（基础数学专业论文）交换环的m赋值、序和亚序.pdf

i n 2 0 0 2 , d e g e n z h a n g i n t r o d u c e d t h e n o t i o n o f m- v a l u a t io n s . c o m m u t a t i v e r i n g s .b o 山m a n is v a l u a ti o n s a n d f o r m a ll y f i n i t e v - v a l u a t i o n s m a y b e c o n s i d e r e d a s 即 c c i a l m- v a l u a t i o n s .i t s h o u l d比 a s i g n i f i c a n t a tt e m p t t o g e n e r a l i z e t h e r e l e v a n t r e s u l ts o n ma n i s v a l u a t io n s a n d f o r m a ll y f i n i t e vv a l u a t i o n s t o m - v a l u a t i o n s 加t h e c a t e g o ry o f c o m m u ta t i v e 血梦. t h is p a p e r i s d i v i d e d i n t o t h e f i v e s e c t i o n s a s f o ll o w s : s e c t io n 1 i s t h e i n t r o d u c t i o n o f t h is p a p e r . i o 山 i s s e c t i o n w e d e s c r i b e 山 . c u r r e n t s t a t u s o f t h e r e s e a r c h o n v a r i o u s v a l u a t i o n s o f c o m m u t a t i v e r i n g s . i n s e c t i o n 2 ,w e g i v e.s l i 沙t l y m o d i fi e d n o ti o n o f m - v a l u a t io n s w h i c h i s e q u i v a n l e n t t o t h e n o ti o n i n t ro d u c e d b y d e g e n 7 . h a n g . m o r c o v e r s o m e b a s i c r e s u l t s a r e e s t a b l i s h e d . i n s e ct i o n 3 ,t h e n o t i o n o f c o v e r i n g i n d e c e s i s i n t r o d u ce d . b a s e d o n c o v e r i n g i n d e c e s s o m e i m p o r t a n t p r o p e rt i e s o f o r d e r e d m o n o i d a r e o b t a i n e d . 加s e c t io n 4 ,t h e c o m p a t i b i l i t y b e t w e e n m- v a lu a t i o n s a n d o r d e r i n g s i s i n t r o d u c e d i n t h e c a t e g o ry o f c o m m u t a ti v e r i n g s . w i t h t h e a i d o f c o v e r i n g i n d e ces ,t h e c o m p a ti b i l i t y b e t w e e n m- v a l u a ti o n s a n d o r d e r i n g s i s c h a r a c t e r i z e d . s e c t i o n 5 d e a l s w 汕 t h e c o m p a ti b i li t y b e t w e e n m - v a l u a ti o n s a n d p r e o r d e r i n g s f o r c o m m u ta ti v e r i n g s . b y i n t r o d u c i n g t h e s o - c a l l e d t - c o v e r i n g i n d e ce s ， w e o b t a i n a n e ce s s a r y a n d s u f fi c i e n t c o n d i ti o n f o r a m - v a l u a ti o n t o b e c o m p a ti b l e w i t h a p r e o r d e r i n g o f a c o m m u ta ti v e r in g . k e y w o r d s : o r d e r i n g ; f r e o r d e r i n g; m - v a lu a ti o n ; c o m p a t i b i li t y ; c o v e r i n g i n d e x ; t - c o v e r i n g i n d e x i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其 他 人已 经 发 表或 撰 写 过的 研 究 成 果， 也 不 包 含为 获 得 通叫左或 其他 教 育 机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同 工作的同 志对本研究所做的 任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意. 学 位 论 文 作 者 签 名 (手 写 ): 黄 扒束签 字 日 期 : 呵年 月 i 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了 解而岛大学有关保留、 使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。 本人 授权南昌大含可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学 位 论 文 作 者 签 名浮 写 ，: 黄 杜束 签 字 日 期 : a-01 年 月了 日 导 师 签 名 、手 写 )增仔 签 字 日 期 : 02-007 年 “ ” “ 日 学 位论 文作者毕业后去向: 工作单位: 通讯地址: 电话: 邮编: 第一节 引言 第一节 引言 1 9 2 7 年，德国代数学家e . a r t i n 使用序域理论对h i l b e r t 第十七问 题作了肯 定的回答。 为了 解决h i l b e r t 第十七问题，e .a r t i n 和o s c h r e i e r 一同建立了实域 理论。 与此同时， 八 战 加他们还考虑了域的实扩张和序扩张， 特别地 研究了一类 极为重要的实域一实闭 域， 并得到了许多和实数域类 似的重 要性质。 继a rt i n 之 后， 许多学者也纷纷开 始对实 域理论进行研究，分 别提出了 域上的 赋值及位的 概念 ( 见文献 1 ) , 2 ) , ( 3 ) , l 4 ) ) . 在此之后人们又分别在域上定义了 实赋值和实 位的 概念，并 讨论了 实位与 序的 相容性 ( 见文献 5 1 , 6 1 , 7 1 , ( 8 1 , 9 1 , ( 1 0 1 ) 。 作为实 域理论的一 种 推广， 把序、 实位和实 斌值等有关概念推广到环上是十分自 然和有意义的。 1 9 6 4 年，n .b o u r b a k i 讨论班【 1 1 ) 在交换环上引进了 赋值的 概念， 这种赋值在当今的 一些文献中被称为m a i n s 斌值。m a i n s 赋值提出后，这种赋值被得到广泛的应 用。 许多与m a i n s 斌值相关的概念和结论得以 建立 ( 见 文献【 1 2 ) , 1 3 ) , 1 4 ) , 1 5 ) 、 1 6 3 , 1 7 ) , 1 8 ) ) . 1 9 8 9年，h a 和v i t u l l i 在文【 1 9 中引 进了 环上v - 斌值的概念，这个 概念 蕴 含了 m a n ns 赋 值. h a 和r tu ll i 把 三 要 素 组少 ， + ， 习 称 为 v 一 么 半 群， 如果以下条件满足: ( 1 ) ( r , + ) 是一个交换么 半群: ( 2 )代， 习是有极大元的全 序集， 该极大元记为w; ( 3 ) 对于a , 声 , y e r ，由。 声 可推出a + y 声 + y : ( 4 ) 对于y e r , y + 一 00 ; ( 5 ) 对 于a , 声 e r ， 由 a 声 有y e r ， 使得 。 + y o s 声 + y 。 同 时， 一 个 对( v , r ) 被 称 为 交 换 环r 的 v 一 赋 值， 其中 r 为 v 一 么 半 群， v 是 r 到r 的 一个满射，若下列条件 成立: ( 1 ) v ( x y ) 一 v (x ) + v (y ) ， v x , y e r : ( 2 ) r 中存在一 个可逆元e ， 使得 ( i ) v ( x + y ) + v ( e ) 二 m i n v ( x ) v ( y ) l , v x , y e r; ( i i ) 若v ( s ) 0 ， 则 存 在 n g n， 使 得n v (s ) + v ( e ) 0 0 满足上面定义中条件 ( 2 ) 的可 逆元e 称作v 一 斌值v 的一个指数。 若e - 1 清 第一节 引言 足 条 件 ( 2 ) ， 则 称( v . r ) 是 形 式有限 的; 否 则， 称( v , r ) 为 形 式 无限 的 易 证， v ( 1 ) - 0 , v ( 0 ) - o 0 . 此 外 易 见， 当r m 为 加 法 群 ， 且(v , r ) 为 形 式 有 限 时 ， ( v , n 即 为m a n is 斌 值. 应 特别 指出 ， 浅 显m a n is 赋值( v , r ) 并不 是v - 斌 值， 因 为 r - o , - ) 不 是v 一 么 半 群. 当r 为 浅 显v 一 么 半 群时 ， 称(v , n为 浅 显v 一 赋值 ; 否 则， 称(v , 巧为 非 浅 显v 一 斌值 。 2 0 0 4 年，截小 花 2 0 ) 在文【 1 9 的 基础上定义了v 一 赋值与亚 序的 相容性和 实v 一 赋值， 并研究了 实v 一 斌值和亚 序的 联系。 2 0 0 2 年， 张的 根在文 2 1 中 提出了 一个交换环的m一 斌 值的定义。m一 斌 值包含了 我们所熟知的m a i n s 赋值和d .k . h a r r i s o n 、ma y u u l l i 于文【 1 9 中提 出的v一 斌值等。 自 张的根提出m一 赋值这一概念后，关于m一 斌值的进一步研究 再未见论 述。由于m一 斌值的定义蕴涵了ma i n s 斌值以及f- 斌值的定义。因此，荃于文 1 2 , 1 4 ， ， 1 5 , 1 6 , 1 7 对交换环上序 ( 亚序) 和实赋 值 ( 实位) 的讨论， 我们 自 然会思考这样的问 题:能不能定义m一 斌值与 环的亚 序的相容性， 能否得出 m一 斌值与亚 序相容的 充要条 件。 进一步讨论交换 环的m一 斌值与 亚序的 联系， 从而建立有关交换环上的m一 斌值的 理论体系，这是一个值得研究的课题。 在 本文中，我们 将在等 价的意义下， 首先对张的 根所引 进的m一 赋值的 概 念稍加 修改， 然后定 义m一 赋值与 序之间 的相容性。通过引进所谓的“ 覆盖指 标集” 和 “ t 一 覆盖指标集” ，我们建立了 有关m一 赋值与序和亚序相容的一些 结果。 第二节 基本概念 第二节 基本概念 本文所讨论的环均指有乘法单位元素的交换环，并且要求它的子环也具有 同一单位元素。 如下几个定义可见于文献 2 1 1 。 定 义2 . 1 三 要 素( r , + , s ) 称为 序x 半 群 ， 如 果 下 列 条 件 成 立 : ( 1 ) (r , + ) 是 一 个 带 有 零 元的 交 换 半 群 : ( 2 ) (r , s ) 是 一 个 序 集 ; ( 3 )对于“ ， 夕 , y e r ，由。 s ,8 可推出“ + y s 夕 + y 。 r . - o ) 显 然 是 一 个 序么 半 群 。 这 样 的 序么 半 群r . 称 为 浅 显 序么 半 群 . 注 意 ， 浅显序么半群实际上是一个序群。 对于一 个序么半 群r ， 通过添加r 之外的 一个符号co， 可扩充为一个新的 序 么 半 群r u - ) ， 若 规 定 如 次: ( 1 ) w+ a o - a o : ( 2 ) 对于 任意y e r ，r co， 且y + 00 c c , 容 易 证明 ， 若 对 于a 消e r ， 其中 a 夕 ， 总 有y e r ， 使 得。 + y o s 声 + y , 则r u oo 是一个v 一 么 半群。 在文 2 1 1 中， 张的 根引进了 如下 关于m一 赋值的定义: 定义2 . 2设r 为一 个序么 半群， 且r是一个 环。 r 到r u - ) 的一 个映 射v 被 称为环r 上一个m一 赋 值，如果下列条件成立: ( 1 ) v ( x y ) 一 v ( x ) + v ( y ) ，v x , y e r; ( 2 ) v ( x + y ) 二 m i n v ( x ) , v ( y ) ) , v x , y e r ; ( 3 ) v ( 1 ) 一 0 , v ( 0 ) 一 ，. 不失等价性，我们可将 m一 斌值的定义稍加修改如下: 第二节 基本概念 定 义2 . 3 设r 为 一 个 序么 半 群， 且r 是 一 个 环. r 到r u t - ) 的 一 个 满 射v 被 称为环r 上一个m一 赋值， 若下列条 件成立: ( 1 ) v ( x y ) 一 ， 冈 + v 臼 ) ，v x , y e r : ( 2 ) v ( x + y ) 二 . i n ( v ( x v ( y ) j , v x , y e r. 此时，称r是v 的值么半群。 显 然， 当 r u o 为 v 一 么 半 群 时， v 为 形 式 有限 v 一 斌 值 : 当r 为 群 时， v 为 m a n i s 赋值。 此外易见， 当r 为浅显的序么半群时， ， 为浅 显m a n i s 斌值; 若r 不 是浅显的序么半群，则称v 为非浅显m 一 斌值。 例 1 设r - z x ， 其 中 x 是整 数 域 z 上的 未 定 元 。 又 设r - ( o , a ,8 , 且 在 集合r 里定义加法， 使得 加法有如下运算表: + 0 口 夕 00 口 j6 a 口 j6夕 夕声j6 声 显然，+ 是r 里的一个二元运算。容易验证，+ 满足结合律，即对于 任意 x , y , z e r , (x + y ) + z - x + ( y + z ) 。 因此 ，r 是一 个么 半 群. 此外， 再 规 定: o cc ， 矛 盾 . 故v (x ) - v ( 一 ) 。 证 毕 . 第三节 序么半群的覆盖 第三节 序么半群的覆盖 设r 是一 个序么 半群。作如下集合: 三 一 ( rr 2 ) i rr , e r u m ， 且r , r 2 ) 显然，日 ， 护 。 对 于 任 意r e r u - ) ， 可 作三 的 如 下 子 集 : 宫 ， ( ( r , . r 2 ) e z i 存 在 ti e r ， 使 得 ， : + ti ， ， : + ti ) 命 题3 . 1 设y e r u m 卜则= , - f , 当 且 仅当 r 是r 中的 最 小 元 素 证 明 : 假若r 不是r 中 的 最 小 元 素 ， 则 有 某 个y , e r ， 使 得y , y , 即y , + o y s y + o 从 而认， 约 g s , ， 矛 盾于 条 件“ 三 ， - y n, 7 因 此r 是r 中 的 最 小元素。 ， ，一 假若v , j o，则有( r , . r 2 ) e = , 此时存在ti e r，使得 r , + ti y s r 2 + ti 。 显 然r , + ti e r ， 矛 盾于 条 件 “ r 是r 中的 最小 元 素” 。因 此 三 ， 扒 证 毕 。 命题 3 . 2 . . . u 旧 1 月 . 证明:显然 三 2 u 设( rr 2 ) e e ， 则r , r 2 ， 即y , + o y 2 s y 2 + 。 。 从 而 ( r , . r 2 ) e e ,2 c u 洲 曰 u1 . ) 即三 a u 洲 日 飞 月 . 三 ， 。 因 此 ，三 .三 ， 证 毕 定 义3 . 1 r u t - 的 一 个子 集n 称 作 一 个 关 于r 的 覆 盖 指 标 集， 若 对 于 每 一 个 a e a , ,= 2 . q , 且 p !一 怂 a x 由 命 题3 . 1 和3 . 2 知， 若r 中 无 最 小 元素 ， 则r u ( oo 是 关 于r 的 一 个 覆 盖 第三节 序么半群的钮盖 指 标 集 。 若r 中 有 最 小 元 素y o ， 则r u t - ) r o 是 一 个 关 于r 的 扭 盖 指 标 集. 命 题3 . 3 0) 若r 是 一 个 非 浅 显 的 序 群， 则 o ) 是 一 个 关 于r 的 搜盖 指 标 集: ( 2 ) 若 r - o ) 是 浅 显 的 序 群， 则 od 是 一 个 关 于r 的 覆 盖指 标 集; ( 3 ) 若r 是 一 个 序么 半群 ， 则 o ) 是 一 个关 于r 的 覆 盖 指 标 集， 当 且 仅当 r u - ) 是一个v 一 么 半群. 证明:( 1 )设( rr 2 ) e =，则y l y 2 .显然y , e r。若r 2 e r，则 y i + ( - y 2 ) o s y 2 + ( - r 2 ) 。 于 是( y ii y 2 ) e e 0 。 现 设y 2 - 0 0 。 由 于r 是 非 浅 显的 ， 从而有6 e r ，使 得4 o . 此时y , + 仲- r 1 ) o s w - r 2 + 仲- y ,) 这表明 : ( r v r 2 ) e e 因 此 有. 3 . . ( 2 ) 对 于 任 意认. y 2 ) e 3 ， 有y , y 2 . 由 于 r 是 浅 显 的 ， 从 而 有r , - o ， 但 r 2 00 此 时y , + o co r 2 + 。 ， 即( y v y 2 ) e - . . 因 此三 三 。 . ( 3 ) . ，. : 设r u oo 是 v 一 么 半 群 ， 且 设( r , . r 2 ) e = ， 则y i r 2 。 由 v 一 么 半 群 的 定 义 知， 存 在6 e =- r u t . ) ， 使 得y , + 8 o s y z + b 。 这 表明 : ( y v y z ) e o 。 因 此三 . 三 。 。 “ 二 : 设日 三 二 再 设y l, y 2 e r u ( - ) ， 其中 y , y z . 则( y i .y 7, ) e e - 3 o . 从 而 有6 e r ， 使 得y , + a o s y z + a . 这表 明 : r u w 是 v 一 么 半 群。 证 毕。 例z同 例1 ， 设r - t o , - , ,8 1 ， 且在集合r 里定义加法如下表: + 0 口 夕 00 口 a c“ 夕16 aj6pp 显然，+ 是r 里的一个二元运算，且+ 满 足结合律，即 对于任意x , y , z ( =- r , ( x + y ) + z - x + 臼+ z ) 。 因 此 ，r 是 一 个么 半 群 . 又仍+)是 有 零元 的 交 换 半 群， 。 “ 声 是 序集 。 容易 验证 ， ( r , + , 习 是 一 个 序么 半 群 . 注意到: a一 ( 0 , a ) , ( 0 , ) , ( 0 , 0 0 ) , ( a , ) , ( a , 0 0 ) , ( , 0 0 ) ) 第三节 序么半群的扭盖 民 . 价， 日 。 一 (o , a ) , ( o , - ) , a - (o ,a ) , ( o , f ( 0 ,- n ( a , # ), ( a , 0 0 ) ， 三 。 (0，ao 玉 (a， ao 入 伊， 呵1 。 因 此， r . -z , u w . ， 即n - ( fl , ca 是 一 个关 于r 的 扭 盖 指 标 集 第四节 m- 斌值与序的相容性 第四节 m一 赋值与序的相容性 对于交换环的序和m a n is 赋值 ( 或形式有限v 一 赋值) 间的 联系， 文献【 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 2 0 1 中已 有许多论述。 在本节中， 我们将讨论 环r的 m一 赋值与序的相 容性， 进一步 给出对一 赋值与序相容的充要条 件。 设v : r-r u co 是交换环r的一个m一 赋值，p是r的 一个序。 定 义 4 . 1 所设同 上 ， 称， 与p 相容 ， 若由 关 系 式。 s r a s p b ， 总 可 推出 v ( a ) 二 v ( b ) . 对于每个r e r ， 规定r的如下 子集: 月 ， z e r i v ( x ) “ r ) 易 知， a ， 是 加 群r 的 一 个 子 群 定义4 . 2设p是r的一 个序， 且a是r的 一个子集。 若对于任意a , b er， 由 关 系 式0 s r 。 s p b e a， 可 推 出a e a， 则 称a 关 于 序p 是 凸 的 ， 或 称a 是 p一 凸的。 命 题4 . 1 设 v : r 一r u t - ) 是 交 换 环r 的 一 个m一 赋 值， p 是r 的 一 个 序 . 若， 与p 相 容， 则 对 于 每 个a e r u oo ) ，a ， 关 于p 是 凸 的 。 证 明 : 设 v 与p 相容 ， 且。 ， a ， b e a , ， 其中 a e r u oo 卜 由 v 与p 的 相 容 性 知 ，v ( a ) 二 v ( b ) x a ， 即 。 e a , . 这 表明 : a : 关 于p 是 凸 的 . 证毕 . 定 理4 . 2设 v : r .r u 二 是 交 换 环r 的 一 个m一 斌 值 ， p 是r 的 一 个 序， 且a 是 一 个 关 于r 的 覆盖 指 标 集. 则v 与p 相 容， 当 且 仅 当 对 于 每 个a e a ， 人 关于p是凸的。 证明:由命题4 . 1 知，必要 性成立。 下用反证法证明充 分性。 假 若v 与p 不相 容， 则 有a , b e r， 使得。 ， a ， b ， 但v ( a ) v ( b ) 。 此 第四节 m- 赎值与 序的 相容性 时 有 ， ( v ( a ) , v (b ) ) e 2 怂 2 , 从 而 有 某 个 a , e a , 使 得 ( v ( a ) , v (b ) ) e 2 ,. 由三 、 的 定 义 知 ， 有 某 个6 e r ， 使 得v ( a ) + 6 入 v (b ) + 6 由 于， 是 满 射 ， 从 而 有 某 个。 e r ， 使 得v (c ) - 6 。 由 命 题2 . 1 知 ， 代 一 ) - 6 。 注 意 到 r - p u ( - p ) . 不 失 一般 性 ， 可 设 c e p ， 此 时 有。 ， a c ， b e 又 由 于 v (b c ) - v (b ) + v ( c ) - v (b ) + 6 二 a , ， 从 而 b c e 入 由 于 人关 于 p 是 凸 的 ， 从 而 a c e 人 于 是 v (a ) + 6 - v ( a ) + v ( c ) - v ( a c ) x a , ， 矛 盾 因 此 ， v 与 p相容。证毕。 推论 设 v : r - r u m 是 交换 环r 的 一 个 m- 赋 值， p 是r 的 一 个 序。 则 下面结论成立: ( 1 ) 当 r 是一 个 非 浅 显 序 群 时， v 与p 相 容， 当 且 仅当 人- ( a e 川v ( a ) 二 0 ) 是关于p的凸子集: ( 2 ) 当 r - (o ) 时 ， v 与 p 相 容， 当 且 仅当 . - ( a e 川v (a ) - o o) 是 关 于 p 的 凸子集; ( 3 ) 当 r u ( co 是v 一 么 半 群时 ， v 与p 相 容， 当 且 仅 当a , - ( a e r i v (a ) a t 0 ) 是关于尸的凸子集。 证明:由命题3 . 3 和定理 4 . 2即得。证毕。 设v : r -t u m 是交换环r的一个m一 赋值， p是r的一个序. 若屿 p 相 容， 则由 命 题4 . 1 知， a a - (a e r 卜 ( a ) 二 0 ) 和a . - l a e r i v ( a ) - - 都 是 关 于p 的凸子集。 然 而， 下 面 的 例 子 表明 ，v 不一 定 与p 相 容， 即 使a o - a e 川v (a ) a 0 ) 和 人 - a e 川v ( a ) - 0 0 都是 关于p的凸 子集. 例3 设r - q x , y ， 其中 x 与y 是 有 理 数 域q 上 的 两 个 独 立 未 定 元 。 对 于 非 零 多 项 式了 e r， 首 先 把了 按x 的 幕 唯 一 地 表 达 如 下 : f 一 。 o ( y )x + a , ( y ) x . - + + a . ( y ) 其 中 a , ( y ) e q y ) , i - 0 ,1 , , m ， 且a o ( y ) o 0 . 然 后 ， 再 把a o 臼 ) 按y 的 幕 唯 一 地 表 达 如 下: a o ( y ) - b a y + k y - +. 二 + b , 第四节 m- 斌值与序的相容性 其 中 气 e q , j 一 0 , 1, - - ,n ， 且 气 -0 0 . 对于如上的非 零多 项式f e r，规定v ( f ) - ( - m , - n ) 。此外， 再规定 v ( 0 ) 二 。 用 z 一 表示所有 非正的整数组成 的集合 ，且记 r : - z - x z - ， 一 即 r ( ( k , 川 k , l e z 一 . 显然，r 对于如下加法构成一个加法k, 半群: 对于 ( k , ! ) , (k ,l ) e r , .( k ,l ) + (k , l ) - ( k + k ,1 + 1 ) . 再规定r的一个序关系 如下: (k ,l ) (k , 1 ) ， 当 且 仅当 k k ， 或 者k - k 与 1 1 . 容易证明， r 对于 如上规定的序是一个序么 半群， 并且v : r - r u ( w 是环r 的 一 个m一 赋 值 . 此时 易 知， a o - ( f e 川v ( f ) 二 (0 , 0 ) ) - q ， 而 a m 仃e 川v u ) - 0 0 ) - 0 ) 另一方面， 对于非零多项式了 e r，可先把了按y 的幕唯一地表达如下: f c c ( - ) y , + c l ( x ) y , - + + c , ( x ) ， 其中 c ,( x ) e q ( x , i - 0 ,1 , - 二 ， ; ， 且c o w 0 0 . 然 后， 再 把c o ( x ) 按x 的 幕 唯 一 地 表 达如 下: c o (x ) - d a e + d e - +.二 + d , ， 其 中 d i e q ，j 一 0 ,1 , - 二 ，,s ， 且d o p, 0 这 个由 了 所 确 定 的 非 零 有 理 数d o 将 称作f 关于 字典 序 x y 的 首 项 系 数 . 据此，可构造r的如下子集: p - f e 川f - 0 1 蜘关于 字 典 般 +y 的 首 项系 数 是 正 有 理 翔 由 序 的 定 义 知 ，p 是 环r 的 一 个 支 集 为 0 ) 的 序. 容易 验 证， ao和人均 是 p一凸的。 注意 到。 ， x ， y ， 但， ( x ) 一 卜1 , 0 ) ( 0 , - l ) v ( y ) . 从 而v 与 序p 不 相 容。 推论 设 v :r - r u l o o 是 交 换 环r 的 一 个m- 斌 值， p 是r的 一 个 序 . 若， 与p 相 容， 则s u p p (p ) s a . . 证明 : 设r e s u p p ( p ) ， 则 r e p n 卜 p ) ， 即。 ， r ， 0 。 由 于 v 与p 相 容， 从 而 v (r ) 二 v (0 ) - c o 。 因 此v (r ) - 00 ， 即 r e a . 。 故s u p p ( p ) s a . . 证 毕 。 对于每个y e r， 规定r的另一个子集: 第四节 m- 赎值与序的相容性 l ， 一 ( x e r i v ( x ) r ) 易 知， l ， 是a ， 关 于 环r 的 一 个 补 集， 即l , - r a , 引理 设p是r的 一个序， 且a e t. 则a 关于p是凸的， 当且 仅当 ( p n l , ) + 人 p - p. 证明 : 二 : 假 设( p n l , ) + 凡it- p - p ， 则 有: e p n l 和y e a , ， 使 得x + y e - p。 从而 有。 ， x ， - y 。 由 命 题 1 . 1 知， v ( 一 力 v ( 力二 a ， 即 - y e a , . 由 a 的p 一 凸 性 知 . x e 人， 即 v ( x ) : .l . 另 一 方 面， 由 于x e p n l , , 从而v ( x ) a ， 矛 盾 . 因 此 ( p ( 1 l , ) + a , p - p . 4. : 假若a 关 于p 不 是凸 的 ， 则 有x , y e r ， 使 得o z , x s , y e a , , 但x o a , . 此时 ， x e p ( 1 l , . 由 命 题1 . 1 知， v ( - y ) 一 v ( y ) 二 a ， 即- y e a , . 从而x 一 y e ( p ( 1 l , ) + a , r- p - p 。 然 而， x 一 y 一 。一 x ) e - p， 矛 盾. 因 此，a : 关 于尸是 凸 的 。 证 毕。 定 理4 . 3 设v : r -r u ( co 是 交 换 环r 的 一 个m一 斌 值 ， p 是r 的 一 个 序， 且a 是一个关于r 的扭盖指标集。则v 与p相容，当且仅当 对于每个a ea， ( p ( 1 l , ) + a , s p - p。 证明:由定理 4 . 2 与上面的引理即得。 第五节 m- 斌值与亚序的相容性 第五节 m一 赋值与亚序的相容性 在上一节中， 我们讨论了 环r的m一 斌值与 序的相容性， 并给出了m一 斌 值与序相容的 充要条件。 在本节中，我们将讨论环r的m一 赋值与亚序的相容 性， 进一步给出m一 赋值与亚序相容的 充要条件。 . 序么 半群的t 一 覆盖指标集 设v : r-r u o o 是交换环r的一个m一 赋值， 一 t是r的一个亚序， 且记号 s 的 意 义同 第 三 节. 对于 任 意y e r u ( - l ， 可 作三 的 另 一 子 集: 可 ( y . y z ) e 存 由e t ， 使 得 y , + v (, ) ， ， : + v (t ) ) 显 然， s t. . y g 三 ， 命题 5 . 1设， : r ，r u m 是交换环r的一个m一 斌 值，t 是r 的一个亚 序. 对 于 任 意y e r u ) ， 有 ( 1 ) 可- 4 ， 当 且 仅当 ， 是r 中的 最小 元素 : ( 2 ) s u - 7r 洲 日 认 . 1 证 明 :c 1 ) : 假 若r 不 是r 中 的 最 小 元 素 ， 则 有 某 个y , e r ， 使 得y , y . 即y , + o r ; + 。 ， 也 即y , + v (1 ) ， y + v (1 ) 注意 到 i e t 从 而( y v r ) e 可. 矛 盾 于条 件“ 可 砂 ” 。 . 因 此， 是r 中 的 最 小 元 素 ”“ :假若斗p, 0，则有( y , .y 2 ) e 犷 此时存在t e t，使得 r , 十 y (t ) y s y 2 + v ( l ) 。 显 然y , + v ( t ) e r ， 矛 盾于 条 件“ r 是 r 中 的 最 小 元 素 ” 。 因 此斗 护 证 毕 “ ， 显 然 “ “ ra uu l. ) b . 设( yy 2 ) e .= ， 则 r , y 2 ， 从 而 ( rr 2 ) e s , s u - ; ， 即y , + 0 7 2 s y 2 + 0 ， 也 即y , + v m y 2 s r 2 + v ( i ) . 即它 g u = ; 。因此，三 f e n 凡. 杏 可 证 毕 . 第五节 m- 赋值与亚序的相容性 定 义 5 . 1 设 v : r 一r u oo 是 交 换 环r的 一 个m一 赋 值， t 是r 的 一 个亚 序。r u oo 的 一 个子 集a 称作一 个 关于r 的t 一 覆 盖指 标集， 若 对于 每 一 个 a e a , _ , “ 且 三 怂x 显然，t 一 搜盖指标集一定是搜盖指标集。又由 命题 5 . 1 知， 若r 中无最小 元素， 则r u m 是关 于r 的 一 个t 一 覆盖 指标集 . 若r 中 有 最小 元素r , , 则 r u m r , 是一 个关于r 的t 一 搜盖指标集. 2 . m一 赋值与亚序的相容性 设v : r -r u m 是交换环r的一个m一 赎值，t是r的一 个亚 序。 定 义5 . 2 所 设 同 上 . 称v 与 亚 序t 相 容， 若由 关 系 式o s t a ， b ， 总 可 推 出v ( a ) a v ( b ) . . 定义 5 . 3设t 是r的一个亚序，且a是r的一个子集。若对于任意 a , b e r， 由 关 系 式。 ， a s t b e a， 可 推出 a e a， 则 称a 关 于 亚 序t 是凸 的 ， 或称 a是t一 凸的。 命题 5 . 2设v : r .r u ( oo 是交换环r的一 个m一 赋值，t 是r的一个亚 序。 若v 与t 相 容， 则 对 于 每 个a e r u ( m ) ， a 关 于t 是凸 的 。 证明 : 设v 与t 相 容， 且0 : a : b e a , ， 其中a e r o ( c c 卜 由 v 与 t 的 相 容 性 知， v ( a ) 二 v ( b ) 二 a ， 即a e a , . 这 表明 : a : 关 于t 是凸 的 . 证 毕. 定理 5 . 3设v : r .r u m 是交换环r的一 个m一 斌值，t是r的一 个亚 序，且a 是一个关于r 的t 一 覆盖指标集。则v 与t相容，当且仅当对于每个 a e a ,滩 关 于 t 是 凸 的 . 证明:由 命题5 . 2 知， 必要性成立。 下用反证法证明充分性。 假 若， 与t 不 相 容， 则 有a , b e r， 使 得。 ， a ， b ， 但。 ( a ) v (6 ) . 此时 有 ， (v ( a ) ,v ( b ) ) e a 怂 e t a 从 而 有 某 个 ,s e a . 使 得 ( v ( a ) . v ( b ) ) e - 卜 由 或的 定 义 知 ， 有 某 个 e t ， 使 得 第五节 m。 赋值与亚序的相容性 v ( a ) + v ( t ) h v ( b ) + v ( t ) 于是 v ( a t ) . v ( a ) + v ( t ) a, v ( b ) + v ( t ) 一 v ( b t ) 即 v ( a t ) a, v ( b t ) ， 也 即 a t 0 a -16 ， 但b t e a a, 另 一 方 面， 由 0 s , a ， b ， 有。 :s t a t s , b t e a ,11 又由 人的 t 一 凸 性 知， a t e a a, 矛 盾 因此，v 与t相容。证毕。 推 论 设 v :r -t u co ) 是 交 换 环r 的 一 个m- 斌 值， t 是r 的 一 个re 序。 若v 与t 相容，则s u p p ( t ) s a . 。 证 明 : 设; e s u p p ( t ) ， 则， e t ( 1 ( - t ) ， 即 。 : r s r 0 。 由 于 v 与 t 相容 ， 从 而v ( r ) t v ( 0 ) w. 因 此v (r ) - o d ， 即 ， e a . 。 故 s u p p ( t ) q a . 。 证 毕. 引理 设v : r -t u oo 是交 换环r的一 个m- 赋值，t是r的一 个亚序， 且a e r ， 则a : 关 于 t 是 凸 的 ， 当 且 仅 当(t i i l , ) + 人与一不 相 交 . 证明 :二 “ : 假 设a e ( t n l , ) , b c- a , ， 使 得a + b e - t 。 由 。 e t 知， b e 一从 而 有 。 s , a s r - b . 由 命 题2 . 1 知 ， v ( 一 的- v (b ) a k ， 即一 b e a , . 又由a 的t 一 凸 性 知 ，a e a , ， 即 v ( a ) a l 另 一方 面 ，由 于a e t n l , ， 从 而v ( a ) a . ， 矛 盾 . 因 此 ， ( t ( 1 l , ) + a , 与一不 相 交 “ ，. : 假 若a 关于t 不 是凸 的， 则 有a , b e r， 使得。 ， a s r b e a , ， 但a o a , . 此时 ， a e t 门 l , 。 由 命 题2 . 1 知 ， v 卜 b ) 一 v ( b ) 二 x ， 即- b c- a , 。 从而a - b e ( t ( 1 l , ) + a , 。另一方面，a - b 一 ( b 一 a ) e - t。 从而a - b 为 (t (1 l , 卜人与一的 公 共 元 素， 这 矛 盾 于 条 件“ (t (1 l , 卜人与一 t 不 相 交” . 因 此， 月 : 关 于t 是 凸 的 。 证 毕 . 定 理 5 . 4设 v : r ，r u t 呵是 交 换 环r 的 一 个m一 赋 值， t 是r 的 一 个亚 序， 且a是一个关于r 的t 一 覆盖指标集，则v 与t相容，当且仅当对于每个 几