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特征标次数和有限群的结构摘要 摘要 有限群的表示理论是研究有限群结构的重要工具，如著名的f r o b e n i u s 定 理和p a q 6 定理。国内外许多学者研究了特征标次数和有限群结构之间的联 系，并给出很多重要结论。本文利用特征标次数集c d ( g ) 的算术特征和特征 标次数图的特征来刻画有限群的结构，共分四章，主要有如下内容： 第一章介绍文中常用的符号和概念 第二章讨论不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群即对任意m c d ( g ) 都有g c d ( i g i m ，仇) = 1 我们完全刻画出这种群的结构。 第三章讨论特征标次数素图中不含三角形的有限群。 第四章我们讨论特征标次数素图的一种子图，即相应于i c d ( g ) | _ 1 个特 征标次数的图。我们定义这种图a ( a m ) ：其顶点集合是p ( a m ) = pi p l 凸，m a c d ( g ) ) ，它是由整除c d ( g ) m ) 中的不可约特征标次数的素数组 成。对于图中两个不同的顶点p 和q ，若p q 整除某个次数a c d ( g ) m ) ， 则定义p 和q 之间有一条边用n ( a ( a m ) ) 表示图a ( a m ) 的连通分支的 个数。易知若g 交换，或c d ( a ) = 1 ，o ) 且仇= a 时，则c d ( a ) k m 是空集， 此时我们令n ( a ( a m ) ) = 0 在本章中证明了若g 是可解群，g 是交错单 群如，佗7 ( a 5 垒l ：( 4 ) 鲁如( 5 ) ，a 6 垒l 2 ( 9 ) ) ，或g 是散在单群，则对任意的 m 础( g ) ，都有佗( ( g m ) ) 2 若g 是李型单群，则对任意的m c a ( a ) ， 都有n ( a ( a m ) ) s3 关键词：有限群；不可约特征标次数；特征标次数图 作者：梁登峰 指导教师：施武杰 a b s t r a c t i t i sac l a s s i ca n di m p o r t a n ts u b j e c tt os t u d yt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p sb y c h a r a c t e rt h e o r yo ff i n i t eg r o u p s 。s u c ha sf r o b e n i u st h e o r e ma n d 矿矿t h e o r e m m a n y s c h o l a r sh a v es t u d i e dt h er e l a t i o n s h i pa b o u tt h ec h a r a c t e rd e g r e e sa n dt h es t r u c t u r e s o ff i n i t eg r o u p s ，a n dg i v e nm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h e s t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p sb yt h ea r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e so fc d ( a ) a n dt h ec h a r a c t e r d e g r e eg r a p h i tc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf o u rc h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m es y m b o l sa n db a s i cc o n c e p t st h a tw eu s u a l l yu s ei n t h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d yf i n i t eg r o u p sw h o s ea l li r r e d u c i b l ec h a r a c t e rd e g r e e sa r e h a l l - n u m b e r s a n dw eh a v eg i v e nt h es t r u c t u r e so ft h e s eg r o u p s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yf i n i t eg r o u p sw i t ht h ec h a r a c t e rd e g r e ep r i m eg r a p h sc o n - t a i n i n gn ot r i a n g l e s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yak i n do fs u b g r a p h so fp r i m eg r a p h s ，i e t h eg r a p h sa f f o r d e d b yi c d ( c ) i _ 1c h a r a c t e rd e g r e e s w ed e f i n et h eg r a p ha ( c m ) ，w h o s e v e r t i c e sa r e t h e e l e m e n t so fp ( v 一仇) = 仞ip i 口，m a c d ( g ) ) ，i e t h o s ep r i m e sgt h a td i v i d es o m e e l e m e n to fc d ( a ) m ，w h e r em c d ( g ) i sap o s i t i v ei n t e g e r w ed r a wa ne d g eb e t w e e n t w od i f f e r e n tv e r t i c e s 口，r ( g m ) i fa n do n l yi fq rd i v i d e sof o rs o m ea c d ( g ) m t h en u t u b e ro f c o n n e c t e dc o m p o n e n t so f ( g m ) w i l lb ed e n o t e db y 佗( ( g m ) ) w e k n o wt h a ti fgi sa na b e l i a ng r o u p ，o r 以( g ) = 1 ，口) a n dm = a ，t h e nc d ( g ) ( m ) = p ， s ol e tn ( a ( c m ) ) = 0 w eh a v ep r o v e dt h a tn ( ( g m ) ) 2t oe a c hm 缸( g ) ，i f gi sas o l v a b l eg r o u po rg 垡a ，w h e r e 佗7 ( a 5 型如( 4 ) 型l 2 ( 5 ) ，a s 竺l 2 ( 9 ) ) ，o rg i so n eo ft h es p o r a d i cs i m p l eg r o u p s a n dn ( ( g m ) ) 3t oe a c hm c d ( e ) ，i fg i s af i n i t es i m p l eg r o u po fl i et y p e k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p s ；i r r e d u c i b l ec h a r a c t e rd e g r e e s ；t h ec h a r a c t e rd e g r e eg r a p h i i w r i t t e nb yl i a n gd e n g f e n g s u p e r v i s e db ys h iw u j i e 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声县目的法律责任。 研究生签名：銎鍪竺至日期：竺2 至塑竺璺 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：三盟日 导师签名：盘主卫皇日 期：幽垒塑竺9 期： 特征标次数和有限群的结构引言 有限群的表示理论是研究有限群结构的重要工具，如著名的f r o b e n i u s 定 理和p a q b 定理。利用c d ( g ) 的算术特征和特征标次数图的特征来刻画有限群 的结构是有限群表示论的经典课题。本文主要讨论特征标次数都是h a l l 数的 有限群，特征标次数素图中不含三角形的有限群，特征标次数素图的一种子 图。 本文共分四章，主要有以下内容： 第一章介绍本文常用的符号和基本概念 第二章讨论特征标次数都是h a l l 数的有限群( 此问题是钱国华教授提出 的) 关于特征标次数( 即特征标表的第一列) 的第一个基本的算术性质是： 任意不可约特征标x 的次数x o ) 整除i g l ；更进一步地有，对g 的任意交换 正规子群a 都有x ( 1 ) 整除l g ：a i 引起大家极大兴趣的是这种算术性质反过来决定了群的某些结构i t o - m i c h l e r 定理指出：对有限群g ，如果对任意x i r r ( g ) 有pfx o ) ，则g 有正规 的交换s y l o w p 一子群 对偶地，j g t h o m p s o n 证明了：如果对任意的非线性不可约特征标x i 玎( g ) 有p 整除x ( 1 ) ，则g 有正规p 一补后来，y g b e r k o v i c h 和i m i s a a c s 在文 献【1 8 中推广了这一结论，特别指出了g 的可解性此定理是这样叙述的： 令旦g ，n 是n 的导群，若c d ( g l n ) 中的每个元素都能被p 整除，其中p 是一个素数，则是可解的且它有正规p 一补 而且，早在1 9 9 8 年b h u p p e r t 和o m a n z 在文献【1 4 】中就讨论了不可约特 征标次数都是平方自由的有限群得到如下结果：若g 是可解群且g 的不可 约特征标次数都是平方自由的，则下列断言成立：( 1 ) f ( g ) 是亚交换群。且对 所有的p ，有i q ( g ) z ( d p ( g ) ) i = p a 或者q ( g ) 中存在指数至多是p 的正规交 换子群；( 2 ) 1 只+ 1 f d 是平方自由的，特别地只+ 1 f , 是循环的；( 3 ) f a = g ，特 特征标次数和有限群的结构引言 别地，n ( g ) 3 ，且d l ( g ) 4 若g 是非可解群且g 的不可约特征标次数都 是平方自由的，则存在正规子群r 使得g r 皇a r 在第二章中我们考虑这样的有限群g ：它的不可约特征标次数都是g 的 h a l l 数，即对任意m c d ( g ) 都有g 谢c l c l m ，仇) = 1 我们完全刻画出这种群的 结构，并得到下面两定理： 定理2 2 1 令g 是有限可解群则g 的不可约特征标次数都是g 的h a l l 数 的充要条件是g 是下列群之一： ( 1 ) g 是交换群； ( 2 ) g = m 旧是循环h a l l 子群m 1 作用在正规交换h a l l 子群f 上的半直 积，且对每个p s y l p ( m ) ，当【f ，p 】 1 时，p 无不动点地作用在【f p 】上； ( 3 ) g = l 旧是无平方因子阶的循环h a l l 子群l 作用在正规h a l l 子群h 上 的半直积，且这里的h 是满足( 2 ) 中性质的群 定理2 3 1 假设g 是有限非可解群则g 的不可约特征标次数都是g 的 h a l l 数的充要条件是g 有正规h a l l 子群m 和l 满足如下条件： ( 1 ) i g ：m i 是平方自由的； ( 2 ) 三垒l 2 ( 2 ，) 其中，2 ； ( 3 ) m = n l 其中n = ( l ) ； ( 4 ) c d ( ) 中的元素都是的h a l l 数。 进一步，若g 是这样的群，则m 有一补群d ，d 同构于l 的外自同构 群的一个子群。特别地，d 竺g i m 是循环的，且i d i = i g ：m i 整除， 第三章考虑特征标次数素图( g ) 中不含三角形的有限群 1 9 8 5 年之后，b h u p p e r t ，o m a n t z ，t r w o l f 等人提出应用特征标次数 素图( g ) 来研究有限群的结构特征标次数素图( g ) 的顶点集是g 的不可 约特征标次数的素因子集p ( g ) ，两个顶点p 与q 决定( g ) 的一条边当且仅当 存在g 的不可约特征标x 使得p q 整除x ( 1 ) 有关研究素图的文献有很多，比 如文献 2 2 】， 2 3 】， 2 4 】，【2 5 】，【3 1 】，【3 2 】，【3 7 】， 4 3 】， 4 2 】，【4 5 】，阻】， 【5 5 】等。下面我们简单介绍一下有关素图的基本成果 2 特征标次数和有限群的结构 引言 1 9 8 9 年o m a n t z ，w w f f i e m s 及t r 。w 出等三人在文献 4 3 】中共同证明了 可解群g 的特征标次数素图( g ) 中的每三个顶点至少存在一条边，由此可 以推论可解群特征标次数素图最多有两个连通分支，每个连通分支直径不超 过3 文献【4 3 】利用有限单群分类定理进一步证明了任何有限群的特征标次 数素图最多含三个连通分支文献【4 2 1 中推论1 8 8 又说明了有两个连通分支 的可解群的每个连通分支都是完全图。 文献 4 2 】中定理1 9 6 证明了：如果可解群g 的特征标次数素图( g ) 不连 通，则g 的f i t t i n g 高2 他( g ) 4 ，导长d l ( c f ( g ) ) 4 2 0 0 1 年m l l e w i s 在 文献【2 2 1 中进一步对( g ) 不连通的可解群结构作了完整的分类研究，证明满 足这一条件的可解群只有6 类，m l l e w i s 给出了这6 类群详细的群论结构 2 0 0 1 年m l l e w i s 在另一篇文献【2 3 】中进一步研究了一类特征标次数素 图连通的更为困难的情形：假设群g 可解，且特征标次数图( g ) 的顶点集 p ( g ) = 订lu 丌2u p ) ，其中1 7 r l i ，i 丌n i 1 ， r 1n 丌2 = p ，且丌1 与7 r 2 中顶点不相 连。m l l e w i s 证明这时g 的f i t t i n g 高不超过4 我们在第三章研究了一类特殊的素图一图中不含三角形的素图，主要得 到如下结果： 定理3 2 1 令g 是有限可解群，若图( g ) 中不含三角形，则下列之一成 上 且： ( 1 ) j p ( g ) j 2 ，此时( g ) 如第三章图二中的( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ； ( 2 ) i j d ( g ) i = 3 ，此时若( g ) 不连通，如第三章图二中的( 4 ) ；若( g ) 连通， 如第三章图二中的( 5 ) ； ( 3 ) l p ( a ) l = 4 ，且图( g ) 中无对角线，如第三章图二中的( 6 ) ，此时g 的 f i t t i n g 高2 n ( g ) 4 定理3 3 1 若g 是有限非交换单群，且( g ) 中不含三角形，则g 掣l 2 ( q ) ， 其中素数方幂q 4 ，且i 丌国+ 1 ) f 2 ， 7 r ( g i ) i 2 定理3 3 2 若g 是非可解群，且( g ) 中不含三角形，则下列情形之一成 立： 3 特征标次数和有限群的结构 引言 ( 1 ) g 中存在正规子群n ，使得g n 型l 2 ( 4 ) l 2 ( 4 ) 或g n 笺l 2 ( 8 ) l 2 ( 8 ) 。 ( 2 ) g 中存在正规子群，使得g n 型l 2 ( q ) ，其中i - ( q + 1 ) l = 2 ，1 7 r ( 口一1 ) 1 = 2 ， 素数方幂q24 。 ( 3 ) g 中存在两个正规子群m ，n ，使得m n 同构于l 2 ( 4 ) 鲁如( 5 ) ，或者 l 2 ( 8 ) ，或者l 2 ( 7 ) ，或者l 2 ( 1 7 ) ，或者l 2 ( 9 ) ( 4 ) g 中存在两个正规子群m ，n ，使得i g m i = 2 ，m n 同构于l 2 ( 7 2 ) ，或 者l 2 ( 5 2 ) ，或者l 2 ( 3 4 ) 有关特征标次数的图除了素图外，文献 3 4 】和【3 5 】等研究了特征标次数的 公因子图r ( g ) ，其顶点集是由c d ( g ) 1 ) 中的元素组成的，若口，b c d ( g ) 1 ) ， 且口和b 有非平凡公因子，则顶点。和b 之间有边相连文献【4 0 】研究了图 r ( g ) ，即顶点是所有非线性不可约特征标，对于两个顶点，若它们的次数 有非平凡的公因子，则这两顶点之间有边相连文献 1 7 】和【3 8 】等研究了图 a ( g i n ) ，其顶点集是由c d ( g i n ) 中的特征标次数的素因子组成的集合p ( g i n ) 对于图中两顶点p ，q p ( g i n ) ，若存在口c d ( g i n ) 使得p q 整除口，则它们之间 有边相连。文献【1 6 】和 2 6 】等研究了图r ( g i n ) ，其顶点集合是由c d ( c i n ) 一m 中的元素组成的，若口，b c d c g i n ) 一 1 ) ，且d 和b 有非平凡公因子，则顶点 口和b 之间有边相连文献 3 0 】中研究了图舒( g ) ，即对某一固定的素数集合 丌，定义c d ”( g ) 为c d ( g ) 中那些仅能被丌中素数整除的特征标次数组成的集 合，图的顶点集合就是矿( g ) ( 即霄) ，对于顶点p ，q 矿( g ) ，若存在口c d ”( g ) 使得p q 整除口，则它们之间有边相连。 第四章我们讨论特征标次数素图的一种子图，即相应于i c d ( g ) l 一1 个特征 标次数的图z x ( e m ) ( 此问题是钱国华教授提出的) 考虑集合c d ( g ) m ) ， 此处m c d ( g ) 我们定义了图z x ( g m ) ，其顶点集合是p ( g m ) ，是由整除 c d ( g ) m ) 中的特征标次数的素数组成。对于图中的两个顶点p 和q ，若p q 整 除某个次数a c d ( g ) m ) ，则定义p 和q 之间有一条边用n ( ( g 一仇) ) 表示 图( g m ) 的连通分支的个数易知若g 交换，或c d ( g ) = ( 1 ，口) 且m = 口时， 则c d ( g ) m ) 是空集，此时我们令n ( ( g 一仇) ) = 0 在本章中证明了若g 是可 解群，g 是交错单群a n ，n 之7 ( a 5 兰l 2 ( 4 ) 掣l 2 ( 5 ) ，山望l 2 ( 9 ) ) ，或g 是散在单 4 特征标次数和有限群的结构 引言 群，则对任意的m6c d ( g ) ，都有n ( ( g m ) ) 2 若g 是李型单群，则对任 意的m c d ( c ) ，都有仡( ( g 一叫) 3 具体的结论是： 定理4 2 i 若g 是有限可解群，则对任意的仇6c d ( g ) ，a ( g m ) 至多有 两个连通分支，即n ( ( g m ) ) 2 。 定理4 3 1 若g 型厶，且n 7 ( 4 5 型l 2 ( 4 ) 型l 2 ( 5 ) ，a 6 掣l 2 ( 9 ) ) ，则对任意的 m c d ( g ) ，( g m ) 至多有两个连通分支，即n ( ( g m ) ) 2 定理4 3 2 若g 是李型单群，则对任意的m6c d ( g ) ，( g m ) 至多有三 个连通分支，即n ( ( g m ) ) 3 推论4 3 i 若g 是散在单群，则对任意的m 以( g ) ，a ( g m ) 至多有两 个连通分支，即礼( ( g m ) ) 2 特征标次数和有限群的结构第一章符号和基本概念 第一章符号和基本概念 本文中的群都是指有限群，特征标总指复特征标。我们使用的群论的术语 和符号参照d j s r o b i n s o n 的著作 4 7 】，群表示论的术语和符号一般参照i m i s s a c s 著作 1 5 】和o m a n z ，t r w o l f 的著作 4 2 】，未指出的符号可参考本文中 文献。本章给出文中常用的符号和基本概念 h g 表示日为群g 的子群；h 望g 表示子群h 为群g 的正规子群；| g | 表示g 的阶，l g ：mj 表示子群m 在群g 中的指数；若p 表示某个素数，则 p ，表示除了p 以外的所有素数的集合；丌表示某个素数集合，一表示除了丌 以外的所有素数的集合；丌( g ) 表示群g 的阶的素因子的集合；如果自然数n 的所有素因子都在丌中，那么称几为丌数；如果一个群g 的阶为丌数，那么 我们称群g 为丌群；群g 的丌一子群m ，如果有g c d ( 1 a ：m i ，i m i ) = l ，那么称 m 为群g 的h a l l 丌一子群。f ( g ) 表示g 的f i t t i n g 子群，即g 的极大幂零正规 子群令f o ( g ) = 1 ，冠( g ) 定义为只( g ) e 一1 ( g ) = f ( g f i 一1 ( g ) ) 扎( g ) 表示上 面归纳定义中使晶( g ) = g 的最小的数。对任意正整数m ，n ，g c d ( m ，n ) 表示m 和n 的最大公约数 设g 是有限群y 是域f 上的个n 维向量空间群g 在向量空间y 上 的一个作用，也就是g 到g l ( v ) 的一个同态x ：g g l ( n ，f ) ，称为g 的一个 f 一表示。g 的相应于表示x 的f 一特征标定义为函数x ：x ( 9 ) = t r x ( g ) ，即对 应的线性变换的迹。向量空间y 的维数称为该表示的次数，也可称为特征标 x 的次数。当y 只有平凡的g 一不变子空间时这个表示就叫做不可约表示对 应的特征标x 叫做不可约特征标。否则叫做可约的表示和可约的特征标。用 i 盯( g ) 表示g 的所有复不可约特征标构成的集合。记c d ( g ) = x ( x ) l x i 玎( g ) ) ， c d ( g ) = c d ( g ) 一 1 ) 若h g ，表示x 限制到h 上记为x 日，是h 的一个表示。且特征标x 限制到日上得到的特征标姗也是日的特征标 令n 里g ，口i r r ( n ) ，若存在不可约特征标x 使得黼= 口，则口叫做 是可扩充的。记i r r ( g 1 日) = x i r r ( g ) i 【x ，卅0 ) i r r ( g i n ) = i r r ( g ) 一i ( g n ) 6 特征标次数和有限群的结构第一章符号和基本概念 也即对所有1 0 i r r ( n ) ，i r r ( a l o ) 的并。c d ( a i n ) = x ( 1 ) i ) ( i n ( g i ) ) c d ( g 1 0 ) = ( x ( 1 ) l x i 盯( d 口) ) 记p ( g ) = p i p 是x ( 1 ) 的素因子，x ( 1 ) c d ( a ) ) ( g ) 表示g 的由不可 约特征标次数决定的素图，其顶点即p ( g ) 中的元素，若存在x i r r ( g ) ，使 p q l x ( 1 ) ，则p 和q 之间有边相连。n ( ( g ) ) 表示( g ) 的连通分支的个数 定义图a ( a m ) ，其顶点集合是o ( a m ) = p o ，m 口c d ( g ) ) ，即是 由整除c d ( g ) m ) 中的元的素数组成。对于图中两个不同的顶点p 和q ，若p q 整除某个次数o c d ( g ) m ) ，则定义为p 和口之间有一条边。佗( ( g 一- 0 ) 表 示图a ( a m ) 的连通分支的个数若g 交换，或者c d ( g ) = 1 ，口) 且仇= o ， 则有c d ( g ) m ) = g ，此时我们定义, k a ( a m ) ) = 0 7 特征标次数和有限群的结构第二章不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群 第二章不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群 利用c d ( c ) 的算术特征来刻画有限群的结构是有限群表示论的重要课题， 在这个课题里主要是两方面的问题被提出。一方面是给定一个群g ，集合c d ( c ) 是由什么样的正整数组成? 另一方面，给定集合x ，假设x = c d ( g ) ，那我们 能得到关于g 的结构方面的哪些信息呢? 有很多文献( 例如 2 1 】，【4 4 】，【9 】9 ， 【1 8 】， 4 6 j ， 5 4 】，【2 7 】，【2 8 】，【3 】3 ，和 5 4 】等等) 都研究过这两方面的问题这一 章我们主要研究不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群( 该问题是由钱国华 教授提出的) ，对可解群和不可解群分别讨论，得到了定理2 2 1 和定理2 3 1 5 2 1 概念和简介 设g 是一个有限群，令c d ( g ) = x ( 1 ) l x i r r ( g ) ) 是g 的所有不可约特征标 次数的集合c d ( g ) = c d ( g ) 一 1 ) 利用c d ( g ) 的算术特征来刻划有限群的结 构是有限群表示论的经典课题。 关于特征标次数( 即特征标表的第一列) 的第一个基本的算术性质是： 任意不可约特征标x 的次数x ( 1 ) 都是| g | 的因子；更进一步地有，对g 的任 意交换正规子群a 都有x ( 1 ) 整除i g ：a i 。 引起大家极大兴趣的是这种算术性质反过来决定了群的某些结构。i t o - m i c h l e r 定理指出：对有限群g ，如果对任意x i r r ( c ) 有p f x ( 1 ) ，则g 有正规 的交换s y l o w p 一子群 对偶地，j g t h o m p s o n 证明了：如果对任意的非线性x i r r ( g ) 有vx ( 1 ) ， 则g 有正规p 一补后来，y g b e r k o v i c h 和i m i s a a c s 在文献 1 8 】中推广了这一 结论，特别指出了g 的可解性此定理是这样叙述的：令n g g ，若c d ( c i n ) 中的每个元素都能被p 整除，其中p 是一个素数则n 是可解的且它有正规 p 一补对可解群g ，0 m a n z 证明了：若每个仇c d ( g ) ( 即大于1 的不可约 特征标次数) 或者是p 7 一数或者是p 的方幂，则g 的p 一长i v ( g ) 2 ，见文献 3 6 】及 4 2 ，1 8 】 进一步，m l l e w i s 在文献 2 1 】中考虑了满足这种条件的可解群：对任意 8 特征标次数和有限群的结构 第二章不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群 的m ，n c d ( g ) ，其中m n ，满足g c d ( m ，n ) = 1 或者g c d ( m ，n ) 是一个素数得 到如下结果：假设g 是满足上面条件的可解群，则i c d ( g ) l 1 4 而且，早在1 9 9 8 年b h u p p e r t 和0 m a n z 在文献【1 4 】中就讨论了不可约特 征标次数都是平方自由的有限群得到如下结果：若g 是可解群且g 的不可 约特征标次数都是平方自由的，则下列断言成立：( 1 ) f ( g ) 是亚交换群，且 对所有的p ，有l o p ( c ) z ( o p ( g ) ) i = p 3 或q ( g ) 中存在指数至多是p 的正规交 换子群；( 2 ) i 冠+ 偈i 是平方自由的，特别地只+ - 偈是循环的；( 3 ) f 3 = g ， 特别地，n ( g ) 3 ，且d l ( g ) 4 若g 是非可解群且g 的不可约特征标次数 都是平方自由的，则存在一正规子群r 使得g r = na 7 在本章中我们考虑这样的有限群g ：不可约特征标次数都是g 的h a l l 数， 即对任意m c d ( g ) 都有q c d c l c l , n ，m ) = 1 我们完全刻画出这种群的结构，并 得到下面两定理： 定理2 2 1 令g 是有限可解群。则g 的不可约特征标次数都是g 的h a l l 数 的充要条件是g 是下列群之一： ( 1 ) g 是交换群； ( 2 ) g = m 【f 】是循环h a l l 子群m 1 作用在正规交换h a l l 子群f 上的半直 积，且对每个p s y z p ( m ) ，当 f ，p 】 1 时，p 无不动点地作用在【f p 】上； ( 3 ) g = l h 】是无平方因子阶的循环h a l l 子群l 作用在正规h a l l 子群日上 的半直积，且这里的h 是满足( 2 ) 中性质的群 定理2 3 1 假设g 是有限非可解群。则g 的不可约特征标次数都是g 的 h a l l 数的充要条件是g 有正规h a l l 子群m 和l 满足如下条件： ( 1 ) l c ：m i 是平方自由的； ( 2 ) l = nl 2 ( 2 i ) 其中，2 ； ( 3 ) m = n l 其中n = 睨( l ) ； ( 4 ) c d ( ) 中的元素都是的h a l l 数 进一步，若g 是这样的群，则m 有一补群d ，d 同构于l 的外自同构 群的一个子群。特别地，d 垒g m 是循环的，且i d i = i g ：m i 整除， 9 特征标次数和有限群的结构第二章不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群 2 2 不可约特征标次数都是h a l l 数的可解群 本节我们考虑不可约特征标次数都是h a l l 数的可解群，将证明定理2 2 1 ， 为此先给出两个相关的引理： 引理2 2 1 ( 阻】) 令g 是有限群。 kn 是g 的两个非平凡的正规子群且 v 1 时，p 无不动点地作用在【f ，p 】上； ( 3 ) g = l h 1 是无平方因子阶的循环h a l l 子群l 作用在正规h a l l 子群h 上 的半直积，且这里的h 是满足( 2 ) 中性质的群。 证明：先证明定理的充分性。 假设g 是( 1 ) 中的群，由c d ( g ) = ( 1 ) 知g 的不可约特征标次数都是g 的 h a l l 数 假设g 是( 2 ) 中的群，我们对i g i 归纳，证明每个m c d ( g ) 都是g 的h a l l 数。事实上，任取x i r r ( g ) 使得x ( 1 ) = m ，令m = p xq 是s y l o wp - 子群p 1 与 h a l lp 一子群q 的直积若p 1 ，矛盾于c r ( p ) = 1 ) ，因此对a g 的每个不 可约成分x ，我们有x ( 1 ) l 且x ( 1 ) 是g 的h a l l 数，从而x ( 1 ) = i p l 。这就说 明对f 的每个非主不可约特征标a i r r ( f ) ，x g 是不可约的，从而p 无不动 点地作用在i r r ( f ) 上，因此p 也无不动点地作用在f 上此时g 满足( 2 ) 的 要求 最后再设兄 1 ，由上段证明结论知r i b l 是以b 为核 的n o b e n i u s 群因为b 非平凡作用在f 上，b 就非平凡作用在g 的某个主 因子f i e 上考察商群a l e 因为b 非平凡作用在f e 上且f i e 是g 的 主因子，我们有b f = f 2 ，( b f e ) ，= f e 因为f 2 e 的不可约特征标次数 都是r u e 的h a l l 数，所以容易推知f 2 1 e 是以f i e 为核的f r o b e n i u s 群。此时 g e 是( 所谓的) 2 - f r o b e n i u s 群，应用引理2 2 1 ，我们有对每t 0 ，当 入2 k 0 且a 1 + a 2 + + k = n 此时称九为a 的部分( p a r t ) ，m 为a 的长而且对i 1 ，帆= 讹( a ) 表示在 a 中等于i 的那些部分( p a r t ) 的个数。则m = 伽盹入的y o n g 图是由n 个 结点( n o d e so rb o x e s ) 组成，即在第i 行有九个结点我们用矩阵中的符号表示 结点，即( t ，j ) 结点是图中第i 行的第歹个结点。定义( i ，j ) 一钩( h o o k ) 为y o n g 图中( i ，歹) 此结点右边和下面的结点( 包含它自己) 构成的图( i ，歹) 一钩中结点 的个数叫这个钩的钩长，记作：旭f 例如下面的图1 是( 5 2 ，4 ，1 ) = ( 5 ，5 ，4 ，1 ) 的 y o n g 图，其中( 2 ，3 ) 一钩是y o n g 图中( 2 ，3 ) 此结点右边和下面的结点( 包含它自 己) 构成的图，即图中黑点组成的图钩长( h o o kl e n g t h ) h 2 3 是4 1 3 特征标次数和有限群的结构第二章不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群 图1 我们把第一列的钩( h o o k ) 长度记作垃= 也1 = 九+ m i ) ，简记为f c h ，其 中1 m 记另一个划分 = ( 入2 ，a 2 ，a ) ，其中a ? = 趔1 ，则称卯为a 的共轭 划分也叫作和a 相关的划分( t i l ep a r t i t i o na s s o c i a t e dw i t ha ) 。若a ：a o ，则说a 是 自共轭的( s e l f - a s s o c i a t e d ) 若a a o ，则说a 是非自共轭的( n o n - s e l f - a s s o c i a t e d ) 。 a 的次数 是 ， n ! n 2 丽再 由文献 1 1 】和【4 1 】中的内容知 就是对称群岛的复不可约表示的次数。 晶的相应于a 的不可约表示限制到上是不可约的当且仅当a a o 时， 其中入。是a 的共轭划分( 和a 相关的划分) 若a = a o ，则晶的相应于a 的 不可约表示限制到如上是两个相同次数的不可约表示的和我们采用文献 【1 l 】中2 5 节的符号的定义有： 令a 是n 的一个划分，则 的不可约特征标次数为 ；f ，若a a o ； 。1 凯若a 纠 其中 是& 的相应于a 的不可约特征标的次数 引理2 3 1 假设g 是一个交错单群且g 的不可约特征标次数都是g 的h a l l 数则有g 垒a 5 证明：若g 型a 5 ，我们知道此时c d ( g ) = 1 ，3 ，4 ，5 ) ，易知凡的不可约特征 标的次数都是a 5 的h a l l 数。 对于n 5 ，选礼的非自共轭划分a = ( n 一2 ，1 ，1 ) ，考虑a 对应的特征标 1 4 特征标次数和有限群的结构 第二章不可约特征标次数都是h a l l 数的有限群 则由上面的讨论有 = ( n 一1 ) 【佗一2 ) 2 是a 的一个不可约特征标的次数，此时 l 厶i 厶= n ! ( n 1 ) ( 犯一2 ) = n ( n 一3 ) ! 若n 7 是奇数，有 9 c d ( n ( 佗一3 ) ! ，( n 一1 ) ( n 一2 ) 2 1 l 。 若n 6 是偶数，也有 9 c d ( 几( n 一3 ) ! ，( n 一1 ) ( n 一2 ) 2 ) 1 所以当n 5 时，有9 c d ( i 厶i 厶， ) 1 ，矛盾于g 的不可约特征标次数都是 g 的h a l l 数口 下面我们考虑李型单群的情况对于李型有限群的记号和基本性质参考 文献【4 1 假设l 是口个元素的域上的一有限李型单群，其中口= f - ，p 是素 数s 表示一伴随型的单线性代数群盯是s 的一个自同态，不动点集合品 是有限的，岛的导群同构于l 二的j l - 自同构的阶是d ( 对角自同构) 与厂 ( 域自同构) 与g ( 图自同构) 的乘积又因为岛与工的幂单特征标( u n i p o t e n t c h a r a c t e r ) 的次数相同，且i l l = i s , l i d 所以若妒是三的一幂单特征标，则对 妒加t ( l ) 的任意不可约成分x ，都有x ( 1 ) 整除g f b (