（基础数学专业论文）局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为，得到了解 的爆破的指标，并在p 1 ，q 0 的条件下并进一步讨论了这个方程组的爆破速率 作者在前言中主要介绍了本文所研究问题的实际背景及问题的发展现状，并在第二 章中回顾了抛物型方程( 组) 的基本知识在第三章中我们得出了解的整体存在和有限时 刻b l o w - u p 的判定准则最后在第四章中我们讨论了系统的一致爆破速率 关键词：抛物方程；局部化；局部源；爆破；爆破速率 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n st oap a r a b o l i c s y s t e mw i t hl o c a l i z e d l o c a ls o u r c e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yap a r a b o l i ce q u a t i o ns y s t e mw i t ht h ei n t e r a c t i o nc o u p l e dv i a t h el o c a l i z e da n dl o c a ls o u r c e s u n d e rt h ec o n d i t i o no fp 1 ，q 0 ，t h ec r i t i c a le x p o n e n t s o ft h es y s t e mw e r ee s t a b h s h e d ，a sw e l la st h eb l o w - u pr a t e sw e r eo b t a i n e d w eg i v et h eb a c k g r o u n do ft h ep a r a b o l i cs y s t e mi nt h ei n t r o d u c t i o n ，a n dr e v i e ws o m e b a d i ck n o w l e d g eo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o n ( s y s t e m ) i nc h a p t e r2 i nc h a p t e r3 ，w eg e t t h eg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w - u pc r i t e r i af o rt h es o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h e s i n g u l a r i t ym o r ed e e p l yt og e tu n i f o r mb l o w u pr a t e k e yw o r d s ：p a r a b o l i ce q u a t i o n s ；l o c a l i z a t i o n ；l o c a ls o l l r c e s ；b l o w - u p ；b l o w - u pr a t e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本 论文不包含其他个人或集体己经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位 或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在 论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目： 杰望堕! ：鱼塑垫丝生：! 垒丝塑查丝坐亟鱼丝聋豳塑 作者签名：丑串卜嗍# 年j 月盟日 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论 文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保 留论文并向国家有关部门或机构送交论文的印件和电子版，可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：名莲叠驾坠坐辱盟鳋蔓坐堕革盟塑丛翌盘丝缉叟匹l 靼 作者签名： 导师签名： 日期l 兰：! 年! 月! 生 日 日期：善互年l 月卑日 大连理工大学硕士学位论文 1 前言 本章主要通过列举若干实际模型来介绍本文所研究问题的实际背景，并阐述了相关 问题的发展现状，最后对本文的结构安排加以概述 1 1 引言 偏微分方程的兴起已经有两百多年的历史了，它作为一个多侧面，多应用的学科， 描述许多物体的物理或是机械的行为，如弦的震动等现象因此在二十世纪以前，人们多 是直接联系着具体的物理或几何问题来讨论各种偏微分方程( 包括线性和非线性的) 。早 在1 9 0 0 年，h i l b e r t 在巴黎的国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题，其中第1 9 、 2 0 、2 3 问题均涉及了如何系统地研究偏微分方程的边值问题这就形成了现代偏微分 方程理论的萌芽现今偏微分方程已经成为一个与数学其他分支联系紧密的学科，微分 几何、复分析、调和分析、代数理论等学科都与其有密切的关系，它们也成为研究偏微 分方程的工具现在，偏微分方程特别是非线性偏微分方程，已成为数学乃至整个自然 科学中活跃而重要的研究领域随着数学工作者以及其他学科的工作者的努力，数学在 理论和方法上取得了很大的进步数学工作者及其他学科工作者各显其能充分利用现代 数学工具解决复杂的非线性问题 近些年来，在生物学、生态学、生物化学及物理、工程等传统学科的研究领域中，各 种非线性抛物型和椭圆型偏微分方程( 组) 得到了很广泛的应用，尤其是二阶非线性抛物 型和椭圆型偏微分方程( 组) ，通常都有明确的实际背景，其研究日益受到科学工作者的 重视并逐渐取得了许多有价值的成果其中人们对抛物方程( 组) 解的爆破性理论产生了 极大的兴趣，爆破理论与其它各个领域之间的关系( 例如：化学反应堆、量子力学、流体 力学、湍流流量等) 越来越受到广大学者的关注 1 2 模型举例 为进一步介绍抛物型方程( 组) 的实际背景，下面列举若干经典模型： 1 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 1 生态方程( 群体增长，传染病，病虫害等) 丝：u + o t 一。一 宴：u + 况 2 神经传导的h o d g k i n h u x l e y 方程 t f ( u ( z ，s ) ，u ( z ，s ) ) d s g ( u ( z ，s ) ，v ( x ，s ) ) d s u t = u 茁茹+ j ( 乱，w l ，w 2 ，伽七) k = p i j ( u ) w j + 吼( 乱) ( 江1 川2 一，七) j = l 鲁= k 。a t + q 仃唧( 一刍) 警= 鲍n 一讫e x p ( 一畚) 4 b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 反应的n o y e s f i e l d 方程 謇= l r v + u ( 1 - - ? 垡- - r v ) + 象 瓦o v = m 钞一她象 5 b r u s s l a t o r 方程 警= 山+ 卜( b + 1 ) 氍w 钞 警= b a u + 吼叫2 移 其他例如渗透方程、液晶方程、反应器动力学方程、超导方程，反映生命现象的众多 数学横利污染问颞中出姗的对流扩散方程等等干臼。都可以归于匿复杂的抛物方程f 细1 1 3 发展现状 当今，为了解决复杂的非线性问题，各种现代数学工具各显其能然而，人们发现， 对非线性问题的研究不存在一劳永逸的统一工具和方法；非线性问题的极端复杂性，直 接反映了自然现象的极端复杂性例如，对非线性抛物方程组来说，非线性可以来自反应 2 厂厶厂厶 + 巾 q m 叭 删 州 大连理工大学硕士学位论文 项、对流项、扩散项( 高阶项) 、边界项，以及经由它们所形成的各种不同的耦合关系所有 这些各不相同的非线性项都有可能导致鼹的奇性的产生：解在有限时刻内的b l o w - u p 、 e x t i n c t i o n 、q u e n c h i n g ( 导数b l o w - u p ) 等，分别对应于( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、 ( 金属) 淬火等现象上述四种非线性间的相互作用，加之各分量之间的非线性耦合作用 ( 竞争、互惠、交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂( 通常还和空间维 数及区域的几何性质有关系) 本论文的目的，就是研究一类具有非局部边界流的耦合型 反应扩散方程组到目前为止，对于带参数的非线性项( 非线性反应项、非线性扩散项、 非线性对流项、非线性边界流) 的反应扩散方程组考虑较少；对于本文所涉及的含有耦 合的反应项和非局部边界流的这类反应扩散方程研究的主要问题之一是方程或系统在什 么条件下有整体解；当整体解不存在时，解在有限时间内的爆破问题，以及解的其他性 质 近些年来，关于局部化源和局部源相互作用的抛物方程组鼹的渐近行为问题已经引 起了许多学者关注和研究，下面我们就阐述一下关于这类问题已有的部分结果方程形 式为u t = a u + 9 ( 芒) ，其中g ( t ) 可与钆有关这类问题的模型是在文献 3 ，4 中提出的 此后，许多数学工作者对此类问题的性质进行了研究，见文献 5 h 1 1 j m c h a d a t y l ，a p e i r c e 和h m y i n 在文献 5 中讨论了如下的单个方程问题 u t - a u = z 弛 u ( x ，t ) = 0 ， 钆( 。，0 ) = u o ( x ) ， ( x ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( 。，亡) 撇( 0 ，t ) ， ( 1 3 1 ) z q 并且得到了( 1 3 1 ) 的解对于大初值在有限时刻爆破，只要f ( x ) 收敛，7 ( s ) 0 ，而且 赤d s 1 ) ，推得了有限时刻爆破及相应的爆破速率、边界层结论 i f u k u d a 等人 在文献 6 】中讨论了相应的方程组问题，得出了有限时刻爆破和爆破速率、边界p r o f i l e 等结果 p e d e r s e n 和l i n 则在文献 7 】中讨论了带有局部化反应项的k 个方程u 乱= 让l + u p 训i ( x o ，t ) ，得出了有限时刻爆破及爆破速率估计 研究最为深刻全面的是s o u p l e t 在文献 8 ，1 2 】中，他研究了方程( 1 3 1 ) 在f ( u ) = 3 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 e 、，( u ) = u p 及厂( 乱) = u p ( x o ，t ) 等多种情形下解的渐近形态此项工作对研究带有局 部化源和非局部源问题具有重要意义之后，许多学者都开始研究带有局部化源和非局 部源初边值问题 刘其林等人在文献( 1 3 】中研究了下面问题： ru t = a u + a ( x ) g ( t ) z q ，t 0 ， u ( z ，t ) = 0 z a q ，t 0 lu ( x ，0 ) = u o ( x )z q ， 并获得了当a ( t ) = f og ( s ) d s 时，l i m t 。t 牡( z ，t ) a ( t ) = o ( z ) 在q 的任意紧致子集上是 一致的并且还具体的研究了单个方程l t t = a u + 口( z ) ( 厶i u l 妇) 1 r ( 1 7 1 ) 和u t = 钆+ 俨+ a ( z ) u p ( o ，t ) q 1 ) ，分别得到了 髀( t - t ) 1 ( p - a ) u ( 叫) 叫帕_ 1 ) 1 ( 1 _ p ( 知牡) p 。呻” ( 1 3 2 ) 和 l 。i m ，( t 一亡) 1 ( p 一1 ) 让( z ，t ) = o ( z ) ( 一1 ) 0 p ( o ) ) 1 ( 1 一p ( 1 3 3 ) 在q 的任意紧致子集上是一致的 栗付才等人在 1 4 中对如下方程组做了研究： f 饥一u = 矗u q ( z ，亡) 矿( z ，t ) 如， z q ，t 0 ， jv t a v = 厶u q ( x ，亡) 钉卢 ，t ) d x ， z q ，t o ， lu ( z ，t ) = v ( x ，t ) = 0 z a q ，t 0 ， 【u ( z ，0 ) = 心o ( z ) ，u ( z ，0 ) = v o ( x ) z q ， 建立了解整体存在和有限时刻爆破的结果，得出了爆破集和一致爆破速率的结果 赵立中和郑斯宁在文献 1 5 】中研究了具有局部化源的抛物方程组一具有幂形式源的 抛物型方程组 u t = 乱+ u p l ( x o ，t ) v 口1 ( z o ，亡) ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， 仇2 u + 矿2 ( x 0 , t ) q 2 ( x o , t ) ，( z ，亡) q ( o ，t ) ， 吣4 ) u ( z ，t ) = 秒( z ，t ) = 0 ，( x ，t ) o f tx ( 0 ，r ) ， 、7 u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，秽( z ，0 ) = 伽( z ) ，z q ， 和具有指数型源的抛物型方程组 u t = 乱+ 入1 e p l 缸( 。o ，) + q l ( 茹o ，扪， ，t ) q ( 0 ，t ) ， v t2 u + 入2 e p 2 + 嘶叫) ，( z ，亡) q ( o ，t ) ， 5 ) 钍( z ，t ) = v ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) a qx ( 0 ，t ) ， u ( z ，0 ) = u o ( z ) ， ( z ，0 ) = 铷( z ) ， z q ， 4 大连理工大学硕士学位论文 他们在文章中讨论了上述两类方程组的临界指标、爆破速率以及边界层估计等问题李 慧玲和王明新在文献 1 6 1 7 中也研究了方程组( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) ，他们得到了更为全面 的爆破速率和边界层估计此外，在文献f 1 8 】中他们研究了 a t = 乱+ u p l ( z ，t ) v 口1 ( x o ，) ，( z ，t ) f tx ( 0 ，t ) ， 仇= a v + u p 2 ，t ) v 口2x o ，亡) ，( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ， 珏( z ，t ) = v ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) 御x ( 0 ，丁) ， u ( z ，0 ) = ( z ) ，v ( x ，0 ) = 伽( z ) ，z q ， 的爆破速率、全局爆破、单点爆破等问题 郑斯宁和王金环在文献 1 9 】中则研究了如下方程组： f ru t = a u + u 仇( z ，t ) + 矿( o ，亡) ， ( z ，t ) qx ( 0 ，r ) ， v 此t = 川a v 刮+ u 州q ( o ) - o , t ) + 矿 l 黝x,t)efl锄x(0(o,t巩),t 0 ( 1 3 6 ) 1 让( z ，亡) = 钉( z ，t ) = o( z ，) 锄( ，t ) ， p “7 lu ( x ，0 ) = 钍o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) z q ， 得到了单点及全局爆破结果 郑斯宁和王金环在文献 1 中则研究了如下方程组：分别表示为( p d ) 和( p c ) ： r 协= x u + v p ( x + ( t ) ，亡) ，v t = 移+ u q ， ( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ， ( p d ) 乱= u = 0 ，( z ，t ) _ m ( o ，丁) ， l 乱( z ，0 ) = 铷( 。) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ， 。q ， 和 ( p c ) j ，u t = 让十v p ( x + ) ，亡) ，v t = a v + 心口， p ，t ) 酞( 0 ，丁) ， 【乱( z ，0 ) = u 0 ( x ) ，v ( x ，0 ) = u o ( z ) ， z 瓞， 研究了局部化一局部远对奇性解的影响，得到了( p d ) 问题解的一致b l o w - u pp r o f i l e s 和问题( p c ) 的f u j i t a 指标 1 4 本文内容介绍 本文的研究对象是一类具有带有局部化一局部源方程组的影响，这里的耦合为局部 化源与局部源混合情形考虑齐次n e u m a n n 初边值问题： ru t = a u + w ( x ，亡) ， z q ，t 0 ， i v t = a v + e q 让( o ，们，留q ，t 0 ， 1 磊= 器= 0 ， z o f f ，亡 o - i ( z ，0 ) = ( z ) ， v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，z q ， 5 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 其中q 是黔中的有界区域m 1 ) ，具有光滑边界a q ，p 0 ，u o ( z ) ，v o ( x ) 是径向递 减，非负连续函数并且满足相容性条件 本文研究了上述系统解的整体存在性、有限时刻b l o w - u p 及爆破速率等问题讨论了指 标对解的b l o w - u p 与否所起的作用，并决定解的爆破性质。下面介绍一下本文的内容安 排，在第三章中我们研究了当p 0 ，q 0 时解的爆破和p 0 ，qs0 时解的整体存在 性；第四章中我们给出了当p 1 ，q 0 时解的爆破速率问题 6 大连理工大学硕士学位论文 2 抛物型方程( 组) 的预备知识 本章介绍了抛物型方程( 组) 的基础知识以及本文所凭借的主要理论工具：上下解、 最大值原理、比较法则和相关的不等式 2 1 基础知识 本文主要介绍抛物型方程组的爆破理论下面我们不加证明地给出其相关的基础知 识 2 1 1 基本概念 本节我们介绍一些与本文研究相关的基本概念 首先引入具有如下初边值条件的二阶抛物型方程： 讹+ l u = f ( z ，亡) ， b u = g ( x ，亡) ， 珏( z ，0 ) = 妒( z ) ， ( z ，t ) q ， ( z ，t ) & ，( 2 1 1 ) z q 。 其中l u = 一乙：1a i j ( x ，亡) 钆+ ：1 玩( z ，t ) u x ；+ c ( z ，t ) 钆，b 乱= a ( x ，芒) 赛+ 6 ( z ，亡) u ，系 数a ( x ，亡) ，b ( x ，t ) 0 ，且a ( x ，t ) + 6 ( z ，t ) 0 于q t ，记q t = q ( 0 ，t ) ，岛= 卯( 0 ，t ) 定义2 1 1 。一致抛物如果存在常数毋 0 ，使得对任意的( 。，t ) q t 和所有的实向 量( = ( ( 1 ，靠) 舒，都有 ( z ，芒) 已白秒i 1 2 ， t ，j = l 则称算子爱- 4 - l 在q t 上是一致抛物的 定义2 1 2 爆破若存在常数t ( o 0 范围内的实值函数，g 为连续函数，那么我 们在c 1 空间内对于乱，v 0 ，考虑系统： u t = a u + 厂( 钆，u ) ，仇= a v + g ( u ，u ) 若满足 ( u ，v ) 0 ，且吼( 钍，仃) 0 ，则我们称此系统为全耦合的：反之则称之为完全非 耦合的 定义2 1 5 非局部在如下抛物系统中： 让t = a u + ，( 乱，口) ，口t = a v - f 夕( 乱，u ) 若实值连续函数厂，g 满足v 厂= v g = 0 仰厂，g 与z 无关只与t 有关) ，则我们称厂，g 为 非局部的，也称此系统为具有非局部反应项的抛物系统 下面我们引入三个重要的基本不等式 2 1 2 基本不等式 引理2 1 ( y o u n g 不等式) 设晓和b 为正实数，p ，q 1 ，且；1 + 百1 = 1 ，则有 特别地，当p = q = 2 时，有 称之为c a u c h y 不等式 。6 竺+ 一b q n p + b q pq 。6 三n 2 + 匆 引理2 2 ( h s l d e r 不等式) 设p ，q 1 ，且石1 + i 1 = 1 ，若，驴( q ) ，g l q ( q ) ，则 ，g l 1 ( q ) ，且 上l ，( z m 圳出( zl ，( 删p 出) 坳( 上叭删q 出) 珧 特别地，当p = q = 2 时，有 z 似z m 圳出( zi ，c 删2 出) 1 弘( z 硎2 出) v 2 8 大连理工大学硕士学位论文 称之为s c h w a r z 不等式， 引理2 3 ，( j e n s e n s 不等式)设p 1 ，函数妒( z ) 满足 z ) = 1 ， 则对于任意的非负函数( z ) 满足不等式： 上铲( z ) 妒( z ) 出( 上让( 。) p ( z ) 出) p 2 2基于最大值原理的比较原理以及上、下解方法 本节我们给出在抛物型方程( 组) 中经常使用的一些基本原理和方法 2 2 1 最大值原理和比较原理 最大值原理和比较原理是抛物方程( 组) 的理论基础，通过这些原理可以引出研究抛 物方程( 组) 解的有效工具一上，下解方法，也可以对解的上下界进行估计由于这些 原理在研究问题时经常使用，故在此我们不加证明的给出最大值原理和比较原理的几种 形式 假定( 2 , 2 ，1 ) 中，袅+ l 是一致抛物的，且满足a i j ，b i ，c c ( q t ) ，a i j = 吻i ( i ，j = 1 n ) 则有如下极值原理成立 ( 1 ) 弱极值原理 定理2 ，1 ，假设u ( x ，亡) c 2 , 1 ( q t ) nc ( q r ) ， ( i ) 当c 兰0 ，饥+ l u o ( 0 ) 时，有m a x o tt 正= m a x s tu ( m i n o r 钞= m i n s tu ) ( i i ) 当c 0 ，妣+ l u o ( 0 ) 时，有m a x o r “m a x s ru ( m i n ( ) 丁“一m a x s r 乱) ( 2 ) 强极值原理 定理2 2 假设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( q r ) nc ( q t ) ，q 是连通区域， ( i ) 当c 三0 ，他+ l u o ( 0 ) 且存在( x o ，t o ) q r ，使得u ( x o ，t o ) = m a x q t 乱( r n j n 西tu ) ， 则乱兰c 于q d ( i i ) 当c 0 ，饥+ l uso ( 0 ) 且存在( x o ，t o ) q r ，使得u ( z o ，t o ) = m 啦ru o ( m i n ( ) 丁乱o ) ，则乱三c 于q 舻 有了强极值原理作为基础，我们就可以给出解决实际问题时常常用到的比较原理 ( 1 ) 单个方程的比较原理 9 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 考虑如下的方程 p u = 毗+ l u = f ( x ，t ，u ) ， b u = g ( x ，亡) ， u ( x ，0 ) = ( z ) ， ( z ，t ) q t ， ，t ) s t ， z q ( 2 2 1 ) 其中l u = 一i n ，j ：1a i j ( x ，t ) u 规町+ ：1b i ( x ，亡) 乱钔= t ( i ，j = 1 佗) ，一致椭圆， ，关于u 是c 1 的，关于z ，t 是h s l d e r 连续的 定理2 3 假设让，钞c 2 , 1 ( q t ) i 1c ( 国t ) ，若满足 p u f ( x ，t ，u ) p v f ( x ，t ，移) ，( z ，t ) q 丁， b u b v ， 锃( z ，0 ) v ( x ，0 ) ， ( z ，亡) 曲， z q 。 则有u ( x ，t ) v ( x ，t ) 于q r 又若u ( z ，0 ) v ( x ，0 ) 于q ，则乱( z ，亡) v ( x ，亡) 于q r ( 2 ) 方程组的比较原理 考虑如下方程组 面o u i + 厶乱产f i ( x , t , , u l , u 2 ) ， b i 珏= 虢( z ，) ， 乱i ( z ，0 ) = t ( z ) ， ( z ，亡) q t ， ( o ，艺) & ， z q ( 2 2 2 ) 其中厶u = 一z 七：，( z ，t ) u 叼。+ ，巧( z ，t ) u x ，厶一致椭圆，岛= o t 鬻+ 6 t 毗， 五关于u j ( 歹i ) 是c 1 的，关于z ，舌是h s l d e r 连续的，i ，j = 1 ，2 定理2 4 假设五关于吻0 i ) 拟单调增，且满足 刁o u f i + l u i 一五( z ，t ，钆1 ，让2 ) o 况v _ a + l t 仇一 ( z ，t ，钞1 ，秒2 ) ， 鼠乱t 鼠优， u i ( z ，0 ) v i ( x ，0 ) ， ( z ，) q r ， ( z ，t ) s t ， z q 则有u i ( x ，艺) v i ( x ，t ) 于q 丁又若u d x ，0 ) v i ( x ，0 ) 于q ，则u i ( x ，t ) ( z ，芒) 于q 7 五为拟单调减的情况类似可得，z ，j = 1 ，2 注：以上所讨论的极大值原理和比较原理都是在方程一致抛物假设的基础上，然而对于 带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的抛物方程阻夕，上述正性引理的一致抛物条件可以替换为 乙：1q 巧已白0 ，结论仍然成立 1 0 大连理工大学硕士学位论文 2 2 2 上、下解方法 下面我们引入上、下解的基本概念和解决问题常用的方法 ( 1 ) 单个方程情况 定义2 , 2 1 假设面( z ，t ) ，丝( z ，t ) c 2 , 1 ( q r ) nc ( q r ) ，若满足 p 面一f ( x ，t ，面) 0 p 丝一f ( x ，t ，笪) ，( z ，t ) q t ， b 面一g ( x ，t ) b u g ( x ，亡) ，( o ，t ) 岛， 豇( z ，0 ) 一u o ( x ) 0 丝( 2 ，0 ) 一t 幻( z ) ， z q ， 则称面( z ，亡) ，丝( 。，t ) 分别为( 2 2 1 ) 的上解和下解 根据最大值原理和比较原理，我们容易得到如下定理： 定理2 5 。设覆( z ，亡) ，堑( z ，亡) 分另吐是( 2 2 1 ) 的上、下解，且，关于乱是c 1 的，关于 z ，t 是h s l d e r 连续的，则( 2 2 1 ) 存在唯一的解u ( x ，芒) ，且满足豆( z ，t ) u ( x ，t ) 笪( z ，t ) 干q r ( 2 ) 方程组情况 定义2 2 2 假设面( z ，t ) = ( 豇1 ( z ，亡) ，f i 2 ( x ，亡) ) ，u ( x ，t ) = 也l ( z ，亡) ，u _ 2 ( x ，亡) ) ，若五关 于哟0 i ) 拟单调增，且满足 豢+ 蜥i 一五( 州，乩蚴o 豢+ 厶甄一五( 础，鲸蝴， ( 州) 鼠砒一吼( z ，t ) 0 b i u i g i ( x ，亡) ，( z ，t ) s t ， f i i ( x ，0 ) 一i ( z ) 02 丝( z ，0 ) 一i ( z ) ，x q ， 则称面，u 分别为( 2 2 1 ) 的上解和下解五为拟单调减的情况类似，i ，歹= l ，2 根据比较原理，我们容易得到如下定理： 定理2 6 设 0 ， 1 嚣：器：0 ， z 御，亡 0 ， ( 3 1 1 ) i 乱( z ，0 ) = “o ( z ) ， 秽( z ，0 ) = v o ( x ) ， z q ， 其中q 是酞n 中的有界区域( n 1 ) ，具有光滑边界a q ，p 0 ，钍o ) ，v o ( x ) 是径向 递减，非负连续函数并且满足相容性条件 3 2爆破指标 记q t = qx ( 0 ，t ) ，曲= o f t ( 0 ，t ) 定理3 1 若p 0 ，qs0 ，则( 3 1 1 ) 的解( u ，v ) 整体存在 定理3 2 ，若p 0 ，q 0 ，则( 3 1 1 ) 的解( 让，口) 在大初值有限时刻爆破 在以下部分中，我们将逐一证明定理3 1 和3 2 定理3 1 的证明：若qs0 ，则e q u ( o t 。) 1 是有界函数，可知移是整体存在对于任 1 3 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 意时刻t ，移( z ，t ) 都是有界的函数，可知v p ( x ，t ) 有界又因为饥= a u + v p ( x ，t ) ，所以 u 也整体存在的由以上结果可知当p 0 ，q 0 时，u ，v 是整体存在的 口 引理3 1 若( 钍，掣) 满足下面的方程组： ru t = u + c l v p ( z ，亡) ， lv t = a v + c 2 u g ( o ，亡) ， 1 丽o u = 赛= 0 ， l u ( z ，0 ) = u o ( x ) ，口( z ，0 ) = 刀o ( z ) ， z q ，t 0 ， x q ，t 0 ， z 御，t 0 ， x q 。 ( 3 2 1 ) 其中p ，q ，a l ，c 2 都是大于0 的常数，当p q 1 且u o ( x ) ，v o ( x ) 充分大时， u ( z ，亡) ，v ( x ，t ) 在有限时刻爆破 证明可参看文献 2 】 定理3 2 的证明：根据泰勒展开式，我们有： = 差扣礼 r l = l 设丝，型满足下列方程组：取伽使得p n o 1 ，则e g 让丽1 俨让彻。 f ，鲍= a u + v z ( z ，亡) ， i 姚= 型+ 面1g 加乱加， 1 u ( x ，t ) = v ( x ，t ) = 0 ， l 笪( z ，0 ) = u o ( x ) ，型( z ，0 ) = u o ( z ) ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， x 锄，t 0 ， z q ， ( 3 2 2 ) 由比较原理，有型钆，v ，由引理3 1 可知，u ，u 在有限时刻爆破从而让，u 在有限 时刻爆破 口 1 4 大连理工大学硕士学位论文 4p 1 ，q 0 时解的爆破速率 4 1 问题介绍 本章研究具有局部化源与局部源耦合的反应扩散系统考虑具有n e u m a n n 边界条 件的初边值问题： fu t = 扎+ u p ( z ，亡) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( p d ) v 舞t2 ：a 崭v ：。， 4 e q 叫0 嘲喜黔冀踢， lu ( z ，0 ) = 珏o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ， z q ， 其中p 1 ，q 0 为方便起见，我们只考虑q = b 1 = ( z r ：h 0 成立，且当t ( 0 ，t ) 时有m a x u ( ，t ) = u ( 0 ，亡) 下面总由t 表示( p d ) 问题解的b l o w - 】5 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 u p 时间由第3 章证明我们知道当p 1 ，q 0 时( p d ) 问题解对大初值有限时刻b l o w u p 首先证明( p d ) 问题中分量牡和u 之间的关系 引理4 1 假设w 1 ，伽2 c a , 1 ( q r ) nc ( 国丁) ，并且满足 rw l t d i ( x ，t ) a w l c l i ( z ，t ) w l + c 2 1 ( o ，t ) w 2 ( z ，t ) q r ， iw 2 t d 2 ( x ，t ) a w 2 c 1 2 ( x ，t ) w 2 + c 2 2 ( x ，t ) w l ( z ，t ) q 丁， 1 w l ，w 2 0 ( z ，t ) 锄( o ，t ) ， 1w l ( x ，o ) ，w 2 ( x ，0 ) 0 z q ， 、 其中q ( 0 ，t ) ( i = 1 ，2 ；j = 1 ，2 ) 是有界函数 c 2 f o d j o ( j = 1 ，2 ) 那么w l ，w 2 0 于q 丁 引理4 2 令( 缸，v ) 是( p d ) 问题的一个b l o w - u p 解，且p 1 ，q 0 并且假设条件 ( a ) 成立则存在正的常数c ，c 使得 扩+ 1 ( o ，t ) e q u ( o , t ) c v p + 1 ( 0 ，t ) 证明。令 i = 毗一5 v v j = v t 一5 e q u ( o , t ) 其中6 是待定的，是大于0 的小常数，当6 足够小时有如下结果： 五= 毗一s p y p 一1 v t = u + p 一1 v 一勋v p 一1 ( 口+ e q u ( o , t ) ) ，= 地一印( p 一1 ) v p 一2i v v l 2 一( f p v p 一1 a v 厶一，p 矿+ 1 v t 一印v p 一1 e q u ( o , t ) = 矿v t 一5 e q u ( o , t ) ) = p v p 一1 j 五= v t t 一6 e 口u ( o , t ) q u t ( 0 ，t ) = a v t + e g 训o , t ) q u t ( 0 ，t ) 一5 e q u ( o ，。g 珏( o ，t ) a j = 砚 五一j = ( 1 5 ) e q u ( o , t ) q u t ( o ，t ) 荔= c 鬻儿一却u p - 1 骞= 。 两o j = ( 骞) 。一咖弘骞= 。 i ( x ，0 ) = a u o + 嵋一6 ”g 0 j ( x ，0 ) = a v o + e q u o 一5 e q “o 0 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 通过上面的计算应用引理4 1 可知： 1 ，j2 u 设 s a ( o ，t ) = c v p + 1 ( o ，t ) 一e 口u ( o ) 其中c 大于0 的常数待定，我们知道当c 足够大的时候，有 s 1 t ( o ，t ) = c v p + 1 ( o ，亡) 护( o ，亡) 仇( o ，t ) 一e g 仙o ，们q u t ( o ，亡) c ( p + 1 ) 矿( o ，t ) 饥( o ，t ) 一e q u ( o , t ) q v p ( o ，t ) = c p 十1 ) m t ) ( 啪旷瓦) o ( 矗b “) s 1 ( o ，0 ) = c v p + 1 ( o ，0 ) 一e q u ( o o ) 0 霞 ( o ，t ) = e 口让( o , t ) 一扩+ 1 ( 0 ，t ) 其中c 为待定大于0 常数，我们知道当c 足够小的时候，有 岛( o ，t ) = e q u ( o t ) q u t ( 0 ，t ) 一c v p + 1 ( o ，亡) 伊( o ，t ) 仇( o ，t ) ：e 弘( 0 t q 让t ( 0 ，t ) 一c v p + 1 ( o ，亡) 俨( o ，t ) ( z x v ( o ，亡) + e q u ( o , t ) ) e q u ( o ，t ) q u t ( o ，t ) 一扩+ 1 ( o ，芒) 矿( o ，t ) e 9 u o 。 纠泖勘咖和 t ) 二掣以叭) ) 。( 掣“) ( 0 ，0 ) = “( o , o ) 一矽+ 1 ( o ，0 ) 0 通过对s 1 ，的计算，应用比较原理，就证明了引理4 2 即存在大于0 的正常数c ，c 使 g - 6 一d p + 1 ( o ，t ) se q 缸( o 2 sc v p + 1 ( o ，t ) 口 引理4 2 告诉我们( p d ) 问题中的任何n o w - u p 必是同时的定义 容易证明 ，t 7 伊( o ，s ) d s ， d o l i r af ( t ) = + 。， ，丁 ) = z 。抄) d s 1 i m a ( t ) = + o 。 t ，t 1 7 ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) 局部化源和局部源相互作用的抛物方程组解的渐近行为 接下来我们将给出于q 内全局b l o w - u p 的结论事实上，我们将证明问题( p d ) 具 有一致b l o w - u p 模式，由如下定理表述； 定理4 1 令( 乱，钞) 是( p d ) 问题的一个b l o w - u p 解，且有p 1 ，口 0 和假设条件 ( a ) 成立则有 l i m ( t 叫勘虹( 等) 昔( 南) j ， l i m ( 丁叫州) = ( 等) ；， 于q 任意紧子集上成立 证明。由v ( o ，t ) = m a 酾移( ，t ) 知a v ( 0 ，t ) 0 ，于是有下式成立 v t ( 0 ，t ) e q u ( o , t ) ，0 t t ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) 在( 0 ，) 上积分( 4 2 8 ) 可得 u ( o ，亡) 一v 0 ( o ) e 弘( o ，8 ) d s = g ( 亡) ，0 t 0 ，将( p d ) 的第二个方程两端同乘妒o ，并在q = qx ( 0 ，t ) 上积分，这里0 t 0 ， z 御，t 0 ， o q 的初边值问题，先证明了解整体存在和有限时刻b l o w - u p 的条件 当p 0 ，q 0 的时侯我们得到方程组是有限时刻爆破 当p 0 ，q 0 的时候，方程组的解是整体存在 2 更进一步研究方程组的问题解的一致爆破速率问题，得到了此类问题的完整结果 在当中，我讨论了p 1 ，q 0 的时候解的一致b l o w - u p 模式 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 【1 】z h e n gsn ，w a n gjh ，ar e a c t i o n d i r u s i o ns y s t e mc o