（基础数学专业论文）对流扩散方程在乘积型差商空间中的差分格式及其并行算法研究.pdf

堡主丝兰! 堕堕芏墼查要垄墨墼翌茎堕皇塑! 塑鍪坌塑壅墨茎苎笪蔓i ! ! ! 墨 对流扩散方程在乘积型差商空间中的差分格式 及其并行算法研究 摘要：本文给出了组合差商法的概念，并用组合差商法在乘积型差商空间中构造了 一类精度较高、稳定性较好、计算简单、适用范围较广的显式和隐式差分格式：还 对所构造的隐式差分格式给出了并行迭代算法，它计算简单，计算时间较少，效率 较高。数值例子验证了理论分析的结果。 关键词：对流扩散方程，组合差商算法，乘积型差商空间，稳定性条件，对角占优 条件，并行迭代法。 中文图书分类号：0 2 4 1 8 2 硕士论文：对流扩敬方程在乘积型差商空间中的差分格式及其并行算法研究 t h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s d i f f e r e n c e s c h e m ei np r o d u c td i f f e r e n c eq u o t i e n ts p a c ea n d p a r a l l e lc a l c u l a t i o n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，t h ec o n c e p to fc o m b i n a t i o nd i f f e r e n c eq u o t i e n ti s g i v e n 。i th a sc o n s t r u c t e da k i n do fe x p l i c i ta n di m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e s i n p r o d u c td i f f e r e n c eq u o t i e n ts p a c e w i t ht h ei d e ao fc o m b i n a t i o n a l d i f f e r e n c eq u o t i e n t ，w h i c hh a sh i g h e rp r e c i s i o n 、b e t t e rs t a b i l i t y w i d e r a p p l i c a t i o ns c o p ea n dc a l c u l a t e ss i m p l y ：a n di ta l s og i v e no u tt h ep a r a l l e l i t e r a t i v em e t h o d sf o rt h ei m p i c i ts c h e m e ，w h i c hc a l c u l a t es i m p l y n e e dl e s s t i m ea n dh a v eh i g h e re f f i c i e n c y a n dn u m e r i c a le x a m p l e sv e r i f yt h er e s u l t s o ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：d i f f u s i o n c o n v e c t i o ne q u a t i o n ，c o m b i n e dd i f f e r e n c eq u o t i e n t ， p r o d u c td i f f e r e n c eq u o t i e n ts p a c e ，s t a b i i t yc o n d i t i o n ，d i a g o n a l l yd o m i n a n t c o n d i t i o n ，p a r a l l e li t e r a t i o nm e t h o d s 2 硕士论文：对流扩散方程在乘积型差商空间中的差分格式及其并行算法研究 0 引言 首先简单介绍对流扩散方程及其在国内外的研究。对流扩散方程是一类基本的 运动方程，实际应用广泛，在描述海洋、湖泊、江河、大气及地下水中污染物质的 分布，流体流动和流体传热等过程中，我们都经常遇到，在石油气勘探、环境科学、 天气预报、计算机工业等诸多方面也都具有十分重要的意义。 在物理和力学问题中出现的各种对流扩散方程中，有许多对流相对于扩散来说 在问题中起主导作用，也就是对流的影响远大于扩散的影响，即对流占优性。对流 占优性给对流扩散问题的数值求解带来了许多困难。其中一个基本的困难是源于不 对称对流算子的所谓迎风效应。在差分方法中，一般以具有二阶精度的中心差分或 具有迎风特征的一阶差分处理对流项。前者只能在甚小的网络特征参数下方能保证 稳定，而后者虽然克n t 前者的不足，却仅有一阶精度，且在网格r e y n o l d s 数较大 时产生数值耗散。用通常的差分法或有限元法进行求解对流扩散方程将出现数值震 荡。为了克服数值震荡，8 0 年代由d o n g l a s 和r u s s e l l 引进了特征差分法，并在此 基础上，d o n g l a s 和r u s s e l1 等提出了特征修正技术求解对流占优的对流扩散问题， 与其它方法相结合，提出了特征有限元法、特征有限差分方法、特征混合方法，并 给出理论分析。至于现有的几种算法：有限差分法、有限元法、特征有限差分法、 特征有限元法、有限体积法等的具体理论知识可见文 1 3 。对于一维对流扩散方程， 它的差分格式有左右偏显式格式、左右偏隐式格式、中心差显式、全隐式、平均隐 式、菱形、跳点等格式，这些格式的共同特点是精度低，其中某些格式为条件稳定， 显格式的稳定性条件一般也很小，网格r e y n o l d s 数适用范围比较小。隐格式的稳定 性大一些，但计算量也相对较大。关于对流扩散方程的并行算法目前研究不多，现 有e v a n s 和s a h i m i 及张宝琳和田振夫等给出分组显式格式，别的算法尚不多见。 因此建立既准确又稳定的差分格式，用以求解对流扩散方程是一个重要的研究 领域。组合差商法是近年在微分方程数值解法中发展起来的一种行之有效的高精度 高稳定高效率算法。本文把它具体应用到对流扩散方程，构造了一类精度较高、稳 定性较好、计算简单、适用范围较广的差分格式，并将构造的隐式差分格式进行了 并行化改造，其基本思想是把隐式差分方程组划分为若干个子方程组来分别同时进 行迭代求解，计算简单，计算时间较少，效率较高。本文将构造对流扩散方程差分 硕士论文：对流扩散方程在乘积型差商空问中的差分格式及其并行算法研究 格式的高效率算法推上了一个新水平。 本文第一章介绍了组合差商算法的基本概念及相关引理定理，在第二章和第三 章里，用组合差商的思想分别构造了新的显式和隐式差分格式，其精度均为 o ( r 24 - hz ) 。显式差分格式对于从对流占优到扩散占优的问题都有较好的适应性， 并可针对不同的情况选取不同的参数得到尽可能大的稳定性条件。隐式差分格式是 绝对稳定的，还分析了对角占优条件。它也具有广泛的适应性。第四章给出了所构 造的隐式差分格式的并行迭代算法，其基本思想是把隐式差分方程组划分为若干个 子方程组来分别同时进行迭代求解，计算简单，计算时间较少，效率较高，其并行 度至少为k 。 1 组合差商算法的基本概念 在构造微分方程有限差分格式时，先将求解区域进行网格剖分，这里采用分别 平行手x 轴与y 轴的直线所形成的网覆盖求解区域，它们的交点称为网格节点。 其中 r 。n r ，n = 。 2 ，降】： x ：弘，；0 , 1 ，2 ，h ；l f ，h 分别是f ，x 方向的网格步长， 表示取整，o j ，t 。) 就是网格节点，o o ，t 。) 及 g j ，t 。) 为边界节点。区域剖分后，再选取局部节点集，在局部节点集上，用差商代 替微商，构造出差分格式。令l ，“；= o 表示在节点o ，f 。) 处的差分格式。在节点 g j ，f ) 处，微分方程为陋“】：一o ，r ；= l ，“；- 【胁】；为用差分算子代替微分算子所 引起的截断误差。下面介绍有关的基本概念。 1 1 差商与差商空间 定义1 差商组合系数是局部节点的一类有理函数的局部节点函数值的一类线性组 合称为差商。 4 硕士论文：对涝l 扩散方程在乘积型差商空问中的差分格式及其并行算法研究 一般地，差商口可表为口2 “一n + 口2 “j 2 + + a ，“p 。仁，口2 ，q 妙，- a u ，其中 口i o l ，2 ，j ) 是局部节点的一类有理函数，它满足q 。o ，“f ( i - 1 2 ，5 ) 是函 数“在节点处的函数值，u 。0 ，“j 2 ，“口) 7 且a 一0 “f 一常数( j 一1 ，2 ，s ) 。 定义2 差商a 称为差商组卢。，卢：卢，的一个线性组合，如果有数域p 中的女，k ：，k ， 使a = 女。反+ 七2 j b ：+ + t ，卢，当差商a 为差商组反，卢：卢，的一个线性组合时，我 们就说口可以经差商组成，卢：以线性表出。 定义3 如果差商组中至少有一个差商可以经其他差商线性表出，那么这个差商组称 为线性相关，否则称为线性无关。 定理1 设差商组为鼠= ( 卢n ，展：，凡) u ，f = 1 2 ，j ，则差商组a ，卢：卢，线性 无关的充要条件是向量组( 鼠= ，卢。，凡妙，i = 1 ，2 ，s ) 的秩为s 。其中 u 。 ”“，h 抑7 。 证明：设存在s 个数x 1 ，工2 ，工，使得一反+ x 2 卢2 + + x ，p ，= 0 即 x 1 ( 声。p ，。，卢，一，户。妙，+ 工：( 卢。，卢。，声。妙，+ + t ( 声。，声，：，卢。如， = ( o ，o ，o ) v ，得 工1 卢n + 工2 卢2 1 + + x s 卢n = 0 z 鼠z + 工：卢z + + 工，成：。0 ( ) x l p _ l l + x 2 p h + + x s p 。= 0 由风，卢：卢，线性无关一x 1 ，3 c ：工，全为0 ，即方程组( 神只有零解 l 卢1 1声1 2 i 。d ：i e ： 卢，1 卢，2 卢2 ， i 卢盯 0 d 7 o 行列式d 7 的秩为j 。 一 o 时，m a x 荆- f ( 2 ) = 等，则有r 2 c 等( 1 5 ) ( 2 ) 4e2-a2 h2 = o 时，旧m 。a ，x ：l f ( v ) = f ( 2 ) = 4 n2 ， 则有r 2 乏1 f ( 1 6 ) ( 3 ) 料文 2 ( 。时m m a x 2 l f ( v ) f ( 2 ) = 等h ，则有r 2 0 ，知y l 为极小点，从而有： 。，：吧；。g。崎：g。，：尝：。，求n哥。h。， 令h ( c ) = 0 可求得： 当d = 1 6 时，c 。：， 器 max日(c)2羽2c4 3 t al 觐- s 叭一而1 ，警附志2 孺h 从而有 o o ) 或者a 为上半带宽1 的上三角阵( a ( o ) ，此时，直接可由代入法逐个解出方程组的解，且 川一6 ；l + l c i l ) 。l 。 ( 1 一d 如果2 e ，l o l h ，l n 0 一啦l + 蚓) 一1 ，对v r ，a 为强对角占优三对角阵。( 1 - 2 ) 如果2 ec 挑峨怵归+ 三世2 h ， 当1 + 兰二丛r ，o 时，a 为强对角占优三对角阵， ( 1 2 一1 ) 盯一4矿一 + + 卫执雹 q 1 盯一4 一 矿一强 一 q 当1 + 2 z - - 2 a _ _ 坚r = 。时，a 为对角占优不可约三对角阵 当1 + 2 6 2 - l a l _ _ _ h hr t 。时，a 为非对角占优阵。 定理7 当o o ， ( 卜2 - 2 ) ( 1 2 - 3 ) 如果c 4 ：等r ，则a 为半带宽为1 的三角阵州一c r i ) 置卜因 为c 5 云+ 百a r 墨三4 而磊 o - 卜口r 0 “为强对角占? 阵。 ( 2 - 1 。髁扪慷2 e 竺+ a hr c 值4 监孑1 ，则舶州m c 4 + 和 ( 2 _ 。) a 为强对角占优三对角阵， “ 如果c 4 2 e 彻+ a h r ，则 ( i ) 当c 0 时( 此时必有2 一n h ，o ) ，a 为强 。 4 h ( 2 3 1 ) 对角占优阵。 ” 7 ) 当o ：2 t - a = 等，s 扣c 肛地“为下三角学 阵。 2 3 2 懈，当等r c , m i n 1 ，等，卜 l a , i 一制) 廿2 c 4 + 2 e 拍- - a h r ， 觏埘乩艄等r c 4 m i n 丢，等r 卜棚配舶掀肼 孰确北则当0 o ，由( 2 2 ) 式， ( i ) a = o 0 l ，s 司0 0 1 ，r = l ，h = o 4 c 4 = o 0 0 4 n = 2 0 0 x = 2 4 0 x = 1 8 0 x = 1 2 0 x = 6 0 | h b 。) 一h ； 一1 1 3 3 8 2 矿l o一1 3 5 6 8 0 矿1 2- 4 0 4 4 4 5 e - 0 9一1 2 0 5 6 5 e - 0 5 ( 2 ) a = o 0 1 ，s = 0 0 0 1 ，r = 4 ，h = o 4 c 4 = 0 0 0 4 n = 2 0 0 x = 2 4 0 x = 1 8 0 x = 1 2 0 x = 6 0 卜b ) 。； 2 6 4 0 2 2 r 1 4- 7 8 7 0 3 8 矿l1 - 2 3 4 6 1 3 矿0 76 9 8 1 4 6 矿0 4 表四当c o 时，误差有向右减少的趋势，网比越大，这 种趋势越明显。本文还对所构造的隐式差分格式给出了并行迭代算法，其并行度 为k ，它计算简单，计算时间较少，效率较高，计算效果很好。本文将构造对流扩 散差分格式的高效率算法推上了一个新水平。 。 j ：一 硕士论文；对流扩散方程在乘积型差商空间中的差分格式及其并行算法研究 致谢 衷心感谢尊敬的导师张大凯教授三年来对我的辛勤培养和悉心指导，张老 师学识渊博、诲人不倦，在传授给我宝贵知识、提高我的科研能力的同时，他那 高尚的人格、严谨治学态度、不懈探索的科学精神将永远激励着我，使我终生受 益。三年来，我所取得的点滴成绩都凝聚着张老师的心血和汗水，本文的字字句 句表达着我对导师最诚挚的谢意。我在此也衷心感谢师母三年来给予我的学 习和生活上的教诲和关怀。 三年的学习与生活期间，本系的韦维教授、向淑文教授、杨辉教授、 何淦瞳副教授等都给予过我热情的帮助与支持，在此深表感谢! 感谢方春华、花小琴，张利、刘小华、余孝军、袁伟、闫爱玲、秦勇飞、胥 德平、何其好、曾建初、鲍乐平等同学及师兄姐弟妹在学习与生活上给予的 帮助与支持! 衷心感谢我的父母和家人，感谢多年来他们对我的一贯理解、关心鼓励和支 持。 最后我谨向所有关心、理解、支持、帮助我的领导老师同学和朋友们致以最 诚挚的敬意和最衷心的祝福! 附萄专：1 求解对流扩散方程的一种新的隐格式( 贵州大学学报( 自然 科学版) 2 0 0 4 年第四期) 2 求解对流扩散方程的组合差商算法( 北方工业大学学报2 0 0 5 年第一期) 硕士论文。对流扩散方程在乘积型差商空间中的差分格式及其井行算法研究 1 胡健伟， 2 李庆扬， 第一版。 3 张宝琳， 年。 4 戴嘉尊， 版。 5 胡家赣， 7 5 。 6 刘庆富， 第2 期。 参考文献 汤怀民微分方程数值方法，科学出版社，北京：1 9 9 9 1 。 王能超，易大义，数值分析，华中理工大学出版社，1 9 8 2 年7 月 谷同样，莫则尧，微分方程数值并行计算，国防工业出版社，1 9 9 8 邱建贤，微分方程数值解法，东南大学出版社，2 0 0 2 年2 月第一 线性代数方程组的迭代解法 m 。北京：科学出版社，1 9 9 1 ，7 3 一 求解隐式差分方程的并行迭代法，贵州科学，2 0 0 2 年6 月第2 0 卷 7 邬华谟，二次多项式根的s c h u r - c o h n 定理和m i l l e r 定理的初等证明，数值 计算与计算机应用，1 9 8 2 年3 月第1 期。 8 金承日，解抛物型方程的高精度显式差分格式，计算数学，1 9 9 1 年2 月第1 期。 9 骆志刚，李晓梅，王正华，三对角线性方程组的一种有效分布式并行算法， 计算机研究与发展，2 0 0 0 年7 月第7 期第3 7 卷。 1 0 曾晓艳，陈建业，孙乐林。对流扩散方程的一种新型差分格式 j 。数学杂 志，2 0 0 3 ，2 ( 1 ) ：3 7 4 2 。 1 1 武蔚文，张大凯，对流扩散方程的差分格式，计算机应用，1 9 8 9 年第5 期， 1 3 一1 5 。 1 2 田振夫，冯秀芳，对流扩散方程的一种新的显式方法，工程数学学报，2 0 0 0 年1 1 月，1 7 ( 4 ) ：6 5 6 9 。 1 3 李秋芳对流扩散方程的特征有限差分算法西安理工大学硕士学位论文 2 0 0 3 0 3 0l 硕士论文：对流扩散方程在乘积型差商空间中的差分格式及其并行算法研究 1 4 杨瑞琰，对流扩散方程有限混合分析格式的稳定性分析 j ，陕西工学院学 报，2 0 0 1 ，1 2 ，1 7 ( 4 ) ：5 4 5 8 。 1 5 窦红，一种隐式特征有限元法的误差估计，安徽大学学报( 自然科学版) ， 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 0 0 2 。6 ，2 6 ( 2 ) ：4 0 4 3 。 张宝琳，陈劲。求解变系数扩散方程有限差分并行新解法的稳定性研究。 全国第四届并行算法学术交流会议论文集。北京：航空工业出版社，1 9 9 3 张宝琳。求解扩散方程的交替分段显隐式法。数值计算与计算机应用， 1 9 9 1 ，1 2 ：2 4 5 - - 2 5 3 张宝琳。发展并行数值方法。高校计算数学学报，1 9 9 7 ( 1 ) ：1 6 张景良。并行数值方法，清华大学出版社，1 9 8 3 李晓梅，蒋增荣。并行算法。长沙：湖南科技出版社，1 9 9 2 周数荃，梁维泰，邓邵忠。有限元结构分析并行计算。北京：科技出版社， 1 9 9 4 方春华双曲型方程在乘积型差商空间中的高精度组合差商算法研究。待发 表。 r o n a l de ，m i x k e n s ，an o n s t a n d a r df i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o ra n o n li n e a rp d eh a v i n gd i f f u s i v es h o c kw a v es o l u t i o n j m a t h e m a t i c s a n dc o m p u t e ri ns i m u l a t i o n 2 0 0 1 ，5 5 ：5 4 9 5 5 5 r s v a r g a o nd i a g o n a ld o m i n a n c ea r g u m e n tf o rb o u n d i n g , l i n a l g a p p l ，1 4 ，2 1 卜2 1 7 ( 1 9 7 6 ) m i c h i e l s epha n dv a nd e rv o r s tha 厶a 抬t r a