（基础数学专业论文）不连续非线性系统的稳定与镇定的若干问题.pdf

摘要 右端不连续的非线性系统近年来受到广泛关注与重视它来源于力学，在自动控制 和电子工程中许多问题的数学模型表现为不连续的微分方程，特别是含有对状态变量不 连续的项( 如摩擦力、粘性等) 基于滑模控制及切换控制得到的闭环系统也是右端不 连续的系统，源于最优控制策略得到的控制律也经常是不连续的，由此得到的闭环系统 亦是右端不连续的系统本论文在f i l i p p o v 解的意义下，基于l i p s c h i t z 连续且正则的 标量( 向量) l y a p u n o v 函数，讨论了右端不连续的非线性系统相对一个给定的点( 一般 考察平衡点) 或相对于闭不变集的稳定性问题 论文首先综合运用非光滑分析工具，定义合适的“集值导数。，研究了时变不连续 系统的稳定性问题在f i l i p p o v 解的意义下，对于时变不连续系统的一致全局渐近稳定 性进行讨论，给出m a t r o s o v 稳定性定理最后将结果应用到一类带有摩擦项的力学系 统的跟踪问题中 其次在f i l i p p o v 解的意义下研究时变了不连续系统以及相应的扰动系统的一致最 终有界性首次给出不连续系统全局强一致最终有界，全局弱一致最终有界的定义，以 及针对于扰动系统的全局强等度一致最终有界性的定义，并基于非光滑的l y a p u n o v 函 数得到了不连续系统全局一致强、弱最终有界的l y a p u n o v 定理和扰动系统全局强等度 一致最终有界性的l y a p u n o v 定理 论文基于向量l y a p u n o v 函数，首次在f i l i p p o v 解的意义下，给出了关于不连续 自治系统的比较原理，并基于比较原理，实质性推广了不连续自治系统的相关稳定性结 果进一步地，基于f i l i p p o v 解和向量l y a p u n o v 函数，得到类似的l a s a l l e 不变原理， 并基于两个比较系统讨论了右端不连续系统的稳定性，给出了相应的稳定性定理 对于f i l i p p o v 意义下右端不连续系统关于闭不变集的稳定性问题，首先给出自治不 连续系统关于闭不变集的m a t r o s o v 定理，然后基于l i p s c h i t z 连续且正则的l y a p u n o v 函数得到自治不连续系统关于闭不变集的l y a p u n o v 稳定性定理对于右端不连续系统 关于闭不变集的有限时间稳定性问题，得到了相应的l y a p u n o v 定理 论文最后主要讨论脉冲系统，奇异脉冲系统、线性不确定脉冲系统不确定脉冲系 统指定衰减度以及非线性脉冲系统的奇异 k 控制问题当系统不满足正则条件的情 况下，通过分离正则部分与非正则部分，给出相应系统奇异风。控制问题可解的充分条 件，使得闭环系统在保证内稳定的条件下达到干扰衰减 关键词：f i l i p p o v 解，稳定性，l y a p u n o v 函数，不连续系统，脉冲系统 a b s t r a c t n o n l i n e 盯s y s t e m sw i t hd i s c o n t i n u o u sf g h t h a n ds i d e sh a v eb e e np a i da t t e n t i o ni n r e c e n ty e a r s t h e ya r i s ef r o mm e c h a n i e s ，al o to fm a t h e m a t i c a lm o d e l si na u t o m a t i c c o n t r o la n de l e c t r o n i ce n g i n e e r i n ga r ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i s c o n t i n u o u sr i g h t - h a n ds i d e s i np a r t i c u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ei t e m sw h i c ha r ed i s c o n t i n u o u sw i t h r e s p e c tt ot h es t a t ev a r i a b l e ( s u c ha sf r i c t i o n ，v i s c o s i t y , a n d8 0o n ) v a r i a b l es t r u c t u r e c o n t r o ls y s t e m sa n ds w i t c h e ds y s t e m sa r ea l s os y s t e m sw i t hd i s c o n t i n u o u sf i g h t - h a n d s i d e s t h ec o n t r o ll a w sd e r i v e df r o mo p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g ya r ea l w a y sd i s c o n t i n u o u s ， h e n c et h ec l o s e d - l o o ps y s t e m sa r ed i s c o n t i n u o u s ，t o o i nt h ef r a m e w o r ko ff i l i p p o v s o l u t i o n sa n do nt h eb a s i so f l i p s c h i t zc o n t i n u o u sa n dr e g u l a rs c a l a r ( o rv e c t o r ) l y a p u n o v f u n c t i o n s ，t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h es t a b i l i t yp r o b l e m so fn o n l i n e a rs y s t e m sw i t h d i s c o n t i n u o u sr i g h t - l m n ds i d e sw i t hr e s p e c tt oag i v e np o m t ( e q u i l i b r i u mp o i n tg e n e r a l l y ) o rac l o s e di n v a r i a n ts e t ，a n dh a v es o m er e l a t e dr e s u l t s 1 m em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dp r e s e n tr e s u l t s m e a n w h i l e f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c a lc o n c e p t sa r eg i v e na n dm a i nr e s u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r e s h o w n i nc h a p t e r2 ，w ed e f i n ea p p r o p r i a t es e t - v a l u e dd e r i v a t i v ef o rd i s c o n t i n u o u ss y s - t e r n s w h a t 8m o r e t h es t a b i l i t yp r o b l e mo fn o n a u t o n o m o u sd i s c o n t i n u o u ss y s t e m si s d i s c u s s e d i nt h es e n s eo ff i f i p p o vs o l u t i o n s ，g l o b a l l yu n i f o r m l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y o fn o n a n t o n o m o u sd i s c o n t i n u o u ss y s t e m si sc o n s i d e r e d m a t r o s o vs t a b i l i t yt h e o r o r e m s a r eg i v e n a tl a s tt h er e s u l t sh a v eb e e na p p l i e dt ot h et r a c k i n gp r o b l e mo fac l a s so f m e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hd i s c o n t i n u o u sf r i c t i o nt e r m c h a p t e r3m a i n l yd e a l sw i t hu n i f o r m l yu l t i m a t eb o u n d e d n e s so fac l a s so fn o n a u - t o n o m o u ss y s t e m sw i t hd i s c o n t i n u o u sr i g h t - h a n ds i d e sa n dc o r r e s p o n d i n gp e r t u r b e ds y s - t e m s ( i nt h es e n s eo ff i l i p p o vs o l u t i o n s ) t h ed e f i n i t i o n so fg l o b a l l yu n i f o r m l ys t r o n g l y u l t i m a t eb o u n d e d n e s sa n dg l o b a l l yu n i f o r m l yw e a k l yu l t i m a t eb o u n d e d n e s so fd i s c o n t i n n o u ss y s t e m sa n dt h ed e f i n i t i o no fg l o b a l l ye q n i a n i f o r m l ys t r o n g l yu l t i m a t eb o u n d e d n e 镕 o fc o r r e s p o n d i n gp e r t u r b e ds y s t e m sa r ep r e s e n t e df i r s t l y m o r e o v e rl y a p u n o vt h e o r e m s f o rg l o b a l l yu n i f o r m l y ( e q u i u n i f o r m l y ) s t r o n g l yu l t i m a t eb o u n d e d n e a so fd i s c o n t i n u o u s s y s t e m s ( c o r r e s p o n d i n gp e r t u r b e ds y s t e m s ) a r es h o w nr e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r4 ，i ti sm a i n l yd j s c u s s e dt h es t a b i l i t yp r o b l e mo fac l a s so fn o n l i n e a ra u - t o n o m o u ss y s t e m sw i t hd i s c o n t i n u o u sr i g h t - h a n ds i d e ( i nt h es e n s eo ff i l i p p o vs o l u t i o n s ) b a s e do nl i p s c h i t zc o n t i n u o u sa n dr e g l l l a rv e c t o rl y a p a n o vf u n c t i o n s t h eg e n e r a l - i z e dc o m p a r i s o np r i n c i p l e sa r es h o w no nt h ed i s c o n t i n u o u sa u t o n o m o u ss y s t e m sw h i c h e x t e n d st h es t a b i l i t yr e s u l t so fd i s c o n t i n u o u sa u t o n o m o u ss y s t e m se 目e n t i a l l y f a r t h e r - m o r e ，l a s a l l ei n v a r i a n tp r i c i p l ei sp r o v i d e db a s e do nl i p s c h i t zc o n t i n u o u sa n dr e g u l a r v e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n si nt h es e n s eo ff i l i p p o vs o l u t i o n s f i n a l l y , b a s e do nt w o c o m p a r i s o ns y s t e m s ，s t a b i l i t yt h e o r i e so i lt h ed i s c o n t i n u o u ss y s t e m sa r ee s t a b l i s h e d i nc h a p t e r5 ，i ti sm a i n l yd i s c u s s e ds o m es t a b i l i t yp r o b l e m sw i t hr e s p e c tt oac l o s e d i n v a r i a n ts e to fac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m sw i t hd i s c o n t i n u o u sr i g h t - h a n ds i d e ( i nt h e i n s eo ff i l i p p o vs o l u t i o n ) w h e ns c a l a rl y a p u n o vf u n c t i o ni sl i p s c h i t zc o n t i n u o u sa n d r e g u l a r ，m a t r o s o vt h e o r e m sw i t hr e s p e c tt oac l o s e di n v a r i a n ts e to fac l a s so fn o n l i n e a r d i s c o n t i n u o u ss y s t e m sa r ep r o p o s e df i r s t l ya n df i n a l l y , t h ep r o b l e mo ff i n i t e - t i m es t a b i l i t y w i t hr e s p e c tt oac l o s e di n v a r i a n ts e ti sc o n s i d e r e d i nc h a p t e r6 ，t h es i n g u l a r 日c o n t r o lp r o b l e m sf o rac l a s so fl i n e a ri m p u l s i v e s y s t e m s ，s i n g u l a rl i n e a ri m p u l s i v es y s t e m s ，l i n e a ru n c e r t a i n ，l i n e a ru n c e r t a i ni m p u l s i v e s y s t e m sf o rg i v e nd e c a yf a c t o ra n dn o n l i n e a ri m p u l s i v es y s t e m sa r ec o n s i d e r e dr e s p e c - t i v e l y w h e nt h es y s t e m sd o n ts a t i s f yt h er e g u l a rc o n d i t i o n ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s o l v a b l i t i t yo f s i n g u l a rh c o n t r o lp r o b l e mf o rv a r i o u si m p u l s i v es y s t e m sa r ee s t a b l i s h e d t h ec o n t r o ll a wg u a r a n t e e st h ed o s e d l o o ps y s t e m sd i s t u r b a n c ea t t e n a t i o nw i t hi n t e r n a l s t a b i l i t y k e yw o r d s ：f i l i p p o vs o l u t i o n s ，s t a b i l i t y , l y a p t m o vf u n c t i o n s ，d i s c o n t i n u o u s s y s t e m s ，i m p u l s i v es y s t e m s 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃，抄袭等违反学术 道德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重 声明 学位论文作者( 签名) ： 7 年辟月f o l a 第一章概论 奉章主要综述了右端不连续系统的发展背景与研究状况，介绍了右端不连续系统的 基本理论及实例并简要介绍了本文的主要工作和结构 1 1 右端不连续系统的研究背景及现状 对不连续系统( 即非光滑系统) 的研究广泛应用于各类具有很强背景的实际问题， 如对一些不规则的白噪声的控制，等等。力学、自动控制和电子工程的许多闯题的数学 模型均表现为右端不连续的微分方程，特别是含有对状态变量不连续的项( 如粘性，摩 擦力等) 1 1 1 不连续系统出现在许多控制系统中，如切换系统，变结构控制系统，滑模控 制系统，考虑有摩擦力的力学控制系统等源于最优控制策略得到的控制律经常是不连 续的，由此得到的闭环系统也是右端不连续的系统 对于右端相对状态变量不连续的微分方程，此时经典的c a r a t h e o d o r y 解已不适用 因此就需要寻求新的适用于不连续微分方程的解本文主要研究f i l i p p o v 解的意义下 的不连续非线性系统 1 9 6 4 年f i l i p p o v 2 1 研究了右端不连续系统解的定义，从几何直 观、物理意义及与经典微分方程解的定义的协调性出发，定义了被普遍接受的f i l i p p o v 解的概念，他把右端不连续的微分方程的解定义为一个满足微分集值映射的绝对连续函 数，并研究了f i l i p p o v 解的性质f i l i p p o v 第一个基于微分包含【如】研究不连续微分方 程的解一般来讲，并不是所有的f i l i p p o v 解都是c a r a t h e o d o r y 解【3 1 yo r l o v 分别 在2 0 0 3 年1 4 1 和2 0 0 5 年( 5 分别研究了在f i l i p p o v 解的意义下，右端不连续的时变非线 性系统的稳定与镇定问题，但是y o r l o v 的结果均用了一个隐含的假定，即系统所有的 f i l i p p o v 解都是c a r a t h e o d o r y 解，这限制了其结果适用的范围 在f i l i p p o v 解的意义下，1 9 9 4 年d a n i e ls h e v i t za n db r a dp a d e n1 6 1 给出了非光滑 系统的l y a p u n o v 稳定性结果，并对自治不连续系统推广了l a s a l l e 不变原理1 9 9 7 年 e p r y a n 用讨论微分集值映射所定义的系统的b y r n e s - m a r t i n 型积分不变原理 1 9 9 9 年b a c c i o t t i ca a n dc e r a g i o l if 嘲通过定义一类新的。集值导数”，在更一般的微分包 含框架下进一步研究了右端不连续系统在f i l i p p o v 解意义下的稳定性与镇定问题，实质 性地推广了文献1 6 】一| 7 】的相关结果1 9 9 8 年，f h c l a r k e ，y u s l e d y a e va n dr ，j ，s t e r n 在强稳定的意义下，得到了满足上半连续的非空紧凸微分集值映射的l y a p u n o v 强稳定 性与光滑l y a p u n o v 函数存在的等价性【9 1 2 0 0 4 年d p o p o v i ca n da r t e e l 讨论非光 滑系统的最优问题，发展了基于非光滑的l i p s c h i t z 连续函数的l y a p u n o v 定理，并针 对于最优问题给出新的算法【1 3 j 不连续系统的重要来源之一是很多即使是光滑的非线性控制系统，也不存在连续的 反馈控制律使闭环系统稳定，比如不满足b r o c k e t t 条件的非完整系统无漂移项的仿射 非线性系统等，这类微分方程右端还有控制律，其不连续性体现在这类系统没有连续的 控制律使得闭环系统镇定， 【1 2 j 给出系统渐近能控但是却不存在连续的状态反馈控制 律2 0 0 1 年a l o r i a ，ep a n t e l e ya n dh n i j m e i j e r 研究了不确定仿射非线性系统基于无 源化技巧的不连续反馈控制律的问题，构造了使得时变系统全局一致收敛的不连续的控 制律 1 4 1 2 0 0 2 年a ，b a c c i o t t ia n df c e r a g i o l i l l q 在f i l i p p o v 解的意义下讨论l 2 增益问 题，从粘性解以及h a m i l t o n - j a c o b i 方程出发得到充分条件2 0 0 4 年i g p o l u s h i na n d h j m m - q u e z ”l 证明对于一般的非线性耗散系统，在满足弱能控条件的意义下，构造了 一个连续储能函数，此在理论上用于基于储能函数的l 2 增益或非线性系统的如控制 问题反馈设计问题时，非光滑分析技巧的应用必然一般性的得到一个不连续的反馈控制 律。2 0 0 5 年m r j a m e sa n di r 。p e t e r s e n l l ”基于储能函数的连续性假定，研究了非线 性系统风。控制反馈设计中起重要作用的有界实引理，得到了非光滑的有界实引理 由于f i l i p p o v 解是一个满足微分集值映射的绝对连续函数，从而有些文献直接从微 分包含出发，讨论相关的性质一以及稳定性。 1 9 9 9 年f h c l a r k e ，y u s l e d y a e v a n dr j s t e r n l 2 9 ) 得到了微分集值映射的l y a p u n o v 函数对( l y a p u n o vp a i r ) 的存在性蕴 含微分集值映射的渐近能控性 对于右端不连续的微分方程，由于l y a p u n o v 函数一般不具有光滑性，从而发展非 光滑分析研究极为重要一般的导数等定义不适用，从而近年来有多种广义导数和广义 梯度的概念1 9 9 8 年，fh c l a r k e ，y u s l e d y a e v ，r j s t e r na n dp r w o l e n s k i 1 q 详细 介绍了d i n i 导数次导数、c l a r k e 广义梯度等导数及梯度的概念，并且证明了他们之 间的关系我们主要用c l a r k e 广义梯度f 它主要用来定义l i p s c h i t z 连续的函数关 于微分包含的集值导数事实上，c l a r k e 广义梯度在解决当l y a p u n o v 函数是l i p s c h i t z 连续的时候尤为重要 众所周知，在系统理论和工程中，稳定性理论起着重要作用自然地，在研究中会 出现各种不同的稳定性问题本论文主要讨论平衡点或系统相对于闭不变集的有界性以 及稳定性对于连续的动力系统，针对其各种稳定性的研究也有大量文献其中包括稳 定、渐近稳定以及有限时间稳定等本论文中基于l i p s c h i t z 连续且正则的l y a p u n o v 函 2 数，沿着绝对连续的状态轨线建立非光滑的l y a p l l n 0 、r 稳定性理论 不失一般性，i n i 表示标量的绝对值，忙0 为向量。的e u c f i d e a n 范数( 即 i = ( z 7 z ) i 1 ) r 表示实数的集合，r o 表示非负实数的集合( 即r o = 【0 1 + o o ) ) ， r - 表示n 维空间8 ( r ) ( r 0 ) 记为以原点为中心，r 为半径的开球邻域，即b ( r ) = z r n ：i i x l i r 謦r ( z ) ( r 0 ) 记为以z 为中心，r 为半径的开球邻域，即 辟( z ) ； ”r ，：0 1 ，一z 0 r ) 咒0 ，6 ) ：= z r “：o 0 茁0 6 若茹r ，则一 表示其转置 1 2 预备知识 考虑非自治向量微分方程 壬( ) = ，( 士，) ，z ( 如) = x 0 ( 1 1 ) 其中z 口l p ( 口为包含原点的开邻域) 是状态向量，t r 为时问变量，对固 定的t ，f ( x ，t ) = 【，l ( z ，t ) ，厶( 。，) 】) 7 是分片连续函数，对固定的z ，( z ，t ) 是t 的 可测函数 定义1 2 1 f 5 q 实值函数。( ) 在区间j 上称为绝对连续的，若对于v 0 ，存 在6 0 ，使得，上任意有限个互不相交的开区间( t l i ，t 2 i ) ( i = 1 ，n ) ，只要满足 恢一t l i i 0 ，习6 0 ， 使得比口，满足忙一z l l 0 ，x 2 = 0 z 1 = 0 ，x 2 0 z 1 0 ，存在6 = 6 ( ，t o ) ，使得当x ( t o ) = x 0 堍( o ) 时，使得系统( 1 1 ) 以x 0 为初值的所有f i l i p p o v 解x ( t ) 满足 i i z ( 0 1 l 0 ，盯 0 ，存在t 0 ， 使得系统( 1 1 ) 以x 0 为初值的所有f i l i p p o v 解z ( t ) 满足 0 跏0 r 辛j i z ( 0 1 i 口，y t t o + t 1 3 本文的结构及主要工作 本文盼主要工作由以下五部分组成， 右端不连续非自治系统的m a t r o s o v 定理 右端不连续非自治系统的一致最终有界性 基于向量l y a p u n o v 函数的右端不连续系统的稳定性问题 右端不连续系统关于闭不变集的稳定性问题 脉冲系统的奇异玩。控制问题 下面我们简要介绍上述五部分的主要概念及结果 1 ，右端不连续非自治系统的m a t r o v 定理 对于不连续系统( 1 1 ) ，在f i l i p p o v 解的意义下，综合运用非光滑分析工具，类似于 对时不变系统稳定性研究发展的。集值导数”的概念，定义合适的。集值导数。，并借鉴 时变连续系统稳定性理论发展起来的方法，研究时变不连续系统的稳定性问题 m a t r 0 8 0 v 定理是研究时变非线性系统稳定性的重要方法m a t r o s o v 定理的主要 思想是首先用一个适当的l y a p u n o v 函数来保证系统的一致稳定性，然后用另个具有 适当性质的函数来作为辅助函数粗略的说，辅助函数的性质可以保证轨线不会一直停 留在第个l y a p u n o v 函数的导数为零的集合里，而是可以收敛到辅助函数的一个不变 集因此， m a t r o s o v 定理在某种程度上可以被视为时变系统( 非自治系统) 的不变原 理它的实用性很强，还可以用在时变系统的自适应控制和输出反馈控制中【4 1 】随着 科学的发展，m a t r o s o v 定理中用一族l y a p u n o v 函数来i - t i t ，并且对这一族l y a p u n o v 函数的条件也在减弱【柚】一【垃】。 7 本文主要基于两个符合一定条件l i p s c h i t z 连续的正则的l y a p m m v 函数以及一族 符合条件的l i p s c h i t z 连续的正则的l y a p u n o v 函数，对于时变不连续系统的一致全局 渐近稳定性进行讨论，分别给出m a g r o s o v 稳定性定理t 定理1 3 1 设0 k 【， ( o ，) ，在下列条件下系统( i i ) 的原点是全局一致渐近稳定 的。 a 1 系统( 1 1 ) 的原点是全局一致稳定的 a 2 对v a 0 ( i ) 存在常数p 0 ( i i ) 存在正则l i p s c h i t z 连续的函数k ，：r “r r ( i i i ) 存在连续函数妒( z ，t ) ：i p r r “ ( i v ) 存在连续函数，k ：i px r 8 一r 使得对于所有的( z ，) u ( a ) r ，有 m x i u ( 。，t ) l ，1 1 呸( z ，t ) l ，0 妒( z ，t ) l l p( 1 ，1 2 ) j二 v 1 ( x ，) m ( z ，( z ，) ) ，v 2 ( x ，t ) 曼k ( z ，妒( z ，) )( 1 1 3 ) a 3v ( v ，z ) 8 ( ) 嚣( p ) ，k ( f ，z ) s0 ，且对于点( y ，z ) ，若m ( p ，z ) = 0 ，则 y 2 ( ，z ) 0 a 4 v ( v ，z ) 日( ) 日( p ) ，若m ( ”，2 ) = 0 和k ( ，z ) = 0 同时成立，则成立y = 0 推论1 3 1 设0 k ( ，】( o ，) ，在下列假设条件下系统( 1 1 ) 的原点是全局一致渐近稳 定的 a l 系统( 1 1 ) 的原点是全局一致稳定的。 a 2 存在l i p s c h i t z 连续的径向无界的正定函数h ( z ) ( 1 1 ) 以铷为初值的所有f i l i p p o v 解x ( t ) ，满足 之 v l ( x ) 一m ( o ) ， a et a 3 ( i ) 存在常数6 0 以及q 0 b ，一r 2 0 ，使得关于系统 ( 1 ，1 4 ) ( i i ) 存在半正定的连续函数蚝( z ) 使得函数m ( z ) - i - 蚝( z ) 是正定的 ( i i i ) 存在正则l i p s c h i t z 连续的函数( z ) ： p r 0 ，使得关于任意从砰= 矗 i p ：m ( 。) 叮出发的系统( 1 1 ) 的解z ( ) ，满足 二 v 2 ( x ) s 一蚝( z ) + n h ( z ) ， n et ( 1 1 5 ) 8 ( i v ) 存在常数p 0 ，使得对于几乎所有的z b c z x ) ，有 m a x i h 0 ) i ，i ( z ) f ) 户( 1 1 6 ) 基于一族非光滑的l y a p u n o v 函数，给出系统( 1 1 ) 全局一致渐近稳定的充分条件， 定理1 3 2 设0 k 【，1 ( o ，t ) ，在下列假设条件下系统( 1 1 ) 的原点是全局一致渐近稳 定的 a l 系统( 1 1 ) 的原点是全局一致稳定的 a 2 存在正整数j ，m 0 ，且对于v 0 ， ( i ) 存在常数p 0 ( i i ) 存在正则的l i p s c h i t z 连续的函数k ：r n r rf = 1 ，j ( i i i ) 存在连续函数西( z ，t ) ：r ，r r ， ( i v ) 存在连续函数m ：r n r m r ，t = 1 ，j 使得对于几乎所有的( x ，t ) b ( ) r 和对所有的i = 1 ，j ，成立 m a x i m ( z ，t ) t ，0 ( z ，t ) 1 1 ) p( 1 1 7 ) o v d x ，t ) m ( z ，庐c x ，) )( 1 1 8 ) a 3 对于v ( y ，z ) b ( z x ) 8 ( 力， ( i ) m ( 玑z ) 0 ， ( i i ) 若m ( g ，z ) = 0 ，则( ，z ) 0 ( i i i ) 若h ( ，z ) = 0 和k ( f ，z ) = 0 同时成立，则b ( ，z ) s0 ( i v ) 若m ( 玑z ) = = 巧一1 ( 玑。) = 0 成立，则巧( 玑z ) s 0 a 4 对于v ( 玑z ) 艿( ) 8 ( p ) ，若同时成立m ( p ，z ) = 0 ，巧( ，z ) ：0 ，则有 y = 0 2 右端不连续非自治系统的一致最终有界性 在f i l i p p o v 解的意义下研究时变不连续系统以及相应的扰动系统的一致最终有界 性首次给出不连续系统全局强一致最终有界、全局弱一致最终有界的定义，以及针对 于扰动系统的全局强等度一致最终有界性的定义，并基于非光滑的l y a p u n o v 函数得到 了不连续系统全局一致强、弱最终有界的l y a p u n o v 定理和扰动系统全局强等度一致最 终有界性的l y a p u n o v 定理 2 1 右端不连续的非自治系统的全局一致最终有界性l y a p u n o v 定理 9 这一部分在f i l i p p o v 解的意义下，对于不连续系统( 1 1 ) ，首先给出其全局强弱一 致最终有界的定义； 定义1 3 1 设0 k ，】( o ，) ，系统( 1 1 ) 在原点称为全局强一致最终有界的，若存在 r 0 ，v a 0 ，玎= t ( r ，矿) 0 ( 与t o 无关) ，使得v x ( t o ) = x o d ，当i i x o l i 口时， 系统( 1 1 ) 的任意以x o 为初值的f i l i p p o v 解z ( ) 都满足 l i x ( t ) l i r ，v t t o + t ( r ，口)( 1 1 9 ) 定义1 3 2 设0 k 州o ，) ，系统( 1 ，1 ) 在原点称为全局弱一致最终有界的，若存在 r 0 ，v a 0 ，3 t = 丁( r 口) 0 ( 与o 无关) ，使得v x ( t o ) = x 0 口，当i l 。0 0 盯时， 系统( 1 1 ) 至少存在一个以x 0 为初值的f i l i p p o v 解z ( t ) ，满足( 1 1 9 ) 式 下面给出不连续系统( 1 1 ) 全局强一致最终有界的l y a p u n o v 定理t 定理1 3 3 设0 k 【，】( o ，t ) 设v ：d r r 是全局l i p s c h i t z 连续的正则函 数，满足 ( i ) 存在o o 函数o - ，0 2 ，使得 o l ( z ) y ( z ，) q 2 ( 1 l x l l )( 1 2 0 ) 存在r 0 ， 0 ，使得v z ( t o ) = 黝d ，当i i x o l i 口时，y 沿着系统( 1 1 ) 的 任意以x 0 为初值的f i l i p p o v 解x ( t ) 都满足 ( i i ) 3 0 0 ，使得v x ( t o ) = x o 口，当i i = o l i 口时，系统( 1 1 ) 至少存在一 个以z o 为初值的f i l i p p o v 解z ( ) ，满足 1 0 ( i i ) 3 0 0 ，3 7 = t ( r ，口) 0 ( 与t o 和妒无关) ，使得