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哈尔滨理丁大学理学硕士学位论文 半线性及非线性微分方程的概周期型解 摘要 微分方程解的性态是微分方程理论中一个重要而又基本的问题，其中关于 系统的周期解、概周期型解的存在性问题更是具有重要的理论意义和应用价 值。概周期函数理论以及由它衍生出来的渐近概周期、弱概周期以及伪概周期 函数理论，形成了概周期型函数理论。概周期型函数理论在微分方程、积分方 程、差分方程等方面都有重要的应用，所以本文主要把渐近概周期函数和伪概 周期函数应用到几类半线性及非线性微分方程中，讨论了几类半线性及非线性 微分方程渐近概周期解和伪概周期解的存在性。 本文主要做两方面的工作：首先用另一种方法证明了渐近概周期函数的复 合问题，其次讨论了几类半线性及非线性微分方程概周期型解的存在性。具体 包括以下内容： 首先，已有文献利用渐近概周期函数的性质证明了渐近概周期函数复合问 题，本文利用渐近概周期函数的定义证明了该结果。 其次，利用渐近概周期函数的性质及压缩映射原理讨论了一类半线性微分 方程的温和渐近概周期解的存在性；利用渐近概周期函数的性质及b a n a c h 不动 点定理讨论了另一类半线性微分方程渐近概周期解的存在性及唯一性；利用一 个同胚的等价定理给出了一类非线性微分方程渐近概周期解存在及唯一的充分 必要条件；利用概周期型函数的性质、指数二分性及不动点定理讨论了另一类 非线性微分方程概周期型解的存在性。 关键词概周期型函数；半线性微分方程；非线性微分方程；指数二分；不动点 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 a l m o s tp e r i o d i ct y p es o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a ra n d n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t o n eo ft h em o s tf u n d a m e n t a la n di m p o r t a n tp r o b l e m si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e o r yi st h es o l u t i o n s p r o p e r t i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i c a n da l m o s tp e r i o d i ct y p es o l u t i o n sf o rs y s t e m sh a sm o r ei m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei n t h e o r ya n dv a l u ei na p p l i c a t i o n t h et h e o r yo fa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n sa n dt h e t h e o r yo fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i c , w e a k l ya l m o s tp e r i o d i ca n dp s e u d oa l m o s t p e r i o d i cf u n c t i o n sw h oa r ed e r i v a t e db yt h et h e o r yo fa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s c o n s t r u c tt h et h e o r yo fa l m o s tp e r i o d i ct y p ef u n c t i o n s t h et h e o r yo fa l m o s tp e r i o d i c t y p ef u n c t i o n sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n s a n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，t h ea s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i ca n dp s e u d oa l m o s t p e r i o d i cf u n c t i o n st os o m ec l a s s e so fs e m i l i n e a ra n dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r em a i n l ya p p l i e di nt h i sp a p e r , t h ee x i s t e n c eo fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o n sa n dp s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n st os o m ec l a s s e so fs e m i l i n e a ra n d n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i s c u s s e d t w oa s p e c t so ft h ej o ba r em a i n l yd i di nt h i sp a p e r ：t h ef r i s t , t h ec o m p o s i t i o n p r o m b l eo ft h ea s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n si so b t a i n e dt h r o u g ht h eo t h e r m e t h o d t h es e c o n d ，t h ee x i s t e n c eo fa l m o s tp e r i o d i ct y p es o l u t i o n so ns o m ec l a s s e s o fs e m i l i n e a ra n dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i s c u s s e d t h es p e c i f i c a lc o n t e n t a sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ec o m p o s i t i o np r o m b l eo f t h ea s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s h a sb e e np r o v e di ns o m ep a p e r sb yt h ep r o p e r t i e so fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i c f u n c t i o n s ，t h er e s u l ti sp r o v e db yt h ed e f i n i t i o no ft h ea s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i c f u n c t i o n si nt h i sp a p e r s e c o n d l y , t h ee x i s t e n c eo fm i l da s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o no no n e k i n do fs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd i s c u s s db yt h ep r o p e r t i e so fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n sa n dt h e c o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e t h e i i 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eo t h e rk i n do fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i c f u n c t i o n sa r ed i s c u s s e db yt h ep r o p e r t i e so fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s t1 ) e f i o d i cf u n c t i o n s a n dt h et h e o r e mo f b a n a c hf i x e d p o m t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nt oak i n do f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u 撕o n si sd i s c u s s e da c c o r d i n gt h ee q u i v a l e n c et h e o r e mo f h o m e o m o r p h i s m t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa l m o s tp e r i o d i ct y p es o l u t i o nt o t h eo t h e rk i n d o fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o 璐f i r ed i s c l l s s e db yu s i n gt h e p r o p e r t i e so fa s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i ct y p ef u n c t i o n s ，e x p o n e n t i a lt r i c h o t o m y k e y w o r d s a l m o s t p e r i o d i ct y p ef u n c t i o n s ， s e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ， n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e x p o n e n t i a lt r i c h o t o m y , f i x e d - p o 硫 i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文半线性及非线性微分方程的 概周期型解，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他 人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：卓星日期：加尹年年月彦日 j 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 半线性及非线性微分方程的概周期型解系本人在哈尔滨理工大学攻读 硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨 理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解 哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密n ，在年解密后适用授权书。 不保密曲 。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：j 尹鏖日期：确哆年辱月g 日 导师签名： 洲撼锄 日期。呷乎月驴日 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景 1 1 1 课题来源 本课题属于泛函分析理论及应用研究范畴，来源于导师的天元基金项目。 主要是把概周期型函数理论应用到微分方程中，讨论了几类半线性及非线性微 分方程的概周期型解的存在性。 1 1 2 研究的目的和意义 有些文献讨论的是一些微分方程的概周期解，而本文讨论了几类半线性及 非线性微分方程渐近概周期解及伪概周期解的存在性。 其意义在于，概周期性是纯周期性的推广，因为周期函数全体在函数的数 乘和加法运算下不构成线性空间，更谈不上构成b a n a c h 空间，而概周期函数 比周期函数广，且保留了周期函数的某些性质，因此对概周期系统的研究具有 一定的理论意义和应用价值。 随着科学技术的不断发展，仅是研究概周期函数已经远远不能满足科学研 究和实践的需要。因此概周期函数的经典理论在几个方面得到了推广，其中一 个主要方面是由概周期函数理论衍生出的渐近概周期、弱概周期以及伪概周期 函数理论，即概周期型函数理论。 现实社会的许多自然科学和社会科学，如生态系统、天体力学、经济学以 及工程技术中出现振荡现象等领域的许多实际问题都可归结为寻求以微分方程 为数学模型的周期解、概周期解，而概周期现象以周期现象作为它的特例，是 比周期现象更广泛的一类现象，因此讨论微分方程的概周期解及其它型的概周 期解具有更重要的理论意义。 1 2 国内外在该方向的研究现状及分析 1 9 2 5 1 9 2 6 年间，丹麦数学家h b o h r 在研究傅立叶级数时首次提出了概周 期函数理论【l 】，随后在二十世纪二、三十年代经过一些数学家的努力，b o h r 的 理论有了进一步的发展。 1 9 7 9 年春，福州大学数学系主办“概周期微分方程和积分流形 讲习班， 由林振声教授讲授他本人的研究成果陆3 1 ，在这之后，南京大学继续开展概周 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 期方程讨论班活动，并开展了这一领域的研究工作。 渐近概周期函数、弱概周期函数和伪概周期函数是由概周期函数衍生出来 的，而且从概周期函数到伪概周期函数的范围扩大了。 渐近概周期函数的概念及其主要性质是f r e c h e t 在1 9 4 1 年提出来的【4 】。它 是概周期函数加上扰动项形成的，因此一般来说，得出渐近概周期函数相似于 概周期函数的性质的判据要复杂得多。 1 9 9 2 年，张传义给出了伪概周期函数的定义及其基本性质p 6 1 ，并于2 0 0 3 年出版了( a l m o s tp e r i o d i ct y p ef u n c t i o na n de r g o d i c i t y ) ) 7 1 ，在书中他总结了 截止到2 0 0 2 年前与概周期型函数有关的重要结果。 概周期型函数在微分方程、积分方程、差分方程等各方面都有非常重要的 应用【8 ，9 ，1 0 ，n 】。与此同时，结合实际问题，例如关于传染病、人口增长等建立起 来的数学模型，都可由讨论线性、非线性、积分、差分及特殊类型的概周期型 微分方程建立，如：具有逐段常变量的微分方程的概周期型解的存在性问题得 以解决【1 2 1 3 , 1 4 ，1 1 6 ，1 7 ，18 1 9 】。 近些年来，数学工作者们把概周期函数应用到微分方程中，讨论了一些微 分方程具有概周期型解的条件。 1 9 8 3 年，何崇佑研究了全局渐近稳定性质与概周期解的存在性，并于 1 9 9 2 年出版了概周期微分方程t 2 0 ，书中系统给出了有关线性、非线性及特 殊类型的概周期微分方程解的研究。 1 9 9 9 年，c h a r l e sb a t t y 结合算子半群讨论了非齐次周期柯西问题【2 1 1 ，也就 是方程 材( f ) = 彳( f ) “( f ) + 厂( f ) ( f r ) 的温和解的概周期性。 19 9 9 年，t o s h i k in a t i t o 和n g u g e nv a nm i i l l l 又研究了关于周期发展方程 的概周期解的发展半群和谱规则【2 2 i 。 2 0 0 1 年，h o n g x ul i ，f a l u nh u a n g 研究了在一致连续条件下伪概周期函 数复合问题，并用来讨论了半线性微分方程 x t ( f ) = a x ( t ) + f ( t ，x o ) ) ( f r ) 伪概周期解的存在性【2 3 1 。 近些年来，关于微分方程的概周期型解也有一大批丰富的成果。 2 0 0 1 年，s l y u s a r c h u k 给出了非线性微分方程 ( 厶y ) ( f ) = 办( f ) ( f r ) 有界概周期解存在及唯一的充分必要条件1 2 4 ，其中，非线性微分算子定义 2 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 为 ( 及) ( f ) ：d x _ ( t t - 厂( x 0 ”o r ) 2 0 0 2 年，姚慧丽给出了一类半线性微分方程 x 7 0 ) = h x ( t ) + f ( t ，x ( f ) ) ( f r ) 的温和伪概周期解存在的充分条件 2 5 1 ，其中，日是半群f ( f ) ：t 0 ) 的无穷小 生成元。 2 0 0 4 年，朱夜明，乔宗敏讨论了一类概周期微分方程 竿= 彳o ) x + 厂( 功o r ) 概周期解的存在性 2 0 1 ，其中，a ( t ) 是概周期矩阵函数，f ( x ) 是概周期函数。 2 0 0 4 年，冯春华讨论了某类时滞微分方程概周期解的存在性及唯一性彻。 2 0 0 5 年，d i a g a n a 讨论了半线性微分方程 x o ) = 彳“( f ) + 砌( f ) + f ( t ，吼o ) ) ( f r ) 的伪概周期解的存在性f 2 钔。 2 0 0 6 年，魏臻，林木仁讨论了三阶时滞微分方程 害+ 口害+ 饼+ t , x ( t g ( t , x ( t r ) ) ：厂( f ) o r ) 万+ 口万+ 饼+ 一硼2 【) r ) 概周期解和有界解的存在性【2 9 】。 2 0 0 6 年，孟艳双，孙光辉等人讨论了二维二次概周期系数微分方程 橐= 口( f ) x 一6 ( f ) y 2 + 厂( d ( z r ) 詈= 6 拶- 口y + g ( f ) _ 。 概周期解的存在性及唯一性【3 0 j ，其中，以( f ) ，6 ( f ) ，厂( f ) ，g ( t ) 都是概周期函数。 2 0 0 6 年，海红讨论了某类泛函微分方程概周期解的存在性和唯一性【3 1 1 。 2 0 0 7 年，祝文壮，冀书关等人讨论了一类二阶微分方程 害+ c 拿+ g ( 妾+ “) ： ( f ) r ) 万+ c 瓦+ g ( 面+ “) 2 u r ) 的概周期解的存在性【3 2 】，其中，c r 且c 1 ，g f ，h ：r - - 9 , r 为连续的函 数。 此外，还有一大批的数学工作者都在微分方程的概周期型解的理论及应用 方面做了大量的贡献。 无论从概周期型函数理论的研究角度，还是从与其它数学理论的结合应用 3 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 角度看，概周期系统都有着广阔的发展前景，它将会广泛应用于其它数学研究 领域。 1 3 本文所做的工作 l 、利用渐近概周期函数的定义，用另一种方法证明渐近概周期函数的复 合问题。 2 、给出一类半线性微分方程 o ) = h x ( t ) + f ( t ，石0 ) ) o r ) 温和渐近概周期解存在的充分条件，其中，日是半群口o ) ：t 0 ) 的无穷小生成 元。 3 、利用b a n a e h 不动点定理给出另一类半线性微分方程 o ) = a 掰o ) + b u ( t ) + f ( t ，c “( f ) ) o r ) 渐近概周期解存在及唯一的充分条件，其中，a ，b 是日上的稠定闭线性算 子c ：h 一日是非零的有界线性算子，f ：r x h 专h 是连续函数。 4 、给出关于方程 ( 砂) ( d = 矗( f ) ( f r + ) 有界渐近概周期解及伪概周期解存在及唯一的充分必要条件，其中，非线性微 分算子三定义为 ( 刎o ) ：d r - ( t ) + o ( f ) ) 0 r + ) a t 5 、讨论一般形式的三阶时滞微分方程 害+ 口害+ c x + g ( f ，x ( t - 2 3 ) x ( t - 2 3 ) ：厂( f r ) 万+ 口万 ( ，2 ( d ( r ) 的渐近概周期解及伪概周期解的存在性及唯一性。 4 哈尔滨理工大学理学硕二仁学位论文 第2 章概周期型函数理论 2 1 基本理论 在本文中，r 表示实数集，x 为b a n a e h 空间。c ( r ) 表示r 上有界、复值 连续函数全体，对任意的厂c ( r ) ，范数定义为i i s l l - s u p 瑚i f ( t ) i 。c ( r ，x ) 表 示从r 到x 上有界、连续函数空间， k 是q 的任意紧子集，i ， r + ，r ， 其范数由上确界定义。q 是x 的闭子集， c ( f 2 x j ，x ) 是从q j 到x 的有界连续函 数构成的空间，赋以上确界范数。 f ，t + l 】是厂中的一个闭区间，其中t j 。用 r j ( t ) 表示函数f ( t ) 的平移，其中对任意的t r ，r ( f ) = f ( t + j ) 。 定义2 1 t 7 2 2 集合p c j 称为是相对稠的，是指如果存在实数z 0 ，使得对 任意的t j ，都有 f ，t + ，】n 尸a 。 定义2 2 1 7 9 函数厂c ( r ) 称为是概周期的，是指对任意的占 0 ，存在 ，= z p ) 0 ，使得在每个长度为岫句区间内至少有一个f ，使得 i i s r , f l i 0 ，都存在一个相对稠密子集 ，使得 i i s ( z ，t + f ) - f ( z ，t ) l i 0 ， 都存在一个相对稠密子集只和一个有界子集e ，使得 l 矿( f + f ) 一厂( f ) 0 0 ，都存在一个相 对稠密子集只和一个有界子集c 。，使得 l i f ( t + f ，x ) 一厂( f ，x ) 0 时，有 m ( c n a ，t ) 2 t 一0 其中，当j = r + 时，口= 0 ；当j = r 时，口= 一t ；m 为r 上的l e b e s g u e 可测函 数。 对任意的占 0 ，若函数c ( r ) 满足f 矿( 石) 0 0 ，紧集kcq ，若存在，的有界子集c ，使得 0 ( 五f ) 0 0 ，存在数口l ，口2 ，a n ，使得 m i n | & 一足州：l f 拧， 0 ，存在数乞 0 满足任意以乞为长的区间都包含一个数 f ，使得 l i s - r , s l l 0 ， 存在实数万 0 ，相对稠密子集和，的历遍零集c 。，使得 l ( d 一厂o + f ) 0 sp ，t ，t + t ，e ) 目 l i f ( t ) - f ( t ”) i i 0 和公共的s 平移数。 2 2 渐近概周期函数复合问题的另一种证法 定理2 9x 是b a n a c h 空间，若z a a p ( g 2 x r ，x ) ( f = 1 ，2 ，1 ) ，那么对任 意的g 0 ，紧集kct a ，当x k ，f e ，t r e ，t + f r e 时，存在公共的 相对稠子集和公共的有界子集e ，使得 l i f , ( x ，f + f ) 一z ( 五f ) 9 占a = 1 ，2 ，1 ) 证明 由定理2 2 ，令z = g i + 仍o = l ，2 ，n ) ，其中 a p ( t a x r ，x ) ，仍c o ( t a xr ，x ) 因为岛a p ( t a x r ，x ) ，所以存在公共的只，使得 l i g i ( x , t + r ) 一( 石，t ) l i s ( 石k ，f 只) 7 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 y i 羞i 为仍c o ( q r ，x ) ，所以存在公共的c ，使对任意的工k , t r e ，有 慨( x ，f ) 0 s 则对上述g ，当x k ，f 只，f r e ，t + r r c 时，有 l 防( x ，f + f ) 一z ( 五f ) 0 8 ( 五f + f ) 一蜀( 五f ) 0 + l 协( 而f + f ) l | + 6 仍( 五f ) 8 0 和x 的任一个紧子 集k ，都存在一个相对稠密子集o ，有界集e ( 厂) c r ，使得 i i f ( t + ，x ) - f ( t ，x ) l l , f 足o ，x e k ) 由r ( f ) cq ，有 l i f ( t + r ，f ( t + r ) ) - f ( t ，f f t + r ) ) i l 0 ，存在相对稠子集舶，有界子集 c ，使得 i f ( t + r ) - f f t ) i l 万( f ，f + f r c ( ，) l e p e ( 2 ) ) 由，一致连续，有 妙( f ，f ( t + r ) ) - f ( t ，( f ) ) l i 0 使得对所有 的，0 有i 矿o ) 8 m e ，并且还假设厂满足下面的条件 ( 日。) f a a p ( r x x ，x ) ，f ( r ，q ) 对x 的每个有界集q 有界，另外，存在 ， 0 ，使得s u pl i f ( t ，力忙( 与z ； t c r ，h s ， m ( 日：) 对x 的每个有界集q ，x , y q ，存在常数r l 0 ，使得 l i f ( t ，x ) - f ( t ，y ) l | 刁l l x - y 8 9 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则当刁 竺时，方程( 3 1 ) 恰有一个温和渐近概周期解且满足 = 叩) p 证明设b = xe a a p ( r ，x ) ：i i x l - z ) 。容易看出b 是a a p ( r ，x ) 的一个闭 凸子集。 ， 令( 玖) ( f ) = l t ( t s ) f ( s ，x ( s ) ) d s ，喜i ； x ec ( r ，x ) 。 首先证明y 是b 到曰的映射。对x b 和t r ，有 肌) o ) 1 1 - m 时， 有l 眵( 工) l l m 时，萑r l v ( y ) l i s 。 令n ：m + 膨 1 0 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 1 ) 当t 一时，令“= t - - $ ，由t - u - n ，有眵( f 一”) 8 占，从而 k m 叫如) 幽i l = i l r 聊砍) 斗 n 时， i l t ( t - - 8 凼h c m 叫如) 出i i + l i 二r ( t 叫如) 出h l t ( 贼s ) a s 8 令“= t j ，则 l c r 一j ) ( s ) 凼i l n = m + m ，一m s m ，则 畦m 一掀啪卜巴) 怯 因为眵( s ) 0 有界，所以巴眵( s ) i 陋有界。 令“= t s ，当m t 一“时，有l 眵o 一“) 0 s ，则 0 l r o s ) ( s 灿i i _ 0 f 膨丁 髟。一“) 幽0 g c 盯( “) o 咖 占三 由上及占的任意性，得l i r a 九( f ) = 0 。 综上，以c o ( r ，x ) 。这就证得了j i l ( f ) a a p ( r ，x ) 。 当石a a p ( r ，x ) 时，由f a a p ( r xx ，x ) 及定理2 1 0 ，有 f ( t ，工o ) ) a a p ( r ，彳) 从而有y x a a p ( r ，x ) 。结合前面的证明得到y 是b 到b 的映射。 其次，因为对任意的x , y b ，有 i i ( 珞) ( f ) 一( 眵) ( f ) o i l 。r ( t - - s ) ( 厂( s ，x ( s ) ) ，( j ，j ，( s ) ) ) 凼0 刁肛- y l l j e - ( t - s ) d s = 刁一y l l 所以当刁 0 ，使得 帆f ，u ) - f ( t ，1 ，) 忙三 u - - ：i ( 日，) 存在闭子空间mch 归约算子彳，b ； ( 凰) 彳，曰分别为有界c o 半群仃( s ) ) s e r 职( s ) ) ，靠的无穷小生成元，存在 肘，k ，c ，d ，使得对任意的s 仃，有 1 2 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 i i t o - 盯) p u l l m e 吖。呵 i i r ( s - o ) p ul l k e o 可 对任意的s o r ，有 1 p o 一盯) 纵9 膨时，有l i r ( j ，) 兄0 g 。 令n = m + m 7 ( 1 ) t 一时，令v = t - s ，当f 一1 ， 一时，f 眵( t - - v ，c u ( t - v ) ) i 占，从而 i | j ：! 。r o j ) 昂矽( j ，仇( 呦凼| | _ 0 r 丁( v ) 加一v ，仇。一v ) 咖8 时， i i l 川叫匕加，函( 呦凼卜亡t ( t s ) p m 她c u ( 蝴i l + l 一 地s ) 灿i i + j “： u 。t ( t 叫如，c u ( 呦凼| i +一s ) 她s ) ) 凼| i + l 北叫掷，勖( 呦幽0 8 亡丁。一s ) 如，函( 呦出i i n = m + m7 ；一m s m7 ，则 i i e m j ) 名如，仇( 呦出0 s 丘愀s ， ( 洲凼 1 4 因为眵( s ，c u ( s ) ) 0 有界，所以j ：! ：r 愀j ，c u ( s ) ) l 陋有界。 令m = t s ，由m f m o ，有眵( f 一棚，仇0 一m ) ) 0 占，则 l 邢一s ) p u g ( 岛国( s ) l l _ l f 肼丁( 朋玩她一m ，仇( 卜m ) ) 锄0 s 肛( 所) p 材u d m 二了m 由上及占的任意性，得舰0 巧( f ) l i = 0 。这就证明了耳( f ) c o ( h ) 。 仿上可证k ( f ) c o ( h ) 。这就证得了孝似) o ) c o ( 日) 。 证毕。 定理3 5 在上述假设条件( 马) ，( 日：) ，( 马) ，( 日。) ，( 日5 ) 下，当满足 i l c l l 0 和z 卜a ，口】，存在数k 0 和 a 0 ，使得 l g ( x ) - 酬l k l a - h 引理4 2 2 4 1 3 3 5 令f f ，则对任意的h 弓，t 0 ，有( f 1 j j l ) n 弓。 1 7 哈尔滨理t 大学理学硕：t ：学位论文 引理4 3 t 2 4 1 3 3 5 s ? = b c 。：i n i 一，；， 则对任意的序列= 毛( f ) s , of ls o0 1 ) ， 函数x = x ( t ) 霹，使得 s ：= k c 11 1 4 c 。尺 ( ，r o ) ， 存在严格单调增序列n k n ( 足1 ) 和 丝：j x ( k 专o o ) 引理4 4 【2 4 】3 3 6 令厂：r r 为连续函数，h ( t ) c o ，口，b ，口，为正实数且满足 口 o 由式( 4 2 ) ，式( 4 3 ) ，式( 4 4 ) f i t f ( x ) 在【口，b 】上的一致连续性，存在( o ，b a ) 及无界集mcr ，使得 1 8 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 4 x - 工1 l c o z o m ) 不妨设函数f ( x ) 在r 上严格单调减，由引理4 5 ， 口一等，存在后 o ，使得 - f ( c t ) + f ( f 1 ) k ( a 一) 令万 o 满足 舡- 2 8 0 由式( 4 2 ) ，式( 4 7 ) ，有 i - h k 万 且 胁) 一h ( ) l 等( ，l l m ，f i r + ) 不妨假设存在n ，t 。，使得 x o 。) 一h ( f 。) 等 则由式( 4 8 ) ，式( 4 9 ) ，式( 4 - 1 0 ) ，式( 4 - 1 1 ) ，有 ! 垫! 二墨! 型 o 班 考虑任一区间 f l ，d ，若对任意的t 【t i , ，有 ( 4 7 ) 对任意的口， 口，b 】， 垫坠型塑 o t i t 由式( 4 - 1 2 ) ，x ( t ) - - i n 。( f ) f i t h ( t ) - h 啊( t ) 在r + 上的连续性，有 x ( r ) 一( 丁) 等 ( 丁) 一( 乃 - 8 则由式( 4 - 8 ) ，式( 4 - 9 ) ，式( 4 _ 1 3 ) ，式( 4 1 4 ) ，有 ! 堕翌二型型 丝一万 o 以2 由上对任意的t t l ，有 ! 丝! 二垒业 o ( 4 - 8 ) ( 4 - 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 l z ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 于是，对任意的t t l ，有 z ( 乃一( d = ) z ( 乃一( z ) 2 1 ) 一石 ( f 1 ) + ，出出 等+ ( 等一万) ( ) 1 9 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 当丁- - 0 0 时，工( r ) 一( 即- - h0 0 ，与式( 4 - 5 ) 矛盾，则式( 4 6 ) 成立，即证得r 1 连 续。由定义4 2 ，三：c 1 一c o 为同胚的。 函数f ( x ) 在r 上严格单调增时，定义算子厶：c 1 专c o 为 ( 厶x ) ( f ) ：d _ x ( t ) 4 - 厂( 一工( f ) ) ( f 毒r + ) 因为厂( 一曲在r 上严格单调减时，由上面的证明，厶：c 1 _ c o 为同胚的。 而对任意的x , y c 1 ，当z 和y 满足x ( t ) = 叫(