（基础数学专业论文）半连续格及相容连续偏序集研究.pdf

陈昱半连续格及相容连续偏序集研究 中文摘要 本文研究的主要内容是半连续格、相容连续偏序集及e x a c t 偏序集上的重要问题 本文首先考虑了半连续格，这是连续格的推广研究了半连续格及其上的半s c o t t 拓 扑，证明了半连续格中若干半素理想的定向并仍为半素理想：给出了完备格成为半连续格 的一个充分条件，从而扩充了半连续格理论；还证明了半连续格中任一主理想都是半 s c o t t 闭集；证明了半连续格中的某子集若可以表示成某一主理想的补集，则该子集为半 s c o t t 拓扑的素元 其次，本文在完备格中引入半基和局部半基，给出了它们的一些基本性质和若干等 价刻画，证明了完备格为半连续格当且仅当它有半基，也当且仅当它每点有局部半基 在此基础上本文定义了半连续格的权和特征，探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内 蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系，并否定地回答了赵彬教授等人在这方面的提出的 一个公开问题 最后，本文针对相容连续偏序集和e x a c t 偏序集做了探讨相容连续偏序集是对连续 d o m m n 概念的微小推广，而e x a c t 偏序集概念是连续偏序集概念的推广，它与连续偏序集 在形式上类似，但实质差别较大本文深入地研究了相容连续偏序集的定向完备化，得到 了如下结果：( 1 ) 对连续d o m a i np 上极大点集m a x ( p ) 的某子集a ，当p a 不为空集时有p a 是 相容连续偏序集；( 2 ) 当连续d o m a i np 上极大点集m a x ( p ) 的某子集a 的s c o t t 内部是空集时， p a 的定向完备化同构于p ，并给出了两个例子说明“a 的s c o t t 内部是空集 这个条件是充 分非必要条件本文还探讨- j e x a c t 偏序集的相关性质，证明了每个连续偏序集都是e x a c t 偏序集；证明了e x a c td o m a i n 对于s c o t t 开集是可遗传的；还证明了d o m a i n 均为弱d o m a i n ； 而弱d o m a i n 为d o m a i n 的充要条件是其中任一元的弱双上集为上集 关键词：连续d o m a i n ；半连续格；半基；局部半基；连续偏序集；相容连续偏序集； e x a c t 偏序集；弱d o m m n ；e x a c td o m a i n 扬州大学硕+ 学位论文 三 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei sm a i n l ya b o u ts e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e s ，c o n s i s t e n t l yc o n t i n u o u sp o s e t sa n d e x a c tp o s e t s f i r s t l y , s e m i - c o n t i n u o u sl a t t i c e s 一一g e n e r a l i z a t i o n so fc o n t i n u o u sl a t t i c e sa r ec o n c e m e d t h i s p a p e re x p l o r e sd e e p l yt h ep r o p e r t i e so fs e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e sa n dt h es e m i s c o t tt o p o l o g yo f t h e m i ti sp r o v e dt h a ti ns e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e s ，d i r e c t e ds u p so fs e m i p r i m ei d e a l sa r ea l s o s e m i - p r i m ei d e a l sa n dt h a te a c hp r i n c i p l ei d e a li ss e m i s c o t tc l o s e d i ti sa l s op r o v e dt h a ti fa s u b s e tc o u l db ee x p r e s s e da st h ec o m p l e m e n to fap r i n c i p l ei d e a l ，t h e nt h es u b s e ti sa p r i m e e l e m e n to ft h es e m i s c o t tt o p o l o g y w ea l s og i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra c o m p l e t el a t t i c et o b eas e m i - c o n t i n u o u sl a t t i c e t h e s er e s u l t se n r i c ht h et h e o r yo fs e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e s s e c o n d l y , c o n c e p t so fs e m i - b a s e sa n dl o c a l s e m ib a s e so nc o m p l e t el a t t i c e sa r ei n t r o d u c e d s o m ep r o p e r t i e sa n de q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fs e m i b a s e sa n dl o c a ls e m i b a s e sa r e o b t a i n e d i ti sp r o v e dt h a tac o m p l e t el a t t i c ei ss e m i c o n t i n u o u si fa n d o n l yi fi th a sas e m i b a s e o ral o c a ls e m i - b a s e b a s e do nt h e s er e s u l t s ，w eg i v et h ec o n c e p t so fw e i g h t sa n dc h a r a c t e r so f s e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e s w ed i s c u s sr e l a t i o n sb e t w e e n w e i g h t s c h a r a c t e r so fas e m i c o n t i n u o u s l a t t i c ea n dt h a to fr e l a t e dt o p o l o g i c a ls p a c e si nt h es e m i - s c o t tt o p o l o g yo rt h es e m i l a w s o n t o p o l o g y a n dw eg i v ean e g a t i v ea n s w e rt oa no p e np r o b l e mp o s e db yp r o f e s s o rb i nz h a o ，e t c f i n a l l y , w ee x p l o r ec o n s i s t e n t l yc o n t i n u o u sp o s e t sa n de x a c tp o s e t s c o n s i s t e n t l y c o n t i n u o u sp o s e t sa r em i n o rg e n e r a l i z a t i o n so fc o n t i n u o u sd o m a i n s t h ec o n c e p to fe x a c tp o s e t s i sag e n e r a l i z a t i o n so ft h e c o n c e p to fc o n t i n u o u sp o s e t s ，s i m i l a rf o r m a l l yb u td i f f e r e n t e s s e n t i a l l y f o rc o n s i s t e n t l yc o n t i n u o u sp o s e t s ，w ed e e p l ys t u d yt h e i rd i r e c t e dc o m p l e t i o n s t h e f o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d ：( 1 ) f o rac o n t i n u o u sd o m a i npa n das u b s e ta c _ m a x ( p ) p 认i sa c o n s i s t e n t l yc o n t i n u o u sp o s e rw h e n e v e rp k a i sn o te m p t y ；( 2 ) f o rac o n t i n u o u sd o m a i npa n da s u b s e ta c m a x ( p ) ，i ft h es c o t ti n t e r i o ro fai s e m p t y , t h e nt h ed i r e c t e dc o m p l e t i o no fp 认i s i s o m o r p h i ct op t w oe x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h ec o n d i t i o nt h a tt h es c o t ti n t e r i o ro fai s e m p t yi ss u f f i c i e n tb u tn o tn e c e s s a r y f o re x a c tp o s e t s ，i ti sp r o v e dt h a te v e r yc o n t i n u o u sp o s e t i sa ne x a c tp o s e ta n dt h a te x a c td o m a i n sa r eh e r e d i t a r yt os c o t t o p e ns e t s i ti sa l s op r o v e dt h a t e v e r yd o m a i ni saw e a kd o m a i n ，a n dt h a taw e a kd o m a i ni sad o m a i ni fa n do n l yi ft h ew e a k w a y - b e l o wu p p e rs e to fe v e r yi t se l e m e n ti sa nu p p e rs e t k e yw o r d s ：c o n t i n u o u sd o m a i n ；s e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e ；s e m i b a s e ；l o c a ls e m i b a s e ； c o n t i n u o u sp o s e t ；c o n s i s t e n t l yc o n t i n u o u sp o s e t ；e x a c tp o s e t ；w e a kd o m a i n ；e x a c td o m a i n 陈竖半连续格及相容连续偏序集研究 符号 个a 山a d c p o m a x ( p ) v t d i d ( p ) 6 ( p ) 6 木( p ) 九( p ) t o ( p ) r ( x ) x q u x k ( p ) r d ( l ) x 乍y u b x o 。( l ) k ( l ) x w y u w x 符号说明 在本文中的含义页码 a 的上集7 a 的下集7 定向完备偏序集7 偏序集p 中的极大点集7 定向集d 的上确界7 偏序集p 中的全体理想7 偏序集p 上的s c o t t 拓扑8 偏序集p 的全体s c o t t 闭集8 偏序集p 上的l a w s o n 拓扑8 偏序集p 上的下拓扑8 拓扑空间x 的所有闭子集9 x 双小于y 或x 逼近于y 9 双小于x 的元的集合9 偏序集p 的紧元集9 格l 中的半素理想集1 0 x 半双小于y 1 0 半双小于x 的元的集合1 0 格l 上的半s c o t t 拓扑1 1 完备格l 上的半l a w s o n 拓扑1 1 x 弱双小于y 2 1 弱双小于x 的元的集合2 1 陈昱半连续格及相容连续偏序集研究 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人户i j j j ：所呈爻的学位论文是在导师指导f 独立进行研冤工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对 本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由 本人承担。 学位论文作者签名：芦、墨 签字日期。1 年6 月。日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬 州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位 论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 导师签名： 7 纷罗山 i 签字日期：加7 年6 月日 ， 扬州大学硕+ 学位论文 第一章引言 4 一 连续格理论及更广的d o m a i n 理论来源于两种完全不同的背景1 9 7 1 年。著名逻辑学 家d s c o t t 因理论计算机的语义问题提出了连续格的概念【1 】在纯数学的研究方面，七十 年代中期，j d l a w s o n ，k h h o f f m a n 等人在关于紧半格的结构理论研究中，也发现 了连续格和代数格的结构这样，两种完全不同的背景导致了同一对象的发现，刺激了该 领域的研究后来，人们推广了连续格的概念，将其中最关键的w a yb e l o w 关系移植到偏 序集上得到了连续偏序集的概念( 参见文献 2 6 】) 1 9 7 9 年，l a w s o n 给出了连续偏序集的 谱理论，指出任意连续偏序集上的s c o t t 拓扑都是完全分配格 2 ，从而将连续偏序集、 连续格及完全分配格的研究有机地结合起来理论计算机中广泛研究的各种d o m a i n 则是 特殊的连续偏序集，它们一般具有良好的局部性质，如主理想是连续格或代数格等从上 世纪八十年代开始，连续d o m a i n 即连续d c p o 逐渐成为d o m a i n 理论的主要研究对象作 为这种趋势的一个标志，1 9 9 4 年s a b r a m s k y 和a j u n g 在文【7 】中以连续d o m a i n 为主要 对象系统地阐述了经典d o m a i n 的数学理论2 0 0 3 年出版的由g g i e r z 等六位作者合著的 文献 8 更是d o m a i n 理论研究的著名专著 随着连续d o m a i n 在计算机科学和经典数学领域逐渐得到应用，人们对连续d o m a i n 的研究也不断深入，目前已经取得了许多深刻而且影响深远的结果( 见文献 9 【1 5 】) 其 中，文 1 0 】- 1 4 研究了完备格( 偏序集) 理论中的重要概念基和局部基，并且利用它们 成功地刻画了完备格( 偏序集) 的连续性；文 1 5 】给出了d c p o 的子d c p o 、子空间等概念，并 研究了连续d o m a i n 的遗传性及不变性 在d o m a i n 理论中，拓扑、序、逼近( 计算) 及逻辑的概念和思想可以互相转化，其 中拓扑是非常重要的研究工具，因而d o m a i n 理论也吸引了众多格上拓扑学方面的学者的 参与 拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的- 1 7 学科，它的起 源可以追溯到1 8 世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究1 8 4 7 年，高斯的学生j b l i s t i n g 发表了拓扑学初步，首先引用了拓扑学这一术语1 8 5 2 年，f g u t h r i e 提出的关 于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用1 8 5 1 年，黎曼在论文几 何基础假设中引进了流行的概念，成功解决了可定向闭曲面上的同胚分类问题此后， 有关拓扑学方面的研究成果逐渐出现 陈翌半连续格及相容连续偏序集研究 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支一个分支是偏重于用代 数方法来研究的，叫做代数拓扑，另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集 拓扑学，或者叫做分析拓扑学目前，点集拓扑学的方法和结果渗透到几乎所有数学分支 中，文献 1 6 - 1 8 等都是点集拓扑学方面的重要文献 上世纪五十年代末，c e h r e s m a n n 提出了一种新的观点，他认为具有某种分配性的格 ( 如完备h e y t i n g 代数，直觉逻辑学者也称之为完备b r o u w e r 格) 本身就可作为一种广义拓 扑来研究，而不论其是否可以表示为某一拓扑空间的开集格后来的研究表明这种融拓 扑结构与序结构于一体的探讨是有特色的，因其研究方法一般不涉及点的概念，从而形成 了无点化拓扑理论，也称l o c k e 理论或f r a m e 理论p t j o h n s t o n e 的专著 1 9 】和郑崇友等 的专著 2 0 1 是这一领域研究工作的总结 连续格理论以及更广的连续偏序集理论集序结构、代数结构、拓扑结构的研究于一体， 取得了丰硕的成果，并对计算机应用产生了重要影响但是，狭义的d o m m n 理论必须建 立在定向完备偏序集的基础上，因此正如徐罗山教授在文献 2 1 中指出的：最基本且结构 最丰富的实数集r ，自然数集n 不能作为连续偏序集，更谈不上连续格这在很大程度 上限制了连续偏序集理论的实用范围所以近年来许多作者试图从不同的角度推广连续 格理论这方面工作可参见文献 2 卜3 6 为了推广连续格，y r a y 首先提出格中半素理想的概念，并研究了它的一些基本性质 2 4 d z h a o 利用半素理想，给出了一种新的关系乍，并由此定义了一种新的格半 连续格，且把连续格中的一些性质移植到了半连续格中 1 5 目前关于半连续格的研究 已经出现较多研究成果( 见文献 2 6 】- 【3 0 】) ，其中文 2 6 1 在完备格上引入半s c o r 拓扑和半 l a w s o n 拓扑，并讨论了半连续格上的半s c o t c 拓扑和半l a w s o n 拓扑的一些基本性质；文 2 7 】利用半s c o a 拓扑给出了半连续格的等价刻画，并研究了半连续格上的半连续映射；文 2 8 【3 0 】将众多连续格的性质移植推广到半连续格上，逐步扩充了半连续格理论在上述 研究基础之上，本文将更为深入地研究半连续格我们的研究表明半连续格中若干半素理 想的定向并仍为半素理想；半连续格中任一主理想都是半s c o t t 闭集，且若半连续格中的 子集可以表示成某一主理想的补集形式，则该子集为半s c o t t 拓扑的素元我们还要在 完备格中引入半基和局部半基的概念，研究其基本性质并给出若干等价刻画，利用半基和 局部半基给出半连续格的刻画此外，本文还定义了半连续格的权和特征，探讨了半连 续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系，并回答了赵彬教授 扬州火学硕十学位论文 等在这方面提出的一个公开问题 相容连续偏序集是连续d o m a i n 概念的微小推广，它是由徐罗山教授针对r ，n 不能作 为d o m a i n 看待这样一种情况，结合r ，n 的序结构特点引入的【2 1 于是得到不仅r 是 相容连续偏序集，n 是相容代数偏序集，而且任一相容连续偏序集都紧密联系一个连续偏 序集，即它的定向完备化，从而有许多良好的性质从范畴方面看，相容连续偏序集范畴 还以连续偏序集范畴作为满的反射子范畴本文针对相容连续偏序集及其定向完备化将展 开更深入的研究我们得到的主要结论是：( 1 ) 对连续d o m a i np 上极大点集m a x ( p ) 的某真 子集a ，有p a 是相容连续偏序集；( 2 ) 当连续d o m a i np 上极大点集m a x ( p ) 的某子集a 的 s c o t t 内部是空集时，p a 的定向完备化同构于p 作为对连续偏序集概念的推广，m a s h b u r n 还引a 7 e x a c t 偏序集的概念【3 1 】，并讨论 了一些基本性质文【3 2 】主要讨论了e x a c t 偏序集的乘积和映射性质，引入了e x a c t 偏序集 的基的概念，并研究了e x a c t 偏序集的基的性质本文也将进一步研究e x a c t 偏序集的相关 性质，证明每个连续偏序集都是e x a c t 偏序集，每个e x a c td o m a i n 对于s c o t t 开集是可遗传 的；讨论弱d o m a i n 和连续d o m a i n 的关系，给出弱d o m a i n 成为连续d o m a i n 的判别条件 总之，本文进一步研究了半连续格、相容连续偏序集和e x a c t 偏序集上的一些重要问 题，得到了一些重要研究成果，这充实了连续格与广义d o m a i n 理论的内容 下面说明本文的结构安排 第一章引言主要介绍了本文的研究背景，并简要介绍了本文研究的主要内容 第二章预备知识主要介绍了后面各章要用的主要定义、定理 第三章半连续格上的半基和局部半基主要讨论了半连续格上进一步的性质，并在 完备格上引入了半基和局部半基的概念，研究其基本性质并给出若干等价刻画，利用半 基和局部半基给出半连续格的刻画此外还定义了半连续格的权和特征，探讨了半连续格 的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系 第四章相容连续偏序集和弱d o m a i n 主要针对相容连续偏序集及其定向完备化和 e x a c t 偏序集做了更进一步研究 6 一 陈翌半连续格及相容连续偏序集研究 第二章预备知识 为了后面的引用，下面给出拓扑空间和d o m a i n 理论方面的基本概念和结果，其他用 到而未明确指明的概念请参见文献【8 、 1 7 】、 2 1 、 2 5 、 3 2 2 1 格、偏序集及其理想 7 一 定义2 1 1 【8 1 设( l ，) 为偏序集，其对偶偏序集( l ，) 记为l o p l 的非空子集d 称为 定向的，若对任意a b e d ，存在c e d 使得a b c 定义2 1 2 【8 】设p 为偏序集，对任意a e p , a p ，e t a = b ep ：a b ) ，山a = b ep ： b 白 ，i a = u 畦a 个a 和s a = u 睢a 上a 若a = i a ( a = 山a ) ，则称a 为上( 下) 集 定义2 1 3 【8 1 设p 为偏序集，p 的任一定向的下集称为p 的一个理想，p 的全体理想 记为i d ( p ) 对偶地，po p 的理想称为p 的一个滤子，p 的全体滤子记为f ii t ( p ) 命题2 1 4 设p 为偏序集，d 为p 中定向集，u 为p 中的上集且dnu o ，则d nu 为p 中的定向集 证明：设巩b e d n u ，只需证存在d e dnu 使得a ，b d 即可 因为a ，b e dnu ，所以如b e d 且a ，b u 因为d 为p 中定向集，故存在d e d 使得a b d 又u 为上集，故d e u 即存在d e d n u 使得a b d 原命题得证 定义2 1 5 【8 】设p 为一个偏序集，b o p , y e b 若对任意x e b 有x y 则称y 是b 的极大元记m a x ( p ) 为p 的极大点集类似地可定义极小元 定义2 1 6 8 1 设p 为偏序集，a e p ，则山a 和个a 分别是p 的理想和滤子，称为由a 决 定的主理想和主滤子 定义2 1 7 吲设p 为偏序集，xsp ，若对任意x e x ，存在a e p 使x 如且当x b ( b e l ) 时有a b ，则称a 为x 的最小上界或上确界，记作s u p x 或v x 类似的可定义最 大下界或下确界，记作i n f x 或a x 当p 中定向集d 的上确界存在时，记之为s u p d 或 v 。d 对于x ，y e p , 记x v y = s u p x ，y ) ，x a y = i n f x ，y 定义2 1 8 【8 1 设p 为偏序集，称p 为定向完备偏序集( d c p o ) ，若p 中任意非空定向集 扬州大学硕士学位论文 在p 中有上确界 定义2 1 9 【8 1 设( p ) 是一个偏序集，a 是p 的一个非空子集若a 中任两元在关 系下可比，则称a 是全序集或链 引理2 1 1 0 ( z o r n 引理) 【8 1 设p 是一个偏序集如果p 中每一个链都有上界，则p 中必有极大元 命题2 1 1 1 设p 为d c p o ，则p 的极大点集m a x ( p ) 不为空集 证明：作为d e p o ，p 中任一定向集都有上确界，故p 中任一链有上界由引理2 1 1 0 ( z o r n 引理) 得p 有极大元，从而m a x ( p ) 不为空集 定义2 1 1 2 i s l 若偏序集l 中任意非空有限集都有交，则称l 为交半格，简称半 格若l 的任意非空有限集都有并，则称l 为并半格；若l 既是交半格又是并半格，则 称l 为格；若l 的任意子集都有并和交，则称l 为完备格 定义2 1 1 3 【8 】一个交半格s 称为分配的，如果由a b x 可得存在元c ，d 使a c ，b d 且x = c d 定义2 1 1 4 【8 1 设p 为偏序集，p p ，称p 为素元，若p = 1 或p 如是一个滤子偏 序集p 的素元全体之集记作p r i m ep 定义2 1 1 5 8 1 设p 为偏序集，p ep ，称p 为一个既约元，如果p 是极大元或个p p ) 是一个滤子偏序集p 的既约元全体之集记作i r rp 引理2 1 1 6 【8 】在分配交半格l 中，p l ，p 1 ，则p 是素元当且仅当p 是既约元 定义2 1 1 7 嘲设p ，l 为偏序集，f pj l 为映射如果任意x ，y l ，x y 时有 f ( x ) f ( y ) ，则称f 为保序映射 如果f p l ，f 1 ：ljp 存在( f 即单又满) ，且f ，f 1 都保序，则称l 与p 序同构 2 2 内蕴拓扑 定义2 2 1 s l 设p 是一个偏序集，u cp 如果u 满足条件： ( 1 ) u = 个u = x e p ：存在u e u ，u x ) ，即u 是一个上集； ( 2 ) 对p 的任一定向集d ，当s u p d 存在且s u p d e u 时，有d e d 使d e u ，即und g 陈昱 半连续格及相容连续偏序集研究 则称u 为p 上的s c o t t 开集p 上的s c o t t 开集全体是p 上的一个拓扑，记为o ( p ) ，称为s c o t t 拓扑s c o t t 开集的余集称为s c o t t 闭集，p 的全体s c o t t 闭集用。木( p ) 表示易知，f p 为 s c o t t 闭集当且仅当f 是p 的下集且对定向并关闭 定义2 2 2 【8 1 设p 为偏序集，形如p 个x ( v x e p ) 的子集作为开子基元生成的拓扑称为 p 的下拓扑，记为( p ) s c o t t 拓扑和下拓扑的最小上界拓扑称为p 上的l a w s o n 拓扑， 记为九( p ) 定义2 2 3 【8 】设x 为拓扑空间，acx ，若a a ，且对任两个闭集b ，c r ( x ) ，ac _ buc 有a b 或a c ，则称a 为既约集特别地，若a 为非空闭集，且满足上述条件， 则称a 为既约闭集 偏序集p 的既约s c o t t 闭集是指拓扑空间( p ，6 ( p ) ) 中的既约闭集 引理2 2 4 8 1 若p 为d c p o ，则显然有对任意x e p , h 是p 中既约s c o t t 闭集 引理2 2 5 【1 7 】设x 是一个基础集，a ，b x ，则anb = g 当且仅当ac _ x b 2 3 连续偏序集 定义2 3 1 8 1 设p 为偏序集，a ，b e p , 称aw a yb e l o wb ，记为a b ，若对p 中任一 定向集d ，如果s u p d 存在且s u p d b ，则dnc a g 对p 中任一元x ，e i ) x = u e p ：u x ) ，( i x = v e p ：x v ) 定义2 3 2 【8 】设p 为偏序集，对任意x p ，若x x ，则称x 为p 的紧元，p 的全体 紧元记为k ( p ) 命题2 3 3 8 】设p 为偏序集，对任意x ，y ，z ，u e p 有： ( 1 ) 若x y ，则x y ； ( 2 ) 若u x y z ，贝0u z ； ( 3 ) 若x z 且y z ，则只需x v y 存在就有x v y z ； ( 4 ) 若p 有最小元0 ，则对任意x e p 有0 x 易见， 具有传递性 9 一 扬州人学硕十学何论文 1 0 _ 一 定义2 3 4 【8 1 设p 为偏序集，如果对任意x e p 有上l x ( j r xnk ( p ) ) 是定向集且x = s u pu x ( x = s u p ( j ，xnk ( p ) ) ) ，则称p 是连续( 代数) 偏序集，连续的d c p o 称为d o m a i n ， 代数的d c p o 称为代数d o m a i n ，连续( 代数) 的完备格称为连续( 代数) 格 命题2 3 5 【8 1 设p 为偏序集，对任意x e p , 若存在d c l j x ，使s u p d = x ，则p 为连续偏 序集 引理2 3 6 8 1 设p 是连续偏序集，x ，z e l 且x z d c p 定向且s u p d z ，则存在d e d 使x d 引理2 3 7 【8 】在连续偏序集p 中，双小于关系满足下述插入性质： x z = ( 了y ) x y z 引理2 3 8 【8 】设l 为连续偏序集，则对任意x e l ，介x 为s c o t t 开集 陈翌半连续格及相容连续偏序集研究 第三章半连续格的半基和局部半基 本章在完备格中引入半基和局部半基的概念，利用它们成功刻画了完备格的半连续 性，还研究了半基和局部半基的一些基本性质并给出了若干等价刻画此外还定义了半连 续格的权和特征，探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和 特征的关系 3 1 半连续格与半s c o t t 拓扑 定义3 1 1 口5 1 设l 是格，i l 是理想若对任意x ，y ，ze l ，当x 八ye i ，x a z m 时 有x a ( y v z ) e i ，则称i 是格l 的半素理想用r d ( l ) 表示l 的全体半素理想之集 定义3 1 2 【2 5 】设l 是完备格，x ，y e l 若对任意i r d ( l ) ，当y s u p i 时，有x i ， 则称x 乍y 当x 仁x 时，称x 为半紧元记l 的全体半紧元为k b ( l ) 记i j 。x = ( y l ：y 仁x ) ， 仃b x = y e l ：x 乍y ) 定义3 1 3 口5 1 设l 是完备格若对任意x l ，有x s u p i j b x ，则称l 为半连续格若 对任意x e l ，有x = s u p o ( ，则称l 为强连续格 注3 1 4 2 5 】设l 是完备格， 为li - i 拘w a y b e l o w 关系则 ( 1 ) 冬仁 ( 2 ) 对任意毛b ，c ，d e l 若a b 乍c d ，则a 乍d ( 3 ) l 是强连续格当且仅当l 是连续格且在l 中仁= 当且仅当l 是半连续格 且在l 中仁= 引理3 1 5 2 5 1 设l 是半连续格对任意x ，y l ，若x 仁y ，则存在z l 使x 乍z 仁y 命题3 1 6 l 是半连续格，对任意x ，y e l ，p e r d ( l ) ，当x 乍y 时，若y s u p p ，则 存在z e p 使x 乍z 证明：由x 仁y 以及引理3 1 5 可知存在z 使得x 仁z 仁y 若p e r d ( l ) 且y s u p p ， 则由定义3 1 2 可知z e p 命题得证 命题3 1 7 设l 为半连续格，如果l 中的一个理想i 可以写成若干个半素理想的定 向并，则i 为半素理想 扬州人学硕七学何论文 1 2 _ - 一 证明：设i q ( a r ) 是半素理想，i 是l 中的理想且i = ua r i q 对于任意的x ，y ，z e l ， x a y e i 且x h z e i ，则存在q 1 ，a 2 e f ，使x a y e i a l i ，x a z e i n z e i 由 i ) a r 定向知存在 p r 使i a l ，i a 2 i b i ，故x a y e l a ，x a z e i b 因为i p 是半素理想，故x a ( y v z ) e l a c _ i ， 故i 是半素理想 命题3 1 8 l 是一个完备格，若对任意x e l ，都存在半素理想p i l b ) 【且s u p p x ， 则l 是半连续格 证明：对任意x e l ，s u p ( 1 j 。x ) s u p p x ，由定义3 1 3 知l 为半连续格 定义3 1 9 2 6 1 设l 是完备格，u l 称u 是半s c o t t 开集，若u 满足： ( 1 ) u = 个u ； ( 2 ) 对任意i e r d ( l ) ，当s u p i u 时，有in u o 半s c o t t 开集的补称为半s c o t t 闭集 注3 1 1 0 【2 6 】一个集是半s c o t t 闭的铮它是下集且对半素理想并封闭 命题3 1 1 1 设l 是半连续格，对任意x e l ，山x 是半s c o a 闭集 证明：显然山x 是一个下集，且山x 是包含x 的最小下集，且对定向并封闭由于半素 理想是理想，故也是定向集，故上x 对半素理想并封闭由注3 1 1 0 知上x 是一个半s c o r 闭集 定义3 1 1 2 【2 6 】l 中全体半s c o t t 开集构成一拓扑，称为半s c o t t 拓扑，记为o 。( l ) 称 o s ( l ) v o j ( l ) 为l 的半l a w s o n 拓扑，记为k ( l ) 注3 i 1 3 2 6 1 设l 是完备格，则v ( l ) o ( l ) g o 。( l ) 且( l ) x ( l ) k s ( l ) 命题3 1 1 4 设l 是半连续格，如果u = l 山a ( a e l ) ，则u 是o 。( l ) 的素元 证明：因为山a 是f 。( l ) 中的并既约元，故为( l ，6 。( l ) ) 中的既约闭集，则u = l 山a 为 ( l ，6 。( l ) ) 中的既约开集，由引理2 1 1 6 知u 为6 。( l ) 中的素元 3 2 半连续格的半基 定义3 2 1 设l 为完备格，b g l ，若任意x e l 有如下两条成立： ( 1 ) 、l ( i j b ) 【n b ) 是l 的半素理想； 陈昱半连续格及相容连续偏序集研究 ( 2 ) x s u p ( 1 j b x n b ) 则称b 为l 的一个半基 注3 2 2 设l 是半代数格( 文 2 7 】定义1 7 ) ，则半紧元集k b ( l ) 是l 的一个半基 命题3 2 3 设l 是完备格若b 是l 的半基，且b g b + ，则b 也是l 的半基 证明：只需证对任意x e l ，, 1 , ( i j b x n b ) = 山( i j b ) 【n b ) 一方面，因为b g b + ，故l j b x n b i j b x n b + ，则山( u b x n b ) $ ( 1 k x n b + ) 另一方面，对任意y s ( 岫n b + ) ，有y 乍x 且s u p s l ( 1 j b x n b ) = s u p ( 1 j 。x n b ) x 因为b 是l 的半基，故山( i l 。x n b ) 为l 的半素理想，则由定义3 1 2 可知y e s ( 1 j b x n b ) 故 $ ( u 。x a b + ) 上( i j 。x n b ) 综上所述：上( i j b ) 【n b ) = 山( i j b 】【n b + ) 原命题得证 引理3 2 4 设l 是完备格，x e l ，则i l b 】【是l 的一个半素理想 证明：对x e l ，易见u b x 为下集对任意a b e i j b x 由定义3 1 2 知对任意半素理想i ，若 x s u p i ，则a e i 且b e i 由l 为完备格且i 为半素理想知a v b e i ，从而a v b 仁x ，于是i j b ) 【 为理想 再证i j b ) 【为半素理想对任意r ，s ，t l ，若r a s i l b x 且r a t u b x ，则对任意半素理想i ， 当x s u p i 时，有r a s e i 且r a t i 由于i 为半素理想，于是r a ( s v t ) e 1 由定义3 1 2 知 r a ( s v t ) c = x ，即r a ( s v t ) 刮b x 命题3 2 5 设l 是完备格，则l 是半连续格当且仅当l 存在半基 i 正b y j ：j ：对任意x e l ，有u b x = s ( u “x n l ) 故由l 是半连续格知x s u p s ( i j 。x n l ) 由引理3 2 4 知山( i j 。x n l ) 是l 的半素理想再由定义3 2 1 知l 为其自身的半基 乍：设b 是l 的一个半基则对任意x e l ，有x s u p ( u b x n b ) 由于上j b x n b 上l b x ，所 以x s u p ( u b x n b ) s u p l j b x ，由定义3 1 3 得l 为半连续格 命题3 2 6 设l 是完备格，b g l 则b 是l 的半基当且仅当对任意x l 有山( i j 。x n b ) e r d ( l ) 且对任意x ，y e l ，若y x x ，则存在b e b ，使得b x x ，b 仁y i 正b s j ：j ：若b 是l 的半基，则由定义3 2 1 可知对任意a e l 有a