（基础数学专业论文）右手三叶结hopf链接jones多项式的微分性质.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：墨垦生日期：塑生： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：拯史 指导教师签名：型 日 期：翌f 立：! ! ! 日 期：鲨f 垒：羔? lg - 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： i ，i 、 i a b s t r a c t o nt h eb a s i so f t h ed i s c u s s i o no f t h ed i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e so f t h ej o n e so f h o p f l i n k sw h i c ha r ec o n s i s t o f t w ot r i v i a lk n o t s ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ed i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e so f t h ej o n e sp o l y n o m i a la n dt h ep r o p e r t i e s o ft h ep o l y n o m i a li n v a r i a n t sx ( l ) ，似l ) o fh o p fl i n k sw h i c ha l ec o n s i s to ft w ot r e f o i lk n o t sa n db o r r o m e a n r i n gb yu s i n gt h et i r o p e r t i e so fj o n e sp o l y n o m i a lo fk n o tf u r t h e r ke x p o n e n td e r i v a t i v e i sc a l c u l a t e da n d t h e i rd i v i s i b i l i t yw h e nt = li si n v e s t i g a t e d e s p e c i a l l y ，t h i sp a p e rg i v e st h ed i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e so f t h ej o n e s p o l y n o m i a lo fh o p f l i n k sw h i c ha lec o n s i s to ft w or i g h th a n dt r e f o i lk n o t s k e yw o r d s ：h o p fl i n k s ；j o n e sp o l y n o m i a l ；d i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e s - j ， i i i 1 i 1 2 5 1 2 2 2 2 3 2 4 l 一 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 纽结理论起源于1 9 世纪，最初是为了解决化学领域的一些问题，在1 9 世纪末引起了数 学家的关注在纽结理论的发展过程中，很多数学家都致力于研究纽结的分类最早给纽结 分类的工作开始于十九世纪八十年代，但是给出的方法晦涩难懂。此后，又有很多数学家为 此而努力，给出了很多给纽结分类的方法，方法不断进步，但是仍然有很多不足之处随着 纽结理论的不断发展，给纽结分类的方法也不断完善，其中最为成功的方法就是利用纽结的 不变量进行纽结的分类，而纽结多项式不变量是研究纽结理论的重要工具之一j o n e s 多项 式是纽结不变量，因此，对纽结和链环的j o n e s 多项式进行研究具有很重要的意义 文献 6 6 对于三维球m 定义了幂级数，与讨论三维流形有着密切关系，实际上是主要讨 论o h t s u k i 不变量 厶 ；文献【7 】和文献 8 】分别证明了五l 是6 倍的c a s s o n 不变量和a 2 ( 加3 z ，这些讨论中，代数分离链环起着非常重要的作用，研究) 实质上是研究代数分离链环的 j o n e s 多项式的性质和微分性质由此也体现出研究j o n e s 多项式微分性质的意义 文献 3 给出了由平凡纽结按照h o p f 链接方式构成的链环的多项式具有很好的微分性 质将这样的性质加以推广，讨论更复杂的一些按h o p f 方式链接的链环，如以左手三叶结 或右手三叶结为组件的舶链接而成的链环，以及b o r r o m e a nr i n g 等本文对这几种特殊 的链环多项式的微分性质进行了详细的计算和证明 东北师范大学硕士学位论文 ( 1 ) j o n e s 多项式及其性质 2 预备知识 对于无向纽结或链环的某一投影图，它的尖括号多项式( l ) 由以下三条规则所确定 1 1 ： 1 ) ) = 彳2 ( ：= ) + ( 二至) + ( ) ( ) + 彳一2 ( ： ) = 似2 + a 一2 ) ( ：= ) + ( 彳2 一彳一2 ) ( ： ) + ( ) = ( ) ( ) r p 跏咖f 舢：( 必) ：彳( w ) + 彳一1 ( 只) ：彳( * ) + 彳一( ) ：( ) r e i d r m e i s t e r l ：( = ) = 么( 、= 厂) + 彳一1 ( 2 ) = 彳( 卅2 一a 一2 ) ( _ 、- 一产) + 彳一1 ( 厂) = 一a 3 ) ( 石) = 彳( u ) + a 一1 ( 百) = 爿( 卅2 一彳一2 ) ( - 、_ 一一) + 么一1 ( 、厂) = 一彳3 ( ) 对于有向纽结或链环k 定义坝) 多项式：坝l ) = ( - a 3 ) 一以工( ) ，则坝) 为纽结或链环的合 痕不变量 坝l ) = ( - a 3 ) 一w ( l ，) ( l ) = ( - a 3 ) 一( 州工) + 1 ) ( l ) 2 一 东北师范大学硕士学位论文 = ( - a 3 ) 一“工卜1 ) ( ( 一爿) 3 ( l ) ) = ( 一a 3 ) 一“l ) ( 上) ) = 坝三) 用f 一 替换坝) 多项式中的变量彳就得到j o n e s 多项式：y ) ( f ) = m ) ( f - ) 那么j o n e s 多 项式是纽结或链环的合痕不变量 引理2 1 【2 】设是一个有n 个分支的定向链环，它的j o n e s 多项式m ) z t 1 1 2 , 厂1 2 是 合痕不变量，且满足： j ) 拆接关系式t v ( l + ) 一t v ( l 一) = ( ，m i 一，- 1 1 2 ) y 犯o ) ，式中，k ，l 一，l o 为除去一个交叉点外其 余部分均相同的链环，如图j ； 2 ) 矿( d ；t ) = 1 ，式中，o 为平凡纽结； 3 ) 以 ) = ( t l l 2 + 厂1 2 ) ，式中。表示空链环 引理2 1 中的1 ) 拆接关系式t v ( l + ) 一f y 犯一) = ( ，m i 一厂m ) 矿o ) 在计算j o n e s 多项式的过 程中起着非常重要的作用 l 一 图l 引理2 2 【3 】 设l 和三2 为两个有向链环，三1 # l 2 表示1 与l 2 的和；l 1u l 2 表示上l 与 上2 的并，则 j ) v ( l i # l 2 ) = v ( 9 1 ) h l 2 ) ? 2 ) lul 2 = 一( f 1 2 + f 1 2 ) v ( l i ) v ( 9 2 ) ， ( 2 ) 几个多项式不变量的定义 通过j o n e s 多项式可以定义其它一些多项式不变量：坝) ，( l ) 和) 定义2 1 嘲肌) = 刀若翁芦，其中托为链环的分支数，则 坝0 ) = 坝 ) = 1 3 东北师范大学硕士学位论文 定义2 2 【2 】 ) = 狄l ( - d 。吼7 m ) ，l 为包括空链环及三本身的l 的所有子链环，则 有中( 0 ) = 0 定义( o ) = 0 定义2 3 3 1 啡( l ) = 掣d o ( ll r = 1 针对一类特殊的链环一一按驯方式链接而形成的链环，我们可以讨论它们的几个多 项式不变量性质 4 东北师范大学硕士学位论文 3 以右手三叶结为组件h o p f 链接而成的链环多项式不变量的微分性 质 ( 1 ) 两个平凡分支的h o p f 链环多项式不变量的微分性质 定义3 1 【3 】设l 和l 2 为两个有向链环，则由三1 和2 构成的新的链环三成为- o p f 链 环如图2 图2 引理3 1 【3 】 设工是一个由两个分支l 1 和上2 按照h o p f 方式构成的链环，则 y ( ) = 一o + f ) 以l 1 ) h 2 ) 引理3 2 【3 】设l 是有两个平凡分支构成的一个驯链环，则 j ) v ( l ) = 一f 2 一，1 ，2 ； 2 ) 双) = 一止t + 业l ； 3 ) ( ) = 一百+ 2 t + i 对于这类特殊的链环中最简单的一种链环，也就是由两个平凡分支构成的h o p f 链环， 文献 3 】中给出了它的多项式不变量的微分性质，这里对它进行修正得到下面的结论，由两 个平凡分支构成的f t o p f 链环的多项式不变量有如下这样的微分性质： 引理3 3 设l 是两个平凡分支构成的一个h o p f 链g ，则 ，) 当k 4 时，七) ) 2 1 _ z ； 2 ) 当k 4 时，) 2 - k k ! z 证明 对于1 ) ，1 ；1 ) = 一j 5 t1 3 一；厂 = 一；一 = 一3 2 弛；1 ) = 一；r + 厂i = 一； 5 东北师范大学硕士学位论文 ，l 东北师范大学硕士学位论文 环的多项式的微分性质 右手三叶结的j o n e s 多项式 、 计算右手三叶结的j o n e s 多项式，给定右手三叶结一个方向，将它作为l + ，然后计算它 的j o n e s 多项式如图3 、图4 l 一 一 图3 根据拆接关系式t v ( l + ) 一t v ( l 一) = ( t i 2 一厂m ) m o ) ，以及引理1 1 2 中 上lul 2 = 一( f 1 1 2 + 厂1 2 ) v ( l o v ( l 2 ) ，则 厂1 以：) 一t v ( l l ) = ( f 1 2 一l - l 2 ) y ( ：) 厂1 以：) 一f h o u0 ) = ( t i 2 一厂1 2 ) 以o ) f _ 1 以二) + t ( t 1 1 2 + 厂1 2 ) 以o ) = ( r 1 2 一f 1 2 ) y ( o ) 因为h o ) = 1 ，所以 y 犯0 ) + f l ( t 1 2 + f 一1 ，2 ) = t ( t 1 1 2 一厂1 1 2 ) 矿伍：- ) = t 3 2 一t 1 1 2 一t 5 2 一t 3 2 = 一t i l 2 一t s 2 广1v ( l + ) 一t v ( l 一) = ( t 1 1 2 一厂1 1 2 ) y ( 上o ) 广1 以l + ) 一t v ( o ) = ( t i l 2 一厂1 2 ) 咐o ) v ( l + ) = t 2 + t ( t 1 2 一t - 1 1 2 ) ( 一t 1 1 2 一户胆) = t 2 一f 4 一t 2 + f 3 + t = 一t 4 + f 3 + t 7 ， 东北师范大学硕士学位论文 得到右手三叶结的j o n e s 多项式：矿) = 一，4 + f 3 + t 一 二- 一卫一 o o 三二o 图4 两个右手三叶结按h o p f 方式链接而成的链环，如图5 ： 引理3 4设上是由两个右手三叶结分支按n o p f 链接构成的一个链环，则 j ) v ( l ) = 一f 2 1 2 + 2 t 1 9 2 2 t 1 7 2 + 4 t 1 5 2 3 t 1 3 2 + 2 t 1 1 2 3 t 9 2 一t s 2 ； 2 ) m ) = _ t l l + 2 t l o _ 2 t _ 9 + 4 玎t s _ 3 f l + 2 ，6 一_ 3 t s _ t 3 ， 3 ) 似l ) = _ t 1 1 + 2 t ；。- 2 1 9 + 4 t s _ 3 两t 7 + 2 p s - t 5 - 3 t 3 - 2 一t 2 - t + 1 这个结果利用j o n e s 多项式公式可以得到 两个右手三叶结分支h o p f 链接而成的链环的j o n e s 多项式： 根据引理3 1 ，设上是一个由两个分支工l 和上2 按照h o p f 方式链接构成的链环，则 v ( l ) = - ( d + ，) 矿( 上1 ) 矿2 ) 那么两个右手三叶结分支h o p f 链接而成的链环的j o n e s 多项式： y ) = 一( t s ：+ t l l 2 ) ( 一，4 + t 3 + 力( 一，4 + f 3 + f ) = 一( t s ：+ t l n ) ( t 8 一t 7 一f 5 一t 7 + f 6 + ，4 一户+ ，4 + f 2 1 = 一( r s ：+ t l 2 ) ( t 8 2 t 7 2 t s + t 6 + 2 一+ f 2 1 = 一f 产l ，2 2 t 1 9 2 + t 1 7 2 2 t 1 5 2 + 2 t 1 3 2 + t 9 2 + t 1 7 2 2 t 1 5 2 + t 1 3 2 2 ，l l ，2 + 2 t 9 2 + t 5 2 ) = _ 2 1 2 + 2 t 1 9 1 2 2 t 1 7 2 + 4 t 1 5 2 3 t 1 3 2 + 2 f l1 1 2 3 t 9 2 一t 5 2 8 ， = _ t 11 + 2 t l o _ 2 t 9 + 1 4 _ t x 广_ 3 t 7 + 2 t 6 - 3 r s - t 一3 2 ( 一t 4 + t 3 + f ) + 1 ：= 1 1 1 = 型1 0 = 型9 = ：1 7 至= i ；= ! 【= = z 生蔓丝竺! 卜- l = _ t 1 1 + 2 t l o - 2 t 9 + 4 t 8 - 1 3 t 玎7 + 2 t 6 - t 5 - 3 1 3 _ 2 t 一2 - t + 1 考察这些多项式的微分形式，可以得到以下结论： 定理3 1设三是由两个右手三叶结按h o p f 方式链接构成的链环，则 j )当j | 1 2 时，) 2 1 - k z ； 2 ) 当k 1 2 时，啡) 2 - k k ! z 证明 对于1 ) ， 当| | 1 2 时， 俨( 三；1 ) = ( 一f 2 1 1 2 + 2 t 1 9 2 2 t 1 7 1 2 + 4 t 1 5 2 3 t 1 3 2 + 2 t 1 1 2 3 t 9 2 一f 5 ，2 严i , - - 1 ：一型纠；垡：型+ 业竖骘掣2 - 1 7 1 1 ( - ) k ，- 9 ( 2 k - 1 9 ) ! ! + 4 1 5 11 ( - i ：- s ( 2 k - 7 ) ! ! 一2 ：1 2 11 【= 12 1 ：【丝= ! 翌! ! + ：! ! ! ! 【= ! 芏：f 丝= 1 2 2 1 1 t # 3 - 911 f l p 一5 ( 2 一11 ) ! 1511 ( 一1 ) k - 3 ( 2 k - 7 ) ! ! t = i = ! 掣卜2 1 11 2 1 911 ( 2 k 一2 1 ) 一2 1 71 i ( 2 k 一1 9 ) ( 2 k 一2 1 ) - - 4 1 511 ( 2 k 一1 7 ) ( 2 k 一1 9 ) ( 2 k 一2 1 1 3 1 311 ( 2 七一1 5 ) ( 2 k 一1 7 ) ( 2 k 一1 9 ) ( 2 k 一2 1 ) 9 东北师范大学硕士学位论文 - 2 1 111 ( 2 七一1 3 ) ( 2 k 一1 5 ) ( 2 k 一1 7 ) ( 2 k 一1 9 ) ( 2 k 一2 1 ) - 3 91 1 ( 2 k 11 ) ( 2 k - 1 3 ) ( 2 k 1 5 ) ( 2 k 1 7 ) ( 2 k 1 9 ) ( 2 k - 2 1 ) 5 v ! ( 2 k 一7 ) ( 2 k 一9 ) ( 2 k 一11 ) ( 2 k 一1 3 ) ( 2 k 一1 5 ) ( 2 k 一1 7 ) ( 2 k 一1 9 ) ( 2 k 一2 1 ) = 生芷：鹊掣 9 1 6 6 2 0 7 0 5 + 2 4 3 6 4 8 6 0 5 ( 2 k 一2 1 ) + 2 2 2 9 7 2 9 5 ( 4 k 2 8 0 k + 3 9 9 ) + 4x1 3 5 1 3 5 ( 8 k 3 2 2 8 k 2 + 2 1 5 8 k 一6 7 8 3 1 + 3x9 0 0 9 ( 1 6 k 4 5 7 6 k 3 + 7 7 3 6 k 2 4 5 9 3 6 k + 1 0 1 7 4 5 、 + 2 6 9 3 ( 3 2 c 5 1 3 6 0 k 4 + 2 2 9 6 0 k 3 1 9 2 4 3 0 k ：+ 8 0 0 6 5 8 k 一1 3 2 2 6 8 5 ) + 3x6 3 ( 6 4 k 6 3 0 7 2 k 3 + 6 0 8 8 0 k 4 6 3 7 4 2 0 k 3 + 3 7 1 8 0 4 6 肛一11 4 5 2 6 0 8 k + 1 4 5 4 9 5 3 5 ) ( 2 5 6 j 8 1 4 3 3 6 k 7 + 3 8 2 3 9 6 k 6 4 6 9 1 3 7 6 k 5 + 3 9 1 0 5 0 6 4 k 4 2 0 4 9 4 5 3 6 4 k 3 + 11 8 2 9 1 8 4 9 4 k 2 一i1 8 7 0 9 9 4 2 4 k + 9 1 6 6 2 0 7 0 5 ) = 生! 笔巡( 2 5 6 萨一1 4 3 3 6 k 7 + 3 9 4 4 9 2 k 6 5 2 2 7 6 3 2 c 5 + 4 9 1 5 8 8 5 6 k 4 3 0 4 8 3 8 4 1 6 k 3 + 1 7 2 3 1 3 7 3 2 0 c 2 2 5 0 9 9 3 0 0 8 0 k + 1 8 3 3 2 4 1 4 1 0 1 = i = 生兰乓娑掣( 1 2 8 k s 一7 1 6 8 k 7 + 1 9 7 7 4 6 驴一2 6 1 3 8 1 6 k 5 + 2 4 5 7 9 4 2 8 k 4 1 5 2 4 1 9 2 0 8 p 8 6 1 5 6 8 6 6 0 k 2 1 2 5 4 9 6 5 0 4 0 k 9 1 6 6 2 0 7 0 5 ) 2 1 一i z 对于2 ) 有 当k 1 2 时， 呶) = c ：( 击) ( 一t 1 1 + 2 t l o 一2 t 9 + 4 t s 一3 f 7 + 2 f 6 一f 5 3 ，3 2 f 2 一f + 1 ) o ) + q ( 由) ( 扣1 ( 一f 1 1 + 2 t l o 一2 f 9 + 4 f 8 3 f 7 + 2 f 6 一f 5 3 f 3 2 f 2 一f + 1 ) ( 1 + + 一1 ( 由) 1 ( - t 1 1 + 2 t l o 一2 f 9 + 4 t s 一3 t 7 + 2 t 6 一，5 3 ，3 2 f 2 一f + 1 ) 钟一1 ) + c ：( 由) ( o ( 一f 1 1 + 2 t l o 一2 f 9 + 4 f 8 3 t 7 + 2 f 6 一f 5 3 f 3 2 f 2 一f + 1 ) 妁 i f = l - 七! c 2 ( 一l 严石南( 一r 1 1 + 2 t 1 0 2 t 9 + 舻一3 t 7 + 2 f 6 一f 5 3 f 3 2 f 2 一h1 ) + 一1 ) ! q ( 一1 ) 南( 一1 1 t 1 0 + 2 0 t 9 1 8 声+ 3 2 t 7 2 1 ：+ 1 2 ：一5 f 4 9 f 4 t 1 ) + ( 七一2 ) ! ( 一1 ) 一2 石：订1 阿( 一ll o t 9 + 1 8 0 ：一1 4 4 t 7 + 2 2 4 ：一1 2 6 ：+ 6 0 t 4 2 0 ：一1 8 t 一4 ) + ( 七一3 ) ! c 3 ( - 1 ) k - 3 石；南口( 一9 9 0 f 8 + 1 4 4 0 t 7 1 0 0 8 ：+ 1 3 4 4 ：一6 3 0 t 4 + 2 4 0 ：一6 0 r 2 1 8 ) + ( 七一4 ) ! ( 一l 广一石_ 1 阿( 一7 9 2 0 f 2 + 1 0 0 8 0 ：一6 0 4 8 0 ：+ 6 7 2 0 ：一2 5 2 0 ：+ 7 2 0 ，2 1 2 0 t ) + ( i i 一5 ) ! ( 一1 ) 一5 石扣( 一5 5 4 4 0 ，6 + 6 0 4 8 0 ：一3 0 2 4 0 ：+ 2 6 8 8 0 p 一7 5 6 0 f 2 + 1 4 4 0 t - 1 2 0 ) + ( 七一6 ) ! ( 一1 ) j i 娟石；南胃( 一3 3 2 6 4 0 f 5 + 3 0 2 4 0 0 f 4 1 2 0 9 6 0 p + 8 0 6 4 0 t ：一1 5 1 2 0 t 一1 4 4 0 ) + ( 后一7 ) 1 c 7 ( 一i ：- 7 石；南胃( 一1 6 6 3 2 0 0 ，4 + 1 2 0 9 6 0 0 p 一3 6 2 8 8 0 ，2 + 1 6 1 2 8 0 t + 1 5 1 2 0 ) 一 东北师范大学硕士学位论文 + ( 七一8 ) ! c ：( 一l 严一8 石；南胃( - 6 6 5 2 8 0 0 f 3 + 3 6 2 8 8 0 0 f 2 7 2 5 7 6 0 t + 1 6 1 2 8 0 ) + ( 七一9 ) ! ( 一1 ) 一9 石扣( 一1 9 9 5 8 4 0 0 ：+ 7 2 5 7 6 0 0 t 一7 2 5 7 6 0 ) + ( j | 一1 0 ) ! q o ( 一1 ) 一1 0 石_ 浮1 了( 一3 9 9 1 6 8 0 0 t + 7 2 5 7 6 0 0 ) + ( 七一1 1 ) ! c , 1 1 ( 一1 广一1 1 石；丽1 ( 一3 9 9 1 6 8 0 0 ) l ，_ 1 = k ! c ? k ( - 1 ) 。蠢( 4 ) + ( k - 1 ) ! c ( 一1 ) 一1 毒( 一5 ) + ( 七一2 ) ! ( 一1 ) 一2 型l - 4 2 + 一3 ) ! c ：( 一1 ) 扣3 由。3 1 8 + q c 一4 ) ! c ；( 一1 ) - 4 士9 1 2 + ( 七一5 ) ! ( 一1 ) 一5 蠹i - ( - 4 5 6 0 ) + ( | | 一6 ) ! q ( 一1 ) 南( - 8 7 1 2 0 ) + 一7 ) ! 哪( 一1 ) 扣7 击( - 6 7 0 3 2 0 ) + ( 七一8 ) ! ( 一1 ) 扣8 南( - 3 5 8 8 4 8 0 ) + 一9 ) ! c ：( 一1 广- 9 由( - 1 3 4 2 6 5 6 0 ) + 一1 0 ) ! c ：o ( 一1 ) j - 1 0 南( - 3 2 6 5 9 2 0 0 ) + 一11 ) ! q 1 ( 一1 ) 而1 ( - 3 9 9 1 6 8 0 0 ) ：兰：! g ；! 芷一i ：盟1 0 芏：! + ! ：! ! 鼻1 2 ： # + 】，t r ， 一l 。3 1 8 k ! ( - 1 ) t - 2 9 1 2 膏i ( 一1 生_ 4 ( - 4 5 6 0 ) k1 9 ( - 1 ) , t - 5 十巫，= 广十不萤习一一j 豆再r 一 8 7 1 2 0 k ! ( - 1 ) * - 66 7 0 3 2 0 - k ! ( - 1 ) - 73 5 8 8 4 8 0 - k 1 9 ( - 1 ) t - s t 一57 f ，p 6r f 一7 1 3 4 2 6 5 6 0 削( 一1 ) 一93 2 6 5 9 2 0 0 肌( 一l p 一1 03 9 9 1 6 8 0 0 女1 9 ( 一i r 一1 1 91 2 一81 01 2 一91 11 2 k 一1 0 = 学 k ( - i - 1 1 1 ( 一1 ) n + 5 ( 一1 ) 1 0 + 2 1 2 ( 一1 ) 9 + 5 3 2 2 ( 一1 ) 8 + 3 8 2 3 ( 一1 ) 7 3 8 2 4 ( 一1 ) 6 1 2 l 2 5 ( 一1 ) 5 1 3 3 2 6 ( 1 ) 4 8 9 2 7 ( 一1 ) 3 3 7 2 8 ( 一1 ) 2 + 2 m ( 一1 ) o 一9 2 9 ( 一1 ) 1 9x 8x7 6 5 3 = 型筚( 2 + 5 4 2 + 2 1 2 3 0 4 6 0 8 + 3 8 7 2 8 5 1 2 + 1 1 3 9 2 9 4 7 2 4 6 0 9 1 0 2 ：) = 芈哕( - 9 0 8 7 ) f2 七豇f z 1 1 东北师范大学硕士学位论文 4 左手三叶结按h o p f 方式链接而成的链环及伯明翰链环多项式不变 量的微分性质 ( 1 ) 以左手三叶结为组件t t o p f 链接而成的链环多项式不变量的微分性质 以两个左手三叶结为组件h o p f 链接而成的链环的j o n e s 多项式的微分性质： 首先计算左手三叶结的j o n e s 多项式，给左手三叶结一个方向，如图6 和图7 一 图6 利用拆接关系式t v ( l + ) 一t v ( l 一) = ( t i l 2 一厂1 1 2 ) v ( l o ) ，可以得到 广1 v ( o u o ) 一t v ( l ) = ( f 1 ，2 一厂1 2 ) y ( o ) f y ( 三二) = 厂1 矿( o uc ) ) 一( t i l 2 一厂1 1 2 ) 以0 ) m 二) = t - 2 h o uo ) 一厂1 ( f m i t - 1 1 2 ) 以o ) y 二) = t - 2 ( t 1 1 2 + 广1 1 2 ) 一t - i ( f 1 2 一厂1 1 2 ) y ( o ) = 一t - - 1 1 2 一t - s 1 2 1 2 t v ( l 一) = 厂1v ( l + ) 一( t l l 2 一t - 1 2 ) v ( l o ) v ( l 一) = 厂2v ( l + ) 一广1 0 1 1 2 一t - u 2 ) 以o ) = 厂2v ( o ) 一t - i ( f 1 2 一t - 1 2 ) 矿( 三二) = t - 2 一厂l ( t l 2 一f 一1 1 2 ) ( 一厂1 2 一t - 5 1 2 ) = 厂l + 厂3 一t - 4 那么左手三叶结的j o n e s 多项式：v ( l ) = t 一1 + 广3 一产 三二 一三一一 l 。 图7 再计算两个左手三叶结分支的h o p f 链接而成的链环的j o n e s 多项式，如图8 根据引理3 1 ，两个左手三叶结分支的h o p f 链接而成的链环的j o n e s 多项式： v ( l ) = ( 一f 5 2 一t l l 2 ) ( f 一1 + 厂3 一f - 4 ) 2 = ( 一r 5 ，2 一t l l 2 ) ( t 一8 一t - 5 一t - 7 一t - 5 + 厂2 + f _ 4 一f 一7 + f - 4 + ，6 ) = ( 一t 5 2 一t l 2 ) ( t 一8 2 t - 7 + r - 6 2 f 一5 + 2 t - - 4 + 厂2 ) = 一f 1 5 2 + 2 t 一1 3 1 2 2 f l l 2 + 4 厂9 1 2 3 t - 7 2 + 2 f 5 2 3 厂3 2 一t l 2 再利用j o n e s 多项式得到其它的多项式不变量x ( l ) 和犯) m ) = 刀釉 ：= ! 坠型：= 2 型：挲编型纽竺立：兰坐 二4 广i ， = t t l 2 ( _ t - - 1 5 2 + 2 f 1 3 2 _ 2 t - 1 | 2 + 4 t - - 9 1 2 _ 3 f f 7 1 2 + 2 t - 5 2 _ 3 t - j 2 _ t 1 2 ) f + 1 ( ) = l c l ( 一1 ) 粒爿x ( l ) 1 3 东北师范大学硕士学位论文 = ( 一1 ) 2 2 x ( l ) + 2 ( 一1 ) 2 1 坦l ，) + ( 一1 ) 2 - o x ( o ) 为左手三叶结) = 坝三) 一2 x ( l ) + 坝 ) = - t - 7 + 2 t - 6 - 2 t 5 + 4 t 再 4 r - 3 t - 3 + 2 t - 2 - 3 t 一- j - t 一2 ( 广1 + 厂3 一f - 4 ) + 1 = - t - 7 + 2 t 6 - 。2 ：5 + 6 ? t - 4 - 3 t 3 - 5 t - 1 一- 1 图8 计算得到的琊) 和c o ( l ) 分子上t 的指数出现了负数，那么在计算k 阶微分时，将不能得 到有限项的多项式，因此无法得到类似于两个右手三叶结分支按n o ；f 链接而成的链环的结 论，但是仍然能够得到下面的结论： 定理4 1设工是由两个左手三叶结按h o p f 名连接构成的一个链环，则 当i j 2 时，俨) 警z 证明 当k 2 时， 删化) = ( _ t - 1 5 2 + 2 t - 1 3 2 2 t - 11 2 + 4 f - 9 2 3 t - 7 2 + 2 t 一5 2 3 t 一3 2 一t i 2 ) ( lt = 1 = 一( 一1 ) j | 普警- f - 半+ 2 ( 一1 广爷警f 半一2 ( - 1 7 群厂半 + 4 ( _ 1 ) 筹厂学一3 ( - 1 7 掣f - 2 譬2 + 2 ( - 1 ) k 掣厂学 一3 ( 一l 严错厂学+ ( 一1 旷学f - 学if = 1 ：未兰( 2 七一3 ) ! ! 【l 一3 ( 4 萨一1 ) + 2 ( 8 k 3 + 1 3 2 1 2 1 - 2 k - 3 ) 一3 ( t 6 k 4 + 6 4 k 3 + 曩5 厂6 k 2 - 1 6 k - 1 5 ) + 塑坠地坠磐祭型生幽2 ( 6 4 一+ 7 6 8 k 5 + 3 2 8 0 k 4 + 5 叫7 6 0 k 3 + 2 9 5 6 r 2 - 1 4 8 8 k - 9 4 5 ) + 2 ( 1 2 8 k 7 + 2 2 4 0 驴+ 1 5 0 0 8 k s + 4 7 6 0 0 k 1 1 a + i f 6 9 2 7 2 , 3 + 2 9 5 4 0 k 2 - 1 8 2 5 8 k - 1 0 3 9 5 ) 一2 5 6 k s + 6 1 4 4 k 7 + 5 9 1 3 6 # + 2 9 0 3 0 4 k 5 + 7 5 7 3 4 1 4 1 k f f 4 + 9 5 9 6 1 6 k 3 + 3 4 7 5 0 4 k 2 - 2 5 8 1 4 4 k - 1 3 5 1 3 5 j 1 = 铲【1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5 3 ( 4 k 2 1 ) + 4 5 0 4 5 2 ( 8 k a + 1 2 r 2 - 2 k 一3 ) 一9 0 0 9x3 ( 1 6 矿+ 6 4 护+ 5 6 k 2 1 6 k 一1 5 ) + 1 2 8 7x4 ( 3 2 k 5 + 2 4 0 k 4 + 5 6 0 k 3 + 3 6 0 萨一1 4 2 k 一1 0 5 ) 一1 4 3 2 ( 6 4 ：+ 7 6 8 k 5 + 3 2 8 0 k 4 + 5 7 6 0 k a + 2 9 5 6 k 2 1 4 8 8 k 一9 4 5 ) + 1 3 2 ( 1 2 8 k 7 + 2 2 4 0 k 6 + 1 5 0 0 8 k 5 + 4 7 6 0 0 k 4 + 6 9 2 7 2 k a + 2 9 5 4 0 k 2 1 8 2 5 8 k 一1 0 3 9 5 ) 一f 2 5 6 胪+ 6 1 4 4 f + 5 9 1 3 6 k 6 + 2 9 0 3 0 4 k 5 + 7 5 7 3 4 4 k 4 + 9 5 9 6 1 6 p 东北师范大学硕士学位论文 + 3 4 7 5 0 4 k 2 2 5 8 1 4 4 k 1 3 5 1 3 5 ) = 静( 1 3 5 1 3 5 1 6 2 1 6 2 0 肛- 4 0 5 4 0 5 + 7 2 0 7 2 0 k 3 + 1 0 8 1 0 8 0 p 一1 8 0 1 8 0 k - 2 7 0 2 7 0 4 3 2 4 3 2 驴一1 7 2 9 7 2 8 k 3 1 5 1 3 5 1 2 j | 2 + 4 3 2 4 3 2 k 4 - 4 0 5 4 0 5 + 1 6 4 7 3 6 k 5 + 1 2 3 5 5 2 0 k 4 + 2 8 8 2 8 8 0 k 3 + 1 8 5 3 2 8 0 k 2 7 3 1 0 1 6 k 一5 4 0 5 4 0 1 8 3 0 4 k 6 2 1 9 6 4 8 矿一9 3 8 0 8 0 k 4 1 6 4 7 3 6 0 k 3 8 4 5 4 1 6 k 2 + 4 1 4 1 2 8 k + 2 7 0 2 7 0 + 3 3 2 8 k 7 + 5 8 2 4 k 6 + 3 9 0 2 0 8 k 5 + 1 2 3 7 6 0 0 k 4 + 1 8 0 1 0 7 2 k 3 + 7 6 8 0 4 0 k 2 4 7 4 7 0 8 j i 一2 7 0 2 7 0 2 5 6 | | 8 6 1 4 4 k 7 5 9 1 3 6 k _ 6 2 9 0 3 0 4 k 5 7 5 7 3 4 4 矿 一9 5 9 6 1 6 k a 一3 4 7 5 0 4 萨+ 2 5 8 1 4 4 七+ 1 3 5 1 3 5 1 = ( - 1 ) k ( 2 ：k 。：3 ) ! ! ( _ 2 5 6 k s - 2 8 1 6 k 7 1 9 2 0 0 k 6 + 4 4 9 9 2 矿+ 3 4 5 2 6 4 k 4 + 1 0 6 7 9 6 8 k 3 6 2 5 6 5 2 k 2 2 8 1 2 0 0 k 一1 3 5 1 3 5 1 警z ( 2 ) 以左手三叶结和右手三叶结为组件h o p f 链接而成的链环多项式不变量的微 分性质 除了以两个左手三叶结分支或两个右手三叶结为组件做h o p f 链接，我们还可以考察一 个左手三叶结和一个右手三叶结做h o p f 链接而成的链环，它的多项式不变量具有怎样的微 分性质如图9 ； 图9 左手三叶结与右手三叶结按t t o v f 方式做链环，计算j o n e s 多项式、雄) 以及m ) v ( l ) = 一( 一f 5 ，2 一t i 2 ) ( 厂1 + 广3 一，一4 ) ( 一，4 + ，3 + t ) = 一( _ t 5 2 一t i 2 ) ( 一户+ 产一t + 3 一厂1 + ，- 2 一厂3 ) = f 1 1 1 2 一t 9 1 2 + 2 t 7 2 4 t 5 2 + 2 t 3 2 4 t 1 1 2 + 2 t - 1 2 一t - 3 1 2 + 1 5 2 。m ) = 刀辱v t 呱l ) 两 = t 1 1 2 _ t 9 2 + 2 t 7 2 _ 4 r s 2 + 再2 甲t 3 2 了_ 7 = 4 t 1 1 2 + 2 t - i 2 _ t - 3 2 + 1 5 2 ， 广l ， = t 6 - r s + 2 t a - 4 t 3 1 + 2 玎f 1 - 4 t + 2 - t 一- 1 + t 2 ) = 工，c 工( 一1 ) 扎虬坝7 ) = ( 一1 ) 2 2 坝己) + ( 一1 ) 2 1 琊) + ( 一1 ) 2 1 x ( l ”) + ( 一1 ) 2 一。坝1 8 i ) ( 三7 为右手三叶结，工”为左手三叶结) 叠， 东北师范大学硕士学位论文 = 7 s - r s + 2 t 4 - 4 t 3 1 + 草2 7 广- - - 4 t + 2 - f 1 + 一t 2 一( 一，4 + f 3 + ，) 一( 厂1 + f - 3 一产) + 1 = t 6 + 2 t d _ 5 t 3 + t 百2 _ t 4 t + 2 _ 2 t l 一+ 1 - 4 类似于两个左手三叶结做h o p f 链接而成的链环，左手三叶结与右手三叶结按h o p f 方 式做链环的j o n e s 多项式具有以下的的微分性质： 定理4 2设三是由一个左手三叶结和一个右手三叶结做日啊链接构成的链环，则 当k 7 时，删) 生字z 证明 当k 7 时， 胪；1 ) ：型丝必一业业警坐业+ 2 7 h ( - 1 芷；( 2 k - 9 ) ! ! - 4 5 h ( - 1 ) t - 3 ( 2 k - 7 ) ! ! + 2 卫旦卫；掣一4 ( - d k - 1 诹t 2 k - 3 ) ! ! + 2x ( - 1 ) k ( 2 2 。k - 1 ) ! ! 一学+ 警 = ( - 1 芷- 6 ( 2 k - 1 3 ) ! ! 3 1 111 + 3 9 11 ( 2 七一1 1 ) + 6 711 ( 2 七一1 1 ) ( 2 k 一9 ) + 1 2 511 ( 2 j | 一1 1 ) ( 2 k 一9 ) ( 2 k 一7 ) + 6 x311 ( 2 七一1 1 ) ( 2 k 一9 ) ( 2 k 一7 ) ( 2 k 一5 ) + 1 2 ( 2 k 11 ) ( 2 k 9 ) ( 2 k 7 ) ( 2 k 一5 ) ( 2 k 3 、 + 6 ( 2 j i 一1 1 ) ( 2 k 一9 ) ( 2 k 一7 ) ( 2 k 一5 ) ( 2 k 一3 ) ( 2 k 一1 ) 一3 ( 放一1 1 ) ( 2 k 一9 ) ( 2 k 一7 ) ( 2 k 一5 ) ( 2 k 一3 ) ( 2 k 一1 ) ( 2 k + 1 ) + ( 2 j | 一1 1 ) ( 2 k 一9 ) ( 2 k 一7 ) ( 2 k 一5 ) ( 2 k 一3 ) ( 2 k 一1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ) 】 =