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裂稳和甲摸激光系统中的时问延迟 中文摘要 中文摘要 本文主要研究了时间延迟反馈和噪声同时存在时对非线性系统的影响。分析了随 机双稳系统中存在不同类型的时间延迟时的稳态特性；提出了利用时间延迟反馈的方 法控制单模激光系统的稳态行为；探讨了不同类型的时间延迟对于单模激光系统瞬态 行为的影响。 首先，对于存在不同类型的时间延迟的随机双稳系统，其中一种时问延迟存在于 确定性力中，另一种时间延迟存在于随机力中。我们发展了概率密度近似方法，得到 了近似的福克一普朗克方程以及稳态概率密度分布和方差的解析表达式。结果表明， 确定性力中的时间延迟能抑制系统的涨落，而随机力中的时间延迟能增强系统的涨 落。通过计算机数值模拟，我们发现，近似的理论方法与数值模拟的结果吻合得很好， 尤其当延迟时间比较小时，两者之间的偏差极小。 其次，我们提出了利用时间延迟反馈的方法控制单模激光系统的稳态涨落。利用 小时间延迟近似，我们得到了近似的激光强度稳态概率密度分布函数，归一化方差和 偏斜度的解析解。结果表明，时间延迟反馈能够有效地抑制单模激光系统的强度涨落。 最后，我们研究了不同类型的时间延迟对于单模激光系统瞬态行为的影响。在单 模激光系统中，一种时问延迟存在于确定性力中，另一种时间延迟存在于随机力中。 我们应用概率密度近似方法，得到了近似的福克一普朗克方程，强度关联时间和有效 本征值的解析解。结果表明，在激光阈值以下，确定性力中的时间延迟能增强激光强 度的涨落。而在激光阈值以上，确定性力中的时间延迟能抑制激光强度的涨落。随机 力中的时间延迟对激光强度涨落的影响要比确定性力中的弱得多。 关键词：噪声，时间延迟，概率密度近似，稳态概率密度，方差，强度关联时间， 有效本征值 作者：顾晓辉 指导老师：朱士群教授 双稳和单模激光系统中的时问延迟英文摘要 a b s t r a c t t h ee f f e c t so fn o i s ea n dt i m ed e l a y so nn o n l i n e a rs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d t h e s t e a d ys t a t ep r o p e r t i e so fan o i s e d r i v e nb i s t a b l es y s t e ma r ea n a l y z e dw h e nd i f f e r e n tk i n d s o ft i m ed e l a y sa r ei n c l u d e di nt h es y s t e m t h et i m e d e l a y e df e e d b a c ki su s e dt oc o n t r o lt h e f l u c t u a t i o n si nt h es t e a d ys t a t eo fas i n g l e m o d el a s e rs y s t e m t h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so f as i n g l e - m o d el a s e ra r ed i s c u s s e dw h e nt h e r ea r et w od i f f e r e n tk i n d so ft i m ed e l a y s f i r s t l y , t h et h e o r yo fp r o b a b i l i t yd e n s i t ya p p r o x i m a t i o ni sd e v e l o p e dw h e nt h e r ea r e t w od i f f e r e n tt y p e so ft i m ed e l a y se x i s t e di nt h ed e t e r m i n i s t i ca n df l u c t u a t i n gf o r c e s r e s p e c t i v e l yi nan o i s e d r i v e nb i s t a b l es y s t e m t h ea p p r o x i m a t ef o k k e r p l a n c ke q u a t i o n ， t h ea n a l y t i c a lr e s u l t so ft h es t a t i o n a r yp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o na n dt h ev a r i a n c ea r ed e r i v e d i ti ss h o w nt h a tt h et i m ed e l a yi nt h ed e t e r m i n i s t i cf o r c ec a l ls u p p r e s st h ef l u c t u a t i o n si nt h e s y s t e m w h i l et h et i m ed e l a yi nt h er a n d o mf o r c ec a ne n h a n c et h ef l u c t u a t i o n si nt h e s y s t e m n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ei ng o o da g r e e m e n tw i t ht h ea p p r o x i m a t et h e o r e t i c a l r e s u l t s ，e s p e c i a l l yw h e nt h et i m ed e l a yi ss m a l l s e c o n d l y , t h em e t h o do ft i m e d e l a y e df e e d b a c ki su s e dt oc o n t r o lt h ef l u c t u a t i o n si n t h es t e a d ys t a t eo fas i n g l e m o d el a s e f u s i n gt h es m a l lt i m ed e l a ya p p r o x i m a t i o n ，t h e a n a l y t i c a le x p r e s s i o n so ft h es t a t i o n a r yp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，n o r m a l i z e d v a r i a n c ea n ds k e w n e s so ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d i ti sf o u n dt h a tt h et i m e d e l a y e d f e e d b a c kc a ne f f e c t i v e l ys u p p r e s st h ef l u c t u a t i o n so ft h es i n g l e m o d el a s e rs y s t e m t h i r d l y , t h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so fas i n g l e m o d el a s e ra r ei n v e s t i g a t e dw h e nt h e r e a r et w od i f f e r e n tt y p e so ft i m ed e l a y se x i s t e di nt h ed e t e r m i n i s t i ca n df l u c t u a t i n gf o r c e s r e s p e c t i v e l y t h et h e o r y o f p r o b a b i l i t yd e n s i t ya p p r o x i m a t i o ni se m p l o y e d t h e a p p r o x i m a t ef o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n ，t h ei n t e n s i t yc o r r e l a t i o nt i m ea n dt h ee f f e c t i v e e i g e n v a l u ea r ed e r i v e d i ti ss h o w nt h a tt h et i m ed e l a yi nt h ed e t e r m i n i s t i cf o r c ec a l l e n h a n c et h ei n t e n s i t yf l u c t u a t i o nw h e nt h el a s e ri s o p e r a t e db e l o wt h r e s h o l d w h e nt h e l a s e ri so p e r a t e da b o v et h r e s h o l d ，t h et i m ed e l a yi nt h ed e t e r m i n i s t i cf o r c ec a n s u p p r e s st h e l j 双稳和单模激光系统中的时间延迟 英文摘要 f l u c t u a t i o ni nt h el a s e ri n t e n s i t y t h ee f f e c to ft h et i m ed e l a yi nt h er a n d o mf o r c eo nt h e f l u c t u a t i o ni nt h el a s e ri n t e n s i t yi sm u c hw e a k e rt h a nt h a ti nt h ed e t e r m i n i s t i cf o r c e k e y w o r d s - n o i s e ，t i m ed e l a y s ，p r o b a b i l i t yd e n s i t ya p p r o x i m a t i o n ，s t e a d y s t a t e p r o b a b i l i t yd e n s i t y , v a r i a n c e ，i n t e n s i t yc o r r e l a t i o nt i m e ，e f f e c t i v ee i g e n v a l u e 1 1 1 w r i t t e nb yx i a o h u ig u s u p e r v i s e db ys h i q u nz h u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或 其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责 任。 研究生签名：建豇疫j 娅日期：翻垒兰盟! ! g 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究t 卜签名： 导师签名： 日期。翅童主盛! 理 日期：捌聋! 自! i 鳗 敢稳和甲摸激光系统中的时间延迟 第一章0 i 吉 第一章引言 1 1 噪声的研究 一般来说，由于系统内部和外界环境的影响，系统在运行过程中都存在着一 定的涨落，这种影响涨落的作用可以看成快速变化的，随机的，不可预知的，所 以把这类影响叫作“随机力”或“噪声”。噪声一般可以分为两种类型，一种是 系统的内部动力学所产生的内噪声，另一种是外部环境的运动对系统的影响所产 生的外噪声。在实际的物理，化学和其他自然科学以及社会科学领域中，都存在 着噪声，而且噪声对系统可以产生很重要的影响。如在激光系统中【1 5 】，理论研 究和实验测量一致表明，由于原子的自发跃迁会产生内噪声，同时由于外界环境 扰动会产生外噪声。 由于随机力强度很小，而且又反映了微观运动对宏观变量演化过程中杂乱无 规的作用，因此，人们认为无规的噪声会产生消极的影响，会破坏宏观变量正常 的秩序。然而，研究结果告诉我们，在很多非线性系统中，噪声不仅对宏观变量 产生微小的变化，而且可以对系统的演化起决定性的作用。同时，无规的噪声并 不总是对宏观秩序起破坏作用，在一定的条件下，它在产生相干运动和建立“有 序”过程中会起积极的作用，产生重要的影响。如噪声会诱导粒子输运，使系统 在势阱中跃迁t 噪声会诱导系统产生相变类比；将信号和噪声同时输入一定类型 的系统，会发现在一定条件下，增加输入的噪声，会导致增加输出的信号和压低 输出的噪声，即增加输入的无序会导致增加输出的有序，这种现象被称为“随机 共振”。这一现象在信息理论，光学，电学及许多领域中都具有重要的实际应用 意义【6 1 0 1 。因此，无论噪声起积极或消极的作用，都有必要对系统中的噪声进 行深入的研究。 在实际问题中，对于含有噪声的复杂系统，我们感兴趣的是可以测量的宏观 物理量，研究的是大量微观轨道的统计平均结果。这样，可以把引起宏观变量演 化分成两部分，一部分为持续对宏观变量的动力学过程起作用的因素，用宏观方 程毫= ，；( 功，f = 1 ，2 ，来描述系统的演化。另一部分为微观粒子的运动对宏观 变量的影响，通过在宏观运动方程的基础上引入随机力，( f ) 来考虑微观运动对宏 双稳和甲模馓光系统中的时问延迟第一章0 f 苫 观变量的影响，这样用随机方程毫一正0 ，( f ) ) ，f = 1 2 , - - - , n 来描述含有噪声的复 杂系统的演化，从而利用随机方程来探讨噪声对系统的影响。 1 2 时间延迟的研究 在以往讨论动力系统随时间演化的规律时，假设系统在f 时刻的状态变化率 量( f ) 是由该时刻的状态变量z ( f ) 决定的，即毫( f ) 一正【工( f ) 】，f = 1 ，2 ，n ，系统中 的相互作用都是瞬时的，没有经历相互作用的时间延迟，这与实际问题并不符合。 在实际的物理，化学，生物等自然科学和社会科学领域中，由于物质，能量和信 息的传输需要时间，必然会产生延迟反应。例如在讨论人口增长问题时，由于人 类必须经过一段时间，才能发育成长到成年，具有生育能力，因此计算现在的人 口增长率时，起决定作用的人口数应该是数年前的人口。因此，在讨论实际问题 时，状态方程应为j ；( f ) 一，i 【m ) ，工( f f ) 1 ，i 一1 ，2 ，n ，这种方程称为延迟方程， f 为延迟时间，这样得到的理论结果更接近实际情况。人们利用延迟方程广泛讨 论了许多非线性系统，如激光系统，网络，病毒传播，生物等系统中时间延迟所 产生的影响 1 1 1 9 。单变量的延迟方程可以看成是无穷阶的自治方程，因此具 有许多重要的特性，容易得到振荡解以至混沌解。利用延迟方程的特性，人们还 提出了延迟反馈控制法 2 0 2 5 ，即人为地把系统输出信号的一部分先经过延迟 回路，再反馈到系统中去，使原来不稳定的系统变得稳定。因此，对延迟方程的 研究具有重要的实际意义。 1 3 同时含有噪声和时间延迟的复杂系统 既然噪声和时间延迟会不可避免的出现在复杂系统中，而且噪声和时间延迟 还会对系统产生重要的影响，因此，研究同时含有噪声和时间延迟的复杂系统具 有重要的意义。这方面的研究也成了近年来的热点课题之一，新的理论和实验的 研究结果不断涌现 2 6 5 8 。由于系统同时含有噪声和时间延迟，所以，求解随 机的延迟方程变得尤为重要。一般来说，由于时间延迟的存在使得系统在无限维 的相空间中演化，因此很难得到其精确的解析结果。人们对于不同的系统提出了 许多近似方法。对于线性系统，可以利用变量转换( 如傅立叶变换或拉普拉斯变 2 双稳和簟模檄光系统中的时f h j 延迟 第一章0 l 高 换) 或者利用关联函数来求解 3 l ，3 2 ，得到系统稳态的解析解。而对于非线性 系统，至今还不能求得精确的解析结果，于是，人们提出了很多近似方法。如当 时间延迟比较小时，可以把含有延迟项的函数作泰勒展开，然后在低次幂截断， 这样把延迟的随机方程近似地变为一般的随机方程 3 1 ，3 3 。也可以利用泛函分 析得到延迟的福克一普朗克方程，从而得到近似的解析结果 3 4 。也可以利用主 方程的方法得到近似解析解 3 5 。人们还在不断探求新的近似方法求解随机的延 迟方程。对于延迟和噪声比较大时，人们往往对原始的随机延迟方程进行计算机 数值模拟，得到离散的时间序列，从而讨论其可能出现的现象。人们发现，系统 在噪声和延迟的协同作用下，会出现一些新的特性。例如，双稳系统在噪声和延 迟的共同作用下，其关联函数和功率谱在一定的频率时会出现峰，该频率值与延 迟存在一定的定量关系，因此，出现了共振现象 3 5 ，3 6 。这种共振现象与一般 的随机共振有本质的区别。随机共振是由于噪声和外界周期驱动力共同作用下出 现的，而由于延迟和噪声产生的共振是系统内在的，自发的，不依赖于外界影响 而产生的。 1 4 本文研究的主要内容 近年来，对于时间延迟存在于系统的确定性力中所产生的影响，人们讨论得 比较多。而在实际系统中，由于分叉参数等也会存在一定的延迟反应，因此，乘 性噪声项中也会出现延迟，所以有必要对随机项中的时间延迟的作用进行深入的 研究。 本文第二章讨论了随机双稳系统中存在不同类型的时间延迟时的稳态特性。 一种时间延迟存在于确定性力中，另一种时间延迟存在于随机力中。应用概率密 度近似方法，把含有时间延迟的非马尔可夫过程等效成马尔可夫过程，因此得到 了近似的福克一普朗克方程以及稳态概率密度分布和方差的解析表达式。 我们讨论了这两种不同类型的时间延迟对于系统的影响。我们发现确定性力 中的时间延迟能够抑制系统的涨落，而随机力中的时间延迟却能够增加系统的涨 落。通过计算机数值模拟，我们发现，近似的理论方法与数值模拟的结果吻合得 很好，特别当延迟时间比较小时，两者之间的差别甚微。 在第三章中，我们提出利用时间延迟反馈的方法来控制单模激光系统的稳态 双稳和单模激光系统中的时间延迟 第一章0 i 苦 涨落。利用小时自j 延迟近似，我们得到了系统近似的稳态概率密度分布函数，归 一化方差和偏斜度的解析结果。我们发现时间延迟反馈能够有效的抑制单模激光 系统的强度涨落。 本文第四章研究了不同类型的时间延迟对于单模激光系统瞬态行为的影响。 一种时间延迟存在于确定性力中，另一种存在于随机力中。应用概率密度近似方 法，得到了近似的福克一普朗克方程，强度关联时间和有效本征值的解析解。我 们讨论了这两种不同类型的时间延迟对于强度关联时间和有效本征值的影响，发 现它们能够对系统的瞬态行为产生有趣的不一样的影响。在激光阈值以下，确定 性力中的时间延迟能增强激光强度的涨落。而在激光阈值以上，确定性力中的时 间延迟能抑制激光强度的涨落。随机力中的时间延迟对激光强度涨落的影响要比 确定性力中的弱得多。 4 双稳和单模激光系统中的时问延送 第二章随机双稳系统中的时间延迟 第二章随机双稳系统中的时间延迟 近年来，对于时间延迟存在于系统的确定性力中所产生的影响，人们讨论得很多， 但在实际系统中，由于分叉参数等也会存在一定的延迟反应，因此，乘性噪声项中也 会出现延迟，所以，有必要对随机项中的时间延迟进行深入的研究。 本章主要讨论随机双稳系统中存在不同类型的时间延迟时的稳态特性。 2 1 概翠密度理论 含有乘性和加性白噪声的一维随机延迟系统的朗之万方程为： 警= 州f ) ，妒f ) ) + g ，雄胡) r ( f ) 哪) ( 2 1 ) 式中f 为确定力中的时间延迟，而为随机力中的时间延迟，r ( f ) 和叩o ) 分别为乘性 和加性白噪声，它们的一次矩和二次矩满足下列方程： ( r ( f ) = ( ，7 ( f ) = 0 r h l ( t 粼篇2 p s 即( t - 一t ；) 汜z ， (切( f ) 一) 、 r ( t ) r ( t ) ) 一( r ( f ) 刁( f ) ) 一2 2 x 雨6 ( t f ) 其中，p 和p 分别是乘性和加性白噪声的强度，五为两种白噪声之间的耦合强度。 采用概率密度近似方法【3 4 ，3 7 ，方程( 2 1 ) 可近似为： 百a x ( t ) 一 ( f ) ) + g 咿o ( f ) ) r o ) + ( 2 3 ) 其中， 咿( 工) 2f f h ( 工，z ，) p ( t ，f f ；和，t 一i 工，t ) d x ，抚， 一。 ( 2 4 ) g 酊( 功2 f f g ( x , x , ) p ( x ，f 一；z ，f 一i 上，f ) 出，西 式中e ( x ，t - r ；x p , t - p l x ，t ) y qx ( o 的条件分布函数。这样，由于时间延迟引起的非马 尔可夫过程就可以近似地等效为马尔可夫过程，随机的延迟微分方程近似地变换为一 般的随机微分方程。方程( 2 3 ) 可以等价地变换成只含有一个噪声项的随机微分方程： 5 双稳和单模激光系统中的时问延迟第二二章随机双稳系统中的时间延迟 其中， 警= h , ( x ) + g , r ( x ) 啪 ( 2 5 ) ( 占( f ) 占( f ) ) = 2 j ( f f ) ( 2 6 ) g 哪o o = 1 3 p 1g ；+ 2 2 x e x e x e x e x e x e x 而g 嚼+ p 利用方程( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，与方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 相对应的福克一普朗克方程可以表示 为： a e i i ( x i , 一t ) = 一去【a ( 力尸 ，f ) 】+ 罢o x 【占( 力p ( 五纠 ( 2 7 ) 式中， a 一( 功+ 掣( 2 8 ) 曰( 力一g 刍 上式中，p ( x , t ) = ( j o 一工( ，) ) ) 表示随机过程的概率密度。因此，相应的稳态概率密度 分布函数( s p d ) 为： 聃) = 南e 印【器】 ( 2 - 。) 其中，n 是归一化常数，g 研( 力和h 。( 力可以从方程( 2 4 ) 和( 2 6 ) 得到。 2 2 随机双稳系统 乘性和加性白噪声之间含有祸合以及不同类型的时间延迟的双稳系统满足如下 的方程： 警叫) _ x 3 州t - 卵( f ) 吲f ) ( 2 1 0 ) 式中r ( f ) 和野( f ) 分别为乘性和加性白噪声，其统计性质满足方程( 2 2 ) 。通过比较方 程( 2 1 0 ) 和方程( 2 1 ) ，可以得到： 6 双稳和平模激光系统中的时删延迟 第一章j ；f f 机取稳系统中的时问延迟 然篓一烹乏吖3 ( 2 1 1 ) g ( 工( f ) ，z ( f 一) ) = 工一 、 因为薯和相互独立，h ，t - r ；x ，t p i g ，f ) 可以表示为： p ( ，t - r ；x p ，t 一l 工，f ) = p ( x ，t f i 工，t ) p ( x a ，t - p l x ，f ) = 压丢压磊 亿蚴 卧睦警一错， j 9 c 工r f f k ，f ，2 、! 童p t 一1 i ! ! ：j ：铲， 。：。， p ( x p , t - l 硼= 鼯唧 一 警 7 锄( 功5f f h ( 工，工，) p o ，t f 和，f 一k f ) 峨出9 _ ( 1 + 7 ) ( x - - x 3 ) ( 2 1 4 ) g 酊( 力2f f g ( x , x p ) p ( x , ，f f ；和，f 一k ，f ) 出，西 = n + f 1 ) x 从而， g 盯( 功= 0 i r i 矛i 乏五压罩百_ 而 ( 2 1 5 ) 通过系统的稳态概率密度分布和方差的分析，可以得出两种不同类型的时间延迟 对于系统稳态的影响。 2 2 1 稳态概率密度分布 稳态概率密度分布( s p d ) 可以表示为： 以力2 者唧半， 7 ( 2 1 6 ) 双稳和学模激光系统中的时问延迟第二章随机双稳系统中的时问延迟 式中，( 曲是修正的势函数。结合方程( 2 9 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) ，得到： o ) ：_ 工+ x z + b 砒丝塑号姜至掣 q r ? r q 一石) + x 4 l n p ( 1 + ) 2 x 2 + 2 1 f ( 1 + 仂工+ p 】 一= 等等- i p，& = 赫 2 _ 1 1 fj 2 7 1 ( 1 + ) 3 、 p 2 ( 1 + ) 2 式中，k ：1 ( 1 + r ) p ( 1 + f 1 3 ) 2 + p ( 3 - 4 2 2 ) p ( 1 + ) ( 1 + ) 2 ( 1 一五2 ) 茁。：( 1 + r ) 4 p 2 2 - p - - p ( 1 + f l 一) 2 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 如果时间延迟减小为零，方程( 2 1 6 ) 就过渡到文献中所得到的表达式 5 9 。对于 不同的时间延迟r 和，稳态概率密度分布函数己( 力的变化曲线如图1 所示。图1 ( a ) 为己随f 变化的曲线图。从图1 ( a ) 可以看出，随着时间延迟f 的变化，稳态概率 密度分布仍为对称的双峰结构，双峰的高度和谷的深度随着f 的增加而增加，双峰的 位置稍微偏离x = 1 ，谷的位置保持在x = 0 。己( 力随变化的曲线如图1 ( b ) 所示。 从图1 ( b ) 可以看出，对于只( 曲的影响与f 相反，随着时间延迟的增加，双峰的 高度和谷的深度降低，双峰的位置稍微靠近x = 1 ，谷的位置保持在x = 0 。显然， 确定性力中的时间延迟对于系统的影响与随机力中的时间延迟的影响相反。 2 2 2 方差 利用方程( 2 1 6 ) ，系统变量x 的稳态 阶矩可以通过下式求出： x “) 。f x ”p f ( 力出 因此方差可以表示为： ( 2 1 9 ) 盯：一x 2 ) 一( 力22 f x 2 只( x ) 巩一( 户只o ) 2 ( 2 2 0 ) 8 双稳和单模激光系统中的时问延迟第一二章随机双稳系统中的时问延迟 p s t ( x ) p s i ( x ) 图1 对于不同类型的时间延迟f 和，稳态概率密度分布函数只( 工) 的变化图。 参量选取为p = p = 0 1 ，旯= 0 。( a ) = 0 ；( b ) f = 0 。 9 双稳和单模激光系统中的时问延迟 第二二章随机双稳系统中的时间延迟 2 a 2 o 1 0 8 0 图2 方差随p ，f 和变化的曲线图。参量选取为p = 0 3 ，a = 0 。 ( a ) 口= 0 ；( b ) r = 0 。 1 0 双稳和唯模激光系统中的时间延迟第一二章随机双稳系统中的时问延迟 o 2 2 x x 8 图3 方差随 ，f 和变化的曲线图。参量选取为p = p = 0 5 ，五= 0 。 ( a ) = 0 ；( b ) f = 0 。 双稳和单模激光系统中的时问延迟 第一章随机取稳系统中的时问延迟 通过对方程( 2 2 0 ) 进行数值积分，可以得到系统的方差。当乘性噪声强度p f 和 延迟时间r 和变化时，方差的变化曲线如图2 所示。图2 ( a ) 为方差随p i 和r 变化的 曲线。从图2 ( a ) 可以看出，方差随乘性噪声强度的增加而单调增加，随延迟时间f 的 增加而单调降低。乘性噪声强度能够提高系统的涨落，而确定性力中的时间延迟能够 抑制系统的涨落。图2 ( b ) 为方差随p t 和口变化的曲线图。从图2 ( b ) 可以看出，方差 随的增加而增加，随机力中的时间延迟能够提高系统的涨落。当乘性噪声强度比较 小时，方差随声的变化缓慢，而当乘性噪声强度比较大时，方差随变化比较大。 当噪声之间的耦合强度五和延迟时间f 和变化时，方差的变化曲线如图3 所示。 图3 ( a ) 为方差随丑和f 变化的曲线图。从图3 ( a ) 可以看出，方差随五变化时在五= 0 处出现一个峰值，在五= 0 的两边，方差对称的降低。当时间延迟f 增加时，方差中 的峰值降低而峰的位置保持不变。图3 ( b ) 为方差随z 和变化的曲线图。从图3 ( b ) 可以看出，方差随五的变化同图3 ( a ) 相似，在旯= o 处出现峰值，但峰值随的增加 而增加。 综合图2 和图3 可以看出，确定性力中的时间延迟能够抑制系统的涨落而随机力 中的时间延迟却能够增强系统的涨落。而且随机力中的时间延迟对于系统涨落的影响 大于确定性力中时间延迟对系统的影响。 2 3 数值模拟 为了检验理论推导过程中所采用的近似方法的适用范围，有必要通过计算机进行 数值模拟。数值模拟是通过随机的延迟微分方程( 2 1 0 ) 来实现的。利用b o x - m u l l e r 算法产生高斯白噪声，通过欧拉法可以得到时间序列的数值解。为了减少误差，我们 进行了1 0 0 0 次的系综平均。这样，就得到时间延迟的双稳随机系统( 2 1 0 ) 的稳态概 率密度分布和方差的数值解。 图4 是稳态概率密度分布的数值模拟结果。图4 ( a ) 和( b ) 分别为稳态概率密度分 布随时帕j 延迟f 和变化的曲线图，可以看出，当延迟时间比较小时，近似的理论方 双稳和单模激光系统中的时闻延迟第二章随机职稳系统中的时问延迟 法与数值模拟的结果吻合的很好。 p s t ( ) p s t ( x ) x x 图4 稳态概率密度分布的数值模拟结果。参量选取为p = p = 0 1 ，五= 0 。 ( a ) 只 ) 随f 的变化，= 0 ，f = 0 ( o ) ，0 1 ( ) ，0 2 ( a ) ( b ) ，( 力随的变化，f = 0 ，= 0 ( o ) ，0 1 ( ) ，0 2 ( ) 双稳和甲模激光系统中的时问延迟 第一章触机双稳系统中的时间延迟 2 a o o 0 9 。o 。6 旬3 n 3 n 6n 9 。o 9 _ 0 6 帕3 雯on 3 n 6n 9 图5 方差的数值模拟结果。 ( a ) 随f 和p f 的变化。= 五= 0 ，p = 0 3 ，p = 0 2 ( o ) ，0 2 5 ( ) ，0 3 ( ) ( b ) 随f l s u p 的变化。t = 五= 0 ，= 0 3 ，p = 0 2 ( o ) ，0 2 5 ( ) ，0 3 ( ) ( c ) 盯：随五和f 的变化。p = 尸= 0 5 ，= 0 ，t = 0 ( o ) ，0 3 ( ) ，0 5 ( ) ( d ) 盯：随z 和的变化。p = p = 0 5 ，f = 0 ，= 0 ( o ) ，0 3 ( ) ，0 5 ( ) 图5 是方差的数值模拟结果。当乘性噪声强度改变时，方差随时间延迟r 和口变 化的曲线分别画在图5 ( a ) 和( b ) 中。图5 ( c ) ，( d ) 分别为延迟时间f 和改变时，方差 t 4 双稳和译模激光系统中的时间延迟第二章随机双稳系统中的时问延迟 随噪声之间的耦合强度变化的曲线图。从图5 可以看出，当延迟时间比较小时，近似 的理论方法与数值模拟的结果相一致。 2 4 结论 本章讨论了随机双稳系统中存在不同类型的时间延迟时的稳态特性。一种时间延 迟存在于确定性力中，另一种时间延迟存在于随机力中。应用概率密度近似方法，把 时间延迟引起的非马尔可夫过程变换为马尔可夫过程，因此得到了近似的福克一普朗 克方程以及稳态概率密度分布和方差的解析表达式。 我们讨论了这两种不同类型的时问延迟对于系统的不同影响。我们发现确定性力 中的时间延迟能够提高稳态概率密度分布峰值的高度，抑制系统的涨落。而 随机力中的时间延迟却能够降低概率密度分布峰值的高度，增强系统的涨落。两者对 于系统不同的影响，主要由于两者存在的形式不一样。通过计算机数值模拟发现，当 延迟时问比较小时，近似的理论方法与数值模拟的结果吻合的很好。 双稳和单模激光系统中的时问延迟 第三幸单模激光系统中的时间延迟 第三章单模激光系统中的时间延迟 单模激光系统由于原子的自发跃迁会产生内噪声，同时由于外界环境扰动会产生 外噪声，因此系统会存在一定程度的涨落，本章提出了利用时间延迟反馈的方法来控 制系统的涨落。 3 1 理论分析 单模激光三阶理论满足朗之万方程 2 ： 石d e a o e - 相2 e + 聃+ ( 3 1 ) 式中，e 表示复电场，a o 和a 分别表示增益和自饱和系数，随机复变量f ( f ) 和彳o ) 分 别代表泵浦和量子噪声，它们且满足： ( r j ( f ) = 0 代表控制强度，f 0 表示延迟控制时间，其他的量和方程 ( 3 1 ) 一( 3 3 ) 中的一样。为了运算方便，方程( 3 4 ) 可以等价地转化成只含有一个噪声 1 6 双稳和誓模激光系统中的时甸延迟 第三章单模激光系统中的时间延迟 项的随机运动方程 5 9 ： 警砘一m 3 ( f ) + 嘉+ 聊卅+ 而( f ) ( 3 5 ) 式中，占( f ) 是高斯白噪声，满足0 ( f ) = 0 和( ( f ) 占( f ) ) = 2 8 ( t t ) 。方程( 3 5 ) 是随机 延迟微分方程，在无限维相空间中演化，因此精确的解析结果很难得到，需要采用一 些近似方法。 利用小时间延迟近似 3 l ，3 3 ，方程( 3 5 ) 变为： 石d x 一无+ 如o ) 占( f ) ( 3 6 ) 其中， 无( 功= ( 1 一k r ) 【。+ k 弦一血3 + 导】 ( 3 7 ) g 。o ) 。( 1 - k r ) 扛万 相应的福克一普朗克方程为： 8 q _ ( x , t ) o t = 一去【曰( 工) q ( 薯f ) 】+ 若【d ( 力q ( 墨f ) 】 ( 3 8 ) d xd x 。 一 其中， 口( 工) i ( 1 一k f ) 【d 。+ k h a z 3 + 参】+ ( 1 一k f ) 2 p 工( 3 9 ) d d ( 功一( 1 一k 0 2 ( p 石2 + 尸) 稳态概率密度分布函数q 。( 力可以从方程( 3 8 ) 得到： 式中， 绒o ) = i 瓦n 可以p x 2 + p ) x p 【志】 ( 3 10 ) “：j 【- 1 一足r 卢= 盟卷滏掣丝 ( 3 1 1 ) 双稳和单模激光系统中的时问延迟第三章单模激光系统中的时问延迟 是归一化常数，满足，瓯出= 1 。 激光强度，的n 阶矩可以通过方程( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 得到： ( ，”) 。f x 2 “q = ( x ) d x ( 3 1 2 ) 因此，可以得到激光强度的平均值： 归一化方差： p ) 2 y x 2 级出 0 删= 貉一， ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 归一化偏斜度： 如( o ) = 等啦( 0 ) 一1 ( 3 1 5 ) 通过分析激光场的平均强度、归一化方差和偏斜度，就可以讨论时间延迟控制对稳态 激光系统强度涨落的影响。 3 2 时间延迟 当增益系数a 。取不同值时，稳态概率密度分布函数瓯( 力随时间延迟f 变化的 曲线图如图6 所示。可以看出，当激光器运行在阀值以下时，曲线有一个很窄的单 峰，当激光器运行在阈值附近及以上时，单峰的高度降低，曲线变宽。随着f 值的 增大，q 。( 力的曲线变得狭窄，峰值的位置向较大的x 值方向移动。 图7 ( a ) 和( b ) 分别为归一化方差五( o ) 和偏斜度五( o ) 随4 。变化的曲线图。可以 看出，五( o ) 和五( 0 ) 在n 。为负值时出现单峰，当延迟时问增大，方差和偏斜度明显 降低。在闽值以下，曲线降低得很快，在阈值附近及以上，曲线变化得较为缓慢。 很明显，在时间延迟控制下，激光系统的强度涨落得到了抑制。 1 8 双稳和单模激光系统中的时间延迟第三章单模激光系统中的时间延迟 3 3 数值模拟 为了检验理论推导过程中所采用的近似方法的适用范围，有必要进行数值模拟。 数值模拟是通过随机的延迟微分方程( 3 4 ) 来实现的。利用b o x m u lle r 算法产生高斯 白噪声，通过欧拉法可以得到时间序列的数值解。为了减少误差，我们进行了1 0 0 0 次的系综平均。这样，就得到系统的稳态概率密度分布，归一化方差和偏斜度的数值 解。 户 ： ( b ) a o 一： a o = 0 ： 飨 ( c ) ( c 0 a o = 5 a 0 2 l o 八八 012345 01 2 345 xx 图6 当增益系数口。取不同值时，稳态概率密度分布函数线( 功随时间延迟f 的变化。 参量选取为a = 1 0 ，k = 0 5 ，p = p = 0 5 。图中的曲线从下到上，r 的取值为 f = 0 0 0 5 , 1 0 。 1 9 取稳和单模激光系统中的时问延迟 第三章单模激光系统中的时问延迟 x 2 ( 0 ) x 3 ( 0 ) 图7 ( a ) 和( b ) 分别为归一化方差如( 和偏斜度乃( o ) 随a 。的变化。参量选取为 a = 1 0 ，p = p = 0 5 。k = 0 , t = 0 ，一k = 0 5 ，f = 0 , 0 5 ，1 0 ( 图中曲线从下到 上) 。 2 0 取稳和单摸激光系统中的时间延迟第三章单模激光系统中的时问延迟 1 _ 2 1 j o 0 8 q ( x ) 0 6 0 4 0 2 0 0 兰。 彻 八 ( c ) 八 嚣 。八! 。! 迎 图8 稳态概率密度分布函数瓯( 功的数值模拟结果。参量选取为 a ot 5 0 , a = 1 0 ，k = o 5 ，p = p = 0 5 。( a ) f = 0 ；( b ) f = 0 5 ；( c ) t = 1 0 。 我们画出了稳态概率密度分布函数线( 功的数值模拟结果，如图8 所示。可以看 出，在f 比较小时，如f 0 5 ，近似的解析结果与数值模拟吻合得很好。当f 较大时， 如t = 1 0 ，两者之问有一定的误差。因此，当f 不是很大时，上述的近似方法是适用 的。 3 4 结论 本章讨论了单模激光系统在时间延迟控制下的稳态行为。利用小时间延迟近似， 我们得到了系统近似的稳态概率密度分布函数，归一化方差和偏斜度的解析结果。我 们发现，在时间延迟控制下，当激光器运行在阈值以下，其强度涨落降低的很快，当 在阈值附近及以上，降低的较为缓慢但仍然明显。我们进行了计算机数值模拟，发现 当延迟时间不是很大时，近似的理论方法与数值模拟的结果吻合得很好。因此，时间 延迟反馈能够有效地抑制单模激光系统的强度涨落。 双稳和甲模激光系统中的时间延迟招悯章单模激光系统中币类型的时问延迟 第四章单模激光系统中不同类型的时间延迟 由于单模激光系统的分叉参数会存在一定的延迟反应，因此，乘性噪声项中也会 出现时间延迟。本章主要讨论不同类型的时间延迟对单模激光系统瞬念行为的影响。 4 1 理论分析 4 1 ，1 含有时间延迟的近似福克一普朗克方程 包含两种不同类型的时间延迟的单模激光系统满足一维朗之万方程： 掣砘妒矿a x 3 ( f ) + 南哪卅p ( f ) 啡) ( 4 1 ) 其中，所有的变量和参数都是实数。变量x 代表激光场振幅，i 。x 2 为激光强度，随 机变量p ( ，) 和g 分别代表系统的泵浦噪声和量子噪声，和a 分别代表增益和自饱 和系数，f 和是两种不同类型的时间延迟，分别存在于确定性力中和随机力中。噪 声是高斯白噪声，它们的一次矩和二次矩满足： ( 日( f ) ) = ( p ( f ) ) = 0 ( q ( t ) q ( t ) ) 一2 p s ( t f ) ( 4 2 ) ( p ( t ) p ( t ) ) 一2 p 艿( | 一f ) 式中，p 和尸分别是量子和泵浦噪声的强度。 方程( 4 1 ) 是延迟的随机微分方程，在无限维相空间演化，因此，很难得到精确 的解析结果，需要利用适当的近似方法。当延迟时间比较小时，我们利用概率密度近 似方法 3 4 ，方程( 4 1 ) 可近似变换为： 掣；+ p + 碍9 ) ( 4 3 ) a t 其中， 丘力2 缕a o x r - a x 3 + - f 佛出一( 4 4 ) 占。( 力2 ，p p _ p ( _ ，f r ；z ，t