（基础数学专业论文）关于正则半群和广义正则半群的研究.pdf

山东师范大学硕士学位论文 关于正则半群和广义正则半群的研究 王丽丽 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文定义了某些广义正则半群，给出了它们的结构定理及某些性质定理，具体 内容如下： 第一章给出引言与预备知识 第二章给出了p i - 强2 p 富足半群的定义，并给出p ，一强夕p 一富足半群的 一个结构刻画定理，主要结论如下： 定义2 1 1s 是半群，p 汐( s ) ，若对任意的a s 理ne ( s ) 历，则称s 为强乡p 富足半群，记此唯一元为扩 定义2 1 3s 是半群，称s 为p ，强p p 富足半群，若s 为满足置换恒等 条件的强? p 一富足半群 一 定理2 2 1s 是一个p l 强乡p 。富足半群s 是某正规带b = 【y ；糊和 交换c - i ；p 一纯正群并t = 【y ；。】关于半格y 的织积bx yz 第三章定义了幂等相连的肌适当半群，并给出幂等相连的一适当半群上的 保乡“勿料同余的等价刻画主要结论如下： 定义3 2 1半群s 称为幂等相连( i c ) 的，若v a e 对某个矿幸三：+ n e ( s ) ，a 一磁+ ne ( s ) ，存在双射q ： _ ，满足比 ，有 x a = 8 ( 。a ) ，且存在双射芦： 一 ，满足v y ，有a y = ( y z ) a 此时，我们称乜，p 为相连双射，称满足幂等相连条件的肌富足半群s 为幂等相 连的可以富足半群( 记为，d w 一富足半群) 定理3 2 7 肌适当半群s 为型4 半群兮v a s ，q 口：a e _ a “e ，刀h ( z o ) ”，尻：o e _ a - e ，yh ( n 可) 一为互逆同构 定理3 2 8w 适当半群s 为i c 的兮s 为型一a 半群 第四章定义了拟半适当半群，半适当半群并给出了拟半适当半群上极小半适当 保彤一勿同余的等价刻画及性质定理主要结论如下： 定义4 1 1 半群s 称为拟半适当半群，如果s 为半富足半群且e ( s ) 形成子 半群 1 山东师范大学硕士学位论文 定义4 1 2 拟半适当半群s 称为半适当半群，如果e ( s ) 形成半格 定理4 2 8 如j = ( 口，b ) l e ( a 7 ) n e ( 五) = e ( b ) 6 e ( 6 ) ) ，则6 含在任意半适当同 余p 中 定理4 2 9s 为拟半适当半群，6 为s 上同余，则6 为保卫一勿同余兮如 a 6 e ( 。影j ) ，贝4 | z e ( s ) ，使a 6 = z 6 定理4 2 1 0 如j 为保髟勿同余，则6 为s 上极小半适当保? 一历同余 定理4 2 1 1 巧为同余 c a ，b sa e ( 5 ) e ( b 7 ) 6 e ( ( 0 6 ) 7 ) n 6 e ( ( 口6 ) ) 定理4 2 1 3 澎n 艿= 1 。 第五章定义了型a 一2 一半富足半群，并给出了型a j 纺半富足半群的平移壳 的结构定理主要结论如下： 定义5 1 3 半群s 称为型a 一2 一半富足半群，如果s 为强z 一半富足半群， e ( s ) 为半格 定理5 2 1 l 设s 为型a 一2 半富足半群，p 为右同余，则q ( s ) 为型a 一2 一 半富足半群 关键词：半群，一富足半群，p l 强影p 一富足半群， i c - w 一适当半群， 型a 一只半富足半群 分类号：0 1 5 2 7 2 s t u d i e so ns o m er e g u l a rs e m i g r o u p sa n ds o m e g e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s w a n gl i l i t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t t h i sp a s s a g eg i v e st h ed e f i n i t i o n so fs o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s ， a n dt h et h e o r e m sa n ds o m e p r o p e r t yo fs u c hs e m i g r o u p sa r eg i v e n t h em a i nr e s u l t s a r eg i v e ni nf o l l o w ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o n sa n dp r e l i m i n a r i e s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fp i - s t r o n g l y l 矽p - a b u n d a n t s e m i g r o u p sa n d at h e o r e mw h i c hd i s c r i b e st h es t r u c t u r eo fp i s t r o n g l y 够p a b u n d a n t s e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ：、 d e f i n i t i o n2 1 1si sa s e m i g r o u p i fe a c h 髟p c l a s so fsc o n t a i na ni d e m p o - t e n t ，t h e nsi sc a l l e da 妒一a b u n d a n ts e m i g r o u p i np a r t i c u l a r ，i ff o ra n ya s ，t h e s e t 理n 厶c o n t a i n sau n i q u ee l e m e n ta p ，t h e nsi sc a l l e das t r o n g l yl p a b u n d a n t s e m i g r o u p d e f i n i t i o n2 1 3si sas e m i g r o u p i fsi ss t r o n g l y p a b u n d a n ts e m i g r o u p s w h i c hs a t i s f i e sr e p l a c e m e n ti d e n t i c a lc o n d i t i o n s 。t h e nsi sc a l l e d p i - s t r o n g l y2 p a b u n d a n ts e m i g r o u p t h e o r e m2 2 1si sap i - s t r o n g l y z p 。- a b u n d a n ts e m i g r o u pi fa n do n l y i fsi st h es p i n e dp r o d u c to fs o m en o r m a lb a n db = y ；鼠 a n da ne x c h a n g e c 一乡p o r t h o g r o u pt = 【y ；e 】a b o u ts e m i l a t t i c ey i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eg i v ead e f i n i t i o no fw - a d e q u a t es e m i g r o u pa n ds t u d y t h ek e e p 口：汐”勿”c o n g r u e n c eo nw - a d e q u a t e s e m i g r o u p t h em a i n - r e s u l t sa r eg i v e n i nf o l l o w ： d e f i n i t i o n3 2 1si sa s e m i g r o u p si sc a l l e di d e m p o t e n t c o n n e c t e dw h e nf o r e a c he l e m e n tao fsa n df o rs o m ea + l 7n e ( s ) ，a 一成幸ne ( s ) ，t h e r ei sa b i j e c t i o nq ： _ ，s a t i s 母i n gx a = 口( z a ) ，f o ra n yz a n d t h e r ei sa b i j e c t i o np ： 一 ，s a t i s f y i n ga y = ( y z ) a ，f o ra n y y ， 3 n o w ，w ec a l lq ，罗a r ec o n n e c t e db i j e c t i o n ，a n daw - a b u n d a n ts e m i g r o u pw h i c h s a t i s f i e si d e m p o t e n t c o n n e c t e dc o n d i t i o ni sc a l l e di d e m p o t e n t c o n n e c t e dw - a b u n d a n t s e m i g r o u p t h e o r e m3 2 7si sw - a d e q u a t es e m i g r o u p t h e nsi s 乙as e m i g r o u pi fa n d o n l yi ff o ra n yai ns , a 口：a - e _ 口“e ，zh ( x a ) a n d 尻：o 料e _ a - e ，yh ( a y ) 一a r ei n v e r s ei s o m o r p h i s m s t h e o r e m3 2 8si sw - a d e q u a t es e m i g r o u p t h e nsi si d e m p o t e n t c o n n e c t e d i fa n do n l yi fsi s 、辑as e m i g r o u p i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w eg i v ea d e f i n i t i o no fq u a s i s e m i a d e q u a t es e m i g r o u p ， s e m i a d e q u a t es e m i g r o u pa n dt h em i n i m u ms e m i a d e q u a t ek e e p 。彩”一勿+ + c o n g r u e n c e o nq u a s i s e m i a d e q u a t es e m i g r o u p t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ： d e f i n i t i o n4 1 1as e m i g r o u psi sc a l l e dq u a s i s e m i a d e q u a t es e m i g r o u p w h e ni ti ss e m i a b u n d a n ta n di t si d e m p o t e n t sf o r ma s u b s e m i g r o u p d e f i n i t i o n4 1 2aq u a s i s e m i a d e q u a t es e m i g r o u psi sc a l l e ds e m i a d e q u a t e s e m i g r o u pw h e ni t si d e m p o t e n t sf o r mas e m i l a t t i c e 。t h e o r e m 4 2 8 巧= ( 口，b ) i e ( a 7 ) a e ( 5 ) = e ( b ，) 6 e ( 5 ) ) i si na n ys u b s e m i a d e - q u a t ec o n g r u e n c e - t h e o r e m4 2 ，9si sq u a s i - s e m i a d e q u a t es e m i g r o u p ，万i sa c o n g r u e n c e ，t h e n 6i sak e e p 乡+ 木、勿事c o n g r u e n c ei fa n do n l yi f a z e ( s 5 ) ，t h e ne x i s t sz e ( s ) ，口占= z 6 t h e o r e m4 2 1 0i f6i sa k e e p2 ”一统”c o n g r u e n c e t h e n6i st h em i n i m u m s e m i a d e q u a t ek e e p ，汐”一勿”c o n g r u e n c eo ns t h e o r e m4 2 1 1ji s c o n g r u e n c ei fa n do n l yi f c a ，b sa e ( 5 ) e ( b ) b e ( ( 口6 ) 7 ) 0 6 e ( ( 0 6 ) ) t h e o r e m4 2 1 3 劳n6 ：1 i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w eg i v ead e f i n i t i o no f 乡s e m i a b u n d a n t s e m i g r o u p s t r o n g l y - 2 一s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p ，a 乡s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u pa n da s t r u c t u r et h 睁 r e i no ft h ea 一兰一s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p ? st r a n s l a t i o n a lh u l l 。w h e n 窑i sr i g h t c o n g r u e n c e t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ： d e f i n i t i o n5 1 3as e m i g r o u psi sc a l l e da 一乡一s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p i f si ss t r o n g l y - z s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p ，e ( s ) i ss e m i l a t t i c e 4 山东师范大学硕士学位论文 t h e o r e m5 2 11i fsi sa 一? s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p 2i sr i g h tc o n g r u - e n c e ，t h e nt h et r a n s l a t i o n a lh a l lo fsi sa l s oa 一2 一s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p k e y w o r d s ：s e m i g r o u p s ，w - a b u n d a n ts e m i g r o u p s ，p i - s t r o n g l y2 p a b u n d a n ts e m i g r o u p ，i c - w - a d e q u a t es e m i g r o u p s ，a 一妒- s e m i a b u n d a n ts e m i g r o u p s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 5 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空)或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 、，_ 一_ 一 学位论文作者签名：土啪 导师签字： 苗刚 f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：土脚j 明 ，一一_ 签字日期：2 0 0 尸年严月乡日 导师签字：前、俑1 签字日期：2 0 c 少年孕月多日 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言与预备知识 众所周知，半群上的格林关系在正则半群的研究中起着重要作用利用各种广 义的格林关系：例如f o u n t a i n 1 定义的水一格林关系和t a n g 2 定义的幸，i c 一格 林关系，可以定义和研究一些广义正则半群。y a m a d a ，郭小江分别给出了满足置 换恒等条件的正则半群和强r p p 半群的结构刻画，李俊峰，杨棣给出了满足置换恒 等条件的强w r p p 半群的结构刻画，本文将给出尸l 强2 p 一富足半群的一个结构 定理 本文主要研究某些广义正则半群的结构，其主要思想是利用广义格林关系来研 究广义正则半群的结构 下面介绍一些基本概念： 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集合，j 5 r 上的格林木一关系： c 宰= ( a ，b ) sxs l ( v z ，y s 1a x = a y 兮b x = b y ) ， 7 已+ = ( 口，b ) s s l ( v z ，y s 1x a = y a 营x b = y 6 ) ， 7 - 1 + = c n 冗+ 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集合。s 上的格林水木一关系： c 林= ( 口，b ) sxs l ( v z ，y s 1 ) a x t z ( s ) a y 兮k 冗p ) b y ) ， 冗料= ( 口，b ) sx8 1 ( v x ，y s 1 ) x a f ( , 9 ) y a 兮x b z ( s ) y b ， 7 - 1 ”= ”n7 已” 设s 是半群，记e ( s ) 是s 的幂等元集合，s 上的格林一一关系： 2 = _ ( n ，b ) sxs l ( v e e ( s ) ) a e = a 兮b e = 6 ， 纫= ( o ，6 ) s s l ( v e e ( s ) ) e a = a 兮e b = 6 ) ， 毙：童a 饶。 易知， c ( s ) c ” 定义1 1 1 【1 】半群s 称为富足半群，若s 的每个c 一类和每个冗+ 类都含幂 等元 定义1 1 2 半群s 称为阢富足半群，若s 满足下列条件： ( 1 ) v a sl ：ne ( s ) 历，且v a 料l ：ne ( s ) ，a a = 口； ( 2 ) v a 只成4ne ( s ) 历，且v a 一成+ ne ( s ) ，a - a = a 6 山东师范大学硕士学位论文 定义1 1 3 半群s 称为半富足半群，若s 的每个髟一类和每个乡舀类都含幂 等元 定义1 1 4 2 1 】s 是半群，p 是s 上一个关系，s 称为p 左可消的，如果对任意的 a ，b ，c sa b p a c 令b p c s 称为p 右可消的，如果对任意的a ，b ，c sb a p c a b p c s 称为p 可消的，如果s 既是p 左可消的又是p 右可消的 注1 1 5 【2 1 】s 是半群，s = y ；& 即指s 是半群& ( q y ) 的半格，特别， 若s 是带，则【y ；& 即指s 的最大半格分解 注1 1 6 半群s 上所有等价关系的集合记为汐( s ) ，所有同余关系的集合记为 够( s ) ，所有左同余的集合记为2 够( s ) ，所有右同余的集合记为勿够( s ) 定义1 1 7 半群s 称为够幂等纯的，若v e e ( s ) ，e 2 ，则，e ( s ) 本文中其它未说明的概念和术语见参考文献【6 - 2 0 。 7 山东师范大学硕士学位论文 第二章p i - 强w p 富足半群的构造 2 1预备知识 s 是半群，v a s ，记a 的幂等元集为厶，其中厶= e e ( s ) i e a = a e = 口) ，2 c ( s ) 为s 的左同余集合，p 髟c ( s ) 定义上i p p 的关系为： 彩p = ( 口，b ) s s l ( v z ，y s 1 ) a x p a y b x p b y ) 容易证明2 p 为s 上的一个右同余我们下面用理表示a 所在的2 p 一类 定义2 1 1s 是半群，p 彤c ( s ) ，若v a s ，比ne ( s ) 仍，则称s 为2 p 一 富足半群，若v a si 理nl l = l ，则称s 为强2 j d 一富足半群，记此唯一元为口p 定义2 1 2 【3 】s 是半群，称s 满足置换恒等条件，如果有文字集( 1 ，2 礼) ( 扎 2 ) 上的一个非恒等置换盯，使满足恒等式： x l x 2 x n = x l 盯x 2 a z n 盯 定义2 1 3s 是半群，称s 为p l 强乡p 富足半群，若s 为满足置换恒等条 件的强w p 。富足半群 定义2 1 4 【2 1 】一个强z p 富足半群s 称为2 户一纯正群并，若e ( s ) 是带，且 满足e h r e s m a n n 型条件，即e b 条件： ( v a ，b s ) ( 0 6 ) 户勿( e ( s ) ) o p b p 引理2 1 5 【4 】带b 是一个满足置换恒等条件的带兮b 为正规带 引理2 1 6 【5 】如果s 是一个含幂等元且满足置换恒等条件的半群，则e ( s ) 是 一个正规带 推论2 1 7 如果s 是一个p ，一强乡p 一富足半群，则e ( s ) 是一个正规带 引理2 1 8 【2 1 】s 是半群，则下列叙述等价： 8 山东师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 3 p 2 g ( s ) ，使得s 是一个强夕以富足半群，且e ( s ) 是矩形带； ( 2 ) 3 p 2 g ( s ) ，使得s 是一个乡p 纯正群并，且e ( s ) 是矩形带； ( 3 ) s 同构于一个矩形幂幺半群i t a ，且3 p 7 影g ( t ) 使得丁是p 7 一左 可消的 引理2 1 9 【2 l 】j p 2 c ( s ) ，使s 为c 一乡p 纯正群并，若s = y ；列其中 咒为幂幺半群，e ( s ) 是带，3 p 口2 c ( e ) ，使得死是p 口一左可消的，且对 v a ，b 已，若a p d b ，则即q ，( 1 码o ) 卯( 1 巧6 ) 引理2 1 1 0s 是一个p l 强z 户富足半群，则v a ，b s ，总有( a b ) p = a p i y 证明设a ，b s ，令k = r a i n i l i a i ，1 i 礼) ，仇= 枷，则k a k ， 根据 a b = a a p b p b b p = o ( 扩) k - 1 a p ( b p ) m 一七一1 6 ( 矿) n 一= o ( 口p ) k - 1 b b 。a p b p = a b a p b p ， 及其对偶形式有a p l 妒k ，由于e ( s ) 为正规带，p 是s 上的左同余，对任意的 。z ，y s 1 ， a b x p a b yju p b x p a p b y = 争( 护) 七口p ( 酽) m 一七一2 b ( 扩) n m + 1 z p ( 护) 七n p ( 6 p ) m 一七一2 6 ( 6 p ) n m + 1 y j b a p b p x p b a 户b p y 令b p a p 扩x p b p a p 扩y 辛a p b p x p a p b p y 号a b x p a b y 有a p l 盘，所以( a b ) p = a p b p 口 定理2 1 1 1s 是一个p 厶强2 p 一富足半群，e e ( s ) ，令= a s l a p = e ) ， 则& 是一个交换p l & 一左可消幺半群 证明v a ，b & ，由引理2 1 1 0 有( a b ) p = a p b p = e ，即a b & ，故& 是s 的 一个子半群，且e 显然是& 的单位元如果a ，b ，c & ，使a b p i 口c ，故a b p x a c ， 而a z p a p ，则b = a p b p l s a p c = c 故b p l c ，即& 是一个p l & 一左可消幺半群，由置 换条件易证& 是可交换的 口 定理2 1 1 2s 是一个p ，一强乡p 富足半群，e ( s ) = 【y ；互0 ，对任意的o l 9 山东师范大学硕士学位论文 取e 口b ，则集合t = u 口y & 。关于二元运算o ： ( v x ，叉。，y s 乙) zoy = e 口卢z y e 筇， ， 形成一个交换c - z p 一纯正群并，使t = 【y ；& 。 证明设z & 。，y - ，z ，则 ( z oy ) o z = e a 所e 卵z 可e 筇z e a 所= e 叩，e 口z y ( 铡) p e q z z p z e a 所 = e a 所e 口卢z y ( z 可) p z p z e q 所= e a z 7 e 卵( z z ) p x y z e a 所 = e a 所e 口卢。z e 蚋 。 同理可证zo ( yoz ) = e a 胁, x y z e 口p 7 故t 关于上述乘法形成一个半群对任意的 z s 蠢，y s 毛，( e a z x y e 口卢) p = e 印z p y p e 筇= e 筇 故t = 【y ；。】对任意的z & 。，y ， zo 2zoy0e a 8 ( zoe a 口) o ( y oe q 卢) ( e a 咿：b e 。咿) 0 ( e n p 秒e c 啦) 。e 8 z e q 8 譬e 氆母 2 y 0z 即t 是交换的对任意的a ，b & 。，若a p l s 。b ，则对任意的p o l ， 印口e 卢p i & 卢e z b e z 令e 触e p a e z e z a p l 卢e 触印6 e 卢e 触兮e 卢。a p l s 。卢e 卢。b 所以由引理2 1 9 知3 p 7 乡c ( s ) ，= u 口y p i 。，使得t 为一个交换c 一2 p 7 一纯 正群并 口 1 0 山东师范大学硕士学位论文 2 2p i 一强p p 富足半群的构造 定理2 2 1 s 是一个p 厶强2 p 。一富足半群咎s 是某正规带b = 【y ；b 口 和 交换c - l p p 一纯正群并t = ；& 。 关于半格y 的织积b yz 证明必要性：s 是一个p - 强p 矿一富足半群，令b = e ( s ) = 【y ；取】，t = 【y ；s e 口】为构造定理中的交换d 2 p 二纯正群并，定义映射 叼：s _ b yzah ( a p ，e a a e a ) ( o p e 口) ， 则显然7 7 是良定义的如果a ，b s 使a r l = 幼，则刍q a p ，b p 鼠， 有 a = a p e 口a p a a p e a a p = a p e 口a e 口a p = y e 口b e 口b p = y e 口i f b b e 口6 p = b 故7 7 为单射对任意的( e ，z ) b yze 及， 有 。( e x e ) r l = ( ( e z e ) p ，e 口e x e e q ) = ( e x p e ，e a e e 口z e 口e e 口) = ( e ，z ) 故7 7 为满射此外对任意的a ，b sa p 及，扩毋， ( a b ) t = ( ( 口6 ) p ，e a p a b e a z ) = ( a p 6 p ，e a 卢e 口( 0 6 ) p a b ( a b ) p e 卢e 口卢) 故7 7 为同构 = ( a p b p ，e a s e a a b e z e a z ) =( 扩矿，e 口卢e 口a a p e 口印扩6 e 卢e 卵) = ( 口p 酽，e q 卢e 口a e 口e 卢6 e p e 筇) = ( 口p 6 i d ，e a a e 口。印6 e 卢) = ( a p ，e a a e 口) ( 酽，e z b e z ) = a r lo5 , 7 充分性；设s = bx yt 其中b = 【y ；鼠j 为一个正规带，t = f y ；死 为一个交 换c 一2 p 一纯正群并则由正规带定义知s 满足置换恒等： x l x 2 x 3 x 42x l x 3 x 2 x 4 只需证s 是强p p 。一富足半群定义s 上p 。关系： ( e ，x ) p 。( ，y ) 兮j 口ve ，b 口，x p a y 显然p 。为s 上等t f r ，下证p 。为左同余对任意的e ，x ) p 。( j f ，可) ，( 9 ，z ) b r 耳， ( g ，z ) ( e ，。) = ( g e ，z x ) ，( g ，z ) ( ，y ) = ( g f ，z y ) ， 1 l 山东师范大学硕士学位论文 得夕e ，g f b 针，由丁为c - z p 一纯正群并得 即 口一y q ，x p q y 兮 死r z p 唧l 死，y 专z i ，1 1 z p 叫z i 死7l 死1 y 2 争z x p a t z y ( g ，z ) ( e ，z ) p 。( 夕，z ) f f ，y ) 同理可证p 。为右同余，即p 。为同余v ( e ，t ) b 口x 死， 有 ( e ，l 死) 厶e ，t ) ， 对任意的( 8 ) 邬乃，( 夕，p ) bx 马，注意到死p 是p a 卢一左可消的，我们有 ( e ，t ) ( 厂，s ) 矿( e ，亡) ( 9 ，p ) 兮( e 工t s ) p 。( e 夕，t p ) q p = q 7 ，t s p z t p 营a p = 口7 ，亡i 乃i t os p a z t l t rl t p 兮q = 口，y ，i 死s j d 筇1 i t p 兮( e ，l 死) ( 厂，s ) 矿( e ，i 死) ( 夕，p ) 故( e ，芒) 髟矿( e ，l 死) ，即s 是强p p 。一富足半群若还存在( h ，z ) 玩兄，使得 ( 九，z ) 五e ，t ) nl 叠t ) ，令( 1 ，1 ) 为s 1 中幺元，故e = e h = h e ，o l o j = o ) o l = q ，由 ( e ，i ) ( e ，i 死) j d 。( e ，j 死) ( 1 ，1 ) 辛( h ，z ) ( e ，i 死) p 。( e ，l 死) ， 有 叫2 u ，u2q ， 即 所以 ( h ，z ) b 二瓦， h = h e h = e h = e 而z 咒，z 2 = z ，死为幂幺半群，得z = i ，所以 ( e ，1 ) = ( e ，亡) p ， 即s 是一个p l 强p p o 富足半群 1 2 口 山东师范大学硕士学位论文 推论2 2 2s 是一个p 强r p p 半群s 为某正规带b = y ；及j 和交换 c - r p p 半群t = 【y ；咒 ( 墨为左可消幺半群) 关于半格y 的织积b yz 推论2 2 3s 是一个p 强w r p p 半群s 为某正规带b = ；b a 和交换 c - w r p p 半群t = y ；死】( 死为冗左可消幺半群) 关于半格y 的织积bx yz 推论2 2 4s 是一个p 完全正则半群s 为某正规带b = ；鼠 和交 换c l i f f o r d 半群t = 【y ；死 ( 死为可消幺半群) 关于半格y 的织积b y t 1 3 山东师范大学硕士学位论文 第三章幂等相连的适当半群 3 1预备知识 定理3 1 1 【3 】s 是半群，a ，b s 则下列叙述等价： ( 1 ) n 乡料6 ； ( 2 ) 比，y s 1 ，a x , 勿a y b x , 勿b y 定理3 1 2 【3 】s 是半群，a s ，e e ( s ) ，则下列叙述等价： ( 1 ) a _ v e ； ( 2 ) 口e 纺o ，且a x 勿a y 兮e z 叨吲 定义3 1 3st 为半群，双射咖：s 一丁称为r 双射，若v x ，y s ，( z y ) 矽勿( z 妒) ( y ) ； 同理双射妒：s t 称为l 双射，若v x ，y s ，( z ) 矽2 ) ( y ) ；既为r 双射又 为l 双射的双射称为l 尼双射 定义3 1 4 富足半群s 上同态：s _ t 称为好同态，若v a ，b s ，a a e b 有却2 料( 丁) 劬，且若口历”b 有口纺料( 丁) 砸 定理3 1 5s 为w 一富足半群，t 为半群，：s _ t 为同态，则下列叙述 等价； ( 1 ) 为好同态； ( 2 ) v a s ，3 e ，厂e ( s ) ，e l ：+ ，磁+ ，使口矽乡+ ( 丁) e ，口勿料( t ) ，妒 证明( 1 ) 兮( 2 ) 显然 ( 2 ) 兮( 1 ) v 口，b 口。彩+ + b ，由( 2 ) 知，3 e 己：ne ( s ) ，使。妒p ”e ，j ， 优ne ( s ) ，使砸2 料，而a a e ”b ，故e 二汐+ f ，即e f = e ，e = f v z ，y s e c x 矽, 勿e c y 矽= 争f c e c x 咖, 勿f c e c y = ( ，e ) 妒茁妒乡矽( ，e ) 妒 = 争f c z 妒, 勿f c y 反之同理可证，即e 妒z + + ，妒，所以口驴p ”b e 同理可证v a ，b s ，若口纺”b ，则 。彻”b e 即矽为好同态 口 1 4 山东师范大学硕士学位论文 定义3 1 6 肌富足半群s 上同余p 称为保2 ”同余，若 c a ，b s ，a w ”b ， 有a p i b p ；同理阢富足半群s 上同余p 称为保叨”同余，若v a ，b s 物”b ， 有叩勿b p ；既为保2 同余又为保勿料同余的同余称为保髟“一勿“同余 注3 1 7 以下s 均为只幂等纯且识幂等纯的阢富足半群 定义3 1 8 定义s 上关系如下： p l = 【( 口，b ) l v e e ( s ) ，( e a ，e b ) 乡”) ； p r = ( 口，b ) l v e e ( s ) ，( e a ，e b ) 砑+ + ) ； = 肛lnp r 定理3 1 9 若2 料，纺料为同余，则下列叙述成立： ( 1 ) 比为含在p 料中最大同余； ( 2 ) p r 为含在纺料中最大同余； ( 3 ) p 为含在形”中最大同余 证明只需证明( 1 ) ，对偶可得( 2 ) ，由( 1 ) ( 2 ) 可得( 3 ) 比显然为等价，由乡料为右同余，有儿为右相容，下证比为左相容 k a ，b ，c s ，a 比l b ，v e e ( s ) ，取，e ( s ) ，使，髟料e c ，故i b m “e c b ，厂口2 ”e c a ，而 由a p l b ，有，口z 料f b ，即e c n 髟”e c b ，故c a 弘l c b 所以儿为同余下证批p ” c a ，b s ，a # l b ，令e ，厂，g e ( s ) ，使e i f “0 3 ”，艘料g ，故f a = a ，而，口2 ”f b ， 则 ，6 z ”a i p 料e ， 即 e 2 料f b 又b g = b ，f b g = f b ，有 e 9 叨e ，e g e ( s ) 而 e 9 2 嘲l b g = 伯2 e 。 1 5 山东师范大学硕士学位论文 故e = e e g = e g 而由e w ”a ， 有 a e = a ，g a e2g a ， 又由。儿b ，有9 以”g b ，故g b e 历g b ，由6 髟”g ，乡”为同余，有g b i 乎 ”g ， 则 夕e 细，g e e ( s ) ，g = g e g = g e ， 所以 e 2 9 ，a w “b ， 即 比髟“ 下证比的最大性令矿为含在2 料中的任一同余，设a u b ，所以n 乡”b ， 故 v e e ，e 口p ”e a ， 且p 口p l b ，亦且pl ，弘l 口 v a s 取a + + 三ne ( s ) ，口一吃幸i 1e ( 多) ，令p a 夕( 剐乡”) ，入口 夕( s 彻悄、) ，v x s ， 聪p 口= 己凳( s ) ，碍+ a 口= r 墓( s ) 可验证p 口，入口为良定义的，且p 口p b = p 曲，入口沁= 入k 定理3 1 1 0s 为肌富足半群，e ( s ) 为幂等元集，p ”，勿料为同余，映 射：s 一( 剐2 ”) 。( 剐驴+ ) ，oh ( p 口，k ) ，则为同态且忌e r f = p 证明只需证o 以= p 如果p 口= p b ， 则 v e e ( s ) ，l = = l ：+ p 。= l ：+ p b = l 誓， 所以 v e e ，e a i ”e b ， 即a # l b 另如a # l b ， 则 、z s ，x a # l x b ， 1 6 山东师范大学硕士学位论文 即 l * x * a ( s ) = l ( s ) 即p a = p b ，对偶可证，入口= 沁兮a # r b ，故尼e r f = p 口 1 7 山东师范大学硕士学位论文 3 0 2 幂等相连的w 一适当半群 注3 2 1v e e ( s ) ， 为由e b e 幂等元生成的e b e 的子半群 定义3 2 2半群s 称为幂等相连( i c ) 的，若v a s 对某个a 料三n e ( s ) ，a 一嘭ne ( s ) ，| 双射a ： 一 ，满足v x ，有 x a = 口( z 口) ，且| 双射p ： 一 ，满足v y ，有a y = ( y z ) a 此 时我们称口，卢为相连双射，称满足幂等相连条件的一富足半群s 为幂等相连的 w 二富足半群( 记为，d 肌富足半群) 定义3 2 3 肝富足半群s 称为肝适当的，若e ( s ) 为可交换的 注3 2 4肌适当半群s 每一个p ”类或历”一类含唯一幂等元且v e e ( s ) ， = e e ( s ) 定理3 2 5 若s 为w 适当半群，则定义3 2 1 中口，p 为同构映射 证明v x ，y ，有x y a = a ( ( x y ) o o ，一 而 x y a = x ( a ( y o o ) = ( z 口) ( y 口) = a ( x o