（基础数学专业论文）关于二元自对偶码的若干研究.pdf

兰州大学硕士研究生学位论文 摘要 数字化通讯应用越来越广、信息传输方式变革的不断深入、通讯中传递信息 数量的剧增，使得人们对如何在传输中减少差错，纠正传输中的错误的需求越来 越迫切。这令编码理论的研究有了非常重要的意义。自对偶码的特殊性使得研究 自对偶码有丰富的学术价值并且被广泛的应用于实践当中。 本文从代数结构的角度，利用二元自对偶码的生成矩阵的标准形式以及二 元正交矩阵的性质，讨论了二元自对偶码之间以及二元自对偶码和正交矩阵之间 的关系；给出由刀阶自对偶码构造刀+ l 阶和n + 2 阶自对偶码的方法，并讨论了新 码和旧码之间的关系，给出了新旧自对偶码的重量算子之间的关系式。 关键词：二元线性码，自对偶码，重量算子，生成矩阵的标准形式，二元正交矩阵。 兰州大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t d i g i t a lc o m m u n i c a t i o ni sb e c o m i n gm o r ea n dm o r ep o p u l a r ；t h ew a yo f t r a n s m i t t e rd a t ai sd e v e l o p i n gd e e p l y ；a n dm e s s a g ei n s e n d i n gp r o c e s si si n c r e a s e d r a p i d l y u n d e rs u c hc o n d i t i o n ，h o wt or e d u c ea n dc o r r e c tm i s t a k e si nt r a n s m i t t a l p r o c e s si sb e c o m i n gm o l ea n dm o r eu r g e n t n i si sw h yt h es t u d yo fc o d i n gt h e o r ys o i m p o r t a n t t h ep e c u l i a r i t yo fs e l f - d u a ic o d em a k e st h er e s e a r c ho ns e l f - d u a lc o d e h a v i n ga c a d e m i cv a l u e ，a n di ta l s oc a nb ew i l d l ya p p l i e di np r a c t i c e i nt h i sp a p e r ，w ea t t e m p tt o ，u s i n gt h es t a n d a r df o r mo fg e n e r a t o rm a t r i xo f s e l f - d u a lc o d ea n dp r o p e r t i e so fb i n a r yo n h o g o n a lm a t r i x ，d i s c u s st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e ns e l f d u a lc o d ea n db i n a r yo r t h o g o n a lm a t r i x ，a n dt h es t r u c t u r eo fs e t t i n g b i n a r ys e l f - d u a lc o d ew i t ht h es a m eo r d e r i nt h i sw a y , w es h o ww a y so fc o n s t r u c t i n g n e ws e l f - d u a lc o d e sw i t ho r d e rn + 1 n + 2f r o mt h eo l ds e l f - d u a lc o d ew i t ho r d e rna n d h a v es o m ec o n c l u s i o na b o u tt h ew e i g h te n u m e r a t o ro ft h es e l f d u a lc o d e s k e yw o r d s ：b i n a r yl i n e rc o d e ，s e l f d u a lc o d e ，w e i g h te n u m e r a t o r , t h es t a n d a r d f o r mo fg e n e r a t o rm a t r i x ，b i n a r yo r t h o g o n a lm a t r i x 兰州大学硕士研究生学位论文 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表 的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用 的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：显毖螽 日期： 兰州大学硕士研究生学位论文 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属兰州大学本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定， 同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和 汇编本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学 保密论文在解密后应遵守此规定 论文作者摊：垃导师张翌蜂日期：班乒 兰州大学硕士研究生学位论文 引言 自从s h a n n o n 于1 9 4 8 年发表“am a t h e m a t i c a lt h e o r yo fc o m m u n i c a t i o n 研 始，信息编码就进入了系统化。理论化的发展阶段。随着通讯理论与技术的广泛 深入，信息传递的即时性和处理量都发生了惊人的变化与此同时，在信息传递 中干扰产生的差错对信息的有效传递产生了越来越大的影响。如何减少和纠正信 息传递中的差错交得越来越重要编码理论就是为了解决这个问题而产生的 由于信道中不可控因素的影响，信源产生的消息在通过信道传输给接受者的 过程中必然会产生错误，因而导致接受者接受到不正确的消息。信息编码的思想 主要是通过对发送的消息附加额外的信息，使得接受者可以借助这些额外的信息 判断接收到的消息是否正确，进而通知信源重新发送或进行纠正编码的方法可 以分为两类分组编码和卷积编码。由于分组编码应用范围广，且具有好的数学性 质，容易利用数学工具进行刻画和分析其内部结构，因此具有很高的研究价值 线性码是分组编码中最为广泛的码，因其具有很好的代数结构，人们对其进 行了大量的研究而作为线性码的一种特殊情况自对偶码，文献 2 】中说明 存在任意长度的可以达到g i l b e r t - v a r s h a m o v 界的自对偶码。而且满足许多良好 性质的码都存在自对偶类型的实例 c o n w a y 和s l o a n e 在【4 】中给出了研究白对偶码的个有利的工具阴影 码。而对如何由已有的自对偶码构造新的自对偶码，h a r a d a 和k i m u p a 在 5 】， 6 】 中给出了两个重要的构造方法。同时c a r k a c h 等在忉中也给出了如何构造自对偶 码的重要方法现在对自对偶码的研究主要是利用阴影码为工具，分析自对偶码 的重量算子，或者将二元情况推广到q 元的情况，以及寻找给定长度极自对偶码 的方法所谓极自对偶码是给定长度有最大极小距离的自对偶码。 作为研究码的错误概率的依据，并且是探究码的内部结构的重要工具，码的 重量算子在码的研究中有着重要的地位m a cw i l l i a m s 在码的重量算子及其对偶 码的重量算子之间找到了非常漂亮的关系，我们称之为m a cw i l l i a m s 恒等式( 见 文献【2 6 】) 。另外，b r u a l d i 和p l e s s 在【8 】中利用阴影码分析了自对偶码的重量算 子及其阴影的重量算子之间的关系 兰州大学硕士研究生学位论文 本文主要在已知的二元自对偶码的标准生成矩阵上借助二元正交矩阵的一 些性质，对二元自对偶的性质傲了初步探讨，并给出了一个由已知自对偶码构造 高阶自对偶码的方法 第一章我们介绍了编码的有关背景知识 第二章我们首先介绍了二元正交矩阵的若干性质和二元自对偶码生成矩阵 的标准形式，同时在自对偶码的列置换等价的概念启发下给出了矩阵置换等价的 概念并在此基础上，讨论了疗阶二元自对偶码之间的关系，说明了标准形式构 成的集合在定义的二元运算下构成群的性质，得出了同一置换等价类中的二元自 对偶码有相同的重量算子这一结论，并且椐此推出由二元正交矩阵及其转置生成 的自对偶码有相同的重量算子 第三章我们主要通过介绍对二元自对偶码生成矩阵的标准形式进行加边生 成高阶自对偶码的方法，从而得到了可由糟阶自对偶码生成n + l 阶和n + 2 阶自对 偶码的某些条件以及生成自对偶码与原自对偶码之间重量算子之问的关系 2 兰州大学硕士研究生学位论文 第一章预备知识 本章将简单介绍有关编码理论，自对偶码以及线性代数的一些知识 1 1 基本概念 定义1 1 1 设冒是有限域上的打维线性空问，d t , p e 碍口，卢的内积 以，历定义为 ，历= 喁届+ 届+ + q 尼，其中q ，屏 内积具有性质 1 ) 蝤。国= 喟； 2 ) ( k a ，历= 七( p , a ) ； 3 ) + 肛力= ( 口，力+ ( 屈力， 这里的口，是矿中任意的向量，七 若位，历= 0 ，则称口，卢正交 记矩阵的转置为 定义i i 2 上的矩阵彳称作正交矩阵，如果儿t = e 称露的一个子集合c 为一个编码，c 中的向量叫做码字 定义1 1 3 冒的每个上的线性子空间三称为哼元线性码，换句话说，巧 的子集合三是g 元线性码，如果对任意的，三，以都有耐+ 口 工 注：这样工中的所有码字均可由工的一组基唯一表示 定义1 1 4 由工的一组基向量作为行构成的矩阵q 。，称为线性码工的生成 矩阵，其中| | 为作为子空间的维数，一为的码字长度，此时记工为0 朋 定义1 1 5 如果向量工，y ，那么工和j ，的距离a ( x ，力定义为 d ( x ，力= l j i l s f n ，葺乃 i 兰州大学硕士研究生学位论文 非平凡线性码c 的极小距离定义为 d 二= m i n d ( x , 力l 善e 厶j ，仨l , x y ) 极小距离体现了码工的检、纠错能力若接收者接收到码字分量中错误个数 小于要d 二，这些码字中的差错可被检查出；进一步，着吒。为奇数，则码字的 分量中差错个数小于怯屯。j 时都可被纠正 下面给出码字的h a m m i n g 重量的概念 定义1 1 6 码字工e 州的h a m m i n g 重量 - o ) 定义为 以= j ，1 1 ，s 啊玉吣j = j o 对于线性码来说，它的极小距离等于它的非零码字的极小h a m m i n g 重量 定义1 1 7 设蚓= q ，c c q 。，则c 的信息率定义为 r = n - 1 i o g ，l c 以下我们主要针对二元自对偶码进行讨论，因此我们首先引入自对偶码的定 义 定义1 1 8 如果工是一个i n , k 】线性码，则工的对偶码p 定义为 r = p 露lv ，厶( v ，) = o ) 在无限域上，一个向量是无法与自己正交的，但在有限域中，却存在这样的 向量也就是说上中的码字，可以属于p 当工c p 时，我们称工为弱自对偶的。 定义1 1 9 若l = p ，则称上为自对偶码。 在任何有限域中自对偶码都存在例如在二元域上，由矩阵 lo 0 0 o 0 0 ollo o 0 0 o ool lo o ooo 0 ol l 生成的码三即为自对偶的 以后我们把由矩阵钆生成的自对偶码记为s 屯，称它的维数七为自对偶码 兰州大学硕士研究生学位论文 的阶 重量算子作为探索码的内部结构和码的极小距离的有力工具，在编码理论 中有着广泛的应用下面给出线性码的重量算子的定义。 定义1 1 1 0 设叫是彳上长为玎的七维线性码对每个，( o f 功，我们 用4 表示上吣l 中h 锄m i n g 重量为珀g 码字的个数则称疗次齐次多项式 厂以力= 4 矿。j ，= 以，+ 4 ，1 y + + 4 | 少e z x , y m 为线性码上i 删的重量算子 通过重量算子我们容易看出，若4 = 4 一= 4 一。- - 0 ，以l ，则蚺的 极小距离为d 1 2 二元自对偶码 本节我们主要讨论二元域上自对偶码的有关性质 设砺卢， 口= 五 o = h + 屯 卜 + + + + 儿 a i a = 2 ： a t 口_ 2 ： o o = ( ，q ) ， = ( 届，届，属) ， 其中再e e ，i = l ，2 ，m ，qe e 设曰上的自对偶码的生成矩阵为 对i = l ，2 ，撑，记 钆= q iq 2 吒l 如 吒iq 2 呜。 ： 、，、， ； ； l 2 l 2 m帏h帏 兰州大学硕士研究生学位论文 啪邛 啪。= 嚣 吒，蛾 q 届， q = 届， a t = 8 l = 1 其他， o 【t = p t = 钒 其他， 固b = “届，嘞届，尼) ，a 猡的分量中零的个数记为 国 记分量全为l 的向量为t 。 c a 吃= 为玎一七维线性码和钱= ，可得 仁：如七 从而一= 2 k 这就是说二元自对偶码的信息率= 旷1 l o g 。l c 卜j l ，且码长以为 偶数此时有1 | _ 2 t = 2 由于对任意口e ，以，= o ，即， 彳= 彳+ + + = o 因此喁+ a 2 + + = o ，也就是说口的分量中l 的个数必为偶数，所以2 1 w ( a ) 因为对于任意a ，e s ，) - - o ，即 q 局= 啦届+ 屹压+ + 孱= “ 二，( d 。为偶数，设1 ，( 嗍= 刀，则 ( 哟= n - 2 1 = 2 k - 2 1 - - 2 ( k 一_ ) ， 显然( 翰为偶数，亦即吒，( 巩，= l ，2 ，刀中l 的个数为偶数由 巳，( d + 一( 吼+ 。= t ， 且t ，可知，( o ，i = l ，2 ，n ，中的1 的个数也为偶数这就是说 6 兰州大学硕士研究生学位论文 2 l d ( c t , f 1 ) = l i l l i n ，q 层) j 另外，若盯，p 墨，则由内积性质，可得( 口，1 一口) = ( 口，1 ) - ( a ，口) = o ，又 若位，历= o ，贝j j ( i 一口，历= ( 1 ，历一历= o ，从而可得l a e ，也就是说 中的码字与其补码总是成对出现的 兰州大学硕士研究生学位论文 第二章二元自对偶码的结构 本章将研究二元自对偶码的结构以及对同阶二元自对偶码之间的关系。在第 一节我们将对二元正交矩阵的性质及其依厅长置换划分的等价关系进行了描述 作为结论，我们在第二节推出了标准形式的二元自对偶码生成矩阵在定义的运算 下构成群及属于同一商集的码有相同的重量算子的结论。 2 1 二元正交矩阵的性质及置换等价 本节我们主要讨论二元正交矩阵的一些性质，并给出二元正交矩阵在一置换 下等价的定义，进而证明了置换等价是一个等价关系且保持矩阵的正交性不变 最后我们还得到二元正交矩阵的转置与其自身置换是等价的一 下面先以定理的形式给出二元正交矩阵的部分性质。 引理2 1 1 设 = q lq 2 d l 一1 吩i 吒2 吒。i ： ： ：i = 。l q 1 2 q 。j = ( 砰霹) ， 为一阶二元正交矩阵，岛为行向量，曰为列向量，i = 1 ，2 , - - - , 露记所有h 阶二元 正交矩阵构成的集合为q ，分量全为1 的向量为t 若 q 吩= 和，) ，j = l ，2 ，开，j 2 1 ，2 ，一 则 1 ) q 关于矩阵乘法构成群嘲； 2 ) 2 ，以q ) ，2 ，纠) ； 3 ) 2 1 w 心q ) 2 i 州d ；) ； 4 ) 口j - ，辞- ； 5 ) 若毗) = 1 ，且嘞= l 则，( 矿) = l ； 兰州大学硕士研究生学位论文 6 ) 若2 j 川，w ( a 1 ) = n - i ，且口雎= o ，则，( 霹) = 刀一l ， i = i ，2 ，n 证明：1 ) 结论显然成立； 2 ) 因为“，q ) = 2 + q 2 2 + + = 2 嘞= l ，f = 1 ，2 ，疗，所以4 的每行 每列均只有奇数个分量为1 ，从而2 i 坝q ) ，2 1 w ( 钟) ； 3 ) 因为弛，a f l - - - a ，l a j l + a j 2 a j 2 + + ；o ，_ ，所以 a , a j = ( a j , ，q 2 巳2 ，d k 口加) 的分量中l 的个数为零或偶数，a k f f f f21 以a , a j ) ，同理可证2i 耐矿) ； 4 ) 由彳正交性结论易得； 5 ) 设毗) = l ，且嘞= l 则一可以表示为 = a i l 叱 a z la n oo a i a b a 2 j ： 1 。： 白 岛。 吒。 ： o ： 由3 ) 知圳岛q ) 为偶数或零，所以以矿) = l ； 6 ) 下面设 的阶为偶数，1 ，( 口) ；n - i ，若a = a l ，贝i j = a u a 2 1 屹 l l a i 2 q i 码- 。： 0 ： q 。 吗。 ： 1 ： c a3 ) 可知，w q ) 为偶数，不然，若= o ，_ ，七，则与 ，( 巳) 为奇数矛盾， 故靠= l ，七即以露) = 一一l 口 下面我们给出两个矩阵置换等价的定义。为方便起见，我们记对矩阵a 做行 9 兰州大学硕士研究生学位论文 置换为o r ，对a 傲列置换为f 定义2 1 1 设4 占为刀阶二元矩阵，若存在行置换盯，使得丑= 口“) ，则 称矩阵曰与彳是行置换等价的：若存在列置换f ，使得口= f ( 4 ) ，则称矩阵占与 是行置换等价的；若存在行置换仃和列置换f ，使得口= v a ( a ) = 盯( 彳) ，则称 矩阵b 与a 是置换等价的，记作b 一4 洲越圳和 0o 和( o ：) ，它们是置换等价的四阶正交矩阵 ! l 也是置换等价的 1lj 定理2 1 2 置换等价是等价关系 证明：行置换和列置换是对偶的， 爿= 臣 b = c = 臣 = 小砖棚， ( 砰，霹，6 ：) q 、 l ：( 砰，霹，。) ， i c 。1 若口一彳，则口= 盯c = 凳 ，因此 、l-ii-i， 他他u ；吆；k；屹；k；龟； 岛； 于是彳一口 彳= 兰州大学硕士研究生学位论文 1 ) 勺抽2 ： 吩州月， 若b a ，c b ，鼬b = 仃1 = 仃。i ，c = c r 2 卜， c = 吒l 誓2 i ： f 例 即c 彳所以置换等价是等价关系 = 盯 一日 则 定理2 1 3 与正交矩阵置换等价的矩阵定为正交矩阵。 证明：仅对行置换等价证明，设彳= 三 扣 u r 口 为一正交矩阵，则( q ，口j ) = l ， 则 ， = ( ，) = s ；i ；所以丑为正交矩阵同样，对列置换一来说，口 同样为正交矩阵 口 这样，我们就能用置换等价对所有同阶正交矩阵进行分类特别地，- 我t f 有 引理2 1 4 正交矩阵与其转置是置换等价的。 f a 。l l 证明：设4 = i 弋 k r 口l 。 则；i 口i ： 卜 l q 小 岛以；屯 o 封 吣颤；啊 “刊q 啦； 、，il-_li， 删节删 ， 锄； 、，l-llll_， ：； 兰州大学硕士研究生学位论文 栉一2 l ：a ，则d 打( 栅= ，所以j | 与一是置换等价 口 2 2 力阶白对偶码 本节我们将借助自对偶码生成矩阵的标准形式，讨论刀阶自对偶码之间的关 系。首先，我们介绍二元自对偶码生成矩阵的标准形式。设e 上的自对偶码s 的 生成矩阵为 s = 1 屯l 屯2 气2 - 屯2 ： 毛工h 三 通过适当的初等行变换和列置换，s 可以化成如下形式 ( e 匆= 其中一为一正交矩阵也就是说存在可逆矩阵工及列置换f 使f ( 船) = ( 丘栅 称佤) 为自对偶码& 。一，的生成矩阵的标准形式反之，若一为正交矩阵，则 ( e ，栅生成的二元线性码为自对偶码在这种对应下，由s 和伍，4 ) 生成的二元 自对偶码是列置换等价的于是我们有 定理2 2 1 设s 为个二元自对偶码，则s 的生成矩阵的标准形式不唯一 若饵，彳) 和( e 口) 都是s 的生成矩阵的标准形式，其中4 ，占为正交矩阵，则存在 可逆矩阵x 及列置换f 使 x ( e ，椰= r ( e ，口) 注：若彳，曰均为胛阶正交矩阵且( e ，a ) 和，回生成同一个线性码，则必有 4 = b g = 矿， 、， i h 一；l 玎 i 2 ；” ，fj-_-_-。_-_l = 盯 的 、 ；q 嘎； o o ；l o l ；o 1 o ；o 兰州大学硕士研究生学位论文 综上所述，每一个二元自对偶码都必与某一个由( e ， ) 生成的二元自对偶码 列置换等价，其中a 为正交矩阵。因此研究二元自对偶码，就只需研究由( e ，一) 生成的二元自对偶码 令鸠= ( e 印l - q ) 定义2 2 1 设( e 句，( 丘功肘。，定义( e 彳) o ( e ，口) = 值，a b ) 由于两个同阶正交矩阵的乘积仍为正交矩阵，因此0 是 的一个二元线性 算子于是我们有以下结论 定理2 2 2c t ，呦是群 证明：构造映射矿：甄h q ，对任意佤彳) j | i 厶，伊“占，彳) ) = 显然它是 一一对应，且若设( e 4 ) ，( e 4 ) e 鸠， 烈( e 4 ) o ( 厩4 ) ) = r e ( e , 4 4 ) = 4 4 = 吠( e 4 ”烈( e 4 ”， 因此伊是鸩到q 的同构映射。所以，呦是群 口 设z 力为由s 生成的自对偶码的重量算予于是在 上考虑置换等价关 系可得 定理2 2 3 若& 蹦，e 鸠，墨枷州栅，则 矗。“力2 矗。，。“力 证明：我们只须考虑盯为行置换时的情况，列置换情况类似可得。设 则 设 f l 0 0q i q 2 q 卜l 曩季 l o 0 1a n l q 2 r 矗，- “- i - 、j1 州) ) ：卜：叫 i i h ，畅一j 矿= l 如，( 1 ，) + 妇2 ，如，2 ，) + + 妇，嘛，) ， 、lliiiillj q 吩 ， ， ， q 乞 ，f。，l 兰州大学硕士研究生学位论文 盯o = 乃( q ，a o + y 2 ( e 2 ，a a + + j _ 蛾，) ， 只= l 或0 则存在一一对应尹，使得尹位。) = 矿由 以矿) = 以i 一+ 2 炜+ + 妇。) 巳) + 坂i ) i ) + 2 ，颤2 ) + + 妇。) ) ) 和m ，缸o ) = “乃6 + 乃乞4 - - - + 咒巳) + w 以q + 咒吩+ + 咒q ) 易得“乃q + 儿吒+ + 儿) = w 0 0 ( d l ，+ 儿2 ) q 删+ + 儿吣( ) ) 进一步，由 置换的性质知圳，儿，只) = 以儿( o ，乃2 ，儿) ，但f ，时弓n 巳= o ，所以 我们有卅啊q + 乃吒+ + 月p 一) = w ( 儿( 帕+ 儿2 尼+ + 咒町) ，即 w ( a o ) = 1 ( 矿) 。 综上所述 矗。，“力= 矗。，。 力 推论2 2 4 ( 丘一) 和循，彳) 生成的自对偶码有相同的重量算子 1 兰州大学硕士研究生学位论文 第三章基于标准形式的高阶自对偶码的构造方法 本章我们首先通过对低阶二元自对偶码生成矩阵的标准形式中的正交矩阵 加边生成高阶的二元自对偶码，并利用这样的加边方法探讨低阶自对偶码与高阶 自对偶码之间的关系最后，我们得到了可由低阶自对偶码利用加边方法得到的 自对偶码的条件。 3 1 加单边的构造方法及其重量算子 基于前面提到的自对偶码的生成矩阵的标准形式，以下我们将讨论对其加单 边生成高阶白对偶码的方法 设露上f l 对偶码品的生成矩阵为 s = 1 屯2 。1f 、 屯。而却il 屯l ；ml s n s n s h 轴) u h ) 其中焉为s 中的行向量设s 对应的标准形式为 ：一 【j 其中a 为一正交矩阵， 考虑对4 加边扩充为形如 、l，i， ； 一一lj q 心； ；，引0 ； ； o o；， ： 一 ； h h 博 记 拈 兰州大学硕士研究生学位论文 彳= a o oa o la 0 2 a t oa u 吩1 a i a , a 。a t 口2 _ 。-： 刭 的n + l 髟r 矩晖 若要使彳可生成长度为2 伽+ 1 ) 的二元自对偶码& 两，则 ( 1 ) 由自对偶性得弼，珥) = l ，= o ，雄，即+ ：i 。露= l ，i = 1 ，月； 又因 ，q ) = 1 ，即乙= l ，i = l ，肝，于是砖= o ，e p a , 。= o ( 2 ) 若i 可生成长度为2 0 + 1 ) 的二元自对偶码，则z 也可生成长度为 2 ( n + 1 ) 的二元自对偶码，故和( 1 ) 一样可得罐，+ 二弓；l ，j = l ，n 及 二司= l ，j = l ，刀，于是q 玉= o ，即= o ( 3 ) 由( 瓦，瓦) = l ，及= o i = l ，开，得+ 二i 。吒= l ，故有= l ， 即，= 1 由( 1 ) ( 2 ) 和( 3 ) 知 ( 正，彳) = 于是个拧阶二元自对偶码的生成矩阵具有标准形式( e ，由，经过一次加边 所得到的二元自对偶码的生成矩阵具有标准形式 皈+ ，一) = 下面我们讨论新，旧码之间的关系。 定理3 1 1 存在 到 o 的嵌入 证明：根据上面的构造方法，显然对任意( e ，a ) e 厶，( e + ，乃e 劓f a + a 。令 1 6 、llil-iiiij o； 一 o； o锄； l o o ；o o o o ；l 一 o o l ；o o l o ；o l o o ；o 、- o； ： o吃；o； 1 o o ：o o o o ；l o o ；o o l o ；o l o o ；o 兰州大学硕士研究生学位论文 因为 所以 缈：鸩卜以+ l ，妒( ( e ，爿) ) = ( k 。，乃 对任意的( e ，4 ) ，( e ，4 ) 肘。，有 缈“e ，4 ) o ( e ，4 ) ) = y “e ，4 4 ) ) = ( 点，( 4 。4 ) ) ， 丽书矗m 琊辑 缈( ( e ，4 ) o ( e ，4 ”= ( e ，互) o ( 五，互) ， 也就是说是一个群同态。显然若y “e ，4 ) ) = 缈“e ，4 ) ) ，则( 毛，4 ) = ( e ，以) ， 即为单射所以，为一个嵌入 口 下面我们讨论由这种方法产生的高阶码的重量算子与原码的重量算子之间 的关系设 矗。o ，力2 善4 ，。，= 4 ，+ 4 一y + + 4 ) ，- 为由矩阵( e ，4 ) 生成的自对偶码& 毛一) 的重量算子，则有 睁乩和，玛 由矩阵( 点，两生成的自对偶码& 厕的重量算子为 。j ，似力2 荟互茗= 互，+ 五一y + + 互少 由重量算予的定义有 4 = _ ，k s ，w ( 叼) = i l ， 而由以上扩展过程只相当于增加了一个重量为2 的基向量 瓦2 ( 瓦一，瓦z 一) = ( ! ：! ：堡：旦，! ：垒堡：o ) 显然瓦与其他基向量珥= ( 瓦，珥：，珥h ) ，i = 1 , 2 ，疗，之闻满足关系 1 7 兰州大学硕士研究生学位论文 ，i ( 瓦，酩，瓦：) e ( j 肿。，a o n _ ，l ( 珥。，珥：，_ ：。) e ( z _ ，a 弓o ) = 乃 设 彳= 蛹，= 粥， 毛f l ， 则由扛j i = l 2 ，一生成的子空间和由h i f = l ，2 ，一生成的空间同构且 以j ) = i ，( 力设& j ，中的码字形如 石= 而磊+ 毛珥ef 2 ， 则& 乃中的码字分为两类一类由不包括瓦的其他基向量生成的向量， 仁肾了= 喜辄而e e ) 珥i 嘎= 了= 弓，而e e ， l 扣i j 此时w 嗝) = 似$ ) 第二类的向量为 碓l 磊= 瓦+ 二墨虿，薯e e ) ，由不相交性可知 r ( 磊) = 坝珥) + 2 ， 因此，k m 似力= 二五，= 五，+ 互一) ，+ + 五少满足 f l j = o ， 互= 4 + 0 如扣篷落嚣? 【1i = 2 0 + u 于是我们有 定理3 1 2 设( e ，4 ) 为二元自对偶码& 毛j ，的生成矩阵的标准形式，其重量 算子为矗。似力则由一次加边所得到的二元自对偶码( 露0 ，两的重量算子为 矗。，“力= ( o ，肿”+ 咿”+ 矿厶。瓴肋+ 0 2 。，瓴力+ 0 _ 矿”+ 吵2 o ) = ) ，2 厶。y ) + ，厶“力 口 兰州大学硕士研究生学位论文 记 3 2 加双边的情况及其重量算子 在本节我们来考虑对| 加双边的情况( 巨棚，彳= 心k 定义如前 设对彳进行加双边得到的新矩阵为 a = q iq 2 q iq 2 呜l 屹 q iq 2 i = 瞄! ： = 6 l = 6 2 = 口l 口2 ； = q c 2 q 。 吃 ： 其中4 = 三 = t 砰，霹，霹，_ = 眭) ，c = ( 乏) ，c = c 砰霹， k 0 吐；吐矗；0 兰州大学硕士研究生学位论文 由于( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + + + + = l ，但露+ 畦- i - - + = l ，故 ( ) 2 + ( c 0 ) 2 = + 艺= o ， 又因为牙是正交矩阵，因此 此时 a= 睢耄即舀 q 2 o “ c 1 2 q 。 q 2 4 k a n d 2 。 0 晖。q 2 下面确定矩阵口，c 和c o 设+ + + 乇= c ，则由( 1 ) ( 2 ) 和( 3 ) 联立得 f 6 矗+ 磋+ c = i 魄1 6 2 l + 6 1 2 + c = o ( ) 【磁+ 眩+ c = 1 假设c = l ，则 f 雏+ 磕= o ， 6 1 i 岛，+ 岛2 6 k = l ， 【坛+ 磅= o 从而 i 岛，= ， 6 i l 如l + 6 1 2 6 b = l ， 【6 2 。= k 于是 f b l i b 2 = 6 i 如， 【6 i i 也i + 2 6 2 2 = 1 矛盾所以c = 0 由( + ) 可以解得 q q 吩； k矗； “； 兰州大学硕士研究生学位论文 l 岛- = k = l ，i6 l 。= = o 6 2 - = 岛：= o 或 如= 6 l ：= l ， l c ；0 i c ：0 口= go ) 或占= ( o ：美：毫：乏：2 2 七k ，七，t e z 且。s 七，七s 兰，【 | ( ( 0 ，) ) = ”1 2 q i + 磅2 + q i q i + a s 2 勺2 + + = o _ + 巧2 城+ q 1 0 i + q 2 0 2 + + - o + a j l 0 i + q 2 0 2 + + q h c _ 故，0 = a j 勺i + 铴c j ：+ + ，即，矸= 二c l 矿= q 爿 这就是说曰是的列向量以q 的对应分量为系数的线性组合 考虑0 与自己的内积，有 时，曰) = ( q 4c l 锄 = 如i 冒- f c t ：霹+ + c i 。口：，q 。留- i - c 1 2 霹+ + c a ) = 矗( 霹，曰) + ( 霹，) + + 叠( ，) = c 矗+ + + 矗 这就是说w ( 才) 和圳岛) 有相同的奇偶性当白取偶数个1 时，0 也取到偶数个i ， 这样就保证了i 亦为正交矩阵 另外，由于4 的可逆性知c l = c o ，则任意偶重量的q 均可作为新边被加在 兰州大学硕士研究生学位论文 北这样的取法总共有掣( 咖，其中( 习为砷蚴个的组厶数，h 为 取小于詈的最大整数 综合上述讨论，我们就得到下面的定理 定理3 2 1 设& 丘棚为二元自对偶码，其中一= 吻k 为二元疗阶正交矩阵， 令 。 a = q iq 2 c 2 lc 2 2 q iq 2 吩i d 0q 2 如。 q 。 嘎 ， o o： = 瞄三 一，c o = 础 则( e ”，j ) 为一个长为2 + 2 ) 的二元自对偶码的生成矩阵的标准形式当且仅 当曰= go ) 或口= ( ：0 ，并且q = 吃，曰= 弓，2 i 似q ) ，2 1 w ( 。) ，= 一。 口 下面来讨论加双边的重量算子的情况。我们可以看出无论口= go ) 还是 曰= ( o ，i 生成的自对偶码都有相同的重量算子因此不失一譬性，我们 取口= 0o ，s ，彳如前所述。设蚕对应的二元自对偶码为t m ，由霉，夏， 瓦生成的子线性码为蜀则 s = 毛君+ 恐霹+ p l p e s ，焉，毛e 最) 记 = o ， 啊= 君+ 君= ( 1 ，1 ，o o 011 ，0 ，0 , - - - , o ) ， 岛= 霹= f 0 , i ，0 ，0 ，0 ，0 , i ，e l 。q ，c i 。1 ， k矗吐；矗吆矗吐；矗 兰州大学硕士研究生学位论文 码= 霹= ( 1 ，o ，0 o ，0 , i ，0 , g 。，q ：，g 。) ， 且s 。q + 岛，f = 0 , i ，2 ，3 则& u s u 马u 岛= & ，) ，j l s , n s j = a 设墨的重量算子为五“力，i = 0 , i ，2 , 3 ，则 。j ，以y ) = 二矗以力 以下我们分别估计每一部分的重量算子首先来考虑r 设 届= ) 磊+ 儿霉+ + 盂， 9 ；= y l s t 七y 庐l y 。y l - - o 或1 ， 则中的码字可分为两部分： i ) 在0 o 对应的行取偶数个，令这些行对应的一= l ，其余的0 o 对应 的行也为偶数个，令它们对应的片= o ，0 = o 对应的行咒可以任意取。由加边 的特点可知，此时对任何组这样的取值得到的屁，都有与其系数组合相同的 - r 存在，且w ( 岛) = 似屁) ，记这些码字构成的集合为，对应的重量算 子为氐瓴力； ) 在冗o 对应的行取奇数个，令这些行对应的咒= l 。其余的c o o 对应 的行也为奇数个，令它们对应的所= o ，靠= o 对应的行片可以任意取。则此时 的局与硝之间有关系 ，( 岛) = ，( 硝) + 2 ，记这些码字构成的集合为瓯，对应的 重量算子为矗。( 矗力则u 瓯= s o ，n s o = o ，因此 矗瓴力= 氐力+ 屯( x ，力 设由s = ( e _ ) 生成的自对偶码中对应于子空间的子码的重量算子为 矗“力；对应于子空间s m 的的子码的重量算子为矗“) ，) ，则 矗似力= x 2 广矗“y ) ，矗。似y ) = 一厶“力 故 兰州大学硕士研究生学位论文 矗力= 矗“力+ 矗“力 = x 4 厶力+ ，2 y 2 矗“力 其次设届；届+ q 墨，则 i ) 当忍时， ，( 届) = w ( 届) + 4 = ，( 硝) + 4 ，记这些码字构成的集合为 晶，对应的重量算予为矗o ，力： i i ) 当局e s 矗时，( 届) ；i ，( 届) = w ( a ) + 2 ，记这些码字构成的集合为， 对应的重量算子为a ( 五力 类似的可得 厶“力2 厶。“力+ 厶似力 = ，矗( 而力+ x 2 y 2 厶o ，力 接下来设 届= 磊+ = 忍十( o l ，o ，o ，o ，0 , 1 ，q 。，q 2 ，) e 岛， t h e - c , = 和，故q + 匕= 匕，匕为由彳生成的线性空间；而呸的前万+ 4 位只 使每个墨i 中的码字的重量增加二，而使每个s k 中的码字重量不变此时，若记 对应和s m 的是的子码的重量算子分别为矗。o ，力和矗 力则 矗似力2 矗。“力+ 矗。o ，力 = ，y 2 矗( 毛j ，) + ，y 2 矗“力 容易看出矗似力= 矗似力；办2 厶力+ ，j ，2 矗似力 综上所述，我们有 。丑( x ，力；乙厶似力 = o 似力+ 善2 j ，2 矗“妫+ 0 4 矗“力+ ，矗“力) + y 2 厶似) - ) + ，) ，2 o ，y ) ) + ( x 2 y 2 矗力+ ，矗“y ) ) = p + ，) 2 矗o ，力+ 4 ，j ，2 矗似y ) 兰州大学硕士研究生学位论文 设由s = ( e ，椰生成的自对偶码的重量算子为石“力，则由 厶( x , y ) f l 矗( x ，力= g ， 可得 矗 ，力+ 矗似) ，) = 石似力， 因此上面的式子可以写为 矗。南“力= 缸2 ，五力+ “，一y b 2 ) 力 设s = ( e ，一，) 生成的自对偶码的重量算子为。阮力，i = ( 压知，j ) 生 成的自对偶码的重量算子为。j ，( 而力，并且类似与讨论瓯的情况，记 f t x , y ) ，矗“力为对应晶。和& 。取法的= ( e ，_ ，) 生成自对偶码的两个子码 的重量算子，则氏。( 毛_ ) = 矗“力+ 矗“力，且有类似上面结论的等式 矗钿j ，伉力= 4 x 2 ) ，2 氏。“力+ 2 + y 2 ) 2 一缸2 塘“力， 由第二章结论可知矗；。“力2 氏。， 力，。石似_ ) ，) 2 矗。 力因此 矗融力= 矗以力 3 3 二元自对偶码可以降阶的条件 下面我们考虑可以被低阶自对偶码嵌入的高阶自对偶码应该具有什么样的 条件。由前面的讨论和二元自对偶码与正交矩阵之问的关系我们可知，这样的高 阶自对偶码对应的正交矩阵应该是可以通过删除行列而降阶的。 首先来看可以降一阶的情况我们有如下定理 定理5 3 1 设彳为一二元正交矩阵，则a 可降一阶的充分必要条件为爿的 行向量中有一个重量为1 证明：设 a = a n q a n 吗。 q 2 q 1 7l - ( 司霹) ， j j 兰州大学硕士研究生学位论文 ，彳= ”k 下面我们考察降弼阶的情况 定理3 3 2 设彳为一二元正交矩阵， 有两个行向量盯，使得以口+ 历= 2 证明：设 则彳可降二阶的充分必要条件为彳中 = ( 彳) ， 其中q 为行向量，砰为列向量不失一般性设，瓴+ 吗) = 2 ，若左上角不等于 go ) 或( o 则前面两行必为 g ：吒x l l 三二乏) 或( o ：三。i 乏：乏) 那么以q 吒，= 以呜，或 顶q 啦) = 以q ) ，由定理2 1 12 1 w ( a , a z ) ，故2 1 w ( a 2 ) 或2 l ，“) ；但由定理2 , 1 1 y 洎1 2 t w ( a