（应用数学专业论文）复杂动态网络广义同步.pdf

、 。i 茄r _ l l i i i l l i 训l i i i i i i i l o l l l 3 l l 摘要 cio z 9 4 0 3 本文主要研究了两个不同混沌连续系统和复杂动态网络混沌系统的广义同步存在 性，并对广义同步流形进行了分类，给出了实现不同种类广义同步的充分条件。主要工 作和成果如下： ( 1 ) 首先，简单介绍了混沌的发展历史和混沌概念，描述了常用混沌同步的方法和混 沌同步的种类及复杂动力学网络。 ( 2 ) 研究了单向耦合下两个不同c h e n 系统的广义同步。利用辅助系统方法，基于稳 定性理论和响应系统的有界性，理论上给出了它们达到广义同步的充分条件。并根据响 应系统的修正系统具有的特性，对广义同步流形进行了分类。 ( 3 ) 研究复杂网络连接下混沌系统h 6 1 d e r 连续广义同步的存在性。对于部分节点系统 修正方程具有混沌态另外部分节点系统修正方程具有渐近稳定平衡点或轨道渐近稳定 周期轨道或轨道渐近稳定概周期轨道的情况下，在一定的条件下，可将广义同步化流形 存在性问题转化为h 6 1 d e r 连续函数空间上的s c h a u d e r 不动点问题。理论上严格证明了 广义同步流形存在性。 以上所有的理论方法都做了相应的数值试验，给出了相应的数值结果，验证了理论 方法的正确性和有效性。 关键词：混沌系统，广义同步，辅助系统，s e h a u d e r 不动点，h 6 1 d e r 连续，驱动一响应 系统。复杂动力学网络 s t r i c t l yp r o p o s e dt ot h ee x i s t e n c eo fg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nm a n i f o l d f o ra l lt h e o r e t i c a lr e s u l t s ，w e p r o p o s e dn u m e r i c a l s i m u l a t i o n st oi l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s si nt h i sd i s s e r t a t i o n k e y w o r d s ：c h a o t i cs y s t e m ，g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ，a u x i l i a r y - s y s t e m ，h 6 1 d e r c o n t i n u i t y , s c h a u d e rf i x e dp o i n t c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目j 录i 第一章绪论l 1 1 混沌l 1 2 混沌同步2 1 3 混沌同步控制及混沌同步意义3 1 4 复杂网络上的动力学同步4 1 4 1 复杂网络概述4 1 4 2 复杂动力学网络的控制与同步4 1 5 本文中用到的主要数学理论5 1 5 1 l y a p u n o v 定理。5 1 5 2 霍尔维茨定理( h u r w i z a ) 5 1 6 本文内容章节安排6 第二章单向耦合下两个不同c h e n 系统的广义同步7 2 1 单向线性耦合下两个不同c h e n 系统的有界性7 2 2 广义同步的分类及充分条件9 2 3 数值仿真1 3 2 3 1 耦合矩阵f = d i a l 4 ，乞，白) 时广义同步的类型1 3 2 3 2 耦合矩阵z = d i a g ( o ，乞，0 ) 时广义同步的类型1 4 2 3 3 对响应系统与辅助系统鲁棒性的数值仿真1 6 2 4 讨论与小结1 6 第三章复杂网络动态混沌系统的h 6 1 d e r 连续广义同步存在性：1 7 3 1 引言1 7 3 2 第4 种类型的g s 存在性1 7 3 3 第7 种类型的g s 存在性o 2 4 3 4 第1 3 种类型广义同步流形2 7 3 5 数值仿真2 7 3 6 总结与讨论3 0 第四章总结与展望；：3 l 致谢3 3 参考文献。3 4 附录作者在攻读硕士学位期间发表的论文3 7 第一章绪论 第一章绪论 2 0 世纪下半叶，非线性科学得到前所未有的蓬勃发展。非线性科学是一门研究非线 性现象共性的基础科学。这门科学几乎涉及社会科学和自然科学的各个领域，并不断改 变着人们对现实世界的许多传统看法。其中混沌是非线性科学研究的主要内容之一。由 于混沌在保密通信、生物学、航空、神经网络、经济学及社会学等各种领域的广泛存在 和应用，混沌控制和混沌同步吸引了科学和工程各领域中的研究人员的广泛注意和兴 趣，这为混沌理论及其应用的研究提供了巨大的推动作用。这一章主要回顾了混沌的研 究背景及发展历史，之后详述了混沌的定义、基本概念及复杂动力学网络，最后还有本 文中用到得一些基本内容和主要的数学理论。 1 1 混沌 混沌是非线性动态系统所特有的一种运动形式，它既是普遍存在又及具复杂性的现 象，广泛存在于自然界，如物理学、生物学、工程技术、地质学、电子学、医学、生命 科学、神经网络、复杂网络、金融学、经济学及社会学等各种领域中。一般而言，混沌 是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现 类似随机的行为( 内在随机性) 。 现代科学意义上的混沌的发现，事实上可以追溯到1 9 世纪末2 0 世纪初p o i n c a r e 关 于三体问题的研究，发现三体运动的轨迹是非周期的，并且永远不递增，也不趋于固定 点。揭示了非线性系统内禀存在的随机性一混沌，打破了人们传统的决定论思想。1 9 6 3 年，美国科学家洛仑兹将气象变化的数据绘制到相空间图上，无规则变化的数据点形成 一个不完全自我重复，轨迹永远不相交但却永不停止转动的蝴蝶形象的双螺旋线，即 l o r e n z 吸引子，他称为决定性的非周期流【i l 。这是在耗散系统中，由确定性系统 导出混沌解得第一个实例。2 0 世纪7 0 年代为快速发展期。这期间最重要的事件就是1 9 7 5 年，美籍华人学者李天岩和美国数学家约克( y o r k e ) 在( a m e r i c am a t h e m a t i c sm o n t h l y 杂志上发表文章( p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s ，首次提出混沌概念【1 2 t 3 j ：k 绷上的连续 自映射称为是混沌的，若其满足：( 1 ) 的周期点周期无上界。( 2 ) 存在不可数子集 5 c 【岛纠，j 中无周期点，且满足：1 ) 对任意x , y c 墨有1 ) m l f ( x ) 一厂i = 0 ：2 ) 对 任意x , y c 墨有z 乃l i m i r ( x ) - f v ) i 0 ；3 ) 对任意的z j 和任意周期点少，有 ! i m l f ( x ) - f ) l 0 。另一个影响较广的混沌定义是从拓扑角度给出的d e v a n e y 混沌定 义【3 ，5 】：度量空间上的映射：一矿称为是混沌的，若其满足：( 1 ) 对初值的敏感 依赖性，存在占 0 ，对任意的s 0 和任意的z i , ，在j 的领域内存在少和自然数 刀，使得d l f ( 力，厂】 艿。( 2 ) 拓扑传递性，对少上的任意开集z ，存在 后 o ，( 却n ，9 i 。( 3 ) f 的周期点集在中处稠密。2 0 世纪8 0 年代为定量分析发展 阶段，系统如何从有序进入新的混沌以及混沌的性质和特点成为研究热点。这一时期我 垩堕奎堂堡主堂篁丝茎 一 国的混沌研究起步并迅速发展起来。2 0 世纪9 0 年代，美国科学家o t 、g r e b o g i 、p e c o r a 、 y o r k e 分别在混沌控制和混沌同步方面取得了突破性的进展，从而在全世界掀起了混 沌控制热。至今混沌研究的特点表现为和其他科学的相互渗透，混沌在各领域得到了 广泛的应用，如物理学家正试在用混沌的理论解决研究中的问题，生物学家也把细胞的 新陈代谢，刺激沿神经的传送看成混沌问题。 刻画混沌的一个重要的物理特征量是l y a p u n o v 指数，它是用来刻画系统行为对初值 敏感性的指标。如果系统的最大l y a p u n o v 指数为正( 复数实部为正) ，那么系统行为对 初值具有极度的敏感性，那么一般来说该系统是混沌的。如果系统有两个或两个以上正 的l y a p u n o v 指数，说明该系统是超混沌的。对l y a p u n o v 指数的计算方法相关文献中可 查到。 1 2 混沌同步 同步( s y n c h r o n i z a t i o n ) 是耦合非线性系统的最基本的合作行为的一种具体表现形 式。许多合作行为背后机制都与同步有着直接的关联。如小提琴演奏、萤火虫闪闪发光， 物体会调节自身的节律来适应其他的物体。其结果是小提琴家们按照统一的步调演奏、 昆虫以相同的速率发光。同步化现象是首先由荷兰科学家惠更斯( h u y g e n s ) 与1 6 6 5 年 发现的关于两个相邻钟摆同步的描述1 6 , 7 ，他的发现属于两个系统间的同步。1 6 8 0 年荷 兰物理学家肯木佛( k a e m p f e r ) 在对塞姆( s i a m ) 探险中的发现则属于多个系统间的同步 也就是现在研究比较多的复杂动力学网络同步。在2 0 世纪，在更多的领域中发现了同 步现象，在理论方面也有了更为系统的研究。混沌系统同步问题是美国海军实验室的 p e c o r a 和c a r r o l l 在1 9 9 0 年发表了两个耦合混沌振子的混沌同步概念和现象嘲之后得到 了广泛、深入而又富有成效的研究。 混沌的一个主要特点就是对初值的敏感依赖性。人们进一步研究如何在实际中尽量 避免这一特征或为了方便使用而创造这一特征，避免有害的行为从而使系统的行为得到 改善。因而研究如何保持系统混沌特征的同时又能控制其轨道行为就成为一个有用的课 题。这就是混沌同步( c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ) 。现已发现，对两个耦合混沌系统，随着耦 合强度的变化，其耦合行为可以表现出不同形式及不同程度的同步化。主要有完全同步 t s l o l ( c o m p l e t es y n c h r o n i z a i o n ) 、广义同步 1 1 - 1 3 ( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) 、相同步 1 4 - 1 6 ( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) 及延迟同步( l a gs y n c h r o n i z a t i o n ) 。其它还有投影同步 1 r l ( p r o j e e t i v es y n c h r o n i z a t i o n ) 、q s o s ，1 9 】同步等。 判断一类驱动响应系统是否实现同步，过去的方法主要是计算误差系统的条件 l y a p u n o v 指数，并根据同步定理：只有当误差系统的所有条件l y a p t m o v 指数都是负值 时( 复数实部小于零) ，才能达到驱动系统与响应系统的同步。但是，最近的研究表明 这一定理既不是混沌同步的充分条件也不是必要条件。所以现在判别混沌同步的主要依 据是应用l y a p u n o v 稳定性理论来判定误差系统零解的稳定性，从而判定驱动- 响应系统 是否实现。 完全同步指的是对于从不同初始条件出发的两个轨道运动曲线随着时间的演化而 2 第一乖绪论 逐渐趋于一致。对于驱动响应系统，实现完全同步的耦合方式有很多利，如单向耦合、 双向耦合、扩散耦合、脉冲耦合以及负反馈等。 广义同步指的是两个混沌轨道运动曲线随着时间的演化而逐渐趋于一个与时间无 关的变换关系，它是完全同步形式上的推广。也就是说驱动系统和响应系统存在着函数 关系。广义同步主要对两个耦合混沌系统进行研究已有的结果或者引用辅助系统进次 年会数值验证，或者构造响应系统实现线性广义同步。由于广义同步比较复杂，而对完 全同步的研究已取得了丰硕的成果。所以一般把广义同步问题转化为完全同步问题，这 是本文的核心方法，即辅助系统方法。此方法的主要步骤是： r o r y o 考虑单向耦合的混沌系统 l 一? 7 ，、( 1 ) 对响应系统y 构造一个辅助系统，辅助 【少= u 氓驯 系统是响应系统的复制，即少= 翻，反力) ( 2 ) 在辅助系统和响应系统结合的相空间中 证明误差系统d ，) = ( 力一“力的局部稳定性( 或者等价地为辅助系统与响应系统的完全 同步) 。( 3 ) 证明响应系统与辅助系统在很小的独立的小扰动下相等关系的鲁棒性。 本文主要研究一类驱动一响应系统的广义同步问题。在1 9 9 5 年，r u l k o v f l l l 首先描述了 g s 现象，提出了时间序列相互伪邻域方法可检测g s 。a b a r b a n e l 刚于1 9 9 6 年提出了辅 助系统方法可以检测到激励响应系统的g s ，文献 1 2 1 中讨论了g s 与等价性的关系并对 辅助系统方法作了理论的说明。最近，h r a m o v 2 1 提出了修正系统方法来研究g s ，在此 基础上徐振源教授、胡爱花老师和过榴晓老师给出了有关g s 的理论结果1 2 2 - 2 s 。如单向 耦合混沌系统的g s 流形存在性及g s 流形的h o l d e r 连续性【2 冽，文献 2 8 】研究了三个 双向耦合混沌系统的g s 存在性。由于在实际的物理、化学、生物等复杂系统中存在大 量广义同步化现象，广义同步更可能应用于保密通信，还可能与涌现现象有关，所以进 一步研究广义同步，特别是复杂网络的广义同步有着实际意义。 这里需要指出的是完全同步只使用于全同的混沌系统，广义同步在非一致混沌系统 中才能看到刚。 1 3 混沌同步控制及混沌同步意义 混沌控制是指通过施加控制使受控系统的混沌运动转化为事先指定的周期性动力学 行为，包括平衡态、周期运动和准周期运动等。混沌同步控制的主要方法有：o g y 控 制方法、p c 、方法、状态反馈控制方法、脉冲控制方法等。 混沌同步应用于保密通信的研究今年来在国内外有了很大发展，大量的研究表明， 在数字信息传输、混沌掩盖保密痛惜、混沌调制扩频通信、混沌频率调制通信以及参数 调制多路通信等方面都用到了混沌同步，这说明了实现保密通信是可能的。应用保密通 信的要旨是用某种方法将被传送的信息加密。最简单的混沌加密方法是把要传送的信号 和比混沌信号小的多的强度直接相加的方式调制到混沌信号中，这样有用信息完全被混 沌信号隐蔽了，使得保密的信息很难从混沌时间序列上直接分解出来。此时，系统的发、 收两端在时间上建立和保持步调一致的过程和状态，即收发两端保持同步。利用混沌同 步通信时，接收端混沌信号必须与发射端的混沌信号严格同步。这是混沌同步保密通信 江南大学硕士学位论文 的技术核心。y a n g 把1 9 9 2 年以来发展起来的和诺顿通信技术分为四代产品：第一代发 展于1 9 9 3 年，被称为加性混沌隐蔽和混沌转换钥，主要基于最简单的利用反馈 控制理论实现的混沌同步。第二代，发展与1 9 9 3 1 9 9 5 年间，被称为混沌调制。第 三代保密通信技术由y a n g 在1 9 9 7 年提出，它被成为混沌加密系统。第二、三两代 都是基于自适应控制理论的自适应同步。同样在1 9 9 7 年y a n g 的研究小组提出了脉冲同 步。这代产品优点是保密程度更高，并且对噪声、参数不匹配有很强的鲁棒性和抗干扰 性。 将混沌同步用于实际的保密通信目前仍有一定距离，仍然有很多工作要做。现在研 究发现，混沌同步中的广义同步在保密通信有很大的潜在应用。因为其广义同步流形的 复杂性和广义同步函数不可实现性，更有利于信息的保密。 1 4 复杂网络上的动力学同步 1 4 1 复杂网络概述 随着学科之间的相互交叉和不断融合及对事物认识的不断深入，人们发现自然科学 和社会科学中存在一种普遍现象复杂网络。复杂网络可以说任何时刻存在于世界的 任何角落。比如经济、人脑、免疫系统、细胞的新陈代谢，还有人类社会文化和社会制 度( 政党、科学社团) 。所谓复杂动力学网络，就是指每个节点是一个非线性动力系统， 节点之间以一定的拓扑关系相联接、具有复杂动力学的网络。网络系统的复杂性表现在 【3 0 ，3 i i ( 1 ) 节点复杂性；( 2 ) 结构复杂性( 网络拓扑性质复杂性) ；( 3 ) 各种复杂因素 的相互影响。要想从理论上研究复杂网络，首先要建立相应的模型，模型要反映出网络 节点之间的相互作用。现在的主要网络模型有：随机网络、规则网络、小世界网络、无 尺度网络。当前对复杂网络模型的研究主要集中在小世界网络和无尺度网络。比如网络 的拓扑结构与网络的同步化行为之间的关系。 现实中有很多复杂系统或复杂网络的例子。当一场精彩的晚会演出结束的时候，帷 幕徐徐落下，剧场内在先前几秒钟的时间里也许会鸦雀无声，然后会有人突然带头鼓掌 喝彩，于是整个剧场里的观众几乎都鼓起掌来。掌声在最初的时候是杂乱无章的，没有 统一的节奏，但在几秒内，所有的掌声齐奏。有一篇论文【3 2 】就是从非线性动力学的角度 阐述了观众掌声同步的产生机理。还比如萤火虫闪亮。自然界里存在大量的这样类似同 步现象，用数学语言描述就是很多动力学系统( 个体) 之间存在某种特定的耦合系数， 使得系统整体涌现出一种具体的斑图。现在许多专家讨论这种斑图的涌现即是广义同步 现象。像社会经济危机，就是一种涌现。本文中研究两个单向连续、复杂网络动力系统 的广义同步，可以在此基础上研究更多个系统之间的广义同步，进而来解释现实中的一 些复杂问题。 1 化复杂动力学网络的控制与同步 在复杂动力学网络中，每个节点间是相互影响和相互联结的。当节点上的动力学系 统是混沌时，这样的动力学问题最近引起了人们的极大兴趣与关注。两个耦合混沌系统 第一苹绪论 实现的同步类型从理论上说也可以在多个混沌系统之间实现，但目前，对复杂网络的同 步局限于完全同步和相同步。但也取得了很多成果，如c h e n 和w a n g 【3 3 】对规则耦合网 络的同步进行了研究，取得了比较好的结果；c h e n 研究了自由尺度的网络同步；w u 的 研究表明在任意给定小的条件下，足够强的相互扩散耦合能够使细胞达到同步。另外， 和两个混沌系统同步控制方法相比，复杂网络同步控制方法较少，比较好的是牵制控制 2 9 1 ( p i n n i n gc o n t r 0 1 ) 。由于复杂网络本身的复杂性和缺少较成熟的理论成果，所以在这 方面的工作做的较少。本文在复杂网络动力学同步方面做了一点探索工作。同样是应用 了辅助系统方法来研究复杂网络的广义同步问题，并根据网络中的部分节点系统修正方 程具有渐近稳定平衡点、渐近稳定周期解，另外的节点修正方程具有混沌态，对已实现 的广义同步进行分类。不同种类的广义同步有着积极的现实意义，如修正方程具有渐近 稳定周期解的广义同步类似于实际生活中的人类大脑生物钟( 2 4 小时的周期解) ；池塘 里的生物链达到一种生态平衡类似于修正方程具有渐近稳定平衡点的广义同步。因此复 杂动力学网络的广义同步是现在非线性科学研究的重要课题之一。 1 5 本文中用到的主要数学理论 1 q 1 l y a p u n o v 定理 对于系统 j = 以力 ( 1 1 ) 其中状态，= ( 玉，而，吒) f ，：f 专f 是连续向量函数。上标“t ”表示矩阵的转置 现在要判定定点而的稳定性，不失一般性，假设x o = 0 ( 总可以通过坐标平移实现) ，并 引入以下定义： 定义1 1 设以力为区域刃= 仁：0 卅l 0 ，这样的函数称为 l y a p u n o v 函数。 定义1 2 坎力沿方程( 1 1 ) 的解得全导数为 砍力= 掣= 善掣詈= 喜彩 本文主要用下面的l y a p u n o v 稳定性定理： 定理1 1 如果对于方程( 1 1 ) 存在一个l y a p u n o v 函数坎力，其全导数反力是负定的( 即 除砍o ) = 0 对于刀中所有其他的点都有e o ) 0 ( ，= 1 ，2 刀) 。 1 6 本文内容章节安排 第二章研究了单向耦合下两个不同c h e n 系统的广义同步。利用辅助系统方法，基 于稳定性理论和响应系统的有界性，理论上给出了它们达到广义同步的充分条件。并根 据响应系统的修正系统具有的特性，对广义同步流形进行了分类。 第三章研究复杂网络连接下混沌系统h 6 1 d e r 连续广义同步的存在性。对于部分节点 系统修正方程具有混沌态，另外部分节点系统修正方程具有渐近稳定平衡点或轨道渐近 稳定周期轨道或轨道渐近稳定概周期轨的情况下。在一定的条件下，可将广义同步化流形 存在性问题转化为h 6 1 d e r 连续函数空间上的s e h a u d e r 不动点问题。数学上严格证明了 广义同步流形的存在性。 6 第二章单向耦合下两个不同c h e n 系统的广义同步 第二章单向耦合下两个不同c h e n 系统的广义同步 本章首先证明了单向耦合下两个不同c h e n 系统的有界性。利用辅助系统方法，基于 稳定性理论和响应系统辅助系统的有界性，得到了它们达到广义同步时的充分条件。并 根据响应系统的修正系统具有零渐近稳定平衡点、非零渐近稳定平衡点和轨道渐近稳定 周期解的情况，将广义同步分为第一类、第二类和第三类。利用r o u t h - h u r w i t z 定理， 对修正系统平衡点的稳定性进行了分析，给出了单向耦合下两个不同c h e n 系统具有第 一类、第二类广义同步的充分条件。 2 1 单向线性耦合下两个不同c h e n 系统的有界性 设单向线性耦合下两个不同混沌c h e n 系统为： j = 4 j + 八舯 ( 2 1 ) ，= 4 n 以即+ 职一d ( 2 2 ) 其中z = 仇，朋，而夕，= 亿，见，之为状态变量，z 为驱动系统，为响应系统， 髟= d i a g ( k 。，乞，局) 为耦合矩阵。4 ，4 是不同的系统参数矩阵，分别为 f ，一qq0 、f ，- - a 口0 、 4 - - ic m - q q o i ，4 2 卜口f o i ， 00 一白jk00 一纠 橱一 割 根据文献 2 0 ，辅助系统方法的步骤为： ( 1 ) 对响应系统，构造一个辅助系统z ，辅助系统是响应系统的复制， z = 4 z + 以刁+ 职j 一刁( 2 3 ) 其中z = ( 五，乃，弓) 为辅助系统的状态变量。 ( 2 ) 在辅助系统和响应系统结合的相空间中证明误差系统“力= z ( o 一妖力的局部稳 定性( 或者等价地为辅助系统与响应系统的完全同步) 。 ( 3 ) 证明响应系统与辅助系统在很小的独立的小扰动下相等关系的鲁棒性。进而讨 论辅助系统与响应系统： j ：r = 4 ，+ 八d + 敢j 一 ( 2 4 ) i z = 4 z + 以刁+ 取z 一刃 、 文献 3 4 已经证明了当f 口 2 c 时，c h e n 系统存在一个有界的吸收域，因此存在一 个混沌吸引子，且该吸引子是一致有界的。下证系统( 2 2 ) 在( 2 1 ) 的驱动下是有界的。 引理2 1 通过线性误差反馈耦合的两个不同c h e n 系统( 2 1 ) ( 2 2 ) 的吸收域是有界的。 证明：由文献 3 4 ，c h e n 系统( 2 1 ) 的吸收域是有界的，取 矿= z + ( 乞+ 口一力2 7 由以上式子可得 k 鬻：。 一乞) 瞒 ( 2 5 ) 令t 7 = 由文献 3 4 可知，存在0 7 + l 满足式( 2 5 ) ，所以有点口= ( 知，肠，知) 使得 瓤- o ，其中 若2 乃+ 5 4 c ，经计算有矿l 口 0 ，所以v ( a ) 是函数少的最大值，即 ( 2 6 ) 羞饥 江南大学硕士学位论文 再构造函数少= z 22 + 少；+ ( z 2 一f ) 2 可推得，当下式成立时 f 霹= 斫一砬+ b c z 2 屯= i 儿= 以 i - 乞= 五 有矿= 0 ，此时可得 a p = 啦2 + 砺+ 反乞- c ) 2 = ( f + 功彳+ ( 口一功乏+ c ( b - 2 a ) z 2 + c 7 ) 由( 2 6 ) ( 2 7 ) 得到 口尹墨! ! 塑蔓铲 喜c - 一仉，2 + c - + 町+ ，2 一c 彦+ 力 互+ 三! 三二警 2 由以上 + ( 2 a 2 - 2 丽c 7 + 砑2 a c - b e ) 2 一( 口+ 力( 口一c - ) 2 + ” 推得，口尹是有界的。 即矿= j 22 - i - 少；+ ( z 2 一f ) 2 是有界的。因此系统( 2 2 ) 是有 界的。设a p 0 时，( 2 8 ) 式出现了另外两个平衡点 其特征方程为： 肌( a + b - c + 局+ 乞圳n p 圳+ 焉+ 乞一力+ 去 2 ( 舭- o 同样由 赫尔维茨定理得赫尔维茨行列式 9 江南大学硕士学位论文 a + b - c + 局+ 向+ 白2 ( b + 4 ) a 0 1 o o 2 ( 易+ 白) 口+ b f + 前+ 乞 4 - 与 0 l a + b f + 焉+ 向+ 属2 ( b + 4 ) al l 1 批蝴纠+ 轰】l 0 眇0 时 b pa + b f + 局+ 乞+ 和o ，( 口+ b f + k i + 色+ 枷口+ 磊+ 乞一力+ 焘p 2 这两个平衡点是渐近稳定的，但( o ，0 ，0 ) 失去了其稳定性。 由引理2 1 知存在常数所，岛使得 0 = p l x 2 p l = m , o = p 2 儿p 2 = 必 0 = 几乞p 3 = 五，+ c , p ，= m 觚日j c i ，i jp ，i ，= 1 , 2 ，3 根据辅助系统方法步骤( 2 ) ，证明误差系统反力= a 力一妖力的局部稳定性( 或者等价地 为辅助系统与响应系统的完全同步) 。 为此需要以下引理： 引理2 2 嘞1 若存在对称正定阵尸和耦合矩阵f 满足 曰= ( 4 一髟+ 昙八d ) ，尸+ 只4 一石+ 卺八妁)o zo z 对于所有轨道均为负定阵，则( 2 4 ) 达到完全同步。 定理1 如果耦合系数局，乞，白满足下列条件： 其中 函翻= 白+ 口 0 ， a f 厶 f - i - 一 。 局+ 口 p 4 p ：i ( k , 篮+ a 堕) ( k 型：- c 一) - - g c 一西 a f 一口 【詈( 丝+ f 一口一鱼) ，丢丝】，如果c - a _ o 或f 一。，夏詈写2 一几 【昙(il伽口一乃，扣如果c-a02且南一磊 口一 z 口一刀 l 南 1 一予，如果c - a 0 p 什等小讲弩 ( 2 1 0 ) 其中尸= 旦 o ，五= ( 焉+ 功( 乞一力一“力 为了进一步扩大耦合系数的取值范围，要求出k p ) i j 勺最小值。得到 f q 饼) ，如果矿一口o 或f - - a o 且西一2 ( e 一功旦3 0 一1 吃暖) ，如果f 一 f 一口， l 公 o ， 其中 仨随+ 鲁+ c - - o - - 必，如果蓝4 b + f 一也 厶： 三( - + 区4 b 一叫p ；- - 2 ，如果篆2 + f 一- _ 龆， 如果一乏 f 4 - 一 乇+ 口 p 硒篇一 a 0 ( 属+ 乞+ 与+ a + b - 州( 计局+ 乞一力+ 去】 2 唔远+ f 一一眇弓丝】，如果c - n o 或f 一口。，夏2 五一p ， 呼( 磊一口一_ ) ，扣如果c - a 1 8 时，卜z 两系统可以 达到完全同步。 1 4 第二章单向丰禺合下两个不同c h e n 系统的广义同步 ” ， ” l p r 一 | 。7i 一1 i t 。! m i ： 彳。f ! 图2 4 ( a ) y z 耦合同步误差 图2 4 ( b ) 血= 1 5 时y 的修正系统轨迹 图2 4 耦合同步误差与时间的关系和y 的修正系统轨迹 f i 9 2 4 向= 15s y n c h r o n i z a t i o ne r r o ro ft w oc o u p l e d s y s t e m sa n dm o d i f i e ds y s t e mo f y r|t 掣 “ “l l 礴。，一嚣 图2 5 ( a ) 耦合同步误差 图2 5 ( b ) y 的修正系统( y 1 ，y 2 ，y 3 ) 图2 5 耦合同步误差与时间的关系和y 的修正系统轨迹。 曦 f i 9 2 5s y n c h r o n i z a t i o no f e r r o ra n dp e r i o d i co r b i t 2 3 3 对响应系统与辅助系统鲁棒巨的数值仿真 对响应系统，和辅助系统z 信号上加上随机过程的高斯白噪声。噪音幅度为0 0 0 1 ， 取耦合强度局= 9 ，局= 4 8 ，磊= 2 4 时，可知实现第一类g s ，仍取上述初值，进行数值仿真。 图2 6 ( a ) ( b ) 是关于白噪声对误差( e = y - z ) 的影响。从图可知在噪声的影响下系统 误差仍趋于0 ，这说明响应系统，和辅助系统z 具有很强的鲁棒性。 1 6 第三章复杂网络动态混沌系统的h o l d e r 连续广义同步存在性 第三章复杂网络动态混沌系统的h s l d e r 连续广义同步存在性 本文研究复杂网络连接下混沌系统h o l d e r 连续广义同步的存在性。对于部分节点的 系统修正方程具有混沌态，另外部分节点系统修正方程具有渐近稳定平衡点或轨道渐近 稳定周期轨道或轨道渐近稳定概周期轨道的情况下，在一定条件下，可将广义同步流形 存在性问题转化为h o l d e r 连续函数空间上的s c h a u d e r 不动点问题。数学上严格证明了 广义同步流形存在性。数值仿真表明理论的正确性。 3 1 引言 自p e c o r a f 2 3 】关于混沌同步的开创性工作以来，混沌同步特别是完全同步的研究取得 了丰硕成果。相对于完全同步广义同步( g s ) 的研究要少得多，还需要进一步深入研究 完全同步是比较平凡的，广义同步要复杂得多，实际情况中出现的是大多广义同步。 r u l k o v 在1 9 9 5 年首先描述了g s 现象，提出了时间序列相互伪邻域方法可检测g s 。 a b a r b a n e l 在1 9 9 6 年提出了辅助系统方法可以检测到激励响应系统的g s ，文献 1 2 1 中 讨论了g s 与等价性的关系并对辅助系统方法作了理论的说明。最近，h r a m o v 3 0 提出了 修正系统方法来研究g s ，在此基础上徐振源教授、胡爱花老师和过榴晓老师给出了有 关g s 的理论结果。如单向耦合的2 个混沌系统当响应系统的修正系统具有渐近稳定平 衡点和渐近稳定的周期解时，在一定条件下的光滑g s 流形和h o l d e r 连续的g s 流形的 存在性。文献 2 8 1 研究了三个双向耦合混沌系统的g s 存在性。本文将以上结果推广到 复杂网络连接耦合n 个混沌系统。此时节点上混沌系统的修正系统有渐近平衡点、轨道 渐近稳定周期解、轨道渐近稳定概周期解、混沌态，使得广义同步流形可能有1 5 种不 同类型，我们在本文中证明了部分节点系统修正系统处于混沌态，另一部分修正系统处 于渐近稳定平衡点( 第四种类型) 和轨道渐近稳定周期解( 第七种类型) 轨道渐近稳定概 周期解( 第九种类型) 时h o l d e r 连续广义同步流形存在性。 3 2 第4 种类型的g s 存在性 我们研究如下复杂网络连接的的混沌系统： w 等= 4 而+ z ( 而) 一眉叽，i - - 1 ，2 ，：n ( 3 1 ) ” - 1 其中而，彳“) 是光滑向量函数，4 ，墨，= 1 , 2 ，i v , f 是刀刀常数矩阵i j 表示在范 n 数。白- 0 ，乞 0 j - t 定义3 1 已知两个动力系统x 和y ，如果存在流形j = ( z ，z = m ( 1 9 ，它至少包 含一个吸引子，则称x 和y 为广义同步化( g s ) ，西为广义同步函数，s 为广义同步流形。 定义3 2 函数f 【x ) 称为具有a 阶h o l d e r 指数性质，如果 i 八五) 一( 屯) is 卅而一而1 4 1 7 第( 4 ) 种类型：当部分节点系统修正方程( 3 2 ) 具有渐近平衡点而= o ，= 1 , 2 ，矽( 如果 而0 ，则可以通过变换将它变换到零点。其他节点系统修正方程具有混沌态，为方便 起见，将处于混沌态的节点状态变量记为少，j = p + l ，彤 方程( 3 2 ) 可写为 考= 铂一k c a f x i + 以o ) + 以) 一尔o ) ( 3 3 ) = b , x + 以) 其中历= 4 一卿一以o ) ，z ( 而) = 彳( 而) 一以0 ) 巧。 显然矩阵b 的特征值具有负实部。现在y 系统- qx 系统可以写成： 吐y 州心、一嚎跚一隅小，n 螂l h 警“一x 套洲越p ( 3 4 ) ( 3 5 ) 笙三里堡銎塑竺垫查堡婆墨堑堕旦! 堕! ! 望堡! 墨堕垄堡垒堡 _ _ _ - _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ - - _ - _ _ 。- _ _ _ _ 。_ 。- _ - 。_ _ 。_ - 。1 。一 引理3 1 设驴( ，) ，y ，c o ( t ) 为定义在 a ，b 1 上的连续函数，c o ( t ) 0 ，y ( 功为单调非负不减函 数，如果 驴( 力y ( 力+ c ( j 9 i ( 力西 ( 3 6 ) 则有不等式 9 i ( 力y ( 力一，m 曲西 引理3 2 系统( 3 。4 ) ( 3 5 ) 中的彳( 约) 满足l i p s c h i t z 条件，即( 约) 一彳( 衫) l 4 - , - 彰1 ，其中 l 为正常数。忖4 一x c , , r ，i i 必，； o ，t o i i j | 表示算子( 矩阵) 范数。当，f ，约o ) 2 t 7 ，的 解乃( 力= 乃似f ，r l ，) ，i = p + l ，a r 。在，f 】上对任意连续函数巧：，f 1 专c 群是 存在的，且对任意，7 ，7 ，乃，杉，y = l 2 ，另 协( f ，t i ，) 一( f ，叼：) is _ 磊o 一力l ，7 ，一，7 ；i + m f 沪力 如