（基础数学专业论文）一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用.pdf

堡主迨奎二耋堑堕丝坌簦至箜堂坌堡垄基型墼壁望堡塑查旦 摘要 本文主要讨论的是矩阵微分算子i 1 0 - i i 的谱分解，其中是半直线上 il oj 的极限点型的非负自伴s t u r m - l i o u v i l l e 算子假定l 只有连续谱的情况下，分别 对l 的谱下界大于零和等于零的两种情况作了讨论本文将该矩阵算子酉等价于 某平方可积函数空间上的乘法算子，具体构造了这个酉等价，利用这个表示方 法研究了这类微分算子生成的酉算子群在出射入射空间的作用 关键词：s t u r m - l i o u v i l l e 算子；极限点型；谱表示；本性自伴 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h es p e c t r a ld e c o m p o s i t i o no ft h em a t r i xd i f f e r e n t i a lo p 一 髓a t o r ；0 - ，w 妇；s 龇一咖s e 螂。酞s t u r m - l i o u v i l l e 印一r 鼹 h a l f - l i n e ，w i t hlh a v i n go n l yc o n t i n u es p e c t r u m w es t u d yt h es p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n i nt w oc a s e s ，o n ei st h a tt h el e a s tb o u n do ft h es p e c t r u mo fli sz e r o ，t h eo t h e ri sg r e a t e r t h a nz e r o w er e p r e s e n tt h em a t r i xo p e r a t o rt ob et h em u l t i p l i c a t i o no p e r a t o ro ns o 玲 s q u a r ei n t e g r a lf u n c t i o ns p a c e b yt h er e p r e s e n t a t i o n ，w es t u d yt h e a c t i o no ft h eg r o u po f u n i t a r yo p e r a t o r sg e n e r a t e db yt h em a t r i xo p e r a t o ri nt h ei n c o m i n ga n do u t g o i n gs p a c e s i ns c a t t e r i n gt h e o r y k e y w o r d s ：s t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r ；l i m i t - p o i n t ；s p e c t r a lr e p r e s e n t a t i o n ；e s s e n t i a l s e l f a d j o i n t n e s s 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：毯2 级二。年乡月衫日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 2 9 。年b 月眵日 硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 1引言 本姓要讨黼是胁心：卜拣辄是半直线郴一 l i o u v i l l e 算子讨论这种类型的算子的动力大致来自如下两方面 1 1 l a x p h i l l i p s 散射 在研究波动方程的过程当中，pd l a x 与r s p h i l l i p s 发展了一套以他们名 字命名的散射理论【2 9 】，和其它散射理论 3 4 ，3 9 】一样，l a x p h i l l i p s 散射理论的 目的也是构造波算子、研究散射矩阵的解析性质等，其基础是他们发展起来的 出射空间和入射空间的技巧稍微具体地讲，l a x p h i l l i p s 的方法是用以构建具有 下面性质的物理系统的散射理论： 1 彤是一个h i l b e r t 空间，【，( ) ，一 0 的半直线上的极限点型s t u r m l i o u v i u e 算子，利用极限点 型算子的谱表示给出了q 的自伴延拓的谱表示( 定理3 1 ，定理3 5 ) ，并且利 用这个谱表示研究了算子微分方程导出的酉算子群在出射入射空间的作用( 定 理3 6 ，定理3 9 ) 2预备知识 2 1 自伴算子谱理论 这节介绍有关对称算子的一些有关性质由于闭算子、对称算子、自伴算子 的概念在普通的泛函分析的书中都可以找到，这里就不再给出它们的定义，而 是着重给出与这些算子的性质有关的定理定理2 1 、推论2 2 见 1 8 】的1 4 8 页，定 理2 3 见【1 8 的1 5 6 页，定义2 1 和定理2 4 见【1 9 】的1 5 5 页和1 5 8 页的注2 7 7 定理2 1 1 1 8 1 设r ；是_ i - l i l b e r t 空间h 上的稠定算子刚 ( 1 ) t 为闭算子： q ) t 可闭的从要条件是9 ( 丁) 稠，这对于= t “； ( 3 ) 若r 可闭则于= t 推论2 2 1 1 8 1 设f 是稠定对称算子，赃可闭 定理2 3 1 1 8 1 设r 是对称算子，则下面两条等价； ( 1 ) t 自伴； ( 2 ) t 是闭算子，且k e r ( t 4 - i ) = 0 1 4 硕士论文 一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 定义2 1 1 1 9 1 船是闭算子，玩为勿( r ) 的线性子空问，若图8 ( 丁i 玩) 在g ( r ) 中 j 瓤_ 的图范数稠，则称为t 的核 定理2 4 1 1 9 1 圣2 丁是稠定闭算子，那么9 ( 丁丁) 包含丁的一个核 下面的定理和推论是关于对称算子的谱的刻画 定理2 5 f 1 8 1 设t 为闭对称算子，t r ( t ) 表昶的谱集合，那么o r ( t ) 只有下列情 况： ( 1 ) 闭的上半平面； ( 2 ) 闭的下半平面 ( 3 ) 全平面 ( 4 ) 实数轴陵上的一个闭集 推论2 6 1 1 8 1 设丁为闭对称算子，贝归自伴的充要条件是矿( 丁) 在r 上 2 2 常微分算子谱理论 在这里就本文涉及到的常微分算子的理论作介绍，所考虑的只是和本文相 关的最简单的内容 2 2 1 极限点型s t u r m l i o u v i l l e 算子 考虑如下s t u r m - l i o u v i u c 方程 - y 7 ( 力+ q ( x ) y ( 曲= 0 ，工0 ，( 2 1 ) h w e y l 1 2 】证明了此类方程可以分为极限点和极限圆两类，本文只涉及该方程 的极限点的情况 定义2 2 方程q j ) 有两个线性无关序9 l 2 0 ，+ ) 解，则称其在无穷远点为极限 圆型的，否则称其在无穷远点为极限点型 5 2 预备知识 硕士论文 边界条件对方程理论是极为重要的，而微分算子的自伴性可以通过边条件 刻画，为了描述微分算子的自伴性，还需要一些其他的概念令m = _ d 2 + q ， 即坳= - ) ，7 + 秽 定义2 3 1 3 0 im ；：e l 2 o ，+ o o ) 上生成的最大的算子丁l ( 脚定义如下： 勿( 乃( 加) = 杪if cl 2 o ，+ ) ，广a ( o ，+ o o ) ) ，一广7 + 弘 o ，+ ) t i ( 肘) ，= m f , f 9 ( 丁1 ( 加) 7 i ( 加限制在g ”( ( o ，+ o o ) ) 得到的算子的最小闭延拓成为肘在乎假+ ) 上生成的最小 算子，记为t o ( m ) 对于极限点型s t o r m l i o u v i u e 算子，它的自伴边界条件有如下刻画： 定理2 7 1 3 0 1 设m 在无穷远为极限点型的，t 是r 文m 的a 伴延拓，则 9 ( t ) = f 9 ( r l ( 蚴) is i n 吖( o ) 一c o s ( o ) = 0 2 2 2 自伴的极限点蚕o _ s t u r m l i o u v i l l e 算子的谱表示 下面给出极限点型自伴s t u l 孤l i o u v m e 算子的谱表示和特征展开定理假 设o ( x ，是初始问题 瞄2 1 ) ，( o ，抑= s i n o t 的解首先给出空间的表示定理 定理2 8 ? 3 0 1 存在r 上的非降函黄劬，称为谱函数，使得对任意盼l 2 o ，+ ) ， 存在，g ( _ o o ，+ o o ) ，使得 l i m 。j 一。a ol 穴一f ：a of ( x ) o ( x , , t ) d x 2 和c 抑= 。， 即( 在，e ( 一o o ，+ ) 意义下) 穴加r ”八曲抑出 硕士论文 一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 ( 称f 为f 韵广义f o u 沌r 变换) 并且有 i l f l l 2 = 恻仨 ，呻，咔 ( 局哦z 坶纵玎等式fi f ( x ) 1 2 d x = fl 厂( 工) 1 2 姒) j 0j 一” 定理2 9 1 3 0 l ( 特征展开定理) 若f l 2 0 ，+ 1 则 p 粤佃f 卜一r 衲吲卜。， 即在口【o ，+ ) 的意义 ，叶 八力= j 穴抑伙工，a ) d p ( a ) ，一 有了前面这两个定理，可以定义如下的等距变换 定义2 4 3 0 l 对任意盼l 2 o ，+ o o ) ，定义u f = ，那么u 是等距算子 可以证明u 还是r 【o ，+ ) 到砰( 一，+ 0 0 ) 的酉算子，即下面的定理 定理2 1 0 3 0 1 设g 砗( 一，+ ) ，则存在丁l 2 o ，+ o o ) ，使得 p ，粤佃j 忙f r pg ( a ) o ( x , a ) 删卜。 目 舰cb f of ( x ) o ( x , 1 ) 出1 2 删- o ， 即在醇( 一0 0 ，+ ) 的意义下， 删= 厂”删厌蹦) 出：穴n j 0 下面给出关于极限点型自伴算子的谱的表示定理和相关推论 定理2 1 1 邝o 谢是t o ( m ) 的自伴延拓， 勿( 丁) = f 9 ( 孔( 膨) ) is i n , z f ( o ) 一c o s a ，7 ( o ) = 0 ) 2 预备知识硕士论文 贝g ( j ) v f 9 ( r ) ，税eg c - o o ，+ o o ) 且 ( 聊( = 航允) ； q ) f 9 ( r ) z 弓c - o o ，+ ) 推论2 1 2 3 0 1i i t 1 1 2 = el 航棚1 2 和( 抑，fe 勿( 丁) 推论2 1 3 ，3 0 l ( 谱分解的乘法算子形式) 宦时是t o ( m ) 的自伴延拓，则 u ：f l 2 o ，+ o o ) 一鬈( 一，+ ) ， u f = f = c 4 f ( x ) o ( x m x j 0 是酉算子，而? 与鬈( 一0 0 ，+ o o ) 上的乘法算子a 9 ( a ) = g g c - o o ，+ ) i 砑g c - o o ，+ ) ， a g = 砧，g 勿( a ) 酉等价 2 3 矩阵微分算子的本性自伴性 设浇夕是h i l b e r t 空间，其上的内积记为( ，) 第我们考虑抽象算子微分方程 ”玎= 一l “，“。多纩， 其中是彤上的非负自伴算子，定义域为勿( d ，那么l 的谱满足o - ( l ) 【0 ，+ ) ， 如果假设o 岳) ，那么在其上可以定义范数 8 i iu 屹2 一m ( l u ，m ) 澎；y u 勿( d 硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 记勿( d 在范数”l i 毛下的完备化记为z ) 定义新的h i l b e r t 空间 l i ( ： l l = c “，掰，。彩+ c v ，v ，“9 ，v a 纩 将算子微分方程化为如下形式： 笔芋= 一0 ，一0 ，】u = z q u 其中 ( 兰小料缆 设q 的定义域勿( q ) = 9 ( do 叨) ，直和中的第一个9 旺) 应当理解为d l 的子空 间，下面是关于q 的本性自伴性的结论 定理2 1 4 q 是兹中的本性自伴算子，记吼= 西 砜先证明q 是税中的可闭对称算子对任意的啷纵咧， ( q ( ： ，( ： l = ( ( ： ，( ： l = 一z c v ，力劳+ z u 么，g ，彤， ( ( ：】，q ( ，g1 1 = 一i c n ，力+ z c 厶，g ，澎， ( q ( ：】，( ：) l = “：】，q ( ：】 。规 即证得q 是对称算子因为勿( q ) 在鲵中稠密，于是q 是可闭算子 2 预备知识硕士论文 下面证明q 己是自伴的令 例一z ( ：二小一( l + 1 ) - 1 。嚣1 ) ! = l - 】， z - i - i l l u i = ( ；l h ：。“ ，v “9 c 。， 而当比取遍了9 ( l ) 时，犯+ 1 沁取遍澎， 围l l t r a n ( a ) ( 0 ) o 澎于是 ( 芝“】尺口n 似，v “9 c 。， z - i - i i ( oi = i - i u ，v “勿c 。， ( 二： 一( 二二 = ( _ ， 忍研c a ，v “9 z - i - , l l v l = - i u - i vi ，v “，v 勿c 。 而r a n ( a ) 2 ( 0 ) o 形，因此 l0 + ；“1 胁 而一i u + i l v 9 ( d ，可见4 的值域的第一变元只能是勿( l ) 中的元，于是r a n ( a ) = 9 ( d o 澎 因为q l 是q 的闭延拓，所以 l o 硕士论文 一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 且 j r a n ( q z 一订) 在旎中稠密，于是对( q ：+ i l ) u = 0 ， 0 = ( ( q ：+ i l ) u ，y ) = ( “，( q l i l ) v ) ， 1 ，取遍勿( q l ) ，则( 缆一田，取遍砌，l ( 缆一，于是“= 0 ，k e r ( q + i l ) = 1 0 1 ，同样 的，可以证明k e r ( q ：+ i l ) = 1 0 ，由定理2 3 ，q l 自伴 口 3主要结果 3 1 当l = 一d 2 + 鸟时，q l 的谱表示 预备知识中已经给出了q l 自伴性的讨论，从本节开始，我们讨论l 为特殊 的s t u r m - l i o u v i l l e 算子的情形，即澎= l 2 0 ，+ ) ，算子l = 一萨+ g 为驴 o ，+ ) 上 的s t u r m - l i o u v i u e 算子，势函数留使得l 是极限点型的，它的边条件具有下面的形 式 f 9 ( t l ( 加) lf ( o ) s i n n r 一厂( o ) c o s 口= 0 ) ， 这里 9 ( t l ( 加) = fi ，l z o ，+ o o ) ，厂a g 加( 【o ，+ ) ) ，丫7 + 盯铲【o ，+ o o ) ) ， 并且势函数和边条件要使得l 的谱为矿( d = o - c ( l ) = 【a ，+ ) ，a 0 ，这样的势函 数和边条件是存在的并且有具体的例子，例女【i 3 1 】 目( 劝= 0 ，0 工 0 时，l i 此与讵的图范数等价【1 7 】 琨= d lo 驴限+ ，d l 的定义如前下面的定理给出算子吼的谱的情况，在证 明中利用了极限点型算子的谱表示定理 1 1 3 主要结果 硕士论文 9 ( a ) = 扫霹( 一o o ，+ ) i 船l 2 r ( - o o ，+ o o ) ) ， 委爰 f f i = = c 。f e d x j 0 勿( a ) = g 鬈( 一，+ ) i 砑鬈( 一o o ，+ ) ， 硕士论文 一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 协 至p ( o a ) 兰 于是对任意的( ： 勿c 。口限1 定义 编= 似l e ( r ，蚓( 认叫训) 矿l 2 ( r ，_ 0 ( 0 9 - 4 ( - o r ) ) l 2 ( r 川) m 牡矿* * u ( x ) o ( x , o 。2 ) d x - i r ”诹妇咄 1 ， 记 州= 卜v ”期， 则 妒( 力一似一们：缸f ”“( 曲瞰，o 二) d x ， j 0 而m 9 ( d ，所以( 妒( 力一( - c r ) ) c r l 2 ( r ，办( 矿) ) ，将l 2 ( r ，d r ( c o ) l - ：的范数记 为i i 1 i ，那么 i | 2 = cl 矿j 。删伙五。上) a x fr v ( 批。上) d x l 2 2 ( r 0 r 2 ir 驰，o 上) d x l 2 d “力+ i r 。y ( 曲吣，c r 2 ) a x l 2 抓力) = 2 厂”c r 2 ir ”“( 工) 吠五矿) d x l 2 a p ( o - ) + 2r ”i 咔。1 ，伙五矿) d x l 2 和( 力 j 0 j 0j 0j 0 即l 2 ( r ，州们) 1 3 3 主要结果 硕士论文 另一方面， 阶 i i ：i 卜f r o = u ( x ) o ( x , ：) d x - i f r o v ( x ) o ( x , o 上) d x i l 2 = 批j ”眠抽一z j 。v c 批，舶1 1 2 + ! f l ：o o 俐胁z r ”v c 批，嘞1 1 2 = 忙f r ou ( x ) o ( x , 恤1 1 2 + i 旷v c 榔，批1 1 2 聃“惦k 因此u 是勿( do 口( r + ) 到编的等距映射，下面证明它是满射设驴编，那么 妒( 们= 至半+ 至垒半，v 矿r ( 3 2 ) 令 v ( 曲 “( 曲 丝2 - 掣鲤口( 工，a r 2 ) 和( 矿) ， v 、n v，。、v， 丝掣吠五，) 和( 矿) 2 矿 v 、一”。” r ”l 丝与笋旦1 2 ，拟c r 2 ) = j 。脚( 力一卅回驯2 啾a r 2 ) o ， v t 因为0 为连续谱，所以p ( o ) ) = 0 ，所以沙在0 点的取值不影响范数，那么( 3 5 ) 就变为 沙l 2 氓+ ，d p ) ， 坜多( 弘( r + ，d p ) ， a t ( a ) 酽( r + ，d p ) 于是由定理2 1 1 司得 h 螂，= 警加咖编卜恸c 训， 由定理2 4 ，、亿( 9 ( d ) 在弘【o ，+ ) 中稠密，于是，( 、敏9 ( d ) ) 在e o ，+ o o ) 中稠 密，因此 ( 妒( 们一( 一一) i 删l 驴编) x 。哆们蛾跚砌佩迎裂 却| b o 顸 瓮一 3 主要结果硕士论文 在霹( 0 ，+ ) 中稠密，注意到认力一烈一的对称性，则可知 粥u = ( 力一妒( 一力编) 在碍( 一，+ o o ) 的全体奇函数空间写皿，d r ) 中稠密 另一方面，确中全体偶函数空间鹚u 限制在r + 上构成的集合为 ( ( 们+ 妒( 一矿) ) 1 0 0i 妒搦) 由( 3 1 ) 式和推论2 1 3 可得 ( ( 力+ 妒( 一力) i 。- ol 乡昂) 3f ( l 2 0 ，+ o o ) ) 于是鹚u 中全体函数限制在r + 上构成的集合在鲜( o ，+ ) 中稠密，粥u 中的偶函 数在鼋( r ，d 州拘偶函数构成的集合中稠密，因此，编在口但，d r ( 力) 中稠 下面计算q l 的表示， h 船= = = 】 ( 力 = 一打l v ( x ) o ( x ，矿) 出一ii ( i l u ) ( x ) o ( x ，) 出 = f ( h ) ( 力巩五。上) d x k rfv ( x ) o ( x ，o - 2 ) d x = 矿( j 。矿h 吠五。上) d x t r 。v 眠沪，_ 州讲 可见吼表示为l 2 皿，d r ( o ) ) 的乘法算子注意到函数，在r 上是连续增长的，因 此口限，d r ( o ) ) 上的乘法算子的谱都是连续谱且为r 所以吼的谱都是连续谱且 为r 口 知道q 的本性自伴性，利用吼的谱表示给出算子q l 的定义域的刻画 1 6 硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 推论3 3 勿( 纯) = 留o9 ( 俩，其中 劈= k 仇卜j ”妒c 锄等棚奇函数，妒参) 参：= p 鹭( 一o o ，+ o o ) i 叫鹭( - o o ，+ o o ) ， 这里积分收敛的是翻i i i l 的意义下的，记为 c o ”妒( 坜等和( 抛- 1 1 i i r 口+ 烛佃r 妒( 怕等和( ，w 勿 注3 4 事实上若将q l 表示为p ( ) k d n 上的乘法算子，则囝是这个乘法算子的定 义域 证明由定理3 1 ，9 ( q l ) 可以表示为参，于是 型掣印一) 并且 坜型掣r o 删m 勿 从而，令 v 舭j 。华眠矿础晚 则v 9 ( 厕反之，对任意的v 9 ( 怕，令 妒( 力= 一if 心口瓴矿) 出， 则西勿 下面刻画勿( q l ) 的第一变元由定理3 1 的证明，9 ( 吼) 的第一变元应该变为 9 中的奇函数，因此设矽是勿中的奇函数，定义 9 0 = 什碍【o 删，痂( 力巧【0 删) 注意到 似矿) 勿兮认a ) ：= ( 怕玩，a = ， 3 主要结果硕士论文 于是，讨论【，1 在奇函数上的作用( 见( 3 4 ) 式) 就是对下式赋以新的收敛意义 = d 广o ”则) 等妒嘞 ( 3 6 ) 、，a 注意到掣未必属于e 【o ，+ o o ) ，由定理2 9 ，上面的积分交换式( 3 6 ) 的定义就成 问题了，对上面的变换式赋以新的意义，可以将酉变换u 表达得更清楚先考虑 满足下面条件的函数沙： 沙玩，s u p p 沙c 口，纠，0 a 0 ，所以( h ，“) 彤= ( 佤，佤) 彩a l l u l l 于 是仇= 9 ( 面，说= 9 ( 词。澎，这时候( 3 1 ) 式就可以在旄上定义了： m 胂= 矿* * u ( x ) o ( x , c r 2 ) d x - i 卜批，恤r 7 ， 另外，在a 口上谱函郯( 抑取零，于是相应的函数r 定义如下： r ( 力= , 下o ( o - 2 ) ，矿 诟 一牮，矿 。，“9 c 一磷， ( u 肌瑶c 力( 二 c 曲 c 一= ( u 肌t ：a ( t ) u - 1 u ( u 。，】c 曲 c 力 = 汐pr 。“c 劝等竽出一tr ”“c 曲宰 ，呻f o t - 0 0 = 沙j“( 功s i n ( t r x ) d x 一据折f u ( x ) c o s ( ( r x ) d x g o鼹 = i“( 工) s i n ( o - ( x + t ) ) d x ij“( 妁c o s ( o ( x + t ) ) d x oo = 广”鲫( 曲墅尘幽出一f 。广”( 一以力) 墅掣出 j o 盯40 旷 _ - 广 ( 一以工一力) 坐螋出 3 t a 、) q o 2 0 扎t t u ，肛 硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 于是 哗川c 功能z t u 卜 口 注3 0 从推论3 3 可以看到，对d l 中元素的刻画不是直接的这在1 2 6 p 2 1 9 , t h 4 2 1 也是如此，因此在参考文献1 2 6 1 中得到的结论虽然比定理3 6 全面。但是 显得很抽象，而在后面豹结论中定理3 6 中的情况已经足够7 雨我们可以通过对 算子q l 的谱表示的研究，通过积分变换，在常微分算子理论下得到定理3 6 的结 论却不是很困难 推论3 8 n f 0w _ 0 2 0 ( t ) d + = i o ，w r - ( f ) d + cd + ，t 0 证明这是定理3 6 的直接推论，只需注意到肌瑶( 力是光上的酉算子，于是 吲r 一=习一， 于是证得肌( 力d + cd + ，t 0 ，第一个式子的证明只要注意到瓦把函数的支撑 平移至t j t ，+ o o ) ，详细的证明可以参看 2 6 】 口 入射空间为 院= 一， 3 2 2 具有紧支撑势的情况 下面考虑s u p pqc 【o ，1 】的情况，以l 记由下面的边值问题 伍- y 伽+ q y = 。而 2 1 3 主要结果 硕士论文 导的s t u r m - l i o u v i l l e 算子求解初值问题 i - y 7 + q y = 而，沪 0 ) ，( o ，o - 2 ) = c o s o iy ( o ，矿) = s i n o ： 可得x l 时的解y g o ( x ，矿) = c l 已虮+ c 2 已一栅，其中 吠1 ，一) 矿( 1 ，c r 2 ) c l = t + i f ， 伙1 ，矿)矿( 1 ，矿) c 22t 一i f ， 并且可以计算出【3 0 】 和( 0 r 2 ) = 昙而丽妣矿r 记q 导出的酉算子群为w l o ) ，可以证明 2 6 】是相应的出射空间，令理= w - 戊l ( 1 ) ，则有下面的结论 一a 卜匕胁( 一嚣卜地一碥， 证明记 ，v 队 那z 、s u p p “c 【1 ，十o o ) 按照定理3 1 的证明，只要在谱表示下计算上面算子的作 用，并将得到的函数对其偶函数部分和奇函数部分做逆表示既可以得到我们要 的结论因此，只要做下面的计算，过程和定理3 6 相似 卜u l m 南 = e 研 = p 泖 2 2 f ”“- 毗，矿) 出一f j - ”( i 嵋m 吠五，) _ r 。眠o 。2 ) d x + 矿r ”姒曲( c le i o x _ c 2 e - i o x ) d x ) 矿 旷 ，-_=-、，jiiil、 硕士论文 一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 - 2 沙( 矿j 。聊q p 钢叫 ，啼 = 2 矿f “1 ( 力c l ( 一e 一坼+ o d x 1 = 矿厂”u l ( x ) o ( 1 ，i o ( x + t ) d x u lo - 2 ) e i o ( x + o d x + 广。u l ( 妨攀g i 嘶f ) 出= 矿f ，+ f ( 妨掣g 龇卅出 ，呻，叶 = 矿fu l ( 曲吠1 ，矿) c o s ( c r ( x + t ) ) d x + f “l ( 砂矿( 1 ，) s i n ( c r ( x - i - t ) ) d x j l 广+ j l ，+ + f f i t u l ( 劝厌1 ，o 上) s i n ( c r ( x + t ) ) d x ifu l ( 工) 矿( 1 ，) c o s ( o - ( x + o ) d x j 1j 1 一，l 厂。一“；( 畎1 ，0 r 2 ) c o s ( 似茗+ d ) + 亟生垒s i i l ( 矿 + d ) ) 出 一f r 。叫1 ，咖o s ( 嘶卅华s i i l ( 嘶伽出 = ( u ( 一。t 乃t u 功l ； c 们，v 矿r ， 卜娜m ( 一圳c 力 = 吲叫二卜扎妇倒嘞 注3 1 0 这是文献1 2 6 , 1 ) 2 3 8 ，t h 5 i i c p 的结论那里使用算子半群的理论。在泛 函分析的理论下证叨虽简洁但抽象，也看不出势函数支撑的直接影响，而在上 面的证明当中只需要将问题换到谱的表示空间上作计算就可以7 并且可以明 显看到一咣生成的半群w 一蚪、) 在d + 上作用之后可将函数都平移到势函数的支撑 外丁这样当矸，l ( d 傲用到跳上去的时候，谱表示的积分就可以从势函数的支撑 外开始即在定理3 9 的证明中积分都是c “d x ，1 就是势函数支撑的右端点 记珥= 阢瑶( 1 ) z ) + ，注意到 忙卜b 辨勘 3 主要结果硕士论文 其中u l 的定义见定理3 9 的证明，那么可以得到与推论3 8 类似的结论 推论3 1 1 n 舢w z ( f ) d ：= f o ) ，w l c t ) d 1 + cd ：，t o 证明和出射空间的情况就不再这里重复了，详细的结论和过程可以参 考 2 6 】 硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 致谢 谨在此对我的导师黄振友副教授致以崇高的敬意和衷心的感谢，从论文选 题到论文撰写都得到黄振友老师的悉心指导，特别重要的是在南京理工大学求学 的这几年，在业务方面受到黄老师无私的悉心指导，且在为人处事方面也多受 他的影响，在此一并表示感谢! 杨传富老师和金国海师兄的指导和帮助，对于我深入了解我所从事的专业 发挥了很大的作用，此外，微分算子讨论班的全体老师和同学的讨论与报告使我 能更广泛地了解这个专业，在此对他们表示衷心的感谢! 完成论文的过程当中，我还得到了许多其他人的帮助，感谢旌德才在使 用l a t e x 软件上无私的帮助感谢郭东岩和他教研室的全体同学，我的论文主要是 在那里录入的，在那里受到了友好的待遇感谢陈培鑫老师和王浩新室友，他们 的算子代数讨论班使我对算子理论有了更深入的了解 参考文献硕士论文 参考文献 【1 】vm a d a m y a n ，d z a r o v , o no n ec l a s so fs c a t t e r i n go p e r a t o r sa n dc h a r a c t e r - i s t i co p e r a t o rf u n c t i o n so fc o n t r a c t i o n s ，d o k l a k a d n a u k s s s r ，1 6 0 ，1 ( 1 9 6 5 ) ， 9 1 2 【2 】vm a d a m y a n ，d z a r o v , u n i t a r yc o u p l i n g so fs e m i u n i t a r yo p e r a t o r s ， m a t i s s l e d ，1 ，1 ( 19 6 6 ) ，2 - 6 4 【3 vm a d a m y a n ，d z a r o v , o ns c a t t e r i n gt h e o r yf o rw a v ee q u a t i o n si ns p a c e s o fe v e nd i m e n s i o n ，f u n k t s a n a l p r i l o z h e n ，8 ，n o 4 ，5 2 2 ( 1 9 7 4 ) 【4 】j j a l v a r e z ，m g a d e l l a ，ej h h e r a s ，l m n i e t o ，ao n e - d i m e n s i o n a lm o d e l o fr e s o n a n c e sw i t had e l t ab a r r i e ra n dm a s sj u m p ，p h y s l e t t a ，3 7 3 ，4 4 ( 2 0 0 9 ) ， 4 0 2 2 - 4 0 2 7 【5 】i e a n t o n i o u ，m g a d e l l a , i r r e v e r s i b i l i t y , r e s o n a n c e sa n dr i g g e dh i l b e r t s p a c e s ，l e e r n o t e sp h y s ，6 2 2 ( 2 0 0 3 ) ，2 4 5 3 0 2 【6 】h b a u m g a r t e l ，o nl a x p h i l l i p ss e m i g r o u p s ，j o p e r a t o rt h e o r y , 5 8 ，1 ( 2 0 0 7 ) ， 2 4 5 3 0 2 【7 】h b a u m g i r t e l ，g a m o wv e c t o r sf o rr e s o n a n c e s ：al a x p h i l l i p sp o i n to fv i e w , i n t e r n a t j t h e o r p h y s ，4 6 ，8 ( 2 0 0 5 ) ，1 9 5 9 1 9 8 5 【8 】ym b e r e z a n s k y , z g s h e f t e l ，g eu s ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，b i r k h a u s e rv e r - l a g ，1 9 9 6 【9 】j m b e r e z a n s k i i ，e x p a n s i o n si ng e n e r a l i z e de i g e n f u n c t i o n so fs e l f a d j o i n to p e r a t o r s ，v o l u m e s1 7 ，t r a n s m a t h m o n o g r ，19 6 8 【1 0 】h b r e z i s ，泛函分析一理论和应用，清华大学出版社，2 0 0 9 【11 】s j l v a ne i j n d h o v e n ，j d eg r a a f ，t r a j e c t o r ys p a c e s ，g e n e r a l i z e df u n c t i o n s a n du n b o u n d e do p e r a t o r s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 5 硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用 【1 2 】w ：e v e r i t t ，c h a r l e ss t u r ma n dt h ed e v e l o p m e n to fs t u r m - l i o u v i l l et h e o r yi nt h e y e a r1 9 0 0t o1 9 5 0 i n “s t u r m - l i o u v i l l et h e o r y , p a s ta n