（基础数学专业论文）完备brouwerian格上无限fuzzy关系方程的解集的部分结果.pdf

完备b r o u w e r i a n 格上无 艮f u z z y 关系方程的解集的部分 结果 基础数学 研究生夏嫦 指导教师王学平( 教授) 论文摘要：本文对完备b r o u w e r i a n 格上无6 量f u z z y 关系方程的解集的性质进行了 讨论特别在f 0 ，1 1 格上对无限论域方程aox = b ( 其中“o ”表示s u p - p r o d u c t 合 成) 的解集的性质作了讨论，仅从方程的系数出发给出了方程解集非空的充要条件 以及存在可达解或不可达解的充要条件进一步，当方程解集非空时，给出了方程 解集的结构然后在完备分配格上对无限论域方程s u p 酣，j ) =( 其中丁为7t ( a 7 - x b 伪t 一模) 的解集的性质作了讨论当b 是连续并既约元时，给出了方程存在可达解或 不可达解的充要条件，及可达解与不可达解的性质进一步，当方程解集非空时， 给出了方程解集的结构最后对定义在i o ，1 j 格上方程4 x = b ( 其中“ ”表 示i n f - a 合成，a = ( a i j ) ，j ，b = ( b i ) 乏，) 的解集问题进行了讨论当论域，为有限集 合，为无限集合时，给出了存在可达解以及存在极大解的充要条件 关键i n ：f u z z y 集；f u z z y 关系；f u z z y 关系方程；极小( 大) 解；( 不) 可达解 解集 第i 页 s o m er e s u l t so ft h es o l u t i o ns e to fi n f i n i t ef u z z y r e l a t i o n a le q u a t i o n so nc o m p l e t eb r o u w e r i a nl a t t i c e s w r i t e r ：x i ac h a n g a b s t r a c t ： b a s i cm a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ：w a n gx u e p i n g i nt h i sp a p e r ，a ni n f i n i t ef u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o nd e f i n e do n c o m p l e t eb r o u w e r i a n1 a t t i c ei si n v e s t i g a t e d i np a r t i c u l a r ，s o m ep r o p e r t i e so f t h es o l u t i o ns e to ft h ee q u a t i o na ox=br w h e r e “0 ”d e n o t e ss u p - p r o d u c t c o m p o s i t i o n la r eg i y e nw h e nt h ed o m a i ni sa ni n f i n i t es e to nl a t t i c e o ，11 f r o m t h ec o e 伍c i e n t so ft h ee q u a t i o naox = b ，i ti ss h o w e dt h a tas u 伍c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nt h a tt h es o l u t i o ns e ti sn o n e m p t ya n do n ef o re x i s t e n c eo fa n a t t a i n a b l es o l u t i o no ra nu n a t t a i n a b l es o l u t i o n f u r t h e r ，w h e nt h es o l u t i o ns e t i sn o n e m p t y i ，,the s t r u c t u r eo ft h es o l u t i o ns e to ft h ee q u a t i o nsg i v e nn e x tt h e p r o p e r t i e so ft h es o l u t i o ns e to ft h ef u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o ns u p j e j t ( a j ，z j ) = b f w h e r eti sap s e u d ot - n o r m ) a r eg i v e nw h e nt h ed o m a i ni sa ni n f i n i t es e t o nc o m p l e t ed i s t r i b u t i v el a t t i c el w h e nbi sac o n t i n u o u sj o i n i r r e d u c i b l e e l e m e n t as u 伍c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nd e s c r i b i n gt h ea t t a i n a b l es o l u t i o n ( r e s p t h eu n a t t a i n a b l es o l u t i o n l i sf o r m u l a t e d ，a n ds o m ep r o p e r t i e so ft h e a t t a i n a b l es o l u t i o nf r e s p t h eu n a t t a i n a b l es o l u t i o n ) a r es h o w n f u r t h e r ，w h e n t h es o l u t i o ns e ti sn o n e m p t y , t h es t r u c t u r eo ft h es o l u t i o ns e to ft h ee q u a t i o ni s g i v e n ，i nt h ee n d ，t h es o l u t i o ns e to fe q u a t i o na x = b ( w h e r e “ ”d e n o t e s i n f ac o m p o s i t i o n ，a = ( a i j ) i j ，b = ( 良) 趸j ) d e f i n e do i l o ，1 】i si n v e s t i g a t e d w h e nt h ed o m a i nj _ i sf i n i t e di si n f i n i t e ，s u 最c l e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o r e x i s t e n c e so fa na t t a i n a b l es o l u t i o na n dam a x i m a ls o l u t i o na r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：f u z z ys e t ；f u z z yr e l a t i o n ；f u z z y r e l a t i o n a l e q u a t i o n ；m i n i m a l ( m a x i m a l ) s o l u t i o n ；( u n ) a t t a i n a b l es o l u t i o n ；s o l u t i o ns e t 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而弓 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 少冲1日 飞 k 挺即 名 移 签者 手 伶 文 矽 0一中 引言 “关系”是一个普遍使用的又很重要的概念例如“母女关系”“姊妹 关系”“大小关系”等等它表示了事物之间的某种联系经典关系只能说明 元素之间关系的有无，但现实世界的关系不是简单的有无，而是有不同程度的相 似性质如家庭成员之间相貌相似的关系，信息处理中各种信息的“相近”关 系等，这类关系用简单的“肯定”或者“否定”即用“1 ”或者“0 ”来刻划显 然不合适【l 】反映这种性质的关系就是f u z z y 关系f u z z y 关系不仅在模糊理论 中占有重要地位，而且在模式识别、模糊控制系统建模、模糊聚类分析( 如天气 预报，地震预测，地质勘探，环境保护及图象语言识别等) 、模糊综合评判( 如评 估某种工程的设计质量，包括外观，结构，造价以及合理性等，课堂教学的质量， 学生作业的好坏等1 以及信息处理等方面有着广泛的应用 关系方程在关系结构中布尔变量的处理【2 】以及数字线路的研究f 3 1 3 等方 面有着广泛的应用在f u z z y 集领域中【4 】，f u z z y 关系方程的研究是1 9 7 6 年由法 国学者s a n c h e z 【5 1 从医疗诊断的论题出发作为综合评判问题的逆问题而引入 的研究f u z z y 关系方程的目的一方面是为了丰富布尔方程的理论并推广布尔 方程中有关工作，如l u c e 【6 1 关于布尔方程求解的工作等，另一方面也是为了深 刻揭示并处理如医疗诊断这类复杂系统中的模糊现象【7 】理论方面，f u z z y 关系 方程的研究主要集中在方程解集的刻画f s - 1 3 ，具有某些代数性质的解的确定 等f 1 4 - 1 7 1 课题 以下我们大致回顾一下完备b r o u w e r i a n 格上f u z z y 关系方程解集结构方面 有关研究工作的历史与现状： 通常研究的f u z z y 关系方程是s u p - i n f ( 0 ，l j 格上为m a x - m i n ) 型算子合成的方 程，而如何确定定义在完备b r o u w e r i a n 格上s u p - i n f 合成f u z z y 关系方程的锯集 是人们研究的主题1 9 7 6 年，s a n c h e z 【5 】首先建立了完备b r o u w e r i a n 格上s u p - i n 晗成f u z z y 关系方程解集非空时的充要条件，证明了方程有解则一定有最 大解，且给出了最大解的表达式，从此人们开始了定义在完备b r o u w e r i a n 格 上s u p - i n 晗成f u z z y 关系方程的研究不久，人们发现定义在完备b r o u w e r i a n 格 第1 页 引言 上的s u p - i n f 合成f u z z y 关系方程的解集通常是一个上半格，解集是由一个个区 间构成【1 4 ，l8 1 因此在方程有解时考察对解集中每一个解是否存在一个小于等 于它的极小解对研究如何确定定义在完备b r o u w e r i a n 格上s u p - i n 洽成f u z z y 关 系方程的解集特别重要因为如果能证明对方程的每锯至少存在一个小于等 于它的极小解且这样的极小解只有有限个的话，则方程的整个解集便可确定， 围绕着找方程的解集以及方程有解时考察对解集中的每一个解是否存在一个小 于等于它的极小解等问题，人们主要开展了以下几个方面的研究： 1 当论域为有限集时： ( 1 ) 方程的有解判别； ( 2 ) 在解集非空时，对解集中每一个元是否存在一个小于等于它的极小 元【1 2 ，1 9 - - 2 2 ； ( 3 ) 【o ，1 1 格上改进解集中极小元的确定方法【2 3 - 2 6 及极小元个数的估 计【2 7 - 3 1 1 ； ( 4 ) 在完备完全分配格上给出了确定f u z z y 关系方程整个解集的方法【3 2 】 2 当论域为无限集时，人们利用可达解( 具有极小解) 与不可达解( 不具有极 小解) 研究方程解集的性质，并刻画了解集的结构【3 3 ，3 4 1 虽然m a x - r a i n 算子合成关系方程很重要，但是m a x - r a i n 更适合于在解向量的 元素不允许存在补偿性( n oc o m p e n s a t a b i l i t y ) 的情况在实际情况中，解向量的 元素允许存在彼此补偿( c o m p e n s a t e ) 【3 5 ，3 6 】这些情况下，选择m a x - r a i n 来作为 合成算子显得不合适【3 5 ，3 6 】进一步，p e d r y c z 在【3 了l 中表明，s u p - p r o d u c t 合成 比m a x - m i n 合成更好，或者说至少不t l m a x - m i n 差 3 6 1 ，因此脚- m i l 3 不是最好 的选择【3 8 1 1 9 9 8 年，b o u r k e 在1 3 9 】中给出了有限论域上求解s u p - p r o d u c t 合 成f u z z y 关系方程的一些方法熊在【4 0 】中讨论t o ，x l 格上s u p - p r o d u c t 合 成f u z z y 关系方程组，利用可达解的概念给出了可达解以及存在极小解的充 要条件本文第一章将对【o ，i 1 格上无限8 u p _ p r o d u c t 合成f 位z y 关系方程的解集作 深入的研究，给出了可达解以及不可达解存在的充要条件，并当解集非空时刻画 了解集的结构 由于m i n ( i n f , m e e t ) ，p r o d u c t 以及由u ( z ，y ) = m a x x + 掣一1 ，o ) 定义 的l u k a s i e w i e z 算子都是卜模的特例，因此一类更一般的方程就是m a x - t ( s u p - 0 2 8 x i a c h a n g 1 6 3 p o m 第2 页 毕业论文 引言 丁，丁为t 一模) 合成f u z z y 关系方程1 9 8 9 年，d in o l a 2 0 l i - t 论了有限论域上s u p - 丁 合成f u z z y 关系方程1 9 9 5 年和2 0 0 0 年，d eb a e t s 4 1 ，4 2 1 利用分析的方法讨论 t s u p - 殆成f u z z y 关系方程，得到了许多重要的结论熊l t 0 1 在完备格上讨论了 更广泛的s u p - t 成h , z z y 关系方程解的情况( 其中丁为伪c 一模) 当论域有限时， 6 是并既约元或有不可约有限并分解时，给出了方程的解集当论域无限时，6 是 紧元且有不可约有限并分解时，给出了定义在完备格上f u z z y 关系方程解集非空 的充要条件，证明了当方程解集非空时，解集中的每一个元一定存在小于等于 它的极小元在2 0 0 6 年王【3 4 】提出了连续并既约元的概念，并用于刻画| 、l z z y 关 系方程的解集本文第二章将在完备分配格上讨论了无限s u p - 丁合成f u z z y 关系 方程解的情况( 其中瑚伪t 一模) ，当论域为无限，6 是连续并既约元时，给出了方 程极小解、可达解以及不可达解存在的充要条件，并在方程解集非空时，给出 了方程的解集 1 9 8 5 年，d in o l e 鹳1 介绍了 一f u z z y 关系方程，并应用于实际问题中 4 3 1 1 9 8 9 年，d in o l a 2 0 1 在完备b r o u w e r i a n 格上证明了 一f u z z y 关系方程有解的一 个充要条件，即一个 一f u z z y 关系方程有解当且仅当方程有最小解，并在线性 格上，论域有限时，构造出了 - f u z z y 关系方程的极大解2 0 0 3 年，l i 和w a n g 【9 1 在完备橇上，当论域有限时讨论了i r r f - a 合成f u z z y 关系方程，当b 是交既约元时， 给出了方程的解集进一步，对 为i a f - a 合成y k t z z y 关系方程a x = b ( b = 倾) t 厶) 进行了讨论，当b 中的每一个分量良有不可约有限交分解时确定了方 程的解集，由此推广了 4 3 l 中的一些结论f 4 4 】当论域为无限时；给出了在 完备b r o u w e r i a n 格上i n f - 殆成f 、l z z y 关系方程的每一个解都存在一个大于等 于它的极大元的充要条件【4 5 1 熊 4 0 1 在完备b r o u w e r i a n 格上讨论了i n f - a t 合 成f u z z y 关系方程，当6 有不可约有限交分解时，给出了方程的解集的结构本文 第三章将讨论【o ，1 】格上无限s u p _ p r o d u c t 合成f u z z y 关系方程组，给出了方程存 在可达解以及存在极大解的充要条件 第3 页毕业论文 第一章 o ，1 】格上无限s u p - p r o d u c t 合成f u z z y 关系方程 的解集 设a = ( q ) 拒j 为 o ，l l 上的已知向量，b o ，l 】，x = ( ) j j 为取值于【0 ，l 】上 的一未知向量，j 为无限集，则称 a o x = b ( 1 - 1 ) 或 s u p j s ( a j ) = 以 为一个8 u p - p r o d u c t 合戎f u z z y 关系方程，其中“”表示【o ，1 】格上通常的乘 法( p r o d u c t ) 满足方程( 1 1 ) 的x 称为方程( 1 一1 ) 的解 记 j r = x = ( q ) j ，：a 0 x = 醵， 旷o = x ：x 为0 r 中的极小元 本章将在 o ，l 】格上对无限论域s u p _ p r o d u c t 合成f k z y 关系方程( 1 1 ) 的解的 性质作深入的讨论，仅从方程( 1 - 1 ) 的系数出发给出了存在可达解或不可达解的 充要条件。进一步，当彤口时，刻画了方程( 1 - 1 ) 征格【0 ，1 1 上解集的结构 1 1 基本知识 定义1 1 1 【4 6 设( p ) 为一偏序集，如果v o ，b p ，上确界- s u p a ，6 ) 与下 确界i i 峨口，6 均存在，则称( p i ) 是格记d v b = s u p a ，b ，a a b = i n f a ，6 ) 如果 对于格l 的任意非空子集t ，v r a 存在，则称l 为完备格 定义1 1 2 4 7 1设( p ) 为一个偏序集且x 至p ，如果p x ，不存在z x 使得o p ，则$ 勋为x 的一个极大元如果存在g x ，使得对任意的茁x 都 第4 页 苎二兰巴：! ! 整圭垂堡! ! 竺p ! ! ! ! ! ! 全堕璺! ! 竺墨墨互堡竺堡叁 有z g ，则称9 为x 的最小元；对偶地，如果存在g x ，使得对任意的。x 都 有z g ，则称g 为x 的最大元 定义1 1 3 【4 3 】设a = ( a i ) i e l ，b = ( 6 i ) l ，定义偏序关系，并v 和交 如 下： a b 当且仅当i ，a i b l ，a v b ；( a i v b l ) i ，a b = ( 啦a “) 诞j ， 其中第一个“”是n z z y 集合之间的运算，第二个“”是格 o ，l l 上元素之间 的关系运算，v = s u p ，a = i n f 定义1 1 4 如果x 是方程解集中的极小元( 如果存在) ，则称x 为方程的极 小解 注1 1 1由定义1 1 2 。x 。彤是彤的极小元当且仅当v x 彤，x x 撒x = x 。 定义i i 5 【3 9 设a = ( q ) 非j ，b 【0 ，1 】，定义a 圣6 = ( a j c b ) i j ，其中v j j ， q 妒a = 圣，：委：妻 由定义1 - 1 5 ，v a ，b f 0 ，l 】，称d 枷= s u p x 【0 ，1 】：n - z 6 ) 为口在6 中的相 对伪补 定义1 1 6 设一= ( q ) 柏j ，b 【0 ，1 】，则定义a b = ( q b ) j e j 1 2 方程( 1 一1 ) 解集的性质 如果6 = 0 ，则方程( 1 1 ) 的解为x = ( 巧) j j ，其中当勺o 时，巧= o ； 当n ，= o 时而【0 ，1 1 不失一般性，以下我们假设6 0 定义1 2 1 设x = ( q ) j j 彤，如果存在j j 使吩巧= b ，则称x = ( 巧b j 为方程( 1 1 ) 的可达解，方程( 1 1 ) 的所有可达解构成的集合记为i 如 果坳z 町 b ，则称方程( 1 一1 ) 的解x = ( q ) ，为不可达解，方程( 1 1 ) 的所 有不可达解构成的集合记为彤( 一 0 2 8 x i a c h a n g 1 6 3 c o r t l 第5 页 毕业论文 第一章h l 】格上无限s u p - p r o d u c t 合成f u z z y 关系方程的解集 注1 2 1 由定义1 _ 2 1 知彤= 彤( + u 彤( 一) 且彤( + n 彤( 一) = 0 - i a c , c b ) 皇d j ：q h ，g 2 ( b ) 垒d j ：q o ，定义x = ( 巧) j j 如下：j ， f 巧。，如果j 如， 。 10 ，如果j = j o 显然x = ( x j ) ，j 彩且x 墨，但x 兄与兄彤。矛盾，因此g 1 ( 6 ) 0 定理1 2 5 如果历。0 ，g 1 ( 6 ) = 0 ，贝o s u p y j a j = b ，0 r = r ( 一) 且彩o = 0 证明如果彤0 ，则由定理1 2 1 ，s u 功j q b y g t ( b ) = o ，因 此s “乃j q = b v x = ( ) 妊j 影，由于w6z 咛 抚贝岘z 鼍f ，吩1 = a j b ，由定义1 2 1 ，x 影( ，因此旷= j 引 如果影o 口，则由定理1 2 4 有g l ( 6 ) 以矛盾故影o = 0 定理1 2 6 万( 一) 0 当且仅当s u p j e g ：( b ) a l = 6 或ig l ( 6 ) | _ 0 0 0 2 8 x i a c h a n g 1 6 3 c o r n 第7 页 毕业论文 笙二兰【! ! ! 】整圭垄墨! ! l ：! 竺! ! ! 生全堕生! ! 羔差墨查堡竺壁叁 证明“辛”因为( 一0 ，设x = ( ) ，j 影( ，则由定义1 2 1 ，协 3 ，o j i b a b = s u p j j ( 吩巧) = 【s u p j g ，( 6 ) ( 吩巧) 】v 【s u p j g 。c b ) ( a j 。码) 】 如果ig l ( 6 ) i ，则s u 珊g 。( 耐( 唧) b ，因此 b = 8 u 巧g 2 ( ( 唧巧) s u p j g 2 ( b ) ( a j 1 ) 2 s u p j g 2 ( 口 由于v j g 2 ( b ) ，口j b ， 夭l l l t b s u p j g 2 ( b ) a j b ，& p s u p j g 2 ( b ) a j = b “”( 1 ) 如果：s u p j g 2 ( b ) a j = b ，定义x = ( ) j j 如下：j ， ll ，如果j g 2 ( b ) ， 210 ，如果j g 1 ( 6 ) 于是 s u p j j ( a i 巧) = 【s “码g 。( ( q 巧) 】v s u p j g ：( q - ) 】 = s u p j g 2 c b ) ( a j 1 ) 2 s u p j e g 2 ( 6 ) = b ， 则x 影如果j g l ( b ) ，贝t j a j x j = 吩0 = 0 6 ；如果j g 2 ( b ) ，则町= a i 1 = 哟 b ，因此由定义1 2 1 ，x = ( 巧) 托j 彤( ( 2 ) 如果ig i ( b ) i = o o ，定义x = ( 巧) j e j 如下：坳j ， 10 ，如果j g 2 ( 6 ) ， 2i 鲁，c j 【o 6 ) ，如果j g l ( 6 ) 且满2 = ：s u p j e g i ( b ) c j = b 于是 s u p j j ( 吩巧) = s u p g l ( 6 ) ( q 奶) 】v s - p s 岛( 6 ) ( q 巧) l = s u p j g l ( ( 巧) = s “p j g l ( 6 ) ( 口j 鲁) 2 s u p j e g l ( 6 ) 勺 = b 0 2 8 x i a c h a n g 1 6 3 c o n l 第8 页毕业论文 笙二童墅! ! ：堡圭至里竺坐竺塑! ! 全壅垒! 型差墨查堡竺堑墨一 因此x 彤另一方面，由x 的构造容易得乒：如：釉g 1 ( 6 ) ，则吩= a ，鲁= 勺 b ；如果j g 2 ( b ) ，则町= d j 0 = 0 b 由定义1 2 l 知x = ( z ，) j f j 影【- j 下面透过一个铡瑟来说确定理1 2 6 钓证晚卒构造不可达解的可行性： 例1 2 1 设l = 【o ，l j ，考虑方程 酚- 一击h 。州) i v i 弦v ( i 圳勺1 显然 x = ( o ，；，d o ) e ， 从而爱r 口且lg l ( ) i - - i 2 n ：n ) i = 。d 设x l = ( 巧) j j ，其中，若j = 2 n g - ( ) ，取c j = ( 1 一南) 【o ， ) ，即 让巧= ；( 1 一志) ( v ，e g ( j 】( 吩) = ) 若j = 2 n 一1 g 2 ( ) ，取2o ，从而 托邛，o o ，o ，6 ，；( 1 一上2 n - 1 ) i o ，) 矿 设x = 0 j ) j e j ，记l ( x ) = u j ：勋丢，日2 ( x ) = d j ：巧 b ，则粕= 去 这样有去，因此、( 目n g l ( 6 ) o “牟。设x = z ，) ，口彤，若h l x ) n g 】6 ) 盛，取南塌 x ) ng l ( 砷， 则b 0 ，- l ，且b ，因为x = ( z j ) j e j 影，所以。一，6 ， 从而。如= b ，由定义1 2 1 知x 彤【+ ) 0 2 8 ) 【i 柚a n g 鱼1 6 3 c o i n 第9 页 毕业论文 鱼二i 生g 坐圭墨堡! ! 芝竺! ! ! ! 鱼丛! 地型差墨查堡箜堑叁 定理l 2 8 若x = ( z j ) j e j ，则x 卜) 当且仅当所( x ) ng i ( 6 ) ： 仍 或 证明由定理1 2 值接得证 现设x = ( 巧) e ，彩( ，则有 b = s u p j a l f b ) ( a j 巧) 62 s u 黔岛( 6 ) ( 吩巧) 若b - - - - - s u p i e o 。( ”( q ) ，由定理1 2 ，8 有 b = s u p j g l ( ( q x j ) 2 s u p s e ( a 。( 6 j o m ( x j ) ( a s 。巧) 】v s u p j ( g 。( n ( x ) ) ( 叼巧) j 2 8 u 码e ( g l 嘞n 胁f x ) ) ( 码) ， 因此此时有6 = s u 聊( g ，( b ) f l h 2 ( x ) ) ( q 巧) 故对任意的x = ( 巧) j j 彤，x 满足 b2 s u p j e ( g ，( nj = r 。( j f ) ) ( a j q ) ( 1 - 2 ) 或 b = s 1 1 巧岛( 6 j ( 吩巧) ( 1 3 ) 定理1 2 9 若形0 ，x = ( 巧b e j x ，则x = ( q b e j 2 吖，当且仅 当g l ( 6 ) n 日1 ( x ) = 口，进而上面( 1 2 ) ，( 1 3 ) 式中至少有一个成立 证明若x 0 旷卜) ，则由定理1 2 8 及上面的讨论可直接得证 下面通过一个例子来说明定理】2 9 例1 2 2 设格三= i o ，1 j ，在方程 中，显然 弦一击， x = ( o ，扣o ) 墨 0 2 8 x i a c h a n g 1 6 3 c o r n 第1 0 页 圳= ； 毕业论支 第一章【o ，l 】格上无限s u p p m d t l c t 合成f 1 】z z y 关系方堡堕解塞 从而彤o ig l ( 6 ) h 2 n ：t l ) i ；o o ，ig z ( 6 ) i ：i 2 n 一1 ：n ) l = o o ， 从而有 ；= 站吲1 旷1 扣一击，- 易见下面的局和弼是分别满足上面( 1 - 2 ) ，( 1 - 3 ) 式的不可达解 x i - ( o ，扣，6 ，；( 1 一甄1 ) i ) 扩) ， 恐= ( 1 ，0 ，1 ，0 ，0 ，i ，6 ，) 影( 定理1 2 1 0 设g l ( 6 ) 口， ( 1 ) v k g l ( 6 ) ，定义y = ( 蜥) j 满足：v j j ， 协= b 蔫蓉 m a ， 则y 是。彩的极小元 ( 2 ) 影的所有极小元都具有( 1 4 ) 式的形式 ( 3 ) i 。l = ig ( 6 ) 1 证明( 1 ) 显然有y 彤设x = ( x i ) j ，彤且x y 因此w j ，如 果j k ，则珊= 0 ，于是巧= 0 ，因此仅需证明瓢= y k 事实上，b = 8 u 巧e j ( q 巧) = 峨以诹y k s u 巧j ( 鲫) = b ，因此妾= z 女弧= 去，即善 = y k 故x = y ，由注1 1 1 有y 是彤的极小元 ( 2 ) 设x = ( ) 凭j 是彤的一个极小元，则6 = s u 功j ( 唧巧) 则我们断定一 定存在如g 1 ( 6 ) 使得忐否则，若巧g l ( 6 ) ，巧 o ) i o ) i _ l ，2 ，n ) ， 既然6 = 8 u p j e j ( 吩x 1 ) = s u p 翟l ( n j ) ，因此一定存在如 1 ，2 ，n ，使得- = 以与x 彤矛盾因此jd j ：巧 o ) i = o c 设如d j ：q o ) ，定义兄= ( 巧。) 强j 如下：w 正 0 2 8 x i a c h a u g 直1 6 3 c o r n 第1 1 页毕业论文 第一章【u ，1 j 格上无限s u p p r u d u c t 合成f u z z y 关系方程的鲜集 10 ，如果j = 如， q 一1 巧，如果j 如 显然墨影，且兄x ，但是墨x ，与x 是彤的极小元矛盾，因此存 在如g l ( 6 ) 使得码。上g 2 ，定义x 如= 【刁6彤z，0 ) j e j g l t ： 。f 圭，如果j = 如， 井： ”“”。” 7 io ，如果j 如 则s u p j e j ( a i - 才) = 才= a , 上a j o = b ，即舶彤且黔x 由x 的极小 性知x 如= x 因此x 具有( 1 - 4 ) 式的形式 ( 3 ) 由( 1 ) 和( 2 ) 即知lj r o | _ la , c b ) i 定理1 2 1 1 如果x = ( 巧) j e j 形，则x 旷( + ) 当且仅当存在x 。 彤。使得咒x 证明“净”设x = ( x j ) j e j 彤( ”，由定义1 2 1 知存在如j 使得。如= 蕻因此6 a j o 定义x $ = ( 。) j j 如下：坳z f 圭，如果j = j o ， ” l0 ，如果歹j 0 显然墨影进一步由定理1 2 1 0 ( 1 ) 知墨o 且墨x “告”设x = ( 巧) j j 彤r x 。彤。使得k x ，由定理1 2 1 0 ( 2 ) 的 证明知存在如g t ( b ) ，使得忐= z 如。x i o ，x n y o x = ( x j ) i c a 影，于 是b = a l o 如b ，即= b ，由定义1 2 1 宴f l x 穷( + ) 定理1 2 1 2 如果x i 彤，恐彤且x l x 局，则x 彤 证明因为b = a0 x i a o x a0 局= b ，所以x 彤 1 3 方程( 1 一1 ) 解集的结构 由上面的讨论可知，若方程( 1 1 ) 的解集非空，则方程( 1 - 1 ) 的解集有下面几 种结构： ( i ) 若g l ( 6 ) 0 ，且lg l ( 6 ) i o 。，8 u 胀g 。c b l a j b ，则万= ( 州 0 2 8 x i a c h a n g 鱼1 6 3 c o l n 第1 2 页毕业论文 第一章f d ，l 】格上无限s u p p r u d u c t 合成f h z z y 关系方程的解集 ( 2 ) 若g l ( b ) 瓯且ig l ( i = ，或s u p j c 。( b ) a j = b ，则彤= 彤( u 彤( ( 3 ) 若g l ( 6 ) = o , s u p 3 j q = b ，则岩。= 2 ( 其中( + ) = u x z 。m ，x + 】， 穷( 一= x ：x 满足g l ( 6 ) nt t l ( x ) = 口且( 1 2 ) ，( 1 - 3 ) 式中至少有一 个成立) 例1 3 1 设格l = f 0 ，1 1 ，在方程： ( 1 ) ( i 1 立，) v 【v 嚣。( ( 1 一：) z 。) 1 = 中，ig t ( ；) l ；l 1 l = 1 ( 2 0 ，v 甚2 ( 1 一击) i i ，易见v x = ( 巧) j j 彤，：c 1 = 1 ，显然d l z l = ，从 i = i i x 彤( + i ，因此彤= 彤f + ) ( 2 ) v 墨- ( ( 1 + 去) 。n ) 】v i v a 。( ；( 1 一告) g 一- ) 1 = i 中，ig t ( ) i = l 2 n ：n ) i _ 0 0 ，显然 x = ( o ，订，0 ，) 彤( + ) ， 从而彤d 设墨= ( 巧擘e 量中若j = 2 n g ! ( ) ，取勺= ( 1 一去) ，弓= 毒= 氧! 再l 嚣a - ， 则v j g 。( ) 白= ；若j ：2 n 一1 ( 毛( ) ，取巧= 0 ， 从而 酬咖孥3o ，百1 ，癌，o ，眦 易见彤= 彤( + u 彤( 一 ( 3 ) v 黧，( ；( 1 一：) ，z n ) = 中，显然g ，( ) = 口，但 = v 甚。i ( i 一：) ，从 而影口 设x = ( 巧) 托j ，其中w = n z 巧= 1 ，则v 托j = j 1 ， 从而 x = ( 0 ，1 ，0 ，1 ，0 ，0 ，1 ，0 ，) 彤( 易见爰r ：量r ( 一) 0 2 8 x i a c h a n g 1 6 3 c o m 第1 3 页 毕业论文 第二章 完备分配格上无限s u p t 合成f u z z y 关系方程 的解集 设l 为完备分配格，w j ，其中t ，为无限集，q ，b l ，( ) j j 为一未知向 量，则称 8 “p ，丁( 吩，巧) = b ( 2 - 1 ) 为无限s u p t 合成f u z z y 关系方程。其中丁表示伪t 一模 记 j r = x = ( 巧) j e j ：s “p j y ( a ，q ) = 吣， 0 r o = x ：x 为r 中的极小元) 本章讨论了完备分配格上无限s u p t 合l g f u z z y 关系方程( 2 - 1 ) 的解集的性 质，当6 为连续并既约元时，分别给出了方程( 2 - 1 ) 存在可达解和不可达解的充分 必要条件，及可达解与不可达解的些性质进一步，当影o 时，给出了方 程( 2 _ 1 ) 的解集的结构， 2 1 基本知识 若无特别说明以下均假设l 为完备分配格 定义2 1 1f 4 8 - 5 0 设l 是完备格，如果l 上的一个二元算子t 满足 v a ，b ，c l ， ( 1 ) 丁汀( 口，6 ) ，c ) = t ( a ，t ( b ，c ) ) ；( 结合律) ( 2 ) 丁( a ，b ) = t ( b ，n ) ；(