（基础数学专业论文）一类非阶化witt型李代数上的广义verma模.pdf

中国科学技术大学硕士学位论文 一类非阶化w i t t 型李代数上的广义v e r m a 模 摘要 摘要：本文构造了非阶化w i t t 型单李代数w + 上的一类广义v e r m a 模v ( r ) ，讨 论了此类模的可约性 关键词非阶化w i t t 型李代数，三角分解，广义v e r m a 模 中国科学技术大学硕士学位论文 g e n e r a l i z e dv e r m am o d u l e so v e rs o m en o n - g r a d e d l i ea l g e b r a so fw i t tt y p e a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s t r u c tg e n e r a l i z e dv e r m am o d u l e sv ( a r ) o v e rt h en o n f a d e d w i t tt y p es i m p | el i ea l g e b r aw + 吲f u r t h e r m o r e ，w ed e t e r m i n et h er e d u c i b i l i t yo f v ( 厂) k e yw o r d s n o n - g r a d e dl i ea l g e b r a so fw i t tt y p e ，t r i a n g u l a rd e c o m p o - s i t i o n ，g e n e r a l i z e dv e r m am o d u l e s i i 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：堑丛差是 卅年月箩日 第一章背景介绍 十九世纪末，挪威数学家s o r p h u sl i e 为研究微分方程的对称性而引出了李代 数的概念之后，李代数自身作为一个独立的数学分支取得了飞速发展诸如k i l l i n g ， e c a f t a n 等人对有限维复半单李代数的完全分类，k a c - m o o d y 代数结构和表示 理论的日趋完善另外，李代数还在许多其它数学及数学物理的分支中有着广泛的 应用比如敬论中的模形式和t h e t a 函数，组合数学中的p a r t i t i o n 函数，r o g e r s - r a g l a n a j a n 恒等式，拓扑学中的l o o p 空间和l o o p 群，q u i v e r 表示，奇异点， 孤立子方程，量子场论李代数的应用在某种意义上可以说就是它们的表示理论 的应用，所谓表示就是将抽象的李代数的元素具体化为线性空间的线性变换 1 1 阶化李代数表示理论的发展简介 李代数c 称为一阶化的( 其中为某一阿贝尔群) ，如果它满足 = 目c 。，d i m 。 o o 【c ，c ：】c + ：， v z ，y ，z a 2 不能有限阶化的李代数称为非阶化李代数 现在已有的关于李代数的表示的研究工作大多是关于阶化李代数的我们先 给出一些与阶化李代数表示相关的定义 定义1 1 1 阶化李代数c 的一个一阶化模v 称为拟有限的。如果它满足 v = 0 磙，白吃u + ：，d i m l ) ： o o ，v y ，。 z 定义1 1 2 阶化李代数的一个拟有限模v 称为一致有界模，如果存在正 整数m 使得 d i m 屹 o ) h 中国科学技术大学硕士学位论文 其中咒是c 的一个c a v t a n 子代数 定义1 1 5 阶化李代敷c 的广义权模v 称为权模当且仅当7 - 1 作用在v 上是半 单的也就是当且仅当 h t ，= a ( ) t ，v 畎h 1 - i 向量空问h 中的向量称为权a 的权向量如果它的每个权空问h 的维数都是 k ，我们称权模v 的次数为k 定义1 1 6 阶化李代数c 的权模v 称为无扭的，如果任意的一个c u 中的元素 作用在v 上是j 一的，其中咒是c 的一个c a f t a n 子代数 定义l 1 7 我们把阶化李代数c 的不可约拟有限权模v 称为h a r i s h c h a n d r a 模 特征为零的数域f 上的有限维单李代数c 是咒阶化的，其中咒。是它的 c a f t a n 子代数h 的对偶空间f e r n a n d oi f l ，f 2 ，f 3 l 把有限维单李代数的无限维 不可约有限模的分类问题转化为确定有限维单李代数的无限维不可约无扭模，并 且指出有限维单李代数c 上面如果可以定义无限维不可约无扭模v ，则c 必定是 a 型或c 型的b r i t t e n ，l e m i r e 和t a r o k h 【b l t 】证明了李代数a 。，n 4 上不存 在次数为k 2 ksn 一2 的不可约无扭模b r i t t e n ，h o o p e r 和l e m i r ef b h l 】证 明了李代数g 上只存在两类次数为1 的无限维不可约最高权模 m a t h i e u 【m 2 】 通过引入c o h e r e n tf a m i l y 这一概念对有限维单李代数的无限维不可约拟有限模进 行了分类l e m i r e ，f e r n a n d o ，z o r z i t t o 等人具体构造了单李代数a 。“g 及仿射 性k a c - m o o d y 代数的中间序列模( l f z ，b l l ，b l 3 ，b l 4 ，b f l ) 设。l ，是n 个无关的变量，令 五= ( m ，- ，a n ) c 8 ， a l z ， v i l ，诈) ， 其中c 和z 分别是复数和整数集合考虑c “上的连续函数构成的向量空间a 4 ( 回 和( d ) ： 朋( 回= s p a n x 5 = 砖t z 磐ib , 一啦z 并且( 坟一。t ) 2 z v i 1 ，n t = 1 ( 动= s p a n x g = x 1 1 奇i 碗一啦z 并且芝二( 觑一以) = o ，v t 1 ，n ) ， 2 第一章：背景简介 甩 色l i 1 ，n 表示实向量空间的p 的标准基我们知道 a = n l = e i e 2 ，n n 一1 ；e 雄一1 一，= 2 e n 是c ；的根系妒的一组基记是根为q 妒的根向量，即是g 的c a f t a n 子 代数，h 。7 - ，o 定义下面的c k 一模m ( 动： 妒：g _ e n d c n f ( 回 满足 妒( 。以一旬) = 黾岛， 1 i j n ， 妒( z 。+ 。，) = z ；勺，i ，j l ，n ， 妒( z t 日+ c ，) ) = 恳岛，i ，j l ，- ，n ， 妒( 。一q + 1 ) ：。，a z 件l 最，i 1 ，r t l ， ，。、 “兔+ 以上。 妒【n 2 e j2 i 一 我们知道无扭仿射型k a c - m o o d y 代数可以由李代数 硝= c l t ，t 一。 ok o c c c d ， 及李运算 i t 七o zq - i v + p d ，矿1 掣+ c + p ld | = t + 1 0 【z ，9 】+ p 七l t 。1 圆y p l k t 膏圆z + 后以, - - k l ( z i 掣) c ， v z ，y 。，以p ，l ，弘l c 凳，老i z 来实现，其中厶是有限维单李代数令 m ( a o ，动= s p a n b e m b l l - z l 玩一a l z ，并且( 玩一以) 2 z ，v i o ，l ，- r ，n ) t = l ( 嘶，回= 8 p a n 咖稿1 z lb i a z ，并且( 魄一啦) ：o v t o ；1 ，n ) ) ， i = l 其中a o ca = ( 口l ，) c n ，啦乒z 我们定义下面的凹) 模朋( d 0 ，回： ：g e n d c h d ( a o ，动满足 t p ( c ) = 0 ：( d ) ；t a ，_ p ( 产圆z ) = 驴妒( z ) 3 中国科学技术大学硕士学位论文 定理1 1 8 ( 兕 b l 2 i ) 有限维单李代数的t o r s i o n - f r e e 中间序列裢y 必定同构 干c k 一模埘( 西或a 。一1 一模( 西， 定理1 1 9 ( 见 b l 2 1 ) 仿射型k a c m o o d y 代数c 的t o r s i o n - f r e e 中间序列模v 必 定同构干碍模朋( 0 0 ，回或a 坦l 一模 r ( 印，回 定理1 1 1 0 ( 见【b l 2 1 ) 有扭仿射性k a c m o o d y 代数 乎，a 孑和 2 ”1 - 1 ，l 2 上不 存在t o r s i o n - f r e e 中间序列模 b e n k a r t ，b r i t t e n 和l e m i r e b b l 】推广了f e r n a n d o 的工作，他们研究了有限 维单李代数的无限维不可约一致有界模；他们指出有限维单李代数c 上面如果可 以定义无限维不可约一致有界模v ，则必定是a 型或g 型的并且在证明过程 中他们发现c 模一v 的g e l f a n d - k i r i l l o v 维数和李代数c 的秩一致 阶化足李代数理论中的一个强有力的工具上个世纪初， c a r t a n 【c l 用几何 的方法把有限维向量空间的向量场上的无限维单李代数分成了四类，我们称它们 为c n r t a a 型李代数w e i s f e i l e r 【w e 】利用阶化的办法为c a r t a n 的分类定理提供 了一个代数的证明办法，他把问题归结为对满足下面条件的z 一阶化单李代数c 的分类； c = o c j ，d i mc j o o ，0 一模c l 不可约 j 2 一d w i l s o n ，w i t t 和j a c o b s o n 等人用n 个变量的除幂代数的导子代数给出了特 征p 域上的c a f t a n 壅李代数的实现设 a = c l 斧1 ，1 ， l a r s s o n 【la 】构造了一个从g t ( n ，c ) 一模到w i t t 型李代数d e r x 一模的函子p ，其 中a c ”矿s e r a o r 1 】证明了f o ( y ( 妒，6 ) ) 是不可约的除非，b ) = 阪，) 或妒= 0 ( 其中矗，氏是基本整权) 林卫强和谭绍滨【l t i j 对量子环面的导子 代数构造了一族不可约表示p e u k o v 和s e r g a n o v a 【p s 】对w i t t 代数的任意一不 可约权模的支撑进行了一个详尽的描述 上个世纪八十年代，沈光宇对特征p 域上的阶化c a r t a n 型李代数的表示进行 了深入的研究他在文章 s g i l 中指出阶化c ”t n 型李代数是其零阶子代数的扩 4 第一章：背景简介 张并且根据零阶子代数的表示构造了混合积设“是数域f 上的交换结合代数， d l ，一，d 。是“的n 个相互交换的导子，则 w s p s u n a ；d j “) 是一个李代数如果c o 是一般线性李代数9 t ( n ：f ) 的一个子代数，则 nn c = d = 芝二口：d i w i d i ( q ) 圆e , j “。o = lt o = l 是w 的子代数，其中b 表示第i 行第j 列位置足1 其余位置足0 的矩阵，称 c 为c o 在w 中的扩张 定理1 1 1 1 ( 见【s g l 】) 设c o 是一般线性李代数9 t ( n f ) 的一个子代数， c 为c o 在w 中的扩张且z = c o “；( p o ，v ) 和( p “) 分别是李代数c 0 和z 的表示， f 定义 吼：i 9 2 f o y ) 满足 吼( d + ，) = 瓦( d + k f ) + ( p h o0 0 ) ( z 3 ) 其中 d c ，t g ；死( a ) = p ( a ) o l v ，v a l i d = b ( ) p 如“。9 1 ( n f ) ，v d = a i d i w 则( “，“o v ) a # + w xz 的表示，称为表示p o 和p ( v 和酣) 的d i l a t i o n 为七的 混合积。记为p ( 女) ”m ( 酞埘x y ) 另外，沈光字【s 9 2 ，s 9 3 l 还研究了阶化c a f t a n 型李代数的正负阶化模并且利 用混合积得到了阶化c a x t a n 型李代数的某些不可约表示二十世纪八九十年代， mk & w a m o t o ，d z d o k o v i c ，j m o s b o m ，d p a s s m a n ，徐晓平和赵开明等人【k ， d z l 一d z 5 ，o z l ，o z 2 ，p x 1 1 推广了c a f t a n 墅李代数的定义，我们称这些类型的 李代数为广义c a x t a n 型李代数赵开明 z k l l 对特征，岑域上的阶化广义w i t t 型李 代数重数为一的不可约权模进行了分类v m a z o r c h u k ( f m a l l ) 对一类广义w i t t 型李代数构造了一种v e r m a a i k e 模，并对一致有界不可约权棱证明了f u t o v a y - t i k e 定理其它类的广义c a f t a n 型李代数的表示我们已知的结果并不多 5 中国科学技术大学硕士学位论文 李代数的中心扩张不仅是数学上自然的研究对象，而且在物理上也起着非常 重要的作甩比如仿射型k a c - m o o d y 李代数可由l o o p 代数的一维中心扩张来实 现，在物理上它是c u r r e n t 代数，而中心基元代表中心荷无穷维h e i s e n b e r g 代 数是平凡李代数的一维中心扩张，它是波色自由场理论的基本代数结构 定义1 1 1 2v i m s o r o 代数v i r z l = f c ，也f l z ) 是满足下面定义关系的李代 数， 二3； 【c ，d f 】= 0 ，【吨出1 = 0 一 ) 吨q + 最，一j ：再c v i ，j z v i r a s o r o 代数在物理上代表能量量子场v ，g k a c 在上世纪八十年代给出 一个关于v i r a s o r o 代数h a r i s h c h a n d r a 模的重要猜想： 定理1 1 1 3 ( k a c 猜想) v i r a s o r o 代数的h a r i s h c h a n d m 模是最高权模，最低权 模，或者是中问序列模 m a r t i n ，p i a r di m p l 证明了v i r a z o r o 代数的一致有界h a r i s h - c h a n d r a 模是中 间序列模而苏育才 s t 2 1 则证明了v i r a s o r o 代数的h a r i s h - c h a n d r a 模是最高权 模，最低权模，或者是一致有界模( 这一结果加上【m p l 的结果完全证明了k a c 的 猜想) 同时，m a t h i e u m 1 ，m 2 1 也给出了k a c 猜想的证明苏育才i s 9 1 证明了 v i r a s o r o 超代数h a r i z h - c h a n d r a 模或者是最高权模，或者是最低权模，或者是中 间序列模 j p a t e r a 和h z a s s e n h a u s 【p z ，苏育才和赵开明 s z l 】通过考虑一 些广义w i t t 型李代数的一维中心扩张构造了广义的v i r a s o r o 代数v i r g ( 其中g 是数域f 的加法子群) 如果g 呈弘，则称v i r 6 q 为n 阶v i r a s o r o 代数或高阶 的v i r a s o r o 代数关于广义的v i r a s o r o 代数v i r g 1 的表示有许多文献可查苏育 才【$ 1 1 】把k a c 猜想推广到了高阶的v i r a s o r o 代数m a z o r e h u k m a l 】证明了广 义v i r a s o r o 代数v i r 【q 】( q 足有理数域) 上不可约拟有限模足中问序列模，并且 他【m a 2 1 还确定了高阶v i r a z o r o 代数具有零中，l - 负荷的v e r m a 模的不可约性胡 俊，王宪栋和赵开明i h w z 得到了广义v i r a z o r o 代数v i r g 】的v e r m a 模不可约 的判定方法高阶的v i r a s o r o 代数的不可约权模由苏育才 s 7 ，s 8 】分成了中问序列 模和最高权模两类，他还对高阶的v i r a s o r o 代数和高阶的s u p e r - v i r a s o r o 代数的 中闻序列模进行了分类，并且证明了高阶的v i r a s o r o 代数和高阶的s u p e r - v i r a s o r o 代数的一致有界不可约模必定是中间序列模y b i l l i g 和赵开明 b z 】对一些广义 v i r a a o r o 代数构造了一类拟有限不可约权模近来，吕仁才和赵开明( l z 】完成了高 6 第一章：背景简介 阶的v i r a s o r o 代数的拟有限不可约权模的分类另外，关于w i t t 代纸v i r a s o r o 代 数及仿射型k a c m o o d y 李代数q - 形变的表示的研究也很活跃( 如【c m ，g ，k p s ， l t 2 ，l t 3 ，z k 2 ，z z ，r z 】) 设c 是数域f 上有限维单李代数a = 酬芹1 ，砖”】为数域f 上的l a u r e n t 多项式代数，我们称李代数c 圆a 的泛中心扩张为t o r o i d a l 李代数，仿射型k a c - m o o d y 李代数是n = 1 的情况t o r o i d a l 李代数是驴阶化李代数 e ，s r a o 和m o o d y 【r m y ，r m l 通过f o c k 空问的顶点算子对t o r o i d a l 李代数构造了一大 类忠实表示e s r a o 和y o u n g s u ny o o nf r 3 ，r 4 ，r 5 ，完成了t o r o i d a l 李代 致的拟有限不可约, - - f 积权模的分类 1 2 非阶化李代数表示的研究及本文的主要工作 顶点代数的出现最早源于m o n s t e r 群的m o o n s h i n e 表示的研究( 见 b o ，f l m ) 后来它逐渐成为共形场论中基本的代数结构与顶点代数有关的李代数及共形代 敬生成的李代数一般来说是菲阶化李代数共形场论在代数上体现为共形代数生 成的李代数的某种新的表示论现在越来越多的人开始关注非阶化李代数表示的 研究工作 定义1 2 1 设n 是一个正整数或可数无限大，a ：是一个生成元为 劫，a ，i i ( 1 ，n 并有单位元1 的结合代数如果a 满足下面的定义关系； q = q 以，反岛= a j a , ，a 勺一奶岛= 最j 1 v 1st ，jsn 我们称，为秩n 的肌讲代数 b l o c k 【b 2 】对特征，誊域上的w e y l 代数儿的不可约表示进行了分类d r o z d ， g u z n e r 和o v s i e n k o 【d g o 】研究了任意数域上的w e y l 代数a 1 的权模b a v u l a 和o y s t a e y e n 【b o 】对特征为，霉的代数闭域上的w e y l 代数一4 。( n o o ) 的中间序 列权模进行了详细的描述并用它们构造了复数域上的有限维单李代歌的中间序列 权模综合了【b b ，d g o ，g p l 中的技巧，b e k k e r t ，b e n k a r t 和f u t o r n y 【b b f 】对 任意数域上的w e y l 代数k ( n 0 0 ) 的不可约权模进行了分类数域f 上秩为n 的w e y l 代数a 。有自然的微分算子实现： a = f i t 1 ，尝，杀，杀1 ， 中国科学技术大学硕士学位论文 我们称换位子定义的李代数( a 。，【，1 ) 为w e y l 型季代数，记为w t 。它是非阶化李 代数 下面让让我们给出w e y l 型李代数的推广，广义w e y t 型李代数的定义。令f 是一个特征为零的代数闭域，r 是酽的一个非退化的加法子群，即它包含了矿的 一组f 一基用f i r 】= s p a n t o l q r 表示r 的群代数对任意的口，p f ，有运 算垆，矿= 。”我们定义齐次算子现是由d i ：严一n ；严决定的f i r j 的导子， 这里n r ，i = 1 ，n 约定本文中一个元素口p 总是被写成o = ( 1 ，) 广义w e y 型李代数w ( r n ) ，是群代数f i r 】和多项式代数的f 【d ，d 。l 的张量 积。 w ( r ，n ) = f i r 】o f 【d l ，d n 】= s p a n t 1 d ”l 口f ，p z 罩) ， ( 1 2 1 ) 这里d 一= n ：1 d ，具有括积运算： 【c “d p t j d “l = ( r d ”) ( 护d ”) ( d ”) ( 圹d ”) ， 其中 刚= 三( ：a b 俐胪一， 。劭 z ； 其中= 兀：1 砖( 这里我们用符号伊表示的意思与( 1 2 1 ) 式中符号d 一意 思相近，并不会引起混淆) ，并且( ；) = n 羔，( 窆) 进一步，对于i j f ，g ) = t ( ；一1 ) ( i j + 1 ) j ! 如果j z + ，其它情况( ：) = 0 在文献 s 8 1 中已经证明了w ( r n ) 有非平凡的泛中心扩张当且仅当n = 1 在 w ( r ，1 ) 的泛中心扩张记为谛( r ，1 ) ，茹( r ，1 ) 的李运算定义为；对于“，fc f 肛，y z + ， 垆【d k ，t a d 。】：( 垆【d 1 ，) ( 护l d 】，) 一( 护【d 1 ，) ( 严f d 】，) 脚m ( 豇) 以 。删 这里 d l 。= d ( d 一1 ) ( d 一弘+ 1 ) ，c 是力( r ，1 ) 的中心元素相应( 1 2 3 ) 式 w ( z ，1 ) 的2 - c o c y c l e 最早出现在文献i k p 】中 用w ( r n ) 1 ) 代表由 严垆i 理r i z l2l 张成的w ( r ，n 的李子代数， 这里川= ：l “相类似的我们可以定义茹( r ，1 ) ”则w t + 。= 筇( z ，1 ) 和 第一章：背景简介 k = w ( z ，1 ) ( i ) 是众所厨知的w o 。代数。w o 。代数在许多物理理论中有 重要的应用，例如在共型场理论，量子h a l le f f e c t 理论等等( 参见 b k l y ，f k r w ， j k ，s 1 】) 注意到w ( r n ) ( 1 ) 在运算( 1 2 2 ) 下也是一个结合代数可以证明作为李代数 或者是结合代数w ( r n ) ( 1 ) 是单代数( 参见【s z z l ) 如果把它视为结合代数我们用 a ( r ，n ) 1 ) 来表示它显然一个结合代数a ( r ，n ) 1 1 ) 一模也是一个李代数w ( r ，n ) 1 1 ) 一 模，但是反之不一定正确这佯只要考虑作为李代数w ( r n ) ( 1 ) 一模 苏育才和赵开明定义一大类非阶化广义w e y l 型李代数。并研究了它们的结构 理论( 如【s z 2 ) ，苏育才【s 1 】证明了广义w e y l 型李代数w ( z ，i ) 的不可约拟有限 模或者是最高权模，或者是最低权模，或者是中间序列模，并且对w ( z ，1 ) 的一致 有界模进行了分类；另外他还指出了w ( r ，n ) 的不可约拟有限横是申阕序歹 j 模 李旺来和苏育才f l i ，s 8 】证明了w 一无穷代数w l + 。实际上是w e y l 型李代 数( 微分算子代数) w 1 的泛中心扩张上个世纪九十年代，k a c 和r a d u lf k r l ， k r 2 】对微分算子代数眦+ o 。的z 拟有限模不可约最高权模进行了分类苏育才 【s l l 对微分算子代数眦+ 。的所有z 一拟有限模进行了分类此外苏育才和辛斌 l s x 】对另一个w 一无穷代数矸乞的所有z 一拟有限模进行了分类，结果如下t 定理1 2 2 ( i ) 一致有界不可分解权w ( z ，1 ) ( 1 ) 模或者w 。模是中间序列模 h ) 如果r 和z 不同构，则一致有界不可分解的伪有限权w ( r ，n ) ( 1 ) - 模，或者 w ( r ，n ) 【1 ) 模是中间序列摸 还给出了结合代数一4 ( r ，n ) ( 1 的伪有限模的类 定理1 2 3 ( i ) 一致有界不可分解权w ( z ，1 ) n ) 一模或者1 n k 一模是中问序列模， ( i i ) 如果r 和z 不同构，则一致有界不可分解的伪有限权w ( r ，r ) 1 ) 一楗，或 者锨r ，n ) l 模是中间序列模 同时苏育才i s 2 ，s 3 】还对两类b l o e k 型李代数的z 拟有限模进行了分类六，七 年前，徐晓平 x l ，x 2 ，x 3 】在研究二次共形代数的分类时发现了七类与局部有限 导子有关的单非阶化李代数此外，徐晓平【x 5 1 根据无限维的典型事代数的中心 扩张不可约表示构造了高阶微分算子上的典型李代数的表示苏育才，赵开明，徐 晓平，周建华，宋光艾，辛斌，吴月柱等人对非阶化广义c a r t a n 型李代数，非阶化 广义b l o c k 型李代数，非阶化广义w e y l 型李代数的结构理论做了大量的工作( 如 9 中国科学技术大学硕士学位论文 i s l 一5 ，s 8 ，s 1 0 ，s x z ，s z 2 ，s z 3 1 等) 此外，苏育才与周建华 s z h j 对非阶化w i t t 型李代数的所有重数为1 的不可约权模进行了分类同时，朱琳和苏育才【z s 】对 非阶化v i r a b o r o 代数和非阶化v i r a s o r o 超代数的中间序列模进行了分类，结果如 下： 定理1 2 4 ( 1 ) w + 【绷( 见定义2 i2 ) 上的中问序列模v 都是a 。6 的一个商子模 供中c t ，6 c ，这里a 。，6 是一个模，具有基 。i a g ，i z + 满足 c n ，t t w j = ( 口+ 卢+ 0 6 ) t b + j i + j + o + 6 ) t i 口+ 阢i + j 一1 ，对口，p 岔，i ，j z + ，( 1 2 4 ) 其中，如果i + j 1 0 ，则i = j = 0 ，从而有j + i b = 0 ，因而上式右边的g 二项 为零 ( 2 ) 爿础是单的铮a 9 或b 0 ( 3 ) a o ，0 有两个复合因子；平凡子模c v o o 和单商模a o o = a o o c v o ，o 兰a o 1 上述定理中中间序列模定义如下考虑l i e 代数w + 眵】= s p a n l 。ln 口，i z + ) 注意，c o = 0 o 在w + 眵】的伴随作用是局部有限的这里，线性空 间v 上的线性变换丁称为局部有限的，如果对所有的v ，有 d i m ( t a ( u ) n z + ) ) - 0 ，子集 8 ( f z ) = ，蛋i o 叠。 对n 吼，( 2 1 2 ) 是无限集由雪上的序，我们可得非阶化李代数c 的一个三角分解 c = c o c 0 0 c + ， 其中 记 c 一= s p a n c 。i q - 40 ，i z + ) c + = 8 p a a c a 1 l a 卜0 ，i z + c o = 即a n t c o 。l z + 朋= 似l i z 足一个c o 一模，对任意给定的o ，6 f ，其作用方式 o ，；1 0 = ( o + j + i 6 ) 。+ j 一1 v z + ，j z ( 2 1 ，3 ) 通过对参数o ，6 f 的讨论，完全刻画了c 0 一模m 的所有不可约予模 命题2 1 3 ( 1 ) 如果n 圣z ，则朋是一个单的c o 一模 ( 2 ) 假设o z ， 1 4 第二章：一类非阶化w i t t 型李代数上的广义v e r m a 模 ( i ) 如果b = 0 ，则m 有且仅有非平凡的子模 s p a n v d 和s p a n ( v klk 一n ( i i ) 如果b = l ，则朋有且仅有非平凡的子模 s p a n v k i k - a t 和s p a n v k i k 一d 一1 ( i i i ) 如果b 0 ，1 ，s p a n v k l k2 - a 是m 的唯一非平凡的子模 研究李代数在某种意义上可以说就是研究它们的表示理论，特别是最高权模 的研究众所周知。每一个最高权模实际上是李代数的v e r m a 模的一个商模因 此v e r m a 模的不可约性无疑是一个重要的研究课题本文的主要目的正是研究上 述李代数的广义v e r m a 模 定义2 1 4 设 r 是c o 模m 的一个商子模，定义c + = 0 ，我们定义诱导模 v ( j v ) = i n d 毛。c + a 厂鲁u ( c ) o 笺u ( l 一) o ， ( 2 1 4 ) 称摸v ( a r ) 被定义为非阶化李代数c 上的广义v e r r n a 模 注一t 我们这边定义的广义v e r m a 模与一般意义下的v e r m a 模的区别在于 ( 1 ) 一般意义下v e r n l a 模对应的c o 是a b e l 的 ( 2 ) 一般意义下的是一维的，而我们这里是多维或无限维的 注二t 一般文献上所定义的v e r m a 模都是定义于阶化李代数，如胡俊，王宪 栋，赵开明，林卫强，谭绍滨，s e r a 0 等人我们这里定义的李代数是非阶化 的，非阶化模的讨论目前还不多，只有一些零星的结果见背景介绍1 2 节 下面介绍我们的主要结果： 定理2 1 。5 假设是c o 一模朋的非零不可约子摸。且c o 、o 作用在上局部 有限，那么c 模v ( a r ) 是一个不可约的广义v e r r n a 模 因a dc o ，o 作用在c 上局部有限，c o o 作用在上局部有限是自然的( 这个 条件意味着是一个可积的c o 模，进一步，c o o 作用在v ( ，t ) 上局部有限) 由( 2 1 3 ) 和命蹈2 1 3 ，可知子模是具有如下形式的 = ( 1 ，1 1 k 2 0 ) 其中a z ，b 0 ( 2 1 5 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 2 2 命题与定理的证明 我们首先给出命题2 1 3 的证明 命题2 1 3 的证明( 1 ) 设是m 的任意非零子模朋的基元素仇，t z 是 c o ，t 的特征向量，由( 2 1 3 ) 可知它们的特征值分别为n - 4 - + b ，互不相同故存在 某些基元素 其中5 z ( 2 2 1 ) 现在任取中的非零元，要证明对所有的t z ，有u t 厂只需对t 与8 的关系分两种情况进行证明 1 1 ) s t ，( 2 2 4 ) 由( 2 2 4 ) ，可知= 朋或者 = s p a n v k l r ，( 2 2 5 ) 对某些r z 且满足 r = m i n t z 吨 ( 2 2 6 ) 假设( 2 2 5 ) 成立且r o 由模作用方式 t 耳一l = 7 - 1 c o 0 u r + l a r ， 1 7 t七+口 n 晒 = k u 一0扣仉 c 中国科学技术大学硕士学位论文 与( 2 2 6 ) 相矛盾因此r = 0 由此我们证明了( i ) 用同样的方法可以证明( i i ) ( 事实上( i i ) 可以看作( i ) 的对偶情形) ( i i i ) 假设b 0 ，1 如果茌s p a n 讥l k2o ，由( 2 , 2 1 ) 知存在s 0 ( 2 2 7 ) ：o , z v k = ( n + k + 2 b ) v k + l 和c o 3 ，k 一1 = ( a + k 一1 + 3 b ) v + 1 方程o + k + 2 b = 0 和a + k 一1 + 3 b = 0 同时成立当且仅当b = 1 k a2 结合 ( 2 2 7 ) ，我们知魄可推出”州 r ，因此 厂= m 故 厂cs p a n v k k o 类似于( i ) 的方式，我们可以证明 = s p a n ，lk o ) 我们证明了( i i i ) ， 回顾( g ，卜) 是一个有全序结构的阿贝尔群，记 c 竺。：= c - a l , l 。c 一。：i 2 c 一。 ( 2 2 8 ) 其中0 - 4o t l _ - 6o z 25 墨a t o = ( d l ，o t 2 ，- 一，q t ) g 。i = ( i l i 2 ，- 一，赴) z 年t 0 ( 注t 如果t = 0 ，我们记c = 1 ) ，而且对8 1 s 2 ，如果a n = a 。则 i 。i 。因此u ( c 一) 有一组基 c kl 其中n ，如( 2 2 8 ) 中所定义 ( 2 2 9 ) 由( 2 1 4 ) ，我们有 v ( n ) = ( c ! 。地l 其中n ，i 如( 2 2 8 ) e e e h ：定义，垤) ( 2 2 ，1 0 ) 对任意m z + ，记 ，m = f c 一。i 。c 一。“t ， ( 2 2 1 1 ) 0 ，曼m ，1 ，h 0 0 “1 墨- j a 。，。h “ 其中i 。i l 如果o 。= + 1 显然对任意n 卜0 ，k 0 ，有c 。 v 名v r m 记“是 厂) 的任意非零子模且有0 u o b 我们要证明v ( ) 不可约， 即证明对任意0 a w ，有t ，酣我们首先证明引理； 第二章：一类非阶化w i t t 型李代数上的广义v e r m a 模 引理2 2 1 存在权向量u 甜，使得对某些r z + 和0 矗 s ( 2 2 1 3 ) 类似地，对任意的i 和f = ( t i ，) ，定义 i 至，错了s 1 ，r ) 使得 0 且矗= 当 s ( 2 , 2 1 4 ) 对任意的缸，i ) ，( g ，至，) ，定义 ( 立，- 0 卜( g ，至，) = 争g 卜量，或者垒= g 且i f ( 2 2 1 5 ) 设 ( 口，j ) = ( n ，孱，j l ，一，矗) ，0 _ 岛羼， 是，中的最大元设 p = ( 鱼，风屏，羼) ，凤屏，其中5 1 ，r ) 由于我们假设“卜”是一个稠密序，我们总是可以找到某个e l 外使得 s l _ m 且扛吼i 成一l z 如0 , v h l e - ， 其中：i 曲f 令 ，1 = 0 t a t ，a r - 1 磁，i ， ，一) l 蠼：i ， o 由( 2 1 - 1 ) ，对应于 ( 垡“，1 1 ) = e l ，风，庳一l ，h + 一l ，j ，矗一) ( ( g ”，1 ) 有可能不是，( 1 ) 中的最大元) 的系数足 ( j r t 1 ) o 善 + 其中省略的项不含七1 ，故我们可取k l 使得( 2 2 ，1 6 ) 非零，所以，( 1 ) o 对p = 2 ，r ，我们如下定义递推关系且很容易归纳证明： ( i ) 选取勺9 + 使得勺 昂一1 ，e p 屏一p + l 一l ，且 ( 2 2 t 6 ) z 蛋 屏嘶l 一勺茁 戽一p + i ) n q ，一 l ，哪一p i ( g ，) ，协一1 ) = o ( i i ) 选取0 令u p = c m p + 。一b 郇一1 ，则 唧5 “c 唧，蚌。崩咄1 t 。c ，；，( m o dk 1 ) 0 4 l n 一i 。一0 一p o r h e a r 其中堪f ，o = ( n l ，坼一p ) ，= ( 砖，磁，i l ，i ，一p ) ( i i i ) 令 ，= ( 卸，l ，口l ，一p ，h i 1 ，一1 r p ) i 0 ) 则，p ) o 令p