（基础数学专业论文）不可压缩流体中的一些数学问题的研究.pdf

摘要 在研究流体力学的过程中，我们都离不开对n a v i e r - s t o k e s 方程的讨论。p l l i o n s 、j y c h e m i n 、a m a j d a 、r d a n c h i n 等人对该方程做了深入的研究和讨 论本人在他们工作的基础上，对基于n a v i e r - s t o k e s 方程进行改进的n a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i s 方程和k a z h i k h o v - s m a g u l o v 型污染模型进行了探讨 对于描述海洋洋流和大气循环的模型三维n a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i s 系统，我们主 要得到了以下的结论： 在s o b o l e v 空间的框架下，不同初值情况下的局部适定性。 在b e s o v 空间的框架下，讨论了该系统的局部适定性结果 在s o b o l e v 空间的框架下，我们得到：当趋向于零( 即高速旋转的情况) 耐， 系统将趋向于二维的n a v i e r - s t o k e s 系统在c h e m i n 等人的工作中，他们得 到常密度系统在2 g 6 时该收敛成立我们可以得到，当口 6 时，由 于s o b o l e v 空间的光滑性，密度依赖的n a v i e r s t o k e s - c o r i o l i s 系统也可以收敛 到二维n a v i e r - s t o k e s 统。 在s o b o l e v 空间的框架下，我们讨论了光滑解的爆破条件，并在其基础上得到 该系统的几乎全局适定性 对- t - k a z h i k h o v - s m a g u l o v _ 型染模型，我们主要对如下问题进行了探讨： 讨论该系统的局部适定性问题。 解的爆破条件。 关于扩散系数的收敛情况：“弱结论”，印： 1 ) 局部解的构造 2 ) 存在某固定的时间段【o ，卅，使得该系统的解在三2 空间中强收敛到e u l e r 系 统的解 关于扩散系数的收敛情况：“强结论”，即： 如果e m e r 方程在时间段f o ，】上存在光滑解的话，那么当a 足够小的话，该系 统在该时间段上仍然存在光滑解并且在该时间段上该解强收敛到e u l e r 方 程的解。 关键词：环形分解，全局适定性，局部适定性，解的爆破估计 a b s t r a c t t h en a v i e r - s t o k e ss y s t e mi st h em o s ti m p o r t a n ts y s t e mw h e ny o us t u d yt h e f l u i dm e c h a n i c sp r o b l e m s i th a sb e e ns t u d i e db yp - l l i o n s ，j y c h e m i n ，a m a j d a a n dr d a n c h i n ，a n dt h e yd i dg e tal o to fw e l l p o s e d n e s sr e s u l t so ft h i ss y s t e m b a s e d o nt h e i rw o r k ，w ew i l ls t u d yt h en a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i ss y s t e ma n dt h ek a z h i h o v - s m a g u l o vt y p em o d e li nt h i sp a p e r t h en a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i ss y s t e mi st h em o d e l ，w h i c hd e s c r i b e st h eo c e a n c u r r e n ta n dt h ea t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o n ，a n dw em a i n l yg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： i nt h es o b o l e vf r a m e w o r k iw ed i s c u s st h el o c a lw e l l p o s e d n e s sw i t hd i f f e r e n t i 1 1 i t i a ld a t a i nt h eb e s o vf r a m e w o r k ，w eg e tt h el o c a lw e l l p o s e d n e s sr e s u l tf o rt h i ss y s t e m i nt h es o b o l e vf r a m e w o r k ，w eg e tt h ec o n v e r g e n c et ot h e2 dn a v i e r - s t o k e s s y s t e m ，a s t e n d st oz e r o c h e m i nh a sg o tt h ec o n v e r g e n c eo ft h ed e n s i t y - i n d e p e n d e n ts y s t e mt ot h e2 dn a v i e r - s t o k e ss y s t e mw h e n2 q 6 a n d i nt h i sp a p e r ，w ec a ne x t e n dt h ec o n v e r g e n c er e s u l t so ft h ed e n s i t y - d e p e n d e n t s y s t e mt ot h eq 6 s i t u a t i o n i nt h ef r a m e w o r ko fs o b o l e vs p a c e s ，w ed i s c u s st h eb l o w - u pc r i t e r i o no ft h e s m o o t hs o l u t i o n s ，a n df u r t h e rw ec a l lg e tt h ea l m o s tg l o b a lw e l l p o s e d n e s s r e s u l t s a b o u tt h ep o l l u t a n tm o d e l so fk a z h i k h o v - s m a g u l o vt y p e ，w ew i l lt a l ka b o u t t h ef o l l o w i n gp r o b l e m si nt h i sp a p e r ： l o c a lw e l l - p o s e d n e s sf o rt h ek a z h i k h o v - s m a g u l o vt y p ee q u a t i o n sw i t ha 0 d e r i v a t i o no fb l o w - u pc r i t e r i a v t h es m a l ld i f f u s i o nc o e 伍c i e n tl i m i t ：a ”w e a kr e s u l t ” t h ec o n s t r u c t i o no fl o c a ls o l u t i o n sc o m b i n e dw i t har e s u l to fc o n v e r g e n c ei n l 2 - n o r mg i v e st h ee x i s t e n c eo faf i x e di n t e r v a l 【0 ，卅o nw h i c ht h ed i f f u s i o n s o l u t i o n ( 纵，u a ，v a ) t e n d ss t r o n g l yt ot h ee u l e rs o l u t i o nw h e n 入g o e st o z e r 0 t h es m a l ld i f f u s i o nc o e f f i c i e n tl i m i t ：a s t r o n gr e s u l t i ft h ee u l e rs y s t e mh a ss m o o t hs o l u t i o no ns o m eg i v e ni n t e r v a l 【0 ，t o 】，t h e n t h i ss y s t e mw i t hs m a l lah a sas o l u t i o no nt h es a m et i m ei n t e r v a l b e s i d e s ， s t r o n gc o n v e r g e n c eh o l d st r u eo n 【0 ，t o 】 k e y w o r d s b o n yd e c o m p o s i t i o n ，g l o b a lw e l l - p o s e d n e s s ，l o c a lw e l l p o s e d n e s s ，t h e b l o w - u pc r i t e r i o n 致谢 值此论文完成之际，我谨在此向一直以来给予我关心和帮助的老师、同学、朋 友和家人表示衷心的感谢! 首先，我要衷心感谢我的导师方道元教授。感谢导师多年来对我学习研究工 作的悉心指导，以及对我生活无微不至的关怀。感谢他对我的信任和支持，使我能 够有机会去法国交流一年，让我能够有机会认识更多优秀的数学家，并对自己所 研究的领域有一个更加深刻的了解。方老师严谨的科研态度，认真细致的工作作 风，敏捷的思维方式深深的影响着我的学习和工作。同时，方老师对教育事业的无 私奉献及对其学生的无私付出深深感动着我。 其次，我要衷心感谢我的合作导师r 印h 爸a ld a n c h i n 教授。感谢教授能够邀 请我去法国学习交流同时，感谢教授在我法国学习期间对我学习和工作上的指 导以及在生活上的关心与帮助 同时，我要感谢多年来教导过我的数学系的各位老师正是各位老师在我学 习上的帮助与指导，才能使我打下扎实的数学基础。这里，我特别要感谢薛儒英老 师和李俊杰老师在我研究生期间所给我的指导 另外，我还要感谢我们的科研小组：张挺、韦明俊、王成波、李太龙、徐江、钟 思佳、胡素芬、洪裕祥、童常青、陈平、朱婉珍、张启迪、吕晓俊、葛丽艳、王素梅、 章林子、谢剑、韩征、朱磊等。能够有幸与那么多优秀的组员共同学习与工作是我 的荣幸。真是因为能够与大家一起学习与探讨，才能使我在学习与工作中有如此 大的进步与成绩。 最后，我要感谢家人对我一直以来的支持与帮助无论何时他们总是给予我 充分的关怀和理解，使我能够克服困难、不断进取、顺利完成学业 方琳万琳 公元二零零九年三月于求是园 第一章绪论 一切客观事务都是相互联系的，且具有其自身特殊的规律。流体运动固然千 变万化，但也有其内在规律这些规律都是通过大量实践和实验归纳出来的质量 守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热能守恒定律等它们在流体力学中有其独 特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程 忽略温度，盐度等因素的影响，我们根据质量守恒定律、动量定理和能量守恒 定律可以得到如下不可压缩的n a v i e r - s t o k e s 系统： io w + u v p = 0 ， ja ( ) + p u v u j u x u + v i i = ， 1 d i 伽_ 0 ， 【( p ，u ) l t ：0 = ( p o ，咖) 其中p = p ( t ，z ) 为密度函数，仳= u ( t ，z ) 为速度场，v = v r i ( t ，z ) 为压强项，f = f ( g ，z ) 为外力项，p 为粘性系数( 在本文中，我们只译沦粘性为常数的情况) 至今，已有不少数学家为该系统的研究作出了很多贡献。b d e s j a r d i n s 、p 一 l l i o n s 等人已经对该系统的全局弱解进行了讨论( 参见 1 6 】， 17 】和 2 0 ) 。而在卯 ，其中为空间维数) 空间的框架下，o l a d y z h e n s k a y a 和v s o l o n n i k o v 对光滑解 进行了研究( 参见 1 9 】) 。h o k a m o t o 在s o b o l e v 空间日s 框架下讨论了该系统的适定 性( 参见 1 8 】) 但是在以上两个空间中，他们都只讨论了有界区域d i r i c h l e t 条件下 的边值问题r d a n c h i n 在密度具有非零下累的情况下，在s o b o l e v 空间中对该系统 的适定性进行了探讨( 参见 4 】， 5 】，【6 】和【7 】) ，并对其粘性趋向于零的极限情况进行了 讨论 在本文中，我们将在他们工作的基础上，根据实际情况，对不同的模型进行研 究。 1 1n a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i s 系统 在研究海洋或大气模型的时候，我们发现仅仅应用上面 n a i v e r - s t o k e s统 去逼近真实情况是不合理 1 2 1 1 n a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i s 系统 研究发现，海洋中一般的流速满足每秒几米( 除非是像墨西哥暖流那样强烈 的海洋洋流) ，并且，一般来说，海洋的跨度约为5 0 0 0 千米。由此可得，一个流体质 点大概需要5 0 天时间去横跨一个大洋与此同时，地球也自转了5 0 圈。因此，如果 我们要去研究全球的海洋运动，c o r i o l i s 力是不可忽略当然，其他的物理现象也 是类似的，比如温度变化、盐度、层理等，但是研究如此复杂的模型，应首先了解 旋转流体的运动很多重要的海洋循环( 如墨西哥湾的墨西哥暖流，日本西海岸 的e t 本暖流等) 的重要特征都可以解释为大的旋转。不可压的n a v i e r - s t o k e s 方程加 上c o r i o l i s 力，再加上自然的边界条件足以去精确的描述大范围的海洋循环。这么 复杂的情况可以用如此简单的模型来描述，不能不说这是一个惊人的发现。 j y c h e m i n ，b d e s j a r d i n s ，i g l l a g h e r ，e g r e n i e r 在参考文献f 2 1 中，对如下 常密度g l n a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i s 统进行了分析： 妣+ 仳v u _ 王，u + e 3 i a u + 邪= 。， d i vu = 0 u l t ；0 = u o 得到了该岽剿e h i l b e r t 空间中解的存在唯一性，并且得到，当趋向于零的时候， 该系统收敛到如下二维的n a v i e r - s t o k e s 系统： 釜r 瓯打0 ) - 0 ， 然而，在实际情况中，我们很少能够碰到密度不依赖于时间变化的情况，因 此，我们希望能够去讨论如下的密度依赖的n a v i e r - s t o k e s c o r i 0 1 i s 系统： a j 9 + 乱v p = 0 ， 咖) + 肚v u - # 蚺孚+ p 竿_ 0 ( 1 1 1 ) d i v 缸等0 ， ( p ，乱) i 括0 = ( p o ，让o ) 我们讨论当密度p 有正的下确界的情况，即p 满足i i 也r ap = c 0 此时，我们 浙江大学博士学位论文 3 可以取p 一1 = 1 + 口口，上述系统可以转化为 a 矿+ u 5 v a 。= 0 ，z r 3 ，t 0 ， o t u e + u e v u e - - ( 1 6 ) ( 一孚) + 半_ 0 n 地) d i v 珏= 0 ( a 8 ，矿) i 扭0 = ( ，让5 ) 我们期望用环形分解的方法在s o b o l e v 空间和b e s o v g s 间中对该系统进行讨论，得 到与常密度系统相似结论 在第三章和第四章中，我们可以证明：该系统在s o b o l e v 空间和b e s o v 空间中 存在局部解。在s o b o l e v 的框架下面，我们可以进一步得到其爆破估计和几乎全 局解的存在性，同时，我们也可以得到，当趋向于零的时候，该系统趋向于二维 的n a v i e r - s t o k e s 系统 1 2 污染模型 第五章章中，我们主要考虑如 f k a z h i k o v - s m a g u l o v 型污染模型的适定性问 题： f 侥p + d i v ( p u ) 一a a p = 0 ， 以牡+ j d ( 缸。v ) 乱一a v p 孔一胁v v p - a d i v ( p v u ) + v = ， ( 1 2 3 ) id i v 乱= 0 ， i ( p ，钍) i 铷= ( p o ，u o ) 其e e ( x ，t ) ax 酞+ ，a 为环形区域n 或全空间r ，n 2 这里p ，让和分别为密 度，速度和压力项，a o 为相应的扩散系数。该模型i 白b r e s e he ta 1 ( 参见【1 0 】) 得 到 当入= 0 时，该系统转化成为了如下的依赖于密度的不可压e u l e r 系统： f 侥p + d i v ( 肚) = 0 ， 以让+ p ( u v ) 牡+ 。p f ， ( 1 2 4 ) i d i vu = 0 ， 【( p ，让) i t - o = ( p o ，咖) 我们讨论下列的问题： 4 1 3 本文的结构 1 讨论系统( 1 2 3 ) 的局部适定性问题。 2 推到解的爆破条件 3 关于扩散系数的收敛情况：“弱结论” 。1 ) 局部解的构造 2 ) 存在某固定的时间段【o ，刁，使得该系统的解在l 2 空间中强收敛到e u l e r 系统 的解。 4 关于扩散系数的收敛情况：“强结论” 如果e u l e r 方程在时间段 o ，死】上存在光滑解的话，那么当a 足够小的话，系 统( 1 2 3 ) 在该时间段上仍然存在光滑解并且在该时间段上该解强收敛到e u l e r 方 程的解 1 3 本文的结构 在第二章中，我们首先对环形分解的知识进行一个回顾。同时，对我们所需的 一些仿积性质进行推导接下来，我们在第三章中，对n a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i s 统 在s o b o l e v 空间中的适定性进行讨论，并对其极限系统进行分析在第四章中，我 们在b e s o v 空间中讨论该系统的适定性第五章，我们对k a z h i k o v - s m a g u l o v 型_ 染 模型进行讨论第六章，我们将主要讨论一下广义n a v i e r - s t o k e s 方程的一些光滑解 的存在性结果，并在最后对第三章至第五章所讨论的结果提出一些改进的想法 第二章环形分解 贯穿于全文，我们主要应用环形分解的方法，在s o b o l e v 空间和b e s o v问中 对n a v i e r - s t o k e s - c o r i o l i s 系统和k a z h i k h o v - s m a g u l o v 型污染模型进行讨论因此， 对于读者方便，在这一章中我们主要回顾一下环形分解的定义以及其主要性质 同时，对后面将要用到的主要命题和引理进行证明 2 1 环形分解的定义及其性质 令s ( r ) ) 0 s c h w a r z 类，( 妒，x ) ( ( ) 为取值在 o ，1 】上的一对光滑函数，且满足 s u p p 妒c 石3 l e i 鲁) ，s u p pxc i e i 詈) 且x ( ( ) + 妒( 2 9 e ) = 1 ，e r q - - - - o 令五( z ) = ( 广t x ) 扛) 和 ) = ( 厂一妒) p ) ，对于任意的，s ，( s ，是缓增分布函数 的集合，为s 的对偶空间) ，我们定义如下的非齐次环形分解， a 一1 ，( z ) ：= x ( d ) f ( x ) = ( h 木州z ) ，a 口f ( x ) ：= 0i fg - 2 口厂 ) ：= 妒( 2 一q d ) f ( x ) = 2 1 v g h ( 2 9 y ) f ( x y ) d y i f 口0 ，r “ 其中，i c 和芦- 1 分别表示卷积算子和f o u r i e r 逆算子。非齐次l i t t l e w o o d p a l e y 分解如 下定义， m ) = a 。m ) 口2 1 低频截断定义如下 s q f ( x ) ：= a p m ) = x ( 2 1 d ) m ) p _ _ q - 1 l i t t l e w o o d p a l e y 分解具有几乎正交性 5 6 2 1 环形分解的定义及其性质 命题2 1 1 对于任意 ，2 s ( x ) ，下列的性质成立： p g 三0 若i p q l 2 且 口( 5 i p l f l x p ，2 ) 三0 若囟一q l 5 定义2 1 2 若l p o o 月- s r ，对于1 r 0 0 ，男d 秽空间露，( r ) ，n 2 ， 定义如下： ) 1 r f 睇，( r ) ( ( 2 q 8 岭川郴) ) r ) o o 9 2 1 若rio 。，相应的屏，o 。空间定义如下： f 群，( r ) 亨s u p2 秘i | 口f l l l v ( r n ) o o 口7 一上 霹，( r ) 的定义不依赖于具体的环形分解函数。我们可以进一步得到日8 ( r ) 和壤，2 ( r ) 是 相同的。 ： 引理2 1 3 ( b e r s t e i n ：不等式) 若忌n i g - o 0 ，那么群，( r ) nl ( r ) 为一个代数当s n 2 时，日8 ( r ) 也为一 个代数 彳实插值： ( 娣“r ) ，铭 r 2 ) 口，r ，= b p o s l ，+ 1 一p 。2 ( r ) ，0 0 ，s l i n 且s 2 虿n f | 让移1 1 日。+ 。：一。焉ij 仳l | 日。( r ) i i 秽i i ：( r ) 若s l + s 2 o 且8 1 ，8 2 i n i l u v l l 日。( r ) 毛日。( r n ) i i ”i i l 。n 日州。( r ) 若i s i n m a x ( 0 ，一1 + s _ ) 以及从空间缉九( r l v ) 8 0 ，r 2 ( r ) 到霹，( r ) ，其中s o 的双 线性连续算子 在参考文献【7 】中的引理b 2 和b 5 中，作者证明了交换子的如下性质： q + 亏+ m m ( 三，；) 且口+ 万n 。，2 取矗m i n ( d + o l v1 ，a + n p ) ，其中口v1 ：= m i n ( a ，1 ) ，那么下列的不等式成立： 匡叭。仲) 2 啦) 1 r 钏v 圳啪一) i 船，若矛 石n 或( 矛 鲁，r = 1 ) 睡。刚) 1 ，r 钏v 训妒一1 刚若矛= 苦p 。 在q = 1 的极限情况下，l l v 口i l 磁妒。一，( r ) 眦。( r ) ( 或l l v n 0 础咖一( r ) n 垆( r ) ) 替 代j | v 口i j 秽。一，( r ) ( 或lj v 口j j 蟛p + a 一，( r ) ) ，上面不等式仍然成立另外，对于任意 的a 0 ，有 ( 莩2 2 a 盯眦一，。，白叫i i 至：。r ，) v 2 si i v 伽“l 。r 州v 叫”月。一。r ， 浙江大学博士学位论文9 定义2 1 9 对于任意d 辱 1 ，+ 。o 】，s r 和? ( 0 ，+ o 。】，我们定义如下范数： 忆悒即= 瞻2 如f o ti i , - , ( t ) l l 河加) l 2 定义空间碍( 日8 ) ：= “( o ，嗣r ) ，i l u l l z 孚( 舯) o l ；, ( h s ) 。我们进一步定义空r 司5 ( h s ) ：= c ( o ，t ) ；日s ) n l 笋( 日5 ) 以及埠( 日。nl 0 。) ：= 辟( 日8 ) i 1 碍( 三) 。 m i n k o w s k i 不等式，我们可以得到 i l u f f z ( 耳。，i i 乱f f 工孚( 日一) 若p 2 j l 碍( 日) 剑乱崦( 日) 若p 2 那么，我们可以得到，对于任意 0 ， 三孚( j j r ) 焉i l u l i l 孚( x + c ) 且工拿( 汀。) 驯u 崦( 科c ) ( 2 1 1 ) 我们经常用到下面的插值不等式： i i t , l l z 4 ( ) 钏乱咯( 胖) 1 1 让| f 鞴髀) 其中l p = p 屈l + ( 1 一口) 肋2 且s = 如1 + ( 1 0 ) 8 2 注记2 1 1 0 乘积算子、仿积算子和剩余项都是砺( 日s ) 空间上的连续函数 参考文献【1 5 】证明了下面的定理。 引理2 1 1 1 4 s 0 ，ng ) 1 ，+ 。】3 ，g 叫苗1 一，g ( o ) = 0 ，t ( o ，o 。】且钍三 ( 磷r ) n 三笋( 己) ，那么 g ( u ) 岘引c o + 1 1 t , 1 1 驿( 工。+ 1i l u l l z 4 ( 引 1 0 2 2 三维空间中，依赖于两维坐标的函数的环形分解 2 2 三维空间中，依赖于两维坐标的函数的环形分解 s ( r ) ) 勺s c h w a r z ，( 矿，妒) ( 矗) 为一对取值在 o ，1 】上的光滑函数，满足 s u p p 妒 c 差i 矗i 鲁) ，s u p p x ，l c l h l _ - i 定义低频截断 蹬g ( z 九) ：= p o 一1 a h g ( x h ) = x h ( 2 一g d ) g ( x ) p l i t t l e w o o d p a l e y 分解具有几乎正交性。 命题2 2 1 对于任意吼，卯s 7 ( r 3 ) ，下列性质成立： 锋q h 9 1 三0 ， 若i p q i 2 ， ：( s 鍪l 夕1 刍卯) 三0 ， 若i p q i 5 ， 以及 q ( 肇l g l a p ，2 ) 兰0 ，口( 昂一1 a p h 仍) 三0 ，若眵一q l 5 引理2 2 2 若尼n 以及0 r 1 n m a x ( o ，一1 + ；) ) ，以及从空间b ；以( 酞3 ) b o ，。( r 2 ) 到衅，( r 3 ) ( 当s o ) 的双线性连续算子 2 2 三维空间中，依赖于两维坐标的函数的环形分解 证明对于p + o 。，用引理2 2 2 ，h 6 l d e r 不等式和y o u n g 不等式，我们有 出川 俨忙崦拶一脚k 姐： s ” c z ，i i l * c r ：，j 1 2 q 8iq-qq_。ii。，乱cz，ii驴cr。，il嵋 死c ， c z 圳i 鄙，畔，= 1 1 2 驴m q - a l 口52 q ( 8 1 + 。2 ) l i 路，( 一( z ) 丕洲耐) f i f = 矿2 口一5 2 ( j - + 5 ：) 。一4 ) 2 q s 1i l 口m ) l l p ( r s ) 2 ，8 2i l 丕争u 0 ) | | b ；3 r 。( r 。) ( z ，1 ) lj 2 r 2 ( r 。) 相似的，若p 【1 ，2 ) 且s 1 + s 2 2 ( - 1 + ；) ，我们得到 = 1 1 2 9 ( 卅矿；瞻姚似卿也儿 = 怦心书峰52 卅妒诋蹦酬舟也此 焉峰 _ q - 52 时一嘲舭嘲训川酬蚪k| 1 9 7”嵋 焉臃 2 如巾2 + 2 哆嘲酬班纵训) l l 删k i l 口，q - - 5”嵋 焉峰2m棚)+水弓州m(叱(工声)2小2脚(孙蚪kiiq 7 _ q - 5”； i i q - 52 舶卅2 幽f i g ，心川州惭川州蚪f | i i 。：q 7 z ! s 愀z ) 慨，( r s ) 愀z _ 1 ) | | 且，吃( r 。) 综上，我们可以得到该命题的证明。 口 由命题2 1 4 和命题2 2 4 ，我们可以得到如下命题： 命题2 2 5 1 i u ( z ) u ( z ) l i 二( r a ) s | | u ( z ) i i l o ( 二铲) | l u ( z ) 1 1 日e ( r 。) + i i 钞( z _ 1 ) i i l * ( r z ) i i u ( x ) i i h ( r 3 i ，若s 0 ， i i 缸( z ) 可( z ，1 ) 1 1 日( r 3 ) 毛i l u ( x ) 1 1 日。1 ( ( r ) 3 ) i i v ( = h ) i i h 2 ( r ：) ，若s l + s 2 0 ，8 1 1 且8 2 1 ， i i 让( z ) u ( z ) 1 1 日。l 扣2 一，( r 3 ) 焉i l u ( x ) l l h 。1 ( r 3 ) i i v ( = ) i i h 2 ( r 2 ) ，：若s 1 + 8 2 0 且8 1 ，8 2 0 ，s 1 时，由命题2 1 4 和2 2 4 ，我们可以得到 i i t u ( z ) v ( x h ) i i h 。r 3s i i 让 ) 0 e 芝- 一。( r s ) i i 口( x h ) 1 1 日。：( r 。) 焉i l u ( x ) 1 1 ( r 。) 愀z 7 1 ) i b 2 ( a 2 ) ， i i 正( 霉。) 乱( z ) | | 日。( r s ) si i v ( x h ) i i l 一( r s ) ij u ( z ) 1 1 日。( r 。) si l v ( x h ) l l h 2 ( n 2 ) i l u ( x ) l l , z 。i ( r 3 ) ， 舻 “ u 慨 甜 秒 、 、一 、，_、j，_一咖陲 0 s 翮 字 浙江大学博士学位论文 1 5 且 r ( 让( z ) ，u ( z ) ) | 1 日t ( r s ) si j r ( u ( z ) ，口( z ) ) l | 日。，+ ，。一- ( r a ) 焉 i i i i 口( z ) i | 1 日1 ( r ) 2l l 让( z ) i 酽l ( r 3 ) 一、。一，o ，一i l 一、一i i 一， 由此，我们可以得到第二个不等式 当s l4 - 8 2 0 ，8 l ，8 2 i v ( x h ) i i h 。( r 。) ， i i t ”( z ) 让( z ) l l 何t + ：一，( r 。) s i i v ( x , 。) l l b 。s 2 ，- - 。1 ( r ：) i l u ( x ) l l h - ( ( 矗) 。) si l u ( z ) l l , , ，( r s ) 愀z ) 怯2 ( r 2 ) ， 和 l i r ( u ( x ) ，可( z ，1 ) ) 怯t + s 2 - - 1 ( r s ) 焉l i v ( x h ) 1 1 z ( r 2 ) l l u ( x ) l l h 。t ( i t 3 ) 由此，我们可以得到第三个不等式 当| s | 8 v e x h ) i i x 。( i t 3 ) 焉i l u ( z ) i i h ( r 3 ) m ) 1 1 日- ( r z ) f i t s ( z 。) 札( z ) 1 1 日。( r 。) s | | 秒( z j l ) j i 工一( r 2 ) | i 让( z ) 1 1 日s ( r 3 ) ， 和 lj n ( u ( x ) ，u ( z j l ) ) i b ( r a ) 焉i i v ( x h ) i i h - ( r t 。 l l 仳( x ) l l h 。( r a ) 由此，我们可以证明命题中的最后一个不等式 2 3齐次b e s o v 牢_ 间的定义及其性质 口 齐次l i t t l e w o o d p a l e y 分解依赖于一族单位环形分解：取支集在c ：= r ，2 蚓；) 上的光滑函数妒四( r ) ，且满足 1 6 2 3 齐次b e s o v 空间的定义及其性质 记 = 即，我们如下定义环形分解函数： 却：= 叼) 仳= 州上 ( 2 q y ) 让( z 刊咖 同时，我们如下定义低频截断函数： 若缸s 7 ( r ) ，那么。z a 。u 在模掉多项式函数p r 】中收敛，且下列形式分解 在s 7 ( r ) p 【r 】中成立： u = g u ( 2 3 2 3 ) q z 更重要的，环形分解具有如下的几乎正交性： 七a 口u 三0i 厂i k g i 2a n d 七( 岛一l 钍口u ) 兰0 i fi k q i 5 ( 2 3 3 ) 齐次b e s o v 空间可以通过l i t t l e w o o d p a l e y 分解来定义： 定义2 3 1 对于任意s r ，( p ，7 ) 1 ，+ 2