（基础数学专业论文）几类未知源识别问题的正则化方法与算法.pdf

兰州大学2007 届硕士学位论文 摘要 本文主要考虑了由给定的附加条件识别一维抛物方程和椭圆方程的未知热源 项反问题这类问题都是不适定的，即问题的解( 如果存在的话) 不连续依赖于数据 铡量数据的微小扰动即可引起解的爆破，使得数值计算非常困难本文在一定光滑 性先验假设下，乖j 用f o u r i e r 正则化方法，简化的t i k h o n o v 正则化方法，拟可逆正 则化方法，截断正则化方法得到了问题的正则近似解，并且分别给出了正则解和精 确解之间的h 6 1 d e r 型误差估计数值试验证明我们的理论对于未知源识别问题是 很有效的 美键词：热源，不适定闯题，正则化，误差估计 兰州大学2007 届硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ei n v e r s ep r o b l e mo fi d e n t i f i c a t i o no ft h eh e a t s o u r c ei no n e - d i m e n s i o n a lh e a te q u a t i o na n dt h ee l l i p t i ce q u a t i o nb ya s u p p l e m e n - t a r yc o n d i t i o n t h ep r o b l e mi si l l - p o e e d ，i e ，t h es o l u t i o ni fi te x i t sd o e sn o td e - p e n dc o n t i n u o u s l yo nt h ed a t a ，s m a l ld i s t u r bw i l la r i s et h eb l o w - u po ft h es o l u t i o n w h i c hl e a dt ot h eg r e a td i m e u l t i e so ft h em l m e r i c a lc a l c u l a t i o n u n d e rs o m ea - p r i o r is m o o t h n e s sa n da nap r i o rb o u n da s s u m p t i o n s ，w eg i v et h er e g u l a r i z a t i o n s o l u t i o n so ft h ei n v e r s ep r o b l e mb yt h ef o u r i e rt r u n c a t i o nr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，a s i m p l i f l e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，am o d i f i e dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，t r t m - c a t i o nr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d f o rt h e s er e g u l a r i z a t i o ns o l u t i o n s ，w eo b t a i nt h e h 6 1 d e rt y p ee r r o re s t i m a t eb e t w e e nt h er e g u l a r i z a t i o ns o l u t i o na n dt h ee x a c ts o l u - t i o nr e s p e c t i v e l y n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a to u rm e t h o 凼a x ee f f e c t i v ef o rt h e i d e n t i f i c a t i o no fh e a ts o u r c e k e yw o r d s ：h e a ts o u r c e ；i l l - p o s e dp r o b l e m ；r e g u l a r i z a t i o n ；e r r o re s t i m a t e 2 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进 行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：二盔刍牡日期：兰塑互卜 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成盼论文及相关的职务作品，知识产权归属 兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意 学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权兰，i 1 大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位 论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文 或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：导师签名：链日期： 靼 等 第一章引言 1 1 不适定问题和反问题 数学大师j h a d a m a r d 早在1 9 2 3 年就在【l 】中引入了不适定性的概念，他认 为一个正确的数学物理定解问题，它的解必须存在、唯一并在某种度量意义下稳定 如果上述三个条件中任何一条不满足，则称之为不适定问题下面给出问题适定性 严格的数学定义【2 】： 定义1 1 1 设a ：x y 是赋范空问x 到赋范空间y 的一个算子方程 却= ，( 1 1 ) 称为是适定的如果a 是一一对应的并且逆算子a 一1 ：y x 是连续的否则称 为是不适定的 而对子反问题财很难给出一个明确的定义美国斯坦福大学的数学教授z b k e l l e r1 9 7 6 年在1 3 j 中提出：一对问题称为是互逆的，如果一个问题的构成( 已知数 据) 需要另一个问题解的部分信息，把其中的一个称为正问题( d i r e c tp r o b l e m ) ；另 一个就称为反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 如果把正问题提为：由输入和过程来确定输 出或者由原因和模型来求结果时，贝1 j 反问题的任务是由已知的部分结果确定模型 或反求原因 反问题和不适定问题的联系主要表现在绝大部分反问题都是不适定的，这种不 适定性主要表现在两个方面：一方面由于客观条件的限制，反问题中的输入数据( 即 给定的解的部分已知信息) 往往是欠定的或者是过定的，这就会导致解的不唯一性 或者是解的不存在性另一方面反问题的解对输入数据往往不具有连续依赖性由 于输入数据中不可避免的测量误差，人们就必须提出由扰动数据求反问题在一定意 义下近似解的稳定的方法 反问题理论的起源可以追溯到1 9 世纪晚期，包括地震学中地震波的运动问题， 旋转流体的平衡问题，资源勘探，航天工程，大地物理，大气测量，海洋工程，遥感技 术，控制与识别，生物器官性态的分析，遗传工程，量子力学等实际问题而在这些 问题的研究中人们最为关心的是如何恢复解盼稳定性，而要恢复解的稳定性，必须 引入正则化理论 1 2 正则化方法及理论 假设x ，y 为无穷维h i l b e r t 空间，k ：x y 为线性紧算子，k e r ( k ) = o 1 兰州大学2007 届硕士学位论文 且r ( k ) 是非闭的考虑一般形式的算子方程： k x = 玑 ( 1 2 ) 由( 1 2 ) 可知，对于任意一个r ( 耳) ，总存在着唯一的解$ x 满足算子方程 同时设y r ( k ) 是给定的精确数据，由于实际问题中一般仅仅知道它的近似值协 满足一舶0 6 ，6 表示误差，那么这个问题是不适定的【1 】，那么如何由珊求z 的近似值x 6 7 一般说来，不能由对应的方程 k 瓤= 协( 1 3 ) 直接来求，原因之一是当蛳不属于k ( z ) 时，该方程无解；r i t , j l l p 使y 6 k ( 正) ，由 于k - 1 是无晃的，当6 0 时，不胞保证由式( 1 ，3 ) 得到的解黝一z 因此在给定 扰动数据舶的情况下，我们只能计算茁= k - 1 | ，的近似值为此，我们用一簇有界 ( 不一定是线性的) 算子冠。去逼近无界算予k ，其中o t 是正则化参数，控制近似 的精度这样我们就可用一簇适定的问题去逼近这个不适定问题，在【4 】中有如下定 义： 定义1 2 1m 设k ：x y 为有界线性算子，且k e r k = o ) ，o t ( o ，o 。) ， 对每个a ( 0 ，a o ) ，设凰：y x 是连续算子，若对所有的d ( k 一1 ) ，总存在 着一个参数选取规则a = 乜 驰) 使得 鞋品唧 i i 忍 w ) 蛳一k 一1 可0 ：i i 一舶0 6 ) = 0 成立，这里a ：尉x y _ 妒使得 舰s u p a ( d , y 6 ) ：舶y , i l y 一驺0 叮= 0 ， ( 1 4 ) ( i 5 ) 那么算子簇冠a 叫做k 一1 的正则化，对每一个! ，d ( k 一1 ) ，若( 1 4 ) ，( 1 5 ) 都成立， 偶对( 磁，a ) 叫做解方程k x = l ，的一个似敛j 正则化方法 目前的正则化方法有：磨光滑方法，迭代方法，小波方法，谱方法，t i k h o n o v 方法， 广义t i k h o n o v 方法，中心差分方法，f o u r i e r 截断方法，简化的t i k h o n o v 方法，拟 可逆方法，截断方法等本文主要用的是后面提到的四种正刚化方法 1 3 未知热源识别问题 在许多物理，化学及工程问题中，常要考虑有热源的物体的温度分布规律，且熟 源的发热量又与该物体温度有关因此要精确描述物体的温度分布规律，往往要知 2 兰州大学2007 届硕士学位论文 道源项信息此外地下水污染及环境保护方面也提出大量未知源识别与控制的反问 题因此源项的识别是一个非常有意义的研究课题 自2 0 世纪7 0 年代反问题形成规模研究以来，关于未知熟源识别一直是研究中 的热点之一一方面是基于反问题理论本身发展的需要，另一方面主要是由于方程 的右端项在不同的物理模型下具有重要的实际意义如在有关环境污染控制问题中 它表示污染源( 汇) 项( 1 0 1 ；在热传导问题中它表示热源；在化学反应及生化问题中 它可作为反应项：在控制问题中它又代表非线性的反馈定律一般而言完全确定形 式为，= f ( x ，如u ) 的源项是比较困难的已有工作大都在，为某种特殊情形下而 做的。本文考虑的是只含有一个变量的热源识别 1 4 本文主要工作 本文主要考虑两类数学物理方程热源项识别：一维热方程和二维p o t i o n 方程 第一考虑无界区域上源项为f ( x ) 的热源识别闯题 i 啦一= ，( 髫) ，乏 0 ，一 害 o o ， t ( 而0 ) = 0 ， 一o o $ ，( 1 6 ) 【赳0 ，1 ) = g c x ) ， 一o 。 0 ， 让( z ，0 ) = 0 ， 霉 0 ， u ( 0 ，t ) = 0 ， t 0 ，( 1 7 ) 缸( z ，t ) i 。一有界，t 0 ， u ( 1 ，t ) = g ( 0 ， t 0 i 篆溅扎；c x 裟, 0 ( o ，1 卜( o 1 l 。， 【“( ，1 ) = 夕( 霉) ， $ ( 0 ，1 ) 指出了文献【5 1 中的错误，并且利用截断正则化得到了一个正则解，给出了比【5 】 更好的误差估计，得到了精确解和正则解之闻收敛的误差估计然后利用简化的 3 兰州大学2007 届硕士学位论文 t i k h o n o v 正则化方法得到了另一个正则解，并且给出了正则化和精确解之间收敛 的误差估计第三考虑了无界区域上源项为一个变量的热源识别问题 和半带型区域 一t = ，扛) ，嚣r ，0 葛， + ， 让! z ，o ：2o ，。 霉r ， ( 1 9 ) 让( $ ，掣) l p 。有界， r ， 。 t 1 0 ，i ) = g ( z ) ， 2 r 一钍= ，( 七) ，0 。 丌，0 | ， + o 。， 钍( o ，y ) = 让( 丌，掣) = o ，。o z + 0 。，0 1 0 ) 钍( 窖，0 ) = o ，u p ，毫，) j ，有界，0 霉 丌， 0 ，i ) = 口( 嚣) ，0 0 表示误差水平故这种幂降性对于测量数据 卯( z ) 是不满足的因此如果利用( 2 4 ) 求解热源，( 。) ，测量数据误差中高频分量 小的扰动会使得解发生爆破所以用一般方法求解闯题( 1 6 ) 锝不到稳定的数值解， 只能借助于正则化方法求解在利用正则化方法求解之前，我们假设识别函数f c z ) 存在先验界，这对于求解不适定问题是非常必要的，即 0 ，( ) i i h , e ，p 0 ， 其中e 0 是常数，0 肿表示s o b o l e v 空间p ( r ) 中的范数，定义如下 i i i ( 圳舻：= ( i ，任) 1 2 ( 1 + f 2 ) ，必) ，一 先给出一个重要引理 引理2 1 1 如果f r ，则有如下不等式成立： c 2 南m a x ( 1 4 - e o ，a 其中即是一个很小的不依赖于的常数，a 是不依赖于f 的大于i 的常数 证明让 球) 一南， ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 因为f 健) 是偶函数，所以只考虑f20 的情形又 矗 凛南。1 ， ( 2 1 0 ) 则 | 1 e o 0 ，3 f ( e o ) 0 ，弓0 f f ( s o ) ， 有 故当0 f f ( 勖) 时 p二一tl邱1- e - f 一5 0 南f t 恂 6 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 兰州大学2007 届硕士学位论文 另外如果毒( e o ) 时 令 则 因此 所以 健) ：= = 姻= 禹 。 ( ) = = 未研：= q 曲 i f 万i a 只 f 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 1 2 简化的t i k h o n o v 正则化方法 由( 2 3 ) 可得 与箬讯) ：参 ) ( 2 1 7 ) 根据( 2 1 7 ) 可定义一个乘法算子a ( ) ，于是问题( 1 6 ) 可用如下的算子方程描述： a c x ) f c x ) = 9 ( $ ) ， ( 2 1 8 ) 并且成立如下等式： 毓) ；掣j 悠) (219)a(x)f 1 9 0 ) = 二 一，悠) ( 2 利用f o u r i e r 交换可以得到问题( 1 6 ) 的近似解由( 2 1 7 ) 知道，如果 i l f l l 22 上。i r ：专虿1 2 i 鸯( f ) 1 2 必 o o ( 2 2 0 ) 成立，则函数g ( x ) 一定属于算子a - 1 ( z ) 的定义域中那就意味着垂( ) 必须在高频 部分要衰减的很快但是因为g ( z ) 的带有误差的测量数据卯( z ) l 2 ( r ) 不可能衰 减的很快利用t i k h o n o v 正则化方法，我们可以得到f ( x ) 的近似解，这个近似解 就是如下泛函的极小元： 0 a ( ) ，一卯旷+ 口2 i l f l l 2 ，( 2 2 1 ) 其中，( ) l 2 ( r ) ，q 是将要选定的正则化参数下面引理给出对应于扰动数据卯 的f ( x ) 的一个t i k h o n o v 正则近似解 7 兰州大学2007 届硕士学位论文 引理2 1 2 ( 2 2 1 ) 存在唯一的极小元，并且由下式给出： 舯，= 去仁唁器 仁。， x - 中a 是正则化参数 证明，假设j 表示铲( r ) 空间中的恒等算子，a ( ) 表示a ( ) 的伴随算子由 【2 1 中的定理2 1 1 知，求( 2 2 1 ) 的极小化泛函转变为求如下方程的解： a + ( ) a ( ) 0 ) + 舻 ( z ) = a + ( ) 卯知) 即 厶( z ) = ( ) a ( ) + 0 2 司一1 a ( ) 仍( 霉) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 为了从( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 中得到矗 ) 显式表达式，我们需要应用l 2 ( r ) 空间的一些性 质由p a m e v m 等式知 ( 盈江，o ) = ( a ( ) 缸，t ，) = ( 仳，a + ( ) ) = ( 砬，j 【可葡) ， f h ( 2 1 9 ) 知 ( 字钔m ，罕 因此 硫：1 1 - - 广e - p 。， 即 ：罕1 - e - 2 ：罕 由( 2 1 9 ) ，( 2 2 7 ) 知 ( 删a ( ) 让) 一：萼布：i 簪阳 由( 2 2 3 ) 我们可得 ( ) a ( ) 后) 一+ a 2 8 ：鬲蕊， 在由( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 知， ( 1 军1 2 + ) 五；霉蠡 8 ( 2 ，2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) f 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 兰州大学2007 届硕士学位论文 因此 胁季1 _ e - 2 器 = 蒿筹 眨s 。， 最后利用f o u r i e r 逆变换可得( 2 。2 2 ) 1 有趣的是当比较( 2 4 ) 给出的精确解( x ) 和( 2 2 2 ) 式给出的t i k h o n o v 正则近 似解 ) 时，容易发现正则化过程实际上是用一个被适当过滤过的噪音数据卯( z ) 的f o u r i e r 变换替换了未知精确函数垂( f ) ( 2 2 2 ) 式中的滤子滤掉了彘( f ) 的高 频部分，达到了对量( 2 2 1 ) 极小化的目的根据这一构想，可以用衰减更快的滤子 1 ( 1 + 舻p ) 来代替i ( i + c r 2 l f 2 ( 1 一e - e ) 1 2 ) 从而引入问题( 1 6 ) 的解，( z ) 的 另一个正则近似解扛) 定义2 1 1 缸：去仁汐舞蟛 ( 2 锄 为问题( 1 6 ) 的简化的t 镜h o n o v 正则近似解 下面的引理是本节结论的基础 引理2 1 3 如果0 口 1 ，时，有如下不等式成立： 裟i ( 1 一志) ( 1 舒) - i s 一磷，以 翟i 矿孑甭2 证明令 g ( f ) ：= l ( 1 一r 干毛平) ( 1 + 护) 一；i ( 2 3 4 ) 的证明分为三种情况： 情形l ：如果如：= 去时 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) g 健) ( 1 + p ) 一墨i f i 呻s6 乍= 口暑( 2 3 z ) 情形2 ：如果1 蚓 如时 g 舻i 羔( 1 硝一羔口2 一 如果0 4 时 情形3 ：如果1 时 g 德) 0 2 嚣，= 舻( 2 4 0 ) g 代) 舻4 ( 1 + 铲) 一l 舻( 2 4 1 ) 由( 2 3 7 ) ，( 2 3 9 ) ，( 2 4 0 ) ，( 2 4 1 ) 可知 g ( f ) sm x 口；，0 2 ) ( 2 4 2 ) 现在来证( 2 3 5 ) ，先假设 b ( ) ：= ( i - e - e l ) ( l + a 一2 e 4 ) ，d 健) ：= 1 - _ e - p f 2力 象( 2 3 4 ) 证明一样分情形讨论： 。 情形1 ：如果蚓岛：= 石1 ，0 口 岛时 则 令 于是 眯) d ( 三) 吾 b 嬉) 孑2 d ( f ) 延2 球) 羔 圳一羔， 以泸篝崭 ( 2 4 4 ) ( 2 ，4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 让f 恁) = 0 解得 - = 。，已= 击 显然6 是函数二偿) 的唯一的最大值点于是 圳禹媸= 兰 ( 2 s o ) 1 0 兰州大学2007 届硕士学位论文 结合( 2 4 5 ) ，( 2 5 0 ) 以及0 q 0 ，- - 0 0 z o o ， “p ，0 ) = 0 ，一 $ o o ，( 2 5 4 ) 仳( z ，1 ) = = 卯( z ) ，一 $ o ，f r ， 缸( ，0 ) 一0 ， f r ，( 2 5 5 ) i 砬( f ，1 ) = 蠡( f ) ， f r 求解问题( 2 5 5 ) 得问题( 2 5 4 ) 在频域空间中的解为 钆舻而鹣 利用f o u i e r 逆变换得 帅) = 而1 仁萨两岱( 2 5 7 ) 从( 2 5 6 ) 中可以看出对很小的地当很小时2 ( 1 + f 2 矿) 趋近于妒而当 趋于无穷大时f 2 ( 1 + 护矿) 是有界的我们将证明矗，0 ) 可以作为，( z ) 的一个 正则近似解，并称之为拟可逆解 引理2 1 4 如禾0 肛 1 别雨以f 不寺式成立： 嚣i ( 1 _ 奇南) ( 1 + p ) 一5 i 一 矿，矿) s 汹u p il , ”, 。八1 * 一c ，j i 参 证明令 否恁) ：= ( 1 一r 干每霄) ( 1 + 铲) 一2 ， ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 a o ) 兰州大学2007 届硕士学位论文 ( 2 5 8 ) 的证明分为三种情形： 情形1 ：如果如：= 五1 时 百 ) 1 p 一 露1 = 矿 情形2 ：如果1 蚓 如时 = 品( 1 榉) _ i 等舻，鲥弘 如果0 2 时 否g ) s 矿醯呻= 矿 情形3 ：如果1 时 否嬉) r 箬每( 1 + p ) 一p 矿( 1 + 铲) 一| z 2 结合( 2 o i ) ，( 2 6 3 ) ，( 2 0 4 ) ，( 2 0 5 ) ，0 卢 1 ( 2 5 8 ) 成立 下面来证( 2 5 9 ) 令 b ( ) ：2 两硒南j 虿，d ( f ) 等亡孑。 一 f 2 分情况讨论： 情形l ：如果岛净五1 ，0 芦 岛时 因此 西( ) ；= 毋 芦 曩 鳓辞函孑2 结合( 2 0 8 ) ，( 2 7 0 ) ，( 2 5 9 ) 成立 下面的定理给出正则解和精确解之间收敛的误差估计 ( 2 0 9 ) ( 2 7 0 ) 鲫 嘞 嘲 删 删 删 删 删 眨 协 江 协 偿 q 但 兰州大学2007 届硕士学位论文 定理2 1 4 假设，( z ) 是由( 2 4 ) 式给出的问题( 1 6 ) 的精确解，风。( z ) 是由 ( 2 5 8 ) 式给出的拟可逆解假设卯( z ) 是在t = 1 处的测量数据，并且满足条件 ( 2 5 ) ，( 2 6 ) 如果取 p = ( 刍) 南， f 2 7 t ) 则成立如下收敛性估计： l l f ( ) 一( ) l 2 6 南e 南( 1 + ；m 觚 1 ，( 刍) 奢) ) ( 2 7 2 ) 证明。 0 ，( ) 一 。( 训= j i i ( - ) 一，靠( ) 0 刮南一而i i 。乎雪 )p 9 健)。 铲恁) 2 蠡 ) 2 丁= i = 虿一币f f 孑面可可二i = 巧十百f f 于万可石_ = 硒一币_ i 手孑i _ = 丽 o 等( 1 一百j 乏亏栖) i i + i i 百j l 耳晶 健) 一蠡健) ) o i l ，“) ( 1 + f 2 ) 2 ( 1 + 铲) 一2 ( 1 一r ；专虿) “ + 翟i 丽再葫i 巧顺f ) 一蠡圳 _ 0 , - - o o x 0 表示误差水平故这种幂降对于测量数据卯( t ) 是不满足的因此如果从( 2 7 9 ) 中得到热源f ( t ) 时，测量数据误差中的高频分量 小的扰动会使得解发生爆破因此用一般的方法求解问题( 1 7 ) 是得不到稳定的解， 只能借助于正则化方法求解下面先给出一个引理： 引理2 2 1 如果f 1 ，则 i f 丢i 2 ( 2 8 1 ) 显然如果2 1 ( 2 8 2 ) 2 2 3 f o u r i e r 正则化方法 。 在本节中我们将应用f o u r i e r 方法给出问题( 1 7 ) 的一个正则解f o u r i e r 正则 化方法是处理不适定问题相对简便的一种正则化方法在【19 】中，作者在l 2 ( r ) 空 间中利用f o u r i e r 方法求解逆热传导问题，【1 8 1 中作者利用f o u r i e r 方法求反向热 传导问题，后来在【2 0 1 ， 2 1 1 ，1 2 2 】，1 2 3 】，1 2 4 ，【3 5 】中用来求解热传导方程侧边值问题， 在【2 5 】中用来求更一般热传导方程侧边值问题，在【2 6 】中用来求解数值微分从 ( 2 7 8 ) ，( 2 7 9 ) 知道测量数据中误差的高频分量小的扰动可以引起解的爆破人们自 然会想到除掉解中的高频部分f o u r e r 方法就是仅仅考虑( 2 7 8 ) ( 2 7 9 ) 在 下面给出f o u r i e r 正则解( 2 8 3 ) 跟精确解( 2 7 9 ) 之间收敛的误差估计： 定理2 2 i 设 ，一0 ) 是由( 2 8 3 ) 给出的问题( 1 7 ) 的f o u r e r 正则近似解 设，( t ) 是问题( 1 7 ) 的精确解，其f o 包r e r 变换由( 2 7 8 ) 给出假设卯( t ) 是在 茁= l 处的测量数据，并且满足条件( 2 8 0 ) 奔( 2 6 ) 如果取 = ( ；) 肃， ( 2 8 5 ) 并且矗。1 ，则可得到以下收敛的误差估计； i i ，( ) 一 ，缸。( ) | 3 6 肃e 寿f ( 2 ，8 6 ) 1 7 兰州大学2007 届硕士学位论文 证明 0 ，( ) 一j 0 ，6 ( ) 0 = 0 ，( f ) 一如，缸。( f ) 0 = o 南垂 ) 一1 - - ! e ! - v = 、蠡恁) x m “n = o 南g ) 一r 二斋雪健) x 。+ 南9 传) x 。一南蠡( f ) ) c 。o ”r = 摹孺垂 ) ( 1 一) o + ”r 二摹：疋 ( 毒) 一彘恁) ) x m 缸i i = ( j fl # 妥俐2 耐+ ( l f 杀俐2 谢 铃l i ( o ( 1 + 铲诤( 1 2 ) - 引2 耐+ 传蕊l 南l ( 雠) 吲钏2 科 悖i 一 瞎i s f 。 ! ”p l ( 1 + p ) 一；( l ，( ) ( 1 + f 2 ) 1 1 2 武) l + 2 抟。1 6 * i 缸 j 露芝e + 2 l 悼= 3 6 南e 女 2 2 4 简化的t i k h o n o v 正则化方法 从( 2 7 8 ) 可知 与喾船) ：鸯代) ( 2 8 7 ) t 脒) 。9 ( 2 8 7 ) 定义乘法算予a ( ) ，于是问题( i 7 ) 可以用如下算子方程描述： a ( t ) ( t ) = g ( t )( 2 8 8 ) 并且有 霸) = 宰纳 ( 2 8 9 ) 跟第二章第四节分析一样不能直接从( 2 7 8 ) 中解出，( ) 这时应用t i k h o n o v 正则 化方法给出精确解f ( t ) 的正则逼近解，这个解就是以下泛函的极小元： 8 a ( ) ，一口g i | 2 + 8 2 i i 1 1 2 ， ( 2 ，9 0 ) 其中a 是正则化参数下面引理将给出对应于扰动数据卯的f ( z ) 的一个t i k h o n o v 正则近似解： 1 8 兰州大学2007 届硕士学位论文 引理2 2 2 ( 2 9 0 ) 存在唯一的板小元，并且由下式给出： 胁去仁量善喀 仁 通过比较( 2 , 7 9 ) 给出的精确解，( t ) 和( 2 9 1 ) 式给出的t i k h o n o v 正则近似解 ( t ) 时，发现正则化过程是用一个被适当过滤过的噪音数据卯( t ) 的f o u r i e r 变换替换 了未知精确函数蚕( ) ( 2 9 1 ) 中的滤子滤掉了蠡( f ) 的高频部分，达到了对量( 2 9 0 ) 极小化的目的可以用衰减更快的滤予1 ( 1 + 口2 f 2 ) 来代替1 ( i + a 2 i t ( 1 一 c - 谯) 1 2 ) 引入闯题( 1 7 ) 的解f ( g ) 的另一个近似解矗。8 ) 定义2 2 2 鲥归去仁譬掣鹰 协唧 叫做伺化的孔矶d 加口正则解 在给出本节重要结论之前，先给出一个重妻引理 引理2 , 2 3 如果0 口 1 ，则有如下不等式成立： 翟l ( 1 一南f ) ( 1 + 护) q i m a x a ，, a 2 ， 翟i i 未悬鬲i 兰t 5 r ( 1 一c - v 等) ( 1 + 舻铲) “ 证明令 ， g ( o ：= ( 1 一晶f ) ( 1 + p ) 一5 分情况讨论： 情形1 如果旧如：= 苫1 有 g ( ) ( 1 + 护) 一；媾r 9 菇巾= 矿 情形2 如果1 蚓 岛有 g ( 沪羔( 1 确 鲥即一撑呻 如果0 2 时 g ( f ) a 2 器1 = 口2 ( 2 9 3 ) ( 2 9 4 ) ( 2 9 5 ) ( 2 9 6 ) ( 2 9 7 ) ( 2 9 8 ) ( 2 9 9 ) 兰州大学2007 届硕士学位论文 情形3 如果1 ，有 g 嬉) 舻毒2 ( 1 + 2 ) 一舻 由( 2 9 0 ) ，( 2 9 8 ) ，( 2 9 9 ) ，( 2 1 0 0 ) 锝 。 g 健) 瑚x 矿，舻 ( 2 1 0 0 ) ( 2 1 0 1 ) 下面我们证明( 2 9 4 ) 让 b 嬉) 声石二：，。( 。声研i 1 ( 2 1 。2 ) 因为骞代) 和d ( 关于变量f 是偶函数，所以只要考虑0 的情形就可以了下 面分两种情形讨论： 情形1 当0 岛：= 圭有 d ( ) s d ( 言) 主，0 o ，t 0 ， 让( z ，o ) = o ， z o ， ( 2 1 1 2 ) l t ( o ，t ) = o ，缸( z ，t ) l ，。有界t 0 ， 。 【u ( 1 ，t ) = 卯( t ) ， t 0 ， 兰州大学2007 届硕士学位论文 其中p 是将要选定的正则化参数利用f o u r i e r 变换，问题( 2 1 1 2 ) 变为 f i ( z ，f ) 一蟊。任，t ) 一f 2 p 2 ，( ) = ，( f ) ， o ，r ， 砬o ，o ) _ 0 d o ，( 2 1 1 3 ) i 矗( o ，f ) = o ，砬( z ，) l 。一有界， 毒r ， 【砬心1 ) ：如( ) ， r 求解问题( 2 1 1 3 ) 得 矗滕) 2 矸爵器丽 ( 2 ，n 4 ) 再利用f o u r i e r 逆变换得 舭) = 孺1 仁蕊鹣磷( 2 1 1 s ) 从( 2 1 1 5 ) 可以看出对很小的肛，当很小时话( 1 + p 矿) 趋近于而当蚓趋 于无穷大时i ( 1 + 2 矿) j 是有界的可以证明 ，( t ) - - v 以作为f ( t ) 的一个正则 近似解，并称之为拟可逆解 引理2 2 4 如果0 口 1 删有如下不等式成立 翟| ( 1 _ 南) ( 1 + p ) 一2 i 蚴t 矿，矿) ， s u p i i 1 )11 吾p 证明令 a 代) ：= ( 1 一南) ( 1 + p ) 一5 ， 分情况讨论： 情况1 如津：对 1 g ( f ) s 毒毒2 矿 情况2 i 如时 的= 南( 1 确赵为赠弋矿秘 如果0 2 时 孕( f ) 矿磊一，= 矿( 2 1 2 2 ) 情形3 蚓s1 时 舀馐) r 军斋( 1 + p ) 一 2 矿( 1 + f 2 ) 一 卢2 ( 2 1 2 3 ) 结合( 2 1 1 9 ) ，( 2 1 2 1 ) ，( 2 1 2 2 ) ，( 2 1 2 3 ) ，( 2 1 1 6 ) 得证下面证明( 2 1 1 7 ) 让 鼢- 雨1 南e - v p 一芒1e - 击v ( 2 垅) ( + p 胪) ( 1 一学) 一 学 因为言( f ) 和d ( ) 关于变量f 是偶函数，则我们仅考虑f 之0 的情形下面分两种 情形讨论： 情形1 0 岛：= 二1 时 d 岱) 西( 三) 石2 ，。 0 ( 2 1 3 6 ) 10 ， z 0 带误差的数据函数为 渤) = 0 h + 6r a n d 0 ) 1 ，( 2 1 3 7 ) 其中 ) 是精确数据，r a n d ( g ) , 是l l ，1 1 上的随机数，5 表示误差水平利用 3 9 1 提供的算法和m a t l a b 6 5 来验证我们的理论结果计算是在t 1 0 ，1 】上进行的数 值效果见图3 - 5 图3 其中占= 0 0 0 1 ，岛。= 1 0 ，p = l ，e l l si善基哥t臣量i拿毫暮毒；i5薹p皇i善 兰州大学2007 届硕士学位论文 图4 其中6 = o 0 0 1 ，o = 0 o l ，p = l ，f _ # 1 0 图5 其中6 = o 0 0 1 ，p = o 0 1 ，p = l ，e = 1 0 2 3 有界区域上一维热方程只含有一个变量的热源识别 2 3 1 辅助性结论 本节将考虑对有界区域上热方程只含有一个变量的热源识别首先指出( 5 1 中 错误，然后利用截断正则化方法给出一个正则解，并且给出了正则解和精确解之间 收敛的误差估计，数值例子验证我们的算法是有效的最后利用简化的t i k h o n o v 正 则化方法得到另一个正则解，并且给出了收敛的误差估计在【5 】中作者考虑的是如 下问题： 一t k + t 。= 妒( t ) ，( z ) ， u ( x ，0 ) = 0 u ( 1 ，t ) = 0 ， ( o ，t ) = ( 1 ，t ) = o ， u ( x ，1 ) = 9 ( z ) ， ( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ， 七( 0 ，1 ) ， t ( o ，1 ) ， ( 2 1 3 8 ) t ( o ，1 ) ， ( 0 ，1 ) ， 其中条件u ( 1 ，t ) = o 是多余的，下面给出例子说明该问题的条件是相互矛盾的如 u ( x ，t ) = c o s 丌x ( 1 一e o ) ， 缸0 ，0 ) = 0 ( 0 ，t ) = u z ( 1 ，t )