（基础数学专业论文）三叉树模型定价实物复合期权及其应用.pdf

学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文三叉树模型定价实物复合期权及其应用，是在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ： d 年f 月( 日 班敏 指导教师确认( 签名) ：，1 面b 0 辱er ( r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者! 签考：叩夏勾复 v | 。年民6b i 指导教师。：未) 葡及 年日s 日 摘要 本文主要介绍了三叉树期权定价理论，并详细研究了如何利用普通三叉树和含有均 值回复的- 一叉树，对时问序列复合期权，因果复合期权以及项目问复合期权进行定价的 问题。最后，本文以两个具体房地产项目为例进行实证分析，通过对项目投资中复合期 权的分析研究，进一步验证本文所构建的三叉树模型的可行性与实用性，同时也展示了 复合期权方法较之于传统方法的优势。 关键词：时问序列复合期权因果复合期权项目问复合期权三叉树模型均值回 归房地产投资项目 i i i a b s t r a c t t h i sp a p e rd e s c r i b e dt h et r i n o m i a lt r e e so p t i o np r i c i n gt h e o r y , a n ds t u d i e di nd e t a i lh o wt o p r i c et i m e s e r i e sc o m p o u n do p t i o n ，c a u s a lc o m p o u n do p t i o n ，a sw e l l a si n t e r - p r o j e c tc o m p o u n d o p t i o nu s i n gt h ec o m m o nt r e e sa n dt r i n o m i a lt r e e st h a tc o n t a i n e dam e a n - r e v e r s i o n f i n a l l y ， t h i sp a p e rt o o kt w os p e c i f i cr e a le s t a t ep r o j e c t sa se x a m p l et ov a l i d a t ef e a s i b i l i t ya n dp r a c t i c a l i t y o ft h et r i n o m i a lt r e e sm o d e lt h r o u g ha n a l y z i n ga n ds t u d y i n gc o m p o u n do p t i o n so fi n v e s t m e n ti n t h ep r o j e c t t h i sp a p e rs i m u l t a n e o u s l ys h o w e dt h ea d v a n t a g e so ft h ec o m p o u n do p t i o na p p r o a c h c o m p a r i n g t ot r a d i t i o n a lm e t h o d s 目录 中文摘要i i i 英文摘要i v 1 前言1 1 1 选题的背景和意义1 1 2 国内外相关研究综述2 1 3 创新点3 2 三叉树期权定价模型理论4 2 1 一般三又树图的前提假设4 2 2 建立三叉树图的相关知识4 2 3 含有均值回复的三叉树的构建过程5 3 复合期权定价过程1 1 3 1 时间序列复合期权定价过程1 1 3 2 因果复合期权定价过程1 4 3 3 项目| 、日j 复合期权的定价1 6 4 复合期权定价模型在房地产项目中的应用1 9 4 1 项目建设背景1 9 4 2 建设投资和资金筹措方案2 0 4 3 经济效益分析2 2 4 4 复合期权分析方法2 3 4 5 总结与展望3 1 参考文献3 3 致 射3 5 v 1 1选题的背景和意义 1 前言 美国金融危机对中国房地产市场的影响，主要通过影响宏观经济增长进行传导。世 界经济增长放缓，导致我国外部需求萎缩，企业效益下滑，投资意愿和能力下降，进而制 约消费增长，经济增长下行压力越来越大。愈演愈烈的全球金融危机从投资、消费、出口 三方面直接或问接影响着我国经济增长，重叠我国经济周期调整，导致经济增长短期存 在过快下滑的风险，带来居民收入增幅下降、失业率上升、股票市场财富缩水、房地产业 企业家信心指数大幅下降等现象，而这些现象都会促使房地产市场持续调整。危机爆发 后，不仅在美国，而且在亚欧其他主要发达国家，住宅价格的泡沫也正在破灭，出现了全 球性房地产市场调整。由于房地产投资占用资金多，资金周转期又长，而市场是瞬息万 变的，因此投资的风险因素也将增多。加上房地产资产的低流动性，不能轻易脱手，一旦 投资失误，房屋空置，资金便不能按期收同，企业将就会陷于被动，甚至债息负担沉重， 导致破产倒闭，由此可见房地产市场的高风险性，那么面对这样的市场环境，房地产开发 商又应该如何调整战略去规避房地产投资过程巾的高风险呢，在经济危机的国际环境下 研究这个问题便显得更加具有现实意义。 实物期权方法1 1 】是种新的投资理念，它被学术界认为是一种投资决策和氽业资本 预算领域的方法革新。实物期权是相对于金融期权的，这个词汇最早是斯图尔特迈尔斯 提出的，他指出期权分析对公司成长机会的合理评估是很重要的。随着实物期权理论的 深入探讨及项目投资评价与决策的实际发展，人们逐渐意识到蕴涵在投资项目中的经营 的灵活性和战略价值实际上大多数是以多个实物期权或实物期权的组合的价值来得以实 现的。房地产投资的基本日标是在不确定的环境下正确地选择投资方向和投资项目，以 实现企业资源的最优化配置和企业价值的最大化。为实现这一目标，企业的决策者必须 对各种投资机会或项目做h 科学，合理，及时地评价。我国房地产开发企业较普遍采用 现金流折现模型( n c f n p v ) 1 2 】为主的传统分析方法，传统的n p v 决策方法在不确定的 市场环境下，因为它没有考虑到投资项目可能包含的期权价值容易造成房地产投资价值 的低估，此方法的局限性已经越来越不能适应投资决策的需要，在这种背景下，实物期权 方法应运而升。实物期权法则充分考虑了由决策者的决策灵活性创造出米的那部分价值， 实物期权定价方法是实物期权定价分析方法中的核心内容，实物期权定价分析方法主要 起源于期权定价理论的研究成果，可分为两类：离散时间模型和连续时间模型。离散时间 模型包括二叉树，三叉树【3 】等模型；连续时间模型包括b l a c k s c h o l e s 期权定价模型【4 】，随 机微分方程1 5 1 ，蒙特卡洛模拟【6 】等。 复合期权【7 】可定义为期权上的期权，即标的资产为期权的期权。复合期权在上个世 纪8 0 年代得到广泛应用，当时主要应用于规避外汇风险，但随着复合期权的应用越来越 ，“泛，学者们逐渐意识到投资领域的很多问题均可以运用复合期权模型，如企业的战略 决策 8 】，实物资产价值评估【9 】，研发项目决策【，o 】等。目前对复合期权进行定价较流行的方 法主要有：g e s k e 公式【1 1 】，蒙特卡罗模拟1 6 1 ，二叉树方法【3 】。由于通过g e s k e 公式得到 的是高维嵌套积分形式的封闭解，蒙特卡罗模拟方法存在着路径依赖和动态决策的问题， 而树图方法即避免了经典的g e s k e 公式的封闭解，又可以解决复合期权的动态决策问题， 所以用树图方法对期权进行定价具有广泛应用前景。 r a i n e rb r o s c h 【l3 】在研究实物期权组合特性问题的基础上，把复合期权分为：因果复 合期权，时间序列复合期权和项目时间复合期权，并且对于它们的价值评估及其差别通 过二叉树数值计算的方法分析例子进行了说明，但他并没有对这些实物期权的定价思路 和模型进行研究。扈文秀等f 1 4 】【1 5 】借助随机动态规划方法运用决策树和二叉树相结合从而 建立了这些复合期权的定价模型由于在极限的情况下，三义树模型所得到的结果与二叉 树模型的结果是一致的，并且三叉树的构建和求解过程与二叉树的相似，他也是通过上 升下降因子和风险中性概率完成，但三叉树模型较二叉树模型在应用效果上却有很多优 势，归纳起来有以下三点： ( 一) 由于三叉树模型每一步均有三个可能的标的资产价值变化，因此针对连续的标 的资产价值变化过程，三叉树t g - - 叉树拥有更好的模拟效果。 ( 二) 二叉树期权定价模型的计算结果随着步数的增加是上下波动的，不稳定；而三 义树模型的计算结果则是平稳的趋近于b s 模型的结果。而且三义树模型的收敛速度比 二义树模型快。在相同的精度要求下，由于三义树模型较二义树模型需要的步数更少，所 以它即减少了计算量，又节省了时间。 ( - - ) 三叉树模型在复杂的期权定价方面更具有优势，并且它还能够扩展剑波动率随 时间变化的期权定价模型。南此可见，三叉树模型具有二义树模型不可比拟的优势f 12 】。因 此，本文将构建定价复合实物期权的三又树模型及含有均值回复的三叉树复合期权定价 模型理论并随之将此方法应用到房地产投资项日中，以达到项目收益更大化的目标，通 过理论和应用的相结合凸显本研究的实用性和现实性。 1 2国内外相关研究综述 实践者一般面临的都是大量的机会的集合，如果想要应用实物期权理沦，那么他彳i 仅只拥有一个实物期权，而是同时拥有多种期权即实物期权组合。而实物期权组合的价 值并不是像金融期权组合+ 样将每个单个期权价值加和，因为实物期权之间是相：自：联系 的。t r i g e o r g i sa n di r i g e o r g i s 【1 6 l ，k u l a t i l a k a1 1 7 】两人强调了期权的相耳关系并且解释了标 2 的为个项目的实物期权组合的价值不是单个期权价值之和。c h i l d s o t t t r i a n t i s 1 8 i , - j 论了 平行发展的两个项目但是只有其中之一可以执行。这些文章的确是已考虑到实物期权组 合但是却没有一篇很明确的强调实物期权组合的定价问题。r a i n e rb r o s c h 【1 3 】在2 0 0 1 年 指出运用二叉树数值分析的方法来定价实物期权组合的具体思路。但由于在二叉树模型 中投资预期收益只允许两种可能状态，从而导致计算数值时误差可能偏大，为此k a m i a d 【19 】等人设想增加每一期的可能状态以提高计算的精确度。b o y l e 2 0 将其扩展为三叉树模 型，其中上升与下降的两种状态是对称的t i a n 2 1 】研究了三叉树模型方法并获得风险中 性概率，但表达形式是复杂指数函数。 谢赤【2 2 】在分析不变方差弹性过程下的障碍期权定价分析中也运用了三义树思想郭 子君，张朝清【2 3 】利用无套利均衡分析技术研究了三叉树模型下的标的资产期权定价问题 黄卫来，杨丽佳，陈君【2 4 】利率不确定下的三叉树期权定价模型，得出投资项目的实物期权 价值的一般形式丁正中，曾慧【3 】利用较为初等的无穷小量阶数估计技巧和随机分析方法 研究了投资项目预期收益上升和下降的幅度可能不相等的实物期权三叉树定价模型，从 理论上证明了该三叉树模型是b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的一个近似，并说明三叉树定 价模型的近似值无论在精度卜还是在计算量大小上都优于二叉树定价模型 1 3创新点 r a i n e rb r o s c h 【13 】在研究实物期权组合特性的摹础上，对实物期权之间的复合关系进 行了定义和分类，他把复合期权分为：因果复合，时问序列复合和项目时问复合，并且通 过二叉树数值计算的方法对于它们的价值评估及其差别进行了说明，但他并没有对这些 实物期权的定价理论和模犁进行研究。扈文秀等【1 4 】【15 】借助随机动态规划方法运用决策树 和叉树相结合从而建立了这些复合期权的定价模型但由于三叉树较叉树模型有很 多优势【1 2 】，因此本文将利用三叉树期权定价模型理论研究各种复合期权定价方法，通过 这些理论方法的阐述并结合房地产投资本身的特点，将其方法与传统的n p v 定价方法进 行比较，最终凸显出其优势。最后以两个具体房地产项目为例，进行了实证分析，通过对 项目投资中复合期权的分析研究，进一步验证三叉树模型定价复合期权的可行性与实用 性，同时也展示了复合期权方法较之于传统方法的优势。 3 2三叉树期权定价模型理论 期权定价领域中有用并很常见的工具除了二叉树外还有三叉树方法，这里的三叉树 是指在期权期限内可能会出现的资产价格变动路径的图形。因为i 叉树较二叉树来说， 它为用户多提供了一项自由度，因此比二叉树更为方便。 2 1 一般三叉树图的前提假设 假设一：假设资产价格服从几何布朗运动d s = # s d t + a s d z 其中如是一个标准的维纳 过程，可用离散形式来表示：标的资产的价格只在离散时间点a t ，2 a t ，3 a t ，n a t ( n a t = t 为衍生证券的到期口) 取值，a t 表示很小但非无穷小的时间步长。 假设二：风险中性假设。即在风险中性条件下，投资者的风险偏好与衍牛证券的定价 产价值 以上竞 取中间 形变化 的选择 即为h u i i 三叉树模型概率取值【4 】 下面介绍如何利用三叉树模型计算其各节点值，如下图l 所示： p 图1 s u s s d 其中s 上升至n j s u 得的概率为r ，s 水平彳i 变到s 的概率为p m ，s 下降t u s d 的概率为p d ， 取u = e 盯蕊和u = j ，依图便可从起始点沿着三叉树图路径一直计算出其每个节点的值。 如图2 所示： s t l s l l s i s t 图2 三叉树。般形式图 2 3 含有均值回复的三叉树的构建过程 对于资产价格的预期采用价格服从风险中性随机过程可能会显得过于简单，在我们 现实生活中，大多数的资产价格有被拉回到中心价格的倾向，因此资产价格服从均值回 复过程更符合实际。均值回复过程i i l l d l nm = f o ( t ) 一a l n m l a t + a d z ，它的特点是住一般 的风险中性的随机过程中又加入了一个均值回复的过程，所谓的”均值回复”就是资产价 格有被”拉回”到某个长期平均水平的趋势的这种现象。当m 值很高时，均值回复将使其产 生负的飘移：当m 值很低时，均值回复将会使其产生正的漂移，这种均值回复现象如图3 。 假设资产价格m 服从均值同复过程，m 服从比风险中性过程样= y m d t + a m d z 更 现实的过程，这个过程与对短期利率r 所假设的h u l l w h i t e 模型的过程是类似的，卜面我 5 敏s = 暮。 们米构造m 的三叉树。下面将介绍此方法： 图3 均值回复 t 第一步：首先建立一个关于m + 的三叉树 m + 的初始值为0 ，并且服从d m + = 一n m + 出+ a d z 过程，将其离散化为m + = 一n m + + 盯、t ，其中为服从标准正态分布n ( o ，1 ) 的随机变量，由此可以知道m 服从正态分布并r e ( x m + ) = 一n m + a t ，d ( a m + ) = 盯2 a t 定义m + 为树形上的利润之 间的距离且令m t ：盯瓜【4 】，从减小误差的角度，这是个很好地选择。在含有均值回 复的三叉树构造过程中会出现三种不同的树枝形状( 如图4 ) 图4 三叉树中的不同树枝形状 因此在构造三叉树时应该在每个节点上首先确定应该使用哪个树枝形状，进而计算 出树枝的对应概率。将t = i a t ，m + = j a m 时所对应的节点记为( i ，j ) ( 其中i 为正整 数， 为正或负整数) ，在每个节点上所使用的树枝形状必须使得所有三个树枝的概率均 为正值。在大多数情况下，图4 中的( a ) 图所示的树枝形状是合适的当n o 时，对于充 分大的i 而言，有必要从图4 的( a ) 图所示的树枝转换成( b ) 图形状树枝；类似的，当j 为充分 大的负数时，有必要从图4 的( a ) 图所示的树枝转换成( c ) 图形状的树枝定义j m 口。为我们由 图4 的( a ) 图所示的树枝转换成( b ) 图形状树枝时相应的j 的取值；j r a i 。为我们将图4 的( a ) 图所 示的树枝转换成( c ) 图形状树枝时相应的j 值h u l l 和w h i t e 2 5 1 证明了当j 为j m 凹o 1 8 40 勺最 小整数并且j m 讥= 一如。时，所有概率均为正值。定义r ，f ) m ，p d 为从节点所延伸出的上中 6 了广 和下的概率，对于这= 三个概率，可以设定相应的方程进行计算。如果树枝形状为图3 ( a ) 图 所示，那么r ，p m ，r 满足以下方程： r a m 一p d a m + = 一a j a m a t p u ( a m + ) 2 + p a ( a m + ) 2 = 盯2 t + 0 2 j 2 ( a m + ) 2 a t 2 r + p m + p a = 1 j if h a m = 口俪可得相应的概率【6 】为： 摹 麓署云篇而讼州。 r = j + a z j z a t 2 2 + a ) a t p m = 一j 1 一a 2 j 2 a t 2 2 a j a t 疡= i + a 2 j 2 a t 2 2 + 3 a ! a t 如果足图3 ( b ) 图所示，那么相应的概率应为 假设盯= 2 ，a = 0 1 和a t = 1 ，则m + = 0 3 4 6 4 ，3 m 。= 2 ，j m 伽= 一2 m 的三又树 图( 如图5 ) 及每个树枝所对应的概率表如下( 如图6 ) ： 第二步：建立关于m 的树形 7 出一 。一 出一 垭 出地 半鐾。 z o 曼 盟 丝 e j 设筹= g d t + a d z ，则变_ - 量l n m ( t ) 服从与m + 同样的过程，只是它具有依赖时问的漂 移，因此可以通过变动节点的位置将m + 的树形转换为1 n m ( t ) 的树形。设o ( ) = i n m ( t ) 一 m + ，从而解得m ( ) = e 。( ) + m + ( 。) ，d c r ( t ) = o ( 0 一口q ( t ) 】班( 即q ( ) 为与p ( ) 有关的确定的量) ，从而得到m 的树形图 假设项目价格目前为3 i o ，而第一年，第二年和第三年相应的项目期望价格分别为a 矗，m 2 和m 3 构建m 的三叉树时其初始点应为目前项目的价格m o ，因此节点变动为i nm o 假 设在第一年时节点变动为o l ，那么m + 在第一年时三个节点值为0 3 4 6 4 ，0 ，0 3 4 6 4 ，相应 的i nm ( t ) 的值为o 3 4 6 4 + a 1 q l ，o 3 4 6 4 + 0 1 ，因此m 的值为e o 3 4 6 4 + ，e “，e - o 3 4 6 4 托1 令m 的 期望值等于项目的期望价格得： o 1 6 6 7 e o 3 4 6 4 + 0 1 + o 6 6 6 6 e o f l + 0 1 6 6 7 e - 0 3 4 6 4 + o l = m 1 = m o e 7 ，从而解出n 1 ，代入“1 使可以得到m 在第一年时的值为e o - 3 4 6 4 却1 ，e m ，e - o 3 4 6 4 + m 同理假设在第二年时的节点变动为q 2 ，那么m 在第二年时节点值由上到下依次为： 0 6 9 2 8 ，0 3 4 6 4 ，0 ，- 0 3 4 6 4 ，- 0 6 9 2 8 ，相应的i nm ( t ) 的值为o 6 9 2 8 + a 2 ，o 3 4 6 4 + a 2 ，q 2 ，- 0 3 4 6 4 + 2 ， 0 6 9 2 8 + o r 2 ，因此m 的值为e o 6 9 2 8 + 。，e o 3 4 6 4 + ”，e ，e - o 3 4 6 4 + “，e - 0 6 9 2 8 + 0 2 下面首先通 过b ，c ，d 的概率来计算e ，f g ，h ，i 的概率，比如：到达f 的概率等于到达b 的概率乘以 从b 到达f 的概率加上到达c 的概率乘以从c 到达f 的概率即： 0 1 6 6 7 0 6 5 6 6 + 0 6 6 6 6 * 0 1 6 6 7 = 0 2 2 0 6 ，同理可分别计算出到达e ，g ，h ，i 的概率为0 0 2 0 3 ， o 5 1 8 3 ，o 2 2 0 6 ，0 0 2 0 3 所以由在第二年时节点变动q 2 满足： 0 0 2 0 3 e o 6 9 2 8 + 0 2 + 0 2 2 1 6 e o 3 4 6 4 + 0 2 + o 5 1 8 3 e 1 2 + o 2 2 0 6 e o 3 4 6 4 + 0 2 + o 0 2 0 3 e o 6 9 2 8 + o v ，= 地： a i o e 2 r ，可以解出q 2 ，从而得到项目价格m 在第二年时的节点值为e o 6 9 2 8 + ，e o 3 4 6 4 + ”，e ， e - o 3 4 6 4 + 。2 e - o 6 9 2 8 + 。2 在第三年时同样假设节点变动q 3 ，先用同上的方法计算到达j ，k ，l ，m ，n 节点处的概 率值即： 到达j 点的概率：o 0 2 0 3 * 0 8 8 6 7 + 0 2 2 0 6 * 0 1 2 1 7 = 0 0 4 4 8 到达k 点的概率= 0 0 2 0 3 * 0 0 2 6 6 + 0 2 2 0 6 * 0 6 5 6 6 + 0 518 3 0 16 6 7 - - 0 2 8 21 到达l 点的概率= o 0 2 0 3 * 0 0 8 6 7 + 0 2 2 0 6 * 0 2 2 1 7 + 0 5 1 8 3 0 6 6 6 6 + 0 0 2 0 3 * 0 0 8 6 7 - - 0 4 4 6 9 到达m 点的概率= o 5 1 8 3 0 1 6 6 7 + 0 2 2 0 6 * 0 6 5 6 6 + 0 0 2 0 3 * 0 0 2 6 6 - - 0 2 3 1 7 到达n 点的概率= o 2 2 0 6 * 0 1 2 1 7 + 0 0 2 0 3 * 0 8 8 6 7 = 0 0 2 0 7 因此根据 0 0 4 4 8 e o 6 9 2 8 + 0 3 + 0 2 8 2 1 e 0 3 4 6 4 + 0 3 + 0 4 4 6 9 e n 3 + 0 2 3 1 7 e o 3 4 6 4 + 口3 + 0 0 2 0 7 e o 6 9 2 8 + 0 3 = 地 = m 0 e 3 7 可计算出q 3 ，代入q 3 进而可以得到项目在第三年时的各节点值e 0 6 9 2 8 + o 。3 ，e 0 3 4 6 4 + a 3 ， e 0 3 ，e - o 3 4 6 4 + o 3 。e - 0 6 9 2 8 + 0 3 9 以此类推，我们就可以建立服从均值回复过程的资产价格m 的三叉树图( 如图7 ) 。 a m o 8 e m ，4 “”fj c 正t d e 似3 “”f ， 图7m 的三叉树图 倒 删 榔 甜 甜 h 啪 j 脚 k 删 一j 一 辨 n m j k 一 一j 一 辨一 n 一 沁 嗨 机 黾 甜 婚 u j m f 舭 g h m ， e 删 f 删 g h ， 3复合期权定价过程 3 1 时间序列复合期权定价过程 时间序列复合期权f 1 4 】是指多个实物期权之间不存在相互依赖，互为因果的关系，它 们在时间和空间上是相互独立的，它们在地位上是平等的，也就是说在这些实物期权中 某个实物期权的存在或执行不会影响其他期权的存在，更不会有新的期权产生。目前扈 文秀等人【1 4 】已经利用二叉树模型系统地研究了时间序列复合期权定价的理论和方法，而 本文是在此基础上利用三叉树模型及含有均值回复过程的三叉树模型对时间序列复合期 权定价进行研究。 对于价格服从标准几何布朗运动即( f m = p m d t + a m d z 的项目1 来说，下面以扩张期 权在前，放弃期权在后为例介绍时间序列复合期权三叉树图定价方法： 第一步：计算无期权情况下的标的资产价值样计算出每个节点的资产的价值。以n p v 方 法计算的项目预期净收益为三叉树图计算的初始点，以2 2 节介绍的那样计算出每个节点 的资产的价值。 第二步：计算第一阶段拥有扩张期权且第二阶段拥有放弃期权情况下标的资产的价 值。假设起初项目投资价值为m o ，前一阶段拥有扩张期权，并且如果执行项目扩张，则 再投资a 万元扩张原有资产的b ；后一阶段拥有放弃期权并目如果执行，则以b 万元出售 该项目。前一阶段扩张期权执行与否，后面放弃期权始终足存在的。项目期限为n 年，前 一阶段扩张期权的到期日为第n 一1 年，后一阶段扩张期权到期日为第n 年，并且两个期权 均为欧式期权。利用i 叉树图和决策路径图( 8 ) 相结合来计算此复合期权的价值 ( 1 ) 在第一步中已经建立起尤期权情况下的标的资产价值三叉树图，假设此三叉 树图的最后一列为第n y 0 ，c i j 为无期权情况下( i ，j ) 节点处标的资产价值，五j 为执行 扩张期权时( i ，j ) 节点标的资产的价值，尤j 为不执行扩张期权时( i ，j ) 节点标的资产的 价值，v j 为决策后最终( i ，j ) 节点标的资产的价值，其中i = 0 ，1 ，n ，j = 一i ，一i + 1 ，一l ，0 ，1 ，i 一1 ，i 。如果在t = n 一1 时执行扩张期权，则在( ，j ) 节点决策规则为f n ，j = m a x ( 1 + 0 0 1 术6 ) c k j ，b ，如果在t = n 一1 时不执行扩张期权，那么在( ，歹) 节点决策规则为 届f = m a x c n j ，b 】，最终计算出在复合期权存在的情况下最后一列节点资产的价值h j = m a x f ；, j ，f n j 】； ( 2 ) 在第n l 列的节点上采用决策原则一1 , j = m a x f g 一1 , j a ，届一l 巾c n 一1 j ，其 中f n l ，j = ( r 木i n ，j 一1 + p 仇车a ，j + 疡木a ，j + 1 ) e 1 越，届一1 , j = ( r 丰矗j 一1 + p m 术届j + 尼木贰f + 1 ) e - - r a t ) 在从第n 一2 列开始一直到起始点采用决策规则为一i , j = m a x a ，一t 5 1 ， i = 2 ，n ，j = 一n + i ，一i + l ，一1 ，0 ，1 ，n i 其中c k i , j 为无期权情况下( 一i ，j ) 决策路径图 图8 节点处的标的资产的价值，= ( p u 木v n i + 1 ，j 一1 十p m 术v n i + 1 ，j + r 木一i + 1 , j + 1 ) e 1 出是 通过回推的方式计算出的( 如图9 ) ，r 为无风险利率。 丁， l n i j 图9 丁0 - j + l ，卜1 丁t j + l ，j r 7 k ，j + 1 假设在拥有序列复合期权的情况下计算出的最初点标的资产的价值为k ，则该复合 期权的价值应为v o m o 。 对于资产价格m 假设其服从均值回复过程d l nm = f o ( t ) 一a l nm d t + a d z ，并且令 a = o 1 ，o = 2 ，a t = 1 ( 所有参数均与2 3 节中的致) 的项目2 来说，以扩张期权在前，放 弃期权在后为例的时间序列复合期权三义树图定价方法： 第一步：计算无期权情况- 卜的标的资产价值样计算出每个节点的资产的价值。以n p v 方 法计算的项目预期净收益为三叉树图计算的初始点a 靠，以2 3 节介绍的那样构建m 的三叉 1 2 树时其初始点应为目前项目的价格m o ，因此节点变动为i nm o 假设在第一年时节点变动 为0 1 ，那么m 在第一年e t 寸- - 个节点值为0 3 4 6 4 ，0 ，0 3 4 6 4 ，相应的i nm ( ) 的值为0 3 4 6 4 + q 1 ， q 1 ，一o 3 4 6 4 + 0 1 ，因此m 的值为e o 3 4 6 4 + ，e a l ，e - o 3 4 6 4 扣1 令m 的期望值等于项目的期望价 格即：0 1 6 6 7 e o 3 4 6 4 扣1 + 0 6 6 6 6 e 。1 + 0 1 6 6 7 e - 0 3 4 6 4 + a i = m 1 = m o e ，从而解出0 1 ，代入q 1 便可 以得到m 在第一年时的值为e o 6 4 + m ，e a l ，e - o 3 4 6 4 + m 同理假设在第二年时的节点变动 为q 2 ，那么m 在第二年时节点值由上到下依次为0 6 9 2 8 ，0 3 4 6 4 ，0 ，一0 3 4 6 4 ，一0 6 9 2 8 ，相应 的i n m ( t ) 的值为0 6 9 2 8 + a 2 , 0 3 4 6 4 + q 2 ，口2 ，o 3 4 6 4 + q 2 , - 0 6 9 2 8 + a 2 ，因此m 的值为e o 6 9 2 8 + ， e 0 3 4 6 4 + a 2 ，e 口2 ，e - o 3 4 6 4 + ，e - o 6 9 2 8 + c 。2 根据 0 0 2 0 3 e o 6 9 2 8 + 口2 + o 2 2 1 6 e o 3 4 6 4 + o t 2 + 0 5 1 8 3 e 0 2 + 0 2 2 0 6 e o 3 4 6 4 + a 2 + 0 0 2 0 3 e o 6 9 2 8 + a 2 = m 2 = m o e 2 7 可以解出n 2 ，从而得到项目价格m 在第二年时的节点值为e o 6 9 2 8 + ”，e o 3 4 6 4 + 。，e ， e - o 3 4 6 4 + ，e - o 6 9 2 8 + 们假设在第三年时节点变动q 3 ，根据 0 0 4 4 8 e o 6 9 2 8 + a 3 + 0 2 8 2 1 e 0 3 , 1 6 4 + 0 3 + 0 4 4 6 9 e o a + o 2 3 1 7 e o 3 4 6 4 + a 3 + 0 0 2 0 7 e o 6 9 2 8 + q 3 = m 3 由m 3 = m o e 3 r ，可计算出n 3 ，然后代入0 3 进而可以得到项目在第三年时的各节点值e o 6 9 2 抖“， e o 3 4 6 4 + 一，e a 3 ，e - o 3 4 6 4 扣3 ，e - o 6 9 2 8 + q 3 ，最终计算h 不含期权项目2 价值三叉树的每个节点 的资产价值。 第二步：计算第一阶段拥有扩张期权且第二阶段拥有放弃期权情况下标的资产的 价值。前一阶段拥有扩张期权并且如果执i j ：项目扩张，则以再投资a 万元扩张原有资产 的b ；后一阶段拥有放弃期权并且如果执行，则该项i q 以b 万元出售。前一阶段的扩张 期权执行与否，后血放弃期权始终是存在的。项目期限为n 年，前一阶段的扩张期权的到 期日为第n 一1 年，后阶段的扩张期权到期日为第n 年，并且两个期权均为欧式期权。利 用三义树图和决策路径图( 8 ) 相结合来计算此复合期权的价值方法 ( 1 ) 在第一步中已经建立起无期权情况下的标的资产价值三叉树图，假设此三叉 树图的最后一列为第n 列，项目的价值在三叉树的第n y l 出现回复( n ) ，并且在第n 列 有。和j 。帕g ，为无期权。t 青况y ( i ，j ) 节点处标的资产的价值，五，j 为执行扩张期权时( i ，j ) 节点标的资产的价值，矗f 为不执行扩张期权时( i ，j ) 节点标的资产的价值，k 为决策后最 终( i ，j ) 节点标的资产的价值，其中当i = 0 j1 ，n 一1 时，j = 一i ，一i + l ，0 ，i 一1 ，i ； 当i n 时= j + m i n ；j 。饥+ 1 ，0 ，0 3 m 凹一1 ，j 。船。如果在t = n l 时执行扩张期权则在( i ，j ) 节点通过决策规则f n , 5 = m a x ( 1 + o 0 1 木b ) c n , j ，引，如果在t = n 一1 时不执行扩张期权，那 么在( ，j ) 节点通过决策规则疗，j = m a x c n , 5 ，b 】，分别计算出在复合期权存在的情况下 最后一列节点资产的价值，j = m o z 届印瓜，j 】； ( 2 ) 在第n l 列的节点上采用决策原则一1 , 5 = m a x i n 一1 , j a ，箭一l ，一1 j 】，其中 当j = j m 。z 时，a 一1 ，j = ( r 丰i n , 5 + p m 宰f g , j + a + 忍木a j + 2 ) e 1 血：当j = j m 纰一 1 3 1 ，0 ，j m 饥+ 1 时，a z , j = ( r 木f n ，j 一1 + p m 木瓜+ p a 术，j + 1 ) e ”越；当j = j m i n 时，瓜一i , j = ( r ，i c a ，j 一2 + p m 术瓜j 一1 + p d 半，j ) e ”越。当j = j m 。一1 ，0 ，3 m i n + 1 ，箭j l j = ( r 木届j 一1 + p m 木届j + p d 木扇j + 1 ) e 1 & ；当j = j m i 凡时，届一z , j = ( r 牢届j + 尸m 木届j + 1 + p d ，i c 届j + 2 ) e 叫出；当j = 3 m a z 时，或届一1 , j = ( r 木f n ，j 一2 + 。p m 幸届，一1 + p d 术届，j ) e 1 & 。( 如图1 0 ) 在从第n 一2 n j t 始一直到起始点采用决策规则 为v n t ，j = m a x a ，一 j 】，其中一 j 为无期权情况下( 一i ，j ) 节点处的标的资产的价 值，是通过同推的方式计算出的如图l o ： v - 1 v “t j v i a i t 1 斗 、v 胂，p 。 鼍”： 图l o | v h 牡 ? 天坩 、k 。匕v “ v 叫。，。 则由于树枝形状的不同，= ( p u 木v n i + 1 ，j 一1 + p 仇，| c v n i + 1 ，j + p d 宰v n i + 1 , j + 1 ) e ”出 或a = ( r 术v n 一州j + p m 木一m + 1 + p d 木讲l ，j + 2 ) e ”址或= ( r 术一州，j 一2 十 p m 丰一件1 ，卜1 + p d 术v n i + 1 ，j ) e - - r a t 其中r 为无风险利率，p u ，p m ，p d 均与2 3 节中的图6 相 对应。假设在拥有序列复合期权的情况下计算出的最初点标的资产的价值为，则该复 合期权的价值应为v o m o 3 2因果复合期权定价过程 因果复合期权【1 5 是指按其执行时间时间的顺序前后排列，相巨嵌套得多个实物期权 或实物期权的组合，并且后一个期权的生效期就是前一个期权的执行期或在其之后。因 果复合期权的特点是后置期权存在的前提是前。个期权必须在其有效期内执行，如果前 一个期权不执行或失效，那么所有后面的期权均不存在了。目前已有人【1 5 】研究出利用二 叉树模型对具有多个标的变量和不确定来源的因果复合期权进行定价的理论和方法，而 本文则是研究利用三叉树模型定价因果复合期权。 下面详细介绍对于价格服从标准几何布朗运动过程的项目1 而言，扩张期权在前，放 弃期权在后的因果复合期权三叉树图定价方法： 第一步：计算无期权情况下的标的资产价值以n p v 方法计算的项目预期净收益为j 叉树图计算的初始点，以2 2 节介绍的那样计算出每个节点的资产的价值。 第二步：计算先后两阶段拥有扩张和放弃两个期权情况_ 卜标的资产的价值假设起初 项目投资为m o ，前阶段拥有扩张期权并且如果执行项目扩张则以再投资a 万元扩张原 1 4 有资产的b ；后一阶段拥有放弃期权并且如果放弃该项目则以b 万元出售。当且仅当前 一阶段的扩张期权执行，后面放弃期权才能是存在的。项目期限为n 年，前一阶段的扩张 期权的到期日为第n 一1 年，后一阶段的扩张期权到期口为第n 年，并且两个期权均为欧式 期权。利用三叉树图和决策路径图( 图1 1 ) 相结合来计算此复合期权的价值方法如下： 图11 决策路径图 矧躺孽杯 辎林 剿螂絮杯 翅你 ( 1 ) 在第一步中已经建立起无期权情况下的标的资产价值三叉树图，假设此三叉 树图的最后一列为第n i 矿0 ，并设g ，f 为( i ，歹) 节点的标的资产的价值，五、j 为执行扩张期权 时( i ，j ) 节点标的资产的价值，j 为决策后最终( i ，j ) 节点标的资产的价值，其中j = 一i ，- i + 1 ，i l ，i 。如果在t = n 一1 时执行扩张期权则在( ，歹) 节点通过决策规则加，j = m a z ( 1 + o 0 1 柏) ，j ，b 】，计算出在复合期权存在的情况下最后一列节点资产的价值k ，j = m n z ( a j ，c f j 】； ( 2 ) 在第n l 列那么在( 一1 ，j ) 节点上采，h j 决策原则一1 , j = m o z a 一1 j a ，c n l j 其 中知一1 , j = ( r ，l c 瓜4 - p m 木a j + 疡术，+ 1 ) e ”趾，o 一1 j 为( n 一1 , j ) 节点的标的资 产的价值；在从第n 一2 列开始一直到起始点的决策方法与序列复合期权定价方法一样。为 ( n 1 ，i ) 节点的标的资产的价值；在从第n 一2 列丌始直到起始点的决策方法与序列复合 期权定价方法一样。 对于价格服从均值回复过程的项目2 而言，下面介绍以扩张期权在前，放弃期权在后 为例的囚果复合期权i 叉树图定价方法： 第一步：计算无期权情况下的标的资产价值以n p v 方法计算的项 预期净收益为三 叉树图计算的初始点，以2 3 节介绍的那样计算出每个节点的资产的价值。 第二步：计算第一阶段拥有扩张第二阶段拥有放弃期权情况下标的资产的价值假设 起初项目投资为m o ，前。阶段拥有扩张期权并且如果执行项目扩张，则以再投资a 万元 1 5 扩张原有资产的b ；后一阶段拥有放弃期权并且如果执行，该项目则以b 万元出售。当 且仅当前一阶段的扩张期权执行，后面放弃期权才能是存在的。项目期限为n 年，前一阶 段的扩张期权的到期日为第n 1 年，后一阶段的扩张期权到期口为第n 年，并且两个期权 均为欧式期权。利用三叉树图和决策路径图( 图l1 ) 相结合来计算此复合期权的价值方 法如下： ( 1 ) 在第一步中已经建立起无期权情况下的标的资产价值三叉树图，假设此三叉树 图的最后一列为第n 4 0 ，项目的价值在三叉树的第n 列出现回复) 并且在第n 列具 有。和j m i n ，并设g ，j 为( i ，j ) 节点的标的资产的价值，五j 为执行扩张期权时( i ，j ) 节点标 的资产的价值，j 为决策后最终( i ，j ) 节点标的资产的价值，其中当i = o ，1 ，n 1 时，j = 一i ，- i + 1 ，i 一1 ，i ；当i 7 t 时，j = 3 m i 。，j m i 。+ l ，j k 凹一1 ，j 。如果在t = n l 时执 行