（基础数学专业论文）函数芽的有限rrsn决定性.pdf

中文摘要 光滑映射芽的有限决定性是奇点理论中一个重要专题对函 数芽有限决定性的讨论最基本的是讨论其有限吼一决定性，后来 被人们发展到有限贸( s ；”卜决定性和有限倪，一决定性情形李养成 教授在文献 2 中讨论了映射芽的有限孵，一决定性的，在文献 3 中对函数芽的有限决定性进行了专题讨论；p o r t o 和l o i b e l 在 文献 1 中讨论了函数芽的有限贸( s ；”) 一决定性和有限9 t ( s ；一) 一决定 性本文在以上工作的基础上讨论了函数芽的有限婀，( 砖一) 一决定 性，并得到了函数芽的有限9 t ，( s ；n ) 一决定性的一些重要结果如下： ( 1 )判断函数芽是m ，( s ；n ) 一平凡的充分必要条件： ( 2 ) 判断函数芽有限9 1 ，( s ；n ) 一决定性的充分必要条件： ( 3 ) 函数芽的有限吼，一决定性与有限吼，( s ；n ) 一决定性 之间的关系 关键词：函数芽，等价，有限决定性 a b s tr a c t f i n i t e d e t e r m i l 3 a c y0 fs m o o t hm a pg e r m siso n eo fi m p o r t 8 , r l t s p e c i a lt o p i csi nt h et h e o r yo fs i n g u l a r i t y a sf o r f i n i t ed e te r l i l ir l a c 3 ro fs m o o t hf u n c t io ng e r m s ，t h eess e f t t i a l f o r misf in i t e 贸一d e t e r l i l i r l a c y ：l a t e r ，f i n i t e 婀( s ；n ) 一d e t e r - m i n a c y & r l df in i t e 贸，一d e t e r i l l ir l a c yw e t eg er l e r a liz e df r o m f i l l i t e 豫一d e t e r m i f i a c y p r o f e ss 0 rl ih a dd i s c u sse df i n i t e 倪，一d e t e r r n i n a c y o fs i i l 0 0 t h m a pg e r m si 1 1 2 ，a n ds t u d ie d f i n i t e9 t d e t e l m i n a c yo fs m o o t hf u n c t i 0 1 3g e r m s8 sas p e c i a l t o p i c i n 3 ：p o r t oa n dl o i b e lh a dd is c l l ss e df i n i t e 豫( s ：h ) 一 d e t e l m i n a c ya n df i n i t e钟+ ( s ；，i ) d e t e f i l l in a c y0 fsr n o o t hf u n c t i o ng e f m s i 1 1 1 i r lt h e p a p e r ，t h ea u t h o rh a sd is c u s s e d f i n i t e 贸，( s ；以) 一d e t e r l n i n a c y0 fs l n o o t hf u n c t i o i lg e r m so nt h e b a s is0 ft h ef o r m e rm e t h o d ，a n dh eh a so b t a i ne ds o g l er es u l t s a sf 0 】10 w s ： ( i ) t h es u f f ic ie n ta n d r e c o g n i ti 0r l o ft h a t t i e c e s s a r y c 0 1 3 d i t i o nf o r af u n c ti 0 1 3 g e r m is 贸，( s ；h ) 一 t 1 7 i v i a l ： ) t h es u r f ic ie n ta n dr l e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r r e c o g n i t i o n0 ft h a taf u n c t i o i l g e r m isf in i t e l y 舛，( s ； ) 一d e t e r i i l i n e d ： ( i i i ) t h er e l a t i o n s h i ! ob e t w e e nt h ef in i t e 孵d e t e r m i ir l a c ya , r l dt h ef in i t e 9 t ，( s ；月) 一d e t e r m in a c yo fs m o o t h f u n c t i 0 1 1 g e r r l l s k e yw o r d s ： f u n c t i or l g e r m s ，e q u i v a le n c e ，f ir l i t ed e t e l - 1 1 1 i n a c y 1 引言 李培信先生在文献 3 的序言中写道： “奇点理论是分析学科中的一个新的分支，它是处在分析、 微分拓扑、微分几何、交换代数与李群以及微分方程等数学学科 交汇处的一门学问，又在诸多领域，如微分方程、振荡积分、动 力系统、分歧理论、突变理论、几何光学与波动光学等学科中有 广阔的应用” 我们知道奇点理论的发展起步比较晚，直到19 5 5 年 h w h i t n e y 发表关于把平面映到平面的映射奇点工作，它才标志 着奇点理论作为一门独立的数学分支登上了数学舞台自从2 0 世纪6 0 年代以来奇点理论中一个非常活跃的研究课题就是讨论 光滑映射芽的有限决定性，其基本思想是“较好”的光滑映射芽 的局部拓扑性质由它们的t a y l o r 级数中的有限多个项所决定， 确切地说，在从( r 1 ，o ) 到( r p ，o ) 光滑映射芽所成之集占o ( n ，p ) 中引入等 价关系e 我们说厂es o ( ”，p ) 是r e 一决定的( r 为非负整数) ，是指 对任意的g s 。( n ，p ) ，如果g 和厂在o r “处具有相同的，阶t a y lo r 多 项式，那么g 与厂是e 一等价的假若对某一非负整数r 5 1 ，s ( ，s ；n ) = g ( 月) ：g t s = f l s ，s ( s ；) = g 脚( h ) ： g s = o ) ，则有e ( f ，s ；”) 是环厶的子环，占( s ；一) 是环s ( f ，s ；”) 的唯一极大理 想，同时它还是一个有限生成的矗一模设厂，记，( 厂) ： 一( ，) 是环矗的理想，称此理想为函数芽f 的5 a c o b i 理想 记贸= 印：( 月。，o ) 斗( r 。，o ) 为微分同胚芽 ， 豫，= 和孵：，7 妒= l ( n 。) ) ， 嗽( s ；门) = 9 t s = p 虢：pi s = f d ， 豫，( s ；h ) = 妒锕( s ；n ) ：j 妒= 1 川) ， 吼( s ；押) = 吼： = p 婀：妒( s ) = s ，披：( s ；栉) = 伊舆( s ；n ) ：_ ，7 妒= 1 ( 旷) ，其中i ( 。印) 表示( j r ”，o ) 上 的恒同映射芽，容易证明：孵，是群吼的正规子群，贸( s ；”) 是群吼的 子群，锨，( s ；h ) 是群9 1 ( s ；n ) 的正规子群，识：( s ；n ) 是群孵的子群，吼：( s ；n ) 是沉：( s ；”) 的正规子群，其中群运算指的是映射芽的复合 记刀( n ，1 ) = 歹e f ：厂卅( n ) ，则碟( h ，1 ) 是从( r “，o ) 到r 的次数不大于q 且常数项为零的多项式所构成的集合，易见刀( n ，1 ) 标准地同构于 次数不大于q 且常数项为零的n 元多项式代数令j g ( f ，s ；n ，1 ) = f i g ： g ( 厂，s ；，z ) ) ，则刀( ，& h ，1 ) 是以( n ，1 ) 的子代数令万：s ( ，s ；h ) 斗j g ( f ，s ；n ，1 ) 为标准投射玎。：占。_ 露( h ，1 ) 在e ( f ，s ；n ) 上的限制又令孵：( s ；n ) = j q o ：妒 贸，( s ；n ) ，易见9 t ：( s ；n ) 是群贸：= 扩妒：妒e 贸，) 的子群，并且不难验证群 吼：( s ；，z ) 在以( 厂，s ；h ，i ) 上的作用由群孵( s ；，z ) 在e ( f ，瓦，z ) 上的作用所诱导， 而群贸( s ；”) 在g ( f ，s ；7 7 ) 上的作用又是由群m 在上的作用所诱导的 设，q 为非负整数且k g ，令；r g q , k j q ( f ，s ；”，1 ) 寸j k o ( f ，s ；，1 ) 是标准投射 ，r 。：以( ，1 ) 斗j ：( n 1 ) 的限制 设厂：( r 4 ，o ) 斗( r ，o ) 为光滑映射芽，若光滑映射芽仃：( 足一，o ) _ t ( r p ) 满足条件石。盯= f ，其中石。：r 似一) = r 一rp _ r 一为自然投影，t ( r ，) 是 r p 的切向量丛，则称盯为沿厂的向量场芽o r 表示沿厂的向量场芽 的全体，它是一个秩为p 的自由一模由于这里的厂是函数芽， 只须取y 为( r ，o ) 的局部坐标系，则沿f 的向量场芽晏。厂组成o y 的一 倒 组自由基，借助于这组基，将0 ，可以等同于。 设f ：( r x r ”，o ) 叶俾x r ，o ) 是个r 一水平保持的光滑映射芽， f ，一，z ：， 和 f ，力分别为( r x r “，o ) 与( r r ，o ) 上的局部坐标系我们可 以引入沿f 的向量场芽( 兄r “，o ) 寸t ( r 尺) 的概念，但更感兴趣的是 沿f 的“r 一水平保持”的向量场芽，即要求沿f 的向量场芽在 t ( r r ) = t r o t r 中沿只( f ) 的分量为0 将沿f 的r 一水平保持的向量场 芽全体记为甲( f ) ，它是一个秩为l 的自由q ，一模，虽。f 为甲( f ) 的 一个，一基借助于这组基，将甲( 一可以等同于。特别甲( 1 。，。) 简记为甲( r r 一，n o ) 对于r 一水平保持的映射芽f ，参照文献 3 中 的定义8 2 6 ，可以给出s 。一同态t f ：v ( r r “) 与甲( f ) ，它是两个模 之间的线性映射，其矩阵为由一o f ，筌，篓生成的j a c o b i 理想 o x lo x 2蹴“ 设f ：( r x 尺“，o ) _ ( 尺尺，o ) 是一个尺一水平保持的映射芽，因而f 可 表示为f ( t ，工) = p ，z o ) ) ，( ，z ) ( 五月6 ，o ) 定义a f w ( f ) y o ( 1 ，c 3 - f ) = 旷( 皤，o ) ) ， 显然它对应于昙z 3 函数芽在右等价群及其子群作用下的有限决定性 对于函数芽的有限决定性问题，主要是在右等价意义之 下来讨论p o r t 0 和l o i b e l 讨论在群辨的两种子群作用下的有 限决定性，即有限9 1 ( s ；n ) 一决定性和有限婀 n ) 一决定性；李养 成教授讨论了在子群9 ，作用下的有限决定性 一、函数芽的有限倪一决定性 这一部分只介绍与函数芽的有限孵一决定性密切相关的一系 列概念和主要结果，这些结论来自于文献 3 的第三章和第六章 定义3 1设f ，ge 矗称，和g 是m 一等价的，如果存在妒倪， 使得g = f 。p 定义3 2 设厂毛，k 是一个非负整数，称，是k 一婀一决定的， 如果ge 毛满足条件j k g = j k f ，则，和g 是婀一等价的称，是有限贸一 决定的，如果存在一个非负整数k ，使得厂是k 一飒一决定的 判断函数芽有限巩一决定的两个充分条件和一个必要条件见 下列几个定理： 定理3 3 1 设f 8 n 若删( n ) cm ( n ) ，( 厂) ，则f 是k 一决定的 定理3 4 1设厂矗若聊“( n ) cm2 ( n ) j ( 厂) ，则，是k 一决定的 定理3 5 3设厂是k 一决定的，则 删“( n ) cm ( n ) j ( f ) 定义3 6设f q ，f 的j a c o b i 理想 ，( 厂) 叫做厂的切空间，厂的 余维数定义为，的切空间，( 厂) 在中的余维数，即 c o d i m 厂= d i m 。j ( f ) 若c o d i m 厂是有限数，称，为具有有限余维的函数芽，否则说，的 余维无限 由定理3 3 、定理3 4 和定理3 5 可以立即得到下列定理： 定理3 7 f t 是有限孵一决定的当且仅当厂具有有限余 维 定义3 8设f 如果存在一个光滑函数芽f ：似，尺4 ，o ) 斗r 满足条件e ( x ) ：f ( o ，x ) = ，( x ) ，则称f 为厂的p 一参数形变 定义3 9 设f 是厂的p 一参数形变假定 h ：( 尺9 ，o ) j 衄9 ，o ) ，j 卜 ( j ) = f 是一个c ”映射芽，定义h * f ：，r ”，o ) 斗r 为 f ( s ，x ) = f ( ( s ) ，x ) ， 它叫做由h 诱导的f 的拉回，显然， f 是的g 一参数形变，可以表 示为 h f = f 。( h x l ( r 。，。) ) ， 其中1 。表示( 月”，o ) 上的恒同映射芽 定义3 1 o 设f f 的两个p 一参数形变f 和g 叫做同构的， 如果存在一个微分同胚芽中：( r px r “，o ) j ( r p r “，o ) 使得 ( 1 ) 中( f ，j ) = 0 ，u f l ( t ，x ) ) ，m ( o ，工) = ( o ，z ) v ( t ，z ) ( 尺，r ”，o ) ； ( 2 ) g = fo o 定义3 1 l 设f f 的形变f 叫做通用形交，如果，的任何 其他形变g 同构于f 的某一个拉回，该拉回由参数空间之间的某 一适当的c 。映射芽所诱导 我们有下列通用形变定理 定理3 1 2 3设f 是厂巳的p 一参数形变，则f 是，的通用形 变当且仅当f 的初始速度t ( f = 1 ，2 ，p ) 满足下列关系式： ，( ) + 刷瞳，览，只 = 岛 换而言之，毛i j ( f ) 作为实向量空间由诸t 生成，其中宾= 警( o ，工) ，扛1 ， o i 2 ，- ，p 易见有下列定理 定理3 1 3 1 fe 具有有限余维当且仅当厂具有通用形变 由定理3 8 和定理3 1 3 可以得到下列定理： 定理3 1 4 f 毛是有限倪一决定的当且仅当厂具有通用形 变 下面陈述t h o m 的分类问题，这是t h o m 在2 0 世纪7 0 年代的 一个著名结果 定理3 i 5 1 余维k 小于或等于5 且余秩c 为i 或2 的函数 芽f em o o 必m 一等价与下列标准形式之一： ( 1 ) ：1 占，x 2 + z ：“，占。= l ，c = 1 ，女为偶数当k = 2 时，该奇点称为折 叠；当k = 4 时，该奇点称为燕尾； ( 2 ) ：瓯工玲工：“，t = 1 ，c = 1 ，尼为奇数当k = 3 时，该奇点称为尖 点；当k = 5 时，该奇点称为蝴蝶； ( 3 ) 。n - 2 ，x ，2 + x ：一工。x ：，4 = + - 1 ，c = 2 ，k = 4 若中间取减号时该奇 点称为椭圆脐点，若中间取加号时则该奇点称为双曲脐点； ( 4 ) ：2 4 x ；+ x 。2 x ：，4 = 1 ，c = 2 ，k = 5 该奇点称为抛物脐点 二、函数芽在两种子群作用下的有限决定性 在右等价意义之下的有限决定性的讨论中一般只要求微分同 胚芽妒：( r 4 ，o ) _ ( r ”，o ) 保持原点，p o r t 0 和l o i b e l 在文献 i 中对此 条件加强，要求此微分同胚芽在一个无边子流形上保持不动，即 p 旧= i d ，其中s = o ) r ”5 ，n s 1 ；李养成教授在文献 2 中对微分同 胚芽妒的要求加强，要求它等于恒同映射芽的一个扰动，即 p ( 工) = x + 万( x ) ，x ( r ”，0 ) ， 其中占( 工) = ( 点( x ) ，疋( z ) ，+ 一，占。( x ) ) ( m ( n ) ) 。“，最口瓯m ( ”) ，i = 1 , 2 ，- 一，”，r 为个 非负整数 ( 1 ) 有限吼( s ；h ) 一决定性 由上所述，很容易得到舛( s ；”) 一等价、有限吼( s ；n ) 一决定等概念 下面给出p o r t 0 和l o i b e l 关于函数芽有限贸( s ；n ) 一决定性的主要 结果，并对其中一个命题给出另一种证法 定理3 1 6 设厂m ( m ) ，s = o ) r ”。，n s i 如果，是有限k 贸( s ；”) 一决定的当且仅当存在一个正整数k ，使得 m ( n ) s ( s ；n ) 亡占( s ；n ) ，( ，) 这个定理可以分为两个命题来证明，现将其充分性与必要性 分别用两个命题来叙述 命题3 1 7 设，e 卅( n ) ，s ： o ) r 一，n s 1 若对每一个满足 条件“1 c o ( o ) = 0 的ts ( s ；一) ，存在一个光滑映射芽 f ：( 尺“，0 ) 斗( r ”，0 ) ， 使得 劬) = d r ( 堋砌= ，善( 蜊m 则厂是k 一贸( s ；”) 一决定的，其中 = ( 苜，善：， 2 ，一，h 这个命题的证明可以参照文献 1 的命题1 6 另外，我仿照 文献 3 中的定理3 3 1 的证明给出另外一种证法，证明之前先 给出一个函数芽是倪( s ；n ) 一平凡的概念和判别函数芽为m ( s ；n ) 一平凡 的充分必要条件 定义3 1 8 设，：( r x 月”， 0 ，l 】o ) 一僻，o ) 为一个光滑函数芽且满足 f i ( o ，l 】s ，o ) = 厂f s ，其中s = ( 0 1 矗，n s i 如果存在个r 一水平保持 的微分同胚芽 中：( r 尺4 ， 0 ，1 x 0 ) ( r r ”，0 ) ( 因而中可以表示为中以x ) = o ，甲( f ，x ) ) = ( f ，( x ) ) ，( f ，x ) ( r x 丑4 ， 0 i 】o ) ) ，满 足条件：对每一个t 【0 ，1 ，一倪( j ；h ) ，并且使得f o = f ( f m ( n ) ) ， 则称函数芽f 是贸( 受”) 一平凡的 按照文献 6 中的命题1 17 所提供的方法，我l f 可以证明下 列引理 引理3 19设f ：( r x 足4 ，f o j l 】o ) 一( r ，o ) 为个光滑函数芽且满足 条件f t ( o , 1 1 x & o ) = ，坶，其中s = 0 x r ”，胛 s 1 则f 是孵( 只) 一平凡的当 且仅当存在一个向量场芽 爿= 旦o t + “以x ) 杀, x e 8 ( s ；n ) 。o f - 1 ，2 ，n 使得 f 4 = 0 ，对每一a e o , 2 1 ， 其中f 。= f i ( r 尺“，口o ) 证明仁由于引理的条件可以改写为 a f 。t f 4 ( ( s ；玎) y ( r x r n , 口x o ) ) ( 3 1 ) 因此，对每一a 【o ，1 】，存在f 8 s ( s ；n ) 删，使得a p = t f 。( f 4 ) 设f 乩是 在( r 月“，u o o ) 上的向量场芽f 。的代表，其中乩是r 上包含n 的一个 开邻域，使得a = ，f ( ( f 乩) ) ，其中( f ) s ( s ；”) 州，t 乩 设u ，u 2 ，u k 是区间 o ，1 】的开覆盖 u ：口 o ，1 】) 的一个有限子覆 盖，则存在从属于此覆盖的一个单位分解妒。，妒：，敛 令孑= ：。p ，f “，显然 a f 8 = t f 。( f 4 ) ，v a 0 ，1 ( 3 2 ) 由常微分方程解的存在性基本定理( 见文献 5 ) 可得，( 尺r ”， o ，1 o ) 上的r 一水平保持的且在 o ，1 】s 上值为零的向量场芽都可以表 示为昙o 。巾，其中。是满足定义3 1 8 中的条件因此，方程( 3 2 ) 是( 3 1 ) 的另一种等价形式，它的积分曲线满足定义3 1 8 中的 条件，所以f 是贸( 砖”) 一平凡的 j 已知f 是m ( s ；”) 一平凡的，故存在r 一水平保持的微分同胚芽 中满足定义3 1 8 中的条件，使得 ( f 。中) ( f ，x ) = ，( x ) ( 3 3 ) 现在( 3 3 ) 式的两边对r 求导，可得百o f + ：。詈( 姐) - 等= 。令 z = 昙+ 。瓢工) 砉= 昙+ ：m z ) 毒， 显然x 满足引理3 1 9 中的条件且有x f 4 = 0 ，对每一口e 】，其中 甲是甲的第i 个分量 命题3 1 7 的证明：设g 6 ( f ，s ；月) 满足条件j k g ( o ) = ，( o ) 令函数 芽f ：( 尺r ”， o ，1 o ) 斗r 定义为 f ( t ，工) = ( 1 一f ) 厂( 石) + t g ( x ) ， 并记，( x ) = f ( t ，工) ，从而丘可以视为从 r 4 ，n o ) 到r 的函数芽，其中 口【o ，1 如果能证明f 是贸( s ；h ) 一平凡的，则 = f 与 = g 是锨( s ；n ) 一等价 的由引理3 1 9 ，只须证明对任意的ne 0 ，1 ，存在一个向量场芽 x = 昙+ “( 1 , x ) 杀，蜀叫跏) ，0 i f 乩2 ，m 使得z f a ：o 而娶：g 一，与口无关，故可以令。：o 并省去上标。 因g ( o ) = j ，( o ) ，故g 一厂m “( n ) ns ( s ；n ) = ( h ) s ( s ；n ) ，而 娑= 昙 ( 1 一t ) f + t g ：g f t + t ( n ) n ( s ；月) ：，”t ( h ) s ( s ；h ) ， o tc l t 罢；一：o - f ：t 导( g 一，) ( t ( n ) n ( s ； ) ) m ( 1 + n ) = m k - i o ) s ( s ； ) m ( 1 + n ) 凹，僦，以i 由条件可得 ( ) n 6 ( s ；n ) = 卅q ( ) 占( s ；h ) c ( s ；n ) ，( 厂) ， 于是 m + + 1 ( n ) n s ( s ；托) = 肌( n ) 占( s ；n ) cm 一1 ( 咒) 占( s ； ) cs ( s ；超) ( 厂) 叫( 跏) 耐- 1 ( 咖( 跏1 + m 由n a k a y a m a 引理可以得到 m 锄m 跏) c e ( s ；n ) 。， 幽t 盘2钡月 ” 于是 百o f 叫s ；n ， s 1 若厂是有限m ( s ；月) 一 决定的，则存在一个正整数k ，使得 卅( n ) s ( s ；玎) c 占( s ；胛) t ，( ，) 推论3 2 1设f 州( 月) ，s = o ) r ”，” s - 1 ，则厂是k - 吼( s ；n ) 一决 定的充分必要条件是对每一g 肌( n ) ，只要j k g ( o ) = j k ，( o ) ，便有 m ( n ) s f s ；h ) cs ( s ；n ) ，( g ) 证明乍只要取g = 厂立即可以得到m ( n ) ( s ；n ) cs ( s ；，z ) i ，( 厂) ，由定 理3 1 6 可得，是k 一贸( s ；n ) 决定的 j 由于，是k 一贸( s ；n ) 一决定的，则对每一个ge 州n ) ，只要满足 条件j 。g ( o ) = j ( o ) ，就有，和g 是贸( 只，t ) 一等价的，即存在妒暇( s ；”) c m ， 使得g = 厂。p ，由文献 3 的命题3 2 2 的证明可得p ( 厂) ) = ，( 占) ， 其中妒是由妒所诱导的从环s 。到自身的环同构，从而有 s ( s ； ) ，( g ) = s ( s ；n ) 妒( ，( 厂) ) c - 5 ( s ；h ) ，( ，) 同理可以证明( s ；n ) ，( 厂) cs ( s ；n ) ( 占) 故( s ；n ) j ( ，) = s ( s ；n ) ，国) 由定理 3 1 6 可以得到 m ( n ) ( s ；”) c ( s ；h ) ，( 厂) = 占( s ；h ) ，( g ) 函数芽的有限孵( s ；n ) 决定与有限孵一决定之间的关系见下面 定理 定理3 2 2 设f r e ( n ) ，s = o ) r ”，n s 1 ，则，是有限锨一决 定的当且仅当它是有限饼( s ；”) 一决定的 ( 2 )函数芽的有限辨。一决定性 本节简述函数芽的有限孵，一决定性的些结果，读者可以参 看文献 2 定义3 2 3设f ：( r r ”， o ，1 】o ) 斗( r ，o ) 为光滑函数芽，如果存在 一个r 一水平保持的微分同胚映射芽 o ：( r r ”， o ，1 x o ) _ ( r r ”， 0 ，1 x0 ) ( 因而。可以表示为中( f ，工) = ( f ，w ( t ，工) ) = ( f 一( 西) ，( f ，x ) ( r r ”，【o ，1 o ) ) ，满足 条件：对每一， o ，1 ，一e 吼，并且使得f 。m = f ( f ( ”) ) ，则称函数芽 ，是婀，一平凡的 文献 2 中的引理1 5 可以改写成下述形式： 引理3 2 4 心3光滑函数芽f ：( r 月“， o ，1 x o ) 斗似，o ) 是吼，一平凡的 当且仅当存在一个向量场芽 x = 云+ ：，x i ( t , x ) 鼎o - f l - ：- ，_ m ”b ) n 。，f = 1 ，2 ，”， 使得 x f 。= 0 ，对每一个口 o ，1 】， 其l | 。f “= f j ( r r ”，n o ) 定理3 2 5 设0 ，k 且k 0 ，若厂m ( h ) 且满足条件川“1 ( n ) o i c ”1 ( h ) ，u ) + m “2 ( ) 0 i ， 则 ( 1 )当，l 时，厂是k 一贸，一决定的； ( 2 )当，- = 0 时，厂是( 七+ 1 ) 一仉，一决定的 推论3 2 6 1( 1 ) 若r2 1 ，则函数芽厂r e ( n ) 是k 一贸，一决定的 充分必要条件为m “1 ( n ) o j c m ( ”) ，( 厂) ； ( 2 ) 若函数芽，- r e ( n ) 满足条件，”“1 ( ，z ) 占，cm ( n ) ，( ，) ，则f 是 ( + 1 ) 一吼一决定的 推论3 2 7 设，1 ，若f m ( ”) 是k 一倪，一决定的，则对于任意 的s 0 ，有厂是( 七+ s ) 一吼一决定的 命题3 2 8 妇1设0 sr s 七，函数芽fe r e ( n ) 是女一m ，一决定的充分 必要条件对每一g r e ( n ) ，只要g = ，f ，便有 ，”“1 ( j ! ) 口，c lr + ( n ) ，( g ) + m “2 ( 砰) 0 推论3 2 9 函数芽厂e r e ( n ) 是k 一倪，一决定的充分必要条件对 每g m ( h ) ，只要- ，g = _ ，f ，便有m “( 月) p 。c m “1 ( h ) ，( g ) 4函数芽的贸，( s 埘) 一决定性 在这一节中，我们讨论函数芽的有限贸，( s ；”) 一决定性，内容包 括：( 1 ) 给出判别函数芽有限倪，( 只”) 一决定的充分必要条件；( 2 ) 讨论函数芽的有限倪，( s ；n ) 一决定性与有限贸，一决定性之间的关系 一、概念与引理 定义4 1 设f ，g r e ( n ) ，s = o ) r ”5 ，” s 1 厂和g 称为相对于 贸，( s ； ) 等价( 简记为贸，( s ：n ) 等价) ，如果存在妒贸，( s ；”) ，使得 g = f 。口 定义4 2 设厂m ( 日) ，k 为一非负整数，s ： o r ， j 1 ，称 厂为相对于9 i ，( s ；”) 是k 一决定的( 简记为一噼，( s ；n ) 一决定的) ，若对 于任给g g ( f ，占；，只要满足，g ( o ) = - ，厂( o ) ，则有厂和g 是贸， n ) 一等 价的我们说厂是有限辨，( 占；”) 一决定的，如果存在个非负整数女， 使得厂是k 一9 t ，( s ；n ) 一决定的 定义4 3 设，：似r 4 ， 0 ，l 】o ) j ( r ，o ) 为一个光滑函数芽且满足 条件f l ( o ，1 量o ) = 4 s ，其中s = o ) 尺”5 ，h 。s 1 如果存在一个r 一水平 保持的微分同胚映射芽 ：( 尺r ”， o ，1 x o ) 一( r r “， o ，1 o ) ( 因而。可以表示为q b ( t ，x ) = ( f ，甲( r ，x ) ) = ( f ，q - , ，( x ) ) ，( f ，x ) ( j r r ”， o ，1 o ) ) ，满 足条件：甲，贸，( s ；，z ) ，对每一个f 】，并且使得f 。o = f ( f m ( ”) ) ，则 称函数芽f 是吼，( s ；”) 平凡的 由引理3 19 和引理3 2 4 立即可以得到下述引理 引理4 4设f ：( r r 4 ， o ，1 】o ) 呻( r ，o ) 为一光滑函数芽满足条件 f 1 ( c 0 ，1 矗o ) = 卅s ，其中s = 0 1 r ，” s 1 ，则函数芽f 是婀，( 只月) 一平凡 的当且仅当存在一个向量场芽 = ：，x i ( t , x ) 毒+ 茜，x f ( m ”1 ( 帅邪；砌。o ，f - 1 ，2 ，”， 使得 x f 。= 0 ，对每一a o ，1 】， 其中f “= f i ( r r 4 ，n o ) 令婀9 = 9 t 吼。，并用，9 ：9 t 9 。表示标准投影，p 9 i 在贸9 中的像 - p 叫做妒在点0 r ”的q 一导网，吼。称为由似”，o ) 上的c ”可逆芽的q 一 导网所成的群对于任意p 贸，根据t a y l o r 公式可知妒在0 sr ”处 的q 阶t a y l o r 展式可写为 妒( x ) = ：。p ( x ) + 艿( x ) ， 其中只：d 妒( o ) ：r ”_ r “为线性自同构，只：r “哼r “为k 次齐次多项式映 射，k = 2 , 3 ，q ，余项占( z ) = ( 占，( x ) ，6 ：( x ) ，j 。( 工) ) ，每一个分量j ， ? 州( h ) 根据上面所述，妒可以表示为： x _ j 9 妒( x ) = 只( x ) + p 2 ( x ) + + p a x ) ( 4 一1 ) 其中诸只如上所述，因此吼- 可以和形如式( 4 一1 ) 的多项式映射 所组成的实向量空间等同特别地，群贸1 可以等同于r ”的自同构 群g l ( n ，r ) ，这就是大家所熟悉的实一般线性群 9 1 - 中的群运算是代数运算，设p ，q e9 t 。，p q 是指将p 与q 复合 得到次数不超过q2 的多项式映射p 。q ，然后舍去p 。q 中次数大于q 的各项由文献 3 中的命题1 3 1 可知吼- 是一个l ie 予群 商代数m q “( n ) 记作d q ( r ”，月) ，简记为刀根据t a y l o r 公式，e 标准地同构于次数不大于q 的n 元多项式代数在这一多项式代数 中的乘法是将两个次数不大于q 的n 元多项式按通常的方式相乘 后舍去次数大于q 的所有各项，一还叫做r “上c 。函数在0 er ”处q 一 导网组成的代数 现在考虑l i e 群贸。在导网空间露上的作用，注意j j 同构于次 数小于或等于q 的n 元多项式代数，因而它可以视为c 。流形辨- 在 以上的作用规定如下：设f j ：，p e 婀a ，将多项式映射p 与，的复合， 然后再舍去f 。p 中次数大于q 的各项，记为f p 显然 j ：x9 t q 寺j ：，t f ，p 、n ，p 表示l i e 群舛- 在代数e 上的代数作用，叫做l ie 群瑕- 的线性表示 现在我们已经规定了群援在环g 。上的作用，又定义了l ie 群 吼- 在代数一上的作用，这两种作用与标准投影j 。：9 t 斗吼。和，：毛斗 彤是兼容的，即下列图表可以交换： 占。饼 0 j qx j 4 以倪9 因而确 j 9 ( 孵厂) = 倪4 j q 厂，厂s 。 令倪9 ( s ：n ) = 吼( s ；n ) 9 t 。( s ；月) ，并用j - ：9 1 ( s ；n ) 一锨a ( 砖”) 表示标准投影， 它是标准投影- ：吼斗吼。在子群贸( s ；n ) 的限制，其中s = o ) r ，h s 1 采用文献 3 中命题1 3 1 的证明方法可以证明贸，( 一) 是l ie 群 辨- 的l ie 子群我们可以采用与上述类似的方法给出了群孵( s ；n ) 在 环e ( f ，s ；n ) 上的作用和l ie 子群倪e ( s ；，1 ) 在子代数j q ( f ，s ；n ，1 ) 上的作用， 其实，这两种作用都可以由上述两种作用所诱导的而这两种作 用与标准投影j ，：贸( 只n ) 寸贸- ( s ； ) 及i ：6 ( f ，s ；h ) _ j g ( f ，s ；n ，1 ) 是兼容的， 即下列图表可以交换： g ( f ，s ；月) 识( s ；n )呻s ( f ，s ；n ) 上石9l i 以( ，s ；n ，1 ) 吼9 ( s ；月)4 月( ，s ；n ，1 ) 因而有下列结论成立： 9 何( s ；h ) ) = 贸9 ( s ：”) j q 厂f r e ( n ) 注：上式e e 前面一个，9 与上述石。在轨道9 1 ( s ；n ) 厂上作用是一致的，所以仍然 记为j 9 ，其中瑕9 ( s ；n ) ，9 f = g j g ( f ，s ；n ，1 ) ：j p 9 t ( s ；n ) ，使得g = j 9 厂4 妒) 最后证明下面断言： j 4 ( 啦，( s ；雎) 厂) = 呶：( s ；以) j 4 ，厂m ( n ) ，其中s = o ) r “，n s 1 证明 ( 1 ) 若q r ，则贸；( s ；n ) = j q o ：妒e 吼，( s ；n ) 只有一个元素， 即恒同映射芽，从而孵；( s ；n ) ，厂= ，而对任给g 贸，( s ；n ) 厂，则存 在驴辨，( s ；h ) ，使得g = f 。妒，于是j a g = ，一( 厂。妒) = j f j q o 由于q r ，所 以_ ，- 妒表示恒同映射芽，即j q g = f ，所以 j 9 ( 吼，( s ；h ) 厂) = j 9 f = 倪；( s ；n ) 一j 4 ， ( 2 ) 若q r 任给ge 婀，( s ；“) f ，则存在p 辨，( s ；h ) ，使得g = f 。妒， 于是j q g = t ( 厂。妒) = j f 4 妒孵：( s ；h ) j f ，即j ( 9 t ，( s ；h ) ，) c 倪；( s ；h ) j f 反过来，任取g 吼；( s ； ) t j f ，则存在妒吼，( s ；n ) ，使得g = j f ，。妒根 据v 厂，妒的定义可得9 厂，t 妒= ，( 厂。p ) ，即ge ，。( 9 i ( s ；n ) 厂) ， 故 。厂以 w 山1 、 j 4 ( 9 i ( s ；i ) 厂) 吼9 ( s ，9 f ，所以上述断畜成立。 设厂( n ) ，令= 二= ，爿，( z ) 景，x ie m r + l ( 一) r 、s ( 跖t ) ，f _ 1 ，2 川仿照文 献 3 中的定理1 3 2 ，积分向量场芽x 可以得到贸，( 只n ) 的单参数 子群舰) ，其中妒。为恒同映射芽，且詈仍h = x 令z = 厂。纪，则它表 示s ( ，s i ! ) 中一条经过( ：f o ) 的c 。轨道计算昙，k 可以得到： 鼽矿：瓦o f 掣卜翱x 嗟 它可以看作是过f 肌( n ) 的的c 。轨道t 卜，在厂处的切向量，称为向 量场芽x 对fe 晰( n ) 的无穷小作用 又t 卜j q f , 表示j g ( f ，s ；n ，1 ) 中经过j q f 的一条的c 。轨道，并且是在 l i e 群贸；( s ；”) 作用下过j q f 的一条道路，这是因为，- z = j q ( 厂。识) = ，。厂j 9 吼及 j q 讧 是贸；( s ；”) 的单参数子群，西o f , ，l ，= 0 表示上述道路在。， 处的切向量，且 鼽矿九昙绯州9 ( 秘x ) 静， 根据上面的分析，自然可以引入下列定义 定义4 5 设f m ( ”) ，s = o r ，h j 1 ， ( 1 ) 在群吼，( s ；n ) 作用下过厂的轨道倪，( s ；n ) f 在，处的切空间 0 ( 倪，( s ；n ) ，) 定义为 弓( 瓤跏) 们= 篆：耻删( 帅郴；n 2 _ ，川； ( 2 ) 在l i e 群倪：( s ；n ) 作用下经过，- f 的轨道吼；( s ；n ) j f 在a ，处 的切空间弓。，( 吼；( s ；n ) - _ ，2 ) 定义为 训峨圳俨护( 秘熹) ：墨耐气帅耶圳= 1 ，2 ，州 根据前面的记号立即可以得到： ( 1 ) ( 贸，( s ；h ) 厂) = ( m r + 1 ( h ) n s ( s ；玎) ) j ( ，