（基础数学专业论文）拓扑动力系统中的弱混合子集.pdf

中文摘要 我们知道，拓扑动力系统主要研究动力属性随时间推移的极限行为其中， 对混沌的研究是拓扑动力系统的一个重要组成部分而在混沌的研究中，我们 知道对混沌属性的研究占主导地位，这是因为混沌属性是动力系统中的重要研 究对象之一，同时它也为进一步了解混沌奠定了基础本文主要研究了弱混合 子集这一混沌属性的拓扑动力性质和部分拓扑弱混合动力系统的动力性状和复 杂性具体内容如下： 在第一章中，我们先简要的介绍了混沌理论的起源、发展现状及应用然 后阐述了初值敏感依赖这一混沌核心的起源和它在混沌理论中所起的关键作 用最后介绍了两个基本的混沌属性一整体混沌属性和部分混沌属性介绍 了弱混合子集的引入、研究背景和研究现状 在第二章中，我们介绍了本文所需要的弱混合子集的定义等相关知识 在第三章中，首先我们给出了弱混合子集的三个等价定义其次，通过利用 弱混合子集的另一等价定义，讨论了弱混合子集列的极限的动力性状证明了 在一定条件下，弱混合子集列的极限还是弱混合子集最后，我们得出了弱混合 子集的一个新性质，弱混合子集是不可数集 关键词 弱混合子集，初值敏感依赖，l i y o r k e 混沌 a b s t r a c t ( 英文摘要) a si sw e l l - k n o w n ，t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m sm a i n l yi n v e s t i g a t et h el i m i t b e h a v i o ro ft h ed y n a m i c a lb e h a v i o ra st i m eg o e st oi n f i n i t y a m o n gt h e m ，t h e s t u d yo fc h a o sp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l e a n dw e k n o wt h a tt h ei n v e s t i g a t i o no f c h a o t i cp r o p e r t i e si sc r u c i a l ，b e c a u s ei tn o t o n l yi so n eo ft h ei m p o r t a n ts u b j e c t s ， b u ta l s ol a y si tt h ef o u n d a t i o no nm a k i n gf u r t h e ru n d e r s t a n d i n gc h a o s 。i nt h i s t h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so fw e a k l ym i x i n gs e tw h i c h a r ec h a o t i cp r o p e r t i e sa n dc o m p l e x i t yo fp a r t i a lt o p o l o g i c a lw e a k l ym i x i n g t h e p a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，t h eo r i g i n ，s t a t u sa n da p p l i c a t i o n so fc h a o st h e o r ya r ed e - s c r i b e d t h e nt h eo r i g i na n dt h ev i t a l r o l ei nt h ec h a o st h e o r yo fs e n s i t i v e d e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e d f i n a l l y , t h et w ob a s i cc h a o t i c p r o p e r t i e s - - - - - - o v e r a l lc h a o t i cp r o p e r t i e sa n dp a r t i a lc h a o t i cp r o p e r t i e sa r ei n t r o - d u c e d t h ei n t r o d u c t i o n ，b a c k g r o u n da n ds t a t u so fw e a k l ym i x i n gs e t sa r ed e - s c r i b e d 。 i nc h a p t e r2 ，i ti sn a r r a t e da st h eb a s i so fo u rd i s c u s s i o n ，w eg i v et h ep r i m a r y n o t i o n so fw e a k l ym i x i n gs e ta n d8 00 1 1 i nc h a p t e r3 ，f i r s t l y , w eg i v et h r e ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fa w e a k l ym i x i n g s u b s e t s e c o n d l y , b yu s i n go n eo fe q u i v a l e n tc o n d i t i o n so faw e a k l ym i x i n g s u b s e t ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro nl i m i to fw e a k l ym i x i n gs e t ，a n d u n d e rs p e c i a lc o n d i t i o n s ，w ep r o v et h a tt h el i m i to fas e q u e n c eo fw e a k l ym i x i n g s u b s e t si ss t i l law e a k l ym i x i n gs u b s e t f i n a l l y , w eg e tan e wp r o p e r t yo fw e a k l y m i x i n gs e t ，i ti sa nu n c o u n t a b l es u b s e t 1 1 k e y w o r d s w e a k l ym i m n gs e t s ，s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n s ，l i y o r k e c h a o s n l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数 据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：名址指导教师签名： 网 圈 仞拜6 月幻日矽弦年占月o 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：农屠芳 印仞年莎月肜日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论帚一早珀了匕 1 1 问题背景与课题意义 1 6 7 3 年c h u y g e n s 对摆的研究和1 6 8 7 年i n e w t o n 运动定律的发表，标 志着人们对非线性认识的开始但直到2 0 世纪7 0 年代中后期，非线性动力学 这一名称才出现它是用来概括对混沌、分岔等问题的研究【1 】其中，混沌理 论是它的重要研究课题之一有人称，混沌理论是2 0 世纪物理学的第三次革命 它是用来研究自然界非线性过程中内在随机性所蕴含的特殊规律性【2 | 混沌思 想起源于法国数学家庞加莱，因为他于1 8 9 9 在著作天体力学新方法中阐 述的三体问题中的无规则运动和鞍点邻域内轨线的变化【3 】，均蕴含混沌的萌芽 也正因为如此，他成为世界上最先了解可能存在混沌的人但此时，对混沌的研 究并未引起人们的高度重视直到2 0 世纪6 0 年代，l o r e n z 系统的提出，这才激 发了人们对混沌研究的兴趣，标志着人们对混沌研究的真正开始【4 】且l o r e n z 系统作为首个混沌的数学模型，成为对混沌理论研究的出发点和基础【5 1 因此 他也被誉为“混沌之父 与此同时，混沌现象在包括物理、力学、天文和生 物等在内的自然科学等众多科学领域中被发现【4 i 2 0 世纪7 0 年代是混沌科 学发展史上光辉灿烂的年代。马里兰大学的美籍华人数学家李天岩和美国数学 家y o r k ej a 于1 9 7 5 年在美国数学月刊上发表了论文“周期3 蕴含混 沌【6 】，首次用数学语言严格定义了混沌，即众所周知的“l i y o r k e 混沌 此 文深刻地揭示了混沌现象的特征一混沌既是稳定的，又是不稳定的紧接着， 随着计算机的广泛应用，美籍数学家曼德勃罗特在1 9 8 0 年绘出了一张体现各 种类型的混沌和有序的五彩缤纷、绚丽无比的图案，使之成为混沌的一种公认 标志【2 】同时，混沌迅速进入了各个科学领域，如量子力学、化学、光学、生 态学等，尤其在分形中的应用【瑚】，使得混沌更加兴旺虽然，对混沌的研究引 起人们的重视只是近几十年的事，但是它的迅速发展是令人鼓舞的【2 】混沌不 但给科学领域增添了活力，它给人类也带来了诸多益处，如可以运用时空混沌 第帝绪论 控制来改进信息传输中的信噪比，运用混沌同步性质来进行信息机密传输等 等【1 0 | 初值敏感依赖是混沌的核心1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e n s 1 l 】在其文章“o n t h en a t u r a lo ft u r b u l e n c e ”中第一次引入了“初值敏感依赖 这一词长期以 来，人们一直默认一切确定性系统具有对初值不敏感地依赖的特征认为只要 有精确的数学模型和初始值，就可预测系统的未来，反演系统的过去但随着 化学、电学、气象学、生态学、天体力学等自然学科中的许多奇特现象的出 现，使人们意识到随机性和不稳定性的重要最早意识到这一点的人可追溯到 庞加莱，在1 9 0 8 年他在著作科学与方法提出“初始条件的微小差别在最 后的现象中却出现了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的巨大误差” 但直到2 0 世纪6 0 年代，人们才开始真正探索研究那些不可预测的现象特别 地，在1 9 6 3 年，气象学家l o r e n z 在探索天气方面的问题时，建立了洛伦茨非线 性方程组，他将此方程组输入了计算机程序，在输入过程中，认为方程组中的某 些参数的小数点位数太长，输入起来不方便，所以简化了一些位数虽然他认为 舍去的这些位数微不足道，但结果却完全出乎意料【4 】于是，提出了著名的用来 探索天气的不可预测性“蝴蝶效应”，即“假如巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀， 可能会改变3 个月后美国得克萨斯州的气候 因为最初蝴蝶翅膀的扇动，只 会造成当地气流的极其微弱的波动，但通过气流的非线性相互作用，经过空间， 时间的扩大效应，使可能几个月以后在另一个预报是天气晴朗的得克萨斯州却 出现暴风雨天气，而究其原因竟是计算初值时的微小误差【1 0 1 进一步，在1 9 6 5 年，斯梅尔在研究可微分自同胚的动力性状时构造了马蹄映射模型 1 2 - 1 4 1 ，它是 通过伸缩与折叠这两种变换的不断反复作用而形成的此模型从数学方面直观 地说明了初值对系统的影响程度，体现了混沌轨道几何图象的复杂性【1 5 i 自然 界的众多奇异现象表明了处在混沌状态的系统，运动轨道将对初值敏感依赖 即从原本非常接近的两个初始点出发的两条轨道，随着时间的推移，我们可以 看到，这两条本应该几乎重合的轨道在某一步会逐渐分离，最后变得毫无关联 了这说明了系统一个小小的初值偏离会导致出现与预料完全不同的结果也 2 西北大学硕士学位论文 说明了初值的微小差别在以后的运动中将被混沌系统内部的非线性因素不断放 大，最后导致系统向着无法预测估计的方向变化总之，对初值的敏感依赖是混 沌系统的长期演化行为无法预测估计的根本原因，也是混沌区别于其它运动的 本质特征f 1 4 1 对初值敏感依赖的进一步研究，使混沌科学的研究得到了飞速发 展在2 0 0 5 年，熊金城在“拓扑传递系统中的混沌”中推广了对初值敏感依赖 这一概念【1 6 ，1 7 i 关于对初值敏感依赖的研究，可参见文献【1 8 1 9 】等 为了介绍拓扑动力系统中的各种类型混沌，我们先引入拓扑动力系统的定 义： 定义1 1 ：设j p 是从集合x 到自身的一个映射，对任意的z x ，记 ，o ( z ) = z ，广x ) = ，of n - 1 ( z ) ，其中。表示映射的复合 称p ( z ) 为f ( x ) 的礼次迭代 据上述定义可知，f o = i d ，对n 2 ，有f n = f n 一1of ，其中i d 表示恒同映 射 若，是拓扑空间x 上的连续自映射，称序列 尸：r , ) 是由f 迭代生 成的离散拓扑半动力系统若，是紧致度量空间x 上的连续自映射，称离散拓 扑半动力系统 广：佗 为紧致系统 定义1 2 【1 4 ：设( x ，d ，) 是紧致系统，d 是x 的一个拓扑度量x ocx 非空如果存在不可数集合scx o ，对任意的z sy 只3 7 y ，满足以下两 个条件： ( 1 ) l i ms u pd ( f n ( z ) ，广( y ) ) o ； ( 2 ) l i m i n f d ( f n ( z ) ，n ( ) ) = 0 则称，在上是在l i - y o r k e 意义下混沌的s 称作“，的混沌集”s 中不同的两点称作“，的混沌点对”更多关于l i - y o r k e 混沌的研究参见文 献【2 0 ，2 1 】等，如在文献【2 0 】中，耿祥义给出了l i - y o r k e 混沌的一个充要条件在 文献中，给出了l i y o r k e 混沌定义的简化等等 从直观上来讲，l i y o r k e 混沌是指在一个系统中存在不可数多的点，而这 些点中的任意两个点会随着时间的推移在某些时刻聚拢到一起，但在某些时刻 3 第一章绪论 又会分离开来这说明了系统的轨道结构是非常复杂的，同时也体现了系统的 不可预测性以l i - y o r k e 混沌定义中的条件为基础新生出了许多新的混沌定 义【1 9 i ，比如完全混沌集、本质混沌的、稠密l i y o r k e 混沌等因为l i - y o r k e 混沌仅是通过混沌点对的轨道来体现系统的复杂性，并没考虑这些点的邻域 所具备的性质，所以此定义的条件是相对弱的从而导致人们仅从混沌集中 并不能得到动力系统的所有动力属性于是，在1 9 9 7 年，a k i n 通过加强混沌 点对这一定义的条件，给出了强混沌点对这一概念【2 2 】，即在原l i - y o r k e 定义 条件的基础上，要求点对在乘积空间x x 中具有回复性相对应称上述定 义2 中的子集s 为强混沌集，如果s 中任意不同的两点为强混沌对称一个 系统是强l i - y o r k e 混沌的，如果一个系统含有不可数的强混沌集但并不是任 何l i - y o r k e 混沌的系统均含有强l i y o r k e 混沌对，a u s l a n d e r 在1 9 8 8 年给出 了此反例，具体参见文献【2 3 j 众所周知，大多数系统是l i - y o r k e 混沌的，但这并不说明任何动力系统均 是l i - y o r k e 混沌的，必须满足一定的条件，如一个具有传递点和不动点的动 力系统是l i - y o r k 混沌的【2 4 1 同时也不是所有的混沌均指l i y o r k e 混沌顾 名思义，混沌系统是指比较复杂的系统，但系统的复杂性没有甚至也不可能有 一个统一的标准，不同的侧重导致不同的混沌内涵如在1 9 8 0 年，a u s l a n d e r 和1 r o r k e 【2 5 】以传递性为核心定义了一类重要的混沌a u s l a n d e r - y 0 r k e 混沌 定义1 3 【2 5 】：称动力系统( x ，) 是a u s l a n d e r - y o r k e 混沌的，如果它满足 条件： ( 1 ) f 拓扑传递； ( 2 ) f 对初值敏感依赖 之后在1 9 8 7 年【2 引，d e v a n e y 以初值敏感依赖为核心定义了另一类重要的 混沌一d 咖e y 混沌 定义1 4 2 6 】：称动力系统( x ，) 是d e v a n e y 混沌的，如果它满足条件： ( 1 ) f 拓扑传递； ( 2 ) f 的周期点所构成的集合在x 中稠密； 4 西北大学硕士学位论文 ( 3 ) f 对初值敏感依赖 不久之后，b a n k s 等人证明了条件( 1 ) 和( 2 ) 蕴含条件( 3 ) 2 7 - 3 0 虽然， 1 9 9 3 年g l a s n e r 和w e i s s 【2 8 】在不知b a n k s 已证明此结果的情况下，又一次证 明了此结果，但是他们的文章包含了混沌方面的许多其它闪光点为了建立混 沌理论的基础，不少学者致力于找出上述三者之间的关系和它们各自的等价刻 画【删 3 0 - - 3 3 通过研究发现，l i y o r k e 混沌与a u s l a n d e r y o r k e 混沌没有必然 的联系，二者互不蕴含【1 9 j 而文献【3 0 】证明了d e v a n e y 混沌必为l i y o r k e 混 沌文献【2 0 】给出了l i y o r k e 混沌的一个等价刻画 1 2 刻画动力系统动力性状和复杂性的概念一部分拓扑弱混合性 混沌属性是指那些引起混沌现象的基本动力属性它可分为两种：一 种是从整体性质出发考虑，即如果混沌属性在x 的每一个地方成立，我们称之 为整体混沌属性，如拓扑传递性( 对x 的任意非空开子集配y ，存在仃z + ， 满足条件尸( u ) nv 1 2 i ) ，拓扑弱混合性( 对x 的任意非空开子集阢，k ， i = 1 ，2 ，存在佗z + ，满足条件，住( 阢) nk 9 ，i = 1 ，2 ) ，对初值敏感依 赖( 如果存在石 0 ，使得对每一点z x 和x 的任意邻域巩，存在y 玩 和n z + ，满足条件d ( f n ( z ) ，尸( ) ) 6 ) 等；另一种是从局部性质出发考虑， 即如果混沌属性在x 的某些地方成立，我们称之为部分混沌属性，如l i y o r k e 混沌( 考虑的是混沌集s 中的任意两点，并不是x 中的任意点) 要判断一个 混沌属性是整体混沌属性，还是部分混沌属性，最简单的办法是判断此属性定 义中的量词“v ，王 一般来说，含量词“v ”的是整体混沌属性，含量词“j ” 的是部分混沌属性但这并不代表仅从量词上就能判断混沌属性属于哪种属性， 还要综合整个定义来判断如对初值敏感依赖的定义，它是以“| 开始，但这 并不能说明对初值敏感依赖是一部分混沌属性其实从上已知它是一整体混沌 属性，而并非一部分混沌属性当然，存在一些既不是整体混沌属性，又不是部 分混沌属性的混沌属性【3 4 35 | 5 第一章绪论 部分弱混合性是拓扑动力系统的一个部分混沌属性它也是对系统复杂性 的一种描述部分弱混合性概念的产生可追溯到1 9 9 0 年j x i o n g 和z y a n g 3 6 】 关于混沌的论文中在此文中，两人提出了一类新的混沌一熊混沌 定义1 5 p 叫：设( x ，) 是紧致系统，p i 是一递增正整数序列，y 是x 的非 空子集如果对y 的任一子集a 和任意连续映射f ：a x ，满足条件：对任 意x a ，存在序列p i 的子序列r i ，使得 1 i r a ，n ( z ) = f ( z ) 则称y 是相对于序列鼽的熊混沌集，称，为在y 上关于序列p i 熊混沌 的 且在【3 6 j 的启发下，f b l a n c h a r d 和w h u a n g 于2 0 0 8 年给出了如下的定 义 3 5 1 ： 定义1 6 【3 5 】：设( x ，) 是紧致系统，a 是x 的闭子集若存在bsa ，满 足下述条件： ( 1 ) b = u 罢1b i ，其中b i 是c a n t o r 集； ( 2 ) b 的闭包等于a ； ( 3 ) 对任意d 冬b 和任意的连续映射9 ：d a ，存在一递增自然数序 列 啦) n ，对任意z d ，均有l i m i 。，啦( z ) = g ( x ) 成立 则称a 是( x ，) 的弱混合子集含有弱混合子集的拓扑动力系统称为具 有部分拓扑弱混合性 同时，在文献【3 5 】中给出了弱混合子集的如下属性： 性质1 1 ：设( x ，) 是_ 动力系统，b 是( x ，) 的弱混合子集等价于： ( 1 ) b 是x 的一个非单点集的闭子集； ( 2 ) 如果对任意的k z + ，对b 的任意非空开子集印，谬，昭， 对x 的满足条件bn 阢d ，i = 1 ，2 ，k 的非空开子集巩，巩，存 在仇z + ，使得厂仇( 垆) n 阢d ，i = 1 ，2 ，k 6 西北大学硕十学位论文 显而易见，x 是弱混合子集等价于( x ，) 是拓扑弱混合的从直观上讲， 拓扑弱混合的系统具有如下性质：对于状态空间中任意给定的两个开集，它在 系统的作用下将走访任意两个开集弱混合子集就是那些运动方式如同拓扑弱 混合性的子集显然，弱混合系统是部分拓扑弱混合的，但反之不成立 1 9 9 1 年，a 1 w a n i k 在“i n d e p e n d e n c ea n ds c r a m b l e ds e t sf o rc h a o t i cm a p - p i n g s ”证明了一个重要结论一拓扑弱混合性蕴含着l i - y o r k e 混沌正如给 出了一致正拓扑熵这一整体混沌属性相对应的部分混沌属性一正拓扑熵一 样【3 5 】，人们开始探索拓扑弱混合性所相对应的部分混沌属性于是，在2 0 0 8 年，f b l a n c h a r d 等人提出了弱混合子集的定义，同时得到了许多漂亮的结 论f 3 4 ，3 5 j ，如证明了正拓扑熵兮部分弱混合性jl i y o r k e 混沌提出了并不 是任何一个动力系统均含有弱混合子集，在“e n t r o p ys e t s ，w e a k l ym i m n gs e t s a n de n t r o p yc a p a c i t y 中证明了d e v a n e y 混沌、l i o y o r k e 混沌的动力系统，局 部等度连续系统和符号动力系统就不包含弱混合子集证明了一个正拓扑熵系 统的许多熵集是弱混合子集正拓扑熵是拓扑动力系统中的另一个重要的研究 课题目前关于它的研究成果比较多 9 1 相比之下对于弱混合子集的研究成果 比较少 1 3 本文的主要研究内容 基于以上的理论基础和研究成果，我们提出了拓扑动力系统中弱混合子集 以下几个尚未研究的问题，并且得出了一些有意义的结论 首先，我们给出了部分拓扑弱混合性的三个等价定义 其次，我们考察了弱混合子集自身所具有的性质，得到了弱混合子集是不 可数集这一结论 最后，我们通过利用弱混合子集的等价定义之一，考虑了弱混合子集列 随时间推移的极限行为，得出了若a 是等度连续系统( x ，) 的弱混合子集， 当n _ o o 时，广( a ) 的极限是满足一定条件的b ，则b 是弱混合子集这一结 7 第一章绪论 论 8 西北大学硕士学位论文 2 1 基本定义及命题 第二章预备知识 定义2 1 【3 4 ，3 5 】：设( x ，厂) 是一动力系统，a 是( x ，) 的弱混合子集等价 于： ( 1 ) a 是x 的一个非单点集的闭子集； ( 2 ) 如果对任意的后z + ，对a 的任意非空开子集吁，吁，曙，对x 的 满足条件an 阢d ，i = 1 ，2 ，k 的非空开子集巩，巩，存在m z + ， 使得，m ( k a ) n 阢d ，i = 1 ，2 ，后 则称a 是( x ，) 的弱混合子集含有弱混合子集的拓扑动力系统称为具 有部分拓扑弱混合性 定义2 2 【1 9 】：如果对任意的e 0 ，存在j 0 ，使得当x , y x 且d ( x , y ) qi = 1 ，2 ，k ，存在m z + ，使得 ，m ( an y ( 口 ，) ) ny ( 既，) d ，i = l ，2 ，七； ( 4 ) a 是x 的一个非单点集的闭子集如果对任意的k z + ，对a 的任意 非空开子集吁，吁，曙，对x 的满足条件an 阢d ，i = 1 ，2 ，k 的任意 非空开子集，巩，存在m z + ，使得 n 厂m ( 巩) d ，i = 1 ，2 ，k 其次，我们研究了弱混合子集本身所具有的性质得到了如下的结论： 定理3 2 ：若a 是弱混合子集，则a 是不可数集 最后，我们通过利用弱混合子集的等价定义之一，讨论了拓扑弱混合子集 列的极限性质得到了以下结论： 定理3 3 ：若a 是等度连续系统( x ，) 的弱混合子集，l i m n 。广( a ) = b ， b 是非单点集，且满足对任意n z + ，bc 尸( a ) ，则b 是弱混合子集 3 3 主要定理及证明过程 定理3 1 的证明：( 1 ) 令( 2 ) 由弱混合子集的定义易知 ( 2 ) 令( 1 ) 设对任意k z + ，吁，蟛，曙是a 的任意非空开子集， 巩，巩是满足条件a n 巩d ，i = 1 ，2 ，克的任意非空开子集 取吼咿，则存在e ： 0 ，使得anv ( a i ，e ：) c ；取x i an 阢，则存 在? 0 ，使得v ( x t ，e ? ) c 阢 设e 产m i n e i ，e ，) ，则a n v ( a i ，龟) cv i a ，v ( z i ，e i ) c 阢 于是对上述龟 o ，a f a ，x l a ，由( 2 ) 知存在m z 十，使得 ，m ( a n y ( o i ，e t ) ) n y ( 观，q ) d ，i = l ，2 ，k 又因为，m ( anv ( a i ，e t ) ) nv ( x i ，e i ) c ，仇( 咿) n 阢，i = 1 ，2 ，k 1 2 西北大学硕士学位论文 所以，m ( k a ) n 阢仍，i = 1 ，2 ，k 故条件( 1 ) 成立 ( 2 ) 净( 3 ) 显然成立 ( 3 ) 令( 2 ) 设对任意k z + ，任意a i a ，兢a ，任意e t 0 ，i = 1 ，2 ，七 取e = m i n l _ i 0 ，使得y ( 鲰。，硝) cv ( y a ，6 ) ， 令瓯 m i n 6 1 ，6 ；：) ，则取丽cv ( y i ，6 ) ，且y t 。v ( y n 。，吼1 1 = 1 ，2 ，仡l 一1 其中西 0 ，使得y ( ：，) cy ( 鼽。，6 1 ) 令如 o ，使得v ( y 刚c y ( ；一，以一1 ) ，且y z 。y ( 。，也) ，1 2 = 1 ，2 ，n t 一1 其中国 0 ，有瓯 0 且瓯 n i o + l i o ，使得y = 纨。 又由于矿瓦：l 以；1 ) cv ( v n 。，以) ，故y y ( 玑。+ 。，以+ 1 ) 故yzn o o 砑面i 硒，从而产生矛盾因此a 不可能是无限的可数集 i - - - - 1 综合( 1 ) ( 2 ) 知，a 不是可数集 故4 是不可数集 定理3 4 【3 5 】：若a 是弱混合子集，且，( 月) 不是一单点集，则，( a ) 是弱混 合子集 定理3 3 的证明：已知a 是弱混合子集由于对任意z z + ，bcf z ( a ) ， 且b 是非单点集，据定理3 4 知，。( a ) 是弱混合子集 下面证明b 是弱混合子集 对任意 0 ，任意k z + ，任意b i b ，x i b ，i = 1 ，2 ，k 首先证明，存在6 ，b ，f z 十，使得，2 ( 6 ：) v ( z i ，e ) ，i = 1 ，2 ，k 由于( x ，) 是等度连续的，故对g 2 ，存在6 0 ，使锝当y ，z x 且d ( y ，z ) j ，对任意的m z + 都有 d ( f m ( 可) ，f m ( z ) ) 时，有 妇( ，n ( a ) ，b ) ( 3 1 ) 因为对任意t z + ，bcf t ( a ) ，所以对上述b i b ，x i b ，有玩 f n + l ( a ) ，婉f n + l ( a ) ，i = l ，2 ，k 1 5 第二章拓扑动力系统中弱混合二f 集的几个性质 从而由f n + i ( a ) 是弱混合子集知，对上述e 2 ，存在l z + ，使得 f t ( f + 1 ( 月) ny ( 玩，g 2 ) ) ny ( 航，e 2 ) 仍，i = 1 2 ，k 故存在a t a ，满足f n + l ( a i ) f n + l ( a ) nv ( b i ，s 2 ) ，使得 ，2 ( ，n + i ( o i ) ) v ( x i ，2 ) ，i = 1 ，2 ，k ， 即 d ( f 2 ( ，n + i ( o t ) ) ，x i ) e 2 ，i = 1 ，2 ，七 又由( 3 1 ) 知，对上述，+ 1 ( 啦) ，存在玩b ，使得 d ( f n + ia ) ，6 ：) ，i = 1 ，2 ，k ( 3 2 ) 故 d ( f ( + 1 ( o i ) ) ，f 。( 6 ：) ) e 2 ，i = l ，2 ，k 于是 d ( f ( 6 ：) ，z i ) d ( f 。( ) ，f t ( ，n + i ( o t ) ) ) + d ( f 。( ，n + i ( n t ) ，玩) ) 2 + 2 = ，i = 1 ，2 ，尼 故八6 ：) v ( x i ，e ) ，i = 1 ，2 ，k 其次证明，对上述b ，有b ：v ( b i ，e ) ，i = l ，2 ，k 由( 3 2 ) 知，对上述，+ 1 ( a i ) f n + l ( a ) nv ( b i ，e 2 ) ，i = 1 ，2 ，k ，有 d ( f n + ia ) ，6 ：) 6 ，i = 1 ，2 ，k 故d ( 6 ：，玩) d ( 6 ，f n + 1 ( ) ) + d ( f n + i ( 口i ) ，h i ) 6 + 2 g 2 + 2 = ，i = 1 ，2 ，七 因此6 ，b n v ( b i ，) ，i 二1 ，2 ，七 从而八6 ：) f l ( b n v ( b i ，) ) ，i = 1 ，2 ，七 综上可知，l ( 6 ：) ，2 ( bnv ( b i ，) ) nv ( x i ，e ) ，i = 1 ，2 ，尼 因此九bnv ( b i ，e ) ) nv ( z t ，e ) 仍，i = 1 ，2 ，k 故由定理3 1 知，b 是弱混合子集 16 西北大学硕士学位论文 3 4 本章小结 本章主要研究了以下几方面的内容首先，我们给出了部分弱混合的几个 等价定义其次，我们得到了弱混合子集是不可数集的结论最后，研究了弱混 合子集的一些动力性状，讨论了一定条件下弱混合子集列的极限性质，得到了 弱混合子集列的极限还是弱混合子集的结论 1 7 总结与展望 总结与展望 由于文献 3 5 】中的部分拓扑弱混合性是一混沌属性，它为混沌的研究提供 了有力工具所以研究它的一些动力性质是十分有用的本文的研究分为以下 几方面：首先，给出了弱混合子集的三个等价定义其次，我们研究了在一定条 件下的弱混合子集列的极限性质，得到了弱混合子集列的极限还是弱混合子集 最后，我们得到了弱混合子集是一不可数子集以上这些结果都为进一步讨论 部分拓扑弱混合性的这一部分混沌属性奠定了一定的基础和拓广了部分拓扑弱 混合性的研究范围然而，部分拓扑弱混合性只是一新的定义对于它，还有许 多新的研究空间 1 8 西北大学硕士学位论文 参考文献 1 】刘延柱，陈立群非线性动力学【m 】上海：上海交通大学出版社，2 0 0 0 2 】张济忠分形【m j 北京：清华大学出版社，1 9 9 5 【3 】井竹君浑沌简介 j 】数学的实践与认识，1 9 9 1 ，1 ：8 1 - 9 4 【4 吕振环，吴素文，李喜霞论混沌学的发展、特性及其意义【j 】沈阳农业大 学学报( 社会科学版) ，2 0 0 4 ，6 ( 1 ) ：8 4 8 6 f 5 刘凌，苏燕辰，刘崇新一个新混沌系统及其电路仿真实验【j j 物理学报， 2 0 0 6 ，5 5 ( 8 ) ：3 9 3 3 - 3 9 3 7 6 l it y ，y o r k ej a p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s 【j 】a m e r m a t h m o n ， 1 9 7 5 ，8 2 ( 1 0 ) ：9 8 5 9 9 2 7 g l e i c kj c h a o s m n e wy o r k ：v i k i n gp e n g u i ni n c ，1 9 8 7 8 】s w i n n e yh l o b s e r v a t i o n so fo r d e ra n dc h a o si nn o n l i n e a rs y s t e m s j p h y s i c ad ：n o n l i n e a rp h e n o m e n a ，1 9 8 3 ，7 ( 3 ) ：3 - 1 5 9 】约斯特动力系统 m 】北京：科学出版社，2 0 0 6 【1 0 】谭璐，姜璐系统科学导论 m 】北京：北京师范大学出版社，2 0 0 9 【11 】r u e f i ed ，t a n k e n sf o nt h en a t u r a lo ft u r b u l e n c e j 】c o m m u n i c a t i o n s i nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，1 9 7 1 ，2 0 ( 3 ) ：1 6 7 - 1 9 2 1 2 】s m a l es d i f f e r e n t i a b l ed y n a m i c a ls y s t e m s j b u l l e t i no ft h ea m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 6 7 ，7 3 ( 6 ) ：7 4 7 - 8 1 7 【1 3 1 张景中，杨路s m a l e 马蹄的一个简单模型【j 】科学通报，1 9 8 1 ，2 6 ( 1 2 ) ： 7 1 3 - 7 1 4 【1 4 1 周作领符号动力系统 m 】上海：上海科技教育出版社，1 9 9 7 参考文献 【1 5 】魏风文，王士平，申先甲当代物理学进展【m i 南昌市：江西教育出版社， 1 9 9 7 【1 6 】熊金城拓扑传递系统中的混沌【j 】中国科学( a 辑) ，2 0 0 5 ，3 5 ( 3 ) ：3 0 2 3 1 1 1 7 关鹏，张荣基于拓扑动力系统中“对初值敏感依赖”概念的推广【j 】甘肃 联合大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 7 ，2 1 ( 3 ) ：2 4 - 2 5 1 8 】胡扬，阮炯关于混沌的d e v a n e y 定义的一点注记【j 】复旦学报( 自然科学 版) ，1 9 9 5 ，3 4 ( 2 ) ：1 2 7 - 1 3 1 1 9 】叶向东，黄文，邵松拓扑动力系统概论 m 北京：科学出版社，2 0 0 8 2 0 】耿祥义l i y o r k e 混沌的充要条件 j 1 数学学报，2 0 0 1 ，4 4 ( 5 ) ：9 2 9 9 3 2 【2 1 】赵勇关于l i - y o r k e 混沌定义的简化 j 汉中师范学院学报( 自然科学版) ， 2 0 0 2 ，2 0 ( 1 ) ：1 8 - 2 1 【2 2 】a k i ne r e c u r r e n c ei nt o p o l o g i c a ld y n a m i c s ：f u r s t e n b e r gf a m i l i e sa n de l l i s a c t i o n s m n e wy o r k e ：p l e n u mp r e s s ，1 9 9 7 【2 3 】a u s l a n d e rj m i n i m a lf l o w sa n d t h e i re x t e n s i o n s m a m s t e r d a m ：e l s e v i e r s c i e n c e ，19 8 8 2 4 】h u a n gw ，y ex d e v a n e y s c h a o so r2 - s c a t t e r i n gi m p l i e sl i - y o r k e s c h a o s j t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n ，2 0 0 2 ，3 ( 1 1 7 ) ：2 5 9 - 2 7 2 【2 5 】a u s l a n d e rj ，y o r k ej a i n t e r v a lm a p s ，f a c t o r so fm a p sa n dc h a o s j 1 t o h o k um a t h j ，1 9 8 0 ，3 2 ( 2 ) ：1 7 7 1 8 8 f 2 6 】d e v a n e yr l a ni n t r o d u c t i o nt oc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m s j p h y s i c s t o d a y , 1 9 8 7 ，4 0 ( 7 ) ：7 2 2 7 】b a n k sj ，b r o o l sj ，c a i r n sg ，e ta 1 o nd e v a n e y sd e f i n i t i o no fc h a o s