（基础数学专业论文）巴拿赫空间中微分包含的解及其性质.pdf

摘要 微分包含又称为多值泛函微分方程，是非线性分析理论的一个重要分支。 由于其在工程技术、国民经济、优化理论以及控制论等领域有着广泛的应用，微 分包含理论近年来得到了迅猛的发展。对于各类非线性微分包含的研究，包括 解的存在性、解对初值的连续依赖性、解的渐近行为以及解集的拓扑结构等方 面有了许多的结果，但其中大部分结果都是在半群紧或等度连续情形下获得的。 随着微分包含理论在实际应用中的不断深入发展，我们自然要问，在半群失去 紧性或者等度连续性时，有没有相应的结论? 本文的目的就是给出这些问题的 一些答案。 本文第一章讨论如下半线性微分包含解的存在性 ( t ) a ( t ) u ( t ) + f ( t ，札( t ) ) ，a e t ， u ( o ) = u o 这里 a ( t ) ) t e o ，卅是一族线性算子，f 是一多值映射。 本章中用到的主要工具是非紧性测度理论，半线性微分方程理论以 及多值分析理论。在1 1 节中介绍了有关它们的一些基本知识。1 2 节给 出主要结论，即适度解的存在性，延拓性以及整体存在性( 见t h e o r e m1 1 0 ， t h e o r e m l 1 1 ，c o r o l l a r y l ，1 4 ) 。证明中我们首先定义了一个新的正则的非紧 测度，然后利用截口的非紧测度来估计等度连续模，从而在不需要发展系 统 矿( t ，s ) ：0 s tst ) 等度连续性的情形下得到了上述主要结论，这推广 了【5 0 ，6 5 ，7 8 】中的相应结果，其需要发展系统或半群的紧性。 第二章主要处理如下具无穷时滞非线性微分包含积分解的存在性以及对初 值的连续依赖性 乱7 ( t ) - a u ( t ) + f ( t ，t “) ，口 t 口+ z = 妒留 这里a 是一m _ 增生算子并且一a 生成一等度连续半群，f 是一多值映射，留是一 抽象的相空间，x + 是一致凸的巴拿赫空间。我们在失去半群紧性的情形下，利 扬州大学博士学位论文 用一二元非紧测度h ( 见( 2 3 9 ) 式) 以及一多值不动点定理证明了上述问题在 一般相空间中积分解的存在性，这将【3 9 ，4 4 ，4 8 1 中的结论推广到无穷时滞情形 并将f 3 5 1 中结论推广到完全非线性情形。 2 1 节中回忆一些基本概念以及一多值不动点定理。2 2 节，定义了积 分解算子并给出它的一些基本性质。在2 3 节中给出上述问题局部解的存在 性( 见t h e o r e m2 1 2 ) 。2 4 节中证明了积分解的整体存在性以及解集的相对紧 性( 见t h e o r e m2 1 4 ) 。最后，在2 5 节中得到了解集p ( 妒) 对初始函数妒的连续依 赖性( 见t h e o r e m 2 1 8 ) 。 第三章致力于研究如下半线性非局部问题适度解的存在性 z ( t ) = a x ( t ) + f ( t ，正( t ) ) ，t ( 0 ，川， x ( 0 ) = 9 ( z ) 其中a 是一强连续有界线性算子族 t ( t ) ，t 【0 ，6 】 的无穷小生成元，f ：【o ，6 】 x _ x 是- - c a r a t h e o d o r y 型映射，g ：c ( 0 ，6 ；x ) _ x 是一连续映射。 本章利用的主要工具是有关巴拿赫空间中半线性微分方程的理论和方法， 非紧性测度性质以及不动点技巧。证明中我们尽量使用非紧性测度性质( 这似 乎是首次将非紧性测度用来处理非局部问题) ，这不仅使我们成功去掉了半群 的紧性，甚至等度连续性，同时也使我们避免了无界算子a 在t = 0 h 处的复杂 性。3 1 节中，我们回忆了一些基本定义和事实。3 2 节中，我们在，和g 的不同 条件组合下得到了非局部问题适度解的存在性( 贝, t h e o r e m37theorem3 1 0 t h e o r e m3 1 2 ，t h e o r e m3 1 5 以及t h e o r e m3 1 6 ) ，推广了这方面的许多工作。 第四章我们讨论如下非线性发展包含积分解的弱收敛以及强收敛性 ( t ) - a ( t ) u ( t ) + f ( t ) ，t 0 ， u ( o ) = 跏 其中 a ( t ) ：t o ，是一族m 增生算子，跏万丽，f 是一强可测多值映射。 4 1 节我们给出巴拿赫空间中非自治系统积分解的一些定义和性质。由于 非自治系统的积分解不再是半群的殆轨道，故f 3 3 ，6 8 ，6 9 ，6 6 ，7 2 ，7 3 ，8 1 1 中的方 法不适用于这儿的情形。我们直接从积分解的性质入手，在4 2 节中得到了积 分解的遍历定理，并利用此结论给出了非自治系统积分解弱收敛的充分必要条 件( 见t h e o r e m 4 5 并f l t h e o r e m 4 7 ) 。在4 3 节中，我们改进了 6 8 】中的收敛条件并 由此得到了非自治系统积分解强收敛的充分条件( 见t h e o r e m 4 1 0 ) 。 凡震彬巴拿赫空间中微分包含的解及其性质 i i i 第五章考虑如下限制非线性微分包含解集的拓扑结构 ( t ) 一a u ( t ) + f ( t ，u ( t ) ) ， u ( t o ) = 霉o d 其中a ：d ( a ) cx 一2 x 是一胁增生算子使得一a 生成一非扩张半群s ( t ) ： 丽一i i 两，t 0 ，d i 丽是一非空集合，f ：【0 ，明d 一2 x 是多值映 射。 本章利用并改进 6 v p 的方法，在对d 的适当假设以及切锥条件下，证明 了上述限制微分包含的解集是一风集( 见t h e o r e m58 ) ( 这似乎是有关非线性限 制微分包含问题的第一个结论) ，并利用此结论讨论了非线性微分包含的周期 解。另外，当利用这儿改进了的方法回到半线性限制微分包含问题时，我们 发现 6 】中主要结论的许多条件是不需要的，比如半群的非扩张性以及半群关 于集合d 的不变性( 见r e m a r k 5 2 0 ) 。最后利用上述结论证明了周期解的存在 性( 见t h e o r e m5 2 5 和t h e o r e m5 2 6 ) 。 关键词：适度解，积分解，无穷时滞，非局部条件，渐近行为，解集结构，忍集 周期解。 a b s t r a c t d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n sa l s oc a u e dm u l t i v a l u e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n si s 缸i m p o r t a n tb r a n c hi nt h et h e o r yo fn o n l i n e a ra n a l y s i s t h et h e o r yo f w h i c hh a sd e v e l o p e df a s tb e c a u s eo fi t se x t e n s i v ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n si nm a n y f i e l d ss u c ha se n g i n e e r i n g ，e c o n o m i c s ，o p t i m a lc o n t r o la n do p t i m i z a t i o nt h e o r y t h e r ea r em a n yr e s u l t sa b o u tt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s s u c h8 8t h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，c o n t i n u a t i o no fs o l u t i o n s id e p e n d e n c eo ni n i t i a le o n d i - t i o n sa n dp a r a m e t e r s s i n c ead i f f e r e n t i a li n c l u s i o nu s u a n yh a sm a n ys o l u t i o n s s t a r t i n ga tag i v e np o i n t ，n e wi s s u e sa p p e a r ，s u c ha si n v e s t i g a t i o no ft o p o l o g i c a l p r o p e r t i e so ft h es e to fs o l u t i o n s s e l e c t i o no fs o l u t i o n sw i t hg i v e np r o p e r t i e s ，e t c h o w e v e r ，m a n yo ft h e ma r eo b t a i n e du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h es e m i g r o u p i sc o m p a c to re q u i e o n t i n u o u s n a t u r a l l y , o n em a ya s kt h a tw h e t h e rt h e r ea r et h e s i m i l a rr e s u l t sw i t h o u tt h ea s s u m p t i o no nt h ec o m p a c t n e s so re q u i c o n t i n u i t yo f t h es e m i g r o u p i nt h i sw o r k w em a i n l yd e a lw i t ht h e s ep r o b l e m s t h er e s u l t s o b t a i n e da r ep r e s e n t e d 勰f o l l o w s i nc h a p t e rl ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a r e v o l u t i o nd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n ( t ) a ( t ) u ( t ) + f ( t ，( t ) ) ，a e t ， u ( 0 ) = u o ， i nar e a lb a n a c hs p a c ex h e r e a ( t ) t e l o , t i saf a m i l yo fl i n e a ro p e r a t o r sa n d fi 8am u l t i f u n c t i o n ， t h em a i nt o o l si nt h ea p p r o a c hf o l l o w e di nt h i sc h a p t e ra r em e a s u r eo f n o n c o m p a c t n e s s ，t h et h e o r yo fs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dm u l t i v a l u e d a n a l y s i s ab r i e fr e m i n d e ro ft h e s ei sp r o v i d e di ns e c t i o n1 1 i ns e c t i o n1 2 ，w e g i v eo u rm a i nr e s u l t s ，i e e x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sa n dc o n t i n u a t i o no fs o l u t i o n s ( s e e t h e o r e m1 1 0 ，t h e o r e m1 1 1 ，c o r o l l a r y1 1 4 ) i no u rp r o o f ，w ef i r s td e f i n e an e wr e g u l a rm e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s t h e n ，w em a k eu s eo ft h em e a s u r e o fn o n c o m p a c t n e s so ft h es e c t i o n t oc a l c u l a t et h em o d u l u so fe q u i c o n t i n u i t y 、，i 扬州大学博士学位论文 t h e r e f o r e ，w ed on o tn e e dt h ee q u i c o n t i n u i t yo ft h ee v o l u t i o ns y s t e m u ( t ，8 ) ： 0 s t 冬t i no u rp r o o fa n da l s oo b t a i nt h ea b o v em a i nr e s u l t s ，w h i c h e x t e n dt h o s ei n 【5 0 ，6 5 ，7 8 】，w h e r et h e yn e e dt h ec o m p a c t n e s so ft h ee v o l u t i o n s y s t e mo rt h es e m i g r o u p c h a p t e r2d e a l sw i t ht h ee x i s t e n c er e s u l t so fi n t e g r a ls o l u t i o n sa n dt h ec o i l - t i n u o n sd e p e n d e n c eo ft h es o l u t i o ns e to nt h ei n i t i a lf i m e t i o no ft h ef o n o w i n g n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a li n c l u s i o nw i t hi n f i n i t ed e l a y 口唯) - a u ( t ) + f ( t ，毗) ，口 t 矿+ e = | p 留， i nar e a lb a n a c hs p a c ex h e r ew ea s s u m et h a tai sa nm - a c c r e t i v eo p e r a t o r s u c ht h a t ag e n e r a t e sa ne q u i c o n t i n u o u ss e m i g r o u p 。fi 8am u l t i f u n c t i o n 留i s ap h a s es p a c ea n dx + i 8u n i f o m l yc o n v e x w em a k el l so ft h em e a s l l r eo fn o n - c o m p a c t n e s sa n dt h em u l t i v a h i e df i x e dp o i n tt h e o r yt og e tt h ee x i s t e n c er e s u l t s o ft h ea b o v ep r o b l e mw i t h o u tt h ec o m p a c t n e s sa s s u m p t i o no nt h es e m i g r o u p ， w h i c he x t e n dt h er e s u l t so f 【3 9 ，4 4 ，4 8 】t ot h ec a s eo fi n f i n i t ed e l a ya n de x t e n d t h er e s u l t so f 【3 5 】t ot h ef u l l yn o n l i n e a rc a s e i ns e c t i o n2 1 w er e c a l ls o m eb a s i cd e f i u l t i o n sa n dam u l t i v a l u e dl i ) 【e dp o i n t t h e o r y i ns e c t i o n2 2 ，w ed e f i n et h ei n t e g r a ls o l u t i o no p e r a t o ra n dg i v es o m e b a s i cp r o p e r t i e so fw h i c h a n dw eg i v et h ee x i s t e n c eo fl o c a li n t e g r a ls o l u t i o n sf o r t h ep r o b l e mw ec o n s i d e r e di ns e c t i o n2 3 ( s e et h e o r e m2 1 2 ) i ns e c t i o n2 4 ，w e p r o v et h ee x i s t e n c eo fg l o b a li n t e g r a ls o l u t i o na n do b t a i nt h ec o m p a c t n e s so ft h e s o l u t i o ns e t ( s e et h e o r e m2 1 4 ) f i n a l l y , w eo b t a i nt h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo f t h es o l u t i o ns e tp ( 妒) o nt h ei n i t i a lf u n c t i o nl pi ns e c t i o n2 5 ( s e et h e o r e m2 1 8 ) c h a p t e r3i 8d e v o t e dt ot h es t u d yo ft h en o u l o c a li n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( t ) = a x ( t ) + f ( t ，z 0 ) ) ，t ( 0 ，6 】， z ( 0 ) = 9 ( 。) ， w h e r eai st h ei n f i m t e s i m a lg e n e r a t o ro fas t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u po f b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o mt ( t ) i nb a n a c hs p a c ex ，：【0 ，6 】x _ xa n d g ：c ( o ，6 ；x ) 一x 凡震彬巴拿赫空间中微分包含的解及其性质 v i i o u rb a s i ct o o l sa r et h em e t h o d sa n dr e s u l t sf o rs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n si nb a n a c hs p a c e s ，t h ep r o p e r t i e so fn o n c o m p a c tm e a s u r e sa n df i x e dp o i n t t e c h n i q u e s w et r yt om a k eu s eo ft h ep r o p e r t i e so fn o n c o m p a c tm e a s u r e si n p r o o f i ts e e n l st h a tw ef i r s tm a k eu s eo ft h em e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e e st od e a l w i t ht h en o n l o c a lp r o b l e m ，w h i c hn o to n l ym a k e su st or e m o v et h ec o m p a c t n e s s o ft h es e m i g r o u p ，e v e nt h ee q u i c o n t i n u i t yo ft h es e m i g r o u p ，b u ta l s oe n a b l e su s t oa v o i dt h ed i f f i c 山t i e sa s s o c i a t e dw i t hu n b o u n d e do p e r a t o r sw h e nt = 0 i n s e c t i o n3 1 ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n df a c t sa b o u tt h em e a s l l r eo fn o n c o m - p a c t n e s sa n ds e m f l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o u rm a i nr e s u l t sw i l lb eg i v e n i ns e c t i o n3 2 ( s e e t h e o r e m3 7 ，t h e o r e m3 1 0 ，t h e o r e m3 1 2 ，t h e o r e m3 1 5a n d t h e o r e m3 1 6 ) ，w h i c he x t e n da n di m p r o v em a n yr e s u l t sa b o u tt h i sp r o b l e m i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ew e a ka n ds t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h ei n t e g r a l s o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ni n c l u s i o n u 0 ) 一a 0 ) 乱( t ) + f ( t ) ，t 0 ， 札( 0 ) = x 0 ， w h e r e a ( t ) ：t o ) i saf a m i l yo fm - a c c r e t i v eo p e r a t o r si nar e a lb a n a c hs p a c e x ，x 0 d ( 0 ) ) a n df i sas t r o n g l ym e a s u r a b l em u l t i v a l u e dm a p p i n g i ns e c t i o n4 1 ，w eg i v es o m ef a c t sa b o u tt h ei n t e g r a ls o l u t i o n so ft h en o n - a u t o n o m o u ss y s t e mi nb a n a c hs p a c e s s i n c et h ei n t e g r a ls o l u t i o n sw ec o n s i d e r e d h e r ea r en o tt h ea l m o s t o r b i t so ft h es e m i g r o u p ，t h em e t h o d si n 3 3 ，6 8 ，6 9 ，6 6 ，7 2 ， 7 3 ，8 1 】c a nn o tb ea p p l i e dt ot h i sc a s e w em a k ef u l lu s eo fp r o p e r t i e so fi n t e g r a l s o l u t i o n st oo b t a i nt h ee r g o d i ct h e o r e ma n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n - d i t i o n st ot h ew e a kc o n v e r g e n c ei ns e c t i o n4 2 ( s e e t h e o r e m4 5 ，t h e o r e m4 7 ) t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nt ot h es t r o n gc o n v e r g e n c eo fi n t e g r a ls o l u t i o n si so b t a i n e d i ns e c t i o n4 3 ( s e et h e o r e m 4 1 0 ) c h a p t e r5i sc o n c e r n e dw i t ht h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h es o l u t i o ns e tt o t h ec o n s t r a i n e dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n ( t ) - a u ( t ) + f ( t ，乱( t ) ) ， 乱( 南) = x o d ， i nar e a lb a n a c hs p a c ex ，w h e r ea ：d ( a ) cx _ 2 xi sa nm - a c c r e t i v e o p e r a t o r w i t h a g e n e r a t i n gas e m i g r o u po fn o n e x p a u s i v em a p p i n g ss ( t ) ：d ( a ) _ d ( a ) v i i i 扬州大学博士学位论文 f o rt 0 ，d 丽i san o n e m p t ys u b s e ta n df ：【o ，习d _ 2 xi sa m u l t i v a l u e df u n c t i o n i nt h i sc h a p t e r ，u n d e rt h et a n g e n c yc o n d i t i o na n dt h ea p p r o p r i a t ea s s u m p - t i o n so nd ，w em a k eu s eo ft h em e t h o 凼i n | 6 1t oo b t a i nt h a tt h es o l u t i o ns e t o ft h ec o n s t r a i n e dn o n l i n e a rd i 珏e r e n t i a li n c l u s i o ni sa nr 6 - s e ti ns e c t i o n5 3 ( s e e t h e o r e m5 8 ) i ts e e m st h a tt h i si st h ef i r s tr e s u l ta b o u tt h ec o n s t r a i n e dn o n l i n - e a rd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s i ns e c t i o n5 4 w ed i s c u s st h es e m i l i n e a rc a s e a n di n v i e wo fo u rp r o o f ，w ec a nr e m o v em a n yk e yc o n d i t i o n so ft h e o r e m1 6i n 6 】( s e e r e m a r k5 2 0 ) f i n a l l y , a sa na p p l i c a t i o n ，w eo b t a i nt h ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s ( s e e t h e o r e m5 2 5a n dt h e o r e m5 2 6 ) k e y w o r d s ：m i l ds o l u t i o n ，i n t e g r a ls o l u t i o n ，i n f i n i t ed e l a y , n o n l o c a lc o n d i t i o n ， a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，s o l u t i o ns t r u c t u r e ，r 6 一s e t ，p e r i o d i cs o l u t i o n c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n t h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n si nb a n a c h8 d a c e 8h a sd e v e l o p e df a s t b e c a u s eo f i t se x t e n s i v ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d ss u c h 嬲f r e eb o u n d a r y o n e sa n dm o v i n g b o u n d a r yo n e sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s e e1 1 ，6 6 ，6 7 ) ， f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o na n do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ( s e e 【2 ，1 9 ，2 2 ，2 9 ，7 7 1 ) d f i f e r e n t i a li n c l u s i o ni sag e n e r a l i z a t i o no ft h en o t i o no fa no r d i n a r yd i f f e r e n - t i a le q u a t i o n t h e r e f o r e ，a l lp r o b l e m sc o n s i d e r e df o rd i f i e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h a t i s ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，c o n t i n u a t i o no fs o l u t i o n s ，d e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i - t i o n sa n dp a r a m e t e r s ，a r ep r e s e n ti nt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s s i n c e ad i f f e r e n t i a li n c l u s i o nu s u a l l yh a sm a n ys o l u t i o n ss t a r t i n ga tag i v e np o i n t ，n e w i s s u e sa p p e a r ，s u c ha si n v e s t i g a t i o no ft o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so ft h es e to fs o l u - t i o u s ，s e l e c t i o no fs o l u t i o n sw i t hg i v e np r o p e r t i e s ，e t e i nt h i sw o r k ，w em a i n l y d e a lw i t ht h ea b o v ep r o b l e m si e t h ee x i s t e n c ea n dp r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o r s e v e r a lt y p e so fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n si nb a n a c hs p a c e s c h a p t e r1d e a l sw i t ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a r e v o l u t i o nd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n 缸7 ( ) a ( t ) u ( t ) + f ( t ，u ( t ) ) ，a e t ， u ( 0 ) = u o ， ( 0 0 1 a ) ( 0 0 i b ) i nar e a lb a n a c hs p a c ex h e r e ”( t ) k 【0 ，卅i saf a m i l yo fl i n e a ro p e r a t o r sa n d fi sam u l t i f u n c t i o n ， t h ed i f f e r e n tv e r s i o n so ft h i ss y s t e mw e r ei n v e s t i g a t e db ym a n ya u t h o r s b r e s s a n 【2 0 ，k i s i e l e w i c z 【4 9 】，f r y s z k o w s k i 【3 1 】a n dp a p a g e o r g i o u 【6 4 】d i s c u s s e d t h ee x i s t e n c er e s u l t si nt h ee a s ew h e na ( t ) = 0 v r a b i e 【7 8 】c o n s i d e r e dt h ec a s e w h e na ( t ) = ag e n e r a t e sac o m p a c tc o s e m i g r o u pa n df ( t ，) i sc o n t i n u o u s i n 【2 1 ，4 5 】，t h ea u t h o r ss u p p o s e dt h a tf h a sc o n v e xa n dc o m p a c tv a l u e sa n d 2 扬州大学博士学位论文 p r o v e dt h ee x i s t e n c er e s u l t so f ( 0 0 1 ) w i t h o u ta s s u m i n gn e c e s s a r i l yt h a te v o l u t i o n s y s t e mg e n e r a t e db ya ( t ) i se q u i e o n t i n u o u s ，w h i c he x t e n d e dt h em a i nr e s u l t si n 5 0 ，6 5 ，7 s i h ep t t r p o s eo ft h i sc h a p t e ri st os t a t et h a tw ec a ns o l v et h ed i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n ( 0 0 1 ) w h e nf h a sn o n c o n v e xv a l u e sa n dt h e r ei sn ot h ea s s u m p t i o no n t h ee q u i c o n t i n n i t yo f t h ee v o l u t i o ns y s t e m t e c h n i q u e se m p l o y e di n 【2 1 ，4 5 ，h a v e b e e ng e n e r a l i z e dt ot h es t u d yo f ( 0 0 1 ) i nt h i ss i t u a t i o n t h a ti s ，l o c a le x i s t e n c e o fm i l ds o l u t i o n sa r ef i r s tp r o v e d ，u s i n gt h et h e o r yo fc o n t i n u o u ss e l e c t i o na n d af i x e dp o i n ta r g u m e n ts e et h e o r e m1 1 0 ) t h e n ，b yc a r e f u la n a l y s i s ，w ee x - t e n dt h el o c a lm i l ds o l u t i o no f ( 0 0 1 ) t oam a x i m a li n t e r v a l ( s e e 里h 丝堡! ：! ! ) f i n a l l y , u n d e ras t r o n g e rb o u n d e d n e s sc o n d i t i o no nf ，w eo b t a i nt h a tt h es e t o fa l lg l o b a ls o l u t i o n sd e f i n e do n 【o ，卅i sn o n e m p t ya n dr e l a t i v e l yc o m p a c ti n c ( o ，t ；x ) ( s e ec o r o l l a r y1 1 4 ) i no u rp r o o f ，w ef i r s td e f i n ean e wr e g u l a rm e 舢 s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s t h e n ，w em a k eu s eo ft h em e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s o ft h es e c t i o nt oc a l c u l a t et h em o d u l u so fe q u i c o n t i n u i t y s o w ed on o tn e e d t h ee q u i c o n t i n u i t yo ft h ee v o l u t i o ns y s t e mw ( t ，s ) ：0 s t t ) i np r o o f t h e r e f o r e ，o u rr e s u l t se x t e n da n di m p r o v et h o s ei n 【2 1 ，4 5 ，5 0 ，6 5 ，7 8 ，w h e r e t h e yn e e dt h ec o m p a c t n e s so ft h ee v o l u t i o ns y s t e mo rt h es e m i g r o u p ，a n dm a y b e g i v eaw a yt or e m o v et h ec o m p a c t n e s sf o rt h en o n l o c a lc a u c h yp r o b l e m sa n dt h e p e r i o d i cp r o b l e m so fe v o l u t i o ni n c l u s i o n s ( s e e 【5 ，5 1 ，5