（基础数学专业论文）小波分析在数字水印和目标跟踪的应用.pdf

小波分析与图像处理 摘要 本文在详细介绍小波的基本理论和方法的基础上，介绍了小波在数字水印方面的 应用以及其在目标跟踪方面的作用 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，它是空时间域和频率域的局 部变换由于其发展及杼| 生，基于小波变涣的数字图像水印技术成为水印研究的 个热点而图像跟踪是计算机视觉领域的个热点研究问题，在视觉监控、人 机互动、机器人导航等领域有着广泛的应用。 本篇论文安j | 岛蛔下第章，我f 职州、波分析的理论，数字水印的发展，及其 目标跟踪的概况做了些简单介绍第二章，我们提出了种基于置乱变换的小 波域的数字水印算法。该算法采用灰度图像作为水印信息，嵌入前，首先利用置乱 技术对水印图像进行预处理，增强了水印系统的安全| 生，提高了系统的鲁棒陛 然后将水印信息嵌入到中高频系数中，以此在不可视性和鲁棒 生之间获得较好的 平衡第三章，我们主要研究粒子滤波理论及其实现方法，利用粒子滤波理论来 解决目标跟踪问题，构建基于似然函数的粒子滤波的跟踪框架最后通过以小波 特征作为目标的表征方式，来研究基于小波特征的目标跟踪方法 关键词：粒子滤波；目标跟踪；数字水印；小波变换；算法； a b s t r a c t l l o nt h eb a s i so fe x p l i c i ti n t r o d u c t i o no ft h e o r ya n dm e t h o d so fw a v e l e t ，w e i n t r o d u c et h ef u n c t i o no fw a v e l e ti nt h ea p p l i c a t i o nt od i g i t a lw a t e r m a r k i n g a n dt a r g e tt r a c k i n g t h et h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o ni san e wm a t hb r a n c hw h i c he m e r g e s i nr e c e n ty e a r s ，i ti sal o c a lt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nt i m ed o m a i na n df r e q u e n c y d o m a i n d u et ot h ed e v e l o p m e n ta n dt h ep e c u l i a r i t yo ft h ew a v e l e tt r a n s f o r - m a t i o n ，t h ed i g i t a li m a g ew a t e r m a r kt e c h n o l o g yw h i c hi sb a s e do nw a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n ，h a sb e c o m et h ef o c u so fw a t e r m a r kr e s e a r c h i m a g et r a c k i n g i sa na c t i v et o p i ci nc o m p u t e rv i s i o nd o m a i n ，a n dh a sw i d e l ya p p l i e di nv i s u a l m o n i t o r i n g ，h u m a n - m a c h i n ei n t e r a c t i o na n dr o b o tn a v i g a t i o n ，e t c t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e ri ，w eg i v eab r i e f i n t r o d u c t i o no ft h ew a v e l e tt h e o r y , t h ed e v e l o p m e n to fw a t e r m a r ka n dt h eg e n - e r a ls i t u a t i o no ft h et a r g e tt r a c k i n g i nc h a p t e ri i ，w ed e r i v eaw a t e r m a r k a l g o r i t h mi nt h ew a v e l e td o m a i n ，a n di ti sb a s e do nt h es c r a m b l i n gt r a n s f o r - m a t i o n w i t h i nt h i sa l g o r i t h mt h ew a t e r m a r ki sa d o p t e df r o mt h eg r a yi m a g e i no r d e rt oe n h a n c et h es a f e n e s sa n dr o b u s t n e s so ft h ew a t e r m a r ks y s t e m ， w ef i r s t l yp r e t r e a tt h ew a t e r m a r ki m a g eb ys c r a m b l i n gt r a n s f o r m a t i o nb e f o r e e m b e d i n g t h e nw ee m b e dt h ew a t e r m a r ki n t ot h em i d d l eo rh i g hd w t c 伽 e f f i c i e n t s ，s ot h a tw ec a nh a v eag o o db a l a n c eb e t w e e np e r c e p t u a li n v i s i b i l i t y a n dr o b u s t n e s s i nc h a p t e ri l l ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ep a r t i c l ef i l t e rt h e o r y a n di t si m p l e m e n t a t i o n w eu s ei tt os o l v et h et a r g e tt r a c k i n gp r o b l e m sa n dt o c o n s t r u c tt r a c k i n gf r a m e w o r kw h i c hi sb a s e do nt h el i k e l i h o o df u n c t i o n s f i - n a l l yw ei n v e s t i g a t et h et a r g e tt r a c k i n gm e t h o d s w i t hw a v e l e tc h a r a c t e r i s t i c s b yt h er e p r e s e n t a t i o n sw h i c h a r et a k e nt h eg o a lb yt h ew a v e l e tc h a r a c t e r i s t i c s 1 1 1 k e yw o r d s ：p a r t i c l ef i l t e r ；t a r g e tt r a c k i n g ；d i g i t a lw a t e r m a r k ；w a v e l e tt r a n s - f o r m ：a l g r i t h m ； 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ：幢y 昂 a 文1 年i 乒j 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ： 年月 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波分析理论 小波分析是当前数学中个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用 十分广泛的双重意义小波分析作为近二三十年从工程、物理及纯数学发展起来 的综合学科，吸引着越来越多的来自不同行业的科技工作者信号小波分析、小波 分析鹪翦宰珐和积分变换己经取得了令人兴奋的成绩，其它更广泛的应用正在被 研究小波分析是目前国际上公认的最新的时频分析工具，其“自适应隆”和“数 学显微镜”的性质是众多工作者爱不释手的分析工具经过二十多年的发展，小 波分析已经成为了国际上科技学术界高度关注的前沿领域 f o u r i e r 变换 6 是信号- 在量阶时域内的积分，f o u r i e r 频膳只是信号 i 碎的 统计杼陛，没有局部化分析信号的功能它虽然能将信号的时域和频域特征联系 起来，但却不能将它们有机地结合起来对信号进行分析，这样的方法只适合处理 平稳信号，无法处理非平稳信号 g a b o r 变换 1 5 在定程度匕克服了f o u r i e r 变换不具有局部化分析能力的 问题，但也存在着些缺陷：g a b o r 变换的时频窗口的形状一旦选定就是不可改 变的，即不能根据待分析信号频率的变化而改变分辨率g a b o r 变换的品质因数 q 是随x 变化而变化的，所以它不能准确反映信号的特| 生；g a b o r 变换所得结 果受窗口函数的影响，有定的失真，无论x 和s 如何离散化，g c ( x ) ，s ( t ) 都不能形成若l 2 ( r ) 上的正交基 与f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，小波变换是个时 间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算 功能对函数或信号进行多尺度细化分析当a 值较小时，时轴匕观察范围小，而 在频域匕相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察；当 a 值较大时，时轴上观察范围大，而在频域上相当于用较低频小波做概貌观察， 很符合实际工作的需要，从根本e 克服了f o u r i e r 分析只能以单个变量描述信号 第一章绪论 一 2 的缺陷，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题，小波变换被誉为“数学 显微镜” 目前，小波分析已经成功的应用于信号处理，语音分析、模式识别、数据压缩、 地震勘探、c t 成像、数字水印、天文学、计算机视觉、分形、湍流、目标跟踪 等方面由小波分析带来的高新技术成果迅速增加，其研究正向纵向发展 1 1 1 小波概念 小泼( w a v e l e t ) 即小区域的波，是种特殊的长度有限、平均值为0 的波形 小波函数的定义为：设皿( ) 为平方可积函数，即皿( t ) l 2 ( r ) ，若其傅立叶 变换皿) 满删： c 霍= 上警虮。 则称皿( ) 为个基本小波或小波母函数，我们称式( 1 1 ) 为小波函数的可容 许件由小波的定义，可知其有两个特点：是“小”，即在时域具有紧支集或近 似紧集；二是正负交替的“波动性”，也即直流分量为零 将小波母函数皿( t ) 进行伸缩和平移，设其伸缩因子( 或称尺度因子) 为a ， 平移因子为b ，令其平移伸缩后的函数为皿。，6 ( 亡) ，则有 嘣归丽1 皿( 等) 。，b er ；口 。 ( 1 2 ) 称础( ) 为依赖于参数a ，b 的小波基函数由于尺度因子a 和平移因子b 是连续变化的值，因此称皿口6 ( t ) 为连续小波基函数 1 1 2 连续小波变换 在信号分析与处理中，为了提高算法的效率对信号进行变换处理的积分核应 属于正交基，作为信号分析的有效数学工具的标志应是可变窗口、平移功能和正 交陛。g a b o r 提出的g a b o r 变换为此迈出了关键的步，因为g a b o r 变换已具 第一章绪论3 备了平移功能，只是其相当于放大倍数固定的显微镜而已在这方面m o r l e t 为 此作了重大贡献下面我们就给出小波变换的定义 给定个基本函数砂( t ) ，令 姒归去妒( 等) ( 1 3 ) 式中a ，6 均为常数，且a 0 显然，忱，6 ( t ) 是基本函数矽( t ) 先作移位再作 伸缩以后得到的若a , b 不断地变化，我们可得到族函数矽o ，b ( t ) 给定平方可 积的信号x ( t ) ，即x ( t ) l 2 ( 冗) ，则x ( t ) 的小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ，w t ) 定义为： w t x ( a , b ) = 击仁邢m 等却咖) ( 1 4 ) 式中，a ，b 和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换( c w t ) 信 号z ( ) 的小波变换w 己a ，b ) 是a 和b 的函数，b 是时移，a 是尺度因子 矽( ) 又称为基本小波，或母小波饥，6 ( ) 是母小波经移位和伸缩所产生的族 函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基这样， ( 1 4 ) 式的小波变换又可 解释为信号x ( t ) 和族小波基的内积 母小波可以是实函数，也可以是复函数若z ( t ) 是实信号，砂( t ) 也是实的， 疋a ，b ) 则也是实的；反之，w 疋( 口，b ) 为复函数 在( 1 - 3 ) 式中，b 的作用是确定对z ( t ) 分析的时间位置，也即时间中心尺 度因子。的作用是把基本小波妒( t ) 作伸缩由矽( t ) 变成矽( ：) ，若a 1 ， 则砂( ：) 的时域支撑范围( 即时域宽度) 较之砂( ) 变得越大；反之，a t ，可以判定被测图像中有水印w 存在；否则，没有水印w 这实际上是个假设检验问题，丁通常为一门限，其 选择要同时考虑虚警概率和漏警概率t 减小，漏警概率降低而虚警概率提高； t 增大，虚警概率降低而漏警概率提高所谓虚检( f a l s ep o s t i v e ) 就是将没有水 印信号的数据误认为含有水印信号所谓漏检( f a l s en e g a t i v e ) 就是未能从含有 水印信号的数据中检测到水印信号。在实际应用中，更注重对虚检概率的控制 1 3 玩 h ：l = 0 缈 彬 从 g - - 章基于小波特性的数字水印算法 在些应用场合下，水印的检测允许有原始图像的辅助而在另外些场合 下，有可能无法得到原始图像通常，由于水印信号与原始图像信号相比弱得多， 没有原始图像相助的检测方法更加困难也就是说，借助原始图像，水印算法的 抗噪声稳健| 生能更好些 在八侗变换和几何失真的情况下，水印分量的同步问题也将使水印检测更加 复杂 2 2 基于小波特性的数字水印算法 2 2 1 图像小波多分辨分解 为了使嵌入的水印对有损压缩具备较强的稳健i 生，在水印的嵌人过程中，把原 始图像通过二维小波变换分解为3 层多分辨率塔式结构，如图3 1 所示其 | l l 3l h 3 i | h l 3h h 3 l h 2l h l i | ( 承平方向) l h l 2h h 2 l i | l h l ih h l l l ( 霪鼢方向)( 对角线方向) 图3 1 小波分解系数示意图 中在多分辨分解的第3 层中，最低子带l l 3 包含了原始图像的最低分辨率信息， 而h l 3 ，l h 3 和h h 3 是l l 3 的精细图像信息，第3 层中的h l 3 ，l h 3 和 h i - 1 3 图像包含了第2 层参考图像( h l 2 ，l i t 2 和h h 2 ) 的近似信息，而第2 层中的图像( h l 2 ，l i 2 和h h 2 ) 又包含了第1 层参考图像( i t l l ，l i t l 和h h1 ) 的近似信息从而可见，对于小波变换处理后的图像分成的低频、高频 两个部分中，低频部分包含图像的基本特征，在图像重构算法中起主导作用，对 1 4 第二章基于小波特性的数字坐塑笠法 图像茨复质量影响很大，若在此频段嵌入，水印会使图像视觉质量下降；高频区 域系数的变化对图像可祝| 生的影响小于低频区域，可在该区域嵌入水印，但是在 图像的高频段嵌入水印，又会使水印被压缩过程中的量化等操作破坏掉，因此， 综合考虑水印的鲁棒陛和隐蔽| 生要求，我们将水印嵌入到小波变换的第二级的高 频子带和第三级高频子带的对角分量上，这样选择的目的，是尽可能保持水印处 理晤的图像质量因为各级小波子图叉寸视觉系统的影响是不同的，随着分级的增 加，其重要隆也随之增加，在同_ 尺度下，水平、垂直子图的重要陛j 哨高于对角 子图，人眼对水平、垂直分量上的变化比对角线分量上的变化要敏感 2 2 2 水印信号的预处理 ( ；) = ( ：三) ( 二) c m 。d ， c 2 3 ， 中，a r n o l d 变换将会把原先i 壹到损坏的比特分散开来，减少其对人视觉的影响， 墨三主垂主! ：堕! 盐! ! 塑至查! 墨盘 1 6 相应地提高了数字水印的鲁棒性考虑到数字图象的需要，基于位置的图象置乱 的a r n o l d 变换可改写为 ( 川： 。1 几 z 儿尸 。“ 下表列出了不同阶数下二维a r n o l d 变换的周期 23567891 01 21 62 4 周期3431 2 61 21 21 25 0 n3 24 04 8 5 0 5 6 6 41 0 0 1 2 01 2 51 2 82 5 64 8 05 1 2 周期2 43 01 25 02 41 5 06 02 5 01 2 0 3 8 4 表32 不同阶数下二维a r n o l d 变换的周期 对水印进行a r n o l d 置乱一方面达到了提高鲁棒性的目的，另一方面也可以利用 置乱变换的周期性按照置乱的次数来作为密钥趣加密的作用经置乱后的水印 为口7 ，阶数为n 图a 原始水印图b 为经2 0 次置乱处理后的水印z ， 一。f 图a 囝b 5 223 水印的嵌人算法 第二章基于小波特性的数字啦印差法 ( 1 ) 对原始图像f ( x ，y ) 用h a i r 小波对图像进行3 级分解得到低频分 量小波系数f ( l l 3 ，z ，) 、水平分量小波系数( l k ，z ，y ) 垂直分量小波系数 ( h l 竹，z ，y ) 和对角分量小波系数f ( h 风，z ，可) ，佗= l ，2 ，3 ( 2 ) 将文字水印信息采用a r n o l d 置乱算法进行置乱 ( 3 ) 将置乱舌的文字水印u ( z ，y ) 进行级小波分解，得到低频分量小波系 数w ( l l ，z ，y ) 、水平分量小波系数c v ( l h ，z ，y ) 、垂直分量小波系数w ( h l ，z ，y ) 和对角分量小波系数u ( 日日，刀，y ) ( 4 ) 对小波变换后的原始图像的第二级的高频子带和第三级高频子带的对 角分量匕进行水印的加法嵌入算法处理： f ( z ，可) = f ( x ，可) + a w ( x ，y ) 其中，一( z ，可) 是嵌入水印图像的小波系数，f ( z ，可) 是原始图像的小波系数， o t 用来控制嵌入的文字水印强度，a 取值大，水印稳健，但水印对原图像影响明 显即水印视觉不可觉察性差；反之，a 取值小，水印不可觉察陛好，但水印弱 实验中利用人眼视觉掩蔽特陛来折衷选取o z 值u ( 。，y ) 是在原始图像( z ，y ) 的 位置匕嵌入的水印小波系数值 ( 5 ) 用全部的小波系数进行小波逆变换，得到含有水印信息的重构图像 5 2 2 4 水印的提取算法 ( 1 ) 对嵌入水印图像，( z ，y ) 进行三级小波分解，得到低频分量小波系数 ，7 ( l l 3 ，z ，) 、水平分量小波系数，7 ( l 巩，x ，y ) 、垂直分量小波系数，7 ( h l n ，。，y ) 和对角分量小波系数，( 巩，z ，耖) ，竹= 1 ，2 ，3 同理对原始图像( x ，y ) 进行三 级小波分解 ( 2 ) 对小波变换后的含水印图像和原始图像进行水印的提取算法处理： u ( 删) ：塑型) 二坠! 塑 1 7 第二章基于小波特性的数字水卫生蔓鎏 在计算水印的低频分量小波系数时，可从原始图像的两个小波分解子带得到该系 数，将得到的两个值的平均值作为最后的水印的低频小波系数 ( 3 ) 将得到的水印小波系数作小波逆变换 ( 4 ) 将上_ 步得到的水印信息进行逆置乱变换，得到提取出的水印图像 2 2 5 实验与结论 为了评价提取出的水印与原始水印的相似程度我们引入相关性的概念相关性 计算如下式： r = 龋( 2 1 5 )。一l f u u + f | 也引入峰值信噪比( p s n r ) 的概念，公式如下： p s n r = 1 0 l o g ：严( 2 1 6 ) 其中m s e = 专笛1 ( 鼽一戎) ，p t 为原图像点值，硪为重建图像点值单位 d b ，p s n r 表征了嵌入水印后图像的失真程度，p s n r 值越高表示失真越低，算 法视觉透明性越好在实验中对标准2 5 6 2 5 6 的m o n k e y 图像进行了三级小 波分解，小波基函数采用h a a r 小波，水印图像是3 2 3 2 二值图形，下图为原 始图像，嵌入水印的图像遭受剪切和椒盐噪声攻击的有水印图像 茎三主垫士：! ：生堑垦! ! 塾至查! 墨选 1 9 原始图t - 剪切图像 嵌九水印田悔 掭加噪声图像 囹2 3 原始图象巍拣印图像及裁剪的图象和有噪声图像 图像 未进行a r n o l d 变换的图像剪切图像 嚣加噪声的图像 信噪比( p n s r ) 3 97 1 1 41 89 2 6 9 i 提取水印相似度fr ) 09 9 4 1o9 6 9 407 4 4 3 图像进行a r n o l d 变换的图像剪切图像添加噪声的图像 l 信噪比( p n s r ) 3 97 1 1 41 86 2 7 9 2 45 4 4 9 l 提取水印相似度( r ) 09 8 1 7 07 5 5 5 图像见图23 ；表格1 是未经a r n o l d 变换n 取0 1 5 第一列是加入水印后的图 象提取出的水印信息、水印的相关性以及峰值信噪比值，第二列是对加水印后的 图象进行剪切攻击后提取出来的水印信息、水印的相关性咀及峰值信噪比值；第 第二章基于小波特性的数字啦塑笠洼 三列是列力础印的图象进行加入椒盐噪声攻击后提取出来的水印信息、水印的 相关f 生以及峰值信噪比值。表格2 是经过a r n o l d 变换q 取0 1 5 第一列是加入 水印后的图象提取出的水印信息、水印的相关陛以及峰值信噪比值，第二列是对 加水印后的图象进行剪切攻击后提取出来的水印信息、水印的相关陛以及峰值信 噪比值；第三列是对加入水印的图象进行加入椒盐噪声攻击后提取出来的水印信 息、水印的相关陛以及峰值信噪比值可见，利用小波变换陕速、简单和多分辨 率的特点，选取合适的水印参数，对水印信息进行置乱处理，将水印信号隐藏在 图像的第二级的高频子带和第三级高频子带的对角分量上，原图像和水印化图像 从主观视觉效果上感觉不到图像的变化，人h 斯黝辨出它与原图像的差别，并 目在遭到剪切攻击及加入噪声攻击后依然可以提取出水印信息，所以说保证了水 印的鲁棒蜘水印隐蔽| 生要求 在本支之前有人做煳jd a u b e c h i e s 系列【1 6 小波对原图像和水印图像进行 多分辨分解然后进行a r n o l d 水印置乱变换，但本文采用的h a a r 小波对原图像 和水印图像进行多分辨分解比起d a u b e c h i e s 系列小波来它的编程比较简单，运 算量也比较小这主要因为h a a r 小波基是一种形式最简单的既具有正交| 生且又 具有支撑陛睁 生的小波基它只需要按照基本的特征函数进行二进制的伸缩和平 移即可得到，但d a u b e c h i e s 系列小波得到比较复杂，运算量也= 噌加许多 第三章基于似然粒子滤波中的小波特征目标跟踪 第三章基于似然粒子滤波中的小波特征目标跟踪 3 1 粒子滤波理论 3 1 1 贝叶斯滤波原理 贝叶斯滤波原理的实质是试图用所有已知信息来构造系统状态变量的后验概 率密度，即用系统状态转移模型预测状态的先验概率密度，再使用最近的观测值 进行修正，得到后验概率密度这样，通过观测数据z l ：k 来递推计算状态x k 取 不同值时的置信度p ( x kl z , ：七) ，由此获得状态的最优估计 1 l ，1 2 ，1 3 ，i 4 ，其基本 步骤分为预测( p r e d i c t i o n ) 和更新( u p d a t i n g ) 两步 假设已知概率密度的初始值p ( x o l z o ) = p ( x o ) ，并定义。七为系统状态( 比如目前 的运动状态；位移，旋转，尺度等等) ，z k 为对系统的观测值( 比如获取的视频图 象) 递推过程分为两个步骤： 第步：预测( p r e d i c t i o n ) ，即由系统的状态转移模型，在未获得k 时刻的观测 值时，实现先验概率p ( z k l z 1 ：七一1 ) 至先验概率p ( x k i z l ：一1 ) 的推导 假设在k - 1 时刻，p ( x k il z i ：k 一1 ) 是已知的，对于一阶马尔可夫过程( 即k 1 时刻的概率仅与k - 2 时刻的概率有关) ，由c h a p m a n - k o l m o g o r o v 方程，有； p ( z 詹i z l ：七一1 ) = p ( x k l x k 1 ) p ( z k 一1 i z l ：k 1 ) d z 七一1 ( 3 1 7 ) 即得到不包含k 时刻观测值的先验概率，并可以由系统的状态转移概率p ( x k l x k 一1 ) 来计算第二步：更新( u p d a t e ) ，即由系统的观测模型，在获得k 时刻的观测值 孙后实现先验概率至后验概率的推导获得观测值魂后，由贝叶斯公式 邢l 。) = 帮 有。 2 1 笙三主叁丝丛垫鎏选主鱼：! ：壅壁垒旦竖堕 2 2 p ( z k l 名m ) = 辔 将观测量z k 独立出来，有： p ( z l ：k l x k ) = p ( z k ，z l ：七一1 l z ) ，p ( 名1 ：知) = p ( z k ，z l ：k ) 将匕两式代入( 3 2 ) 式得： p ( x k l 魂肛唑蔫掣 由条件概率定义p ( a ，b ) = p ( a l b ) p ( b ) 有： p ( z k ，z l ：詹一1 ) = p ( z 七l z l ：屉一1 ) p ( z 1 ：七一1 ) 由联合分布概率公式p ( a ，b l c ) = p ( a l b ，c ) p ( b l c ) 有： p ( z k ，z l ：七一ll x k ) = p ( z k l z l ：七一l ，z ) p ( z 1 ：七一1i z ) pz l ：k - 1 1 训= 剑气学剖 将( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，和( 3 6 ) 式代入( 3 3 ) 得： 酬钆扣剑专麓狲篆铲 假设各个的观测是相互独立的，则有： p ( z k l z l ：七一1 ，x k ) = p ( 钆l 钆) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 将( 3 8 ) 代入( 3 7 ) 式，并消去分子和分母的共同项p ( z l ：知一1 ) p ( 轧) ，得： 酬钆沪掣辫 ( 3 2 5 ) 其中，p ( z ki x 知) 称为似然隆( 1 i k e l i h o o d ) ，表征系统状态由x k 一1 转移到x k 后 第三章基于似然粒子滤波中鲍! ! ：选赞征目标跟踪 和观测值的相似程度。p ( x 七i z l ：k 一1 ) 为匕步系统状态转移所得，称为先验概率 ( p r i o r ) p ( z k l z l ：七一1 ) 称为证据( e v i d e n c e ) ，般是个归化常数 这样( 3 1 ) 式和( 3 9 ) 式构成了个由先验概率p ( x k i i z l ：凫一1 ) 推导至后验概率 p ( 瓢i z l ：k ) 的递推过程。首先由k 盹列的先验概率p ( x k 一11 z l ：k 一1 ) ( 也就是k - 1 时刻 的后验概率) 出发，利用系统状态转移模型来预测系统状态的先验概率密度p ( z kz - ：k 一1 ) ， 再利用当前的观测值z k 进行修正，得到k 时刻的后验密度p ( x kl z l ：) 由上两步求得状态变量x , o ：惫的后验概率分布p ( x o ：詹阮k ) 后，根据蒙特卡罗仿真 原理，那么任意函数9 ( ) 的数学期望 r e ( g ( x o ：七) ) = g ( x o ：知) p ( z o ：七i z l ：向) d z o ： ( 3 2 6 ) 可以用 取而面= 寺9 ( z ( 3 2 7 ) f v _ o = 1 来近似其中离散样本 z j ：，i = 0 ) 是从舌验概率分布函数中产生的个 点的独立同分布序列当足够大时，e ( 夕( z o ：k ) 绝对收敛于e ( g ( x o ：七) 由( 3 1 ) 式和( 3 9 ) 式可以得到种求后验概率的递推方法，但这只是理论上的 处理方法，实际上由于( 3 1 ) 式的积分是f 艮难实现的，不可能进行精确的分析 在某些限制性条件下，有几种可实现的方法，比如卡尔曼滤波器和网格滤波器 3 1 2 粒子滤波器 满足系统为线陛，噪声高斯分布的假设后卡尔曼滤波 2 5 满足最优估计，但 是这些条件通常很难满足因此近年出现了粒子滤波方法 9 其基本思想是利用 绍带有相关权值的随机样本，以及基于这些样本的估算来表示后验概率密度 当样本数非常大时，这种估计等同于后验概率密度 贝叶斯重要性采样( b i s ) 如( 3 1 1 ) 所示，个函数的后验分布可以用一系列离散的粒子来近似表示 一一：箜三主垂王堡签垫至盗壅鲍：! ：逛壁垒旦堑墨堕 2 4 近似的程度高低依赖于粒子的数量n 通常函数的后验分布密度是无法直接得到 的，而贝叶斯重要陛采样定理描述了这个问题的求解方法 贝懒崃样翘( b a y e s i a ni m p o r t a n c es a m p l i n g ，b i s ) 肋从叶已 知的，容易采样的参考分布q ( x 嘶i z ：七) 中采样，通过对参考分布的采样粒子点进 行加权来近似p ( x o ：k z l ：) 对( 3 1 0 ) 式做变形可得： e ( g ( x o ：七) ) = 9 ( z 。) p q l ( z x 。o ：膏k i z z 。l ：七k ，) ，q ( z 。：m 1 名- ：岛) d z 。：七 由贝叶斯公式可以得到下式： p ( x k l z m ) = 血铲 将( 3 1 3 ) 式代入( 3 1 2 ) 式得： e ( 夕( z o ：七) )9 ( z o ：t ) 暑乏詈兰渊g ( z o k i z k 知) d z o ：t 9 【z o ：。石i 云五玎j i i j ；玎：；：万g l z o ：k i z l ：知j q z o ：2 g ( x o ：k ) 其中o j k ( x o ：七) 不是归化权值： “j k ( x o ：k ) p l ：k q ( x o ：k z z ：七) d x o ：七 砒柚= 毪辫 其中p ( z 1 ：七) 可以表示为： p ( 名1 ：知) =p ( z l ：k ，x o ：k 蚴 厂坐世坠攀竿娑型型：七 g ( z o ：ki z l ：七) ”。“ = 州训出呲) e 将( 3 1 6 ) 式代入( 3 1 4 ) 式得： e ( g ( x o ：七) ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 笙三主叁士垡丛鳖至鎏选主丝：! ：选壁垒旦塑堕 2 5 从参考分布采样后，数学期望近似表示为： e ( 9 ( z o ：七) ) 其中白k ( o ：七) = 序列重要 ：壶圣篓! 望终幽盟： - 丙1 。k k ，【o 。：j k 、) n 9 ( z 鼹) 矾( 鼢 t = 1 ( 3 3 4 ) 彘为归稍， z g ：是从g ( 孙岛i z ：七) 中抽取出的 为了对后验分布j 新亍j 羞推形式的估计，将上述b i s 算法写成序列形式，即s i s 算法此时参考分布q ( x o ：七阮七) 改写为： q ( x o ：k z l ：七)= q ( x k l x o ：七一1 ，z l ：k ) q ( x o ：凫一1 z l ：七一1 ) ( 3 3 5 ) 假设系统的观测模型服从马尔可夫过程，那么通过由q ( x o ：七一11 z l ：知一) 得到的支撑 点集x o 。：一1 和由q ( x kl x o ：七一1 ，z l ：) 得到的支撑点z ：，可以获得新的支持点z j ： 则权值更新公式可以做进步推导，将( 3 1 9 ) 式代入式( 3 1 5 ) 得： p ( z l ：l z o ：) p ( z o ：k ) 2 而而磊j 五顾瓦= 医习g l z i 上o ：一l ，名l ：j g i z o ：k l i z l ：七一l j 又由( 3 1 5 ) 式可得： p ( z l ：七i z o ：) p ( z o ：七) o ) k - 12 _ 1 t q ( x o ：k 一1i z h k 一1j 合并( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 可得： p ( z 1 ：al x o ：惫) p ( z o ：后) 1 魄2 q p 7 i z i l ：a 而1x o ：k 习p 磊( x o ：k _ q x 再kx = o ：ki 1z 弋l ：k )一jl jl一 p ( z a l x 七) p ( x k x a 一1 ) 2 。1 可习元k = 1 五万kq i z 惫l z o ：一，z 1 ：j ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 进步如果状态估计的过程是最优估计，则参考分布概率密度函数只依赖于z k 一1 和z k ，即： q ( x k l x o ：一1 ，z l ：七) = q ( x a l x k 一1 ，z l ：) 进行抽样之后，对每个粒子赋予权值“，：，将( 3 2 3 ) 式代入( 3 2 1 ) 式得 i = _ 0 3 1 嚆拦辫 ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) 第三章基于似然粒子滤波中的小煎赞征目标跟踪 这样，参考分布的选择的关键是如何合理选择q ( x k l x i 一。，z k ) ，因为g ( 矾l z ：一。，z k ) 的最优选取力甚毛黾： q ( z 七i z 一1 ，钆) 。p t = p ( z k l 4 1 ，z k )( 3 4 1 ) 在这种选择下，参考分布口( 陂一。，z k ) 等同于真实分布，则对于任意粒子。；巾 都有权重u ：= 专，v a r ( w ：) = 0 ，此时： u ；= u ；一，p ( z k l z e ) p ( z m l z ：一- ) d z 惫 ( 3 4 2 ) 但上述参考分布的最优选择方法有两个严重缺陷，首先真实分布p ( z 舟l z ：一。，z k ) 通 常无法得到，其次匕述积分般无法求解 因此最常见的参考分布选择为先验密度： 代入( 3 2 4 ) 式得： g ( z 七l z 一l ，z k ) = p ( z i z ：一1 ) ( 3 4 3 ) ：= u ：一1 ；( z k l x ；) 退化现象以及再采样定理 ( 3 4 4 ) s i s 算法存在的个基本问题就是退化现象( d e g e n e r a c yp r o b l e m s ) ，即经 过r 1 步迭代递推后，许多粒子的权重变得非常的小，只有少数兀个粒子具有较大 权值，大量的计算则浪费再小权值上权重的方差随着时间增大，从而基化现象 无法避免 解决退化现象般采用重采样原理，其基本思想是通过后验概率密度再采样n s 次，产生新的支撑点集( z ：) 盘，保留或复制具有较大权重的粒子，剔除权重最小 的粒子，使得原来的带权样本 x o 。：。，仇( 。j ：。) ) 映射为等权重样本 z j ：。，n 1 ) ，这 样( 3 1 8 ) 式变化为： 1 n s 骊= 忐g ( 翻 ( 3 4 5 ) 第三章基于似然粒量逵选丝尘逵堑堡旦掺璺蹿 图3 1 重采样原理示意图 图3 1 为重采样原理的示意图t 一1 时刻的先验概率由若干权值为_ 1 的粒子 近似表示( 图中仅画出1 0 个粒子) ，经过系统观测后( 第步) ，重新计算粒子 的权值越! ，较符合实际悍舰的粒子( 即波峰处的粒子) 被赋予较大的权值( 图 中表示为面积大的粒子) ，而偏离实l 斩精况的粒子( 即波谷处的粒子) 被赋予较小 的权值( 图中表示为面积小的粒子) 第二步即是重采样过程，权值大的粒子衍生出较多的“后代”粒子，而权值小 的粒子相应的“后代”粒子也较少，并且“后代”粒子的权值被重新设置为 第三步是系统状态转移过程，通过加入随机量预测每个粒子在t 时刻的状态 第四步则是t 时刻的系统观测过程，与第步致，并目通过若干粒子的加 权得到目标状态的最终表示 3 2 基于似然函数的粒子滤波 为了降低重要陛f 又值的方差，提高抽样效率，重要密度函数应尽可能的接近系 统状态后验概率因此合理的选择重要密度函数已经成为里粒子滤波器设计中最 关键的步骤，实际应用中应根据具体情况选择不同的重要密度函数简单和易于 o r_lljlj-_、1，ilj 第三章基于似然粒子滤波主鱼! ! ：选壁堡目标跟踪 实现的方法是先使之等于先验密度，再利用系统状态的转移概率矩阵不断获得新 的重要密度函数，进行抽样在观测数据精度不高时，该粒子滤波器的效果较好 前面介绍的八种粒子滤波器都属于这种类型的粒子滤波器但是这种方法所产生 的预测样本没有考虑系统状态的最新值，由此产生的样本同真实的后验概率产生 的样本相比偏差较大，有一定的盲目性特别是当观测数据出现在转移概率分布 的尾部或似然函数同转移概率分布相比过于集中( 呈尖峰型) 时这种类型的粒- - y - 滤波器可能失效，然而这种| 青况在高精度的观测场合经常遇到当似然函数同转 移概率分布相比过于集中时，似然函数比先验密度更接近于后验密度。重要睦函 数是对舌验分布的近似，因此在似然函数的基础上使用个更好的近似，而不是 使用先验分布作为重要陛函数，应该能够起到更好的跟踪效果为方便起见，在 这里记8 k = ( z ) 2 关于s 七上的先验分布概率密度函数p ( s k l z k ) 根据贝叶斯公 式可以写成如下形式： ， p ( s 知1 名) 。( p z 膏l s k ) ， s 七o ( 3 4 6 ) j0 ， 其他 重复从p ( s k l z k ) 中抽样s 七，直到p ( s i ) 0 亦即是说s k 0 为止，记s k 为s 2 一p ( s 后i 魂) ，接着用p ( i s ：) 做对三角函数： 删s ：) ：坠二盟掣塑通( 3 4 7 ) 再用p ( 观1 4 ) 构造重要陛函数故，这样样本z ：只取决于，而与z ：一l 无关 q ( z k l 一1 ，z 1 ：七) o ( p ( z l s ) p ( s 詹i z k ) ( 3 4 8 ) 权重的更新公式可以计算得到： 心诟，攀糕掣 = i 罐涨 江4 9 ， tp ( z l ：1 名七) p ( 魂) p ( z ：i z ：1 ) 可丽羽两菥 第三章基于似然粒子滤波中鱼! ! ：选壁征目标跟踪 现