（基础数学专业论文）关于二阶线性椭圆、抛物型方程正则性的若干研究.pdf

致谢 本人的博十论文能够顺利完成，得益丁许多人的关心、支持和 帮助。值此机会，向他们表示我最诚挚的感谢。 在攻读博士学位的这几年中，导师王斯雷教授对我的影响最大。 他对数学的独到见解和研究中的严谨作风使我在做学问和做人两方 面均终身受益，他对我的提携和帮助使我终身难忘。在此，向王老 师表达我深深的谢意。同时，也要感谢王师母对我的关爱。 导师陈杰诚教授对我的悉心指导和热心帮助使我能顺利完成学 业，在此向他表示衷心的感谢。同样，也要感谢师母徐罕老师对我 的关心和帮助。 自从进入浙江大学西溪校区( 原杭州大学) 以来，骆程教授一 赢在学业和生活上关心、帮助我，在此向他表示我真诚的感谢。 感谢浙江大学西溪校区数学系的各位老师和资料室的工作人员 对我的帮助。感谢陶祥兴博士、金小刚博士、刘宗光博士、杨益民 博士、贾厚玉博士、金永阳博士和孙永忠、刘晓风、应益明、王梦、 郭新伟、章志飞诸学友。与他们的相处和交流使我受益匪浅，也使 我度过了五年的美好时光。 最后，我要感谢我的家人和朋友。没有他们对我的默默支持和 无私帮助，我不能想象我能完成这篇论文。 摘要 调和分析( 或傅里叶分析) 起源于法国科学家j f o u r i e r 对热流动的研究 从那时起，经过近两个世纪的发展，调和分析业已成为数学的一个重要分支 无论从概念或方法上，它都广泛地影响着数学的其它分支数学中很多重要思 想的形成都与调和分析的发展过程密切相关故而，调和分析是研究许多数学 分支的重要工具，特别对偏微分方程而言更是如此众所周知，调和分析中的 位势理论，极大函数，球调和函数和算子插值等均为研究偏微分方程的重要工 具 本论文主要利用调和分析方法研究二阶线性椭圆、抛物方程的正则性问 题本文共分三章，分别研究二阶散度型椭圆方程，退化二阶散度型椭圆方程 和非连续系数二阶椭圆、抛物方程的正则性 第一章研究r “( n 3 ) 中有界开集n 上的二阶散度型椭圆方程 ( a i j u 。+ b j u ) q + c j u z j + d u = e + ( 疗) 叫， ( o 1 ) 其中，a i j ( z ) 有界、对称、可测，且满足一致椭圆条件，b ，勺，d ，e ，疗皆属于 适当的m o r r e y 空间 s ls o b o l e v 在2 0 世纪3 0 年代中期引入的s o b o l e v 空间，为椭圆型方程 及其d i r i c h l e t 问题的可解性和解的正则性研究提供了一个有效的途径应用 s o b o l e v 空间，可以在更广的函数类中寻求其解，并研究其正则性这种解我 们一般称为“弱解”当弱解有较好的正则性时，即为古典解经过5 0 6 0 年代 的系统研究，得到了许多关于方程( o1 ) 及其d i r i c h l e t 问题的出色成果，具体 内容可见【6 8 ，4 6 ，3 4 ，5 0 其中w l i t t m m a ，g s t a m p a a c h i a 和h f w e i z l b e r g e r 在 5 0 中引入了g r e e n 函数，从而为椭圆型方程及其d i r i c h l e t 问题解的正则 性研究提供了一个很重要的方法 在研究( o 1 ) 时，若不仅考虑主部一( 啦u 。) 。，还考虑低阶项和非齐次 项，则经典的结果对低阶项和非齐次项有较高的可积性要求，参见 6 8 ，4 6 _ m a i z e n m a n 和b s i m o n 在 3 】中研究口”= 如，b = c j = 疗= 0 的情形，对d 和 e 作了属于s t u m m e l - k a t o 类的假设，而这个类没有高的可积性所以，有些 人对低阶项和非齐次项属于s t u m m e l k a t o 类的方程( o1 ) 傲了一些研究，可见 1 1 ，4 0 ，6 5 ，4 5 等 为研究二阶椭圆方程的解的局部正则性，c b m o r r e y 在 5 5 中引入了 m o r r e y 空间l v 一这个空间的可积性不会超过p 从此，很多数学家研究了方 程【0 1 ) 及其d i r i c h l e t 问题的解在m o r r e y 空间中的正则性，他们的结果可见 【5 6 ，7 2 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 等 本章的主要工作如下 第三节在r n ( n 3 ) 的有界开集n 上考虑如下的d i r i c h l e t 问题 j l u = 一( 8 舒珏。+ b 3 u ) 巧+ d u = 8 + ( 方) 巧， 在n 内， f o 2 ) lu ：o ，在a n 上， 其中 a d j 三。o ( n ) ，q j = q i ， ，= 1 ，。，n ， j p 0 ，。巧( z ) & 白2p i 1 2 ，v r “，n 口z n ， 如三2 ，“( n ) ， n 一2 弘 n ，j = 1 ，n ， f o 3 1 d 五2 ，”( n ) ，n 一2 p n ，2 + = ；再2 n j ， e 工2 ”( q ) ，! 祟 r 玛 ，l 2 , x ( n ) ，0 a 礼一2 ，彳= 1 ，n 所得的主要结果如下 2 定理o 1 如果“是满足( 0 3 ) 的d i r i c h l e t 问题( 0 2 ) 的弱解，那么对于任意的 0 a o ，a i j ( z ) 妣v 酽，。n z5 q ， ( o 6 ) b jel 2 , t 1 ( n ) ， n 一2 t t n ，j = 1 ，。，r t ， 厶el 2 , n - 2 ( q ) ，j = 1 ，n 主要结果如下： 定理o 2 若( o6 ) 满足，且i f j l r t l 2 ( n ) ，则( 0 5 ) 的弱解u b m o z 。c ( n ) 也 就是说，对于任意的n 7c cn ，d = d i s t ( f l , a n ) ，存在常数c = g ( n ，”，d ，q ) ， 使得对于任意的b ，( z o ) ，t oen 7 ，0 r 0 ，o 玎( z ) f f 岛1 e 1 2 ，v f r “，a a 。n ， c j l 2 , x ( n ) ，礼一2 a n ，j = 1 ，一，扎， ( 0 9 ) d 三1 ， ( n ) ，n 一2 a n ， l t , x ( n ) ， 钆一2 0 ，对任意的r “满足 一一1 u ( ) i f l2 o 巧( z ) 矗白v u ( z ) i 2 ，( 0 1 2 ) 其中的u ( z ) 为适当的权函数 与一致椭圆算子比较，此时的u ( z ) 可能消失，可能趋于无穷，亦可能兼 而有之这种算子称为退化算子，相应的方程称为退化方程自然要问：对于 退化椭圆方程，是否有相应于一致椭圆方程的结果呢? 4 2 0 世纪6 0 7 0 年代，人们将d eg i o r g i n a s h 定理和i t a r n a c k 不等式推广到 了退化情形( 参见 4 4 ，5 8 ，7 3 ，7 4 ) 他们对权函数u ( z ) 加了一定的限制eb f a b e s ，c ek e n i g ，dj e r r i s o n 和r p s e r a p i o l t i 在三篇重要的文章 2 7 ，2 5 ，2 6 中对两类权函数研究了退化算子工，得到了许多结果这时的u ( 。) 属于a ， 或q ea 2 是m u c k e n h o u p t 类，而u ( z ) q c 是指u ( z ) = j ，协) r j ，其中 ，：r “一r n 是拟共形映照，l ，协) 是，的j a c o b i 行列式的绝对值他们之 后，很多数学家对退化椭圆方程进行了进一步的研究，如f 3 9 ，1 6 ，7 7 1 等其中 f 7 7 1 引入了两类加权的m o r r e y 空间，使将一致椭圆方程在m o r r e y 空间中的正 则性推广到退化情形成为可能 在本章中，我们假设u ( z ) ea 。 本章的主要结果如下 、 第三节在r “的开集n 中考虑如下的d i r i c h l e t 问题 在n 内t f 0 1 3 ) 在a n 上， 、 。 其中，a 订对称，可测，且对任意的f r n 和几乎所有的z q 满足( o z 2 ) 本节的目的是想说明d i r i c h l e t 问题( 0 1 3 ) 的非其次项，落在什么空间 时，解“相应地能有什么正则性这里我们考虑，属于加权的m o r r e y 空间 坞( n ，u ) 和l l , 。r ( n ，u ) 以及加权的s t u m m e l - k a t o 类s ( a ，u ) 和j ( n ，c ，) 在对权 u 加一定限制条件下，上述空间有确定的包含关系 本节的主要结果如下： 定理0 6 设，加e 上1 8 ( n ，u ) ，口 0 ，m 1 4 ( m 为 7 7 1 引理21 之b ) 中的 k ) ，则问题( 0 1 3 ) 的非常弱解u 工：f ( n ，u ) 特别地，el p ( n ，u ) ( p 号2 ) 定理0 7 如果，加l l , o ( n ，u ) ，m 0 ，使得 v 研( 。) ，zen7 ，0 r d 2 ，成立 币南厶加) 一崛) 白g i l l 乩。，( o 1 4 ) 5 其中u 口r 【。) = 司百b tk ( 。) “( ) u ( ) 虹 定理o 8 如果，雪( n ，u ) ，那么问题( o1 3 ) 的非常弱解“上。( n ) ， 定理0 , 9 如果，加s ( n ，u ) ，贝0 问题( o 1 3 ) 的非常弱解u 在n 上连续 定理o 1 0 如果，尬( n ，u l 则问题( 0 1 3 ) 的非常弱解n 在n 上是局部 h s l d e r 连续的 第四节继续考虑d i r i c h l e t 问题( o 1 3 ) 我们试图回答下面问题：什么空间是，所属的能保证”的给定正则性的 最小空间? 本节考虑了“属于加权l e b e s g u e 空间工一( n ，u ) 及c o ( n ) ，e o ，。( n ) 的情形 主要结果如下： 定理o 。1 1 如果，肛l 1 ( n ，u ) ，0 ，m 1 4 ，m l 1 ( n ，u ) 是问题( 0 1 3 ) 的 非常弱解，那么 “工( n ，u ) 铮，u s 艺。( n ，u )( 1 p o o ) ( 0 1 5 ) 定理o 1 2 如果，卢l 1 ( n ，u ) ，20 ，m 1 4 ， l 1 ( q ，。) 是问题( f f l 3 ) 的 非常弱解，那么 u l t ( n ) 嚣，“) l o 。( q ，。) ( 0 1 5 ) 定理o 1 3 如果，加五1 ( n ，u ) ，0 ，m 1 4 ，u l 1 ( n ，u ) 是问题( 0 1 3 ) 的 非常弱解，那么 “a o ( n ) # ，s l 。c ( n ，u ) ( 0 1 7 ) 定理o 1 4 如果，加l 1 ( n ，u ) ，0 ，m 1 4 ，“l 1 ( n ，u ) 是问题( 0 1 3 ) 的 非常弱解，那么 札c 0 1 。( n ) 骨，u 工1 “( n ，c ，) ( 0 口 1 ) ( 0 1 8 ) 6 第五节在r n 中考虑方程 l u = 一( a i j u z 。) q = 一( 疗) 即 ( 0 1 9 ) 其中，a l j 对称，可测，且对任意的f r 1 1 和几乎所有的。r “满足( o 1 2 ) 疗 上2 ( r n ，u ) 我们在本节中给出了r “上四种不同的加权m o r r e y 空间 所得的主要结果如下： 定理o 1 5 如果h 1 , 2 ( r i l ，u ) 是( 0 1 9 ) 的弱解，厶加工2 ，1 ( r “，u ) ， n ( 6 2 ) + 2 ( p 一1 ) ( 5 见 3 1 第4 0 1 页的定理2 9 ，p 为 2 7 定理2 3 1 2 中的 a ) ，则有 酬k f r 啊p 肼u ) ( o 2 0 ) 定理o 1 6 如果h 1 , 2 ( r “，u ) 是( 0 1 9 ) 的弱解，厶加工2 1 ( r “，t ) ，a ；+ 譬 ( 6 和肛见定理o 1 5 ) ，则有 i i w l l 豇v p 弘1 ( 0 2 1 ) 定理o 1 7 如果“h 1 , 2 ( r n ，u ) 是( 0 1 9 ) 的弱解，厶m 2 _ 1 ( r “，u ) ，一2 a 轧+ 2 f 一2 ( 6 和p 见定理0 1 5 ) ，则有 t l w t l ”( r 砌e 删川， ( 0 2 2 ) 定理o 1 8 如果日1 ，2 ( r “，u ) 是( o 1 9 ) 的弱解，疗加廊2 1 ( r n ，u ) ，一杀一1 a 塾等 一1 ( 6 和p 见定理0 1 5 ) ，则有 i l w l l 州趴庐g 删n 。 ( 0 2 3 ) 第三章的目的是研究非连续系数二阶椭圆抛物方程在l e b e s g u e 空间和 m o r r e y 空间中的i e 贝, l 性 先来看椭圆的情形 在”1 ( n 3 ) 的有界开集n 上考虑非散度烈一致椭圆方程 a i j u 叫“。，+ b l u z 。+ c “= ，( o 2 , t ) 众所周知，当a i j c o ( 丽) ，赴，c 属于适当的弘( n ) 时，( 0 2 4 ) 的w 2 。( n ) 正则 性对1 p 0 ( 3 成立，同时( 0 2 4 ) 的d i r i c h l e t 问题在w 却( n ) n 嚼。( n ) 中的 适定性成立参见 1 4 ，3 4 ，3 5 ，4 3 j ) 从而，有一个很自然的问题：如果对a 订的条件进行适当的减弱，不要求 连续，是否同样的结果还能成立呢? 一般说来，仅要求a ；，三。( 0 ) ，我们不能 得到相应的适定性( 参见 5 3 ) 如果将连续性假设换成另外一些假设，我们也 能得到相应的适定性，但不幸的是p 的范围只能在2 附近( 参见 7 ，3 0 ，5 1 】) 对。玎加什么非连续的假设才能保证适定性对1 【。= p 主要结果如下 i ，j = 1 ，。，n ， 对a z n ，i ，j = l ，n ，( 0 2 7 ) 对口a 。n ，v r n 1 p 扎， 1 p i n ， 9 ，li_jll 定理o 1 9 假设( 0 2 6 ) 一( o2 9 ) 成立，1 q p 。，0sp = 三a n 时，t = p ，( i i ) c f ( n ) 当1 号，当p 詈时， s = p ，c 0 在n 上几乎处处成立则对任意的，l p ，1 ( n ) ，1 p 。，0 a o ：，一1 l j2 。舒( 。) & 白5 ，i j 2 ， 630 n ， n 1 r 一一 ， n t = p 1 p 他， 5 = p + d 一( b ) q 0 ( 在口( n ) 的意义下) e l 9 ( n ) 本节的主要结果如下： f o3 8 1 ( o 3 9 ) ( o 4 0 ) ( o 4 1 ) 定理o 2 1 设( o 3 5 ) o 4 1 ) 满足，则对于任意的厶三9 ( n ) ，2 p + o 。， d i r i c 姚问题( 0 3 4 ) 存在唯一的解m 且存在与n ，p ，口，a n 及 ，i c l “，1 d l 。 的a c 模有关的常数c ，使得 i l w l l l ，( n ) 茎e ( | 1 e | | 脾( n ) + i i i i i l ，( n ) ) ( 0 4 2 ) 定理0 2 2 设( o3 5 ) 一( o 3 7 ) ，( o 3 9 ) ，( o 4 0 ) 满足，q l t ( n ) ，e = 0 ，则对于 任意的疗工9 ( n ) ，1 p + o o ，d i r i c h l e t 问题( o 3 4 ) 存在唯一的解u 且存 在与n ，p ，v ，q ，舳及时， ，i d l 5 的a c 模有关的常数c 使得 i l w l l p ( n ) sc l l f t l l ，( n ) ( o4 3 ) 定理o 2 3 设( 0 3 5 ) - ( 0 4 0 ) 满足，则对于任意的e 二9 等( n ) ，疗工p ，1 ( n ) ， 2 p + o o ，0 a n ，d i r i c m e t 问题( o 3 4 ) 存在唯一的解且存在与 。，p ， ，”，q ，a n 及i b l t ，i c t “，删5 的a a 模有关的常数c ，使得 l l w l l 刚n ) g ( i i 扩等( 。) 圳川m ) ) ( 0 4 4 ) ，、l n s 3 ，、 其中 第五节中在r 1 叶1 上考虑如下的c a u c h y d i r i c h l e t 问题 ( a i j , k 幽2 ( 卉) z j 0 在q t = n ( 0 ，t ) 内， 在a n ( 0 ，t ) 上， ( 0 4 5 ) 在q 内， z = ( z7 ，t ) r n “，r n + 1 装备抛物度量p ( 参见【2 8 ) n 为r “( n 3 ) 中的有界开集， a n c 1 - n 。j ( ) 三”( r n + 1 ) nv m o ， a i j ( x ) = 町i ( z ) ， j 0 ：一1 l i2 o “( z ) 白p l f l 2 我们能得到如下的结果： ( o4 6 ) f 04 7 ) i ，j = 1 ，n ， 对o z q t ，i ，j = 1 ，一，n ，( 0 4 8 ) 对a a z q r ，v 甜1 定理o 2 4 设( o 4 6 ) - ( 0 4 s ) 满足，厶l p ( q t ) ，2 p 0 ：。玎( z ) & 6 p l 引2 n e i n n ，v f r n b j l 2 , t ( n ) ，n 一2 ，上 n ，j = 1 ，礼， d 工2 + ( n ) ， n 一2 芦 竹，2 + = ；再2 n 丐， e 工2 ，( n ) ，! 罢车笋 r n ， 乃l ：a ( n ) ，0 n 一2 ，j = 1 ，- ，” t h em a i nr e s u l tw eg e ti s f o l l o w i n g ： ( 0 3 ) t h e o r e m o 1 可ui snw e a ks o l u t i o no f d i r i c h l e tp r o b l e m ( 0 2 ) w h i c hs a t i s f i e s ( o3 ) ， t h e n 。硒rn 1 10 a 0 ：o 巧( z ) 6 白之p l 引2 a e i n n ，v f r “ b i l 2 , 1 ( n ) ，n 一2 p n ，歹= 1 ，n ， 方l 2 , n - 2 ( n ) ，j = 1 ，n t h em a i nr e s u l t sa r ef o u o w i n g ： ( 0 5 ) ( 0 6 ) = o n 一 ，_，l_-l t h e o r e m o 2 玎( 0 6 ) i ss a t i s f i e da n di ，l 冠h 2 ( n ) j t h e nt h ew e a ks o l u t i o no f f 0 5 ) “b m o i 。( n ) i no t h e ，w o r d s ，f o ra l lq 7 c cn ，d = d i s t ( n 7 ，a n ) ，t h e r e e x i s t snc o n s t a n tc ：c ( n ，d ，n ) ，s u c ht h a t 如ra l lb ，( z o ) ，z 【j n ，0 r 0 ：o 玎( z ) 靠6 l f l 2 a e t n n ，v r “ c j l 2 , x ( n ) ，n 一2 a n ，j = 1 ，一，n ， d 工1 ，1 ( n ) ，礼一2 a n ， e l 1 , ) t ( n ) ，n 一2 a 0 ，s u c ht h a tf o ra l l f r “， b , - 1 u ( z ) l 引2 茎n 好( z ) 已6 至一( z ) i | 2 w h e r eu ( z ) i sas u i t a b l ew e j l g h t e df u n c t i o n ( 0 1 2 ) c o m p a r ew i t ht h a to fu n i f o r m l ye l l i p t i co p e r a t o r ，w ( m ) i nt h i ss i t u a t i o nm a y e i t h e rv a n i s h ，o rb ei n f i n i t e ，o rb o t h s u c ho p e r a t o rw i l lb ec a l l e dd e g e n e r a t eo p e r a t o r ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n ge q u a t i o nw i l lb ec a l l e dd e g e n e r a t ee q u a t i o n t h e r eh a s b e e nal o to fc l a s s i c a lr e s u l t sa b o u tu n i f o r m l ye l l i p t i c e q u a t i o n s s oi t sn a t u r et o a s kw h e t h e rt h e r ee x i s tc o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o rd e g e n e r a t eo n e s i n1 9 6 0 7 0 s d e g i o r g i n a s h s t h e o r e ma n dh a r n a c k si n e q u a l i t yw e r ee x t e n d e dt ot h e d e g e n e r a t ec a s eb ys o m ep e o p l e ( s e e 4 4 ，5 8 ，7 3 ，7 4 】) t h e yi m - p o s e ds o i n er e s t r i c t i o n so nt h ew e i g h t e df u n c t i o n ( z ) i nt h r e ei m p o r t a n tp a p e r s 2 7 ，2 5 ，2 6 ，e b f a b e s ，ce k e n i g ，d j e r r i s o na n dr p s e r a p i o n is t u d i e dt h e d e g e n e r a t eo p e r a t o rl w i t ht w ok i n d so fw e i g h t e df u n c t i o n s ，a n dg o tm a n yr e s u l t s i nt h e i rp a p e r s ，u ( ) b e l o n g st oa 2o rq c h e r ea 2i s m u c k e n h o u p tc l a s s ，w h i l e u ( z ) q c m e a n su ( 。) = i ( 。) i 卜音，w h e r e ，：r n _ r i saq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n ga n dl ，( 。d e n o t e st h ea b s o l u t eo ft h ej a c o b i a nd e t e r m i n a n to f ，s i n c et h e n ， m a n y m a t h e m a t i c i a n sh a v em a d ef u r t h e rr e s e a r c h e si nd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n s ， e g 3 9 ，1 6 ，7 r ，e t c a m o n gt h e m ，t w oc l a s s e so fw e i g h t e dm o r r e ys p a c e sw e r ei n t r o d u c e di n 7 7 ，a n dt h e ym a k ei tp o s s i b l et h a te x t e n d i n gt h er e g u l a r i t yi nm o r r e y o fu n i f o r m l ye l l i p t i ce q u a t i o n se a s et ot h a to fd e g e n e r a t ec a s e i nt h i sc h a p t e r ，w e & s s u , i n eu ( ) a 2 t i l em a i nr e s u l t so fc h a p t e r2a l ef o l l o w i n g i ns e c t i o n3 ，w ec o n s i d e rf o l l o w i n gd i r i c h l e tp r o b l e m ：二i 一( 。t j “z i ) r j = 7二：j c 。t 。， i n 吼a b o u n d e do p e ns u b s e to fr “n 23 ) ，w h e r ea j ( 。) a r es y m m e t r y ，m e n s u r a b l e a n df o ra l l ”，a l m o s t 甜lz n ，( 0 1 2 ) i ss a t i s f i e d t h ea i mo ft h i ss e c t i o ni st os h o ww h a tr e g u l a r i t yt h es o l u t i o n uo fd i r i c 王l i “ p r o b l e m ( o - 1 3 ) w i l lh a v ef o rg i v e nn o n h o m o g e n e o u st e r mh e r ew ec o n s i d e tf 血 w e i g h t e dm o r r e ys p a c e s 霸( n ，u ) ，l l , o - ( n ，“j ) a n dw e i g h t e ds t u m m e g k a t oc l a s s e s s ( n ，u ) ，s ( a ，u ) a b o v e - m e n t i o n e ds p a c e sh a v ep r e c i s ec o n t a i n i n gr e l a t i o n s h i p ，i f w e i m p o s es o m er e s t r i c t i o n s0 nt h ew e i g h t e df u n c t i o nu ( 。) t h em a i nr e s u l t so ft h i ss e c t i o na r ef o l l o w i n g ： t h e o r e m0 6 l e t ，u 五1 ，( n ，u ) ，仃 o , m 1 4 ( mi st h e 耳i nl e m m a 2l b ) 。，1 7 7 d t h e nt h 8 p 付e 幽s 口乜t i 口n “吖( o 1 3 ) k 肠n 庐缸三孑( n ，) ，如 p a r t i c u l a r ，“l p ( n ，u ) ( p 孚) t h e o r e m o 7 玎，u 上1 ，o ( n ，u ) ，m 0 ，s ，t v 研( z ) ，z n ，0 r d 2 ，w eh a v e 币正山】i 岫) 一峨m g ) 咖s g i l l 呲i i 。，( 0 1 4 ) w h e r e 口，忙) = 可i 1 丽厶，( 。) “( 灿( y ) 妇 t h e o r e m0 8 i j | s ( a l u 、lt h e nt h ev e r yw e a ks o l u t i o nn0 f0 0 , 1 3 、b e l o n g st o 三( n ) t h e o r e m 0 9 可，加s ( a ，u ) ，t h e nt h ev e r yw e a ks o l u t i o nuo f ( o 1 3 ) i sc o n t i n u o u s i nn 1 8 t h e o r e m o 1 0 玎，u 尬r ( n ，u ) ，t h e nt h er e ? yw e a k s o l u t i o nu 。，( o 1 3 ) i sl o c a l l y 1 1 5 l d e r ，c o n t i n u o u so nf 2 i ns e c t i o n4 ，w ec o n t i n u ec o n s i d e r i n gd i r i c h l e tp r o b l e m ( 01 3 ) w e t r yt oa i s w e r t h ef o h o w l n gq u e s t i o n ：w h a ti st h es m a l l e s ts p a c eii nt o e n s u r et h eg i v e nr e g u l a r i t yo f ? i nt h i ss e c t i o n w ec o n s i d e rt h ec o n d i t i o n st h a t “ b e l o n g st ow e i g h t e dl e b e s g u es p a c el p ( n ，u ) ，c o ( n ) a n dc “。( n ) t h em a i nr e s u l t sa r ef o l l o w i n g ： t h e o r e mo 1 1 f ，u l 1 ( n ，u ) ，0 ，m 1 4 ，“l 1 ( n ，u ) i st h ev e r yw e a k s o l u t i o no f ( o1 3 ) ，t h e n u l 己。( n ，u ) 车= ，u s 品。( n ，u ) ( 1 p 。) ( o ，1 5 ) t h e o r e mo 1 2 巧，u l i ( n ，u ) ，0 ，m 1 4 ，u l 1 ( n ，v ) i st h ev e r yw e a k s o l u t i o no f ( o 1 3 ) ，t h e n 让z f o o ( n ) 车= ，u 雪f 。( n ，u ) ( 0 1 6 ) t h e o r e mo 1 3 玎，u l 1 ( n ，u ) ，0 ，m 1 4 ，珏工1 ( n ，u ) 如t h ev e r yw e a k s o l u t i o no f ( o 1 3 ) ，t h e n u c o ( n ) 车= = ，w s f o c ( q ，u ) ( 01 7 ) t h e o r e mo 1 4 玎，u l 1 ( n ，u ) ，0 ，m 1 4 ，u l 1 ( n ，叫) i st h ev e r yw e a k s o l u t i o no f ( o 1 3 ) ，t h e n u c o ，“( n ) 舒，u 三1 “( n ，u ) ( 0 q 1 ) ( 0 1 8 ) i r ls e c t i o n5 w ec o n s i d e rf o l l o w i n ge q u a t i o n l u = 一( a , j 7 2 。) q = 一( 疗) q ( 0 1 0 ) i nr “，w h e r ea i j ( z ) a r es y m m e t r y ，m e a s u r a b l ea n d f o ra l l r “，a l m o s ta l lz n ( 0 1 2 ) i ss a t i s f i e d 办u l 2 ( r n ，u ) 1 9 w ei n t r o d u c ef o u rw e i g h t e dm o r r e ys p a c e si nr i li nt i f f ss e c t i o n t h em a i nr e s u l t sw eg e ta r ef o l l o w i n g ： t h e o r e mo 1 5 f u 1 , 2 ( r “，u ) i sdw e a k s o l u t i o no f ( o 1 9 ) ，u l 2 ：a ( r “，u ) ， n ( 占一2 ) + 2 ( p 一1 ) ( 6s e e t h e o r e m2 9 i n p a g e4 0 1 。， 3 1 1 ，pi s t h eai nt h e o r e m 2 31 2o f 2 7 】) ，t h e n “v u i i c z - c n n ，。，茎gll i 争| | 。r 。，。， c 。， t h e 。r e mo 1 6i f u 日1 , 2 ( r n ，u ) i sow e a ks o l u t i o no f ( o 1 9 ) ，疗u 三2 ，1 ( r “，u ) ， a ；+ 百t l - - 1 ( 6a n dp s e et h e o r e mo1 5 ) ，t h e n 州b 懈一a 弘懈。 ( 0 2 1 ) t h e o r e mo 1 7 f u h 1 , 2 ( r “，u ) i sow e a ks o l u t i o no y ( o 1 9 ) ，矗u m 21 ( r “，u ) ， 一2 a 6 n + 2 p 一2 ( 占a n dps e e t h e o r e m0 1 5 ) ，t h e n i l w l l 删肌心e 删n 。 ( 0 2 2 ) t h e o r e mo 1 8 巧u h i , 2 ( r n ，u ) i so w e a k s o l u t i o no y ( o 1 9 ) ，疗廊2 ，1 ( r “，u ) ， 一熹一l a 墨掣一1 ( 5 a n d 弘s e et h e o r e m0 1 5 ) ，t h e n i l w l l 删趴庐c 刚n 。 ( 0 2 3 ) t h ea i mo fc h a p t e r3i st os t u d yt h er e g u l a r i t yo fs e c o n do r d e re l l i p t i c a n d p a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hd i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t si nl e b e s g u es p a c e sa n dm o r r e y s p a c e s - l e tu sc o n s i d e rt h ee l l i p t i cc a s e w ec o n s i d e ru n i f o r m l ye n i p t i ce q u a t i o n si nn o n d i v e l g e n c ef o r m a i j u 叫叫+ b i u z 。+ e u = ， i nn ，ab o u n d e do p e ns u b s e to f r “( n 3 ) 2 0 ( o2 4 ) i ti sw e l lk n o w nt h a tw h e na i j c o ( 丽) ，b i ，cb e l o n gt o s u i t a b l e 上。( n ) ，t h e 1 矿2 掣( n ) r e g u l a r i t yo f ( o2 4 ) h o l d st r u ef 打1 p 0 0 ，a n d t h ew e l l p o s e d n e s so ft h e d i r i c h l e tp r o b l e mo f ( 0 2 4 ) i sa l s ot r u ei nw 互”( n ) n 埘巾( n ) s e e 1 4 ，3 4 ，3 5 ，4 3 卜 t h u s ，t h e r ei s an a t u r eq u e s t i o n ：c a r lt h es a l t l er e s u l t ss t i l lh o l dt r u ei fw e m a k et h ec o n d i t i o n so na l jw e a k e r ，t h a ti s 、d i s c o n t i n u o u s ? i ng e n e r m ，w ec a l ln o t g e tc o r r e s p o n d i n gw e l l p o s e c h l e s si fw eo n l ya s s n u ea u l ”( n ) ( s e e 5