（基础数学专业论文）四维非平凡的novikov超代数的分类.pdf

摘要 摘要 n o v i k o v 超代数与二阶保形超代数相关，后者对应于汉密尔顿对，在完全可 积组中起着关键作用。在本文中，我们给出了4 维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类。 关键词：n o v i k o v 超代数，n o v i k o v 代数，左对称代数，非平凡的 u l a b s t r a c t a b s t r a c t n o v i k o vs u p e r a l g e b r a sa l er e l a t e dt ot h eq u a d r a t i cc o n f o r m a ls u p e r a l g e b r a sw h i c h c o r r e s p o n dt ot h eh a m i l t o n i a np a i r sa n dp l a yf u n d a m e n t a lr o l ei nt h ec o m p l e t e l yi n - t e g r a b l es y s t e m s i nt h i sp a p e r , w eg i v eac l a s s i f i c a t i o no fn o n t r i v i a ln o v i k o vs u p e r - a l g e b r a si nd i m e n s i o nf o u r k e yw o r d s ：n o v i k o vs u p e r a l g e b r a ，n o v i k o va l g e b r a ，l e f t - s y m m e t r i ca l g e b r a ， n o n t r i v i a l i v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 磊、i 够压 狒7 年手月弓1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 幺1 绝 1 年5 月j 1 日 第一章引言 第一章引言 1 1 简介 左对称代数是一类非结合代数，它起源于对仿射流形，仿射结构和奇次凸锥 的研究 1 ，2 ，5 ，1 3 ，1 4 ，1 8 n o v i k o v 代数与流体力学中的泊松括基 4 和形式变分 中的汉密尔顿算子相关 8 1 0 ，1 9 ，2 0 ，关于n o v i k o v 代数的分类，目前己完全清 楚的是小于和等于三维的分类，见【3 】，其分类的一个重要突破口是对n o v i k o v 代 数中右交换一类的全面把握，这是一个复杂的公开的难题，关于右交换的相关知 识，可见 1 3 ，1 8 ，2 5 关于n o v i k o v 代数更多的了解可见文献 1 ，6 _ 1 0 ，1 5 1 7 ，2 1 ， 2 5 ，2 5 ，而n o v i k o v 超代数这个术语是在文献 2 3 中作为一个特殊的李超容许代数 的例子被引入的，n o v i k o v 超代数与二阶保形超代数相关 2 4 】 本文的布局如下，在第一章我们介绍了包括n o v i k o v 超代数一些相关定义和 性质的背景知识，在第二章中我们具体讨论了四维n o v i k o v 超代数的分类，其中对 最终结果的同构情况也做了仔细的验证。 1 2 相关定义和性质介绍 首先给出左对称代数和n o v i k o v 代数的定义： 定义1 1 若a 是域k 上的一个向量空间，在其上有一个双线性的乘积： ( z ，y ) _ z 可，v z ，y a 满足 ( z ，y ，z ) = ( y ，z ，z ) ，v x ，y ，z a 其中( z ，y ，z ) = ( x y ) z z ( 可z ) ，则称a 为左对称代数。若a 再满足 ( z x ) y = ( z y ) x ，v x ，y ，z a 则称a 为n o v i k o v 代数。 接着给出n o v i k o v 超代数的定义： 1 ( 1 2 ) 第一章引言 定义1 2 所谓n o v i k o v 超代数a 是域k 上的一个向量空间，在其上有一个双线性的 乘积： ( x ，y ) 一z 可，v z ，y a 满足 a = a o 曰目a 1 ，a i 如a v 4 7 ，( i ，j = 0 ，1 ) 其中，再了表示i + j 模2 的余，并且： ( x ，y ，z ) = ( - 1 ) 叼( 可，x ，z ) ， ( 1 3 ) 和 ( z x ) y = ( - 1 ) 叼( z y ) z ， ( 1 4 ) 其中，x a i ，y a j ，z a ，z ，j = 0 ，1 进一步，若n o v i k o v 超代数同时也满，g , n o v i k o v 代数的定义，则我们称其为平凡的， 否则，称为非平凡的。 命题1 1n o v i k o v 超代数a 若满足 ( x ，y ，z ) = 0 ，v x ，y a x ，z a ( 1 5 ) 和 ( z x ) y = 0 ，v x ，y a 1 ，z a ( 1 6 ) 则4 是平凡的。 推论1 2n o v i k o v 超代数a 若满足 a o a o = a o a l = a 1 a o = 0 则a 是平凡的。 命题1 3a 赳n o v i k o v 超代数，则 ( y y ) x = y ( y z ) ，v y a 1 ，x a ( 1 7 ) 和 ( x y ) y = 0 ，v y a 1 ，x a ( 1 8 ) 证明：在方程r j 圳中，令z = y ，z = x 即得方程f j 7 j ? 在方程化卅中，令z = z ，z = y 即得方程f j 8 ) 2 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 2 1 分类方法介绍 本文我们通过研究a o 和a 1 的结构和关系来探i v j - 4 维n o v i k o v 超代数a 的具体结 构。由于a 维数为4 且假定a 1 是非平凡的，o p a l a l 0 ，又a 是非平凡的n o v i k o v 超 代数，也即指我们找的超代数必须满足： | x ，y a l ( x ) ， 使得( 1 3 ) 和( 1 4 ) 两个方程中至少有一个其两侧乘积非零。于是，我们则需讨论a 】的 维数仅为2 ，3 两种情况，相应的山的维数即为2 ，l f f i ! 。 在分类过程中，我们会遇到分类已经清楚的2 维和3 维n o v i k o v 代数，见文献 3 】 该文作者白承铭和孟道骥老师采用的方法是将3 维n o v i k o v 代数分为右交换和非右 交换两大类加以处理，对于右交换一类的分类运用的主要原理是e n g e l 定理，对于 非右交换一类的分类是进一步通过对其最大交换理想进行分类讨论而得到最终分 类，而在本文中应用的分类方法是充分优化基的选择和选择合适的分类标准，分 两种情况来讨论非平凡的4 维n o v i k o v 超代数的结构。 2 2 d i m a o = 1 命题2 1 当d i m a o = 1 时，a 是平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 证日月下面分情况来当证明d i m 4 0 = 1 时，4 满足 a o a o = a o a l = a 1 a o = 0 进而依据推论j 2 可论证命题的成立。 我们不妨设= ( e o ) ，a 1 = ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) 令集合 k = e ev e a 1 k 只存在两种情况：k o ) 或= ，a 1 = ( e 3 ，e 4 注：命题2 2 和2 3 中a 1 也作此定义。 首先我们来证明两个命题： 命题2 2 对于任意维数的n o v i k o v 超代数a 若满足 则 d i m a l = 2 ( a 1 a 1 ) a 1 = 0 证明：根据d 1 ，渤1 ，超代数的定义，我们有 ( 2 1 ) ( a 1 a 1 ) a 1 = ：( ( e 3 e 3 ) e 4 ，( e 3 e 4 ) e 3 ，( e 4 e 3 ) e 4 ，( e a e a ) e 3 ) = ( ( e 3 e 3 ) e 4 ，( e 4 e 4e 3 ) 现反设 ( a 1 a 1 ) a 1 0 5 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 则可假定e 3 e 3 ) e , 0 ，故由 知 ( ( e 3 e 3 ) e 4 ) e 3 = 一( ( e 3 e 3 ) e 3 ) e 4 = 0 ，( ( e 3 e 3 ) e 4 ) e 4 = 0 ， 此时，为简便计， ( ( e s e s ) e 4 ) a 1 = 0 i l ( e a e z ) e 4 为e 3 满足 e 3 a 1 = 0 故在a 1 中可再找到另一个非零向量，也不妨仍记为e 4 ，使得： a 1 = ( e 3 ，e 4 ) ，e 3 e 4 = 0 于是，( a 1 a 1 ) a 1 也可重新记为 现反设( e 4 e 3 ) e 4 0 因为 ( a 1 a 1 ) a 1 = c ( ( e 4 e 4 ) e 3 ) = c ( ( e 4 e 3 ) e 4 ) e 3 ( a 1 a 1 ) a 1 ，d i m ( a 1 a 1 ) a 1 1 故( e 4 e 3 ) e 4 与e 3 是线性关系，我们不妨令 我们有 ( e 4 e 3 ) e 4 = a e 3 ( a o ) a e 4 e 3 = e 4 ( ( e 4 e 3 ) e 4 )= 一e 4 ( ( e 4 e 4 ) e 3 ) = 一e 4 ( e 4 ( e 4 e 3 ) ) = 一( e 4 e 4 ) ( e 4 e 3 ) = 一( e 4 ( e 4 e 3 ) ) e 4= 一( ( e 4 e 4 ) e 3 ) e 4 = ( ( e 4 e 4 ) e 4 ) e 3 = 0 故e 4 e 3 = 0 ，矛盾，故证明了 ( 4 1 a 1 ) a 1 = 0 下面我们在命题2 2 的基础上给出命题2 3 命题2 3 对于任意维数的n o v i k o v 超代数a 若满足 d i m a l = 2 6 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 则 a 1 ( a 1 a 1 ) = 0 证明：根据n o v i k o v 超代数的定义和上面的结论 我们有 又 故 ( a 1 a 1 ) a 1 = 0 a i ( a 1 a 1 ) = c ( e 3 ( e 3 e 4 ) ，e 3 ( e 4 e 3 ) ，e 3 ( e 4 e 4 ) ，e 4 ( e 3 e 3 ) ，e 4 ( e 3 e 4 ) ，e 4 ( e 4 e 3 ) ) = c ( ( e 3 e 3 ) e 4 ，e 3 ( e 4 e 3 ) ，e 3 ( e 4 e 4 ) ，e 4 ( e 3 e 3 ) ，e 4 ( e 3 e 4 ) ，( e 4 e 4 ) e 3 ) ( e 3 ，e 4 ，e 3 ) ( e 3 ，e 4 ，e 4 ) 故我们不妨设 则 我们有 故 - ( e 4 ，e 3 ，e 3 - - ( e 4 ，e 3 ，e 4 ( e 3 e 4 ) e 3 = 0 = 今e 3 ( e 4 e 3 ) = - - e 4 ( e 3 e 3 ( e 4 e 3 ) e 4 = 0 = 号e 3 ( e 4 e 4 ) = - - e 4 ( e 3 e 4 a i ( a i a l ) = c ( e 3 ( e 4 e 4 ) ，e 4 ( e 3 e 3 ) ) e = e 3 ( e 4 e 4 ) 0 e e 3 = ( e 3 ( e 4 e 4 ) ) e 3 = ( e 3 e 3 ) ( e 4 e , ) = e 3 ( e 3 ( e 4 e 4 ) ) = e 3 e ( e 4 ，e 3 ，( e 4 e 4 ) ) = - - ( e 3 ，e 4 ，( e 4 e 4 ) ) = 今 ( e 4 e 3 ) ( e 4 e 4 ) + ( e 3 e 4 ) ( e 4 e 4 )= e 4 ( e 3 ( e 4 e 4 ) ) + e 3 ( e 4 ( e 4 e 4 ) ) = 专( e 3 e 4 ) ( e 4 e 4 ) = e 4 ( e 3 ( e 4 e 4 ) ) = 令e e 4 = e 4 e e a l = a 1 e 再回到要证明的命题上来，因为 故我们只需证 a i ( a i a l ) = c ( e 3 ( e 4 e 4 ) ，e 4 ( e 3 e 3 ) ) e 3 ( e 4 e 4 ) = e 4 ( e 3 e 3 ) = 0 7 ( 2 2 ) 、l，、l，、1，、 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 利用结论 我们有 e a l = a l e ，( a 1 a 1 ) a 1 = 0 ( e 3 ，e 4 ，e 4 ) = - - ( e 4 ，e 3 ，e 4 ) 号e 3 ( e 4 e 4 ) = ( e , e , ) e 3 - e 4 ( e 3 e , ) = - - e 4 ( e 4 e 3 ) = - ( e , e , ) e 3 = 0 同理可证 e , ( e 3 e 3 1 = 0 依据命题2 2 和2 3 ，我们立即得到一个推论： 推论2 4 所有的3 乡 $ n o v i k o v 超代数均是平凡的。 同样，据命题2 2 和2 3 ，我们还可设定本节的分类标准：d i m a l a l = 2 或 出m a l a l = 1 1 d i m a l a l = 2 命题2 5 当d i m a l a l = 2 时，a 是平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 证明：首先我们有 a 1 a 1 = a o 依命题2 2 ，2 3 7 a o a x = a o a l = a o a o = 0 同样，依推论j 2 ，我们知道命题成立。 2 d i m a i a l = 1 首先我们设 4 1 a 1 = ( e 1 ) 仍依据命题2 2 ，2 3 ，我们立即得知 e l e 32e l e 42e 3 e l2e 4 e l2e l e l2 0 本小节中我们采用的方法是分类讨论作用在a ，的左乘因子l e 。，不难知 道l 。的矩阵形式的相似标准形仅可能为以下五种形式： ( 吕班2 ，( 吕班3 ，( 吕抄棚一，( ：班5 ，( 呈吕) 8 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 命题2 6 当d i m a l a l = 1 时，非平凡的4 维a 幻v f 跏超代数仅在l e ：的矩阵形式 为( 3 ) 和( 4 ) 的情况下对应存在。 在具体证明命题2 6 之前，我们先给出对证明起关键作用的引理2 7 ，引 理2 9 和引理2 7 的一个推论2 8 。 考虑到a 1 a 1 = ( e 1 ) 及命题1 1 ，下面给出判定以上三种类型所对应的a 为 平凡的4 维n o v i k o v 超代数的一条引理： 引理2 74 维d v 勋v 超代数a 若满足 和 则a 是平凡的 ( e 3 ，e 4 ，e 2 ) = 0 ( e 2 e 3 ) e , , = ( e 2 e , ) e 3 = 0 推论2 84 维n o v i k o v 超代数a 若满足 e t a l = 0 和 其中，j - - 3 或4 ，则a 平凡的。 e 2 勺= 0 继续给出引理2 9 ： 引理2 94 维n o v i k o v 超代数a 若满足 e l e 22 - - e 2 e 1 e l e l2 0 则e 2 e 2 = l e 2 ( 2 0 ) 或6 e 1 其中，b ，2 任意。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 下面将利用引理2 7 和推论2 8 对命题2 6 展开具体的证明。 证明：我们将逐一排除a 在l 。的矩阵形式为( 1 ) 、( 2 ) 和( 5 ) 的情况下为非平凡 的4 维n o v i k o v 超代数的可能性。 9 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 ( a ) 对于( 1 ) ：e 2 e 3 = e 2 e 4 = 0 我们有 ( e i ，e 2 ，e 2 ) = ( e 2 ，e i ，e 2 ) ( t = 3 ，4 ) 暑r 。2 2 = 兄2 2 并且考虑至i j a l a l = ( e 1 ) ，知必存在某个i 和歹，满足e i e j = e l ( i ，j = 3 或4 ) 故 ( e 2 ，e i ，勺) =( e i ，e 2 ，e j ) = 今e l e 2 = 一e 2 e 1 又对于e 2 e 2 = l e 2 ( 1 0 ) ，我们可调整基e 2 ，使得 故根据引理2 9 ，我们有 j ，r e 。2 1 见。2 e 2 e 2 。e 2 = 兄。， = 0 当e 2 e 2 = e 2 ， 当e 2 e 2 = b e l 其中6 任意。 进一步，我们有当e 2 e 2 = e 2 时，r 。的矩阵形式的相似标准形可能为以下 三种形式： c 乃，( 吕吕) 妈，( 三班死，( g 呈) 当e 2 e z = b e l 时，冗。的矩阵形式的相似标准形为( 五) ( 呈吕) ( i ) 对于噩：e 3 ；e 2 = e 4 e 2 = 0 ，易知满足引理2 7 的条件，故此种情况下a 是 平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 ( i i ) 对于易：e 3 e 2 = e 3 ，e 4 e 2 = e 4 我们有 ( e 3 ，e 4 ，e 2 ) = 0 ，( e 2 e a ) e 4 = ( e 2 e 4 ) e 3 = 0 故此种情况下a 是平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 ( i i i ) 对于t 3 ：e 3 e 2 = 0 ，e 4 e 2 = e 4 我们有 e 4 e 42 0 ( e 3 ，e 4 ，e 2 ) = - ( e 4 ，e 3 ，e 2 ) = 令e 4 e 3 = e 3 e 4 1 0 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 故我们不妨设e 4 e 3 = e 3 e 4 = e 1 进而 e l e 2 = ( e 3 e 4 ) e 2 = 0 = 净e a e 3 = ( e a e 2 ) e 3 = ( e 4 e 3 ) e 2 = e l e 2 = 0 矛盾，故此种情况下a 不是非平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 ( i v ) 对于t 4 ：e 4 e 2 = 0 ，e a e 2 = e 4 我们有 ( e 3 ，e 4 ，e 2 ) = - ( e 4 ，e 3 ，e 2 ) = 今( e 3 ，e 4 ，e 2 ) = e 4 e 4 故我们不妨设e 4 e 4 = e 1 从而 e l e 2 = ( e a e a ) e 2 = 0 = 今( e 3 e 4 ) e 2 = 0 = 今e 4 e 4 = ( e 3 e 2 ) e 4 = 0 矛盾，故此种情况下a 不是非平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 综上，( 1 ) 所对应的a 不是非平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 ( b ) 对于( 2 ) ：e 2 e 3 = 0 ，e 2 e 4 = e 4 我们有 e 4 e 4 = e 4 e 3 = 0 满足推论2 8 的条件，故此种情况下a 是平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 ( c ) 对于( 5 ) ：e 2 e a = e 4 ，e 2 e 4 = 0 我们有 e 4 e 3 = e 4 e 42 0 满足推论2 8 的条件，故此种情况下a 也是平凡的4 维n o v i k o v 超代数。 接下来尝试给出( 3 ) ，( 4 ) 所对应的a 为非平凡的4 维n o v i k o v 超代数的 具体结构，并且，在2 4 节的表格2 1 中我们会将a o a o ，a o a l ，a 1 a o ，a 1 a 1 的 计算结果以结构矩阵的形式给出，为了方便查阅结果，结构矩阵的定义 也在下一节表格的上方给出。 ( d ) 对于( 3 ) ：e 2 e 3 = a e 3 ( a o ) ，e 2 e 4 = e 4 我们有 e 3 e 32e 4 e 4 = 0 ，a e 3 e 4 + e 4 e 3 = 0 1 1 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 我们不妨设 进一步，由 e 3 e 42e l ，e 4 e 32 一o e l ( e 2 ，e 3 ，e a ) = ( e 3 ，e 2 ，e 4 ) = 今e l e 2 + e 2 e l = ( 1 + a ) e 1 设e 2 e 2 = k l e l + k 2 e 2 ，e l e 2 = l e l ，贝j j e 2 e l = ( 1 + a f ) e 1 ，并且 ( e l ，e 2 ，e 2 ) = ( e 2 ，e l ，e 2 ) = 今( e l e 2 ) e 2 = e l ( e 2 e 2 ) = 今1 2 = k 2 1 ( e 2 e 2 ) e l = ( e 2 e 1 ) e 2 = 今( 1 + a z ) z = ( 1 + a 1 ) k 2 故我们知当2 0 或1 + a f 0 时均有k 2 = z ，并且知当a = - 1 且2 = 0 时，k 2 可为任意值。 下面继续分情况进行讨论： i 当k 2 = f 时，我们有e 2 e 2 l e 2 + ( e 1 ) ( i 1 ) 当z = 0 时，我们再令k 1 = b ，即e 2 e 2 = b e l ，再考虑n e 2 e 3 = a e 3 ，e 2 e 4 = e 4 ，故有 e l e 2 = c 3 e 2 = e 4 e 2 = 0 ，e 2 e l = ( 1 + a ) e l ( a o ) 并且，当b 0 时，我们可依次调整基e 1 ，e 3 使得：e 2 e 2 = e 2 ，即6 = 1 此种类型的结构矩阵见表2 1 中的( i o ，6 ) ( 6 = 0 ，1 ) ( i - 2 ) 当f 0 时， e 2 e 2 f e 2 十( e 1 ) ，e 2 e 3 = a e 3 ，e 2 e 42 e 42 今e 3 e 2 = l e a ，e 4 e 22l e a 最后我们调整基e 2 ，使得：e 2 e 2 = l e 2 ，此种类型的结构矩阵见 表2 1 中的( i i 口，z ) i i 当k 2 f 时，也即当a = 一1 ，z = 0 时，由此知庇2 取值非零。 此时，我们不难知道 e l e 2 = e 2 e l = 0 ，e 2 e 2 = k 2 e 2 ( o ) 类似( d i 一2 ) 进一步有 e 3 e 22k 2 e 3 e 4 e 2 = k 2 e 4 最后令k 2 = k ，即得到表2 1 中的( u z k ) 1 2 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 ( e ) 对于( 4 ) ：e 2 e 3 = e 3 + e 4 ，e 2 e 4 = e 4 我们有 故不妨设 进一步 e a e 32 - - e 4 e 3 。e 3 e 4 e a e 42 0 e 3 e 32 一e 4 e 32e 3 e 42e 1 ( e 2 ，e 3 ，e 4 ) = ( e 3 ，e 2 ，e 4 ) = 冷e l e 2 + e 2 e l = 2 e l 设e 2 e 2 = k l e l + k 2 e 2 ，e l e 2 = l e l ，贝, 1 e 2 e x = ( 2 一1 ) e l ，并且 ( e 1 ，e 2 ，e 2 ) = ( e 2 ，e 1 ，e 2 ) = 令( e l e 2 ) e 2 = e l ( e 2 e 2 ) = 专1 2 = k 2 1 ( e 2 e 2 ) e l = ( e 2 e 1 ) e 2 = 令( 2 一z ) z = ( 2 1 ) k 2 于是，我们有k 2 = l ，即有e 2 e 2 l e 2 + ( e 1 ) ( i ) 当l = 0 时， e 2 e 2 = k l e l = = = e l e 2 = e 3 e 2 = e 4 e 2 = 0 e 2 e l = 2 e 1 并且，当b 0 时，我们可依次调整基e 1 ，e 3 ，e 4 使得：e 2 e 2 = e 2 ，即6 = 1 此种类型的结构矩阵见表2 1 中的( j n ) ( 6 = 0 ，1 ) ( i i ) 当f 0 时， e 2 e 22l e 2 + k a e l ，c 2 e 3 = e 3 + e 4 ，e 2 e 42e 42 今e 3 e 2 = l e a ，e 4 e 2 = l e 4 最后我们调整基e 2 ，使得：e 2 e 2 = l e 2 ，此种类型的结构矩阵见表2 1 中 的( ) 2 4 本文结论以及进一步的工作 本文最终得到的结论是非平凡的4 维n o v i k o v 超代数可分为五类( 见表2 1 ) ，且 它们互不同构( 见下面的命题2 1 0 ) ，更进一步，仅厶6 和，厶z 两类内部对应不同参 数值的4 维n o v i k o v 超代数存在同构现象( 见命题2 1 1 ) 。 1 3 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 我们首先给出4 维n o v i k o v 超代数a 中a 0 4 0 ，山a 1 ，a 1 a o ，4 1 a 1 的结构矩阵的 定义。在这里为简便计，对应的结构矩阵的记号仍作a o a o ，a 1 ，a 1 a o ，a 1 a 1 1 4 、，、一、一、一、 2 2 4 4 2 2 4 4 e e e e e e e e e e e e e e e e 1 1 3 3 1 1 3 3 e e e e e e e e e e e e e e e e = = = = 、，、，、，、， 2 4 2 4 e e e e 1 3 1 3 e e e e ，f，l 、，、 1 2 1 2 3 4 3 4 e e e e e e e e = = = = 0 1 0 1 a a a a a a a a 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 表2 1 4 维非平凡的n o v i k o v 超代数的结构矩阵 类型 4 0 a oa o a la 1 a oa l a l c = 1 + a z 命题2 1 0 五类非平凡的4 维n o v i k o v 超代数互不同构。 证明：首先观察到厶，b ，j 七和，耽满足：d i m a o a o 1 ；，厶，z 和满足d i m a o a o = 2 ，故我们容易推出： 厶，6 箬j 厶，z ，厶，6 喾，j 厶，z 箬i i i k ，厶，z 喾，y 6 ，i i i k 喾，y 6 箬 也即我们只需再证 厶，6 喾i i i k ，厶，6 喾，y 6 ，厶，z 喾v t ，i i i k 喾，y 6 先证厶 6 箬i i i 惫，我们分别考虑作用在a 1 上的右乘因子见。，在厶，6 中，易 知兄：一( 吕吕) ，在，厶中，r 。 一( 言2 ) ( 忌0 ) - 于是，不难知道不存 在厶6 至* j i i i 庇的同构映射，故命题得证，同理可证厶箬i v b 再证厶6 掌，乩，我们分别考虑作用在a 1 上的左乘因子l 印在厶，6 中，易 知己。一( 若呈) ，在，n 中，l 。：一( ：呈) 于是，不难知道不存在厶，a 到，n 的 同构映射，故命题得证，同理可证j 厶。z 箬 综上，命题2 j d 得证。 1 5 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 命题2 1 1 在耙j 五类非平凡的4 维n o v i k o v 超代数中，仅有厶 6 和j 厶，z 两类内部对 应不同参数值的4 维n o v i k o v 超代数存在同构现象，且厶，6 竺厶。6 当且仅当0 1 = a 2 或a l a 2 = 1 成立，j 厶l ，1 1 竺i i 2 ，z 2 当且仅当0 1 = a 2 ，1 1 = 1 2 或a l a 2 = 1 ，a l f 2 = z 1 成立。 证明：我们先假设每一类中，对应某个参数的两不同取值的两个代数之间存在同 构映射，且均记为厂。 j 对于厶，b ( b = 0 ，1 ) 类，不难知道，无论6 的取值怎样，我们均只需考虑参数。的 变化，故我们可设有两个代数厶，6 ，厶。一 易知在厶。，a 中，l 。：一( 言呈) 在l 。一中，l 卫一( 。1 a 2 呈) ， 、u 一， 进一步，交换厶：，6 中的e 3 和e 4 ，l 三2 变为l 三2 o oa 吉呈) 们令击= 0 1 ，则a l a 2 = 1 ，此时 f ( e 1 ) = f ( e 3 e 4 ) = f ( e 3 ) f ( e 4 ) = e 4 e 3 = - - a 2 e 1 经过验证，我们知道由厶。，b 到厶。，6 的映射厂： f ( e 1 ) = - - a 2 e l 你2 ) = 暑，f ( e 3 ) _ e 4 ，f ( e a ) 咱 为同构映射，并且，易知当0 1 = a 2 ：和a l a 2 = 1 同时不成立时，明显有厶，一喾 厶。，6 ，故知厶，6 竺厶：，6 当且仅当a 1 = a 2 或a l a 2 = l 成立。 2 对于，厶1 类，我们同时考虑参数o ， 易知在l 。，f ，中，己。：一 a 2 0 骨 0 1 k 2一( 1 。2 f 的变化，故我们可设有两个代数，厶，l ，j 厶。，l 。 ) ，j 宅。：，、，( 1 。l ；：) ；在j j 二：，z ：中，j ：。：，、 在，厶。 1 2 中，调整基e 2 为警，于是r 纽1 2 可记为r 警一( 台 时，己警一( 言罢) ，进一步，交换基e 3 和e 4 ，己警变为l 警一( 我们令鲁= 0 1 ，警= 1 ，则a l a 2 = 1 ，a l l 2 = 1 1 此时 f ( e 1 ) = f ( e 3 e 4 ) = f ( e 3 ) f ( e 4 ) = e 4 e 3 = - - a 2 e 1 1 6 ，同 0 纽 z 2 我 夕红如0 第二章四维非平凡的n o v i k o v 超代数的分类 经过验证，我们知道由j 厶。，l l 至, j i o 。，z 。的映射厂： f ( e 1 ) = 一a 2 e l ，厂( e 2 ) = a l e 2 ，( e 3 ) = e 4 ，( e 4 ) = e 3 为同构映射，并且，易知当0 1 = a 2 ，1 1 = 1 2 和a l a 2 = 1 ，a l l 2 = 1 1 同时不 成立时，明显有厶，6 等厶。，b ，故知j 厶，z 。竺，厶2 ，z 2 当且仅当0 1 = a 2 ，1 1 = f 2 或a l a 2 = 1 ，a l l 2 = l l 成立。 3 对于，j j 七类，考虑参数忌的变化，故我们可设有两个代数，南，i i i 七： 柚k 中，易地：一( 1 1 呈) 一( 吾三) ( k l o ) ；在中， 易地。一( 吾呈) 心一( 台芝) ( 也0 ) 于是，不难知如垡 i i i k 。当且仅当k l = k 2 4 对于类，考虑参数f 的变化，故我们可设有两个代数，。 易知在，中，l 。：一( ；呈) ，见：一( 3 ) ，在。中，l e ：一( ：呈) ，兄：一 ( 1 。2 芝) 于是，不难知道，竺。当且仅当2 ，= 匕 综上，命勉j j 得证。 在文章的最后，我们来谈一下本文可做的后续工作，若进一步考虑4 维n o v i k o v 超 代数平凡的情况，相对本文非平凡的情况来说，则显得比较复杂，在这里要指出 的是我们还另需考虑d i m a o = 1 的情况，最后稍带提及的关于n o v i k o v 代数全面的 结构理论仍有待研究。 1 7 参考文献 参考文献 1 】b a icm a n dm e n gd j ，t h ec l a s s i f i c a t i o no fl e f t - s y m m e t r i ca l g e b r ai nd i m e n s i o n 2 ，c h i n s c i b u l l2 3 ( 19 9 6 ) ，2 2 0 7 ( i nc h i n e s e ) 2 b a icma n dm e n gdj ，t h es t r u c t u r e so fb i s y m m e t r i ca l g e b r a sa n dt h e i r s u b a d j a c e n tl i ea l g e b r a s ，c o m m u n a l g e b r a 2 8 ( 2 0 0 0 ) ：2 7 1 7 3 4 3 b a icm a n dm e n gdj ，t h ec l a s s i f i c a t i o no fn o v i k o va l g e b r a si nl o wd i m e n s i o n s ， p h y s a ：m a t h g e n 3 4 ( 2 0 0 1 ) ，1 5 8 1 - 1 5 9 4 【4 】b a l i n s k i ia aa n dn o v i k o vsep o i s s o nb r a c k e t so fh y d r o d y n a m i ct y p e ，f r o b e n i u s a l g e b r a sa n dl i ea l g e b r a s ，s o y m a t h d o k l 3 2 ( 19 8 4 ) ：2 2 8 31 【5 】b u r d ed ，s i m p l el e f t - s y m m e t r i ca l g e b r a sw i t hs o l v a b l el i ea l g e b r a ，m a n u s c i p t a m a t h 9 5 ( 1 9 9 8 ) ，3 9 7 - 4 11 6 d r o b r o v i nbaa n dn o v i k o vsp h a m i l t o n i a nf o r m a l i s mo fo n e - d i m e n s i o n a l s y s t e m so fh y d r o d y n a m i ct y p ea n dt h eb o g o l u b o v w h i t h a ma v e r a g i n gm e t h o d ， s o v m a t h d o k l 2 7 ( 1 9 8 3 ) ，6 6 5 9 【7 】d r o b r o v i nba a n dn o v i k o vsep o i s s o nb r a c k e t so fh y d r o d ) r n a m i ct y p e ， s o v m a t h d o k l 3 2 ( 1 9 8 4 ) ，6 5 1 4 【8 】g e l f a n dim a n dd i k il a ，a s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h er e s o l v e n t o f s t u r m l i o u v i l l ee q u a t i o n sa n dt h ea l g e b r ao ft h ek o r t e w e g d ev r i e se q u a t i o n s ， r u s s m a t h s u r v 3 0 ( 1 9 7 5 ) ，7 7 - 11 3 【9 g e l f a n dima n dd i k ila ，al i ea l g e b r as t r u c t u r ei naf o r m a lv a r i a t i o n a l c a l c u l a t i o n ，f u n c t a n a l a p p l 1 0 ( 19 7 6 ) ，16 2 2 1 0 】g e l f a n dim a n dd o r f m a niyh a m i l t o n i a no p e r a t o r sa n da l g e b r a i cs t r u c t u r e s r e l a t e dt ot h e m ，f u n c t a n a l a p p l 1 3 ( 19 7 9 ) ，2 4 8 6 2 1 8 参考文献 11 g e l l a n dim a n dd o f f m a niys c h o u t e nb r a c k e t sa n dh a m i l t o n i a no p e r a t o r s ， f u n k t s i o n a la n a lip r i l o z e n 1 4 ( 19 8 0 ) ，71 7 4 12 g e l f a n dim a n dd o r f m a niyh a m i k o n i a no p e r a t o r sa n di n d i n i t ed i m e n s i o n a l l i ea l g e b r a s ，f u n k t s i o n a l a n a lip r i l o z e n 1 4 ( 1 9 8 1 ) ，2 3 4 0 【13 】k i mh ，c o m p l e t el e f t - i n v a r i a n ta f f i n es t r u c t u r e so nn i l p o t e n tl i eg r o u p s ， j d i f f g e o m 2 4 ( 1 9 8 6 ) ，3 7 3 9 4 1 4 】k i mh ，e x t e n s i o n so fl e f t s y m m e t r i ca l g e b r a s ，a l g e b r a s , g r o u p sg e o m 4 ( 1 9 8 7 ) ， 7 3 1 1 7 1