（基础数学专业论文）几类泛函微分方程的解的振动性.pdf

摘要 本文考虑几类泛函微分方程的解的振动性，论文分为四章 在第一章，我们对泛函微分方程的振动性作一个基本概述，同时，对 本文所作的研究作一个基本的介绍 第二章，我们研究一类高阶非线性时滞微分方程 z ( n ) ( ) 4 - p 0 ) ，( z ( z ) ，z ( n ) ) ，z ( ( 亡) ) ) 夕( z 一1 ) ) = 0 的解的振动性，获得了新的振动性条件 第三章和第四章，分别研究高阶非线性中立型偏泛函微分方程 券(u(豇t)+e；，argn m t ( t ) 让( z ，t 一死( ) ) ) + 赫1 ( 钍( z ，芒) + t r n ( 亡) u ( z ，t 一几( t ) ) ) 问l ，l 一 + p ( z ，t ) u ( x ，t ) + 罂1 鳓( z ，t ) y j ( u ( x ，t 一乃( t ) ) ) = a ( t ) a u ( x ，t ) 十罂1a k ( t ) a u ( x ，t m ( ) ) ， 和拟线性中立型偏泛函微分方程 瓦0 似) 掣) = 啦( 亡) u t ( z ，t ) + ：la i k ( t ) a u i ( x ，p k ( t ) ) 一芝茗兰l 向( 亡，z ，呦( z ，( t ) ) ) ，i 厶= l ，2 ，m ) 在r o b i n ，d i r i c h l e t 边值条件下解的振动性，利用最终正解存在的条件， 获得了其所有解振动的充分条件，这些结果推广和包含了已知的一些结 果 关键词：泛函微分方程；偏泛函微分方程；拟线性；非线性；最终正解；振动性 a b s t r a c t o s c i l l a t i o n sf o rs o m ec l a s so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d i nt h i sp a p e r 眦p a p e ri sd i s p a r t e dt of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ri ，ab a s i cs u m m a r i z a t i o nf o ro s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o rf o r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h em a i nc o n t e n to fr e s e a r c ho ft h i sp a p e ri s i n t r o d u c e d i nc h a p t e ri i ，耩c l a s so fh i g h - o r d e rn o n - l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 茹m ) 8 ) + p 0 ) ，( z ) ，善( a ) ) ，髫( 0 ) ) ) 萝 ( 住一1 ) 0 ) ) = 0 i si n v e s t i g a t e d ，s o m en e wo s c i l l a t i o nc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r s 薹l 羔a n di v ，t h eh i g h - o r d e rn o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 嘉似州) + 参珏( x , t i ( x , t - t i ) ) + 筹础 豢( 让( 搿，t ) + 蚤圳珏 ( t ) ) ) + 貉( u ( z ，亡 + p ( z ，t ) u ( x ，t ) + 乏茗竺l 协( 茹，t ) 秀( 牡( 髫，t 一乃( 亡) ) ) = 8 ( 亡) 瓤( ，t ) + 罂la k ( t ) a u ( x ，t 班( ) ) ， a n dt h eq u a s i l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n m 九( 亡) 钍( 茁，t 一吼( t ) ) ) i - - - - 1 晏“乏，)可5pn-lu(2；,t)j = 啦( t ) ，t ) + 。l 口七( t ) 地( z ，p k ( t ) ) 一凳l , j ( t ，荔，吻霉，矿( 考) ) ) ，主gk = l ，2 ，m w i t ht h er o b i na n dd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n sa r ed i s c u s s e d 。u s i n gt h e c o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fe v e n t u a l l ys o l u t i o n s ，s o m es u f f i c i e n tc r i t e r i af o rt h eo s - c i u a t i o no fa l ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sa r eo b t a i n e d ，w h i c hg e n e r a l i z e sa n di n c l u d e s s o m ek n o w nr e s u l t s ， k e y w o r d s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p a r t i e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声骧的法律结果出本人承担。 j 学位论文作者签名：年月 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期闻论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阙。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、傈密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“v ) 作者签名： 日期：年月 蹬 导师签名：啄帆四日期：m 产妙月卵日“ 第一章概述 泛函微分方程是上世纪中形成并在上世纪末蓬勃发展起来的，它最 初的研究对象是生物种群i g y o r i 和g l a d a s 【1 】是两位杰出的奠基者 之一华裔数学家吴键宏【2 】在推动泛函微分方程的研究中作出了积极贡 献上世纪八十年代起，泛函微分方程的研究在国内得到蓬勃展开，形 成了许多研究群体，许多成果引起国际上的高度重视【1 ，4 ，5 - 7 】，特别是庾 建设【5 7 】、张炳根【8 】8 等在泛函微分方程的稳定性方面已得了一系列世界 级的成果，推动了泛函微分方程在国内的研究李永昆【9 ，1 0 】等利用拓扑 度理论进行周期解的研究，并取得了一系列重要的研究成果，从而导致 泛函微分方程的研究有了更新的研究手段周盛凡教授在吸引子的存在 性及维数估计方面取得了一系列成果( 见【i i 一1 3 】) 徐道义与赵洪勇【1 4 ，1 5 】 利用常微分方程的方法研究一阶时滞微分系统的不变集与吸引子，从而 使对高阶时滞微分系统的动力学行为研究成为可能 h a m e d a n ia n dk r e n z 【1 6 1 研究了如下二阶非线性泛函微分方程 z - ( t ) + p c t ) f ( x ( t ) ，z ( r ( t ) ) ) 夕( t ) ) = 0 ， ( 1 1 1 ) 其中p ：i t o ，+ o o ) _ 岛，g 是连续函数，且9 0 ，( 让l ，t 2 ) o ，i = l ，2 他们 给出了方程( 2 1 2 ) 的所有解振动的充分条件 s r g r a c e 【1 7 改进了【1 6 】的结果 最近y v 。r o g o v c h e n k o 【1 8 】得到了( 1 1 1 ) 的所有解振动的一个新的充分 条件应该说，他的结论比【1 7 】更好 本文第二章考虑如下高阶非线性泛函微分方程 z ) + p ( t ) ，( z ( 亡) ，z ( 7 1 ( t ) ) ，z ( ) ) ) 夕( $ 似一1 ) ) = 0 ( 1 1 2 ) 其中n 是正的偶数，p 6 ( i t o ，+ o o ) ，岛) ，c ( 舻“，冗) ，g c ( r ，冗) ，g 0 ，当 所有的地 0 时，( t l i 一，t m + 1 ) 0 ，当所有的撕 0 时，( “l ，“m + 1 ) 0 ，当所有的他 o ； ( h 2 ) o h 爱( t 一, s ) 在d o 中是连续和菲正的 当n = 2 ，m 一1 时，方程( 2 1 1 ) 化为 霉嚣0 ) 牛p ( 季) ，( 茹秘) ，。f 7 f ) ) ) 9 ( t ) ) = = 0 ， ( 2 1 2 ) 其中p ：，+ o o ) _ ，鼻g 是连续函数，虽g 0 ，f ( u l ，鞑2 ) o ，i l ，2 。 h a m e d a n ia n dk r e n zf l 翻给出了方程( 2 1 2 ) 的所有解振动的充分条件 s r g r a c ef 1 7 1 改进了f 1 6 l 的结果 最近y 。v r o g o v c h e n k o 【1 8 得到了( 2 1 2 ) 的所有解振动的一个新的充分 条件应该说，他的结论比f 1 7 】更好 为方便起觅，我翻将【l 翻懿主要结果陈述如下t 定理a ( s e e 1 8 t h e o r e m 聊假设下列条件成立： ( i ) p ：1 _ 岛是连续函数，且对任意的t t o ，在区间f t ，+ o 。) 上有p ( t ) 0 ， 其中i = t o ，+ ) ? 颤) 对y 0 有g ( u ) c 0 j ( i “) r ：，一只连续，r n n f 。r ( t ) = 十； 。一至q q z 堡塑直哑整态堂亟堂焦迨塞 一 墨 _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ 。_ i - - o _ _ - _ _ _ _ - _ _ - - - _ _ - m 。”。o 1 ”一一一 ( 如) 州z ( ) ) ，z ( 7 ( t ) ) ) 2 ( 盅( t ) ) ，2 ( z ( r ( t ) ) ) ，且存在正的常数l i 和l 2 ，使对任 意的0 ，函数 ，y 2 满足； f l c x ) 芝l l o ，2 ( z ) 2 0 ， ( 2 1 3 ) 函数毳，n , q 是连续函数，满足： 筹# ，s ) 一h ( t , s ) 何丽，如) d o ， ( 2 工莲) 啪( t s ) 一答厕潞，s ) 琶， 此外，存在连续函数p ：f _ ，满足 “l i r a o 。s u p 百毒丽阻瓴s ) ，岛印( s s ) 一p 0 4 o ，2 ( 丢，蝴幽= + 仫l 5 ) 则方程织j 。夥的所有解振动。、 本章中，我们研究方程( 2 1 1 ) 的解的振动性，其结论推广了定理a 第二节主要结论 我们首先引述如下弓 理。 。 引理2 2 1 以彩引理5 ，2 砂设( t ) 在取上是住次可微的函数，v c t ) ，g ，( n ) ( t ) 是最终正苟或最终负的，豆v c - ) ( t ) 在任意区阐譬l ，+ o 。) 上不恒等于零，且 有 v c - ) ( t ) v ( t ) 0 ， ( 2 2 1 ) 则当n 是偶数时，存在一个奇数屉 l ，3 ，他一l ，璺n 是奇数时，存在 一个偶数露 o ，2 ，4 ，托一王 ，使得 爹g ) ) 爹( 。 o ，= 。，董，2 ，凳，i 如孝l ， ( 2 。2 2 ) ( - 1 ) n 卅一1 暑o ) ) 可 ) o ，歹= 惫+ 1 ，詹+ 2 ，n ，t t 2 t l 一 至q q z 生塑盥哽蕉盔堂爨圭堂垡迨塞。鱼 引理2 2 2 假设引理5 2 j 的条件成立，进一步假设y ( t ) 满足下列关系： 爹拜( ) 爹( ) so ，t t 2 ， 则对任意的入，0 a o ，j = z 十1 ，2 + 2 ，礼一1 与【l 翘中引理5 2 3 的证明相类似，我们可以得裂 l 矿( a t ) l 互e j 昙主三 t n 一2 l ( n 一1 ) o ) 1 定理证毕 下面，我们给出并证明本章的主要结论。 定理2 2 1 假设定理a 中的( i ) 以及下列条件成立； ( 秘) 7 曩：i - 霆连续，且l i m t - 氕9 ) = + o o ，i = 王，2 ，m ； ( 伽) 卜，g 连续，9 0 ，且存在一个正的常数l 使得对所有的z 0 有 型麴熊竖幽趔l 0 。 ( 2 删 霉 一 、7 再设置：d _ 冀连续，使得hgp ，及 筹心s 以s ) ) 玩， 还假设p ：，_ 耳是连续可微函数，且对任意的1 l 几一1 ，存在 入，0 o ，。机( 亡) ) o ，l = l ，2 ，价 由方程( 2 1 1 ) 得到z 似( t ) s0 ，因此对t 乃有z 心) 0 定义 邮) = 紫， 2 6 ) 其中0 入 0 由方程( 2 1 1 ) ，以及定理2 2 1 和引理2 2 2 的假设，容易知道，存在一 个正整数l ，1 z 他一l ，使得 彬他) ：镙伽( t ) 。 刊趔纽型挚趔业型刊帮鬻 镛t ) - p ( t ) 业匝迹产幽 叫幻幽摧t 主- 。- - 笺, _ l ；：x ( n - 1 ) ( t ) 。 刊帮型型气广2 鬻邮h 印坝沪痢与篙南广2 而1 州 将上式两边同乘以h ( t ，s ) ，并从r 到t c t t 矸) 积分得 ， r t 二日( t ，s ) l p ( s ) p ( s ) d s h ( t ，t 灿( t ) 一厶w ( s ) h ( t ，s ) 幽 一r研篙南矿2而12t 1 1 跏) 幽 厅一( z 一) ! ( 礼一z 一1 ) ! 。j d ( s ) “r 尸1 p 叫”。 + 错吣) 即一如 = h ( t ，t ) 叫( t ) 一j广r【三2、fat毫三冬号三端2h(t ( 一 ( t ，s ) p ( s ) 十日( t ，s ) ( s ) ) 、f ( 1 一a ) 一2 扩一，s ) j d ( s ) p q 叫n 叫u q 吖叫7 一万yal雨(1-ia)n丽-tsj-2h丽(t,s)w(s)l 阳 2 卜1 ( z 一1 ) ! ( 佗一一1 ) ! p ( s ) 。 。1 厂( 九( ，s ) p ( 5 ) + h ( t ，s ) ( s ) ) 2 2 卜1 ( z 一1 ) ! ( n l 一1 ) ! ， 。4 ，r a 2 ( 1 一a ) n - 1 8 n 一2 h ( t ，s ) p ( s ) “。 1 - 一f 。_ _ _ _ h - _ - - w _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 二一，t 口 这样 厶旧( 亡，s ) l p ( s ) p ( s ) d s 一( = 垒( ! ! 竺2 旦! 兰2 丝! ! ! 兰2 芝! 兰2 2 ：型二：! ! 二1 21 ( 竺= ! 二! 蔓1 d s a ( 1 一a ) n 一。s n 一2 h ( t ，s ) j 口( s ) 1 “。 h ( t ，t ) w ( t ) h ( t ，t o ) w ( t ) 由h ( t ，t ) 的性质，我们得到 因此， 去f 陬铀) 酬咖( 汕 一( - h ( t , s ) p ( s ) 、+ 。h 一( t , ，s ) p 5 ( s ) ) 2 仃2 + - 。z ，( 5 l ，- 从5 1 ，) ( n - l - 1 ) 1 1 d s - j 1 工一 ，5 仃i 五5j 正，1 5 ， 伽( t ) 赤吲如) 酬洲班s 一半堂岽警篙2 h 器( ts)p秽(s 】幽 皿2 a ( 1 一入) ”一2 s “一，) 1 ”。 、一7 ! l p ( s ) p ( s ) d s + 伽( t ) ，m 1t t 哟p 蒜南厶旧( t , s ) l p ( s ) p ( s ) d s 一半堂群甓l 缫s n2 h 筠( ts)p掣(8 冲 a o ( 1 一a ) n 一 一 ，) o ”。 l p ( , ) p ( 8 ) d 8 + 铆( t ) j t , e 与( 2 2 5 ) 式矛盾定理证毕 由定理2 2 1 ，我们得到如下推论； 推论2 2 1 假设定理2 2 1 的条件成立，如果 1t t 1 i 罂p 赢厶日( t ，s ) 却( s ) p ( s ) = + o 。， 及 哩驴塑型崭裂辚畿糯型型拈慨 其中0 0 ，对所有的i = 1 ，m + n ，当 讹 o ， 正( 亡) 再设h ，h ：d _ r 连续，使得日p 及对所有的( z ，s ) d o ，有一型掣= h ( t ，s ) ，同时假设p ( t ) 是连续可微函数，p ：，_ 皿使得 n 磐p 丽南厶旧( ，s ) 印( s ) p ( s ) 一 2 t - a ( 一l j ! ( n 二z 一1 ) ! ( 一h ( t ，s ) p ( s ) + h ( t ，s ) ( s ) ) 2 a ( 1 一a ) n 一p ( s ) s n - 2 h ( t ，8 ) 则方程俾只砂的所有解振动 】d s = + o o ， 第三章一类高阶非线性偏泛函微分方程的解的振动性 第一节引言 近年来，偏泛函微分方程的振动理论以其广泛的应用背景而引起人 们极大的研究兴趣，并取得了一些好的研究成果【2 1 2 6 】 考虑高阶非线性中立型偏微分方程 杀似础) + 私咖( x , t - - r t ) ) + 筹础) + 弘咖( x , t - r t ) ) + p ( z ，t ) 珏( z ，t ) + 器lp j ( x ，t ) 厶( t ( z ，t 一乃 ) ) ) = a ( t ) a u ( z ，t ) + 翟la k ( t ) a u ( x ，t 一风( t ) ) a 群， ( 3 1 1 ) 其中( z ，t ) q ( o ，+ o o ) 兰g ，扎2 是偶数，qcr m 是有界区域，a q 逐 片光滑，且缸( z , t ) = 三m _ 0 2 u 蕊( x 厂, t ) 考虑边值条件： ( b 1 ) 掣r ( x , t ) 心- 0 ，( 叫) 凇( 0 ，+ 毗 ( n 2 ) u ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q ( 0 ，+ o o ) i 其中是锄的单位外法向量，( z ，t ) c ( 锄( 0 ，+ o o ) ，r + ) 本章讨论方程( 3 1 1 ) 的振动性，获得了方程( 3 1 1 ) 在两类边值条件下 的所有解振动的充分条件 下面我们总假定下列条件成立： ( d 1 ) 九( ) c n ( 皿，风) “= 1 ，2 ，m ) ，且墨l 九( ) 1 ，口 ) ，纵o ) c ( r + ，冗+ ) ，k = 1 ，2 ，m 2 ； ( d 2 ) p ( z ，t ) ，p a x ，t ) c ( 召，r + ) ，且p ( t ) = m i 如n p ( z ，t ) ) ，p a t ) = m i m 鲫 胁( 。，亡) ，j = 1 ，2 ，m l ； ( d 3 ) 气( t ) ，乃( t ) ，瓜( t ) c ( 风，r ) ，瓦( ) t ，乃( t ) ，m ( t ) ，气( 亡) ，乃( t ) ，p k c t ) 是 不减的，且l i r a “乃( t ) = l i m t - - - o op 七( t ) = + c o ，江l ，2 ，m ；j = l ，2 ，m l ；k = l ，2 ，m 2 ； ( d 4 ) 力( 缸) c ( r ，冗) ，办( 钍) 在( o ，+ o o ) 上是不减的凸函数，当t 0 时， z f c - u ) 一一力( 牡) ，歹= l ，2 ，m 1 第二节第一类边值条件下的振动性 定理3 2 1 设( d 1 ) - ( d 4 ) 成立，若存在j o l ，2 ，m l 使得对任意常数 c 0 有 ， m zp j o ( t ) f j o ( ( 1 一气# 一 ) ) ) g ) 蹴= + o o ， $ 2 。1 ) 则问题似l 。假，的所有解在g 内振动 证明：假设问题( 3 1 ，1 ) ( b ，) 有一个非振动解“( z ，毒) ，不失一般性，设t z ( z ，) o ，t t o ，t o 为某一正常数由( d 3 ) 知，存在l t 。，使褥v ( x ，考) q p l ，+ o o ) ，有缸( z ，芒) o ，戗( z ，t 一瓦( t ) ) o ，t f ( g ，t 一乃o ) ) o ，让( 。，t m ) ) o ，i ： 杀( 知渤如+ 薹冲) 互咄心删 + 私心棚蚺争挑 强2 埘 争五爹( 霉，丢) 狂( z , t ) d z + 二秘( 善，丢) 秀瓤 吩( 妨) ) 玉 。 j = l ( z , t - 尝口( 亡) 厶t ( ，) d x + 三鲰( t ) 二t l ( x , t - & ( ) ) 妇，t 蠡l 由g r e e n 公式及边值条件( b i ) 有 五托( 茹，吩玉一厶丝蔷声好一一厶尹( 髫程( 霉搿据。， 轧 ( 3 2 3 五掣叫甥如一厶型等趔褡 ( 3 2 4 ) = 一以n ，( ，t 一班 ) ) t ( ，t m ) ) d ss o ，t t l ， 其中d s 是魂上的面积元素又由条件( d 2 ) ，d t ) 和j e n s e n 不等式有 厶p ( z ，t ) t ( 。，t ) 如p ( z ，t ) 厶缸( z ，t ) 妇， ( 3 2 5 ) 厶所( z ，t ) 乃似扛，t 一乃( t ) ) 如 鳓( 。) 厶z 卜a i ( t ) ) ) d x ( 3 2 6 ) 涮办( 挫篆d 丝) 扣她x f j 2 啡) ：鲤堂，t t l , 厶如 显然有y ( t ) 0 ，t t 1 由( 3 2 2 ) 一( 3 2 6 ) ，容易推出 杀( 附和附) ) ) + 筹( 哪和附) ) ) ( 3 2 7 ) z ( n ( t ) + 名似一1 ) + p ( t ) y ) + 乃 ) 乃( y ( t 一乃0 ) ) ) o ，t t 1 ( 3 2 9 ) ( e t z ( n 一1 ) ) - e t p ( t ) v ( t ) 一e t p i ) 力( y o 一乃 ) ) ) o ，t t 1 因此e t z ( n 一1 ) i t ) 在托- ，+ o o ) 上单调减少，从而推得z ( 饨一1 ) ( t ) 在陋t ，+ o 。) 上 事实上，若( 3 2 1 0 ) 不成立，则必存在t 2 t l ，使得 z ( n 一1 ( t 2 ) o ) ， 从而有 z ( n 一2 ) 一名( n 一1 ( 2 ) l ( t 一如) 令t _ 0 ，得到 l i m t 。z 一2 ) ) = 一o o ， 同理可得 l i m t - - , , 。o2 ( 的( 亡) = 一o 。，惫= 0 ，1 ，2 ，礼一2 ， 这与z ( t ) 0 矛盾，故( 3 2 1 0 ) 成立下面再证 l i r a t e ( t ) 0 ，t t 1 ( 3 2 1 1 ) 若( 3 2 1 1 ) 不成立，即e ( t ) t l ， 于是 ( e t z ( 托以0 ) ) + e o ( t ) y j o ( y 0 一( ) ) ) o ，t 丢l ， 由( 3 2 1 2 ) 又有 e t z ( n q ) ) 7 - t - e 锿鳓厶( z 一鳓) 一墨1 0 一 ) ) y ( 1 一a j o ( t ) 一九( t ) ) ) 0 ，t t l ， 由( 3 2 8 ) ，( 3 2 1 1 ) ，( 3 2 1 3 ) 可得 ( 3 2 。1 2 ) ( 3 2 1 3 ) f 弹 ( e z ( n 一1 0 ) ) e o c t ) i , o c ( 1 一气0 一) ) z # 一0 ) e ，t t l ， i = l ( 3 2 1 4 ) 对( 3 2 。1 4 ) 从t l 到t 求积分，并利雳( 3 2 ，1 1 ) 得。 t z ( n - 1 。协e 卅z ( n 1 ( t 1 ) ( 3 心) + 8 红鹾欺) 厶( ( 薹一鍪l 丸一) ) 毒够l 一l 冲o ，t t l 。 由于( e 。名( n 一1 ( 亡) ) s0 ，且z ( n l ( t ) o ，t 1 所以l i m t _ e t z ( n l ( t ) 忿o ，t t l 为有限数，教在( 3 2 1 5 ) 中令t _ 时得 _ t m 规z ，鳓( s ) 厶( 1 一薹墨一( s ) ) ) 孤o 。，考 丢t ， 其中- d z ( t l 一( 亡1 ) ) ，这与( 3 2 1 ) 矛盾，定理得证 由定理3 2 1 ，我们可以得到如下推论； 推论3 2 。1 若微分不等式终襞钐无最终正解，则问题留j 。移，温，的所有 解在g 内振动 推论3 2 2 若p ( t 0 ，且满足 o p ( t ) 蜃o ( 1 - 薹玉 ) ) 出= 慨 则问题p j 砂俺j 的所有解在g 内振动 第三节第二类边值条件下的振动性 为了讨论阍题绺1 。王卜2 ) 的振动性，我们在q 上考虑d i r i c h l e t 闻题 拶( 茹) 玟彩( 。) = 0 , xeq ， ( 3 3 1 ) 秽鬈) 一0 ，髫撇， 其中瘦是常数令钧是间题( 3 1 。1 ) 的最小特征值，则据文娑踟知，锄 0 ， 而且对应的特征函数( 髫) o ，z q 定理3 3 1 设俺夕一仇，成立若存在孙 l ，2 ，m 2 ，使得 z 。( 亡) ( 1 一善o 一隔( t ) ) ) 如= + ， ( 3 羔2 ) 或老随2 i 蔑盎。髓讽题3 。1 。i ) 一魄 的藏亳褥粒g 彀振动。 证明；假设问题( 3 1 1 ) 一( b 2 ) 有一个非振动解珏( $ ，亡) ，不失一般性，设瓤( 。，t ) o ，t t o ，t o 为某一正常数由( d 3 ) 知， 挑1 ，使得v ( 茹，t ) q 犯l ，+ o 。) ， 有程( 茁，季) o ，锻( ，t 一瓦( 亡) ) 0 ，u ( x ，季一乃0 ) ) 0 ，缸( z ，t p k ( t ) ) o ，i = 王，2 ，m ；j = 1 ，2 ，m l ；南= 1 ，2 ，锄 方程( 3 。1 1 ) 两边同时乘以( $ ) 并对髫在q 上积分，得 杀( 知他肼蓥掷) “x , t - - r i 础茹) 如) 1 - 雩( 9 n n - - 一1 f e a u ( x ，丢，爹c 髫，如+ 奏? c 亡，z 珏e g ，甚一鬈。，e 茹，如， 。3 3 3 ， + 厶p ( 茹，) 牡( 茹，分( z ) 如+ 三厶秘妻) 彦 - - ( x , t - - 吩( 考) ) ) ( 茹) 如 = 糕五钍( 茹，) ( 髫) d x + 三鲰( 棼五牡( x , t - - & t ) ) 多扛) 妇，喜 霉l 由格林公式及边值条件( b 。) 有 五狂( 嚣，亡) 多( z ) 出= 五瓤扛，t ) 庐和) d x = a of a 缸扫，幻妒o ) 妊 雩1 ， ( 3 。3 4 及 二链( x , t - - 触) ( 嚣) 出2 厶熊( x ，t - - 焱( 。) ) ) 如 ( 3 3 5 ) = 0 1 0 。叁戳缸，t 一暾0 ) ) 毋( $ ) 如，量 t 1 又由条件( d 2 ) ，( d 3 ) 和j e n s e n 不等式雨 z p ( 茹，砖程( 茹，差疡( 。) 豇爹( ) 五程( 髫，嘲如，雾 t ， 及 五秘0 ，砖磊链缸，季一露丢) ) ) 多z ) 霸b 2 乃( ) 厶乃( u ( 髫，t 一吩( ) ) ) 妒( z ) 幽 以( 豹f j ( o - ! , x , 厶- ( 功如) 二( z ) 如， 札 令 眦) 。五孥! 竺 t t 1 五多( 童) 如 显然w ( t p0 ，t t l ，于是由( 3 3 3 ) - ( 3 3 7 ) 得 杀孰愀删) ) + d 门t - v z t - l ( w ( 亡) + 蚤圳w ( t - r i ( ) ) ) 却( 亡) ( ) + 薹五彩( ) 矗( 彬。一嘞秘) ) + 锄岱) ) + 铂三觎( j ) 器一段( 丢) ) o , t 丢l ( 3 3 。6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 由( 3 3 8 ) 容易得出 券( 影( 雾) + 三圳形一删) + 而a 1 - a , ( ( t ) 十薹堋( t - r i ( 2 ) ) ) ( 3 - 3 9 ) m 2 。 + a o a ( t ) w ( t ) + a o 8 知( 莒) o 一风( t ) ) o ，圣 亡l ， k = l 或 券( ( 亡) 十三丸( t ) 彬( t - n ( 堋 专知( 矽卅三猁擘一露努 董) l r n l l ： + p ( t ) ( ) + 三五胁( t ) 力( w 一吩( ) ) o ， 舌l 若( 3 3 2 ) 成立，则由( 3 3 9 ) 利用定理3 2 1 类似的方法可得结论成立若 ( 3 3 1 ) 成立，则由( 3 3 1 0 ) 及定理3 2 。1 可知结论成立 推论3 3 1 若微分不等式似冀砂无最终正解，则问题p 1 j ，俺，的所有 解在g 内振动 推论3 3 2 若a o a ( t ) 十p ( 1 ) 0 ，且满足 z ( 酬酢) ) ( 1 一弘啪疵一悯 则问题 i 。j 夕隔夕的所有解在g 内振动。 第四节应用举例 例3 4 1 考虑方程 砸0 6 ( 链( 叫) 丢珏( 础一枷+ 嘉似鬈主出，一嘞 + ( 矿n 2 。b 2 霉) 牡( ，亡) + 鼍毒( 茹，芒一霄) e ( b ，。一r ) ) 2 ( 3 4 。1 ) = 2 a u ( x ，) + 丢牡( 。，t 一要) + a u ( x ，一，r ) ，t 0 ， 其中( 鬈，t ) ( o ，嚣) ( 0 ，。) 三g ，边值条件为； 百o u ( o , t ) = 掣_ o 苗 o t 阳o 4 2 ) 0 f 一= r 一= u ， u 二， 0 za 嚣 这里a t ( 亡) = 三，p ( ) = 骗 尹t c o s 2 z 一主1 = 主1 ，p t ( 亡) = l ， ( u ) = 彬2 ，n ( 亡) = 2 ，o l ( ) - - - 4 工，a 2 ( t ) = 1 不难验证它满足定理3 2 1 的条件，所以问题( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 的所有解在g 内振动事实上，u ( z ，t ) = s i n tc o st 即是这样的一个 解 例3 4 2 考虑方程 丽0 6 ( 让( z ，) q - e - _ r u ( z ，t 一丌) ) + 丽0 5 ( 让( z ，t ) + e - ，r u ( z , t - t r ) ) + ( e s i n 2t c 2 ) u ( z ，) + u ( x ，一7 r ) e ( ( 霉t t 一霄) ) 2 ( 3 4 3 ) = 互3 u 。，亡) + t ，一虿7 1 ) + e 哺t 上( z , t - l r ) j re - ，r u ( z ，t 一孚，t 。， 其中( z ，t ) ( o ，霄) ( 0 ，+ o o ) _ - - g ，边值条件为； ( 0 ，t ) = u ( 1 r ，t ) = 0 ，t 0 ( 3 4 4 ) 这里入l ( t ) = e 一，p ( t ) = 黜】 e 8 i n 2t c o b 2 x 一互1 = 互1 ，p l ( ) = l ， ( 钍) - - - - - l i e u 2 ，口( ) = 詈，d z ( 毒) = 1 ，8 2 ( ) = = 幻( ) = e 一不难验证它满足定理3 3 1 的条件，所以 问题( 3 4 3 ) 一( 3 4 4 ) 的所有解在g 内振动事实上，缸( z ，t ) = s i n tc o s t 即是 这样的一个解。 第四章偶数阶拟线性偏泛函微分系统的振动性 第一节引言 考虑拟线性偏泛函微分系统 珈功掣 = 啦 ) 乱i ( z ，t ) + ：l ( t ) 讹0 ，p k ( t ) ) ( 4 l - 1 ) 一凳ll , a t ，z ，吩( $ ，伊( t ) ) ) ，i k = 1 ，2 ，仇) ， 其中n22 是偶数， ( z ，t ) q r + 三g ，r + = 【0 ，+ o o ) ，qcr m 是具有逐片 光滑边界砌的有界区域，且t ( z ，t ) ：丝。竺鬟掣，i k 考虑两类边值条件： ( a 1 ) 掣+ 必一让矧) ：0 ，( 州) 勰r + , i ek ； ( a 2 ) u i ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) o f r + ，i k ； 其中是a q 的单位外法向量，鲰( z ，t ) d ( 勰r + ，r + ) ，i k 近年来，偏泛函微分系统的振动性问题为许多学者所研究，并且已有 一些好的研究成果【2 9 3 9 最近，文【4 0 1 研究了当佗= 2 时方程( 4 1 1 ) 带 边值条件( a ：) 的振动性问题，获得了一些振动性条件 在本章中，我们研究方程( 4 1 1 ) 分别带边值条件( 赴) 0 = 1 ，2 ) 的振动 性问题，获得了一些新的振动性条件，所得结果推广和包含了文【4 0 】的 结果 在本文的讨论中，我们总假定下列条件成立： ( c - ) r ( ) c 1 ( 风，( o ，+ o 。) ) ，舰z 高d s ，a t a 七( t ) ，依( t ) ，盯( t ) c ( r + ，皿) ，且 p k ( t ) st ，盯( t ) t ，l i r a , 。a k ( t ) = l i m t 。盯 ) = + o o ，i 厶。，k 厶； ( c 2 ) 岛c c r 否，r ) ，当坳o 时，掣助( z ，t ) ，t ，歹k ，其中 p j ( x ，t ) c ( 召，r ) ，p o ( z ，t ) 0 ，助( t ) = i n i n z 印 黝( z ，吡霸( t ) = s u p z e f l 帆( z ，伽， q ( t ) = m i n i 0 时， l 钺( 曩t ) l o ，i k 令文一s g n u i ( x ，) ，磊( 织t ) 一 文坛( z ，亡) ，贝l | 磊( z ，t ) 0 ，( z ，t ) qxt o ，十o o ) ，i k 由条件( c 1 ) 知，存在 t l t o ，使得磊( z ，t ) 0 ，z ：f ( z ，以( 舌) ) o ，磊( z ，拶( 害) ) 0 ，( 茹，t ) f t i t l ，手) ，i ，奄厶。 方程4 1 。1 ) 两边关于茹在q 上积分，并利用g r e e n 公式、边值条件 ( a t ) 及( c 2 ) 可得 利d ) d t - i nz 。( 掣，力如 2 啦( ) 厶a u i ( $ ，。) 如+ 蚤( ) 点( z ，p k ( ) ) 如 一差盈丘如( 亡，z ，吩( 嚣，盯( t ) ) ) 如 ( 4 2 2 ) 一薹老五咖狮州t ) ) 如 一欺( t ) 五五 ，仃( d ) 如+ j 磊；鳓( 亡) 二磊( 霉，仃( t ) ) 如，t t ，k + 上式按i = 1 ，2 ，m 垂直相