（基础数学专业论文）一类周期小波及应用.pdf

摘要 利用频域方法，f r a z i e r 在其专著a ni n t r o d u c t i o nt ow a v e l e t st h r o u g h l i n c a r a l g e b r a 给出了e 2 ( x ) 上的d 6 小波本文用时域方法，给出了一类2 ( z n ) 中 只有六个非零坐标的正交小波，其中包括d s 小波；利用这类小波的张量积及p 阶小波基，针对各种不同的平面图象，我们比较了模糊像压缩及阈值压缩的效 果 本文是按如下方式组织的：第一章给出了本文所用的记号、概念、研究背景 和主要结论；第二章给出了一维d 6 类小波的构造、应用，并讨论了f 2 ( z v ) 中的 正交小波与对称性、插值性的兼容性；第三章是二维d 6 类小波基在图像压缩中 的应用 关键词：d 6 类小波；插值性；对称性；图像压缩 a b s t r a c t i nh i sm o n o g r a p h ：a ni n t r o d u c t i o nt ow a v e l e t st h r o u g hl i n e a ra l g e b r a ， f r a z i e rc o n s t r u c t st h ed 6w a v d c ti ne 2 ( z _ ) ，b yu s i n gt h em e t h o do f r e q u e n c e d o m a i n i nt h i st h e s i s ，w eg i v eaf a m i l yo fo r t h o g o n a lw a v e l e t sw i t ho n l ys i x n o n z e r oc o o r d i n a t e si n 俨( z ) ，b yu s i n gt h em e t h o do ft i m ed o m a i n ，w h i c hi n d u d et h ed 6w a v e l e tt h ee f f e c t sa r ec o m p a r e d ，w h e nt h et e n s o rp r o d u c t so f t h e s ew a v e l e t sa r ea p p l i e dt ot h eb l u ri m a g ec o m p r e s s i o na n dt h et h r e s h o l dc o n p r e s s i o n t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，s o m er e l a t e dn o r a - t i o n s ，d e f i n i t i o n s ，t h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e n ；i nt h es e c o n d p a r t ，w e d i s c u s st h ec o n s t r u c t i o no fd 6t y p ew a v e l e t sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si nt h e e a s eo fo n ed i m e n s i o n ，a sw e l la st h ei n t e r p o l a t i n ga n ds y m m e t r i cp r o p e r t i e s ；i n t h e t h i r do n e ，w e a p p l y d 6 t y p e w a v e l e t so f 俨( z n lx z m ) t o i m a g ec o m p r e s s i o n s k e y w o r d s ：d st y p ew a v e l e t s ；i n t e r p o l a t i n gp r o p e r t y ；s y m m e t r i cp r o p e r t y ；i m a g e c o m p r e s s i o n i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了i 射意。 签名：盏1 免日期：逊：生 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 豳霾 导师签名日期：丝! ：! ：! 第一章绪论 1 1概念与记号 在本文中，我们用n 表示正整数集；z 表示整数集；瓞表示实数集； c 表示复数集下述定义均取自文献【1 ，如无特殊声明，本文中的均表示正 偶数；文中的许多符号和术语均与 1 相同 记f 2 ( z n ) = ： z = ( 4 0 ) ，。( 1 ) ，- - ，z ( n 一1 ) ) ：。( j ) c ，0 茎j n 一1 ) ， 并作周期性延拓仍记为2 ( z ) 对于向量加法和数乘运算，t 2 ( z n ) 是一个维 向量空间设：，w t 。2 ( x n ) ，其上的内积定义为 n 一】 = z ( n ) 石丽， n = 0 则萨( z _ v ) 为一h i l b e r t 空间对z 2 ( z n ) ，它的共轭反射；2 ( z n ) 由 i ( n ) = z ( 一n ) 给出 定义1 1 设z 2 ( z ) ，定义它的f o u r i e r 变换为 e ( m ) 设k z ，定义平移算子几为：对任意。t 2 ( z n ) ，嗽。( 7 ) = z ( n 一) ，则 ( r k z ) “( n ) = e - 2 n i k n “( n ) 对= 1 2 ( z n ) ，定义上采样算子为 n 为偶数 n 为奇数 m ，= ：冀 州 z 脚 北京工业大学理学硕士学位论文 1 _ 2 本文背景 1 9 8 6 年，法国数学家ym e y e r 成功地构造出具有一定衰减性质的光滑函 数，这个函数的平移与伸缩构成l 2 ( 醒) 的标准正交基称为正交小波基( ( 2 ) 继 m e y e r 小波后，dl e m a r i e 和g b a t t l e 又分别独立地构造出了具有指数衰减的 小波函数此后s m a l l a t 提出的多尺度分析的概念成功地统一了y m e y e r ， dl e m a r i e 和g b a t t l e 等人的小波构造方法( 【3 ，4 1 ) 1 9 8 8 年，i ，d a u b c c h i e s 基于多项式函数构造出具有紧支集的正交小波基( f 5 ，6 ) 从9 0 年代开始， 人们基于样条函数构造出了正交小波函数，并讨论了具有较好局部化性质的尺 度函数和小波函数的构造方法( 【7 2 0 ) 但是由于正交小波无法同时具有某些重 要性质，从而铲( 酞) 中的双正交小波研究引起了人们的兴趣( f 2 1 2 5 ) 由于工程领域中出现的许多信号都是能量有限的离散信号，近年来，离散空 间中的小波分析吸引了人们的注意力( 2 6 - 3 9 ) 在小波构造方面，m w f r a z i e r ( 【1 ) 和d f w a l n u t ( 4 0 t ) 都讨论了离散正交小波基的频率域构造方法；g u b n e r 和c h a n gw e i b i n ( 【4 1 】) 研究了离散空间中正交小波基的时间域构造方法 小波分析最成功的应用领域之一就是数字图像压缩4 2 1 针对不同的应用 目的，许多学者提出了不同的小波压缩方法，其中之一是把压缩看成信号的近 似问题f 4 3 】另一种流行的方法是阈值编码压缩，文献1 4 4 ，4 5 的研究表明基 于小波的图像压缩有许多的优点 通常利用压缩还原后的图像与原始图像之间的误差大小来评价压缩方法的 优劣：一般是对整幅图像或者图像中的一个指定的区域进行某种平均计算，以期 得到均方误差设一幅原始图像为 ：( ，) ，0 i m 一1 ，0 j n 一1 ， z ( i j ) 表示图像在( i ，j ) 点的像素值；相应的压缩还原后的图像为 j ( t ，j ) ，0 i m 一1 ，0s j n 1 ) ，误差为 e ( i j ) = z ( ，j ) 一i ( i ，j ) ，0 i m 一1 ，0 j n 一1 ) ，那么均方差定义为m s e = 南竺i 1 篙1e 2 ( i ，j ) ，由于m s e 的值一般较小，故人们常用峰值信噪比( p s n r ) 的大小来衡量压缩重构图像 的质量好坏，设o 。= 2 “一1 ，k 表示一个像素点用的二进制位数，则 z 2 p s n r = 1 0 l g 音器 ( 11 ) 0 ) 凸 在许多采集的视频序列和商务图像应用中，常取k = 8 在本文中，我们研究了铲( z n ) 及f 2 ( z m z 2 ) 中的短支集小波构造并讨 论了它们在数字图像压缩中的应用和l i ne n b i n g ，y il i n g 4 6 的工作相比， 第一章绪论 我们的方法更加简洁、更易于理解 1 3 本文结构殛主要结论 本文中，第二章首先给出了一维d 6 类正交小波基参数化表示我们的结果 是：设u = u ( o ) j o 十u ( 1 ) d 1 + u ( 2 ) a 2 + u ( 3 ) 5 3 + u ( 4 ) 5 4 + u ( 5 ) 如，则“为d 6 类 小波当且仅当存在a ，口 0 ，2 r r 使 “( o ) = ( 乎+ 半孚以了而丽了可s 2 礼3 ) u ( 1 ) = ( 乎十号9 十乎v 1 + s i n ( a + ) c o s 卢) “( 2 ) = 孚一半 u ( 3 ) = 孚一半 u ( 4 ) _ i ( 孚+ 半+ 孚 再百砾再币s i n j 3 ) u ( 5 ) = ；( 孚+ 些笋一雩v 伍_ = f i 再虱硐c o s 卢) 然后通过具体的例子比较了这些小波在模糊像压缩和阈值压缩中的表现最后 讨论了妒( z w ) 中的正交小波与对称性、插值性的兼容性，具体地说，我们举例 说明：在铲( z ) 中存在正交对称以及正交插值的小波；另一方面，若支集的长 度小于g ，则所有例子退化为h a a r 类第三章引入t - - - 维d 6 类张量小波对 给定的几幅平面图像，我们比较了d 6 类小波在模糊像压缩和阈值压缩中的表 现最后，我们给出了一个简单的非张量小波的例子 3 第二章一维d e 类小波及应用 2 1俨( z ) 中d 6 类小波的参数化 我们先介绍一阶小波基的概念 定义2 1 如果 r 。k u ) 筵：- 1u r ：k t j n 2 。1 构成2 ( z ) 的标准正交基，则称 月2 “，女n ：0 2 1u r 2 k ”，n ：0 2 1 是t 2 ( z ) 的一阶小波基，称“ 、u 为小波生成元 为寻找小波生成元，文献 1 1 证明了： r 2 u 1 是1 2 ( z ) 的标准正交集 当且仅当对于n = 0 ，1 ，m 一1 ， i 矗( ，1 ) 2 + d ( n + 彳) 1 2 = 2 ，( 2 1 ) 其中n = 2 m 进一步下述结论成立( ) ： 构造方法；设u t 2 ( z n ) 且 r 2 * u 蒿1 在e 2 ( z n ) 中标准正交定义 ( k ) = ( 一1 ) k - i u ( 1 一k ) ，则u ，w 是小波生成元 设u = u ( o ) d o 十u ( 1 ) 6 1 + u ( 2 ) 6 2 + “( 3 ) d 3 + “( 4 ) 以+ u ( 5 ) 如p 2 ( z n ) ，这里 “= ( 0 ，0 ，1 ，0 ，0 ) ，1 在第k 个位置在本节中，我们将寻找所有这样形 式的u 满足( 2 1 ) 及o ( o ) = 2 ，称为仇类小波 定理2 1 设“= u ( o ) d o 十“( 1 ) 以+ “( 2 ) 6 2 + u ( 3 ) 6 3 + u ( 4 ) d 4 + “( 5 ) 如俨( z v ) ， 则u 为d 6 类小波当且仅当存在o ，卢【o ，2 ” ，使 “( o ) = ( 乎+ t 芋乎、气 _ 五石i 酮s i r t 卢) 札( 1 ) = ；( 孚+ 警+ 乎川干丽网c o s z ) “( 2 ) ：竽一半 ( 22 ) u ( 3 ) = 譬一半 u ( 4 ) = j ( 孚+ ! 芋+ 乎、百j _ 元i 孓_ f 可s i ，z p ) u ( 5 ) = ( 孚+ 警譬、厅万丽再可c ”卢) 证明：由于l 也( n ) 1 2 + l n ( n + m ) 1 2 = 2 且e ( 0 ) = 、，厄，故也( m ) = 0 进一步 n 一1n 一】 0 = 吐( m ) = u ( n ) e q ”m ：( 一1 ) “( n ) n = 0n = o 5 从而 北京工业大学理学硕士学位论文 _ v 2 1 “( 2 n + 1 ) n = 0 注惹到 n ( o ) = 以甘u ( n ) = 以 故 n 2 1n 2 1 厉 u ( 2 n ) = u ( 2 叶1 ) = 半 n = on = o 一 结合 磁e u 筵：- 1 的正交性，我们有 u ( o ) 十u ( 2 ) + 札( 4 ) = 孚 “( 1 ) + u ( 3 ) + n ( 5 ) = 警 u ( o ) u ( 2 ) + u ( 1 ) u ( 3 ) + u ( 2 ) “( 4 ) + u ( 3 ) u ( 5 ) = 0 u ( o ) u ( 4 ) + u ( 1 ) u ( 5 ) = 0 从( 1 ) ，( 2 ) 可得 i “( o ) 2 孚一“( 2 ) 一“( 4 ) 【“( 1 ) = - u ( 3 ) 讪( 5 ) 把( 5 ) ，( 6 ) 代入( 3 ) 整理可得 2 卜雩) 2 + 3 1 一孚) 2 _ i 1 今 帕卜笪4 = 一t s i n e ，邮) _ 雩：一t c o s e 则 雌) = 雩一下s i n e 川3 ) ：竿一下c o s e 把f 5 ) ，f 6 ) ，f 7 1 代入f 4 ) 整理可得 小) 一；( 等+ 警) 2 仆( 5 ) 一；( 雩+ 丁c o s q ) 2 6 一 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 第二章一维d 6 类小波及应用 故 础，= 喾+ 半+ 雩厅i 巧s ”涮 u ( 5 ) ：撙+ t c o s o 一丁v 5 乒赢再删 将此结果代入( 5 ) ，( 6 ) 并结合u ( 2 ) ，u ( 3 ) 的表达式便可得到( 22 ) 证毕 注1 特别地， 案( 2 俩一2 + 2 有 ( 0 ) = - - - 以( 1 + u ( 2 ) = 番( 1 0 一2 何+ 2 、压万而) u ( 4 ) = 番( 5 + n 3 万而而) ， 为经典的d 6 小波，见文献1 1 u c 3 ) = 番( 1 0 一2 n 一2 砺丽) ， u ( 5 ) = ；( 番( 1 + 何一订i 而) 此 汪2 在惹到 1 “巾+ 扣、1 + c 。s ( ；叫= 、2 c o s 、i - 百o z ) 2 _ 土s ( ；一；) 我们取炒满足：s i n l _ i = 干c d s ( 警；) ，c 。s 口= 士5 机( 警一；) ，贝9 r i 孚、r = 丙示i 干蓼s 讯_ 日= 一乎血。s ( i g ) c o s ( i ”一；) = 一( 孚+ 半) l 孚 f 丙丽币了币c 。s 卢= 乎以s ( i 一；) s i n ( 2 ”一2 ) = 乎+ 竽 显然“( 4 ) = 0 ，u ( 5 ) = 0 进一步， u ( o ) = 等+ 学 u ( 1 ) = 乎+ 竽 u ( 2 ) = 孚一半 “( 3 ) = 等一竽 我们称此为d 。类小波，尤其。= 是时，s 讥n = 监等，c 。s a = 近掣相 应的小波为经典的d 4 小波：其中u ( o ) = 譬( 怕+ 1 ) ，n ( 1 ) = 譬( v 石+ 3 ) ， “( 2 ) = 孚( 3 一亏) ，u ( 3 ) = 警( 1 一怕) 在d t 类小渡中，取n = ：，我们得到 h a a r 小波u ，其中“( o ) = 譬，u ( 1 ) = 孚 7 - 麓厄唧何蓐醐和土毒荡而竺厕瓜 坐一 北京工业大学理学硕士学位论文 2 2d 4 类小波的应用 设u ，u 为俨( z ) 的小波生成元，则。2 ( z i 有唯一表示 所谓信号压缩就是选取较少的系数 ， 仍能近似原来的 信号z 在工程领域中，有各种各样的压缩方法，现介绍两种：一种是一阶近似 重构，即用一阶模糊像卫1 z = y _ = n 2 _ 1 r 2 k u 去近似。；另一种是 阈值方法：简单地讲，给定标准正交基w = f w 。 ，一个信号z 在正交基下展 开的系数为 、如果仅取其中个变换系数来近似信号。，这些系数 取自标号集合k ，则 误差为 镛= t i j 。 m ， e ( k ) = 忪一z k i l 2 = fi 1 2 , 豫垂f k 为了使误差最小，取k 为幅值最大的k 个系数 4 2 在此我们用信号重构图 像与原图像的均方差( m s e = ! 铲) 大小作为评判重构图像的好坏标准 回顾d 4 类小波u ，其中u ( o ) = 孚+ t 笋，u ( 1 ) = 孚十s 笋，“( 2 ) = 孚一半 u ( 3 ) = 警一! 芋首先我们用由d 4 类小波的一阶模糊像对各种简单的信号作一 阶近似重构选取护( z 5 1 2 ) 中的五个信号，它们的数学表达式分别是： f j s i n l z l ( n ) = s n l 。， l z 2 ( r , ) = 号掣，1 2 8 s ”s2 5 5 1 n - 两1 2 8 1 2 ， 3 8 4 n 茎4 4 7 其它 1 一丽n ，0 兰n 6 3 5 一是，2 5 5 n 曼3 2 9 0 ，其它 8 一 ” 姚 r即 驰 r u 强 r 忙 | | z 第二章一维d 6 类小波及应用 冽n ) _ s 讹( 喾) z 4 ( n ) = ( n 一2 5 6 ) e 一( “6 ) 2 5 1 2 z 5 ( n ) 1 3 2 n 9 5 2 1 3 2 7 0 2 5 5 4 3 8 4 7 z 4 4 7 0 ，其它 计算模糊像与原始信号的均方差，结果如图2 1 右下角所示其中横轴表示巩 类小波中的参数o ( 这里0 n ) ，纵轴表示相应的m s e 值在( 0 ，7 r 上 我们选取1 8 0 个等距点作图从图中可以看出在d t 类小波中对于不同频率的 信号作压缩各有优缺点特别地，由这个实验可知d 4 ( n = 景) 小波在信号压 缩中并不一定是最好的 北京工业大学理学硕士学位论文 1 b5 b 园5 - 1 1 自 5 0 5 、k 一j v 1 2 3 4 5 明 图2 1 f i g u r e2 1 一l o _ _ 1 0 日a 6 自鲋 8 8 2 b 5 b1 1 5 日 第二章一维d 6 类小波及应用 类似地，可以利用d 4 类小波的阈值压缩方法分别压缩前述五个信号结果 如图2 2 、2 3 所示，这里0 o ：图22 、23 分别表示压缩比为8 ：l 与4 ：1 的阚值压缩效果直观上，我们发现小波压缩对于比较平滑的信号有较小的均 方差；另外比较图2 1 、22 、2 3 也可以看出：在相同的压缩比下闺值压缩比 一阶模糊像法效果要好，这是因为在 中有许多幅值较大的系数， 而在模糊压缩方法中把这些值都舍掉了 北京工业大学理学硕士学位论文 m s eo f 盈 图2 2 压缩比：8 ：t f i g u r e2 2c o m p r e s s i o nr a t i o n ：8 ：1 1 2 第二章一维d 6 类小波及应用 m s e 吖盈 图2 3 压缩比；4 ：l f i g u r e2 3c o m p r e s s i o nr a t i o n ：4 ：1 1 3 一 北京工业大学理学硕士学位论文 2 32 ( z ) 中正交小波的对称性与插值性 尽管9 2 ( z 。) 中的h a , a r ，d 。，d 6 小波在形式士与f 2 ( z ) 中相应的小波是 类似的，但是下面的例子表明护( z ) 中的小波具备一些特殊的性质 定义2 2 如果“护( z ) 满足： ( 2 ) = a s ( k ) ，0 ，则称满足插值 性 例2 1 对u 护( z 6 0 6 ) ， “：- 以t s o 一乎，+ 等。一乎s 则“满足插值性且 r ：k u 罄是标准正交的 证明据定义插值性是显然的容易验证 = 1 | 为证正交性，只需要证 明 = = 0 ，而 鼢。：雩锄一- 以5 - 。+ 譬嘞。一雩。 且 风。：雩。一雩如。十譬民。一字a 。 故 = = 0 成立 例2 2 对u 1 2 ( z 4 8 ) ， u ：兰；( 品+ 以一6 2 。+ 2 + 如。+ 3 + 6 2 。+ d 一6 2 。+ 5 + + 6 十d “+ 7 ) 是对称的且 疡 l 一2 n + 。3 是标准正交的 证明显然u 关于2 n + j 7 对称，并且易证 = 8 ( 孚) 2 = 1 注意到 脚= 等( 6 2 + 6 3 “州“舢椭也w + 品“) 咒2 。+ 2 t l = 宰( 6 2 。+ 2 + 6 2 。+ 3 一以。+ 4 + 文。+ 5 + 6 4 。+ 6 一以。+ 7 + 6 2 。+ 6 2 ”+ 1 ) 那么 = = 0 、 同理可证 = = 0 第二章一维口6 类小波及应用 故u 是对称的且 r 。肛) 3 是标准正交的 尽管有自争述倒子存在，下面两个结论仍然成立，它可以和# 2 ( z ) 中相应的结 论作比较 定理2 2 设u 2 ( z v ) 至少有两个非零坐标且满足： ， r j ，( 岛 “) 乏j 1 是护( z v ) 中的标准正交集； r 剀u ( 2 k ) = 面( ) ，a 0 ； f 圳u 的支集长度小于i n ，即m n 。 n ，u ( n ) 0 ) 一m i n n ，u ( n ) 0 m ，u 如) = 0 ，利用条件( 3 ) 可得m 譬，利用标正性我们有 k = 0 ，b ( o ) 1 2 + b ( i ) 1 2 十l u ( 3 ) 1 2 + + b ( m ) 1 2 = 1 ( 1 ) 七= 1 ，u ( 1 ) 百酉+ u ( 3 ) 百而+ + “( 一4 ) i 0 嘞+ u ( m 一2 ) 丽= 0 ，( 2 ) k = 2 “( 1 ) i 而+ u ( 3 ) i 而十+ “( 一4 ) i 订而= 0 ，( 3 ) = n o 一1 ，u ( 1 ) u ( m 一2 ) + u ( 3 ) u ( m ) = 0 ，( n o ) = n o ，u ( 1 ) u ( m ) = 0 ( n o + 1 1 因为u ( m ) 0 ，由t t 0 + 1 式可得( 1 ) = 0 ，代入到n o 式可得到( 3 ) = 0 ， 依此类推我们有 u ( s ) = 0 ，“( m 一2 ) = 0 再利用插值性可得珏仅有两个非零坐标0 ，m 定理2 3 设“e 2 ( z ) 至少有两个非零坐标且满足： 一， h k u 品1 是胆( z v ) 标准正交集； r 剀u 是对称或反对称的； 俐u 的支集长度小于譬，即w t a x r z ，“( n ) o ) 一m i n n ，( n ) o 虿n ， 则u 仅有两个非零坐标 一】5 一 北京工业大学理学硕士学位论文 证明：我们仅设u 为对称的，类似地可证明反对称的情形由对称性可得 u ( 鲁- - 1 7 - - 1 ) 刮譬+ 。) 设u 的最大非零坐标为百n + n 。，利用对称性，最小非零坐标必为i n n o 一1 由条件( 3 ) 可知n o 百n l ，由标正性我们有 即 譬一1 d ( ) ；“( ，z ) u ( n 十2 ) n = d k = 0 ，2 ( i u ( 学1 一n 。) 1 2 + i ( 譬n o ) i 2 + - + f u ( 譬一i ) 1 2 ) = 1 ，( 1 ) 女= l ，t z ( 譬一1 一n o ) u ( 譬+ 1 i j + u ( 譬一n o ) i _ f j i 两+ + “( 譬+ r 沁3 ) i i f j 确+ u ( 譬+ n 。一2 ) i f 丽：0 ，( 2 ) k = 2 ，u ( 譬一1 一o ) 砸了而i + u ( 孚一珊) 砭i 而万+ + “( 譬+ n 。5 ) 石i f 葺而+ “( 譬+ 劭一4 ) i 廷丽：0 k2n 。一1 ，n ( 譬一1 n o ) u 碍一3 一+ n o ) + u ( 譬一n 。) 砸= 再而 + u ( 譬+ 1 - n o ) i 露f 二丽+ u ( 等+ 2 一n 。) i - 丽：o ，( ，1 0 ) k = n o ，n ( 譬一1 一n o 扣( 学 因为“是对称的，所以 一i + n o ) + “( 譬一r 幻) ( 譬+ n o ) = o ，( 礼o + i ) 。( 芸一。一1 ) ：。( i n + 。) o z 从而由n o4 - 1 式可得 u ( 等咄胁( i n + n o - 1 ) u ( i n - n o - 1 ) “( i n + n o - 1 ) ：。 由于u ( 譬一1 一n o ) 0 ，我f 仃有 根据 o 式可得 n ( 百n n 。) ：“( i n + n 。一1 ) ：o z u ( i n n 。斗2 ) = u ( 百n - - n o - - 3 ) = 。 1 6 第二章一维d 6 类小波及应用 依此类推 u ( 等+ 3 一n 。) = u ( i n - 2 + n o ) = o ：u ( i n 一1 ) = u ( 鲁) = o 所以u 仅有两个非零坐标譬一1 一n o ，t n + n o ，且再由( 1 ) 式我们有 u ( 譬- 1 - n o ) ：雩，u ( i n 慨) ：雩 2 4本章小结 在本章中，我们首先给出了2 ( z ) 中d 6 类正交小波的参数化表示，然后 通过简单的例子比较了这些小波在模糊像压缩和阈值压缩中的表现最后讨论 了铲( z _ v ) 中的正交小波与对称性、插值性的兼容性 1 7 第三章二维d 6 类小波及应用 在本章中，我们首先介绍f r a z i e r 的p 阶小波基的构造方法 1 其次利用第 二章中的d 6 类小波给出p 2 ( z ，z n 2 ) 中的张量积小波，仍称为d 6 类小波； 然后给出了风类小波在图像压缩中的应用；最后给出一个非张量小波的例子 3 1f ( z n ，xz 北) 中的d 6 类小波、 设l 和m 为正整数，记 2 ( z n l z 2 ) = ： 2 = ( z ( n l ，n 2 ) ) ，1 2 ：。( 扎l ，n 2 ) c ) 易见对于向量加法和数乘运算，p 2 ( z n 。z n 2 ) 是c 上的向量空间进一步定义内 积 = 。n ，i 二o - i 他t “2 ：- o iz ( n 1 n 2 ) 石而i ，则t - 。( z n ，z 2 ) 为一h i l b e r t 空 间任给z p 2 ( z 。z 虬) ，对其作周期延拓指的是：。( n 】+ j l n l ，n 2 + 乃2 ) = z ( n l ，n 2 ) 给定l ，2 z ，对于任意的z t 。( z n 。xz 胁) ，定义平移算子： 风。乜z ( n l ，n 2 ) 二2 ( n l h ，n 2 一克2 ) 设： f 2 ( z 1 z n ：) ，它们的卷积定义 为 n i 一1 b l z + 叫( 7 7 1 1 , m 。) = ：( m ，一n z ，m 。锄) w 加，观) ： 定义3 1 设；2 ( z n l z 2 ) ，对于m 】= 0 ，1 ，2 ，r - ，】一l ，m 2 = o ，1 ，2 ， - ，2 1 ，定义 撕，m 2 ) ：守机啦) 。半。警，氧m ， = z ( 札啦) e p e 焉严， 4 1 5 0 “2 2 0 为z 的f o u r i e ? 变换众所周细，z 的逆f o u r i e r 变换由下式给出 机n 2 ) ：撕。，删。哿。警j ( 札n z ) = z ( m ，) e 哿e 瞥 在文献【1 中，f r a i z e r 给出了p 阶小波基的构造方法如下：为叙述方便我 们引入二维上采样算子矿：胪( z 】2 z m 2 ) 一2 ( z n 。z 胁) 为 u ( z ) ( h ，k ) = 0 h ，2 是偶数 其它 ，f，、 北京工业大学理学硕士学位论文 这里1 = 0 ，i ，n i l ，r 2 = 0 ，1 ，2 一l 构造方法：设2 p i n l ，2 p i n = ，如果u 弧0w w 1 2 ，w 1 3 是2 ( z n 。xz n 2 ) 中的小波 生成元令f l o = l o ，f 1 1 = 1 1 f 1 2 = w 1 2 ，9 1 = w 1 3 7 对于= 2 ，3 ，一，p ，依次 定义 扬= g e l u 一1 ( “。) ，j = 0 ，1 ，2 ，g e = 9 u ( f3 ) b t = u ；：。 r 2 t k l 2 t k 2 ) ”。一鲁一 * = = 。，”眷一t q = 忍r h 2 一b 鲂) 卟。，各一 k 2 = o 1 务一1 则 b l u b 2 u u b u q 构成2 ( z 。z n 2 ) 空间的标准正交基，称为p 阶小波基 为给出2 ( z n 。z 2 ) 中的d 6 类小波，我们引入 引理3 1 设 b o ，b 一b m 一1 是2 ( z n 。) 的标准正交基， g ，g l ，c n 2 1 ) 是2 ( z 北) 的标准正交基当0 m l n x 一1 ，0 m 2 n 2 1 ，定义 d m mn l ，7 1 2 ) = b m l ( n 1 ) c k ：( n 2 ) 1 ) 则 d m t m 。) 。o s 。m ：1 s _ 心n a 一- 。i 是护( z 肌。z 他) 的标准正交基 证明注意到 = d 。，。：( n 2 ) 瓦百i i i 面 n l = 0 “2 2 0 n 1 1 2 一l = b 。，( 盯，) c m 。( n z ) 砾而二葡瓦而葡 = f l 1 ，l = 2 = 0 lo ， 其它 又因为f 2 ( z 。z n 2 ) 的维数是l m ，故引理3 1 成立 根据引理3 1 ，若 岛k l ，r 驰u ln i 2 1 是2 ( z 。) 的一阶小波基， r 2 t u 2 r 2 k u 2j - l n k ：2 0 2 1 是9 2 ( z 2 ) 曲一阶小波基定义u o ( n 1 ，) = u l ( m ) u 2 ( t 1 2 ) 第三章二维d 6 类小波及应用 t 0 1 ( t l l ，7 7 , 2 ) = u l ( n 1 ) 啦( n 2 ) ，u 3 2 ( n l ，n 2 ) = u 1 ( n 1 ) 札2 ( n 2 ) ，训3 ( n 1 凡2 ) = 札l ( n 1 ) “2 ( n 2 ) 那么 r 2 l ，2 k 2 t u 。，r 2 a 1 2 k 2 t l ，l ，j r 2 1 2 也俅2 ，厅2 l ，2 k 27 i 乜 o s l i 2 一i 构成俨( z l z 2 ) 的标准正交基，称为e 2 ( x 。z 地) 的可分小波基 o ， l ，2 ，1 0 3 称为张量小波 3 2d s 类小波在图像压缩中的应用 3 2 1d 4 类小波的模糊像压缩 回顾3 1 中p 2 ( z n 。z n 2 ) 中p 阶小波基的定义：记 妒二t 女】，2 = r 掣岛，2 。女2 j ，= 0 ，1 ，2 ，# 一h ，k 2 = r 掣，。2 k 2 虫 则f ( z n ，z n 2 ) 中的p 阶小波基也可以表示成如下形式 岖。 f l - e , k l , k 2 ) 卟”，参一tu 妒- p , k l , k 2 ) 卟。，一。j = 0 ，1 2 t t = o m 等一， 幻= ，参一t 对于给定的图像z ( f ，j ) ，我们称 争一- 鲁一t 卫z = 铀斛： h = 0k 2 = o 为图像的阶近似重构( 模糊像) ；它表示我们仅用势x 等个最低频系数去重 构图像 争一，乎一， q 二庐= 矿 ，= 0 ，1 ，2 k l = 0k 2 = o 称为图像的e 阶细节对于i f p 有 j p z = 尸_ 一( 1 + 1 ) 。+ q 兰( “1 ) z + q ! ( + 1 ) 。+ q 三( + 1 ) 。 图像的p 阶小波分解 。= n 】2 + q ! l ：+ q 1 1 z + q 1 1 ； = 只舻+ q ! p 。+ q 三p z + q 三，。+ + q 1 1 。+ q 1 1 z + q 三1 。 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 其中p - 为图像的阶模糊像，它集中了图像的大部分能量 回顾第二章中的口t 类小波n u ( o ) = 孚+ 雩 u ( 1 ) = 孚+ 半 u ( 2 ) = 孚一竽 u ( 3 ) = 譬一警 定义u ( ) = ( 一1 ) “1 “( 1 一k ) ，则“， 为小波生成元利用引理3 l 我们可以 做出2 ( z 1 z n 2 ) 的张量积小波，仍称为d a 类小波现在我们利用这一类小 波分别对文献f 4 7 】给出的l e n a ，g o l d h i l l 和b a r b a r a 三幅8b i t 的 5 1 2 5 1 2 图像作一、二、三阶模糊像压缩并对结果进行比较 图3 1 ，图3 2 ，图3 3 是用d 4 类小波分别对l e n a ，g o l d h i l l 和 b a r b a r a 进行模糊像压缩的情况：右上角、左下角和右下角分别表示一阶、 二阶、三阶模糊像压缩的峰值信噪比p s n r ，这里0 o 7 r 从图3 1 可以看出：l e n a 图像的一阶模糊像压缩，当q = 斋时， p s n r = 3 1 7 4 5 最大；二阶模糊像对应0 1 = 而3 6 , r 时，p s n r = 2 7 1 8 3 最大； 三阶模糊像对应o = 濡时，p s n r = 2 39 3 4 最大 从图3 2 可以看出：g o l d h i l l 图像的一阶模糊像压缩，当o = 滁时， p s n r = 3 0 2 7 4 最大；二阶模糊像对应( 1 = 而3 5 v 时，p s n r = 2 6 6 8 6 最大； 三阶模糊像对应的q = i 3 6 丽7 r 时，p s n r = 2 4 1 6 最大 从图3 , 3 可以看出：b a r b a r a 图像的一阶模糊像压缩，当n = i 4 0 丽7 r 时， p s n r = 2 5 4 7 1 最大；二阶模糊像对应n = 斋时，p s n r = 2 3 1 6 7 最大； 三阶模糊像对应a = i 3 6 丽v 时，p s n r = 2 13 5 2 最大 第三章二维d 6 类小波及应用 原始图象一阶模糊像的p s n r 二阶模糊像的p s n r三阶模期像的p s n r 图3 1l e n a f i g u r e31l e n a 北京工业大学理学硕士学位论文 原始图像 一阶模糊像的p s n r 二阶模糊像的p s n r三阶模糊像的p s n r 图3 2g o l d h i l l f i g u r e3 2g o l d h i l l 原始匿像 第三章二维d 6 类小波及应用 一阶模糊像的p s n r 二价模糊像的p s n r三阶模糊像的p s n r 图3 3b a r b a r a f i g u r e3 3b a r b a r a 北京工业大学理学硕士学位论文 3 2 2d 4 类小波的阈值压缩 回顾第二章信号压缩的数学模型，我们把它应用到二维空间乎( z 。z ) ， 这里标准正交基为d t 类小波基w = ”。，。) ，图象z 在小波基下的系数为 为了使误差最小，重构图像时要从所有系数中取k 个幅值最大的 来近似图象：设这些最大系数取自标号集合h ，则重构图像 z k = 芝二 m ，n ( m ，n ) e z k 它与原始图像之间的误差为 e ( k ) = 一。* 1 1 2 = i r ( m n ) k 我们知道当误差最小时重构图象质量最优，这就意味着信号重构后与原图像的 m s e = 斋黯最小，即信号重构后与原图像的p s n r = l 叭g 韶z 2 羟最大时， 重构图像质量是最优的为更高效地利用这一数学模型， jms h a p i r o 在1 9 9 3 年f 4 4 1 提出了嵌入式小波零树编码( e z w ) 方法 评价图像压缩效果的另外的一个重要指标是压缩比，它指的是表示原始图 像存储占用的空间和压缩后存储占用空间大小的比值图3 4 ，图3 5 ，图3 6 是l e n a ，g o l d h i l l 和b a r b a r a 分别用d 4 类小波利用e z w 压缩编码 算法得到的p s n r 图像这里我们用张量积小波分解图像，当压缩比为4 ：1 时我 们用的是d 4 类小波对图像作二阶分解，当压缩比1 6 ：1 和6 4 ：1 时，我们用的是 d t 类小波对图像作五阶分解每幅图像的左上角是原始图像右上角、左下角 和右下角分别表示压缩比为4 ：1 ，1 6 ：1 ，6 4 ：1 时的p s n r 值，这里0 “j 第三章二维d e 类小波及应用 3 6 3 5 5 3 5 3 4 ：5 3 4 3 3 5 3 3 e n g ! n s ti m a g e p s n re f1 5 ：1 、 1 日2 b3_40 4 4 4 3 5 4 3 4 25 4 2 4 15 4 1 3 日 2 9 5 2 9 2 85 擒 ：2 75 2 7 图3 4l e n a f i g u r e3 4l e n a 2 7 p s n ro f4 ：1 、 、 。 1 日2 a3 目4 日 p s n ro f6 4 ：1 ? j 、 2目3e伯 3 15 3 园5 北京工业大学理学硕士学位论文 p n g l n a ii m a g e p s n r 盯1 6 ：1 ，厂 。、 、 2 03 目柏 4 m 3 8 ，5 弼5 2 75 2 65 p s n ro f4 1 一一，一 、 2 b3 目4 6 p s n ro f6 4 ：1 ，一 、 图35g o l d h i l l f i g