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浙江大学硕士学位论文单位球面中c l i f f o r d 环面的几何特征 摘要 本文着重研究球面中子流形的第二空隙问题和第一空隙问题，得到了关于 c l i f f o r d 环面的一些几何特征 本文首先研究球面中闭极小超曲面的第二空隙问题，获得了以下结果 设m 是n + l 维单位球面s ”1 ( 1 ) 的n 维闭极小超曲面，如果m 在任意一点p 至多有一个单的主曲率，且玎s 行+ ；，则s 三刀，且m 是c l i 仃o r d 极小环面 s 册舻( 犀) 一股地，考虑常平均曲翠超曲向的情彤，我们碉以卜结果 设m 是n + l 维单位球面s 肿1 ( 1 ) 中n 维闭常平均曲率超曲面，o 日 以功， d ( n ) 是仅与n 有关的正常数如果m 在任一点p 至多有一个单的主曲率，且 ( 刀，h ) s s ( ，日) + c ( 刀，) ，则s 基风，? ，h ) ，即m 是c l i f f o r d 等参超曲面 s 1 1 虿卜卅( 志) ，其中： 胍耻斛赤肌n 印( n - 叫2 ) 4 n 2 h 4 + 4 ( n - 1 ) h 2 ， c ( 刀，) = 吾【2 刀+ 吾一( 3 ，胛+ 2 ) ( 刀，日) 】，d ( 刀) = 而1 ， ，n h + 、n 2 h 2 + 4 ( 聆一1 ) l = 一 本文还研究了单位球面中刀维紧致的具有平坦法从的平行平均曲率子流形 中的第一空隙问题，得到了以下结果 设m ”是s ”，( i ) 中n 维具有平行平均曲率向量且法丛平坦的紧致子流形， 2 浙江大学硕十学位论文 单位球面中c l i f f o r d 环面的几何特征 如果s a c 以日，那么m 或者是一个全脐球面s ”( 了 矿) ，或者是s ”1 ( ，) 中 的等参超曲面( 击卜( 寿) ，或者是球甜中具有常平均曲 h o 的c l i f f o r d 环面s 1 ( ) s 1 ( ) ，其中 训蒜日2 - 器n ( n 2 ( n 历丽小日+ 、7 2 ( 刀一1 )一1 ) 、。 ，；，吃= 2 ( t + 日2 ) 2 风( - + 日2 ) 2 - 1 2 ，= ( + 日2 一_ 2 ) - 1 2 , 0 风日 关键词极小超曲面，平行平均曲率子流形，主曲率，法丛平坦，曲率空隙 3 浙江大学硕士学位论文单位球面中c l i 娲r d 环面的几何特征 a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h es e c o n da n df i r s tp i n c h i n gp r o b l e m si na s p h e r e ，a n dg e ts o m eg e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o n so f c l i f f o r dt o m si nas p h e r e w ef i r s ts t u d yt h es e c o n dp i n c h i n gp r o b l e mo f c l o s e dm i n i m a lh y p e r s u r f a c ea n d p r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t l e tmb ea nn - d i m e n s i o n a lc l o s e dm i n i m a lh y p e r s u r f a c ei nt h eu n i ts p h e r e 1 ( 1 ) i f t h e r ee x i s t sa tm o s to n es i m p l ep r i n c i p a lc u r v a t u r ea te a c hp o i n t p m ，a n d s 力+ ；， 岫一哪s 蝌舻( 浮 w eg e n e r a l i z et h er e s u l tt ot h ec a s eo fc l o s e dh y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r e l e tmb et h en - d i m e n s i o n a lc l o s e dh y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e o fau n i ts p h e r es ”+ 1 ( 1 ) ，o h 2 ) ，p 存在一个正常数c ( n ，p ，h ) 有以下性质： 如果m ”是n + p 维单位球面s 肿，( 1 ) 中的闭的具有平行平均曲率向量的n 维浸入 浙江大学硕士学位论文单位球面中c l i f f o r d 环面的几何特征 s c ( 疗，p ，h ) ， 那么m 有以下分类： s ”( 志) ； ，洲帅的等参超曲酣一( 志p ( 南 ； 川腧删灿s 悯( 用c k = 1 , - - , - 0 ； ( i v ) 球面s 3r ) 中具有平行平均曲率风的c l i f f o r d 环面s 1 ( ) s 1 ( 吒) ，其中 吒，吃= 2 ( ，+ h 2 ) 2 风( t + 日2 ) u 2 - ! 2 ，= ( - + 日2 一瑶) 一，2 ，。风日； s 4 ( 南卜的v e r o n e s e 曲面 迎肚坐壕半， f 口( 刀，) ，p = l ，或p = 2 助0 “b 聊2 m 叫协2 ) 卜舡2 助- o 其州1 - 0 铷+ 赤铲一n 印( n - 叫2 _ ) j n 2 h , + 4 ( n _ 1 ) h 2 特别地，如果h o 且s c 0 ( 栉，p ) ，那么m 或者是s 肿( 1 ) 中的全脐球面，n + l 维球面里面的c - i f i o r d 物超曲面，或者列( 赤卜的v e m n e s e 曲面 8 浙江大学硕士学位论文单位球面巾c l i f f o r d 环面的几何特征 l2 珂一1p 2 ，或n 8 ，且p 3 ， 这里c o ( 刀p ) 2 詈” n 7 ，或p 3 最近h w x u 和j f z h u 1 2 獭l j t 以下结果 定理d 设m ”是s 肿，( 1 ) 中具有平行平均曲率向量且法丛平坦的完备子流形， 如果s 妒s c c o o ， ( 1 2 2 ) 肋= 以c 一 ( 1 2 3 ) 限制到m ”，有 = o ， ( 1 2 4 ) = 蟛q ，谬= 鳐， ( 1 2 5 ) j 她= 缈口 q ，+ = o ， 岫= 人+ q ， q = 一j 1 q 哆， r 脚= 6 i k 6 j - 4 | 6 j 。+ 芝二醵婚一璃悔， d = o - ) a r + ，= 一丢略 劬， r 删= h a 妒i l l p - a l i k , a ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 对每一个口，设也= ( 蟛) 。用孝和办分别表示平行平均曲率向量和m 的第二基 1 2 浙江大学硕十学位论文单位球面巾c l i 舶r d 环面的几何特征 本形式，用s 表示第二基本形式的模长平方，那么我们有， 乒i 刀y 。( , m o ) p o ， 厅= 蟛qo qp ， 口，i ，j 畔l | _ 将引 1 ，2 ， s = 1 1 1 1 2 = 恻= ( 劈) 2 ， 用琢，分别表示鳐的一阶，二阶共变导数，我们有 y 磁吃= 蟛+ 瑶+ 鳐+ 衫， = 鳐， 一= 虼+ 鳐一彬， j 喵= 。垓 = 。+ 。( ，坛+ 鳐一够) ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) ( 1 2 1 8 ) 定义1 m 称为是具有平行平均曲率的子流形，如果善在m 的法丛中是平行的 特别地，m 成为极小的，如果善= 0 当孝o 时，我们可以选取巳+ i 使e n + l 善，l r h + i = n h ，f 棚口= 0 ，n + 2 n + p 设 品= w n + l ，s = 够 ( 1 2 1 9 ) j ，p - # n + l ，j 定义2 m 称为是肿p 中法丛平坦的子流形，如果对任意的 孝c 。( m ；r 上( m ) ) ，x ，】，c ”( m ；掰) 有科( x ，】，) 孝= 0 ， 等价于 = 0 ( 1 2 2 0 ) 1 3 浙江大学硕士学位论文单位球面r f lc l i f f o r d 环面的几何特征 1 3 几个性质 性质1 如果m ”是某个空间形式的具有平行平均曲率向量的子流形，则要么 h = 0 ，或者h 是常数，要么，以= 致以扩 性质2 1 1 设q ，口2 ，巴是一组实数满足q = o ，口；= 口，那么有 jj l 莩彳l ( 刀一2 ) 刀( 刀一) 。1 佗口3 ，2 ，且等号成立当且仅当至少有刀一1 个实数q 相同 性质3 如果m ”是f 帅( c ) 的具有平行平均曲率向量的子流形，这里f 叶p ( c ) 是 n + p 维常曲率空间形式贝0 对所有的口，i , ， 馄= o ，= o i量 1 4 浙江大学硕士学位论文单位球面巾c l i f f o r d 环面的几何特征 2 1 定理1 的证明 第2 章定理的证明 首先我们由s m w e i 和h w x u 7 有以下引理， 引理1 设m 是s ”1 ( 1 ) 中的n 维闭极小超曲面，如果 3 ( a 一2 b ) _ t ( n ) s l v h 2 ， 其中里t ( n ) 是仅依赖于n 的一个常数，满足o f ( 刀) 2 + 三那么存在一个正的常 行 数8 ( n ) ，使得当刀s n + 6 ( n ) 时，s 言， 引理2 设m 是s 肿1 ( 1 ) 中的n 维闭极小超曲面， ，五丸是m 的主曲率，如 果在任意的点p m ，至多有一个单的主曲率，则对于任意的f ，k ， 一4 丑五2 s ， 证对于任意的p m ，设m 在这点的主曲率分别为a ，五4 ，它们的重数 分另u 为n i ，n 2 ，i ，1 s f ， y 绣= j ， f = l 惕五= 0 ， f 王l y 砰：s _ 一 ， j = l 不失一般性，不妨设i = 2 ，k = 1 ，令 ( 2 1 1 ) r， f ：- - 砰一4 五 + x ( 吩以) + y ( 珥智- s ) ( 2 1 2 ) i = 1扛l 其中x , y 是l a g r a n g e 乘子于是我们有 1 5 浙江大学硕十学位论文 巾位球面中c l i f f o r d 环面的几何特征 厶= 2 五一4 五+ r h ( x + 2 y ；q ) = 0 厶= _ 4 + n 2 ( x + 2 y , , t 2 ) = 0 ， 厶2 乃o + 2 蚂) = 0 ( j z 3 ) ， 正= 名= o ， j = l = 智- s = o f = l ( 2 1 3 ) 故以= 五= = 4 ，因此在目标函数f 的极值点上至多有三种不同的主曲率设 它们为五，五，乃，它们的重数分别为口，屈厂，即 仅+ p + y = n ， 嘲+ 鹏+ 屁= o 伐武七b 磕七谚哇= s ( 2 1 4 ) 设 = 后c 。s 强嗽五= 居s 枷s 帅，乃= 污c 。s 卵卟彬脚印川， 则 g - 4 五五= 詈c o s 2 锱n 2 一而s 刚s i n 锱n 2 缈 a q a p 都b 湘一南c o s o s i n 0 卜妒 酣l 型2 a 一南如2 口j s i n 2 缈 亿 ， i筇j 、7 筇( 、- 一1o s 2 护丽2 2 0 r 2 a 蓟舵秒j s i n 2 缈 i筇j 睁蹋 由定理条件可知口，中至多有一个为1 ，另一个大于或等于2 ，故 砰一4 五 2 s 1 6 证毕 浙江大学硕十学位论文单位球面中c l i f f o r d 环面的几何特征 引理3 设m 是s ”1 ( 1 ) 中的n 维闭极小超曲面，则 3 c a 一2 b ) _ 2 s l v n l 2 ， 证根据a ，b 的表达式彳= 磙砰，曰= 磕 乃，由引理2 可得 3 ( a - 2 b ) = 颤( 彳+ 巧+ - 2 4 五j 一2 乃五一2 以五) = 磕( 2 ( 舒+ 考+ 露) 一( 乃一t 一五) 2 ) i i k d i s t i l l + 3 2l 2 4 乃五) + 瑶( 一3 9 ) ( 2 1 6 ) 2 s 磙+ 2 s 磙+ 磁( 一3 彳) j k j 量j d i s t i n c ! 2 s 磕= 2 s l v h 2 证毕 定理1 的证明 由引理i 和它的证明过程以及引理3 ，可知存在万( 刀) = 2 1 3 ，当 删m 肺阳棚m 舢一阱( 厚 证毕 1 7 浙江大学硕士学位论文单位球面中c l i f f o r d 环面的几何特征 2 2 定理2 的证明 设 则有 六= ( 五) ， 鸬= 日一乃，i = l ，2 ，疗， = ( 鸬) ， 蜀= 0 ，垦= s 一，甜2 ， 毋= 3 h s 一2 n i l 3 一石， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 类似于【4 】，【6 】及定理1 的证明中的计算，我们可以得到以下一串等式或不等式， i 2 a s = l v 办1 2 + s ( 玎一s ) - r 1 2 日2 + 喊， ( 2 2 6 ) 丢( 阿) _ ( 2 棚埘附+ 3 ( 2 b 卅一j 3i v s l 2 + 刚2 + 3 棚，( 2 2 7 ) 阳1 2 吾( 刀s 一2 s 2 + s t , 一五+ 2 似_ n 2 h 2 ) ， ( 2 2 8 ) 冲删：，瓯一名+ 峭一呼脚， ( 2 2 9 ) mm 3 ( 么一2 b ) - 0 ( 2 2 1 6 ) 一s - n h 2 + 丽n ( n - 2 ) 日一志瓜丽地( 2 2 s ( s 一行) + ”2 日2 一，订玩0 由( 2 2 6 ) ，( 2 2 14 ) 及( 2 2 18 ) 得 1 9 ( 2 2 18 ) 浙江大学硕士学位论文单位球面中c “肺r d 环面的几何特征 。产扣2 ，一争i 叫2 + 3 ( a 一2 b ) + 9 s ( s ( s 一功+ 矛砰一嘲) 一蚴刎 s 少一丢s 一锄一3 ) l y e + s l y 叫2 + 罢( 触忉+ m 鳓i 叫2 + 3 栅i 叫2 跏( 2 2 1 9 ) 2 m ，( ( 一扣一知专+ 9 g , 弓n ) + 三 砌l 叫2 抛 o 日 l ，i 翳a 3 n i l 一一1 o 解得 刀+ 1 = h 一 ( 2 3 2 3 ) ( 2 3 2 4 ) ( 2 3 2 5 ) ( 2 3 2 6 ) ( 2 3 2 7 ) 因此m 是s 肘，中的等参超曲面s ”1 南 s 1 ( _ 万 ，其 中五= h + ( 3 ) 若n = 2 ，且 厮+ 揣羔h 一志2 ( n 瓜而丽一o ( 2 3 蕊 2 小( 即一1 ) 一1 ) 。、 。 、7 、。 则通过计算得 s = 2 + 4 h 2 ( 2 3 2 9 ) 根据文献【9 】，有m c s 3 ( ，) c s 4 ( 1 ) ，其中m 是球面s 3 ( ，) 中的具有常平均曲率 浙江大学硕十学位论文单位球面中c i i 仃o r d 环面的几何特征 h o 的c l i f f o r d 环面s 1 ( ) s 1 ( 吒) ， ，吃- 2 ( + h 2 ) 2 风( t + 日2 ) - 1 2 , r = ( 1 + 日2 一瑶) 。1 ，2 ，o 风日 证毕 浙江大学硕士学位论文单位球面中c l i f f o r d 环面的几何特征 参考文献 【l 】j s i m o n s ，m i n i m a lv a r i e t i e si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n n m a t h ，l9 6 8 ，8 8 ， 6 2 - 1 0 5 【2 】b l a w s o n ，l o c a lr i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s , a n n m a t h ， 8 9 ( 1 9 6 9 ) 1 8 7 - 1 9 7 【3 】s s c h e r n ，m d oc a r m o ，s k o b a y a s h i ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d so f as p h e r ew i t h s e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fc o n s t a n tl e n g t h f u n c t i o na n a l y s i sa n dr e l a t e d f i e l d s ，n e wy o r k ，s p r i n g e r - v e r l a g ，19 7 0 【4 】c k p e n ga n dc l t e r n g ，m i n i a lh y p e r s u r f a c e so fs p h e r e sw i t hc o n s t a n ts c a l a r c u r v a t u r e ，a n n m a t h s t u d 10 3 ( 19 8 3 ) ，17 7 - 19 8 【5 】q m c h e n ga n dh c y a n g ，c h e m sc o n j e c t u r eo nm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s ， m a t h z 2 2 7 ( 19 9 8 ) ，n o3 , 3 3 7 - 3 9 0 【6 】c k p e n ga n dc l t e m g ，t h es c a l a rc u r v a t u r eo fm i n i m a lh y p e r s u r f a c e si n s p h e r e s ，m a t h a n n 2 6 6 ，1 0 5 - 11 3 ，1 9 8 3 【7 】s m w e ia n dh w x u ，s c a l a rc u r v a t u r eo fm i n a lh y p e r s u r f a c e si nas p h e r e ， m a t h r e s l e t t 14 ( 2 0 0 7 ) ，n o 3 ，4 2 3 - 4 3 2 【8 】m o k u m u r a ，h y p e r s u r f a c e sa n dap i n c h i n gp r o b l e mo nt h es e c o n df u n d a m e n t a l t e n s o r , a m e r j m a t h ，9 6 ( 1 9 7 4 ) ，2 0 7 - 2 1 3 【9 1s t y a u ，s u b m a n i f o i d sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r el ，i i ，a m e r j m a t h 9 6 ( 19 7 4 ) ，3 4 6 3 6 6 ；9 7 ( 19 7 5 ) ，7 6 - 10 0 【10 h w x u ，p i n c h i n gt h e o r e m s ，g l o b a lp i n c h i n gt h e o r e m s ，a n de i g e n v a l u e s f o rr i e m a n n i a ns u b m a n i f o k d s ，p hd d i s s e r t a t i o n ，f u d a nu n i v e r s i t y , 19 9 0 【l1 h w x u ，ar i g i d i t yt h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ei na s p h e r e ，a r c h m a t h ，19 9 3 ，61 ，4 8 9 4 9 6 【1 2 h w x ua n dj f z h u ，a no p t i m a lr i g i d i t yt h e o r e mf o rc o m p l e t es u b m a n i f o l d s i nas p h e r e ，a p p l m a t h j c h i n e s eu n i v 2 0 0 8 ，2 3 ( 2 ) ：219 2