（基础数学专业论文）复流形的共形不变量和wodzicki留数.pdf

摘要 对于偶数维、紧致、可定向、没有边界的共形实流形，c o n n e s 构造了一个标准的f r e d h o l m 模，并用w o d z i c k i 留数定义了一个共形不变量特别，在4 维的情形，用共形形变的方法这个 不变量被明显的计算出来u g a l d e 推广了c o n n e s 的结果到高维的情形，在平坦的情形他给出 了c o n n e s 不变量的明显表达，并指明了计算的方法在本文中，对于复流形，在c o n n e s 的框 架上，我们用w o d z i c k i 留数和万算子构造了一个共形不变量在平坦的情形下，我们计算了 这个共形不变量 关键词：复流形；w o d z i c k i 留数；共形不变量 a b s t r a c t f o ra ne v e nd i m e n s i o n a lc o m p a c to r i e n t e dc o n f o r m a lr e a lm a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r y ， c o n n e sh a sc o n s t r u c t e dac a n o n i c a lf r e d h o l mm o d u l ea n dd e f i n e dac o n f o r m a li n v a r i a n tb yt h e w 6 d z i c k ir e s i d u e i np a r t i c u l a r ，i nt h e4 - d i m e n s i o n a lc a s e ，t h i si n v a r i a n th a sb e e ne x p l i c i t l y c o m p u t e db yt h ec o n f o r m a ld e f o r m a t i o nw a y u g a l d eh a sg e n e r a l i z e dc o n n e s r e s u l tt ot h e h i g h e rd i m e n s i o n a lc a s ea n dh eh a sg a v ea l le x p l i c i te x p r e s s i o n0 ft h ec o n n e s i n v a r i a n ti nt h e f i a tc a s ea n di n d i c a t e dt h ew a yo fc o m p u t a t i o ni nt h eg e n e r a lc a s e 。i nt h i sp a p e r ，f o rc o m p l e x m a n i f o l d s ，w ec o n s t r u c tac o n f o r m a li n v a r i a n tu s i n gt h ew o d z i c k ir e s i d u ea n dt h eao p e r a t o r i nt h ef r a m e w o r ko fc o n n e s w ec o m p u t et h i sc o n f o r m a li n v a r i a n ti nt h ef l a tc a s e k e y w o r d s ：c o m p l e xm a n i f o l d s ；w o d z i c k ir e s i d u e ；c o n f o r m a li n v a r i a n t i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得 的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了 明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 盔垄茎鸳日期：星哗：工缉 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库 ( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技 术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鎏鳞 日 期：鹳 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 翌豇 日 期型牛4 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 在f 1 2 中，在个闭的紧致流形上，w o d z i c k i 发现了经典拟微分算子代数上的一个迹， 被称为w o d z i c k i 留数在【2 中，对于偶数维紧致的可定向的无边的共形实流形，c o n n e s 已 经建立了一个标准的f r e d h o l m 模并且定义了一个共形不变量特别，在4 维的情形，用共形 形变的方法这个不变量被明显的计算出来在 7 】中，u g a l d e 推广c o n n e s 的结果到高维的情 形，在平坦的情况下他给出了c o n n e s 不变量的明显的表达，并指出了在一般情况下的计算方 法在 1 0 】和 1 1 】中，用【3 】中发现的b o u t e td em o n v e l s 代数上的非交换留数，王勇老师推 广c o n n e s 框架到有边流形的情形在 2 】中，用他的共形不变量c o n n e s 也给出了p o l y a k o v 作用和4 维类似的一个解释在【1 3 】， 1 4 l 中，用a 算子在紧致的黎曼表面上的p o l y a k o v 作 用已经被表达出来我们的目的是用w o d z i c k i 留数和a 算子给构造出复流形的共形不变量 在本文中，对于一个紧致的复流形，我们在光滑的( p ，q ) 形式的空间里构造了对应于作用 在光滑的( p ，g ) 形式上的否算子的f r e d h o l m 模，这里p + q 等于复流形的复维数并且与 2 】 中一样用这个f r e d h o l m 模定义了一个共形不变量一般的，这个共形不变量不同于c o n n e s 的共形不变量我们在平坦的情况下计算这个共形不变量并且将在一般的情形下计算它 这篇文章的组织结构如下s 1 介绍了w o d z i c k i 留数相关的基本概念和基本理论在2 1 ， 对一个紧致的复流形，对否算子我们构造了一个f r e d h o l m 模并且定义了一个共形不变量在 2 2 ，我们在平坦的情况下计算这个共形不变量 东北师范大学硕士学位论文 1 基本概念和基础理论 1 1w o d z i c k i 留数定义及其性质 由于拟微分算子上作用泛函的存在叫做w o d z i c k i 留数，一般流行的积分可被装进非交换 的模具在一维的情形，这首先被a d l e r 和m a n i n 发现，而且被g u i l l e m i n 研究高维的情形 被w o d z i c k i 发展，他把这个实现为经典拟微分算子代数上唯一的迹( 差一个倍数) 我们推荐 k a s s e l 的笔记，那里是对整个w o d z i c k i 留数的总结我们讨论限制到紧致无边流形的情形， 对紧致的带边流形的介绍可以看s c h r o h e 的文章 辛锥构成w o d z i c k i 留数的定义的恰当的几何背景 定义1 1 辛锥体是一个辛流形( y ，p ) 。即在紧的基底x 上具有纤维冗+ 的主丛p 定义 为r + 上的作用我们还要求：对所有的t 0 ，都有 霹= 印( 1 1 ) 定义1 2 ，是定义在尼。 o ) 的一个光滑的函数，对所有的t 0 ，如果都满足，( ) = p ，( ) 或者r ，= 入，则厂是入次齐次函数 命题1 3 在m o 中，对于任意的一礼次齐次函数a - n ( ) ，a - n c r f 是闭的 引理1 4 厶一。a _ n ( ) l 吒i = 0 当且仅当口一n 是一个积分和 定义1 5 商代数p ( m ) ：皿昆皿一( m ) 被叫做紧致流形m 上经典符号的代数p ( m ) 的元 素限制到m 的一个局部的坐标卡上能被等同于下面形式的渐进展开。 ( 1 2 ) 这里每个a y ( x ，) 是关于变量的r - 齐次的( 这叫”经典 条件) ；此外，任何这种形式级数 给出了一个符号a ( x ，荨) ，模去光滑算子这是唯一决定的换句话说，我们得到一个短的序列 0 _ 皿一( m ) _ 皿孑( m ) _ p ( m ) 一0 ( 1 3 ) 这里，o r ：g y y ( m ) _ p ( m ) 指符号映射 定理1 6 ( w o d z i c k i ) 给出一个经典的伪微分算子a ，存在一个m 上的1 一密度( 不依赖于局 部表示) ，用w r e s a 表示，其在任何坐标卡的局部表达是 研嘞小= ( 名目钆如，钏圳l 如1 a ad x n l ( 1 4 ) _ z d 0 舢 zo 东北师范大学硕士学位论文 这是w o d z i c k i 留数密度通过在m 上积分这个1 一密度，我们得到w o d z i c k i 留数或者非交换 的留数泛函 叫r e s a ：= j 厂m 加r e s z a ( 1 5 ) 定理1 7 ( w o d z i c k i ) 非交换留数( 1 5 ) 是p ( m ) 上的一个迹如果d i m m 1 ，则这样的迹 唯一，这取决于乘一个常数 命题1 8 令为n 维紧致流形上的标量的拉普拉斯算子则 是球铲- 1 上的标准体积 疗k 吣焉 ( 1 6 ) 定理1 9 ( k a s t l e r - k a l a u w a l z e ) 当维数n 3 时，在一个黎曼流形上，作用函数通过一个 常数与标量曲率的积分是成比例的，其中这个常数依赖于佗 骱e s a - 鸶+ 1 = 半_ 厶s ( 1 7 ) 1 2 其他基本理论 定理1 1 0 ( h o d g e 定理) ( 1 ) d i m h p ，q ( m ) o o ； ( 2 ) 定义正交投影h ：a p ，q ( m ) 一h p ，q ( m ) ，存在一个唯一的算子一一格林算子， g ： a p ，口( m ) 一a p ，q ( m ) ，其中g ( h p ，口( 聊) = 0 ，石g = g 否，伊g = g 伊，并且在a p ，q ( m ) 上 i = h + a g ( 1 8 ) 在形式妒= 日( 妒) + 石( 伊g 砂) + 伊( 石g 砂) 中，等式( 1 8 ) 被称为在形式上的h o d g e 分 解，并且它直接的暗示了正交的直和分解( h o d g e 分解定理) 。 a p 。( m ) = 日p 2 ( m ) o 石a p , q - 1 ( m ) o 伊a p ，口+ 1 ( m ) 引理1 1 1 设f s ，卅是一个1 次拟微分算子，则有口( 慨巾= 知1 盯一奄( s ，川，这里 ( 町】) = 编壶d 霹( 盯江 ( 1 9 ) 引理1 1 2 盯一n ( i s ，川s ，纠) = 赢磷( ，) 职( 危) 零7 秽+ p ( 盯毛) 罐( 蟛( 仃兰屉) ) ( 1 1 0 ) 3 东北师范大学硕士学位论文 和取自i o l 7j + j q i + i p i + 1 6 i + j + k = 礼， i p i 1 ，1 6 i 1 引理1 1 3a 和石的定义见 4 】，令和是正式的伴随，则有t ( a ) a ：c ( 八p ，口。( a p + l , q ) ，并且有 一 盯l ( a ) ( z ，) = 吾( 白一呜+ 佗) e 耐( 勺+ i e j + n ) 一g n 石：c ( 八p ，q 。( 人p q + 1 ) ，并且有 吼( 石) ( z ，) = 吾( 白+ 呜相) e x t ( e ，一i 勺+ n ) 一j n 6 ：c ( p ，口。 p - l , q ) ，并且有 吼( 6 7 ) ( z ，) = 一砉( 白+ 呜+ n ) i n t ( e j i 勺+ n ) 。j n 5 ：c ( 八p ，口。( 八p ，g - 1 ) ，并且有 盯l ( 删z ，) = 一三2 ( 白- i j + n ) i n t ( e j + t 勺+ n ) j n ( b ) 在八上：= ( a + 6 ，) 2 和：= ( 石+ ) 2 满足o l ( n ：) = o l ( n ：) = 蚓2 i 椭圆 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 引理1 1 4 存在一个普遍的双线性表达b ( v a 饥，v p 妮和一个三元组形式c ( r ，吼，妮) 使得： q ( ，以) = ( b ( v a 析，v p 婉) + c ( r ，析，奶) ) 拟 ( 1 1 5 ) 这里r 是曲率张量，v 是共变微分形式并且咖是黎曼结构的体积形式，它与给出的共形结 构相协调 引理1 1 5c t n ，伽t ( ，h ) = ( a 口，b ( d ：f ) ( d b h ) ) d x ， ( 1 1 6 ) 这里e a 口，6 让口矿= 爪i ：1 ( 咒矽( ，u + v ，可) 一( z ) 矽( 荨，荨，秽，移) ) 扩- 1 ( 1 ，1 7 ) 并且z 妒( ，叼，饥，t ，) 是函数砂( ，叩) = 打( 程( 善) 盯( 叩) ) 的泰勒表达式中的佗次项，并且在点( ，叩) 中没有带u 或v 的项 引理1 1 6 令吒f l ，u l f ( 叩) 作用在m 形式上，我们有 州硼柏) ) = a n , m 鬻地m 这里 表示g m ( ，叩) 的内部作用，它由度量和下式给出 ( m n ) - a n , m - - b n , m = ( 三二乏) + ( 佗m 一2 ) 2 n - - 2 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 东北师范大学硕士学位论文 引理1 1 7 令是一个紧致的黎曼表面( n = 2 ) ，对任意的从e 到r d 的光滑映射x = ( x ) 和r d 上的度量7 i j ( x ) ，有： 1 2 ，rf er h j d x 八木d 一= 一互1t 钆( 钧r x 】 f f ) ( 1 2 。) 引理1 1 8 令是一个4 维的共形流形，x ：e _ 序是一个光滑的映射，在上， 叩= 饥v d x p d x 是一个光滑的度量，则： t r 。, ( r l u p 【f ，x 肛儿ex y 】) = ( 1 6 7 r 2 ) - 1 巩 言7 + j ” + 一去( p ) ( x ”) d 以( 1 2 1 ) 这里r 是的曲率标量， 咖是体积形式，v 是它的共变导数，是黎曼度量的拉普拉斯 算子，这里黎曼度量与给出的共形结构协调 在平坦的情况下，可以得到： q ( ，先) = ( 厶，卢( d q ) ( z ) ( d 卢f 2 ) ( x ) ) d x la a d x 4 ( 1 2 2 ) 这里a 口，卢旷扩= 止。，( ，肛，u ) d 3 e a q ，p p a 卢= - 1 1 p 1 1 2 一 2 - 2 1 1 肛1 1 2 i l i | 2 一1 1 1 1 2 ( 1 c a ) 5 东北师范大学硕士学位论文 2 复流形上的一个共形不变的微分形式 2 1 共形不变量q 百( ，如) 的构造 首先我们回忆关于复几何的一些事实( 细节见 1 】或 6 ) 设m 为紧致的连通的复维数 为佗的复流形设g r 是m 的实正切丛t r m 上的黎曼度量我们标准的延拓g r 到复化丛 t r m c 的h e r m i t i a n 度量g c 设g l , o ( 分别夕o ，1 ) 限制到g c 的全纯丛t i , o m ( 分别p ，1 m ) 设 夕r ，+ ( 分别9 1 ，o ，9 0 ，1 ，+ ) 是对偶丛上的度量t r + m ( 分别t 1 ，o m ，t o ，1 ，+ m ) 设舻，口表示m 上的 光滑( p ，g ) 一形式的空间设j 是在标准的t r m 上的近复结构并且 e l ，e n ，e 蚪1 ，e 2 n ) 是满足j e = e n + i 的局部的标准正交基设g r 是 不变量的度量，并且 奶= 去( 勺一、一1 e n 钾) ；咖= 去( 勺+ 一1 e n 钾) ，1 j 佗 ( 2 1 ) v 么v 么 分别是t 1 ，o m 和p ，1 m 的标准正交基设 e 1 ，e n ，e n + l ，e 2 n ) 是在t r ，+ m 上的对偶 基，满足j e j = 一e n 埘，这里j 是在t r ，+ m 上诱导的近复结构，则 = 去( + j e 礼押) ；万= 焉1 ( 一一 j e 竹卅) ，1 j 佗 ( 2 2 ) v 么v 二 分别是t 1 ，吣m 和p ，1 ，m 上的标准正交基 咖，万) 和【，万) 是对偶基定义光滑，口) 一 形式空间上的内积舻”，使基底 九。a ，入t ，a 一 入j la 石) 是标准正交基西= 入1a a ka 石a a 焉差个常数倍是m 上的体积形式对矽，叩a p ，q ，定义一个内积， ， ( ( 矽，7 7 ) ) = ( 妒，叩) 垂， ( 2 3 ) jm 使a 舢为预h i l l b e r t 空间，并且设l 2 ( 舻，口) 为l 2 一完备化回忆h o d g e , 算子：a p 口一小_ p 肛口 定义如下s 对于妒，叩a m ， ， ( 妒，叩) 圣= 妒a 舯7 ( 2 4 ) 设为0 - l a p l a c i a n 算子并且有萨= 锨是a 的伴随算子，这里a 是一个常数令h p ，q 是 调和p ，g ) 一形式空间回忆h o d g e 定理所述( 见 6 】) 如，口= 俨，9o 砷，口一1o 矿掣，q + 1 ( 2 5 ) 现在我们对于m 上一些光滑的函数，取共形形变度量虿= e 2 f g r ，则相应的对偶度量是 e - 2 l g r ，一，并且相应的标准正交基是e - i 矽t ，e - ，石和e ，九，e i 瓦设霎是对应于形变度量的 h o d g e 星算子 6 东北师范大学硕士学位论文 引理2 1 妥= e 2 ( n - p 一口) ，特别的，当p + q = 礼时，算子是共形不变量，即妥= 证明由等式知对砂，叩a p 一，有丕= e 孙，圣和歹( 矽，叩) = e - 2 ( p + q ) f g ( 妒，叩) ，则有 矽a 翱= 歹( 妒，叩) 面= e 2 ( n p 一口) ，g ( 妒，叩) 圣= e 2 ( n p q ) ，妒a 叼( 2 6 ) 由( 2 6 ) 和p o i n c a r d 对偶，我们可以得到；= e 2 ( 仃- p - q ) f k 口 由内部积的定义当礼= p + q 时，l 2 ( a p ，口) 是共形不变量然后，我们假设佗= p + q 由h o d g e 分解定理( 见 8 】) ，我们有h p ，口= k e r ( 万) nk e r ( o , ) 所以由引理2 1 和石是独立的 度量，我们得到h p ，g 是共形不变量令岛= 2 b m 一i d ，这里b m 是从l 2 ( a p ，9 ) 到i m - 的 射影正如在【2 】中，在钟，。eh p ，口上有 马= 嬲 ( 2 7 ) 当然乃是满足马= 弓和瑶= 1 的0 一维共形不变的带边拟微分算子设c 0 0 ( m ) 是m 上 光滑的复值函数的几何则有 引理2 2 设m 是紧致的共形的无边复留形，则( c ( m ) ，l 2 ( 印，口) ，乃) 是一个共形不变的 f r e d h o l m 模( 定义见 5 】) 接下来我们回忆w o d z i c k i 留数的定义设砑是一个缸维黎曼流行，p 是作用到流形 丽上的一个向量丛b 的截面空间上的拟微分算子在一个局部的坐标系下，用盯一七( p ) 表示 ( - k ) 一阶符号，则p 的w o d z i c k i 留数定义如下( 细节见【5 】或 1 2 】) t rr w r e s ( p ) = f n ( 盯一( p ) ( z ，) ) 仃( ) d z ，( 2 8 ) - ，mj i f l = 1 这里是余切向量并且仃( ) 是典型的( k 一1 ) 一维球的体积w r e s ( p ) 是一个迹，它是砑上 独立选择的局部坐标，并且是b 的局部基特别的，w o d z i c k i 留数不依赖于度量的选择对 ，厶， c ( m ) ，由下列定义，定义2 n - 形式的吻( ，厶) ， w r e s ( f o r 万， 】 马，丘】) = 而嗡( 厂1 ，尼) ( 2 9 ) jm 。 由引理2 2 ，如 2 】或【7 】中所述，我们有： 定理2 3 踢( ，如) 是由( 2 9 ) 唯一定义的对称的共形不变的2 n - 次微分形式此外， 厶f o ( i i ，厶) 定义了m 上光滑函数的代数上的一个h o c h s c h i l d2 一闭链 7 东北师范大学硕士学位论文 2 2 共形不变量( ，厶) 的性质 接下来我们计算共形不变量嗡( ，厶) 由 7 】中的引理2 2 和2 3 ，我们有 嘣m ) 2 屯t r ml 蒜旆朋x 、, jl j l n q x 6 ( 如) _ 卵( 呜) 罐7 ( 盯未) 吣) 如 ( 2 1 0 ) 这里a p 口是，g ) 一次丛并且仃写表示- j 阶符号易；d 量= ( 一i ) l p l 霹；和取自l q ，i4 - i q i4 - i p i4 - 1 6 i4 - j4 - k = 2 n ；i p i 1 ，1 6 i 1 ；q 7 ，q ，卢，6 z ；j ，k z + 设= 銎1 岛e j 是t r , * m 中的余切向量设a l ( p ) 表示拟微分算子p 的主要符号并且令( ) 和。( ) 分别表示外乘( 外 积) 和内乘( 缩并) 运算然后回忆 4 】中的引理3 5 2 ，我们有 引理2 4 下述等式成立， 吼( 否) ( z ，) = ! ( 白+ 风+ n ) ( 一一、二酗+ n ) ； 1 j n 州矿) ( 玳) = 一孚，( 白一风洲一一何一；吼( ) = 扣i d ( 2 1 1 ) _ l j n - 引理2 5 当g r 平坦时，对0 ，我们有 仃( 万) = 吼( 万) ；盯( 矿) = 6 r l ( 万+ ) ；盯( 嘲= 几( 石) = 2 矧 6 r l ( 万) 6 r l ( f ) 一观( 矿) 吧( 万) 】( 2 1 2 ) 首先我们假设g r 是平坦的，与 7 】中引理4 1 相似，我们可以得到 引理2 6f i $ 等式成立， q _ ，n 砒( ，厶) = 名i = 1t r p ，e e 1 丽磋( ) 磁+ 6 ( ，2 ) 篷+ 卢( 盯l ( 马) ) 罐( 盯l ( 马) ) 盯( ) 扩z ， ( 2 1 3 ) 其中和取自i o t f4 - 俐4 - 例= 2 n ；例1 ；例1 设 矽( f ，叩) = t r p ，一 矿工( j 动( z ，荨) 盯l ( j 孑) ( z ，叩) 】； z 竹妒( ，叩，u ，口) = 酱着t r 噬( 仃l ( 马) ( ) ) 锑( 盯l ( 马) ( 叩) ) 】 ( 2 1 4 ) 这里和取自俐4 - 1 5 i = 2 n ，俐1 ，例1 趸n ( ，7 7 ，u ，v ) 是在妒 4 - u ，r 4 - 口) 的泰勒展开 式中2 n 次项，在u = 钞= 0 时最小，只有乱或v 正如在 7 】中的第4 部分，我们有 8 东北师范大学硕士学位论文 足理2 7 吗，n a t ( ，如) = ( a n ，6 ( 磁 ) ( 磋尼) ) 如， ( 2 1 5 ) 这里 e a a , b z t a v b = 缸。弼觯走一佃) 一删联，训呱) 根据定理2 7 ，为了得到嘞，n 砒的一个明确的解释，必须研究关于和叩的t r m 。 盯l ( 马) ( ) 盯l ( 马) ( 叩) 在霉，+ m 上不为0 对于= 1 i 2 几& e ，我们设 手= ( 岛+ 风+ n ) ( 一一、= p + n ) ( 2 1 6 ) 对于一个( 0 ，1 ) 一形式u 1 ，我们有 6 ( ( 白+ 风+ n ) ( 一、二p + n ) ) u l = = ( 白一风+ n ) ( 一一、刁+ 竹) u 1 ( 2 1 7 ) 根据引理2 4 和( 2 1 7 ) ，我们有 吼( 醐= 字( a ；吼( 确：一t c ：- i 。( a ( 2 1 8 ) 定理2 8 当q = 1 ，时 n p ，k ( 马) ( ) 仃l ( 马) ( 叩) 】= 锑饼+ 锘碟一4 锘， ( 2 1 9 ) 当q 2 ，时 n m 口k ( 嘲( f ) 吼( 嘲( 捌= ，g 饼+ 6 p q ， ( 2 2 0 ) 这里 表示内积g c ，t ( ) 并且 6 p ，口= 锘( 锑二；+ 锑一2 2 锑二：) ；，口= 砉( 锘a 一，口) ， ( 2 2 1 ) 这里佛是一个组合数 引理2 9 当f ，筇a o 1 时， t r ( ，p ，q + 1 ( 劢p q ( f ) ) = c p a ，q ，( 2 2 2 ) 9 东北师范大学硕士学位论文 这里a 叫= 职一锑- 1 + 十( - 1 ) 口q 0 并且勺，口表示算子e 作用在，口) 形式的空间 证明通过t r a c e 的性质和关系式 e p , q _ 1 ( 西幻，q ( 劢+ l p , q + l ( 动，。( 孬- - ，口， 这里易，g 是，g ) 一形式上的恒等式，我们得到 t r b p ，g ( 劢p 口一l ( 西】4 - t r f $ p , q + l ( 莉勺，口( 西】： 霹q 当q = 0 时，我们有t r l ( 劢e 即( 药】= 锑然后由( 2 2 4 ) ，我们证明了引理 定理2 8 的证明根据引理2 4 和( 2 1 8 ) ，我们有 t r p ，“观( 巧) ( 荨) ( 马) ( 叼) 】 = t r a 。 2 1 1 。2 2 吼( 否) 吼( 矿) 一a l ( a ) ( ) 2 l q l 2 2 盯l ( 万) 吼( 矿) 一吼( ) ( 卵) ) = 蚓一2 f 叩f - 2 t r b , q - i ( a 知，g ( 翁p ，口一，( 窃幻，。( 劢】一一2 t r p , q - 1 ( 翁如，口( a 】 = - i , 1 1 q t r 忙j d , q - - l ( 神b ，g ( 囝】+ 哪铝 根据引理2 9 ，我们有 l 引一2 t r p , q - 1 ( a 场，口( a = l r 2 t r e 尹，g ( 拿) e p , q - 1 ( 西】= i j - 2 c 嚣4 佗，口一， = l 1 2 2 悖1 2 锑a n , q - 1 = 2 锑a n , q - 1 当q 1 ，并且已，6 ，r a ，铂a o ，1 时，设 岛，g ( 矗，岛，r a ，r b ) = t r b ，g 一1 ( 矗) 场，口( 矗) 勺，口一l ( ) 妇，g ( 确) 根据( 2 2 3 ) 和引理2 9 以及t r a c e 的性质，我们得到关系式 岛，口( 靠，矗，吼，伽) = 打 【 易，q 一场，q + 1 ( 锄勺，q ( 已) ，口一l p , q - f l ( 铂) p ，q ( 吼) 】) = ( 鳏铝一2 g 私扎，口) + t r b ，口( ) 场，口+ 1 ( 岛) ，口( 毛) 场，口+ 1 ( 铂) j 则岛，口+ 1 ( 仉，6 ，矗，铂) = b ，口( 已，岛，吼) + ( 一铝铝+ 2 锑a n ，口) 昂，i ( 岛，岛，编) = t r b ，o ( 矗) 场，1 ( 釉勺，o ( ) 哆，i ( 珊) 】 = t r l p ，1 ( 吼) ，o ( 厶) 知，l ( b ) e p ，o ( ) 】 1 n 、，、j、j、， 3 4 5 分， 船 似 笛 笛 q 口 但 仁 东北师范大学硕士学位论文 2 蟛 根据( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) ，我们有 t r 脾。阮( 乃) ( ) 盯l ( 马) ( 叼) 】- 一2 m 一2 岛，口( ，劢- - i - 嚷嚷一4 昭厶，口小( 2 2 7 ) b p , 1 ( 舌毛氟神= 锘= i 1 2 c 嚣( 2 2 8 ) 根据( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 我们能得到( 2 1 9 ) 根据( 2 2 7 ) 和递归的方法，我们得到：对某些常数 唧，口和6 p ，g ，下式成立， n 肭。k ( 马) 盯l ( 乃) ( 硼= ，口坚蒿磊芦+ 彤 ( 2 2 9 ) 现在我们计算常数u p ，口和，口我们令( 2 2 9 ) 中的= 叩= e j ，则手= e y 、= r 扣并 且 t r p ，。阮( 马) ) 盯l ( 玛) ) 】= u p ，q i 1 2 + 6 p ，。= 4 0 p ，口+ 6 p 口( 2 3 0 ) 对于一个0 ，g ) 一形式u = u 纠a ( e j 一了栩) a a ( 幽一佃a 扣) ，这里u 例是一个 ( p ，o ) 一形式，如果对某些i ，专= e i 。，则有 【e p ，口一1 ) 场，口( ) 一场，口+ 1 ( 专) 印，口( 专) 】叫= 2 w 如果对每个i ，则有 【( 勖，口一1 ( 善) 场，口( 亭) 一b ，口+ ( ) 勺，。 ) 】叫= - 2 w 因此 t i a ，, q 【盯l ( 马) ( ) 吼( 马) ( ) 】- 三n e ( a 。( a 一。( a ( a 】2 = 三4 t r 易，。= 锑p 。付q 因此4 吻，口+ 6 p ，口= 铝铝 设q 2 如果= e l ，叩= e i ，i j ，形式 为0 并且表达式( 2 2 9 ) 减少到 ，q ，在这种情况下，如果，r 1 ，幽) 或者如果，叩都不属于 e i l ，。) 有 f f l ( f - 万) ( ) 吼( 乃) ( 叼) 叫= u 并且如果，叼中只有一个属于 - ，e y 。) 而另一个不属于 e j ，幽) ，有 仃l ( 马) ) 仃l ( 马) ( 叩) u = 一叫 东北师范大学硕士学位论文 包含万作为因子的基本( p ，g ) 形式的数是铝q 二；既不包含手也不包含筇作为因 子的基本，g ) 一形式的数是锑铝一2 ，并且仅包含拿或斧之一的基本国，g ) 一形式的数是 2 铝p 。n q - 一；因此6 p ，口的值只由上面的算子的t r a c e 给出，6 p ，g = 铝( 铝二；+ 瞬一2 2 q q - 一2 1 ) ， 因此a p ，口= ( 铝q 一6 p ，口) 口 注：我们记 l 1 2 = 4 i ( 白+ 风+ 他) ( 仍一佩+ n ) 1 2 = 4 2 + ( 岛+ n 仍一白仍+ n ) 2 ) a 榉， jj 因此，一般的t r ，a 盯l ( 马) ( ) 仃l ( 马) ( 叩) 】与n n t r ，m k ( f ) ( ) 观( f ) ( 叩) 】不成比例，这里f 在 2 中被定义 1 2 东北师范大学硕士学位论文 3 结论 对 ，庀，3 c o o ( m ) ，唯一定义了一个对称的共形不变的2 n 次微分形式q 万( ，丘) 如 下式所述， w r e s ( f o f 万， 马，尼】) = 知q 百( ，2 ) ， ，m 并且通过计算得到，在平坦的情况下这个共形不变量的结果为 这里 ，l l 砒( ，如) = ( a 口，b ( 磁 ) ( 磋庀) ) d z ， e a a , b u a v b 丘i - 1 ( z 拟钺，钆托旷绯点叩) ) 蝣 1 3 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】1s s c h e r n ，w h c h e na n dk s l a i n ，l e c t u r e so nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y s e r i e so i lu n i - v e r s i t ym a t h e m a t i c s ，1 w o r l ds c i e n t i f i cp u b l i s h i n gc o ，i n c ，r i v e re d g e ，n j ，1 9 9 9 ( 2 】a c o n n e s ，q u a n t i z e dc a l c u l u sa n da p p l i c a t i o n s x i t hi n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ( p a r i s ，1 9 9 4 ) ，1 5 3 6 ，i n t e r n a tp r e s s ，c a m b r i d g e ，m a ，1 9 9 5 【3 】b v f e d o s o v ，f g o l s e ，e l e i c h t n a m ，a n de s c h r o h e t h en o n c o m m u t a t i v er e s i d u e 加r m a n i f o l d sw i t hb o u n d a r y j f u n c t a n a l ，1 4 2 ：1 3 1 ，1 9 9 6 【4 】p b g i l k e y , i n v a r i a n c et h e o r y , t h eh e a te q u a t i o n ，a n dt h ea t i y a h s i n g e ri n d e xt h e o r e m m a t h e m a t i c sl e c t u r es e r i e s ，1 1 p u b l i s ho rp e r i s h ，i n c ，w i l m i n g t o n ，d e ，1 9 8 4 5 】m g r a c i a - b o n d i a ，j c v & i l l ya n dh f i g u e r o a ，e l e m e n t so fn o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y b i r k h 茂u