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o f d m 系统中空时编码技术的研究 摘要 i 随着无线业务的不断增长和多样化，在无线信道上提供高速流 t 畅的服务给有限的带宽资源提出了严峻的考验。未来的无线通信的两 个主要目标是提高系统容量和个人用户的数据传输速率。这要求进一 步提高频带利用率和更强大的数字信号处理技术。目前提出的无线局 域网协议主要基于两种技术：扩频和正交频分复用( o f d m ) 。扩频 技术对带宽要求太高，因此在数据传输速率高的协议里采用的都是 o f d m 技术，如h i p e r l a n 2 和i e e e 8 0 2 1 l a 。另一方面，信息论的 突破揭丌了m i m o 信道里蕴藏的巨大容量。而空肘编码技术通过编 码，调制，发射分集和接收分集的 从而能够有效地提高频带利用率。 能够充分利用空间分集， 本文t 要研究了在基于o f d m 的i e e e s 0 2 1 1 a 协议中空时编码 技术的应用。首先简要地介绍了空时编码技术的信息论基础m i m o 信道容量，以及几种主要的空时码，包括空时分组码和空时格状编码， 从中总结出空时码在不同衰落的信道模型下的构造准则。然后以空时 格状编码为基础建立了采用空时编码的o f d m 系统( s t c - - o f d m ) 模型，并通过理论分析导出了s t c o f d m 系统能够达到的最大分集 增益，即为发射天线数，接收天线数和选择性衰落分集的阶数的乘积。 在方案设计中，首先以提高数据传输速率为目的，提出了一种 i j ：海交通犬学坝。t ：学傲论文 利用发射分集提高频带利用率的方案，也就是虚拟星座映射( v i r t u a l c o n s t e l l a t i o nm o d u l a t i o n ) 。虽然类似予空时分组码，都是在发射臻进 行简单的线性处理，但v c m 的数据传输速率更高，并且仿真显示濒 者性能相近。借鉴3 g p p 的w c d m a 规范里对于空时分组码的应用， 本文摊出，一种联合t u r b o 编码和v c m 的方案。在i e e e s 0 2 1 l a 协 汉黪梃架下逡行仿真，与在藤秘议里添热空对椿码组成的系统楣篦， 在相同的数掇传输速率下，前者在高速移动环境下的憔能更好，并且 译码算法也更为简单。 最后指出了在无线局域网里v c m 技术的研究中尚待解决的润 蘧霹避一步硪究麓方离。 关键掌：1 ：交频分蔓空无线周葫，虚拟星蘧j ，频带关键掌：j l ：交频分复用，空时码，无线周域网，虚拟星座映射，频带 利用率， f ：海交通大学硕十学位论文 s 熬c e 一蕈l 鑫匡嚣c o d l n gt e e 糕n l q u 嚣 l no f d 奈萑s y s 蕈e m s a b s t r a c t a st h ew i r e l e s ss e r v i c eg r e a t l yi n c r e a s e sa n db e c o m e sm o r ed i v e r s e ， i tg r e a t l yc h a l l e n g e st h el i m i t e db a n d w i d t hr e s o u r c e t oa c h i e v et w om a i n o b j e c t i v e s ，v i z 。、t oi n c r e a s et h es y s t e mc a p a c i t ya n dp r o v i d eh i g h e rd a t a r a t ef o ri n d i v i d u a lu s e r s ，i tc o m e su pt ob eu n p r e c e d e n t e dd e m a n d so n c o m m u n i c a t i o nb a n d w i d t hp o w e r f u ld s pp r o c e s s i n gt e c h n i q u e s n o wt h e w 乙a np r o t o c o l sa r eb a s e d0 nt w ot e c h n i q u e s ：s p r e a ds p e c t r t l r f la n d o r t h o g o n a lf r e q u e n c yd i v i s i o nm u l t i p l e x ( o f d m ) t h ef o r m e rr e q u i r e s m u c hm o r eb a n d w i d t ht h a nw h a t sn e e d e d 。s o 也el a t t e rb e c o m e s 壤ef i r s t c h o i c eo ft h ep r o t o c o l st h a ta i mt op r o v i d ev e r yh i g hd a t ar a t e ，s u c ha s h i p e r l a n 2a n di e e e 8 0 2 1 1 a o nt h eo t h e rh a n dt h eb r e a k t h r o u 【g hi n i n f o r m a t i o nt h e o r yi n d i c a r e s 氇a tt h e r ei st h ev a s tc a p a c i t yc o n t a i n e di n m t m 0c h a n n e l s p a c e t i m ec o d i n gt e c h n i q u ec a r lm o r o u g h l yu t i l i z et h e s p a t i a ld i v e r s i t yw i t ht h eu n i t e dd e s i g no fc h a n n e lc o d i n g ，m o d u l a t i o n ， t r a n s m i ta n dr e c e i v ed i v e r s i t y , t h r o u g hw h i c hi tc a ng r e a t l yi n c r e a s et h e s p e c t r a le 施c i e n c y i nt l l i st h e s i st h em a i ne f f o r ti sp u to nh o wt oi n c r e a s et h e p e r f o r m a n c eo ft h e 、轧a nb a s e d o ni e e e8 0 2 1 law i t hs u i t a b l e s p a c e t i m ec o d i n gs c h e m e f i r s t l yw eb r i e f l yr e v i e wt h ec a p a c i t yo ft h e m i m 0c h a n n e l a n ds p a c e t i m ec o d i n gt e c h n i q u e m o r ed e t a i l e d d i s c u s s i o n sg i v e nt ot w om a i nc o d e s ，w h i c ha r es p a c e - t i m eb l o c kc o d e ( s t b aa n ds p a c e t i m et r e l l i sc o d e ( s t t c ) t h e nt h ec o n s t r u c t i o n c r i t e r i o no fs p a c e t i m ec o d eo v e rm u l t i p l ef a d i n gc h a n n e l si sp r e s e n t e d 。 s e c o n d l yw em o d e it h es p a c e - t i m ec o d e do f d ms y s t e m a n dd e d u c et h e m a x i m a ld i v e r s i t yg a i ni tc a no b t a i n 、w h i c hi st h ep r o d u c to ft h en u m b e r s o ft r a n s m i ta n t e n n a sa n dr e c e i v ea n t e n n a s ，a n dt h eo r d e ro ft h e f r e q u e n c y - s e l e c t i v ef a d i n gc h a n n e l s f i n a l l yd u r i n gt h es c h e m ed e s i g nw et a k et w os t e p st oa c h i e v et h e g o a l a tt h ef i r s ts t e p ，t or e a l i z eh i g h e rd a t ar a t ew ep r o p o s ean e w “1 ：海交通太学硕士学靛论文 s p a c e 。t i m ec o d i n g ；s c h e m e ，r e f e r r e dt oa st h ev i r t u a lc o n s t e l l a t i o n m a p p i n gf v c m ) a l t h o u g hi te n j o y sm u c hs i m i l a r i t yw i ms t b c ，w h i c h i sa l s or e a l i z e db yl i n e a rp r o c e s s i n ga tt h et r a n s m i t t e r , t h ev c ! mc a n p r o v i d em u c hh i g h e rd a t ar a t ea n dw i t ht h ec l o s e dp e r f o r m a n c e 。f i n a l l y f r o mt h ei d e ao ft h eu t i l i z a t i o no fs t b ci nt h e3 g p pf d do fw c d m a s y s t e m ，w ed e v i s et h en e wv c ms c h e m e c o m b i n e dw i t ht h et u r b oc o d e r t h e nw ea p p l yt h es c h e m et ot h ew l a nw i t ho f d mm o d u l a t i o n s u c h a si e e e8 0 2 11a c o m p u t e rs i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tw i t lt h es a m e t r a n s m i s s i o nd a t ar a t e t h i ss c h e m ei sm o r er o b u s ti nh i g hd o p p l e rf a d i n g c h a n n e lc o m p a r e dw i t ht h es p a c e t i m et r e l l i sc o d e do f d ms y s t e m i n a d d i t i o n ，t h ep r o p o s e ds c h e m er e q u i r e dl e s sd e c o d i n gc o m p l e x i i y a tl a s t ，s o m eb r i e fr e m a r k so nf u t u r ee x t e n s i o n so ft h ew o r k p r e s e n t e di nt h i st h e s i sa r ec o n c l u d e d 。 k e yw o r d s ：o f d m ，s p a c e - t i m ec o d e ，w l a n ，v i r t u a lc o n s t e l l a t i o n m a p p i n g ，s p e c t r a le f f i c i e n c y i v 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保密刚。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：李日芬劭 指导教师签名：留渺k 日期：沙口弓年月f 妒日日期：0 以年函月1 4 - 日 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：套b 弓劲 日期：2 。弓年月f 妒日 海交运火掌硪二 ：学证沦文 符号说明 多输入多输国 n 维复数域 中鞭概率 高斯分布 信恩速率( b i f f s 空眩鹃 格状绽羁调制 空对格羁 空时分组秘 最大毙合并 t 时刻在大线k 上发射的空时码字 筹i 拿发瓣天线剽篇j 令搂教天线之趣熬路径增益 信号x 的墩大似然馈计值 穗移键整 f 交幅度调制 鲍将误殛攀 误帧率 循环i i 缀 发射c ，判决为e 时的码掌对错谟概率 纛叛星座漩麓 发射天线 接收天线 v c m 系统的频谱利用率 将接收信弩r 粼凌海e 载 娃然丞数 多蒋勒频移( h z ) 平均发射躺率( w v 一岛r眦蝌一一一。j敝删激瞅汀一瓦墨蚴五东 海交通大学硕_ 学位论义 第一章绪论 1 1 空时编码技术产生的背景 随着人们对随时随地进行多种形式通信的要求越来越高，无线通信在教育， 娱乐和医学等领域星获得了广泛的应用。很显然未来的多媒体业务需要在无线信 道上更加高速有效地传输和接收数据，这也形成了对通信带宽和强大的d s p 处 理技术的无止境的追求。事实上，到目前为止，在小的移动基站上提供实时高速 的无线多媒体业务仍然是个难题。即使现在i c 技术有了突破性的进展，无线通 信的带宽仍然收到物理准则的约束。 在带宽受限的信道上提高数据速率的传统办法是使用正交频分复用 ( o f d m ) 。o f d m 是多载波传输技术，将可用的频带分成多个窄带的低数据速 率的子载波。为了获得高的频带利用率，这些子载波的频谱都是正交叠加的。每 个窄带子载波可以使用不同的调制方式，如b p s k ，q p s k ，1 6 一o a m 。单个用 户的数据分成多路，并行地通过不同的子载波传输。基于o f d m 技术的无线局 域网协议i e e e 8 0 2 1 1 a 是个典型范例。但数据传输速率仍然受到可用带宽的限制。 【1 】的研究表明在接收端和发射端使用多天线阵列，可以获得很高的信道容 量。带宽受限的问题就转换成了如何在发射端和接收端使用多天线阵列。在 15 - 4 6 曜贝尔实验室的科学家们提出了名为b l a s t ( b e l ll a bl a y e r e d s p a c e t i m e ) 的试验系统。该系统有16 个接收天线，在m i m o 信道下频带利用 率能提高到3 6 b p s h z 。虽然试验系统的性能非常地理想，可是在移动通信旱，接 收终端安装这么多的天线并不现实。 提高传输效率的另一个途径就是在基站使用多天线阵列，也就是所谓的发 射分集。t a r o k h 在【16 中考虑了在衰落信道里使用多个发射天线的系统如何通过 设计信道编码来数据传输速率和可靠性，并基于卷积码手工设计了一些空时格码 ( s t t c ) 。在2 发l 收的系统里，使用q p s k 调制和6 4 态格状编码器的空时格 码性能与中断容量相差在2 5 d b 以内。 窄时格码是基于格状结构构造出来的，因此非常自然地考虑将t u r b o 码应 用于空时编码，形成新的空时格码。t u r b o 码是目前实际应用中最为强大的前向 纠错码，性能接近香农界限，并且在功率上比其他前向纠错码，如卷积码和r s 码，都要高效。因为这些特点，1 、曲。码已经被3 g p p 的w c d m a 和c d m a 2 0 0 0 方案罩所采用。将空时格码摹的格状结构换成t u r b o 码得到的就是空时t u r b o 码 f 3 9 1 。在时变衰落信道和窄时相关衰落信道罩，空时n 曲。码具有比空时格码更 好的阼能。仇_ 。方面，由于空时t u r b o 码利用迭代译码，因此译码时延比空时 格码大得多。 2 7 】中a l a m o u t i 提出了一种使用两个天线的简单的发射分集方案。 【2 8 将该方案扩展到了有任意数目的发射天线的系统，从而得出了空时分组码 海交通人学坝 。学位论义 ( s t b c ) 。空时分组码和传统的信道编码( 卷积码和t u r b o 码) 的联合方案已经 写入3 g p p 的方案里 3 6 3 7 】。 1 2 本课题研究的意义和贡献 为了使新的技术( b l a s t ，s t t c 和空时t u r b o 码) 变得可行，在移动基站 对d s p 和a s i c 技术有很高的要求。因此需要对译码算法进行设计，在硬件和 软件之间进行详细的划分以使成本和能量损耗最小。如何在带宽受限的信道上提 高数据传输的速率和效率成为热点的研究课题。 尽管在3 g p p 里空时分组码已经得到应用，但在基于o f d m 技术的无线局 域网系统罩，例如i e e e 8 0 2 】1 a 协议里，并没有加入空时编码技术。目前对于在 无线局域网旱空时编码技术的研究主要集中于：1 ) 利用已有的性能准则设计合 适的码字来获得更高的编码增益；2 ) 寻找更好的数学近似对【1 6 里比较宽松的 性能准则进行改进；3 ) 改进系统方案，如添加位交织器来达到满分集度。 本文从提高数据传输速率的角度出发，研究了在无线局域网里加入空时编 码的可能性，提出了一种新的t u r b 0 码和发射分集结合的空时编码方案，称为虚 拟星座映射( v i r t u a lc o n s t e l l a t i o n m a p p i n g ) 。最初提出的1 6 点v c m 方案与传统 的窄时分组码相比，性能相差较大，但是优点在于频带利用率由2 b p s m z 提高到 了4 b p s h z 。改进后的8 点v c m 方案与空时分组码相比性能相差已经不大，但 频带利用率由2 b p s h z 提高到了3 b p s h z 。将8 点v c m 用于在基于o f d m 的无 线局域网系统下进行仿真，与i e e e 8 0 2 1 1 a 协议中的信道编码和【3 3 】中的空时格 码的结合方案相比较，该方案的译码算法更加简单，且性能更佳。 1 3 全文的篇章结构 第二章介绍了多发射天线多接收天线系统( m i m o ) 。推导了m i m o 信道容量， 按照三种情况给出了相应的信道容量，错误指数和中断概率公式，分别是：1 ) 信道响应矩阵h 已知：2 ) h 不确定，且为各态历经性的；3 ) h 不确定，且为 非各态历经性的。如同香农理论对编码技术的影响，m i m o 理论是空时编码技术 的信息论基础，给出了衡量空时编码技术的界限，为之提供了理论根据。 第三章总结了空时编码技术。目前提出的空时编码有空时格码，空时分组 码，空时t u r b o 码和空时l d p c 码等。主要介绍了空时分组码( s t b c ) 和空时格 状码( s t t c ) ，通过大量的公式和理论推导给出了这两种码的性能界限和构造准 则，并列举了一些手工设计的码字。 第四章首先介绍了o f d m 多载波调制技术，然后以空时格码为基础，建立了 采用空时编码的0 f d m 系统模型。空时码的经典文献 1 6 里采用码字对错误概率 ( p a i r w is ee r r o rp r o b a b i l i t y ) 推出空时编码系统的性能界限。这里也采用 p e p 对s t c o f d i 系统性能进行推导，并给出了相应的边界。最后将提出的 s t t c o f d m 系统与采用同样的格状编码作为信道编码的o f d m 系统进行比较，仿 ：海交通人学硕i 学位论文 真结果显示在2 x1 0 _ 2 的误帧率下获得了4 5 d b 的信噪比增益。 第五章介绍了基于0 f d m 技术的无线局域网系统，并重点介绍了 i e e e s 0 2 1 1 a 协议。此后的仿真都是在这个协议框架之下进行的。 第六章提出了一种结合t u r b o 码和发射分集的新空时编码方案，称为虚拟 星座映射( v i r t u a lc o n s t e l l a t i o n m a p p i n g ) 。该方案的产生来源于3 g p p 的w c d m a 系统里t u r b o 码和空时分组码的联合方案。其初衷是通过调整发射天线的权重以 使原来的q p s k 系统能够等效成1 6 0 a m 系统，从而提高数据传输速率，也就 是最初提出的1 6 点v c m 方案。但1 6 点v c m 方案的性能太差，因此推出了改 进的8 点v c m 方案。在无线局域网的框架下审视该方案，发现其性能比直接在 i e e e 8 0 2 1 1 a 协议旱添加性能相对较好的空时格码形成的系统要好得多。在误帧 率为1 0 - 2 的时候，8 点v c m 方案对信噪比的需求相对要低2 5 d b 。， 最后总结全文，提出尚待解决的问题和以后的研究方向。 f ：海交通大学硕斗：学位论文 2 1引言 第二章m 0 信道容量 在欧洲，为了在3 g 市场里分一杯羹，各大电信运营商不惜投入数千亿美金 的巨额资金来争夺有限的频谱资源，然而近年来信息论专家的研究成果揭示了 个全新的发展方向。他们通过对单用户多发送多接收天线通信系统的信道( 即多 输入多输出信道，m i m o 信道) 容量进行研究，证明了：在相同的发射功率和带 宽的条件下，n 个发射天线m 个接收天线的m i m o 信道容量近似于m i n ( n ，m ) 倍单 天线系统( s i s o ) 的信道容量。后面的研究表明信道容量不能随发射天线数量的 增加而无限增大，但至少缓解了频谱资源的压力。 关于m i m o 信道的信息论方面的研究开始于1 9 9 5 年，朗讯贝尔实验室的 e 1 e l a t a r 2 针对在有衰落和无衰落的复高斯信道里，单用户多发射多接收天线 系统的性能进行了详细的理论分析，推导出相应的信道容量、错误概率和误码指 数公式，并对计算过程进行了具体描述。首次证明了多发射天线多接收天线系统 ( m i m 0 ) 的信道容量比单天线系统( s i s o ) 要大很多，特别地，如果接收天线的 数量大于或等于发射天线数量，信道容量至少与发射天线数量呈线性关系增长。 在文中，容量是在信道之间的衰落互相独立的假设下得到的。 1 9 9 8 年g 1 f o s c h i n i 和m j g a n s 1 证明了在应用多维天线阵列技术 ( m u l t i e l e m e n ta r r a y ，m e a ) 的无线通信系统里，通过增加信道的空间维数可以 获得超乎寻常的容量，能够有效利用频率资源传送高速数字信号。 1 从信息论 的角度论证了多发射天线多接收天线在衰落信道中具有很大的应用价值。文中考 虑的系统是无线局域网( w l u n ) 和移动性非常小的无线通信系统，即发射和接 收天线都固定在建筑物上。当然也考虑扩散环境罩的变化但是以相对数据传输 速率来说非常缓慢的速度变化，例如无线局域网里的用户带着终端在工作室内移 动，从而引起的倩道变化。因此文中的分析是针对窄带准静态系统的，即任意选 择的信道在荦次数据传输中是不变化的，而且这次数据传输的时间足够长，以符 合信息论分析中对时间轴无限长的假设，从而得出有意义的结论，而且信道响应 在有效带宽内是平坦的，不随频率变化。这里信道容量被视为随机变量，通过相 应的互补累积分布函数( c o m p l e m e n t a r yc u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s ， l 海交通大学硕士学位论文 c c d f s ) 来寻找信道容量能达到的极值。由于准静态衰落信道具有非各态遍历性， 而且信道存在译码时延，所以中断容量( o u t a g ec a p a c i t y ) 被认为是实际信道容 量的准确表示。由互补累积分布函数( c c d f s ) 可以求出信道在不同中断概率下 的中断容最。对于准静态信道，即所谓的块衰落信道，可以通过分层空时结构来 实现潜在的信道容量。文中得出结论，对于基本的单发单收系统，经典的香农信 道容量公式显示，在高信噪比时增加3 d b 的信噪比能使信道容量大约增加 1 b i t s c y c l e 。但是对于满足独立瑞利衰落的n 发射天线1 1 接收天线系统，尤其当r l 很大时，每3 d b 的信噪比增量能使信道容量增幅达到nb i t s c y c l e 。 n a r u l a 3 对慢衰落信道模型下多天线发射系统进行了分析，他认为多天线发 射系统的容量不受信道时变衰落的影响。采用优化的发射分集方案，利用有限数 量的发射天线可以在零中断概率下实现信道容量。l m a r z e t i a 4 等通过进一步在 信息论方面对多发射多接收天线系统的研究，得出了一些具有普遍应用性且相对 完善的结论。在平坦瑞利衰落环境下的一个n 发射天线和m 接收天线的移动无 线链路，假设每一对发射和接收天线之间的散播系数是相对独立的，对于发射机 和接收机都未知的，并且在t 个相干符号间隔保持常数，每隔t 个符号问隔独 盘地变化，对t n 个复发射信号优化可以实现链路容量极限。【4 中得出了一个 重要结论，发射天线数量n t 时的信道容量等于n = t 时的信道容量，因而当发 射天线数量大于相干符号数目时增加发射天线数量是不能改善信道质量的，也就 是在快衰落信道条件下信道容量不可能随发射天线数量的增加而无限制地增大。 如果t n 发射信号矩阵为两个统计独立的矩阵的乘积，即一个t t 各向同性 分布酉矩阵乘以一个t n 对角、非负定的随机矩阵，这样的信号矩阵构成的星 座，j _ 以实现m i m o 系统的容量极限。在信道教播系数不被发送端和接收端所知 道的情况下，对于天线数量固定的m i m o 系统，随着相干间隔的不断增大，信 道容量接近于信道散播系数为接收端所知道时的信道容量。 2 2 多天线高斯信道的容量 本节介绍 2 】里推导的m i m o 信道容量。考虑有多发射多接收天线的单用户 高斯信道，模型如图2 一l 所示。发射天线数为t ，接收天线数为r 。采用线性系 统模型，发射信号为x c ，接收信号为y c 7 满足： y = i - i x + ” ( 2 一1 ) 其中h 是r x t 的复矩阵，1 3 是有着独立等方差的实部和虚部的零均值复高斯 噪声。假定研珂疗1 - j ，即不同接收端处的噪声是相互独立的。发射端的总功 ：海交通大学硕士学位论文 率限制为p ， z x x 】p( 2 2 ) 因为x * x = t r ( x x + ) ，将取期望值的运算和求迹运算进行交换，所以上式可化为： t r ( e x x 】) p( 2 3 ) 以下为了推导方便，考虑h 的分类分别进行讨论： 1 h 是确定的。 2 h 是随机矩阵。h 是根据概率分布产生的，但每次使用信道都需要重新独 立地产生h 。信道为各态历经性的，无记忆的。 3 h 是随机矩阵，一旦选定就固定不变了。信道为非各态历经性韵。 蝴，o i ：， 她，一“、 y ( 1 ) y ( 2 ) 孙，l 匕誊m ， 图2 1 m i m o 信道模型 f i g u r e2 - 1m i m oc h a n n e lm o d e l 对于第一种情况的分析是为了提供分析后两种情况的基础。在h 为随机矩阵 的情况下假定h 的元素构成一个独立同分布的高斯集合，服从均值为0 ，实部和 虚部相互独立以及方差为1 2 的复高斯分布。所有元素都有统一的相位和瑞利包 络。这模拟了瑞利衰落环境，而且在接收天线和发射天线之间有足够的间隔，使 得每对接收和发射天线对之间的衰落互相独立。任何情况下都假设接收端知道理 想的h 阵，发射端知道信道输出( y ，h ) 和h 的分布。 f 面按照上述的三种情况分别推导m i m o 信道容量。 2 21 传输函数固定的高斯信道 系统及信道模型采用| ；1 面所述的，本节目的是推导传输函数固定条件下 m i m o 信道容量的表达式。根据信息论可以知道，在h 阵确定时，可以选择x 的概率分布使输入端和输出端的平均相互信息量i ( x ；y ) 最大，可写为： ，( x ；y ) = h ( y ) - h ( yj x ) = ( y ) 一厅( 疗) ( 2 4 ) 海交通人学坝j 学位论义 因此使i ( x ；y ) 取最大值也就是使h 最大。请注意e x x 】p ，取x e ( x ) 代卡孛x 也满足上式。所以为推导方便，假定x 为零均值的。此外，如果x 是零均 值的，方差为e ( x x ) = q ，可以推出y 也是零均值的，方差撕) = 秽+ 。 根据概率论和矩阵理论的结论可以知道，当y 满足周期对称复高斯分布时，平均 信息量最大。可以推出此时x 也应该为周期对称复高斯分布，因此可以进一步为 x 加上这样的限制。在这样的限制条件下，互信息量可表示为： i ( x ；y ) = l o g d e t ( i , + h q h ) = l o g d e t ( 1 , + q 日h )( 2 5 ) 上式第二个等号的推导是建立在矩阵理论定律d e t ( i + a b l = d e t ( i + 删1 上。 现在问题化简为选择合适的q 使得上式达到最大值，并且q 必须满足以下的限 制：1 ) t r ( q ) p2 ) q 是非负确定的。等式l o g d e “j + h q h ) 将在后面出现 多次，因此这旱进行简化，令： 甲( q ，日) = l o g d e t ( 1 + h q h ) 凶为h h 娃转置共轭阵，所以有删= u a u + ，a = d i a g ， 对角阵，u 是酉阵。再次运用行列式定律可以得到： ( 2 6 ) ， 是非负 d e t ( 1 ，+ h q h + ) = d e t ( 1 , + 人“2 u q u + 人“2 ) ( 2 7 ) 观察到亘= c 留u + 是非负确定的，当且仅当q 也是非负确定的，同时也存在 护( 亘) = t r ( q ) 。因此在q 上求极值可以转换到在g 上求极值。同时注意到对于任 意非负确定矩阵a 有d e t ( a ) sr ，4 ，因此推出： d e t ( 1 , + a “2 甄”2 ) 兀( 1 + 龟，五) ( 2 8 ) 有矩阵理论的结论可以知道当0 是对角阵时取等号。现在只需求出磊，的值 即“，求得信道容量的最大值。此时求解的问题化简为求l o g ( 1 + q , ) 的最大 值，约束条件为：1 ) 加( q ) p2 ) q ，0 。 利用k u h u t u c k e r 条件可以得到： 龟，= ( 一a 。) + ，i = 1 ，t 其中满足，q ，= p 。 至此可以得出传输函数确定的m i m o 信道容量公 式 c = m a x l ( x ；y ) = ( 1 0 9 ( 以) ) ( 2 9 ) f 当然仅了解信道的容量是远远不够的。事实上，m i m o 信道容量的极值是非 常难达到的，通过对指定长度n 和速率r 的分组码所能达到的错误概率给出上 限，错误指数可以给出更形象的理解。这个上限就是随机编码界限，由下式给出： p ( e r r o r ) e x p ( 一疗e ( r ) ) ( 2 1 0 ) 其中随机编码指数e 限) 满足： e 似) = 懋娶岛( p ) 一p r 反过来扇( p ) 由在所有满足功率限制的输入统计分布g 上的上界值给定： 昂( p , q x j ：_ l o g fi ( i + p ) 出ra y q ，( x ) p ( y l x ) a y ( 2 _ 1 1 )昂() = 一l o gi i | 出l ( 2 1 1 ) i ：海交通大学硕i j 学位论文 在这罩的条件t p ( y i x ) = d e t ( z i ，) e x p ( 一( y x ) + ( y - x ) ) ，如果用高斯分布 作为靠可以得到： 反( p ，q ) = p l o g d e t ( 1 ，+ ( 1 + p ) 。h q h + ) = p 少( ( 1 + p ) 1( 2 一1 2 ) 于是在q 上求n 的极值就等同于求互信息量的最大值，同样可以得到： 玩( p ) = p c ( p ( i + p ) ，h )( 2 1 3 ) 将吼选择为高斯分布并不是最优的，然而上述的表达式可以提供一个非常 方便的e 的下界，同时也给出了错误概率的上界。 222 服从瑞利衰落的高斯信道 现在考虑h 不是确定的，而是随机的，独立于x 和n 并且是各态历经性的。 假设接收端知道h 阵，但发射端不知道。信道输出为( y ，日) = ( h x + 胛，日) ，输入 为x 。假设h 的元素之间独立，并且每个元素都服从零均值高斯分布，实部和虚 部独立，方差为1 2 。相应地每个元素都有统一分布的相位和瑞利衰落包络。这 是为了模拟瑞利衰落环境同时发射天线和接收天线之间有足够的间隔保证h 的每个元素独立。 信道输入端和输出端的互信息量可表示为： ，( x ；( y ，h ) ) = j ( z ；日) + i ( x ；y l l 4 ) = l ( x ；y 1 日) = e m 【，( x ；y 日= 日) 】 ( 2 一1 4 ) 这是凶为x 与h 相互独立。利用上节在h 己知的条件下推出的结论可以知 道在x 的方差限定为q ，b l j e x x + = q 白勺时候，仅当x 服从方差为q 的周期对 称复高斯分布互信，g j j ( x ；y i h = 日) 取得极值甲( q ，h ) = l o g d e t ( 厶+ h q h + ) 。因 此问题转换为求下式的极值： w ( q ) = e w ( q ，日) 】= e 1 0 9 d e t ( , + h q h + ) 】( 2 一1 5 ) 约束条件为：1 ) q 是非负确定的2 ) t r ( q ) p 。因为q 是非负确定的，所 以可以写成q = u d u + ，其中u 是酉阵，d 是非负对角阵。将该表达式代入上式 进行替换得到： 甲( q ) = e 1 0 9 d e t ( 1 , + ( h u ) d ( h u ) + 】 ( 2 1 6 ) 罗偿f 2 1 ：假定h c w 是独立同分布元素组成的复高斯矩阵，每元素有独 立的实部和虚部，满足零均值和等方差。则对于任意酉阵矿ec “，v c “都可 得剑u h v h 与h 有相同的分布。 f 海交通大学硕学位论文 山上述引理可以知道h u 与h 的分布相同，所p a w ( q ) = w ( d ) 。这样就可 以把q 限定为非负对角阵来进行讨论。 给定非负对角矩阵q ，以及任意选取的置换矩阵。考虑q “= n o n + 。因 为h r i 与h 有相同的分布，所以甲( g “) = 、壬，( q ) 。这里注意对于任意矩阵h ，映 射q _ + h q h + 是线性的，且保持正定性。因为l o g d e t 在所有正定的矩阵集 合j ：足门函数，则可推出q _ w ( q ，日) = l o g d e t ( 1 ，+ h q h + ) 是凹函数，因此也能 得出q 一甲( q ) 也是凹函数。因为q 为t x t 阵，所以一共有t ! 个置换矩阵，令 西= 三y 眇 一，! 百一 可以推出甲( 垂) 甲( q ) ，t r ( 囟= t r ( q ) 。注意到亘是标准阵的倍数，因此可 以得出结论最优的q 应该满足口，的形式。所以很清楚的可以推出当口取到最大 位，n l jp i t 的时候，互信息量取到最大值。 结鲶2 1 ：当x 服从周期对称复高斯分布，且均值为零，方差为( p t ) l , 的 时候，达到信道容量，其表达式为e 1 0 9 d e t ( 1 r + ( p t ) h h + ) 】。 注意到对于固定的r ，运用大数准则知道t 趋向无穷大的时候，1 t h h 一j ， 所以当f 确定时信道容量的上限为r l 0 9 0 + n 。 如同卜节，下面开始推导错误指数，首先有： o ( p ，钆) = 一l o gj 扣，( x ) p ( y ，h k ) ”出 “d y d h ( 2 - 1 7 ) 因为h 与x 相互独立，所以p ( y ，h l z ) = 最( h ) p ( y l 工，h ) 。因此上式化为： e o ( p ，吼) = 一l o g e i 【f q x ( z ) p ( yj x ，) 1 柙+ 9 西叼l + p a y ( 2 - 1 8 ) 注崽p ( y i x ，h ) = d e t ( t c l ，) e x p ( - ( y h x ) + ( y - h x ) ) ，对于q ，= y p 满足方差为 q 的高斯分布，可以利用上节在h 矩阵确定时推出的结论得到： 岛( p ，0 ) = - l o g e d e t ( 1 , + ( 1 + p ) 1 h q h + ) 一9 】 ( 2 1 9 ) 注意a d e t ( a ) 一促凸函数。因为q = ( p t ) l , ，可以知道民的极值为： e o ( p ) 一1 。g e 【d e t ( 1 , + 看丽船+ ) ( 2 - 2 0 ) 刚样这_ 甲i 将q 。选择为高斯分布并不是最优的，然而上述的表达式可以提供 个暂常简单的e 的下界，同时也给出了错误概率的上界。 2 23 非各态历经性的高斯信道 f i i _ f 嘶讨论的信道都是无记性的，也就是每次使用信道都产生一个独立的h 9 i ：海交通人学硕一l 学位论文 阵。这并小是使最大互信息量达到信道容量的唯一条件。特别地，如果产生h 阵的过程是各态历经性的，能够达到任意接近最大互信息量的速率。 相反地，对于初始随机产生h 阵后保持其固定不变的情况，