（基础数学专业论文）不定四元欧氏空间中的拉格朗日h脐子流形.pdf

中文摘要 摘要 在 1 中，陈邦彦引入了拉格朗日日一脐子流形的概念，并且给出了它在复欧 式空间形式中的完全分类。进而他又在 2 】中将此结论推广到了外围空间为不定 复欧式空间形式的情形。0 h 和k a n g 将正定情形下的结论推广到了四元欧式空 间，在他们的文章6 1 中表明：四元欧氏空间q 叫= 的拉格朗日日一脐子流形为平坦 子流形，复空间形式e 叫，的拉格朗日伪球，还有驴中超球面的四元扩张子。本 文中我们定义了不定四元欧氏空间q 2 以及其中的不定拉格朗日日一脐子流形，并 且给出了它们的完全分类定理，从而推广了上述结论 关键词：拉各朗日h 一脐子流形，复欧式空间，不定复欧式空间，四元欧式空间，四 元扩张子 英文摘要 a b s t r a c t i n 【1 1 c h e ni n 拉0 d u c et h en o t i o no fl a 掣a n g i 姐h u m b i l i c a ls u bm n i f o l da n d g a v e 凼ec o m p l e t cc l a s s 谪c a t i o nt b e o r e mo fl a g r a l l g j a j lh u m b m c a ls u bm a n j f o l d si n c o m p l e xe u c l i d e a ns p a c e 确e nh ea p p l ym es a m em e 血o d sa n dg e t 由ec l a s s 镝c a t i o nm e o r e mo fl a g r a n 百a nh u 瑚【b i l i c a ls u bm a i l i f o l d si ni n d e f i n i t ec o m p l e x 既l c l i d e a ns p a c e o ha n dk a n ge x t e n dc h e n sr e s u l ti nd e f i n i t ec a s et oq u a t e m i o ne u c l i d e a n s p a c e ，t h e ys t a t e di nf 6 】t h a tm el a g r a n g i a nh - u m b i l i c a is p a c e si nq u a t e m i o ne u c l i d e a i ls p a c ea r el a 掣a n g i a np s e u d os p h e 勰i i lc o m p l e xe u c l i d e a ns p a c e ，1 ：量l ec o m p l e xe x t e i l s o ro ft h eh y p e r - s p h e r ei ne 8a n dn a tl a g r a n g i a i ls u bm a n i f 0 1 d s b 出i sa r t i c l e ， w ed e 矗n ei n d c 丘n i t eq u a t e m i o ne u c l i d e a 玎s p a c eq 2a n di t si n d e f i n i t el a 萨a n g j a nh u m b j l i c a ls u bm a n i f o l d s t h e nw eg a 、t et h ec l a s s i 矗c a t i o n 也e o r e m k e yw b r d s ： l a g r a n g i a nh - u 础i k a ls 曲m a 芏l 主f 0 1 d ，c o n l p l c xe u c l i d e a ns p a c e 山 d e f i n h ec o m p l e xe u c l i d e a ns p a c e ，q u a t e m i o ne u c l i d e a ns p a c e ，q u a t c m i o ne x t e ns o r - 一一 论文独创性声明 本论丈是我个人舟导师指导f | = _ 进行的研究1 作及取得的研究成果。论文中除 了特别，j j 以标注和致澍的地山外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志刘本研究的启发和所做的负献均已在论义r ”作了叫确的声明 并表示了谢意。 作者签名：避日期 论文使用授权声明 、i 们 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，危许论史被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，i _ r 以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 姚定。 作者签名盗缒同期：竺：丝 第一章引言 第一章引言 黎曼流形的拉格朗日子流形在辛几何和现代数学物理研究中占有特殊的地 位。对于具有良好性质外围空间中的拉格朗日子流形的研究一向是人们的兴趣 所在。其中我们最感兴趣的是外围空间为复空间形式的情形。对于复空间形式 中拉格朗日子流形的研究已有了丰富的结论，详细内容可以参考【7 】。我们知道 对于最简单的全测地子流形，其次是全脐子流形，然而在【8 抻，作者证明了 在n 3 的复空间形式中，拉格朗日全脐子流形与拉格朗日全测地子流形是等 价的。因此在空间形式中寻找除了拉格朗日全测地子流形以外最简单的拉格朗 日子流形成为了一个很自然的问题。为此陈邦彦在【1 】中引入了曰脐子流形的 概念，其第二基本形式具有某种特殊的形式。他在【l 】中不仅构造了一些拉格朗 日日一脐子流形的具体例子，还给出了复欧氏空间中拉格朗日日脐子流形的完全 分类。此外，他还把结论推广到了不定复欧氏空间e ? 中不定日脐子流形m p 的 情况，并且通过伪球和伪双曲空间的复扩张子给出了其分类，详细的证明可以 参考【2 。o h 和k a n g 在【6 】申把( 1 】中正定情况下的结果推广到了四元的情形，并 对四元欧氏空间形式中的拉格朗日日一脐子流形给出了完全分类定理。物理学家 往往感兴趣的是配有不定度量的伪黎曼流形，对于这种度量非正定的流形，也 有相应的联络，第二基本形式以及空间形式等概念，这种流形与通常的黎曼流 形具有不同的几何性质。 在本文中，我们定义了不定四元欧氏空间形式以及不定四元扩张子，并且 给出了在不定四元欧氏空间中拉格朗日日脐子流形的完全分类。从而推广了上 述得到的结果。 第二章准备知识 第二章准备知识 本章中，我们将介绍不定四元空间形式以及其中的拉各朗日h 脐子流形。 2 1 不定四元空间形式 我们下面来引入四元空间形式的概念，设固一是四元欧式空间： q ”= ( q 1 ，) l q ki sq u o t e r n i d 钆佗钍仃z b e r ) 单位四元数t ，j ，的自然乘法诱导了q ”竺硝“上的三个标准复结构，z k ， 这三个复结构满足： l3 = 一3 l = k 。3 k = 一k 3 一1 k l = 一l k 一3 ( 2 1 ) ，2 ：，：k 2 ：一1 赋予q ”上指标为2 的不定度量g ，使得： g ( 妒x ，妒y ) = 9 ( x ，y ) ，妒一，z k 那么( 9 ，妒) ，妒= j ，zk 构成一个伪日e r m 托e 结构，易见f = 4 南，以后记此不定度 量为鳕。 设m 为一个不定指数为的n 维伪黎曼流形，q ；为配有不定度量鳃的四元欧 式空间，并且 l ：晖一骥 是一个浸入。设x 为t 地上个一个切向量，那么 x ，x ，j x ，耳x ) 为慨上的一 个正交标架场。记q ( x ) = 5 a n x ，怛x 。对于，a 靠上的两个切向量x ，】厂，如 果q ( x ) 正交于q ( y ) 则称x ，y 张成的平面7 r ( x ，y ) 为一个全实平面。q ( x ) 中任 何一个二维平面都称作个四元平面。如果己+ 将t 慨上的任何一个二维平面映 到t 姚上的一个全实平面，那么翻取为拉格朗日浸入。 ? 慨中的切向量x 称为类空，类时或类光的，如果( x ，x ) 0 ， ( x ，义) o ，作r ：厶( 一詈，吾) 一驴为一单位切 向曲线： 。2 h s 。j - 1 昂( s ) 2 哥 。：竭茸一五翟为单位伪双曲空间到伪欧几里德空间中的标准浸入，那么。”关 于r 的复扩张子一= ro 。”是从伪双曲空间日：( 一6 2 ) 到曜的拉格朗日日一脐子 流形，诱导度量为： ( 4 2 ) ( 4 3 ) 9 ：础。+ 掣蚰 g h = 一c o s h 2u k + 1 ( d u ；+ c d s 2 u 2 d u ；+ + s i n h 2u 七+ 1 ( d 札：+ 2 + c o s 2 札k + 2 d u ；+ 3 + 此时a = 2 6 ，灿= 6 2 k 血+ 彩 d 0 矿 瑚 2 n ud 萨 “斟 + 第四章不定四元欧几里德空问中 拉格朗日h 一脐子流形的分类 定理4 _ 2 ( 拉格朗日伪黎曼球) ：对于6 o ，作r ：厶( 一 ，i ) 一c + 为一单位切向 曲线： 坼) = 等 蛔：器一研为单位伪黎曼球到伪欧几里德空间中的标准浸入，那么坫关 于r 的复扩张子如= r 增是从伪球鄙( 6 2 ) 至的拉格朗日日一脐子流形，诱 导度量为： ( 4 4 ) ( 4 5 ) 夕瑚2 + 掣如 9 日一一d 舻一s i l l l l 2 让2 ( ( 轧：+ c o s 2 坳c 池l + + c o s h 2 让2 ( 6 池2 + 2 + c o s 2 乱女+ 扣 2 + 3 + + c o s 2 哟c 轧：) j = + 2 这里a = 2 b ，肛= b ， 哟) 为球面坐标。 有了以上准备，我们可以讨论主要的分类定理 定理4 3 ( 完全分类定理) ：令 3 ，：m ? 一q ；为一个从扎维不定实黎曼流形 到礼维不定四元欧氏空间形式中的拉格朗日日一脐子流形，则： ( a ) l 平坦； ( b ) l 是研中的一个拉格朗日伪球面，同时局部上埠是嚣( 6 2 ) 的一部分； ( c ) l 是曜中的一个拉格朗日伪双曲空间，同时局部上埠是卿( 一6 2 ) 的一部 分； ( d ) 是四元扩张予，h 料( 一6 2 ) 一q ；的一个开子集； + 2 珏d 0 萨o c l。脚i= + ( e ) l 是四元扩张子j 露一1 ( 6 2 ) 一q ：的一个开子集 证明： 设n 之3 ，上：螂一q 2 是一个拉格朗日日脐子流形，其第二基本形 式满足： ( e 1 ，e 1 ) = a 1 j e l + a 2 j e 2 + ) 、3 k e l ( e j ，勺) = 民( p 1 j e l + 2 j e 2 + 弘3 耳e 1 ) ，文= 土1 ( 4 6 ) 危( e i ，勺) 一卢1 _ ，勺+ p 2 ，8 j + p 3 贫e j ( e 1 ，e j ) = o ，j 七一2 n 其中a - ，a 。，a 3 ，p t ，舢2 ，肛3 为某个函数。 e ) 为岈上的单位正交标架，令 叫) 为其对偶形式，记v ，守为峰和q 2 上的联络，那么q ；上的结构方程为： ( 1 ) v x e 23 ：e ，u r l ( x ) e 。+ ( e 。u ? 岫( x ) 妒e 。) m 2 l p = ，z 扛1 ( 2 ) v x 妒e 2 ，至e m u 0 ( x ) e 。+( 意e 。u 0 4 ( x ) 妒e 。) 7 n = 1 讪= j m = 】 ? 2 ( ，) = 土1 。对于幻n = 1 ，2 ，礼，有u p = 一u 毛，u 幺，= u 尹* ，u 乏v ： ( 4 8 ) e n r t o n 结构方程为： ( 4 9 ) ( 1 ) “严= 岛蟛，屿 ( 2 ) 孑9 = ( ( e z ，e ，) ，妒e m ) ( 1 ) 口b l = e 。u 。 u 幺 n “ 圆岬2 量矗研 妒+ 。曼k ( 塞 嘧) r = i = r ，矿r 1 9 下面我们考虑第一种情况 魄s e ( 班 1 3 ( 4 1 0 ) 此时有 ( 4 1 1 ) ( 1 ) ( e l ，1 ) = 一 ( 2 ) ( e 女+ 1 ，e + 1 ) 1 ，( e 2 ，b 2 ) = = ( e k ，e k ) = 一l ( e 。，e 。) = l ( 1 ) 危( e 1 ，e 1 ) = a l e 1 十a 2 j e l + a 3 k e l ( 2 ) 危( e je j ) ；1 j 9 1 + 肛2 j e l + 肛3 k e l ，j = 2 ，3 ，七+ 1 ( 3 ) ( 勺，e j ) = 一( p 1 e 1 + p 2 j e l + p 3 k e l ) ，j = 南+ 2 ，n ( 4 ) 危( e 1 ，e j ) = p 1 ，勺+ p 2 j e j + k e j ，j = 2 n ( 5 ) ( e j ，e ) = o ，歹南 综合上式和g o d o z 规方程可得： ( 4 1 2 ) ( 1 ) e l ( p 1 ) = ( a 1 2 p 1 ) 饵( e j ) e ，+ a 2 “3 一a 3 p 2 ( 2 ) e 1 ( p 2 ) = ( a 2 2 肛2 ) i ( e j ) e j + a 3 p 1 一a 1 p 3 ( 3 ) e l ( 3 ) = ( a 3 2 “3 ) u i ( e j ) 勺+ a 1 p 2 一a 2 p l ( 1 ) e ，( ) 、1 ) = ( 1 2 p 1 ) u ( e 1 ) ( 4 1 3 ) ( 2 ) e ，( 2 ) = ( 入2 2 p 2 ) “( 8 1 ) ( 3 ) e j ( ) 、3 ) = ( 3 2 f 1 3 ) u ( e 1 ) ，j 一2 ，n ( 1 ) ( a l 一2 1 ) u ( 勺) = o ( 4 1 4 ) ( 2 ) 2 2 p 2 ) u ) = o ( 3 ) a 3 2 p 3 ) u ( 8 j ) = o ， 南j = 2 ，- ，n 一1 4 第四章不定四元欧几里德空间中 拉格朗日h 一脐子流形的分类 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 1 ) ( p t ) ( 2 ) 勺( p 2 ) ( 3 ) e j ( p 3 ) 3 p l u ( e 1 ) 3 p 2 u ( e 1 ) 3 ，z 3 u ( e 1 ) ( 1 ) 勺( 1 ) = 3 卢1 趣( 8 1 ) ( 2 ) 勺( 肛2 ) = 3 2 u i ( e 1 ) ( 3 ) e j ( 肛3 ) = 3 p 3 u ( e 1 ) ( 4 1 7 ) 卢l u ( e 1 ) = 2 u f ( e 1 ) = p 3 u ( e 1 ) = o ， 七3 通过计算，我们可以得到a 铝的截面曲率为 ( 4 1 8 ) ( 1 ) k ( e l ，e # ) = p 1 ( a 1 2 弘1 ) + p 1 ( a 1 2 p 1 ) + p l ( a 1 2 肛1 ) ( 2 ) ，( e l ，e t ) = 一p 一p ；一p ； 仇s e ( 一j ) ：首先我们考虑蜂是常曲率的情况，此时有 h 1 9 ) p 1 ( a l 一2 p 1 ) + 肛1 ( a 1 2 p 1 ) + p 1 ( a 1 2 p 1 ) = o ( k s e ( 一j j ) ： 当a 女= 2 p ，七= 1 ，2 ，3 的时候，如果每个肌均为零，那么可知此时啤是砚的平 坦子流形；如果至少有一个胀不为零，那么v = p m j l o ) 为啤中 的一个非空开集。那么( 4 1 2 ) ，( 4 1 5 ) ，( 4 1 6 ) 表明小在y 上为常数。再对y 计算高 斯方程可得y 是常曲率为一p = 一6 2 的空间形式。根据连续性可得y = m 。 至多相差一个坐标变换，我们可以认为m 的第二基本形式满足( 4 1 ) 式，并且其 中的文对于t = 2 ，矗为1 ，其他值均为一1 。并且我们还可以算得m ? 的第一法 空间是法联络平行的。那么根据【8 中的结论，岬是叼中拉格朗日伪双曲空 1 5 第四章不定四元欧几里德空间中 拉格朗日h 一脐子流形的分类 间卿的一个开子集，l 是拉格朗日伪双曲空间。这就证明了( c ) 中的结论。 踟s e ( j 一一约： 至少存在一个i ，使得a 1 2 他，但仍有m ( a 1 2 肛1 ) + 肛1 ( a 1 2 p 1 ) + n ( a 1 2 1 ) = o 。那么利用( 4 1 4 ) 可得：u i ( e k ) = o ，j = 2 ，礼，在利用( 4 1 2 ) 和( 4 1 6 ) 可以得到： ( 4 2 0 )u 扛业告铲 我们记g = u 。令d 为e 1 张成的分布，d 上= 印。n e 2 ，e 。 。由 于u ( e ，) = o ，所以d j - 是可积的，又因为d 是1 维，所以也可积。那么必然存 在局部坐标系：扛一，。) ，使得：e 1 = 击，d 上= s p 。几 盎，蠡) 。并 且( v 。，e ，) = 一咒如( e f ，岛) 。这表明d j 。是球形分布，并且每个叶片d 上是常曲率 的，= 一i ：，( 壤+ 9 2 ) 。根据 9 ，m 等距于，m ) 日芝j ( 一1 ) ，对于球面坐标 让2 ，札。) 可知： ( 4 2 1 ) 这里 g = 一d s 2 + ，2 ( s ) g h 夕日= 一口2 一s i n h 2 札2 ( 。i + c 。s 2 乱3 口i + 十n c 。s 2 就j d 札；+ 1 ) j = 3 4 2 2 + h 。u 。( d 钍孙c o s 。d 钆_ + i i z 勘d 。：) 。 + c o s h 2 u 2 ( d 钍2 + 2 + c o s 2 札+ 2 d 钆；+ 3 + + llc o s 2 勘d u ：) j = + 2 我们利用( 4 2 ) 和( 4 3 ) 可以计算相应的具体联络形式： v a 挑是= o ，v a 胁最= 等盎，扛2 ，住 ( 4 2 4 ) v 拙茜2 一t a n 啦茜，2 i j 曼舟 那么我们可以计算得： 1 6 第四章不定四元欧几里德空间中 拉格朗日h 一脐子流形的分类 ( 4 2 5 ) l 。= a 工。 其中天= a l i + a 2 j + a 3 。 我们设l = 三o + 三1 i + 三2 j + l 3 七，若记户= ( l o ，三1 ，l 2 ，l 3 ) ，那么我们有常微分 方程组： ( 4 2 6 ) 其中a 为： f “= a f p 隆j ；i ( 1 ) ( e 1 ，e 1 ) = 1 ，( e 2 ，e 2 ) = = ( e + 1 ，e 女+ 1 ) = 一1 ( 4 2 7 ) ( 2 ) ( e 女十2 ，e + 2 ) ：( e 。，e n ) ：1 类似仇s e ( j ) 的情况可以证明，此时对应定理中的( a ) ，( 6 ) 和( e ) 。 1 7 一 参考文献 参考文献 【1 b y c h e n ，c o m p l e xe n t e n s o r sa n dl a g m n g i a ns u b m a n i f o l d si nc o r n p l e xe u c l i d e a i ls p a c e s ，t o h o k um a m j 4 9 ( 1 9 9 7 ) ，2 7 7 2 9 7 2 b yc b e n ，c o m p l e xe n t c n s o r sa i l dl a g r a n g i a ns u b m a n i f 0 1 d si ni n d e n n i t ec o m p l e xe u c l i d e a ns p a c e s ，b u u e d no ft h ei n s t i t u t eo fm a m e m a t i c sa c a d e n l i as i n i c a ， v o l u m e 3 1 ，3 ，s e p 2 0 0 3 3 】 b y c h e na n dk o g u ，t w ot h r o r e m so nk a e h l e rm a l l i f o l d s ，m i d l i g a l lm a 血 j 2 1 ( 1 9 7 4 ) ，2 2 5 - 2 2 9 4 b y c h e n ，i n t e r a c t i o no fk g e n d r ec u r v e sa n dl a g r a i l g i a i ls u b