（基础数学专业论文）关于k2q的browkin猜想和一类交换局部环的k2群.pdf

摘要 本文主要研究了关于尬q 的b r o w k i n 猜想和一类交换局部环的尬 群，全文共分四章 第一章概述了代数一理论的发展历史及本文研究内容的背景 第二章介绍一些基本概念和预备知识在2 1 中介绍了离散赋值的定 义及其性质，以及t a m e 映射和j t a r e 关于有理数域q 的鲍群岛q 的 结果在2 2 中首先介绍了分圆多项式及其性质，然后介绍了关于凰q 的 b r o w l d n 猜想的由来和近年来关于这个猜想研究的进展 第三章研究关于鲍q 的b r o w k i n 猜想通过证明两个不定方程都没有 整数解，进而证明了，当n 3 时，g 3 n ( q ) 不是尬q 的子群从而部分地 证实了b r o w k i n 的这个猜想 在第四章中研究了一类交换局部环的j ，2 群，通过对交换局部环的极大 理想加上一些限制条件得到一些更加精细的结果 关键词：群，分圜多项式，不定方程，l e g e n d r e 符号，交换局部环 中圉分类号：1 9 c 2 0 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s ，b r o w k i nc o n j e c t u r eo nk 2 q a n d g r o u p so fak i n do fc o m m u t a t i v el o c a lt i n g sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r1 ，ab r i e fi n t r o d u c t i o nt oa l g e b r a i c k 4 h e o r ya n db a c k - g r o u n d so fr e s e a r c h e si nt h i sp a p e ra r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，s o m eb a s i c c o n c e p t sa n dp r e h m i n a r i e sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n2 1 t h ed e f i n i t i o na n ds o m ep r o p e r t i e so d i s c r e t ev a l u a t i o na r e g i v e n ，a n dt h ed e f i n i t i o no ft a m em a p a n dar e s u l to f 筑qd u et oj p a t ea r e i n t r o d u c e d i ns e c t i o n2 2 ，t h ed e f i n i t i o na n ds o m ep r o p e r t i e so fc y c l o t o m i c p o l y n o m i a l sa x e 舀v e n ，t h e nt h eo r i g i no fb r o w k i nc o n e c t u r eo n 凰q a n d s o m er e c e n td e v e l o p m e n t so ft h i sc o n j e e t u r ea x ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，t h eb r o w k i nc o n j e c t u r ei sd i s c u s s e d i ti so b t a i n e dt h a t g 3 n ( q ) 3 ) i sn o tas u b g r o u po fk j qb yp r o v i n gt h a tt w od i o p h a n t i n e e q u a t i o n sh a v en os o l u t i o n ，w h i c hc o n f i r m sb r o w k i nc o n j e c t u r eo n 玛q i n s o m es p e c i a lc a s e s i nc h a p t e r4 ，鲍g r o u p so fak i n do fc o m m u t a t i v el o c a l r i n g s i sd i s c u s s e d s o m er e f i n e dr e s u l t sb ya d d i n gs o m er e s t r i c t i v ec o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：配g r o u p 】c y c l o t o m i cp o l y n o m i a l ，d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，l e g - e n d r es y m b o l ，c o m m u t a t i v el o c a lr i n g m r ( 2 0 0 0 ) m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：1 9 c 2 0 致谢 首先我衷心感谢我的指导教师宋光天教授在研究生阶段给了我许多 帮助。在学习过程中。宋老爆对我严格要求，细心指导，使我在数学知识， 学习方法等方面都有许多进步 在做论文阶段要求我严谨求实，一丝不苟，这些教导使我在做研究方面 得到了一定程度的训练 其次，我要感谢科大数学系，这里有良好的学术环境，科大三年，使我 对数学的认识又提升了一个阶段，收获是多方面的， 最后，还要感谢讨论班的范自强，张建刚，彭喻振，孟祥芹等同学，他 们对我的学习和生活都有许多帮助 第l 章引言 给出一个环r ，代数k 一理论是研究一群甄r ，k l r ，尬r ，的性质 的- - i 1 学科这门学科的发展是从g r o t h e n d i e c k 证明广义的p d e m a n n r o c h 定理开始的在代数拓扑中，a t i y a h 和h i r z e b r u c h 对于紧空间x 上的向量 丛发展了类似的理论，建立了拓扑k 一理论代数k - 理论与代数拓扑，代 数几何，代数数论等学科有着广泛的联系 设r 是环，p ( r ) 是有限生成投射露模范畴g r o t h e n d i e c k 群蝓只是 由下面的生成元与关系所决定的a b e l 群： 生成元： p l 其中 p 】是有限生成投射尼模p 的同构类 关系； 【p + f q = po 刎，任意p q p ( r ) ， 环霆的w h i t e h e a d 群玛r = g l ( r ) e ( r ) ，其中g l ( r ) 和z ( n ) 分 别是r 上的稳定一般线性群和稳定初等线性群 环r 的s t e i n b e r g 群s t ( r ) 是由下面的生成元与关系所决定的群； 生成元：( 口) ，i ，j = 1 ，2 ，3 ，i 工口r ， 关系；x o ( a ) x t j ( b ) = x i j ( a + 6 ) ， m ) , x k l ( 6 ) ： 1 碍l j ix u ( a b ) ，i l ，j = k 上述关系叫做s t e i n b e r g 关系 用e ( n ) 的生成元e j ( a ) 代替( n ) ，则s t e i n b e r g 关系在e ( r ) 中亦成 立，于是有自然满同态 妒：s t ( r ) 一e ( r ) 使得x | l j ( a ) - + e 4 j ( a ) j m i l n o r 定义环r 的j 岛群鲍r = k e r 妒 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第1 章引言 令r 是环，对任意彤，记 t o ”( 口) = z 玎( a ) z 皿( 一o t 一1 ) z 旬( 口) ， h i j ( a ) = “奶( ) ，j ( 一1 ) ， 对任意q ，口彤，并且q 口= p o ，记 a ，口) = h 1 3 ( a l ? ) h 1 3 ( a ) h 1 3 ( 卢) 。 称 a ，卢) 玩r 为s t e i n b e r g 符号 s t e i n b e r g 符号有下列性质： 命题1 0 1 ( 8 】命题7 9 ) 令兄为交换环，则对于q ，0 ( 1 ，q 2 ，卢，历，岛彤， 有 ( 1 ) 卢，a ) = 。，卢 一1 ； ( 2 ) 。l 口2 ，p ) = a 1 ，p 盘2 ，p ) i ( 3 ) o ，一a ) = a ，1 一o ) = 1 特别地，在( 1 ) 中取卢= 口，则有 o ，) 2 = 1 当r = f 为域时，有下面重要的m a t s u m o t o 定理： 定理1 0 2 ( 9 】定理1 1 1 ) 若f 为域，凰f 是由下面的生成元与关系所央 定的a b e l 群： 生成元： a ，口) ，d ，卢f + ， 关系： ( 1 ) q 1 q 2 ，卢) = 口1 ，p a 2 ，p ) j ( 2 )( a ，口t 区 = 口，风) ( 口，历 i ( 3 ) ，1 一口) = 1 ，口f + ，口1 特别地，当f = q 时，j r a t e 证明了 定理1 0 3 恐q 是a 2 0 a 3 0 o 岛。 此处a 2 = 4 - 1 ，当p 是奇素数时，4 = ( z , z ) + 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第1 章引言 令f 是域，西。( z ) 是n 次分圆多项式记 g 。( f ) = ( ( z ，西。( z ) ) k 2 flx ，西。( z ) f 4 ) b r o w k i n 在( 1 中研究j 毛f 中 z ，( z ) ) 形式的元素，并证明了 定理1 0 4 对任意域f f 2 ，当n = 1 ，2 ，3 ，4 ，6 时，g 。( f ) 是k 2 f 的子 群 然后，b r o w k i n 提出下述猜想： 对任意域f f 2 ，当礼1 ，2 ，3 ，4 ，6 时，g 。( f ) 不是尬f 的子群 秦厚荣在 2 】中证明了g 5 ( q ) 和g ，( q ) 都不是凰q 的子群；在3 中 证明了g 2 n ( q ) 是鲍q 的子群当且仅当n 1 2 徐克舰和秦厚荣在【4 】中证明了当竹2 时。g 卯3 m ( q ) 是q 的子群 当且仅当n = 2 ，m = o ；对于嘞( q ) 他们证明了g 2 5 ( q ) ，g a g ( q ) 和g 2 7 ( q ) 都不是娲q 的子群 徐克舰在 5 中证明了g 9 ( q ) 和g 1 1 ( q ) 都不是鲍q 的子群 本文在第三章中证明当n 3 时，g 3 n ( q ) 不是鲍q 的子群 设礼n ，p 是索数，a ，b z ，记 如( o ，6 ) = b p - 1 ( 一) 圣p 。( ；) 下述引理把g 3 n ( q ) 3 ) 不是鲍q 的子群的证明转化为判断一些不 定方程是否有解 引理1 0 5 f 4 】设p 是素数，扎2 ，取素数g 使得gil ( r o o d 妒) ，若 g p n ( q ) 是j 已q 的子群，则至少下述两个不定方程之一有解口，b ，z z 使得 ，= l ，p 十暑 圣p n ( 口，b ) = q p - 矿， 圣矿( 口，b ) = p q p z p ( 1 1 ) ( 1 2 ) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 第l 章引言 证明当n 3 时，g 。n ( q ) 不是飓q 的子群的思路是： 对于第一个不定方程，首先选取一个模3 “同余于1 的素数q ，由d i r i c h l e t 定理，这样的素数q 总是存在的，并且使得3 是模q 的二次非剩余假设 第一个不定方程有整数解，通过考察环z 旧申元素的分解形式，能够证明3 是模q 的二次剩余，这样得到矛盾 对于第二个不定方程，假设它有整数解，通过转化得到一个非零整数的 立方是两个非零整数的立方和，这与费马大定理矛盾 从而两个不定方程都无整数解，因此证明了当亿3 时，g 3 n ( q ) 不是 飓q 的子群 给定一个环r 后，研究该环的群是代数k 一理论的一个重要研究 方向由于交换局部环在环论中占有一个特殊的位置，所以对交换局部环 的尬群的研究也是很有意义的但目前我们只知道交换局部环的j 岛群由 s t e i n b e r g 符号生成，并且满足一些关系这样的结果还不够细致，我们通过 对交换局部环加上一些限制条件，通过考察其元素的阶，得到一些更加精细 的结果 第2 童基本概念和预备知识 在2 1 中首先介绍了离散赋值的定义和它的一些性质，然后介绍了t a m e 映射的定义和j t a t e 关于尬q 的结果由于g 3 n ( q ) 中的元素涉及分圆多 项式，在22 中首先介绍了分圆多项式的定义和它的一些性质，然后介绍 了关于凰q 的b r o w k i n 猜想的由来和近年来关于这个猜想研究的进展 2 1 娲q 和t a m e 映射 下面我们介绍一些常用的定义和引理 令f 是域，f 上的离散赋值是一个映射v ：f + + z ，使得对于任意的 z ，y f + ， ( 1 ) u ( x y ) = v ( z ) + v ( g ) ； ( 2 ) v ( 。+ y ) m i n p ( 功，v ( ) ) 离散赋值v 具有性质： ( 1 ) v ( 1 ) = 0 ； ( 2 ) ( 6 _ 1 ) = ( 6 ) ； ( 3 ) ( 0 6 _ 1 ) = 扩( 。) 一y ( 6 ) 设p 是素数，茁q + ，则。可以唯一地写成z = p 。瑶1 p 的形式， 其中p ，p 一，p t 是互不相同的素数，e ，e 1 ，e t z ，令咋( z ) = e ，则 吻：口+ z 是q 上的离散赋值，叫做q 上的p - a z s c 赋值 由m a t s u m o t o 定理，若f 为域，则f 由s t e i n b e r g 符号如，卢) 生 成，其中，p f ， 特别地，当f = q 时，j t a t e 证明了 r ：鲍q 暑a 2 0 a 3 0 o 也0 ， 此处a 2 = 士1 ) ，当p 是奇素数时，a p = ( z p z ) + ，并且对于任意 。，可 k 2 q ， r z ，可) = n 茹，y ) ot 3 x ，y o z ，v ) o t or p z ，可) o ， 5 2 0 0 5 年4 月中国科+ 学技术大学硕士学位论文第6 页 第2 章基本概念和预奋知识2 2 分圃多项式与b r o w k i a 猜想 这里对于奇素数p ，定义 咖肼；( 删司州们筹( r o o d p ) 其中( z ) 是q 上的p - a d i c 赋值，也称为t a m e 映射而对于偶数2 ，由 于任意非零有理数可以唯一地写成士2 ，5 2 u 形式的乘积，其中k = 0 或者l ， u 是模8 同余l 的整数的商若x = ( 一1 ) 2 2 j 5 。u ，9 = ( 一1 ) 7 2 。5 k u ，其中札，u 是模8 同余1 的整数的商，则定义 乃妇，掣 = ( 一圹卅+ u 2 2 分圆多项式与b r o w k i n 猜想 下面我们介绍分圆多项式的定义和一些常用的引理 令n 是正整数，厶= e 簪，则数矗满足。n 一1 = 0 定义 味( 。) = i i ( 1 一篇z ) ( 口，n ) = 1 其中i o n ，这个多项式叫做n 次分圆多项式 分圆多项式具有性质 引理2 2 1 1 一扩= 西d ( z ) d i “ 引理2 2 2 瓯( z ) = ( 卜。妒曲 d i “ 其中卢( d ) 是m 6 b i u s 函数 令f 是域，( z ) 是礼次分圆多项式记 6 ( f ) = 0 从上面的讨论和引理3 1 1 ，得。，6 一定满足下述方程之一 西矿( a ，6 ) = q 9 - z 9 ， 西妒( 。，b ) = p q 9 - 矿 引理3 1 6 假设a 和b 是互素的整数并且0 6 = c n a = 扩b = e “ ( 3 4 ) ( 3 5 ) 口 则存在整数d ，e ，使得 引理3 1 7 ( 1 4 hd i r i c h l e t 定理) 若( a ，m ) = 1 ，则在等羞序列n ，o + m ，a + 2 m ，中，有无限多素数 引理3 - 1 8 ( 6 j ，引理1 1 7 ) z 0 】的理想扣+ 叠) ，i = 0 ，p l ，是两两 互素的，其中。，z ，0 是p 次本原单位根 引理3 1 _ 9 ( 7 ，定理1 2 1 ) 不定方程。3 + y 3 = 3 2 3 没有解z ，y ，2 z ( 3 o 0 3 2 主要结果和证明 弓i 理3 2 1 设z ，g ，z z ，( z ，y ) = 1 ，3 十z ，且z 6 + x 3 y 3 + y 6 = z 3 ，贝1 ( 1 ) z y 0 ( m o d3 ) 并且 ( 2 ) 若z 十y i1 ，2 ( r o o d3 ) ，则+ z ，x 2 y 2 一x y z + = 2 ) = 1 ( 3 ) 著贯+ y 三0 ( m o d3 ) ，则( x y + 。，石2 可2 一x y z + 2 2 ) = 3 证明( 1 ) 由( z ，y ) = 1 和。6 + x 3 y 3 + y 6 = z 3 ，得茁，y ，z 两两互素 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 3 页 篓! 兰鱼：! 皇! 篁三1 2 至墨丝旦竺兰量 墼兰圭兰丝墨塞垩塑 这是因为，若( x ，。) 1 则( 茁，z ) = d ，取素数pld ，所以pi 茁，p 【。，由 于茁6 + x 3 y 3 + y 6 = z 3 ，因此pl 与( z ，) = 1 矛盾，同理( 9 ，z ) = 1 从而 ( z y + z ，x 2 y 2 一x y z + z 2 ) = ( x y + z ，( x y + = ) 2 3 z y z ) = ( z o + ：，3 2 9 z ) ， 因为( z 可+ z ，z ) = ( z ，z ) = 1 ，所以 ( z y + 。，x 2 y 2 一x y z + 。2 ) = ( x y + z ，3 y z ) 同理，因为( x y + z ，g ) = ( x y + z ，z ) = 1 ，从而 ( x y + z ，x 2 y 2 一z y 。+ z 2 ) = ( x y + 三，( x y + 名) 2 3 x y z ) = ( x y + z ，3 ) ， 由于z 3 = 茹6 + x a y 3 + 可6 = ( z 3 一y 3 ) 2 + 3 x 3 y 3 ，若z y 兰0 ( r o o d3 ) 刚z 3i0 ( r o o d3 ) 与3 z 矛盾，所以x y 0 ( r o o d3 ) ( 2 ) 若z + y i 1 ，2 ( r o o d3 ) ，由( 1 ) ，从而只毹为下列4 种情况： 肟o ( 删3 ) 或踞1 ( r o o d 3 ) 】 ly 三1 ( m o d3 ) 。iy 5 0 ( r o o d3 ) 一o ( m o d 3 l 或茁；2 ( r o o d 3 ) ， i 兰2 ( m 。d 3 ) 8 i g i o ( m 。d3 ) 关于第一种情况，因为3 十z ，所以z 三1 ，2 ( r o o d3 ) ，若z 三1 ( r o o d3 ) ，则 妒e1 ( r o o d3 ) 若z 兰2 ( r o o d3 ) ，则z 3 三2 ( r o o d3 ) 由于 孑3 = 嚣6 十x 3 y 3 + y 6 三0 6 + 0 3 + 1 三l ( r o o d3 ) ， 从而2el ( r o o d3 ) ，所以z 可+ z 三1 ( r o o d3 ) ，因此3 z y + z ，从而 ( x y + 。，3 ) = 1 其它情况可同理讨论 ( 3 ) 若z + 三0 ( r o o d3 ) ，由( 1 ) ，从而只能为下列2 种情况： z 兰2 ( r o o d3 )女j 茁；l ( r o o d3 ) 1 三1 ( t o o d3 ) 甄1 可i2 ( t o o d3 ) 2 0 0 5 年4 月 中国科学技术大学硕士学位论文第1 4 页 叁墅兰! 里2 1 1 至塑至兰垒! 竺竺兰堂 ! ! 兰圭兰竺墨兰童塑 关于第一种情况，因为3fz ，所以。兰1 ，2 ( r o o d3 ) ，若? il f m 。d3 ) ， 则z 3i1 ( r o o d3 ) 若= = 2 ( r o o d3 ) ，则z 3 = 2 ( m o d 3 ) 由于 = z 6 + x 3 y 3 + 可6 三2 6 + 2 3 + l 三1f m o d3 1 从而z 兰1 ( r o o d3 ) ，所以x y + 。i0 ( m o d 3 ) ，因此3lx y + 2 ，从而 ( z 可+ z ，3 ) = 3 另一情况可同理讨论 口 引理3 2 - 2 存在素数口三l ( m o d3 “) ，使得( ；) 1 证明由于 ( 4 _ 3 “，2 3 “+ i ) = ( 4 3 “一4 3 “2 2 - 3 ”+ 1 ) ；( 2 ，2 3 ”+ 1 ) = 1 ， 根据d i r i c h l e t 定理，存在素数q = 4 3 ”m + 2 3 n + 1 ，其中n ，m z ，则 q 一7 = 4 、3 “r r t 23 ”j - 1 7 = 4 t 3 1 r r t + 2 3 ”一6 = 2 3 一( 2 m 3 ”1 + 3 “一1 1 ；0 ( m o d1 2 ) ， 所以q 5 7 兰一5 ( m o d1 2 ) ，从而( ；) 1 口 引理3 2 3 若0 z z ，则不存在n ，b z ，( o ，6 ) ：l ，使得护：3 a b ( o 一叭 证明反证假定护= 3 a b ( a 一6 ) ，则。= 3 x 1 ，其中z l z 从而3 8 z ： a b ( a 一6 ) 由( a ，6 ) = 1 得a ，b ，a b 两两互素 从而存在两两互素的非零整数m ，礼，t ，使得o = 3 s t 9 ，b ：m 9 、o b ：n 9 则因为q = b 十( a 一，所以 9 ，( 3 2 t 3 ) 3 = m 9 + n 9 = ( m 3 + 礼3 ) ( m 6 t r t 3 n 3 + n 6 ) ，( 3 1 ) 因为 ( 仇3 + n 3 ) 2 3 m 3 n 3 ) 3 m a n 3 ) 3 n 3 1 3 1 舻小小栌 + 十 + 十 3 3 3 3 | | = = = 礼+凡产n nn+m 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第3 章g 3 ( q ) ( n 3 ) 不是巧2 q 的子群 32 主要结栗和证明 由e u l e r 定理，n 。= ( 舻) 3 三一( m o d3 ) 由( 3 1 ) ，得3im 3 + n 3 ，或 3l m 6 一仇3 佗3 + 几6 = ( 1 3 + n 3 ) 2 3 m 3 他3 ， 所以3i 1 3 十矛，从而m 3 + n 3 三 1 9 + n 9i0 ( r o o d3 ) ，所以 f m 3 + n 3 、 1 6 一仃1 3 n 3 十n 6 ) = 3 由( 31 ) 得 ( 3 h 3 ) 3 = m 3 广+ n 3 m 6 7 z 3 n 3 + 礼6 r 一 又因为( 芷# ，m 6 - - m 广3 ”a + n 6 ) = 1 ，从而存在整数t z 0 ，使得t = ( m 3 + n 3 ) ， 即m 3 + 一= 3 缘这与引理3i 9 矛盾 口 g l 理3 2 4 设礼3 ，。，y z ，( z ，y ) = i ，垂3 n ( z ，y ) = z 3 ，3f z ，m 1 j z + i0 ( r o o d3 ) 证明由引理3 18 得理想( x 3 1 一y 3 - z ( ) 与( z 矿1 一y 3 - 1 ( 2 ) 互索，其中 是3 次本原单位根。因为 。3 = 圣3 。( 茁，可) = z 2 卵_ 。+ x 3 ”- 1 y 3 1 + y 2 3 “ = ( z 3 ”一y 3 ”- i ( ) ( z 3 1 一铲。1 e 2 ) 又由于z 旧是主理想整环且它的单位为4 - 1 ，士e ，土( 2 ，从而存在o ，b z ，使 得以下的三种情形之一成立： ( i ) 巧3 “一3 “一1 ( = ( n 十6 ( ) 3 = a 3 3 n 6 2 + b 3 3 a b ( b 一) ( ， ( i i ) 3 1 一y 3 n - 1 e = ( o + 6 e ) 3 = 3 a b ( b 一口) 一( - a 3 + 3 a 2 b b 3 ) e ， ( i i i ) 。3 1 一可3 ”- 1 ( = 2a + k ) 3 = 一q 3 + 3 a 2 b b 3 一( 口3 3 a b 2 + 6 3 ) 比较两边1 和( 的系数，由( i ) 得 口3 1 ：口3 3 n 6 2 + 6 3 ， 矿= 3 a b ( b o ) ( 3 2 ) 则( a ，b ) = 1 ；这是因为：假定( a ，b ) l ，则存在素数p ，使得pia ，pl b ，从 而pjz ，pi ，与( 。，y ) = 1 矛盾因为礼3 ，由引理3 2 3 知( 3 2 ) 是不可 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第3 5g ”( q ) ( n 3 ) 不是k 2 q 的子群 1 32 主要结果和证明 能成立的，由( i i ) 得 z 3 1 “1 = 3 a b ( b n ) ，( 33 ) y 3 = 一a 3 + 3 a b 2 b 3 同上可知( 3 3 ) 亦是不可能成立的从而得( i i i ) 成立由( i i i ) 得3 2 3 1 + y 酽= 3 a b ( a 一6 ) ，从而z + y = 。3 1 + y 3 1 兰0 ( r o o d3 ) 口 号l 理3 2 5 若z ，y z ，( 。，y ) = 1 ，。+ y 兰0 ( r o o d3 ) ，名3 = z 6 + x 3 y 3 + y 6 ，3 。，素数口旧则( ；) = 1 证明由于z 3 = 。6 + x 3 y 3 + y 6 ，得到 ( 。3 + 矿) 2 = ( z + z 3 ，) ( 。2 一x y z + x 2 y 2 ) 由( z ，y ) = 1 和z 3 = z 6 + x 3 y 3 + y 6 得。，y ，z 两两互素因为茁+ y ；0 ( m o d3 ) ，根据引理3 2 1 ( 3 ) 1 得( z + x y ，产一x y z + x 2 y 2 ) = 3 ，从而存在 m ，扎z ，( m ，礼) = 1 ，使得下面两式成立： z + x y = 3 m 2 z 2 一x y z + z 2 2 = 3 n 2 由( 3 5 ) 得 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 3 n 2 = ( z + z 可e ) ( z + 。可e 2 ) ，( 3 6 ) 其中e 是3 次本原单位根由( 3 4 ) 得x y = 3 m 2 一z ，将其代入( 3 6 ) ，得 3 n 2 = ( 。+ 3 m 2 e z e ) ( z + 3 m 2 e 2 一z e 2 ) = ( 3 m 2 ( + z ( 1 一e ) ) ( 3 m 2 ( 2 + z ( 1 一2 ) ) = ( 1 一e ) ( 1 一( 2 ) ( e ( 1 一( 2 ) m 2 + z ) ( e 2 ( 1 一( ) r n 2 + z ) = 3 一m 2 + m 2 f ) 忙一m 2 + m 2 2 ) ， 从而礼2 = ( z 一仇2 + m 。( ) ( z m 2 + m 2 2 ) 由引理3 1 8 得理想( z m 2 + m 2 e ) 与( z m 2 + m 2 e 2 ) 互素，又z 嘲中的单位为士1 ，土( 土e 2 ，而( = ( 4 ，于是 存在o ，b z ，使得 z m 2 + m 2 ( = 士( a + b e ) 2 = 士( n 2 b 2 + ( 2 a b 一6 2 ) e ) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 7 页 重! 兰呈兰! 皇! ! ：兰! ! 至苎丝些丝兰量! ! 兰圭兰竺墨兰兰竺 从而得到 f z m 2 = q 2 一b 2 。f 。一m 2 = 一口2 + b 2 1 m 2 ：2 n 6 一圮 或 m 2 ：一2 幻+ 眈 所以2 = ( ( 。+ 6 ) 2 3 5 2 ) ，从而若qiz ，得到( 凸+ 6 ) 2 ；3 b 2 ( r o o dq ) ，从而 = ( 学) 2 = ( 了3 b 2 ) ：( ；) 口 弓j 翠3 - 2 - 6 - 若n 3 ，a ，6 z ，( n ，6 ) = 1 ，3 硒取素数q ；1 ( r o o d 3 “) ， ( ；) 1 则不定方程量3 n ( n ，6 ) = q 3 荔无整数解 证明由引理3 2 ，2 ，取素数gil ( r o o d3 “) ，( ；) l ，若不定方程西3 n ( a ，= q 3 z 有整数解，则由引理3 2 5 得( ；) = i ，矛盾，所以引理3 2 6 成立口 引理3 2 7 设n23 ，a ，b z ，( a ，b ) = 1 ，则不定方程圣3 n ( o ，b ) = 3 2 3 无整 数解 证明由于圣印( 口，6 ) = a 2 伊+ a 3 1 6 3 1 + 6 23 1 ：3 令z = n 3 2 ， y ：6 3 2 ，刚上述方程化为 z 6 + x a y 3 + y 6 = 3 2 3 ( 3 7 ) 由( 。，6 ) = 1 ，得( z ，y ) = 1 所以只需证明不定方程( 3 7 ) 无整数解由 ( z ，y ) = 1 和( 3 7 ) 得z ，口，z 两两互素，z 0 由( 3 7 ) 得 0 3 =可3 土v 气万= _ 致歹f 厕一一y 3 士、，石i 五了= 五万 2 2 从而3 ( 4 2 3 一y 6 ) = 七2 ，其中七z 由于3lk ，可设k = 3 危，其中h z 所 以4 2 3 一6 = 3 h 2 因此 4( 嘉) 3 一s ( 嘉) 2 ( 3 , 8 ) 令争= 2 t + 1 ，其中t 故由( 3 8 ) 得 a ( 孝) 3 一- = 。( 。t 十- ) 2 = s ( 4 t 2 + 4 t + 1 ) = a ( 3 t 2 + 3 t + 1 ) 一- ， 从而 f ，a = 3 t 2 + 3 t + 1 = ( + 1 ) s 一矿，( 3 9 ) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 8 页 第3 章g 3 ”( q ) ( n 3 ) 不是a 2 q 的子群32 主要结果和证明 ，、3 且t 十1 0 ，t 0 否则，若t 一0 ，由( 3 9 ) 得( 孝) = 1 ，从而磊= 1 ，则 、；7 、3 。 = = 9 2 与( y ，：) = 1 矛盾若t + l = 0 ，由( 3 9 ) 得( 砉) = 1 ，同样矛盾 在( 39 ) 两边同乘以音，t + 1 ，与t 的公分母的立方，则得到个非零 整数的立方是两个非零整数的立方和，这与费马大定理矛盾故整数k 不存 在，从而不定方程( 3 、7 1 无整数解口 定理3 2 8 当n 之3 时，g 3 n ( q ) 不是2 q 的子群 证明由引理3 15 ，要证g 3 n ( q ) 不是娲q 的子群只需证明两个不定方程 西3 n ( n ，b ) = q 3 2 3 和圣3 n ( o ，b ) = 3 2 3 都无整数解由引理3 ，26 得击3 。b ) = 矿z 3 无整数解，由引理327 得圣3 n ( d ，b ) = 3 2 3 无整数解所以当礼3 时， g 3 n ( q ) 不是尥q 的子群 口 第4 章一类交换局部环的尥群 给定一个环r 后，研究该环的场群是代数k 一理论的一个重要研究 方向由于交换局部环在环论中占有一个特殊的位置，所以对交换局部环 的尬群的研究也是很有意义的但目前我们只知道交换局部环的群由 s t e i a b e r g 符号生成，并且满足一些关系这样的结果还不够细致，我们通过 对交换局部环加上一些限制条件，通过考察其元素的阶，得到一些更加精细 的结果 4 1 概念，记号和引理 本章总设r 是一个交换局部环，m 是r 的唯一的极大理想，记自然同 态为咿：r - - - - - 4r m ，zr 一牙且设r 满足下列条件： ( 1 ) f = r m 是特征为p 的q 元有限域，则q = p ，其中= f ：zp 1 p 是f 的单位群，则f + 是q 一1 阶的循环群，设f + = ( a ) ，其中a r f 2 ) 设r 的极大理想m 是幂零指数为t 的幂零理想，即存在t z ，使 得彬= 0 而m “1 0 由于c h a f f = p ，所以p i = o ，因此p 1 rem ，由 于m 。= o ，所以矿1 r = ( p 1 r ) = o 于是对任意r r ，p t r = ( p 。1 r ) r = 0 r = 0 ，所以c h a r r = p 5 ，其中s z ，8 t 以下总设c h a r r = p 5 命题4 1 1 ( 8 】命题7 9 ) 令r 为交换环，则对于。，0 1 1 ，a 2 ，卢，卢l ，屉r + ， 有 ( 1 ) 口，a ) = o ，卢) 一1 ； ( 2 ) 。，口) = 。t ，p ) a 。，口) j ( 3 ) 口，一o ) = o ，l q ) = 1 引理4 1 2 ( 8 j 推论1 3 4 ) 若r 是交换半局部环，则扔r 可以由s t e i n b e r g 符号 z ，f ) 生成，其中石，y r + 引理4 1 3 k 2 r 由( o ，) ， o ，1 + ，y ) ， l + 7 ，1 + d 生成，其中a 是f + 的 生成元在自然同态下的提升，1 ，6 m 证明因为f = r m 是有限域，所以f + = ( a ) 是旷1 阶循环群，o r 对 任意r ，h r + ，则f = 配h = 酽，其中i ，j z 故r = 6 + a ，h = 14 - a j ，其 1 9 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第2 0 页 墨! 主二塞塞堡苎童堑竺丝墅 坠兰圭量竺墨童兰竺 中，y ，d m 而a = n + m 可逆，所以存在b + m r m ，使得 ( + m ) ( 6 + m ) = a b + m = 1 十w 因此a b = 1 + m ，其中m m 于是a b ( 1 + m ) 一1 = 1 ，所以可逆，因此 r = d + a 2 ；a i ( 1 + a - i d ) 由于r 是交换局部环，所以娲r 可以由s t e i n b e r g 符号n 生成， 其中r ，h 彤于是 r ，h ) = ( d + 0 ，1 + ) = 口( d 。叫+ 1 ) ，a j ( 一y a 一+ 1 ) ) = a i ( s a i + 1 ) ，a o a 4 ( d 0 1 + 1 ) ，7 a 一+ 1 ) = o ，a j ( s a i + 1 ，) n 。，吖。一+ 1 ) d o “+ 1 ，7 a 一+ 1 ) = ( a ，o u ( d o 一+ 1 ，n p n ，7 a 一+ 1 。 s a 叫+ 1 7 a 一+ 1 ) 因此，尬r 由 o ，o ) ， 凸，1 + 1 ， 1 十7 ，l + d 生成，其中1 ，5 m 口 引理4 1 4 在j 毛r 中，若p 5 t ，则( n ，。 矿( 矿。) = 1 证明因为# f = q 一矿，所以f + = p 。一1 ，因此酽。1 = i ，于是a p “1 = 1 + 6 ， 其中d m 因此 ( o ，口矿一1 ) = o p k - ia p 5 = ( 1 + d ，o ) 矿 = ( 1 + 5 ) p 。，。) = 1 + d ”，a ) = 1 ，a ) = 1 5 3 4 2 主要结果和证明 命题4 2 1 若c h a r r = p 。中的p 是奇素数，且p 8 t ，则 ，n ) = 1 证明首先我们可以找到豇f = r m ( 豇1 ) ，使得百和1 一百均为非平 方元由于f = ( a ) ，所以面= 弘1 一面= 酽，其中( i ，2 ) = ( 工2 ) = 1 ，于是 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文第2 1 页 第4 章一类交换局部环的肠群4 2 主要结果和证明 “= 酽+ d ，1 一u = a j + ，y ，其中d ，7 m 由于 所以 l = “，l u ) = a 2 + 6 ，a j + ，y ) = o i ( 1 + o 叫d ) ，a j ( 1 + q 一7 ) = a i ，一( 1 + a - j 7 ) h l + n 1 6 ，a j ( 1 + a - j 了) = 矿，a j ) ，1 + a - j ，y ) l + a - i 6 ，a j ( 1 + a - j 7 ) ) = a ，o ) ” n ，1 + a - j 7 ) 1 1 + a - i 6 ，a j ( 1 + a - j r ) ， 1 = 。，。) 。c a ，1 + a - j t p 。( 1 + a - i 6 , 一( 14 - a - j ，y ) ) 矿 = 。，凸) 矿 o ，( 1 + a - j ，y ) 矿) ( 1 + n 一。6 ) ，a 2 ( 1 + a - j 7 ) ) = o ，o ) 玎”c a ，1 + ( a - j t ) p 5 ) 4 1 + ( n 一d ) ，a j ( 1 + 。一7 ) 因为p 5 t ，并且m 。= 0 ，所以 ( q ，l + ( o 一7 ，y ) 矿) 2 l + ( n 叫d ) ，a j ( 1 + a - j 7 ) = o ，1 ) 1 ，a j ( 1 + a - j 7 ) ) 11i 因此 o ，n p 矿一1 由于( p ，2 ) = 1 ，所以“，2 ) = 1 ，又因为( i ，2 ) = ( j ，2 ) = 1 ，所以 ( 巧矿，2 ) = 1 ，于是存在c ，d z ，使得 j 矿c + 2 d = 1 ，又由于 o ，o ) 2 = l 因此 a ，o = 。，n ) 伽埘= o ，a i j p 。，a ) 射= o ，a i j p “= 1 口 定理4 2 2 若c h a r r = p 。中的p 是奇素数，且p s t ，则j 幻r 由f 1 + 7 ，1 + 5 生成，其中7 ，5 m ， 证明因为 n ，1 + d 矿= 。，( 1 + 占) p 5 = ，1 + 扩5 ) = ，1 = 1 并且矿i = 1 + 7 ，其中7 m ，所以 ，1 + 巧 矿一1 = ( 口矿一1 ，1 + 占) = f l + 7 ，1 + d ) 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学硕士学位论文 第2 2 页 ! ! 兰三叁查丝鱼竺兰! ! 丝兰兰：! ：! ：! 竺! 由于( p 5 ，p “一1 ) = 1 ，因此存在c ，d z ，使得p s c4 - d ( p k 一1 ) = 1 ，