶的构造【1 3 1 1 7 ；利用辫子双代数乘法矩阵生成【1 8 1 等 1 2 问题的提出 h o p f 代数中有与群的半直积相类似的概念，即s m a s h 积它由r g h e y n e m a n 和 m e s w e e d l e r 两人首次提出，请参见文献【1 9 1 9 7 7 年，r k m o l n a r 在【2 0 】中给出了 s m a s h 积的对偶概念s m a s h 余积，同时刻画了s m a s h 积和s m a s h 余积的一些性质，自此 它们成为h o p f 代数理论中的两个重要概念随后，d e r a d f o r d 给出了左s m a s h 积代数 和左s m a s h 余积余代数构成一个双代数的充分必要条件，并称之为双积( b i p r o d u c t ) 2 1 ， 同时对此双代数的结构进行了研究王栓宏等给出了扭曲s m a s h 积的概念【2 2 】进而构造 了其上的余拟三角结构【2 3 】s c a e n e p e e l 等构造了u s m a s h 余积h o p f 代数【2 4 】，它可 作为扭曲s m a s h 积的推广2 0 0 5 年，焦争鸣等在文章【2 5 】中给出了一种构造u s m a s h 余积h o p f 代数上的余拟三角结构的方法，并找到使得“，一s m a s h 余积这一重要结构成为 余拟三角h o p f 代数的充分必要条件沿着这一思路，很自然地要问如何构造双积h o p f 代数上的余拟三角结构? 以及使得双积成为余拟三角h o p f 代数的充分必要条件? 由于双 积与w - s m a s h 余积结构上的差异，讨论双积上的余拟三角结构f 可题比讨论w - s m a s h 余 积上的余拟三角结构问题更为困难和复杂本文就这一问题进行了讨论，并给出确定的结 果 1 3 预备知识 本文的研究内容涉及h o p f 代数上的作用与余作用，因此，先给出一些与h o p f 代数 作用与余作用相关的预备知识 在本文中如无特殊说明，我们一律用k 表示一个确定的域所有的代数和余代数及 线性空间都定义在k 上，用无下标的固代替o k 对于域耳上的双代数日，它的乘法、 单位，余乘、余单位分别记为tr n h p n 、a h h ，我们将沿用文献 3 】和【1 】中的 2 第一章引言 记法，并将日中的余乘简记为：h h8h ，( 九) = h i 圆h 2 ，vh h ；其次我们 用m o d 和8 m o d 分别表示左日一模范畴和左日余模范畴，若有( v p ) ”m o d 我们 记为：p ( v ) = 口一1 y o h 3 v v v 首先我口】来回顾一些左模范畴h m o d 和左余模范畴”m o d 中的代数和余代数的概 念 定义1 3 1 设日是一个双代数，a 是个代数，如果对于任意的h ea ，b a 下 列条件成立， ( 1 ) ( a ，一) 是一个左m 模； ( 2 ) h 一( 曲) = e ( h i a ) ( h 2 6 ) ； ( 3 ) h 一1 4 = 5 ( ) 1 ， 那么代数a 被称为一个左日一模代数，或称a 为h m 0 d 中一个代数 定义1 3 2 设日是个双代数，g 是一个余代数，如果对于任意的h h ，c c 下 列条件成立t ( 1 ) ( c 一) 是一个左日一模； ( 2 ) e 一c ) 1 0 ( h c ) 2 = h a c l o _ 1 2 一c 2 ； ( 3 ) 一力= ( ) ( c ) ， 那么余代数c 被称为一个左日模余代数，或称c 为h m o d 中的一个余代数 定义1 3 3 设日是一个双代数，a 是一个代数，如果对于任意的n ，b a 下列条件 成立， ( 1 ) ( a p ) 是个左m 余模； ( 2 ) ( n 6 ) 一18 ( a b ) o = n 1 6 - l 圆a o b o ； ( 3 ) “1 a ) = 1 固1 4 ， 那么代数a 被称为一个左皿余模代数，或称a 为”吖0 d 中的一个代数 定义1 3 4 设日是一个双代数，g 是一个余代数，如果对任意的c c 下列条件成 立。 ( 1 ) ( c ，p ) 是一个左王卜余模； ( 2 ) ( c 1 ) 一l ( c 2 ) 一1 ( c 1 ) o 圆( c 2 ) 0 = c 一1o ( 白) lo ( c o ) 2 ； ( 3 ) c - - 1p e ( c o ) = e ( 0 ， 那么余代数c 被称为一个左日一余模余代数，或称c 为日m d d 中的一个余代数 3 第一章引言 下面我们将列举与本文有关的比较重要的一些概念和研究结果首先介绍s m a s h 积 和s m & s h 余积f 2 0 1 定义1 3 5 设日为双代数，b 为左日一模代数，则定义s m a s h 积b 托日为：作为向 量空间b 带日= b o 日，它上面的乘法定义为， m b # h ：( b 。日) 。( 口 日) 一b 。h ， ( 社 ) ( b 袢夕) = n ( l 一6 ) 。h 2 9 ， 对任意的h ，g ea ，b b ，单位为1 b 半1 片 设b 为左f 卜余模余代数，则定义s m a s h 余积b 闪h 为，作为向量空问b 闪h = b 8 日，它上面的余乘为。 b 娜：b 。日一( b 8 日) 。( b 圆日) ，a ( b _ 1 ) = b l 圆( 6 2 ) 一1 h l 。( 5 2 ) 0 。h 2 ， 对任意的b b ，h h ，余单位为占 日 定义1 3 6 【2 1 】设日是一个双代数，b 是一个左日模代数和左m 余模余代数， 那么张量积口。日上的s m a s h 积代数结构和s m a s h 余积余代数结构能构成双代数，当且 仅当对任意的n ，b b ，h 日，有下列条件成立， ( 1 ) a b ( 1 b ) = 1 b 圆1 日且e b ( a b ) = c b ( a ) e b ( b ) ， ( 2 ) b 是一个左日一模余代数， ( 3 ) b 是一个左日一余模代数， ( i ) a b ( a b ) = a l ( ( a 2 ) 一1 一b 1 ) o ( a 2 ) o b 2 ， ( i i ) h l b 一1o h 2 一b 0 = ( h a 一6 ) 一l 28 ( h i 一6 ) o 此时，这个双代数被称为双积( b i p r o d u c t ) 并记作口日 d e r a d f o r d 将满足上述条件的b 和日称为相容对( a d m i s s i b l ep a i r ) 并记为( b ，日) 定义1 3 7 【2 1 】设( e 日) 是一个相容对，则双积b 日能够成为h o p f 代数，当且仅 当下列条件成立t ( 1 ) 日是一个h o p f 代数 ( 2 ) 恒等映射b 在映射集合h o m u ( b ，b ) 中卷积可逆 此时，双积b * 日上的对极s 由以下等式给出。对任意的h h ，b b ，有 s ( 6 ) = ( 1 be s ( b 一1 训s 日( 6 0 ) 81 h ) ， 其中s h 为日的对极( a n t i p o d e ) ，s b 为b 的卷积逆 4 第二章双积h o p f 代数上的余拟三角结构 2 1 定义及例子 首先回顾一下余拟三角h o p f 代数的定义【1 4 】 定义2 1 1 设日是一个h o p f 代数，若存在f ( h o 打) 。，对任意的h ，g ，z 日，使 得下列条件成立， ( c q t i ) r ( 1 ，h ) = r ( _ h ，1 ) = ( _ 1 1 ) ， ( c q t 2 ) r ( h g ，z ) = r ( h ，f 1 ) r ( g ，1 2 ) ， ( c q t 3 ) r ( h ，9 1 ) = r ( h l ，1 ) r ( h 2 ，g ) ， ( c q t 4 ) r ( 1 ，9 1 ) h 2 9 2 = g l h l t ( h 2 ，啦) 则称( h ，r ) 为一个余拟三角h o p f 代数此时7 被称为日的一个余拟三角结构，且由上 述条件可得t - - ! ( ，g ) = r ( s ( ) ，g ) ，其中h ，g h ，s 为日的对极 下面给出本文中用到的三个重要定义 定义2 1 2 设日是一个h o p f 代数，b 是一个左皿余模余代数并带有一个代数结 构若存在r ( h 圆日) ，口l ( b8 日) + 使得对任意的a ，b b ，h ，g 日，下列条件成 立， ( d c l ) a l ( 1 ，h ) = e h ( ) ，a l ( b ，1 ) = e b ( ； ( d c 2 ) a l ( a b ，h ) = o r i ( o ，h 1 ) a l ( b ， 2 ) ； ( d c 3 ) u 1 ( b ，h g ) = c r l ( b l ，9 1 ) u 1 ( ( b 2 ) o ，h ) r ( ( 6 2 ) 一1 ，9 2 ) 则称( b ，日) 是一个与( r 口1 ) 相关的相容对 定义2 1 3 设日是一个h o p f 代数，b 是一个左日一余模余代数并带有一个代数结 构若存在7 ( 日。日) ，眈( h 圆b ) 使得对任意的a ，b b ，h ，g 日，下列条件成1 立； ( s c l ) 啦( 1 ，b ) = e b ( 6 ) ，a 2 ( h ，1 ) = e 日( ) ； ( s c 2 ) a 2 ( h g ，6 ) = t ( h 1 ，( 8 2 ) 一1 ) a 2 ( h 2 ，b 1 ) a 2 ( g ，( 6 2 ) o ) ； ( s c 3 ) a 2 ( h ，曲) = 观( l ，b ) a 2 ( h 2 ，n ) 则称( b ，日) 是一个与( r 观) 相关的斜相容对 定义2 1 4 设仃是一个h o p f 代数，b 是一个左肛余模余代数并带有一个代数结构 5 第一二章双积h o p f 代数上的余拟三角结构 和一个左日一模结构若存在f ( o h ) ，o - 1 ( b h ) 4 ，0 2 ( 日固_ b ) 与o ( b 固口) ， 使得对任意的a ，b ，c b 有下列条件成立： ( w c q t l ) a 3 ( 1 ，6 ) = ( b ，1 ) = e b ( 6 ) ： ( w c q t 2 ) a a ( a b ，c ) = 如( ( ( c 2 ) 一1 ) 1 一a l ，c 1 ) 口l ( a 2 ，( ( c 2 ) 一1 ) 2 ) a a ( b ，( c 2 ) o ) ； ( w c q t 3 ) a 3 ( a ，b c ) = 如( ( ( c 2 ) 一1 ) l a l ，c 1 ) u l ( a 2 ，( ( c 2 ) 一1 ) 2 ) 啦( ( n 3 ) 一1 ，池) o ) 如( ( n 3 ) o ，b ) ( w c q t 4 ) 毋( ( 池) 一1 ) 1 一( ( ( 6 3 ) 一1 ) l a 1 ) ，b 1 ) a l ( ( ( 6 3 ) 一1 ) 2 一a 2 ，( ( 6 2 ) 一1 ) 2 ) f f l ( a 3 ，( 慨) 一- ) s ) r ( ( ( n t ) 一1 ) 1 ，( 慨) 一) ) 观( ( ( n t ) 一，) 。，( b 2 ) o ) ( a 4 ) o ( b 3 ) o = a 3 ( a 2 ，( 如) o ) 6 1 ( ( 6 2 ) 一1 一a 1 ) 则称( 口，以) 是一个与( r ，以，啦) 相关的弱余拟三角对 例子2 1 5 设( b ：乃) 是。个余拟三角双代数，其中铂是b 的余拟三角结构，( 7 - ) 是任意一个余拟三角h o p f 代数，r 是它的余拟三角结构b 是一个带有平凡余模作用 的左日一余模余代数( p ( b ) = 1 h 圆b ，vb b ) ，同时b 也是n m o d 范畴中的一个对象 ( h b = r ( b 一1 ，h ) b o = e ( h ) b ，vh h ，b b ) 假设o 1 = e boe 日，a 2 = e 日8 b ，那么 容易看出( b ，日) 是一个与( t 口1 ) 相关的相容对，( b ，日) 是一个与( 7 _ ，眈) 相关的斜相容 对，且( 日，如) 是一个与( 7 - a l ，观) 相关的弱余拟三角对 注记2 1 6 例2 1 5 说明本文中的定义2 1 4 是通常意义下的余拟三角双代数的一种 推广 2 2余拟三角结构的形式 在本节中我们将刻画双积h o p f 代数b th 上的余拟三角结构的形式 首先，显然有如下结论t 引理2 2 1 设( b ，日) 是相容对，b + h 是双积对任意的n ，b b ，h 日，定义如 下映射， q ：b 日一b ， q ( b 囟h ) = e ( ) 6 ； p ：b 日+ h ，p ( b o ) = ( 6 ) ； j ：b b h ，j ( b ) = b 8 1 h ； l ：h 日e ( ) = 1 8 8h ， 则有 6 第一二章双积h o p f 代数上的余拟三角结构 1 ) q 是一个余代数映射且g ( ( n o 九) ( 6 g ) ) = 。( 一6 ) e ( 9 ) 2 ) j 是一个代数映射且a j ( b ) = 6 l8 ( 6 2 ) 一1 ( 5 2 ) o81 h ， 3 ) p i 是双代数映射 b 口如上定义，设( b ，日) 是一个相容对，b * h 是双积双代数，且有口( b t 日 b - 日) + 定义： 7 = 矿o ( i o i ) ( h 8 日) +f f l = 盯0 0 0 i ) ( b o 日) + 叻= 盯o ( i 8 j ) ( h 圆b ) a 3 = 盯o ( j oj ) ( b b ) + ， 那么我们显然有如下结论； 命题2 2 2 设b h 是双积，如果盯( b 日o b + 日) + 满足条件( c q t l ) ，则对按 上述定义的r 以观，如，对任意的b b ，h h ，有下列等式成立z ( 1 ) r ( 1 ，h ) = r ( h ，1 ) = e h ( h ) ， ( 2 ) 口l ( 1 ，h ) = h ( ) ， 口1 ( 6 ，1 ) = 口( 6 ) ， ( 3 ) a 2 ( 1 ，b ) = e 口( 6 ) ，a 2 ( h ，1 ) = e h ( ) ， ( 4 ) a s ( 1 ，= a 3 ( b ，1 ) = e b ( b ) 命题2 2 3 设b * h 是双积h o p f 代数，若存在口( b * h 8 b 日) ，使得( b * h 盯) 是个余拟三角h o p f 代数，其中口是余拟三角结构，那么对任意的h ，g h ，a ，b b 我 们有下列等式成立。 1 ) 口( 1oh ，b o g ) = t ( h l ，9 ) 眈( 2 ，6 ) ； 2 ) 仃( n 1 ，b 圆g ) = 矿l ( a l ，夕1 ) f ( ( 0 2 ) 一1 ，9 2 ) 。 ( ( n 2 ) o ，6 ) ； 3 ) o ( a h ，18 9 ) = a l ( a ，9 1 ) r ( h ，9 2 ) ； 4 ) o ( a h ，b 圆1 ) = a l ( a l ，( ( 6 2 ) 一1 ) t ) r ( ( n 2 ) 一1 ，( ( 6 2 ) 一1 ) 2 ) 以( ( 毗) o ，b 1 ) a 2 ( h ，( 6 2 ) o ) ) ； 5 ) a ( a o h ，b g ) = a l ( a l ，9 1 ) r ( ( a 2 ) 一1 ，虫) l ( ( ( 啦) o ) 1 ，( ( 6 2 ) 一1 ) 1 ) r ( ( ( ( n 2 ) o ) 2 ) 一1 ，( ( 6 2 ) 一1 ) 2 ) 如( ( ( ( 眈) o ) 2 ) o ，b 1 ) r ( h l ，9 3 ) 0 2 ( h 2 ，( 6 2 ) o ) ) 证明对任意的h ，i ，g ，亘eo ，a ，b ，5 b ，利用余拟三角结构性质中的( c q t 2 ) 和 ( c q t 3 ) ，可得到t 口( ( h ) - ( b 圆夕) ，( a o 五) ( b 乎) ) = o ( a o h ，( a 8h ) l ( b 0 ) 1 ) 口( 6 0 9 ，( a 圆h ) 2 ( b 0 口) 2 ) 7 第一二章双积h o p f 代数上的余拟三角结构 即 = 盯( ( oo ) l ，( 云圆雪) 1 ) 盯( ( 口o ) 2 ，( 面。无) 1 ) 盯( ( 6 圆9 ) l ，( 5 雪) 2 ) 盯( ( 6og ) 2 ，( 石8 元) 2 ) 口( o ( 1 6 ) o 2 9 ，a ( i l 一一b ) o 元2 雪) = a ( a 1o ( 眈) 一l h l ：5 lo ( 醍) 一l 雪1 ) 盯( ( n 2 ) o8h 2 ，五1o ( a 2 ) 一l 无1 ) ( 2 1 ) 盯( 6 。o ( 6 2 ) 一l g l ，( 5 2 ) o 面) 盯( ( 6 2 ) oo9 2 ，( 面2 ) o 元2 ) 第一步，在等式( 2 1 ) 中，令n = 1 ，b = 1 ，g = 1 ，元= 1 ，5 = 1 ，则有t a ( 1 8h ，a o 口) = a ( 1 8h l ，1 口1 ) 口( 1 2 ，a l o ( 砚) 一1 ) a ( 1 8 1 ，1 0 蠡) 口( 1 0 1 ，( a 2 ) 0 8 1 ) = o ( 18h l ，1o 口1 ) 口( 1o ，a 1 圆( 砚) 一1 ) e ( 彘) e ( ( 砚) o ) = o ( 1 8h i ，1 口) 口( 1 0h 2 ，a 0 1 ) = f ( l ，雪) a 2 ( h 2 ，a ) 即得到命题中的1 ) 式 第二步。在等式( 2 1 ) 中，令h = 1 ，b = 1 ，a = 1 ，5 = 1 ，雪= 1 ，则有t 盯( 口0 9 ，1 8 五) = 盯ia ，无1 ) 7 - ( 9 ，孔) 即得到命题中的3 ) 式 第三步t 在等式( 2 1 ) 中，令b = 1 ，h = l ，g = 1 ，无= 1 ，5 = 1 ，则有 口( n 0 1 ，a 3 亘) = 盯( 。l8 ( a 2 ) 一l ，1 。雪1 ) 盯( ( 口2 ) 。8 l ，a 1 8 ( 沁) 一1 ) 盯( 1 。1 ，1 。彘) 盯( 1 8 1 ，( a 2 ) 。1 ) ( 2 2 ) = 盯( n l8 ( n 2 ) 一l ，1o 雪1 ) 口( ( n 2 ) o31 ，a l8 ( a 2 ) 一i ) e ( 彘) e ( ( a 2 ) o ) = 盯( 0 18 ( 0 2 ) 一1 ，1 0 雪) 口( ( 0 2 ) 0 0 1 ，a 圆1 ) 由等式( 2 2 ) 和3 ) ，我们可得 o ( a 8 1 ，a 8 ) = o 1 ( 0 1 ，口1 ) f ( ( n 2 ) 一1 ，彘) 口( ( 0 2 ) oo 1 ，ao1 ) = c r l ( 0 1 ，口1 ) r ( ( n 2 ) 一1 ，q 2 ) ( ( n 2 ) o ，a ) 8 笙三童翌堡墅匹! ! 鏊占堕叁塑三鱼堕塑 即得到命题中的2 ) 式 第四步：在等式( 2 1 ) 中，令h = 1 ，b = 1 ，a = 1 ，五= 1 ，= 1 ，则有 o ( a 8g ，b 0 1 ) = a ( a l8 ( 0 2 ) 一1 ，6 l ( 6 2 ) 一1 ) 口( ( n 2 ) 0 8 1 ，1 固1 ) a ( 1 圆g l ，( 6 2 ) 0 0 1 ) a ( 1 9 2 ，1 1 ) = a ( a l8 ( n 2 ) 一1 ，6 lo ( 6 2 ) 一1 ) ( ( n 2 ) o ) 盯( 1 圆g l ，( 6 2 ) o 1 ) e ( 啦) = 盯 圆l ，5 1 圆( 瓦) 一1 ) 盯( 1 0 9 ，( 瓦) o 圆1 ) = a l ( a l ，( ( 6 2 ) 一1 ) 1 ) f ( ( 眈) 一l ，( ( k ) 一1 ) 2 ) 如( ( 叻) o ，6 1 ) 眈( 吼( 6 2 ) o )( 由2 ) ) 即得到命题中的4 ) 式 第五步。在等式( 2 1 ) 中，令h ；1 ，b = 1 ，无= 1 ，5 = 1 ，则有 口( n o g ，a ) = a ( a l o ( n 2 ) 一1 ，1 0 口1 ) 口( ( 口2 ) 0 0 1 ，a l o ( 秘) 一1 ) a ( 1 0 9 l ，1 仍) 口( 1 0 仍，( a 2 ) o 圆1 ) = a l ( a l ，9 1 1 ) r ( ( 口2 ) 一1 ，1 2 ) 口( ( n 2 ) 0 0 1 ，a l 圆( a 2 ) 一1 ) 7 - ( g l ，函) a 2 ( 9 2 ，( a 2 ) o )( 由3 ) ) = a l ( a 1 ，口1 1 ) r ( ( n 2 ) 一1 ，口1 2 ) 口l ( ( ( 口2 ) o ) l ，( ( i 2 ) 一1 ) 1 ) ( ( ( ( 2 ) o ) 2 ) o ，a 1 ) r ( ( ( ( d 2 ) o ) 2 ) 一1 ，( ( a 2 ) 一1 ) 2 ) 7 ( 9 1 ，彘) 眈( 耽，( 屯) o )( 由2 ) ) = q l ( a l ，口1 l p ( ( 眈) 一1 ，彘) 口l ( ( ( n 2 ) o ) - ，( ( 动) 一1 ) 1 ) 吩( ( ( ( 0 2 ) o ) 2 ) o ，a 1 ) r ( ( ( ( n 2 ) o ) 2 ) 一1 ，( ( 砚) 一1 ) 2 ) r ( g l ，磊) 也( 仍，( 砚) o ) 因此等式5 ) 得证 口 命题2 2 4 设( b ，日) 是个相容对，b 日是双积h o p f 代数，若存在口( 口日o b t 日) + ，使得( b t 何，是一个余拟三角h o p f 代数，对任意的h 7 9 h ，a ，6 b ，有t 1 ) 盯( b l o ( 6 2 ) 一1 ，1 0 ) ( 6 2 ) o = 盯( 6 2 0 1 ，1 h 2 ) h l j6 l ； 2 ) a ( a o h ，的9 ) = 叻( ( ( 6 2 ) 一1 ) l 一( g l a 1 ) ，6 1 ) 口l ( 9 2 一口2 ，( ( 6 2 ) 一1 ) 2 ) 口1 ( a 3 ，g a ) r ( h , ，9 4 ) 啦( k ，( 5 2 ) 0 ) 证明由( c q t 4 ) ，对任意的h ，g 日，a ，b b ，则有 口( ( 8h ) l ，( b 0 9 ) 1 ) ( o 固 ) 2 ( b o g ) 2 = ( b 8g ) l ( a 8h ) l a ( ( a oh ) 2 ，( b o 夕) 2 ) 9 第二章双积h o p f 代数上的余拟三角结构 将口代入运算后可得： o ( a l ( 2 ) 一l h l b 1 ( 6 2 ) 一1 9 1 ) ( ( n 2 ) o 固h 2 ) ( ( 6 2 ) oo 卯) = ( b l 渤) 一1 9 1 ) ( a lo ( a 2 ) 一l h l ) a ( c a 2 ) o 圆h 2 ，( 5 2 ) oo9 2 ) 即 a ( a l ( n 2 ) 一, h i ，ho ( 5 2 ) 一1 9 1 ) ( a 2 ) o ( h 2 一( 6 2 ) o ) h 3 9 2 = 6 1 ( ( ( 6 2 ) 一l h g , i l ) o ( ( 6 2 ) 一1 ) 2 仍( n 2 ) 一l h l c r ( ( a 2 ) ooh 2 ，( 6 2 ) oo 册) 第一步；将i d s8 h 作用上式两端，则有如下等式， a ( a lo ( 0 2 ) 一l h l ，6 lo 池) 一l g ) ( a 2 ) o ( h 2 一( 6 2 ) o ) = b l ( ( b 2 ) 一l g l n 1 ) 口( 0 2o 2 ，( 5 2 ) o89 b ) ， 在上式中令h = 1 ，b = 1 ，可得到命题中的1 ) 式 第二步，在等式( 2 1 ) 中，令a = 1 ，h = 1 ，g = 1 ，无= 1 ，5 = 1 ，则有z 口( 6 01 ，a o 口) = 盯( 1 1 ，1 固雪1 ) 盯( 1o1 ，五l ( 面2 ) 一1 ) 盯( 6 1 ( 5 2 ) 一1 ，1 圆彘) 仃( ( 6 2 ) o 1 ，( a 2 ) oo1 ) = 口( 1 1 ，1 0 耍1 ) 仃( 1 0 1 ，a 1 固( 阮) 一1 ) a ( b 2 0 1 ，1 0 耍2 2 ) 盯( ( 协ljb 1 ) 0 1 ，( a 2 ) 0 0 1 ) ( 2 3 ) = e ( 口1 ) e ( i 1 ) e ( ( a 2 ) 一1 ) 口1 ( b 2 ，磊) 如( 仍一5 1 ，( f i 2 ) o ) = 9 1 ( 5 2 ，彘) o ( 口l 一6 1 ，a ) 其中第二个等式利用命题中的1 ) 得到 再在等式( 2 1 ) 中，令h = 1 ，b = 1 ，五= 1 ，5 = 1 ，则有。 口( 口o g ，a o 口) = a ( a l o ( 眈) 一1 ，1 0 口1 ) 口( ( n 2 ) 0 0 1 ，a l o ( a 2 ) 一1 ) i f ( 1 0 9 l ，1 0 彘) 口( 1 0 虫，( a 2 ) o 圆1 ) = 口( 啦0 1 ，1 0 现) 口( ( 口l n 1 ) 0 1 ，a 1 ( a 2 ) 一1 ) f f ( i o m ，1 西) 口( 1 0 虫，( a 2 ) 0 0 1 ) = u l ( a 2 ，弛) 口( ( 1 一a 1 ) o1 ，a lo ( 砚) 一1 ) t ( 9 1 ，如) 眈( 啦，( a 2 ) o ) = u 1 ( 0 2 ，彘) 叽( ( 口l 一口1 ) 2 ，( ( a 2 ) 一1 ) 2 ) 砚( ( ( 动) 一1 ) l 一( 雪1 一n 1 ) l ，a 1 ) r ( 9 l ，豇) 啦( 虫，( a 2 ) o ) = 以( ( ( 磊2 ) 一1 ) 1 j 雪l ja l ，a 1 ) 盯1 ( 彘ja 2 ，( ( a 2 ) 一1 ) 2 ) 盯l ( n 3 ，盈) 7 - ( 9 1 ，吼) 以( 夕2 ，( a 2 ) o ) 1 0 第一二章双积h o p f 代数上的余拟三角结构 其中第二个等式利用命题中的1 ) 得到；第四个等式利用( 2 3 ) 得到 因此得到命题中的2 ) 式 口 2 3 双积h o p f 代数成为余拟三角的充要条件 在这一节中，我们将给出双积h o p f 代数能够成为余拟三角h o p f 代数的一个充分必 要条件 首先我们有如下结论； 命题2 3 1 设( b ，日) 是一个相容对， b 日是双积h o p f 代数，若存在下列元素 r ( h o 日) 盯l ( b o 日) ，o 2 ( h o b ) ，叻( b b ) ，对任意的，l ，g 日，a ，b b ， 使得a ( a o h ，b 圆g ) = 以( ( ( 6 2 ) 一1 ) l 一( 9 l e 1 ) ，b 1 ) 口l ( 9 2 一a 2 ，( m ) 一1 ) 2 ) 口1 ( n 3 ，9 3 ) r ( h l ，g a ) 啦( h 2 ，渤) o ) 成为双积b 日上的一个余拟三角结构，那么对任意的h ，g 日，n ，b b ， 我们有下列等式成立t ( g ) 口1 ( 6 1 ，h 1 ) r ( ( b 2 ) 一1 ，h 2 ) ( b 2 ) o = 0 1 ( b 2 ，h 2 ) h l 一6 l ( c 2 ) r ( 1 ，( 6 2 ) 一1 ) a ( 2 ，6 1 ) 3 - ( 6 2 ) o = o _ ( ，b 2 ) b l ( g ) 口1 ( b ，h i ) h 2 = a l ( b o ，h 2 ) h l b 一1 ( c 4 ) a 2 ( h t ，b ) h 2 = a 2 ( h 2 ，b o ) b l h l ( c k ) 以( ，b ) l h = 以( 0 0 ，b o ) b 一1 a 一1 ( c 6 ) m ( 1 6 9 1 ) r ( k ，9 2 ) = a l ( b ，啦) r ( ，l ，9 1 ) ( c t ) r ( h l ，啦) 啦( h 2 ，g l b ) = r ( h 2 ，9 ) 晚( l ，b ) ( c 8 ) a a ( h 2 一n l ，h i b ) a l ( a 2 ，h 3 ) = 如( ( 慨) 一i ) l a - ，b 1 ) 口1 ( 2 ，( ( 6 2 ) 一t ) 2 ) 观( ( 0 3 ) 一1 ，渤) o ) 口- ( ( n 3 ) o ，h ) ( c 9 ) 叻( ( ( 6 2 ) 一1 ) 1 一( l n 1 ) ，b 1 ) a l ( h 2 一o , 2 ，( ) 一1 ) 2 ) u 2 ( h 3 ，( 5 2 ) o ) = r ( h l ，) 一1 ) o 2 ( h 2 ，b 1 ) a a ( a ，( k ) o ) 证明第一步t 由( c q t 4 ) ，对任意的h ，g h ，n ，b b 我们有。 口( ( o o ) 1 ，( b 9 ) 1 ) ( n o ) 2 ( b 9 ) 2 = ( b 圆g ) l ( n 8h ) t a ( ( a o ) 2 ，( b 圆g ) 2 ) 第一二章双积h o p f 代数上的余拟三角结构 将d 带入可得： 即 a ( a lo ( 0 2 ) 一l 1 ，b lo ( 幻) 一1 9 1 ) ( 0 2 ) o ( h 2 ( 如) o ) oh 3 9 2 = b l ( i ( 6 2 ) 一1 ) l g l a 1 ) ( ( 6 2 ) 一1 ) 2 仍( 0 2 ) 一l h l 盯( ( n 2 ) o h 2 ，( 6 2 ) o 9 3 ) ( ( ) 一l h ( ( b 3 ) 一1 ) 1 m n 1 ) ，6 - ) 口i ( ( ( 6 3 ) 一1 _ ) 2 9 2 一a 2 ，( ( b 2 ) 一1 ) 2 ) 口，( 0 3 ，( ( 6 3 ) 一1 ) 3 9 3 ) 7 ( ( ( 。4 ) 一1 ) l h l , ( 渤) 一1 ) 4 m ) 观( ( ( 。4 ) 一1 ) 2 k ，( 6 2 ) 。) ( 。4 ) 。( 蚝。) 。) 固 4 靠 ( 2 4 ) = 饥( f i b ：) 一1 ) l g l m ) o “幻) 一1 ) 2 卯( 叻) 一l 加以( ( ( n 2 ) o ) 3 ，9 5 ) z ( h 2 ，舶) 观( b ，( ( ( 幻) o ) 2 ) o ) 晚( ( ( ( 她) o ) 2 ) 一1 ) 1 一( 卯一( ( 0 2 ) o ) - ) ，( ( b 2 ) o h ) a d a 4 一( ( 0 2 ) o ) 2 ，( ( ( ( 6 2 ) o ) 2 ) 一- ) 2 ) 将i d b 甘作用到等式( 2 4 ) 两端并利用命题2 2 2 得， 乃( ( ( 6 2 ) 一z ) - “坛) 一2 ) z 9 1 一a 1 ) ，6 1 ) 以( ( ( b ) 一1 ) 2 0 2 一n 2 ，( ( 也) 一i ) 2 ) 盯z ( n 3 ，( ( 6 3 ) 一- ) 3 册) 下( ( ( 。4 ) 一- ) ，( ( 6 3 ) 一- ) t m ) 眈( ( ( 钆) 一1 ) 2 h 2 , ( 6 2 ) 。) ( 。t ) 。( bj ( 6 3 ) 。) ( 2 5 ) = 6 - ( ( 6 2 ) 一l g x n - ) 以( ( ( ( ( 6 2 ) o ) 。) 一1 ) 1 9 2 一a 2 1 ，( 池) o ) - ) a - ( 卯一0 2 2 ，( ( ( 池) o ) 。) 一- ) ：) 巩( 口2 3 ，9 4 ) r ( h l ，g s ) a ：( h 2 ，( ( ( 6 2 ) o ) 2 ) o ) 在等式( 2 5 ) 中令h = 1 ，b = 1 并利用命题2 2 2 得t f ( 9 1