（基础数学专业论文）常曲率黎曼流形中曲面的weierstrass表示.pdf

摘要 x s s s 2 8 乏 本文给出日3 中给定g a u s s 曲率曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式i 讨论了双曲g a u s s 映 照、法g a u s s 映照和平均曲率( 或g a u s s 曲率) 的联系；并导出一个有趣的二阶非线性 方程，它的解所对应的图的法g a u s s 映照关于由第二基本形式所诱导的共形结构是共形 映照；给出日”中由法g a u s s 映照给出的w e i e r s t r a s s 表示公式；给出铲中极小曲面的 w e i e r s t r a s s 表示公式 致谢 衷心感谢各超豪教授和胡和生教授对学生的热情鼓励和无徽不至的关怀；衷心感谢 我的导师忻元龙教授在我的学习过程中给予的悉心指导、热情鼓励和无微不至的关怀； 衷心感谢洪家兴教授给子学生的无微不至的关怀和启发；衷一t 2 , 感谢李嘉禹教授在课堂和 讨论班上给子学生在几何分析领域悉心指导和启发；在三年的学习过程中得到黄宣国 教授和付吉祥副教授的诸多帮助，学生表示衷心的感谢 衷心感谢数学系资料室、数学系、数学研究所和复旦太学对于学生的培养 第一章引言 1 1w e i e r s t r a s s 表示的历史及现状 极小曲面的j 力史司以遇搠到2 4 0 年以前，j b m e u s n i e r 求解极小曲血方程碍到t 悬链面和正螺旋面后来人们在即中寻求以给定闭曲线为边界的面积最小的曲面，即 p l a t e a u 问题p l a t e a u 从实验中找到了许多极小曲面的例子同时， k w e i e r s t r a s s 和 a e n n e p e r 得到了极小曲面方程的通解公式： z t = 扣 ( 1 - 9 2 膨) ， 。= 划e 叭1 + 9 2 ) d z ， 凡e f ! 。舭l l z oj 由z = ( 。，：，z 3 ) ：_ 丑3 便给出了单连通黎曼面到r 3 的所有的共形极小浸入，其 中，是上的全纯函数，g 是上的亚纯函数，的零点集与g 的极点集一致，且， 的零点的阶数是该点作为g 的极点阶数的两倍 现在人们称这个通解公式为极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式这个表示公式实际上 给出了单连通黎曼面上方程组 a 2 8 2 8 i ( 等 的通解使用w e i e r s t r a a s 表示公式，人们可以得到一些极小曲面的例子公式中的9 有 重要的几何意义，即9 是曲面的g a u s s 映照与s 2 的球极投影的复合，是亚纯函数因 此，人们可以推广b e r n s t e i n 定理，从而最终证明了极小曲面的g a u s s 映照的值分布定理 【9 1 在1 9 3 3 年，e f b e c k e n b a c h 1 8 1 得到了r “中的极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式 直到1 9 7 9 年，上述w e i e r s t r a s s 表示公式才由k k e n m o t s u 1 7 】推广到丑3 中的一般 曲面，得到了舻中给定平均曲率函数曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式，关于g a u s s 映照的 二阶偏微分方程成为表示公式的完全可积条件对应于极小曲面的g a u s s 映照是全纯映 照，常平均曲率曲面的g a u s s 映照是到标准球面的调和映照 da h o f f m a na n dr o s s e r m a n 1 4 】推广帮中的曲面的w e i e r s t r a s s 表示，得到凡n 中 完全由曲面的g a u s s 映照给出的w e i e r s t r a s s 表示公式，差一个相似变换和一个欧氏平 移，得到的曲面是唯一的 d a h o f f m a na n dr o s s e r m a a 1 5 也给出了s 3 中的极小曲面的一个表示公式洪剑 峭 3 1 和r a i y a m aa n dk a k u t a g a w a 1 独立地给出了p 中给定平均曲率函数曲面的 w e i e r s t r a s s 表示公式 0 = 、， 堕舭 ，、 o 2 =、 蝴堕如 “i 芦 + 广 在双曲空间中，首先由c l e p s t e i n 7 】和r lb r y a n t 5 定义了日3 中曲面的双曲 g a l l s s 映照，r l b r y a n t 使用这个双曲g a u s s 映照给出日3 中常平均曲率为1 的曲面的 w e i e r s t r a s s 表示 u m e h a r aa n dy a m a d a 2 7 2 9 和y uz u h u a n 3 0 研究了这种曲面的许 多性质于祖焕，黎镇琦 3 2 和r a i y a m aa n dk a k u t a g a w a 2 】独立地推广了b r y a n t 的 表示公式给出日3 中常平均曲率( 1 ) 曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式 m k o k u b u 1 9 定义了双曲空间中曲面的另外一种g a u s s 映照一法g a u s s 映照，并 给出了日n 中极小曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式r a i y a m aa n dk a k u t a g a w a 3 1 和作者 f 3 3 1 独立地给出了日3 中给定平均曲率曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式 ja g g l v e za n da m a r t i n e z 1 0 1 第一次给出了搿中给定g a u s s 曲率函数曲面的 w e i e r s t r a s s 表示公式不同于以往考虑曲面在空间形式中的共形浸入，他们使用曲面的 第二基本形式在曲面上诱导的共形结构 最近，f h l e i na n dp r o m o n 研究了r 4 中的l a g r a n g i a n 曲面，并给出了这类曲面 的一种新型表示公式| 8 1 1 2 曲面的g a u s s 映照 r 3 中曲面的g a u s s 映照是刻划曲面弯曲程度的一个重要几何量g a u s s 曲率可以 看成是曲面片的g a u s s 映照像的面积与曲面片面积的比值的一个极限，而且这一结论对 r “中的极小曲面是成立的因此定义曲面乃至子流形的各种形式的g a u s s 映照是有重 要意义的【2 5 7 】 1 9 2 1 1 3w e i e r s t r a s s 表示与复变函数论和偏微分方程的联系 首先，将曲面视为黎曼面，对于某类特殊曲面，它们的g a u s s 映照是共形映照从 而复变函数论中的一些重要定理就可用于对曲面的研究如复变函数论中的l i o u v i l l e 定 理、p i c a r d 定理应用于b e r n s t e i n 定理和g a i l s s 映照的值分布研究f 9 1 w e i e r s t r a s s 表示与偏微分方程有密切联系 2 0 】微分几何的一个重要问题就是研究 子流形的微分几何与偏微分方程之间的联系从几何的角度看，偏微分方程的可解性是由 w e i e r s t r a s s 表示公式构造曲面的充要条件；从方程的角度看，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l ，m i u r a 在1 9 6 7 年把非线性偏微分方程视为某个线性方程组的可积条件，这个方法称为i s t 方 法 k e n m o t s u 1 z 给出的曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式及其可积条件正是个例子 本文主要讨论双曲空间中曲面的w e i e r s 乜8 表示在第二章中给出日3 中曲面的双 曲g a u s s 映照，法g a u s s 映照和平均曲率函数间的联系；在第三章得到日3 中给定g a u s s 曲率曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式及其可积条件，并给出双曲g a u s s 映照、法g a u s s 映照 和g a u s s 曲率间的联系；并导出当图的法g a u 8 8 映照关于由第二基本形式所诱导的共形 结构是共形映照时所满足的一个二阶非线性方程在第四章，给出日“中由法g a u s s 映 照给出的曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式；第五章主要给出p 中极小曲面的w e i e r s t r a s s 表 示公式 2 第二章3 维双曲空间中曲面的双曲g a u s s 映照和法 g a u s s 映照 子流形的g a u s s 映照对于刻划流形的弯曲性质起着重要作用如对群中的极小曲 面的b e r n s t e i n 定理及其推广【g ，直接牵涉极小曲面的g a u s s 映照因此，定义曲面乃至 子流形的各种形式的g a u s s 映照以及对它们的研究是有重要意义的m o b a t a 2 1 推广 舻中曲面的经典的g a u s s 映照定义，给出常曲率空间形式中的浸入子流形的g a u s s 映 照的定义础以至r “中的曲面的w e i e r s t r a s s 表示都是使用这种形式的g a u s s 映照的 定义1 4 1 7 c l e p s t e i n 7 和r l b r y a n t 5 1 给出了日3 中的曲面的双曲g a u s s 映照的定义。而且 b r y a n t 还给出常平均曲率为1 的曲面的w e i e r s t r a s s 表示，关于这种曲面的双曲g a u s s 映照 是全纯映照，也有类似于斧中极小曲面 9 的g a u s s 映照的值分布理论 3 0 mk o k u b u 1 9 给出了日“中的曲面的法g a u s s 映照的定义 3 】 33 】使用法g a u s s 映照给出了日3 中给 定平均曲率曲面的w e i e r s t r a s s 表示，而且【3 给出了双曲g a u s s 映照和法g a u s s 映照的 一种联系 本章以更加直观和简洁的方式给出日3 中曲面的双曲g a u s s 映照和法g a u s s 映照的 上述关系，其中涉及曲面的位置函数利用 33 】中的曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式，得到了 它们的进一步关系，并且发现般的曲面由双曲g a u s s 映照和平均曲率函数唯一确定， 这与法g a u s s 映照和舻中经典的g a u s s 映照有所不同并且得到了曲面关于双曲g a u s s 映照和平均曲率函数( 或h o p f 微分) 的一个必要条件以及双曲g a u s s 映照所满足的二阶 线性椭圆方程最后对两种形式的关于双曲g a u s s 映照的三阶非线性偏微分方程利用曲 面的w e i e r s t r a s s 表示公式给出了它们的一个解 2 1法g a u s s 映照和双曲g a u s s 映照的定义 取3 维双曲空间的上半空间模型 h 3 = ( 。l ，。2 ，知) 酽：如 0 ) 黎曼度景为g = 嘉( 出i + d x ；+ d x g ) ，截面曲率为一1 令e 是一个连通黎曼面，z ：_ 日3 是共形浸入，局部等温参数 ，如，局部复坐 标。= l + 龟，诱导度量为d s 2 = a 2 l 出1 2 ，幺正切向量场为e l = i l i o 百，e 2 = x 15 0 石，。( ) 在 日3 中的单位法向量场为 一 a8a 、 ”一石托n 蕊机”丽j 其中 1 a 0 2o 勋a 船a z 2 、 e 3 1 2 孺i 石丽一鬲两j ， e 3 2 2 孺丽石一两丽， 1 厂a z la z 2a 0 2 a 乱、 铀”孺石瓦一丽两少 e ；i + e ；2 + e = 1 1 平均曲率为h = ；( 1 1 + h 2 2 ) ，定义h o p f 微分t 舻d z 2 = ( h l l h 2 2 ) 一i h 。2 d z 2 ，其中 h l l ，h i 2 ，h 2 2 是。( ) 在标架 e 1 ，e 2 ，商) 下的第二基本形式系数 首先定义法g a u s s 映照 1 9 】 3 3 ：将日3 与l i e 群 日3 = ( 00 l o 9 0 3 2 3 0 1 0 x 30 2 0o1 等同，日3 中的乘法定义为矩阵乘法 x y = 【z l + z 3 y l ，卫2 + x 3 y 2 ，2 3 y 3 ) ， 单位元为e = ( o ，0 ，1 ) 一- 1 = ( 一署，一詈，去) ，易知h 3 上的黎曼度量是左不变的，左不变 幺正切向量场为 。 蜀一。杀l 焉。击，墨一。去 d od z 2d z o 单位法向量场可写成育= e 3 1 x 1 + 8 3 2 恐+ e 3 3 x 3 ，左移动嚣到t e ( h 3 ) 中去，得 - i - + = k “n ) - 钿去( 讣e 3 2 去( e ) + e s 。去( e ) 观1 ) c t , h s ， 再向赤道平面作球极投影，得g u o 。 的映照： 9 1 ( 。) = 訾，吾u i = s 2 ( 1 ) ， 9 。( z ) = 警，茬如= s 。( 1 ) 四， g = g 】( 或9 2 ) 称为曲面z ( z ) 的法g a u s s 映照 注2 1 1 ：由于在u l n 巩上，g i 9 2 = 1 ，以下只考虑g l 即可，记为g ， 下面给出双曲g a u s s 映照的定义 5 7 ： h 3 是非紧致的，通过在无穷远处添加一个理想边界- - 2 维球面s 戛可使日8 紧化，得 到紧化空间耳5 = h 3 u 器，这里取s 器为从( o ，o ，1 ) 出发的所有测地射线组成的集合，易 知s l = ( z 1 ，2 2 ，o ) r 3 ) u o 。) = h 3 ( 一1 ) r + ，s 毛上具有自然的复结构，局部上z l ，现 为共形参数，给定定向为d z la d x 2 ，对共形浸入z ：e _ + h 3 , v z ，过z ( = ) 的以法向量 元( z ) 为切向量作h 3 中的定向测地线，交s l 于两点，因为测地线已定向，可以规定一 个交点为起点，另一个交点为终点，称这个终点为曲面z ( ) 在z ( z ) 处的双曲g a u s s 映 照像，记双曲g a u s 8 映照为香 4 为下文的叙述方便，先引述【3 3 的两个定理 定理2 1 2 ：是单连通黎曼面，。：e _ 4 3 是共形浸入，则 ( 1 ) 当妲肄4 时，z ( ) 有w e i e r s t r s 表示公式 a z i。3 ( 1 一f 2 ) 口5 瓦。弼茅可再而 ( 2 1 ) 粤：百要业辜址， ( 2 2 ) 嬲( 崭一4 ) ( 1 + 2 一 巢：市百里墼l ( 2 3 ) 船( 崭一4 ) ( 1 + i g l 2 ) 2 一 上述方程组的完全可积条件为： ( 一* ；一品玑肌) = 岳( 躲书一淼皿t ， ( 2 ) 当噼替= h 即乳= o 时，( e ) 有w e i e r s n a 8 s 表示公式 等= 一器1g l ， 江s ， 舷州+ 2 ) 2 7 鲁= 器， 皿e ) 撕( 1 + 酬2 ) 、+ 箸一鼎9 1 2 ( 2 ，) 船 ( 1 + ) 2 、7 上述方程组的完全可积条件为： 一扣+ 弄鲤+ 未i 衍i ( 2 s ) 乳z2 石以啦+ i 。；彳矛+ 丽i _ i 彳；阿如-【z 8 ) 注2 1 3 ：( 2 4 ) 式在满足粤躲= 日的点处也成立 2 2 双曲g a u s s 映照0 和法g a u s s 映照g 的关系 由法g a u s s 映照的定义，知浸入。：- 日3 的单位法向量可写为 嚣= ( 帮，警铲，掣) 在刖中，过z ( z ) 阻嚣( ；) 为切向量的定向测地线为在z ( 。) 处切于并( 。) 的正交于坐标 平面 ( z 。，z z ，o ) ：( 。，z 。) r 2 ) 的半圆或过$ ( z ) 的垂直于 ( z l ，。2 ，o ) ：( 。，：) 辟) 的 欧氏直线，由双曲g a u s s 映照西的定义，否( 。) 即为上述定向半圆或定向直线的终点 注意到h 3 与艘中的垂直关系是一样的，由r 3 中的欧氏几何，求得上述半圆的圆心坐 标为 ( ”型熊蒜学，妒咝型舞学，。) ， 半径为型氆苦 努 业这样便求出双曲g a u s s 映照像的坐标为 。( 。) = ( z ，( = ) + ! 型兰丛! 掣，z ：( z ) + 塑堡垦i 焦掣，。) ， 写成 ( z 1 ，2 ：2 ，o ) ：( x l ，z 2 ) 掣) 中的复坐标形式，即得到法g a u s s 映照和双曲g a u s s 映 照的关系为； 定理2 2 1 ：设为连通黎曼面，z = ( z l ，z 2 ，。3 ) ：_ h 3 是共形浸入，则法g a u s s 映照g 和双曲g a u s s 映照g 满足： g ( z ) = 。l ( z ) + z 2 ( z ) + 。3 ( z ) g ( z ) ( 2 9 ) 注2 2 2 ：( 29 ) 式可写成 否：丝盎堕型 了嚣t 这正是文 3 】3 中给出的双曲g a u s s 映照g 和法g a u s s 映照g 的关系而且由 z = ( 澍乱+ 窑1 ) ( 舅1 ( 一锄，了1o ) = ( 莓警) 和定理2 1 2 ( 1 ) 便给出了双曲空间m i n k o w s k i 模型下给定平均曲率函数h 和非全纯法 g a u s s 映照g 的w e i e r s t r a s s 表示公式 3 2 3 双曲g a u s s 映照0 为共形映照的情形 为完整起见，这里使用定理2 2 1 给出b r y a n t 5 的一个结果的重新证明： 定理2 3 1 ：双曲g a u s s 映照g ( = ) ：_ + 昆是共形的当且仅当或者浸入z ：- 十日3 是全脐点的( 这时9 ( z ) 为反全纯映照且g 不保持定向) 或者浸入。：日3 的平均曲率 函数h = 1 ( 这时百保持定向) 证明：当粤斋丑时，由【3 3 的推论3 1 知拈0 ，由( 2 9 ) ( 2u ( 2 2 ) ( 2 3 ) 得 g ：= = g z = 等+ i 磐州z ) 堕o z + z 。乳 0 3 乳， 警+ i 鲁+ 9 ( z ) 鲁+ 翻驰瓦+ 2 瓦+ 州瓦+ 翻驰 ( 1 一日) ( 1 + l g l 2 ) 。3 靠 ( 蚓2 1 ) 一日( 1 + l g l 2 ) 6 ( 2 ，1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 而且 f 丘i = ； 黝( 1 + 胛) l oj ， f 百：i = ；a z 3 ( 1 + 引2 ) 1 1 一日j 上述公式和( 2 1 1 ) 式在瞿崭= h 的点处也成立否：_ + s l 是共形映照当且仅当 包= 0 或岛= 0 ，当且仅当= o 或h = 1 当h ；1 时， i 舾 d 否= ；( f 5 ；h 饼) d z a d 2 = ；。引乳1 2 d z ad 2 0 即这时g ：e + s 乏或保持定向或是一个常值映照 当h 1 时，令u = m 2 l h ( m ) 1 ，则u 是开集，在u 上，t = 0 ，g ：= 0 ，即 z ( u ) 是全脐点的，则由( 2 , 4 ) 知在u 上l 鲫= 0 ，令y 是u 的一个连通分支，则或者 乳在y 上具有孤立零点，或者在y 上啦i0 对于前者。则耽i y = 0 ，h 在y 上是常 数，且h 1 ，因此日在矿上为常数，所以矿u ，由v 是连通的，矿= y ，由是连 通的知v = e ，所以x 是全脐点的，且 ；撕 瘟= 一扣1 2 d z a d 2 0 ，d l ，d 2 使得 ：g l ( ：) = c y l ( ，( 2 ) ) 4 - d 1 ，勋( 2 ) = 叫2 ( ，( z ) ) 4 - 如，z 3 ( z ) = c y 8 i f ( z ) ) 由定理2 2 1 对z l ，有 0 1 ( = ) = z l ( 2 ) + i x 2 ( z ) + 粕( = ) 9 1 ( z ) = c ( y l ( ，p ) ) 4 - f 啦( ，0 ) ) + 蛐( ，( z ) ) 驷( ，( z ) ) ) 4 - 血4 - i d 2 = c g 2 ( ，( z ) ) 4 - ( d 14 - t 如) 三 g 2 ( ，( ：) ) ， 由静0 ，( z ) 0 ，得c = 1 ，d 1 = 如= 0 ，所以z ( z ) = ( ，( ；) ) ，z 1 ( 2 ) 由定理2 4 1 的( 21 8 ) 式以及( 2 2 7 ) 式得9 1 ( z ) = 驰( ，( z ) ) ，z 1 再由( 2 1 7 ) 式 对z 1 有 州加掣掣， 由( 27 ) 得x 3 ( z ) = 甜3 ( ，( z ) ) ，c 0 为常数再由( 25 ) ( 2 6 ) 得 z l ( z ) = c y l ( ，( z ) ) + d i x 2 ( z ) = 甜2 ( ，( z ) ) 4 - d 2 其中d - ，d 。为实常数，以下同( 1 ) 的证明得到。( z ) = ”( ，( z ) ) ，z e 1 注2 4 6 ：推论2 45 说明，满足推论2 4 5 充分条件的全纯映照，：l - 4 2 实际上 是1 2 的全纯等距映照，且保持h o p f 微分 注2 4 7 ：推论2 4 5 说明双曲g a u s s 映照在确定浸入曲面这一方面比法g a u s s 映照 要强，法g a u s s 映照和平均曲率( 或h o p f 微分) 确定曲面差个日3 等距变换，而双曲 1 0 g a u s s 映照和平均曲率则唯一确定曲面另外，推论2 4 5 对平均曲率为1 的曲面不成立 ( 见 2 8 定理2 7 ) ，这一点与r 3 中不相互差帮的一个等距变换的极小曲面可以有完全相 同的g & u s s 映照有相似之处 推论2 4 8 ：e 是单连通黎曼面，给定芑上的g 。复值函数g o ，俨实值函数h 1 ， 和c 1 非零复值函数，则有 ( 1 ) 若9 是非全纯函数且满足( 2 4 ) 式，则g ( ：) = x l ( z ) + i x 2 ( z ) + z 3 ( ；) 口( = ) 是关于 g 的三阶非线性偏微分方程( 组) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 的一个解，其中2 ：1 ，2 3 2 ，功由( 2 1 ) ( 2 ，2 ) ( 2 3 ) 积分给出；并且c g + ( d + i d 2 ) 都是( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 的解( c 为任意非零实数，d 1 + i d 2 为任 意复常数) ，当h 为c o 函数时，c g + ( d 1 十d 2 ) 还是二阶线性椭圆方程( 组) ( 23 1 ) ( 2 3 2 ) 的解i 最后，c g + ( d l + i d 2 ) 是共形浸入( 删i + 血，2 + d 2 ，i c l 2 3 ) ：- + h 3 的双曲g a u s s 映照； ( 2 ) 若9 是全纯函数，且满足( 2 8 ) ，则g ( = ) = 。l ( z ) + i 2 ：2 ( 。) + 2 3 3 ( z ) 9 ( = ) 是关于g 的 三阶非线性偏微分方程( 组) ( 2 a 7 ) ( 2 1 8 ) 的一个解，其中0 1 ，z 2 ，2 ：3 由( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 27 ) 积分 给出；并且c g + ( d 1 + i d 2 ) 都是( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 的解( c 为任意非零实数，d 1 + t 如为任 意复常数) ，c g + ( d l + i d 2 ) 还是二阶线性椭圆方程( 组) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 的解；c g + ( d l + i d 2 ) 是共形浸入( c 2 3 1 + d l ，2 + d 2 ，c | z 3 ) ：_ 甘3 的双曲g a u s s 映照；最后，对上的任 意非零全纯函数妒，g = i l + t i 2 + 黾9 也是( 2 ，1 8 ) 的一个解，其中奢l ，i 2 ， 3 由下述方程 组给出： a 蠹1 石z 3 ( 1 一2 ) 乳 犯一 耐1 + 2 ) 2 a 玩i 诂3 ( 1 + _ 2 ) 乳 瓦5 可砸雨r 箝32 强3 虿啦 瓦5 一而了面甲 证明：由定理2 i 2 ，定理2 2 1 以及定理2 4 1 推论2 4 4 可以证明 定理2 4 9 ：令是单连通黎曼面，共形浸入z ：_ 圩3 无脐点g o 和否分别是曲 面z ( ) 的法g a u s s 映照和双曲g a u s s 映照，并且假定双曲g a u s s 映照0 ：- c u o 。 是e 到o ( ) 的微分同胚若日( 1 ) 是常数且日样斋，则双曲g a u s s 映照舀必须满 足： 百z ；一志百= 。= = 。 ( 2 3 5 ) 。“一i 玎r 千丽。”。一“ l 。 即。：- + ( 酽，c e 印 一z ，i 亭鼍袭暮) 血书是调和微分同胚，其中c 是任意正常数，上述积分是沿着g ( ) 中的从定点出发的路径 证明：由( 2 2 2 ) 式知日为常数时( 2 3 5 ) 式成立百：( ，i 出1 2 ) _ ( s 2 ，p 2 幽6 订) 是调 和的当且仅当0 满足 百：+ 兰挲舀：0 ：= 0 通过验证下述方程的可积性 2 舡2 y c a - 1 ( u ) ) p 挑 ( g - 1 ) ) ( 14 - i g ( a 一1 ) ) 1 2 ) 7 我们知道( 23 5 ) 恰为e 到 ( 乒印 川万稀鬻粉丽卜枥) 。 的调和映照方程 注2 4 1 0 ：微分同胚这个条件对常平均曲率曲面的双曲g a u s s 映照成为到s 2 的调和 映照是必要的吗? 2 5 例子 本段给出上段关于推论2 , 4 8 的两个倒子 例2 ，5 1 ：取e = ( 矗，6 ) r 2 ：6 r ，6 o ) ，z = 矗+ i 6 ，g = e ( z + 2 ) = c o s , e l + s i n 已，h = 0 一j ) = 一；岛易知g 非全纯且满足( 2 4 ) 式，由( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 知 忙1 ，0 2 ，x 3 ) = ( c c o s l + d l ，c s i n 矗+ d 2 ，2 ) ，贝4g = ( c c o s 1 + d 1 ) + i ( c s i n 6 + d 2 ) + c e e 弛+ 。) = c ( 1 + 已) e 越- + d 是方程( 组) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 以及二阶线性椭圆方程组( 2 3 1 ) ( 23 2 ) 的解，c 为非零实常数，d 为任意复常数 例2 5 2 ：取e = 伽c ：r e ( z j h ( z ) l ，z = f l + 渤，g ( z ) = 。是全纯函数， = 一寄毛南，易知g ，满足( 2 8 ) ，则由( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 知 c 钆蚓= ( c z - - j 1 ，) 地，嘏e ( z ( z + i 1 矿) ) + 如，如p ，) 则g = c ( 。3 + i + h 2 j ) + d 是方程( 组) ( 2 1 6 ) ( 2 z 7 ) ( 2 1 8 ) 的一个解，也是线性椭圆方 程组( 2 3 3 ) ( 23 4 ) 的一个解，其中c 为任意非零实常数，d 为任意复常数 注2 5 3 ：微分方程组( 21 4 ) ( 2 1 5 ) 是否具有c 百十d ( 其中c 为任意非零实数，d 为任 意复数) 意义下的唯一解? 对这个问题的肯定回答将给出h 3 中给定双曲g a u s s 映照和 平均曲率函数曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式 第三章3 中给定法g a u s s 映照和g a u s s 曲率函数曲 面的w e i e r s t r a s s 表示 j a g & l v e za n da m i t t h e z 在 1 0 中研究了r 3 中曲面的g a u s 8 映照的性质，特别 地，曲面上的共形结构由第二基本形式诱导而且 1 0 】用g a u s s 映照和g a u s s 曲率给出了 曲面的w 戡s t r a 表示受他们方法的启发，在这一章里，我们给出h 3 中绐定法g a u s s 映照和g a u s s 曲率的曲面的w e i e r s t r a s s 表示，这里曲面上的共形结构由第= 基本形式诱 导， 作为预备，5 1 介绍日3 的曲面论；在s 2 和3 分别讨论g a u s s 曲率k 一1 和 k ( 一1 的情形，给出给定g a u s s 曲率和法g a u s s 映照曲面的w e i e r s t r a s s 表示；得到关于 法g a l l 8 8 映照的二阶偏微分方程作为上述表示公式的完全可积条件；并且给出常曲率曲 面的两种刻划4 得到了双曲g a u s s 映照直至它的三阶导数、法g a u s s 映照以及g a u s s 苗率之间的联系，从而得到一个唯一性结果；还得到了常曲率曲面的双曲g a u s s 映照所 满足的调和映照方程在5 5 和5 6 讨论k = 一矗措知 一1 的情形，并给出了图所满足 的完全非线性二阶椭圆方程 取双曲上半空间模型 3 1汀3 中的曲面论 h 3 = “z l ，z 2 ，z 3 ) r 3 ：z 3 o 黎曼度量为g = ；l i t 、d x 2 + d 甥+ 出i ) ，截面曲率为一1 令是一个2 维连通可定向曲面，。：_ h 3 是浸入，l ，“2 是上的局部坐 标约定1 j 4 ，b ，s3 ，1 i ，j ，2 z ( ) 的第一和第二基本形式分别为 d s 2 = 趵d u 如j h = h l j d u i d u j 曲面z ( e 1 的单位法向量场为 ”掣3 1 两0 怕3 8 3 2 面3 锄丽 aa 其中 旬严丽面丽1 ( 丽c 9 2 2 面一瓦面 a 蜘 a 现a 、 e 。：= 讯南( 罄象一鬻蓦) 1 3 w e i n g a r t e n 公式为 g a u s s 方程为 = 瓦2 而l 丽2 1 r 垫0 u l 垫0 u 2 一面o x l 两a m 2 ) e ；l + e ；2 + e 函= 1 等= 2 土：3 ( 铀甏一e s n 鬻如一咄鬻)面2 p 面1 3 “面如” ，蒜j 将日3 与l i e 群 h s ： 00 l o g x 3 苫兰x 乱2l ：( x l , x 2 , z s ) e h 3 001 ， 等同，h 3 中的乘法定义为矩阵乘法，单位元为e = ( o ，0 ，1 ) 易知h 3 上的黎曼度量是左 不变的，左不变幺正切向量场为 x - = 。s 砉，x 。= 如去，弱= z 。去 单位法向量场可写为 = e a l x l + e 3 2 x 2 + e 3 3 x s 左移动亓到正( h 3 ) 中去，得 磊2 k “元) _ e 3 - 砉( e ) + e 3 ：击( e ) + e 3 3 去( e ) e 舛1 ) c 正( 矾 再向赤道平面作球极投影，得e _ g u o 。，的映照： 删2 半导，痞巩= s 2 ( 1 ) ) ， 9 2 ( x ) 等等，元巩毋( 1 ) s ) 口l ( 或9 2 ) 称为曲面。( e ) 的法g a u s s 映照 1 9 3 3 j 由于在u 1 n 上，9 1 卯：1 ，以下只 考虑g l 即可，记为g ：c u o o 易知 e 3 l2 g w + g e 一= i l g 怕- g j i ie 3 3 = 躲 ( 3 1 ) 下面给出双曲g a u s s 映照0 的定义卧 1 4 、【，j 日3 是非紧致的，通过在无穷远处添加一个理想边界一2 维球面s 毛，可使日3 紧化， 得到紧化空间耳。= 日3 u s 蚕，这里取s 盏为从e = ( 0 ，0 ，1 ) 出发的所有测地射线组成的 集合，易知s 盘2 ( z - ，口：，0 ) 斟) u o o ) ! 日3 ( - 1 ) r + s 圣上具有自然的复结构，局 部上。l ，z 2 为共形参数，局部复坐标为$ l + i z 2 对浸入z ：- + 且3 ，过。的以法向量疗 为切向量作日3 中的定向测地线，交s 之于两点，因为谢地线已定向，可以规定一个交 点为起点，另一个交点为终点，称这个终点为z ( ) 在z 处的双曲g a u s s 映照像，记双曲 g a u s s 映照为g 注3 1 1 ：由 2 4 的第七章命题3 4 知，日3 中g a u s s 曲率k = 一1 的曲面或者是全测 地的，或者局部上是直纹面，以下考虑一1 的曲面 3 2k 一1 的曲面的w e i e r s t r a s s 表示公式 浸入。：。日3 的g a u s s 曲率k - 1 ，由g a u s s 方程知，适当选取z ( e ) 的法向 量，可使第二基本形式h 成为e 上的一个正定度量，从而可被视为黎曼面， 诱导 了e 上的共形结构，局部复坐标。= u + i v 第一和第二基本形式记为 w e i n g a x t e n 公式成为 = e d u 2 + 2 f d u d + g d v 2 = e ( d u 2 + d v 2 1 e = 壶( ( 鲁) 2 + ( 鲁) 2 + ( 鲁) 2 ) f = 烈1 o 。z 。i8 锄2 i 。+ 丽0 2 2 丽0 2 2 + 瓮鲁) ， g = 去( ( 等) 2 + ( 鲁) 2 + ( 鲁) 2 ) 一一2 3t 船3 瓦一丽瓦”e g - f 2 面p 1 厂a 2 2 e g a $ 2 e f a z 2 、 2 i p 面一e g - f 2 瓦+ e g - f 2 面j ， 1 f a z 】a z 2e ga z 3e fa 尘3 、 2 i r “瓦一e 3 2 3 u 一e g - f 2 丽+ e g - f 2 面j 1 厂a o l e e a o l e f a z 】、 。i p 丽一e g - f 2 丽+ e g - f 2 瓦t 1 a z 2 e e a 0 2 e f a z 2 、 2 i p 丽一丽丽+ e g - f 2 瓦， 1 ，如1 o x , ze e 加3 e f a 期、 2 i i 嘞1 丽一8 3 2 面一e g - f 2 百+ e g - - - f 2 嚣j 1 5 ( 32 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 35 ) ( 3 6 ) f 37 ) 一 d oe 中其 瓦慨百百百百百 j a u s s7 y 稻；舭) g p 2 k 2 。+ 丽 定理3 2 1 ：z ：h 3 是浸入。法g a u s s 映照为g ：+ g u o 。) ，g a u s s 曲率 k 一1 且k 一揣，! | ： 鲁 而毒薪丽丽毒蒜丽卜s ， 鲁一如 而煮赣丽+ 而毒蒜丽卜， g 瓦q , 。3 f i 薪弦i 赫卜划 乳= f b ( 掣一e 。下8 ( e 3 1 + i e 3 2 ) + 百z o e 3 a ( e 3 1 + i e 3 2 ) ) 1 ( 3 1 1 ) 出2 f b ( 掣咱。下0 ( e 3 1 + i e 3 27 + 瓦0 e 3 3 旧。钞( 3 1 2 ) 由w e i n g a r t e n 公式，g a u s s 方程以及e ，f 和g 的表达式可直接计算，得 0 ( 8 3 1 + i e 3 2 )o e 3 3 ，、 一e 3 3 刁i 十1 f 1 8 3 1 + 。8 3 2 j = 一l ( e a + i e 3 2 ) ( 鲁伯。鲁) 一鲁( 鲁+ t 鲁) + 堡x 丑a r 塑a z + t 鲁) o e 3 1 + i e 3 2 )a e 3 3 ， 、 4 一e 3 3 刁i 一+ 瓦【8 3 1 + 。8 3 2 j = 一去旧，札剐( 瓮+ e 。：警) 一鱼x sf 堕o z + t 鲁) 一笔( 鲁+ i 瓮) 将( 3 1 ) 以及上面两式分别代入( 3 1 1 7 ( 31 2 ) ，整理得 ( 一一豁) 鲁+ t ( 一+ 锗) 鲁： 一( 一+ 错) 鲁+ t ( 一一瓣) 鲁： 2 ( g ：+ 9 2 吼) 勘 ( 1 + l g l 2 ) 2 ( 3 1 3 ) 2 ( 蟊+ 口2 玑) 即 ( 1 + 川2 ) 2 由上两式可解出鲁和鲁，便证明了( 3 8 ) ( 3 ，9 ) 由e 3 + e 3 2 + e 3 3 鲁：o ，得3 1 4 。 () 鲁= 掣1 斋堕o z 一粤1 器垫o z ( 。，5 ) a z j 9 f 2 一1 9 | 2 i 。1 。j 将( 3 _ 8 ) ( 3 9 ) 代入到上式，即证得( 3 1 0 ) 式- 1 6 推论3 2 2 ：同定理3 , 2 1 的条件，浸入z ：_ + h 3 的第一和第二基本形式为 d 一。( 一可商母邢) 舻+ ( 一可端特：研) 出2 + ( 丽面书将丽可+ x k + 1 ( 1 + j g 吐1 2 ) - ( 9 1 2 - 1 ) 2 ) 呲( 3 1 6 )十丽再可了评再面e 可+ j 2 ， ( 3 1 6 ) 忙丽( 丽而i ( i 端g l 訾而可一丽面名告4 - 丽可) 蚓n 0 j r + l 2 ) 一( | 9 1 2 1 ) 】2 、j _ 干1 ( 1 + 1 9 1 2 )( i g 2 一i 汗p 叫，” 平均曲率为 3 1 7 () h ：而匾耍群亚亚玉耍磷妞( 3 1 8 ) ： f 玎业出吐掣莩幽= 1 23 ：! 【丛夏叵露圆珏三正 r 、 i n j f 口。j 2 、o 定理32 - 3 ：设浸入z ：- 3 的法映照为 ：+ g u o 。) ，a u s s 曲率 一，且 一丌 a 1 掣- 1 阿2 则法h 映照g a 9 u 满s s 足： g gk1k g a u s s 4 ( 丘+ 1 ) k = 一鼎鞴蜒输鲰出l 3 笨等湍+ 篆导鬻一而罚面丽矿而也啦+ 而鬲订商打彳嚣焉班 ( 3 - 1 9 ) 证明：由定理3 2 1 ，方程击( 号 ) = 叠( l ) 可写成 堑三匦! 二掣：型：些一! 丛丑! 二趔! 划塑i n 赭舞+ 磊f 一 + 疋 _ 卫二旦塑刿典堡一一 ( ! 二麴! 地噬墼【 【。( 佩+ 崭) 2 丽。旧一崭) 2 而f 一 茄赫一茄器 + ! ! ! ：云；爹“s 一，3 ) 豇蟊一( 口一口3 ) 玑鳜) = 0 ( 3 。) ! ! 堡：三三f ! ! ! ：! ! l ：2 ：2 堕+ ! ! 塑( ! ! ：! ! ! ；! ! ! 12 ：i 壁 _ 再孺r + _ 再蔫产 亿 茄器+ 茄笨) q 茄器+ 茄器) 一! ! ! ! ! i i 鬻c c ，+ ，3 ，。= 。= + c 。+ 。3 ，= ，= ，= 。，c 。t ， ! ! 墨! ! ! ! l ! ! ：! ：! 笪一4 , 霄- + 1 9 ( 1 + l 口1 2 ) 2 吼j i 焉隔一百焉萨 g ( 1 + 1 9 1 2 ) ，2 豇而一两蒜 + 硷 _ 韭业型i ! ! ! 业噬墨【 【( 丽一崭) 2 厕( 瓜i 雨丽f + 4 k v - k 可，：， 2 k ( 。1 。+ i g 、2 )